OBJETIVOS GENERALES

Aplicar adecuadamente los conocimientos matemáticos, teniendo en cuenta operaciones y propiedades básicas en la solución de problemas reales en contextos específicos y lo induzcan a la construcción de una cultura integradora y problematizadora del saber matemático.

OBJETIVOS GENERALES

Adquirir habilidades de pensamiento lógico-matemático, de tal forma que, le permitan al estudiante a partir de situaciones problemas la búsqueda de soluciones acorde con su formación profesional.

Integrar el conocimiento de métodos conceptuales y algorítmicos para dar solución a situaciones planteadas en el análisis de nuevos problemas, que promuevan en el estudiante el aprendizaje colaborativo y el pensamiento crítico y creativo.

Adquirir habilidades y destrezas en las operaciones básicas de los conjuntos numéricos y expresiones algebraicas a partir de la solución de problemas aplicados en contextos reales.

Analizar e interpretar elementos de los conjuntos numéricos y expresiones algebraicas a través de actividades y talleres que conlleven al estudiante en aplicarlos en las actividades cotidianas y otras áreas del conocimiento.

Percibir los conjuntos numéricos y expresiones algebraicas como una estrategia que le permite la racionalidad indispensable para analizar y solucionar situaciones de la vida diaria en su entorno cultural a través de problemas prácticos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

1

3

2

5

4

6

Números Naturales Corresponden a los números naturales, pero adicionando a estos los números enteros negativos y el número cero así: 0, 1, 2,… . El conjunto se denota por la letra

Formados por aquellos números que se pueden expresar de la forma p/q, en donde p es cualquier entero y q cualquier entero distinto de cero. Se denotan por la letra Q.

Son aquellos que no se pueden expresar de la forma p/q. Este conjunto se expresa por Q*.

Están conformados por la unión de los racionales y los irracionales y se denota por R = Q Q*. Su característica principal es poderse representar en la recta.

Tienen su origen en la resolución de ecuaciones cuadráticas, presentados de la siguiente forma: x2 + 1 = 0 . Consta de dos partes: a) Parte Imaginaria: que se representa con el símbolo i; b) Parte Real. Se denota por la letra C

Se denota por la letra N y está dado por N = (1, 2, 3, ......,.).Números Racionales Números Racionales

Números Enteros Números Enteros

Números Irracionales

Números Complejos Números Complejos

Números Reales Números Reales

1

2

3

4

5

6

Conjuntos numéricos

Su conocimiento es importante para el dominio del álgebra y el cálculo

Arrastre el número que está a la derecha de su pantalla y ubíquelo en el cuadro que considere se relaciona con la definición. Al terminar de clic en el botón validar respuesta

CONDUCTA DE ENTRADA ?

Validar respuestas

RETROALIMENTACIÓNSi la respuesta es correcta

Qué bien…

Tiene un buen conocimiento sobre conjuntos numéricos

…Lo invitamos a continuar interactuando con el programa

para ampliar o reforzar sus conocimientos.

¡NO SE DESANIME!....

Lo invito a seguir interactuando con el programa para que amplíe o refuerce sus

conocimientos.

Los enteros pares se determinan por Z = 2n.

Los enteros impares se determinan por Z = 2n ± 1, con n perteneciente a los naturales.

Los enteros primos se definen como aquellos números que son divisibles exactamente sólo por si mismos y por la unidad.

El Cero en la suma es el elemento neutro, es decir, cualquier número a, sumado con 0 vuelve a dar a, en la multiplicación, es el elemento absorbente, cualquier número operado con 0 da 0

Las fracciones son el resultado de la división de las expresiones que conforman el número racional

N

Z

Q

Q*I

C

R

Los conjuntos numéricos forman parte de nuestra vida cotidiana, en particular al ir al mercado, en algunas lecturas y juegos, y al momento de enfrentarnos al mundo laboral.

Practiquemos

128 -254 7/48

5 + 2i 2384/45

-1-i

√2

? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en los números que se encuentran en la parte inferior de la pantalla y ubíquelos de acuerdo a los conjuntos numéricos. Suelte el mouse

√-2 0 4iL og2 5

Naturales (N). Surgen de la necesidad de contar, compuestos por un número infinito de elementos, donde cada elemento tiene un sucesor que se obtiene sumando uno (+1), y todos, excepto el 1, tienen un antecesor, el cual se obtiene restando uno (-1)

Enteros (Z). Surgen de la necesidad de dar solución general a la sustracción. Se componen de varios subconjuntos: Enteros Negativos Z ¯, el Cero (0), Enteros Positivos Z+, los Enteros Pares, Enteros Impares y Enteros Primos.

Números Racionales (Q): Se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Cardinales y Enteros. Se representan por los números de la forma a/b.

Números Irracionales (I): Equivalen a un decimal infinito aperiódico y provienen de construcciones geométrica. Un ejemplo, puede ser, el cálculo de las diagonales de un cuadrado

Números Reales (R): Se conforman por la unión de los números racionales y los irracionales, cuya principal característica es la representación en la recta.

