Ondas Estacionarias

Cuando dos ondas de la misma frecuencia y de la misma amplitud viajan en direcciones opuestas se combinan obedeciendo al principio de superposición produciendo un fenómeno de interferencia. Consideremos dos ondas armónicas de la misma amplitud, frecuencia y longitud de onda pero viajando en direcciones opuestas.

Sean

Utilizando una identidad trigonométrica, se llega a:

La expresión anterior indica que la onda resultante vibra armónicamente pero sin tener un desplazamiento aparente, a ésta configuración se le llama Onda estacionaria.

)(01 tkxseny )(02 tkxseny

)()(021 tkxsentkxsenyyy

tkxseny cos2 0

Puesto que la amplitud de la onda estacionaria de la suma de las dos ondas es 2Asen(Kx) depende de x, la amplitud máxima ocurre cuando sen(kx) = 1, o cuando:

Ya que k=2/,, los puntos donde ocurre la máxima amplitud se les llama Antinodos (valles y crestas), y se obtienen de la siguiente manera:

donde, n = 1, 2, 3, ....

La onda estacionaria tiene una amplitud mínima cero. Estos puntos cuya amplitud es cero, se llaman Nodos. Cuando sen(kx)=0, o sea:

kx = , 2, 3, ...

donde, n = 1, 2, 3, ...

Al poner a vibrar la cuerda se crean ondas estacionarias mediante la superposición de ondas incidentes y ondas reflejadas desde los extremos. Las ondas estacionarias en la cuerda vienen dadas por la expresión:

Una cuerda tensa de longitud L atada en ambos extremos.

Dos nodos fijos son en los extremos de la cuerda, por lo tanto, para x = 0 y x = L :

En consecuencia, las longitudes de onda de los modos normales de vibración, pueden expresarse de la siguiente forma:

donde, n = 1, 2, 3, ... son los modos normales de vibración. Las frecuencias naturales asociadas con estos modos de vibración se obtienen de la relación f = v / , donde v es la velocidad de la onda que es la misma para todas las frecuencias ,

por lo tanto:

Lo anterior indica que una cuerda fija en los dos extremos no puede vibrar a cualquier frecuencia arbitraria sino a frecuencias correspondientes dadas por al expresión anterior. Todas las frecuencias posibles dadas por esta expresión son múltiplos enteros de la mínima frecuencia

f0 = v / 2L, que se conoce como Frecuencia fundamental. Todas esas frecuencias posibles que son múltiplos enteros de la fundamental se conocen como frecuencias naturales de la cuerda o armónicas.

Primer Armónico

Segundo Armónico

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tercer Armónico

Cuarto Armónico

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

fn= nV / 2L

T es la tensión de la cuerda en N

es la densidad lineal en kg/m

Tv

1) Una cuerda de 2 metros de longitud y masa 1 Kg está fija de ambos extremos. La tensión de la cuerda es de 20 N.

¿Cuáles son las frecuencias de los tres primeros modos de vibración?

Si en un punto ubicado a 0.4 m hay un nodo. ¿En qué modo de vibración y con qué frecuencia está vibrando la cuerda?

2. Encontrar La frecuencia fundamental y los siguientes tres modos de vibración de una onda estacionaria sobre una cuerda de 3 metros de longitud y densidad lineal de masa de 9x10-3 Kg/m y que está sometida a una tensión de 20 N.

3. Se forma una onda estacionaria sobre una cuerda de 120 cm de largo fija de ambos extremos. Vibra en 4 segmentos cuando la frecuencia es de 120 Hz.

Determine la longitud de onda.

Determine la frecuencia fundamental de vibración

4) Una cuerda de guitarra de 60 cm de largo y sometida a una tensión de 50 N tiene una masa por unidad de longitud de 0.1 gr/cm.

¿Cuál es la mayor frecuencia de resonancia de la cuerda que puede ser oída por una persona capaz de escuchar frecuencias hasta 20 Khz?

5) En el arreglo de la figura. Una masa m está suspendida de una cuerda de densidad lineal de masa de 0.002 Kg/m y L = 2 m. Cuando la masa es de 16 Kg o 25 Kg, se observan ondas estacionarias, sin embargo no se observan cuando la masa está dentro de ese rango ( entre 16 y 25 Kg).

¿Cuál es la frecuencia del vibrador? ( A mayor tensión en la cuerda, menor es el número de nodos)

¿Cuál es la mayor masa para el cual pueden ser observadas ondas estacionarias?

6) Dos alambres del mismo material están soldados. El diámetro de uno de ellos es el doble del otro. El conjunto está sometido a una tensión de 4.6 N. El más delgado tiene un largo de 40 cm y una densidad lineal de masa de 2 gr/m. La combinación está fija de ambos extremos y la vibración es tal que aparecen dos antinodos, con el nodo justo en la soldadura que une ambos alambres.

¿ Cuál es la frecuencia de vibración? ¿ Cuál es el largo del alambre grueso?