Números Complejos (C): Se originan en la resolución de ecuaciones cuadráticas y para solucionarlos se requiere aplicar métodos diferentes a los que se utilizan en los números reales.

Pensemos… reflexionemos y resolvamos…

En un observatorio meteorológico de una población de alta montaña se han observado y registrado durante una semana las siguientes temperaturas, El registro presenta en color rojo las temperaturas bajo de cero.

¿Qué día de la semana se presentó la temperatura más baja?, ¿Qué día fue la más alta? Que temperatura esta marcando el termómetro si:

• Marcaba 15ºC y disminuyó 12ºC?

• Marcaba 10ºC bajo cero y aumento 7ºC?

• Marcaba 18ºC y aumentó 7ºC?

• Marcaba 6ºC bajo cero y disminuyó 5ºC?

Validar respuestas

? Digite en el campo de texto, la respuesta que considere correcta. Al terminar haga clic en el botón validar respuesta.

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

5º C 1º C 4º C 2º C 3º C 5º C 8º C

OPERACIONES EN LOS ENTEROS

Suma Resta Multiplicación División

Al resultado se le asigna el mismo signo de los sumandos. + =

Al resultado se le asigna el signo de la cantidad mayor + =

Al resultado se le asigna el signo de la cantidad mayor

+ = Al resultado se le asigna el mismo signo de los sumandos.

+ =

+3

+1+2

-3

-4

+5-2

-7

(5+3) + (15 – 18) + (-8 + 13) + (-10+2) + (-25 – 15)

¿Cuál sería la respuesta?

= ?ejemplo

aplican cuando

? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en los números hasta completar la operación y arrástrelo de acuerdo con el resultado del enunciado. Suelte el mouse

Pensemos… reflexionemos y resolvamos…

-5

5

1

-6

( - 3 + 16 ) + 13 ( – 8 – 5)

Resolvamos

(- 7 –5 - 4 – 9 - 2) =


+13 -13

Se restan y se coloca el signo de la cantidad

mayor

-

+13

+ - -

Se suman y se coloca el mismo signo de los

sumandos

(- 7 – 6 + 2 - 3 - 9 + 8) =

(4 – 6 + 4 – 5 + 9 + 3 - 8) =

? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón que aparece al final de su pantalla y arrástrelo a la respuesta que considere correcta de acuerdo con la operación. Suelte el mouse

(5 + 16 + 4 + 8) =

+ 13 + 33

- 15 - 1

- 27

+ 27

- 13

- 33+ 15

+ 1

Realizar las siguientes operaciones, teniendo en cuenta:

OPERACIONES EN LOS REALES


Signos iguales generan resultado positivo x =

x = Signos contrarios generan resultados negativos

x =

+2+5

-2

+3-8

-7

-(5) (-6) (3) (-2)-(-2)


= ?

Signos iguales generan resultado positivo

aplica ley de Signos

ejemplo

? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en los números hasta completar la operación y arrástrelo de acuerdo con el resultado del enunciado. Suelte el mouse

x = Signos contrarios generan resultados negativos

+16

-35

+33

-30

+11 -15

Resolvamos

(-3) (-8) (+2)(-5)

(-7) (-5) - (4) (9)+(-2) =


(+ 24)

Signos iguales generan resultado positivo

- - + -

Signos contrarios generan resultado negativo

- (7)(6) + (2)(-3)(-9) -8 =

- - (-6)(4) - (5)(9) + (3)(8) =

? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón y arrástrelo a la respuesta correcta, de acuerdo con la operación. Suelte el mouse

(-3) (5) (-4) (2) (-8) =

-240 +960

15

- 40

- 27

+ 27

+240

-960

+ 15 + 40

(- 10)

aplicando ley de signos

(-6) (2) (-4) (5) =

(5)(-2) (4) =

(-5)(-3)=

-1

+104

- 3

+1

-104-1

+45

- 27 +3

-45

Realizar las siguientes operaciones, teniendo en cuenta:

Cuando hay una operación dentro de un signo de agrupación, se debe efectuar primero la operación contenida por el signo de agrupación y luego destrucción del signo de agrupación

RECUERDE…

6 - (-3 + 1 – 2) x 2 - (-3) x (-9-1) / (-2)

Se resuelven paréntesis

6 + 4 x 2 + 3 x -10 / -2

Se resuelven corchetes

10 x 5 x 5

Se resuelven llaves

= 250

Observa

Relacione las operaciones de acuerdo con su simbología

(a+b)

(axb)

(an)

dxxf )(

(ax)

(a-b)

(a/b)

n a

xLog a

dx

dyxfy )(

Adición

Multiplicación

Potenciación

Exponenciación

Integración

Sustracción División

Radicación

Logaritmación

Derivación

? Para solucionar la actividad, haga clic sostenido en el botón que contiene el nombre de la operación y arrástrelo de acuerdo con la operación que se presenta. Suelte el mouse

Resolvamos

PROPIEDADES Adición Multiplicacióna + b € R a . b € R

a + (b + c) = (a + b) + c * a . (b . c) = (a . b) . c * a + b = b + a a . b = b . a

Es el 0: a + 0 = 0 + a = a

Es el 1: a . 1 = 1 . a = a

Es el opuesto aditivo: a + (–a) = (–a) + a = 0

Es el inverso multiplicativo:

a.(⅟a)=(⅟a) .a=1 si a ≠ 0 Si a = b entonces a + c =

b + c Si a = b entonces a • c =

b • c

(a + b) • c = (a • c) + (b • c)

Observación: La propiedad asociativa permite prescindir del uso del paréntesis y escribir simplemente a + b + c ó a • b • c

6 + 2 = 2 + 62 x 4 = 4 x 2

2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 45 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7

8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4

9 x 1 = 9-3 x 1 = -36 + (-6) = 0

134

43;17

17 == ••5 • (3 + 4) = 5 • 3 + 5 • 4

1

3

2

4

5

6

7

7

5

4 5

2

3

1

Asociativa

Conmutativa

Existencia de elemento neutro

Existencia de inverso aditivo´…. Colocar multiplicativo

Uniforme

Distributiva de la multiplicación con respecto a la adición

Ley de cierre

? Aquí va ayudaPropiedades de las operaciones con los números reales

¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas?. En caso de ser verdaderas, enunciar las propiedades utilizadas

3

4

3

545

3

1

59

8*25

9

8*2

22 cc

92*829*82

1*1

aa

Rea para todo

05

xPara todo Existe un número real x para el cual

V

f

v

f

v

v

distributiva

conmutativa

Inverso multiplicativo

Inverso aditivo

Pensemos

Validar respuestas

? Digite en los cuadros pequeños V si es verdadero o F si es falso y de acuerdo a la operación, Si es verdadero digite el nombre de la propiedad. Valide sus respuestas en el botón validar respuestas

OPERACIÓN CON FRACCIONARIOS


bd

bcad

d

c

b

a

bdf

bdebcfadf

f

e

d

c

b

a

de tres fracciones

de dos fracciones

ejemplo

2

8+

1

3

5

4- =

2 x 3 x 4 +

8 x 3 x 4

==24+ 32 - 120

96

-

1 x 8 x 4 - 5 x 8 x 3

se multiplica el numerador por el denominador de los demás

se multiplican los denominadores entre sí


OPERACIÓN CON FRACCIONARIOS


2

=

=8

=


2

8

db

ca

d

c

b

a

.

..

5

3x

cb

da

d

cb

a

c

d

b

a

d

c

b

a

.

.

2

8

5

3÷

5

3

ejemplo

Resulta de multiplicar el producto de extremos por el producto de medios

2x3

8x5=

Fracción que resulta de multiplicar numeradores y denominadores entre sí

Resolvamos

Validar respuestas

? Digite en el cuadro de texto la respuesta de acuerdo con el enunciado. Valide sus respuestas dando clic en el botón validar respuesta.

¿Qué parte de la figura está coloreada?

h

aa 1

OPERACIÓN CON LOS REALES

Potenciación Radicación

a es número real, n es entero

si

entonces

an se obtiene multiplicando n veces

el factor a

ejemplo

35 = 3.x.3 x3 x 3 x 3

PROPIEDAD POTENCIA

mmm baba m

mm

b

a

b

a

nmnm aaa

nmn

m

aa

a

mnmn aa *n

n

aa

1

10 a

Distributiva con respecto al producto

Distributiva con respecto a la división

Producto de potencias de igual base

Cociente de potencias de igual base

Potencia de potencia

Inverso de una potencia

Potencia cero

Potencia unitaria

Se excluyen los casos 00

? Aquí va ayudaVer nota

OPERACIÓN CON LOS REALES

Potenciación Radicación

inversa a la potenciación

es

se llama

raíz enésima de un número a , al número b

tal que,

la potencia enésima de b es igual a a

PROPIEDAD RADICACIÓN

Distributiva con respecto a la división

Exponente racional

Raíz de raíz

abba nn n, con

Simbólicamente

Distributiva con respecto al producto

nnn baba

n

n

n

b

a

b

a

nmm n aa

nmnmn m aaa

?

Si a, b son números reales positivos y n, m números naturales, aplica

Aquí va ayuda(ver nota)

Observamos RECUERDE: La RADICACIÓN es una operación inversa de la potenciación.

an

an

n es impar a Rn es par 0a

ejemplo,

3 8 = 2 R

3 8 = - 2 R

ejemplo,

16 4= R

16 i4= Im

Siguiente

Observamos y Resolvamos

53628 22222

222 3838

523 22

2164

?16

La raíz de índice par de un número negativo, no tiene solución en los reales, ya que ningún número real elevado a una potencia par da como resultado un número negativo

Por lo tanto, su solución esta en los números Complejos C al definir los imaginarios

1i

16116

resolviendo

161

ii 44

v

F

F

V

22 aa V

¿Cómo se denomina la solución positiva?

¿Cómo se denomina la solución negativa?

? En los ejercicios de 1 a 5 coloque , V si es verdadero o F si es falso, al finalizar resolver las preguntas de acuerdo a los enunciados

CONSULTA: ¿Sabes con cuál tipo de raíz trabajan las calculadoras?

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES

ba

ba

baba

11

ba

ba

baba

11

a

1

Caso 1.

= *a

1

a

a =a

a

Se racionalizan los denominadores

Resulta de multiplicar numeradores entre sí

Se multiplican denominadores entre sí y se simplifica el exponente y el radical, cuyo resultado es:

Caso 2.

Caso 3.

ba

ba

=

22ba ba 2ba ba )( ba ba

? En los casos dos y tres, arrastre los botones y ubíquelos de acuerdo con los resultados de la operación. Observamos y

aplicamos


FIN MATERIAL PARA EL OAPROYECTO MEN - UDEA

Tema 2. razones y proporciones

RAZONES Y PROPORCIONES

2

24

4

4 8

P1=2 + 2 + 4 P2=4 + 4+ 8

P1=8 P2=16La razón de las medidas de los triángulos están dadas

por

P1

P2= 8

16

= 1

2

P2

P1=

16

8

= 2

La razón entre dos cantidades “a” y “b” se representa por: b

a y se lee “a” es a “b”

ResolvamosAl comparar la longitud de dos puente en un barrio de la ciudad se obtuvo que uno mide 90m. y el otro solo 30m..

Una manera de hacer la comparación es por la diferencia entre las longitudes: Longitud del puente A – Longitud del puente B = 90 – 30 = 60 m

Si se comparan las longitudes ¿cuál sería la respuesta? = Longitud A

Longitud B

¿De qué otra manera pueden compararse? =

¿Qué significa?

¿Qué significa?

? Aquí va ayuda

90 m

A30 m

B

PROPORCIONES

5cm

4cm

Una proporción es la igualdad de dos razones

Se tienen dos triángulos equiláteros: uno de lado 4 cm y otro de lado 5cm, como se muestra en las figuras. El perímetro de cada uno de ellos es de 12 y 15 cm. respectivamente

Al calcular la razón de la longitud del lado y el perímetro en cada triángulo, se tiene:

8,05

4

BLado

ALado8,0

15

12

BPerímetro

APerímetro

BPerímetro

APerímetro

BLado

ALado

se puede escribir como una proporción

Observemos

7

6

21

18Determinar si las razones entre y forman una proporción

7

621

18

Si se multiplican

6 x 21

7 x 18

Producto de extremos

Producto de medios

= 126

= 126

entonces,

7

621

18=

Las razones son iguales, ya que el producto de extremos es igual al producto de medios.

Por lo tanto, forman una proporción

X

por lo tanto,

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes a y b son directamente proporcionales cuando cumplen las condiciones:

•Las magnitudes están directamente relacionadas

•El cociente entre dos valores que se corresponden es siempre el mismo. (constante).

• La representación de las cantidades relacionadas corresponde a una línea recta.

Dos magnitudes están directamente relacionadas

cuando, al aumentar o disminuir una de ellas, la otra

también aumenta o disminuye.

Número de sacos

1 2 3 --- 26

Peso en Kg

20 40 60 … 520

x1x1x1 x2 x3xn

y1

y2

y3

yn

y

X

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes a y b son inversamente proporcionales cuando cumplen las condiciones:

•Las magnitudes están inversamente relacionadas

•El producto entre dos valores que se corresponden es siempre el mismo. (constante).

• La representación de las cantidades relacionadas corresponde a una curva descendiente cóncava hacia arriba

Dos magnitudes están inversamente relacionadas cuando,

al aumentar una de ellas la otra disminuye y viceversa

Hombres 3 6 9 --- 18

Días 24 12 8 … ?

x1x1x1 x2 x3xn

y1

y2

y3

yn

X

y

3 x 24 = 6 x 12 = 9 x 8 =…

teconsba tan

PractiquemosMAGNITUDES DIRECTA E

INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Determine ¿cuáles de las siguientes magnitudes corresponden a proporciones directas y cuáles a proporciones inversas?

Directa Si disminuye el salario mínimo de un trabajador, también disminuye la calidad de vida

Cantidad de trabajadores y cantidad de trabajo hecho en un día

Distancia recorrida en una hora y velocidad del auto

Cantidad de obras realizadas y presupuesto invertido

Relación entre dólares y pesos

Inversa

directa

inversa

Inversa

Validar respuestas

? Aquí va ayuda

Regla de tres

Si las magnitudes son directamente proporcionales, la regla de tres simple es directa.

•Si un automovilista recorre 180Km. en dos horas, ¿Cuántos km recorre en 7 horas?

Si llamamos la variable x como los km. que recorre en las 7 horas,

se puede escribir:

7

2180

)()(tan

x

horastiempokmciaDis

72

180 x

En el ejercicio planteado, ¿cómo es la regla de tres?

Si las magnitudes son inversamente proporcionales, la regla de tres simple es inversa

¿Cuánto vale X?

Km

Es un procedimiento que permite hallar una cantidad desconocida en términos de

otras tres conocidas, en un problema donde intervienen dos magnitudes

proporcionales.

Validar respuestas

? Aquí va ayuda

Algebra

Parte de las matemáticas que estudia el cálculo de las

cantidades representadas con letras

es

Las cuales pueden ser

ContantesVariables

de la forma

y = - 3x2 + 10

SignoCoeficiente Literales Exponente

y = - 3x2 + 10

cuyos términos algebraicos constan de

Son las cantidades que pueden variar en un problema, representadas por letrasLas cuales pueden tomar los valores que se le asignan

Son las cantidades que no cambian en un problema

particular

Practiquemos? Para solucionar la actividad,

haga clic sostenido en el lugar correspondiente y arrástrelo hasta el sitio indicado. Suelte el mouse

Expresión algebraica

combinación de literales y números, con los signos de las

operaciones aritméticas

se refiere a

De acuerdo con el ejemplo, coloque el tipo de expresión algebraica al que corresponde, teniendo en cuenta el número de términos.

Pueden ser

Monomio

Binomio TrinomioPolinomio

Practiquemos? Para solucionar la actividad,

haga clic sostenido en el lugar correspondiente y arrástrelo hasta el sitio indicado. Suelte el mouse

Monomio: Expresión algebraica que consta de un término

Binomio: Expresión algebraica que consta de dos términos

Trinomio: Expresión algebraica que consta de tres términos

Polinomio: Expresión algebraica que consta de más de tres términos

Operaciones con Polinomios

DivisiónMultiplicaciónRestaSuma

Agrupe términos semejantes

El mismo literal El mismo exponente

es decir, que tengan:

por ejemplo, en la ecuación:

3 + 8)a( (-5 – 8)x2+ ( 9 + 3)b +

Agrupando sus términos, quedaría

Solamente se operan:

Los coeficientes

Letras iguales con los mismos exponentes ¿Cuál sería la respuesta?

Practiquemos

3x3

5x2y

- 2xy2

- 4y3 3x3

5x2y

- 2xy2

- 4y3

(3 + 3)x3 + (5 + 5)x2y + (-2 – 2)xy2 + (-4 - 4y3)

Muy bien… agrupados sus términos quedarían así

Ahora….¿Cuál sería la solución a la ecuación?

6x3 + 10x2y - 4xy2- 8y3 6x3 + 10x2y - 2xy2- 8y36x3 + 10x2y - 4xy2- 4y3

EXCELENTE… continua así Lo invito a repasar nuevamente los conceptos.

? Arme las parejas de términos, para ello haga clic en el primer término y arrastre el mouse hasta encontrar su pareja. Suelte el mouse..



Agrupe términos semejantes

El mismo literal El mismo exponente

La distribución de signos, quedaría…

por ejemplo, en la ecuación:

(3a + 9b - 5x2 – 8a - 3b + 8x2)

los términos agrupados, formarían la ecuación

Solamente se operan:

Los coeficientes

Letras iguales con los mismos exponentes


Distribuya los signos de agrupación

3 - 8)a( (-5 + 8)x2+ ( 9 - 3)b +

ahora,

Practiquemos

3x3 5x2y2xy2 4y33x35x2y 2xy24y3

(3 + 3)x3 + (5 + 5)x2y + (-2 – 2)xy2 + (-4 - 4y3)

Muy bien… Ahora, cómo quedarían agrupados sus términos

¿Cuál sería la solución de la ecuación?. haga clic en la que considere sea la correcta

x3 + 0x2y - 0xy2- 8y36x3 + 10x2y - 0+4y3

EXCELENTE… continua así Lo invito a repasar nuevamente los conceptos.

? En esta página encontrará algunas actividades, para solucionarlas, haga clic sostenido en el lugar correspondiente y arrástrelo hasta el sitio indicado. Suelte el mouse

+- - - -++

0 3x3 + 0x2y – 0+ 2y3

Excelente… Otra forma de representarlos sería

3x3- 5x2y - 2xy2 4y3 - 3x3 5x2y2xy2- 4y3

De acuerdo con la ecuación anterior, ubique el signo que le corresponde a cada término

+



Las propiedades de potenciación

(4 x -2) (a3 x a2) (b5 x b4 )

(-8) (a5) (b9)

Dos monomios

(4a3b5) (-2a2b4)

Por ejemplo, en la ecuación:

an x am = an+m

se reunieron los términos semejantes

tenga en cuenta:

al aplicar las propiedades de la potenciación. ¿Cuál es la respuesta correcta?

(-8) (ab5) (ab9) (-8) (a3b5) (a2b9)

si se trata de:

? Aquí va ayuda

Practiquemos

(3x2y2) (-2x5y3)

se reúnen los términos semejantes = (3)(-2) (x2.x5) (y2,y3)

Se aplica las propiedades de la potenciación.

¿Cuál es la respuesta correcta?

= (3)(-2) (x2+5) (y2+3)

6x10y6 6x7y8 -6x7y8 x10y6

Para resolver la ecuación se realizan los siguientes pasos:

? Aquí va ayuda



La propiedad de potenciación

-6x2+ 6x2 -3x

Un monomio por un polinomio

(3x)(2x2- 3x -1)


a(b+c)=ab+ac

Si se aplicara las propiedades de la potenciación.¿Cómo quedaría la ecuación?

tenga en cuenta:

5x3+ 6x2- 3x 6x3 - 9x2 - 3x

La propiedad distributiva

an x am = an+m

Aplicando propiedad distributiva ,quedaría

(3x.2x2)+ (3x.-3x) +(3x. -1)

si se trata de:

Practiquemos

(3x) (x2 + 4y3 -2xy)

se reúnen los términos semejantes = (3+12- 6) (x2.x5) (y2,y3)

Se aplica las propiedades de la potenciación.

¿Cuál es la respuesta correcta?

= (3)(-2) (x2+5) (y2+3)

6x10y6 6x7y8 -6x7y8 x10y6

Para resolver la ecuación se realizan los siguientes pasos:

? Aquí va ayuda




-6x2+ 9x2m – 15m2

un polinomio por un polinomio

(3x2-5m)(2x2+3m)


(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

¿Cuál considera que es la ecuación final?

tenga en cuenta:

6x4 –mx2 – 15m2 0x4 - 19x2m- 15m2

La propiedad distributiva

an x am = an+m

Aplicando propiedad distributiva quedaría

(3x2.2x2)+ (3x2.3m) +(-5m. 2x2) + (-5m.3m)

si se trata de:

Agrupación de términos semejantes

(6x4)+ (9x2m) - (10x2m) (-15m2)

Al agrupar términos y aplicar propiedades de potenciación, la ecuación sería

6x4 +mx2 +15m2

? Aquí va ayuda

• Pendiente ejercicio

Practiquemos



Las propiedades de potenciación

Dos monomios Por ejemplo, en la ecuación:

an

am

se reunieron los términos semejantes

tenga en cuenta:

al aplicar las propiedades de la potenciación. ¿Cuál es la respuesta correcta?

si se trata de:

= am-n

? Aquí va ayuda


Practiquemos




Un monomio por un polinomio Por ejemplo, en la ecuación:

Si se aplicara las propiedades de la potenciación.¿Cómo quedaría la ecuación?

tenga en cuenta:

La distribución del denominador Aplicando propiedad distributiva del denominador,quedaría

si se trata de:

an

am = am-n

? Aquí va ayuda


Practiquemos

x5 + 7x3 - 5x + 1 x3 + 2x



Un Polinomio por un polinomio veamos un ejemplo

si se trata de:

(X5+7x3-5x+1) (x3+2x)

x2

C(x)

- x5 - 2x3

5x3 - 5x

(1) Se colocan los términos en orden descendente con respecto

a la letra que se va a dividir

(2) Se divide el primer término del dividendo por el primer término

del divisor

+ 5

-5x3 - 10x

- 5x + 1

(3) Los términos delcociente, se multiplican por cada uno

de los términos del divisor

(4) Los resultados obtenidos se restan

R(x)


Practiquemos

Factor común Factor comúnpor agrupación

Diferencia decuadrados

Diferencia decubos

Suma de cubos

Trinomio al cuadrado perfecto

Trinomio de la forma

x2n+ bxn + c

Trinomio de la forma

ax2 + bx +c

TEMA 2. FACTORIZACIÓN

Factor común

ab + ac = a(b +c)

27a3b4m – 36a4b3m + 45a3b5m

se identifican los términos comunes

9, a3, b3, m

aplica si:

en la ecuación

9a3b3m(3b - 4ª + 5b2)

al factorizar, el resultado es

Todos los términos tienen algo en común (puede ser

número, literal o combinación de los dos)

observa

Encuentre el factor común de las siguientes ecuaciones

Practiquemos

5m2b3 – 45m4b2 + 15m 5m(mb3 – 9m3b2 + 3)

? Aquí va ayuda

Factor común por agrupación

ab + ac + db + dc = a(b +c) + d(b + c)= ( a + d) (b + c)

a2m – 5a2n + 3x2m + 15x2n

aplica si:

en la ecuación

al unir parejas de términos comunes,se tiene

a2 (m – 5n) + 3x2 (m – 5n)

(m – 5n)(a2 + 3x2)


observa

Al unir parejas que tienen términos semejantes, se

obtiene un polinomio común


Practiquemos

Diferencia de cuadrados

a2n – b2m = (an + bm) (an - bm)

25a4 – 16b6

aplica si:

en la ecuación

extrayendo raíz cuadrada se tiene

5(a2)2 – (4(b3) 2

(5a2 + 4b3) (5a2 - 4b3)


observa

Los términos que la componen tienen diferente signo y ambos tienen raíz

cuadrada exacta


Practiquemos

Diferencia de cubos

a3n – b3m = (an - bm) (a2n + anbm + b2m)

125a6 – 64b9

aplica si:

en la ecuación

extrayendo raíz cúbica se tiene

(5a2) 3 – (4b3) 3

(5a2 + 4b3) (25a4 + 20a2b3 + 16b6)


observa

Los términos que la componen tienen diferente signo y ambos tienen raíz

cúbica exacta


Practiquemos

Suma de cubos

a3n + b3m = (an + bm) (a2n - anbm + b2m)

125a6 + 64b9

aplica si:

en la ecuación

extrayendo raíz cúbica, se tiene

(5a2) 3 + (4b3) 3

(5a2 + 4b3) (25a4 - 20a2b3 + 16b6)


observa

Los términos que la componen tienen igual

signo y ambos tienen raíz cúbica exacta

l


Practiquemos

(5a3)2 + 2(5a3)(8b2) + (8b2)2

Trinomio de cuadrado perfecto

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2 25a6 + 80a3b2+ 64b4

aplica si:

Ejemplo, factorizar

El primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta

y son positivos

(5a3 + 8b2) 2 Factorizando, la ecuación quedaría

El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y puede ser

positivo o negativo

cumple que


Practiquemos

m x p= -14m + p = - 5

Trinomio de la forma x2n+ bxn + c

El primer término es positivo y tiene raíz

cuadrada exacta X4 - 5x2 - 14

aplica si:

Ejemplo, factorizar

(x2 – 7) (x2 + 2)

se buscan dos números m y n que cumplan

La variable que está en el segundo término es la raíz

cuadrada del primer término

m x p = c , m + p = b

X2n + bxn + c = (xn + m) (xn + p)

para el ejemplo,

m = - 7p = + 2

Factorizando, la ecuación quedaría

cumplen para m y n

de tal forma que,

Dos números que al multiplicarlos den como resultado (m x p) y al sumarlos dan como resultado (m + p)


Practiquemos

(ax)2 + b(ax) + (ac)

a

Trinomio de la forma ax2+ bx + c

(ax2 + bx + c)

Para factorizar la ecuación, se debe convertir en un trinomio de la forma x2n+ bxn + c, así:

x2n+ bxn + c

(z)2 + b(z) + c

al organizar la ecuación

ax = z,ac = c

quedaría

si se sustituye

por lo tanto, el resultado es un trinomio de la forma

la ecuación estaría dada por

a

a

aa

se obtiene

La expresíón ax2+ bx + c,la multiplicamos y dividimos

simultáneamente por a

• FactorizarPractiquemos

3(3x4 + 5x2 – 8)3

(32x)2 + 15x – 24)3

(3x2)2 + 3(5x2)– 8)3

(3x2)2 + 3(5x2)– 24)3

al multiplicar ydividir por a se

obtiene

al organizarla quedaría como

? Aquí va ayuda

El Operador Sumatoria∑

En la recolección de datos a cerca de la suma de las edades de un grupo de 12 estudiantes se obtuvieron los siguientes datos:

3 + 8 + 5 + 12 + 7 + 8 + 9 + 4 + 4 + 5 + 3 + 6 = 74

Si se representa teniendo en cuenta el operador sumatoria se obtiene:

Si, en forma abstracta se hace referencia a un conjunto de n valores obtenidos a partir de la medición o la observación y son distintos entre ellos, los valores de la variable obtenida se designan con letras mayúsculas , así

Se lee: sumatoria de los valores de la variable X desde (i = 1) hasta el valor enésimo, n

.

de forma general, se representa como

Propiedades del operador sumatoria ∑

Caso 3Sumatoria de un valor contante k, multiplicado por una variable X,

n veces

Caso 4Sumatoria del producto ordenado de variables

Caso 5Sumatoria de las diferencias de

valores pareados de dos variables

Caso 1Definición básica del operador sumatoria

Caso 2Sumatoria de un valor

contante

∑ (Xi2) =

i=1

nX1

2 + X22 + X3

2 - Y32, +… + Xi

2 +…,+ Xn-12 + Xn

2

Caso 6Sumatoria de los cuadrados de n

valores de una variable se refiere a

TEMA 4. SUMATORIA, PRODUCTORIA…

∑ Zk = =

Caso 1Definición básica del operador sumatoria

No es más que la definición del operador sumatoria, ∑, de valores de una variable. Para Xi:

∑ Xi = X1 + X2 + X3 + X4 + … + Xi + … + Xn-1 + Xn

n

X=1


Teniendo en cuenta los valores obtenidos en la medición de la variable Z: 12, 4, 11, 10, 7, 11, 9, 2, 9, 6, 5, 6, Calcular para:

∑ Zk =10

k=1

12+4+11+10+7+11+9+2+9+6 =

∑ Zk =5

k=1

12+4+11+10+7 =

∑ Zk =7

k=1

12+4+11+10+7+11+9 =

6

k=1

∑ Zk = =3

k=1

se tiene,

Caso 2Sumatoria de un valor

contante

En el caso donde el conjunto de n números a obtener o suponer es un valor constante, g, la suma de ellos es:

∑ ai =a1 + a2 + a3 + g+ … + a + a=nan

i=1


Si se cuenta con el valor constante k=3, diez veces. Calcular:

∑ ki =10

i=1

3+3+3+3+3+3+3+3+3+3 =

Para el valor constante k=6, cinco veces. Calcular:

∑ ki =5

i=1

=

Para el valor constante k=7, 3 veces. Calcular:

∑ ki =3

i=1

=

Caso 3Sumatoria de un valor contante k, multiplicado por una variable X,

n veces

La sumatoria de un valor constante k, multiplicado por una variable, Xj, n veces, equivale a

∑ kxj =kX1 + kX2 + kX3 + kX4 +...+ kXj+ … +KXn-1+KXn

∑ kxj =k(X1 + X2 + X3 + X4 +...+ Xj+ … +Xn)= k∑ xj

n

j=1


es decir:

n

j=1

n

j=1

La sumatoria de un valor constante multiplicado por valores de una variable, es igual a la constante multiplicada por la sumatoria de los valores de la variable.

∑ kXj =6

J=19 ∑4+4+4+4+4+4 =

Cuál es el valor de la siguiente sumatoria, si se tiene en cuenta que la constante k = 9

6

J=1

Caso 4Sumatoria del producto ordenado

de variables


La sumatoria estaría dada por

∑ XjYj =6

J=1

Xj

312544

Yj

1085

129

10

Sean los valores ordenados de la variable Xj, Yj,

(3)(10) + (1)(8) + (2)(5) + (5)(12) + (4)(9) + (4)(10)

= 30 + 8 + 10 + 60 + 36 + 40 =

∑ Xj =6

J=1

∑ XjYj =6

J=1

3 + 1 + 2 + 5 + 4 + 4 =

10 + 8 + 8 + 12 + 9 + 10 =

El producto de estas sumatorias está dado por:

(∑ Xj) (∑ Yj )= =J=1 J=1

6 6

por lo tanto,

lo que equivale a

Observe que: la sumatoria de los productos, es diferente del

producto de las sumatorias

Caso 5Sumatoria de las diferencias de

valores pareados de dos variables


∑ (Xj-Yj) =

está dada por

Reagrupando

= (X1 + X2 + X3 +…+ Xj +…+ Xn-1 + Xn) – (Y1 + Y2 + Y3 +… + Yj +… + Yn-1 + Yn)

∑ (Xj - Yj) = ∑ (X - Y )j=1 j=1

n n

en el ejemplo,

la sumatoria de las diferencias es igual a la diferencia de las sumatorias

(X1 - Y1) + (X2 - Y2) + (X3 - Y3) +...+ (Xj - Yj) +…+ (Xn-1 - Yn-1) + (Xn - Yn)

(X1 - Y1), (X2 - Y2), (X3 - Y3), …, (Xj - Yj), …, (Xn-1 - Yn-1), (Xn - Yn)

j=1

n

se puede concluir que

Este caso es importante para resolver derivaciones y los cálculos estadísticos

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formando y calculando su número

Combinatoria

Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:

• Influye el orden en que se colocan.

• Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

pueden ser

Variaciones sin repetición Variaciones

con repetición

Variaciones sin repetición

Las variaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p, se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

Combinatoria

si,

el número de elementos sin repeticiónequivale a

para

aplicando la fórmula se obtiene

Si n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las variaciones sin repetición para p=3?

por lo tanto,

Variaciones con repetición

Las variaciones con repetición de n elementos tomados de p en p se definen como, las distintas agrupaciones formadas con p elementos que pueden repetirse, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra tanto si difieren en algún elemento como si están situados en distinto orden.

Combinatoria

si,

el número de elementos con repeticiónequivale a

para

aplicando la fórmula

Si n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las variaciones con repetición para p=3?

por lo tanto,

Permutaciones

Las permutaciones o, también llamadas, ordenaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:

• Influye el orden en que se colocan.

• Se toman todos los elementos de que se disponen.

pueden ser

Permutaciones sin repetición Permutaciones

con repetición

con

Sin repetición

Las permutaciones sin repetición de n elementos se definen como las distintas formas de ordenar todos esos elementos distintos, por lo que la única diferencia entre ellas es el orden de colocación de sus elementos.

Permutaciones


para

Si, n={a,e,i,o,u}, ¿cuántos elementos forman las permutaciones sin repetición para p=4?

por lo tanto,

con repetición

Llamamos a las permutaciones con repetición de n elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c, etc, cuando en los n elementos existen elementos repetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces, otro c veces, etc) verificándose que a+b+c+...=n.

Permutaciones

el número de elementos con repeticiónequivale a

para


por lo tanto,

con

Sin repetición

Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

Combinaciones


para


con

con repetición

Las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de p en p se definen como las distintas agrupaciones formadas con p elementos distintos, eligiéndolos de entre los n elementos de que disponemos, considerando una variación distinta a otra sólo si difieren en algún elemento, (No influye el orden de colocación de sus elementos).

Combinaciones

el número de elementos con repetición equivale a

para


con

http://club.telepolis.com/ildearanda/combina/per_marco.htm

recibe el nombre de coeficiente binomial y representa el número de formas de escoger k elementos a partir de un conjunto con n elementos

Teorema del Binomio

el resultado que proporciona el desarrollo de la potencia de una

suma

es

El coeficiente de xkyn − k en el desarrollo de (x + y)n es

se expresa en la siguiente variante:

hace referencia a

la fórmula para calcular el valor de ,representado ocasionalmente como C(n,k) o )

donde,

EJEMPLO

para n=2, n=3, n=4:

Observemos(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y)

= (x + y)(x + y)3

= xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + xyxx + xyxy + xyyx + xyyy+ yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy + yyyx + yyyy

Agrupando términos semejantes:

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

OBJETIVOS GENERALES

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