TEMA I.16Ondas Sonoras

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de AstronomıaUniversidad de Guanajuato

DA-UG (Mexico)

papaqui@astro.ugto.mx

Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

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Ondas Sonoras

El sonido es una onda longitudinal en un medio (gas).

Las ondas sonoras mas sencillas son senosoidales con f , A, y λ definidos.

Intervalo audible: El oıdo humano es sensible a frecuencia de 20 a 20000Hz .

Mayores frecuencias: ultrasonicos

Menores frecuencias: infrasonicos

Las ondas sonoras suelen dispersarse en todas la direccion.

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Ondas Sonoras

Un caso ideal: onda sonora en direccion x :

y(x , t) = A sen(ωt − κx) (I.16.1)

El desplazamiento es paralelo a la direccion de la onda.

Las ondas sonoras pueden describirse en terminos de variacion de presion.De hecho, el oıdo detecta una variacion de presion.

Para una onda senosoidal la presion fluctua alrededor de la presionatmosferica (pa) en forma senosoidal con la misma frecuencia que losmovimiento de las partıculas en el aire.

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Ondas Sonoras

Sea p(x , t), la fluctuacion de la presion instantanea en una onda sonora enel punto x en el instante t.

La cantidad p(x , t) es la cantidad que la presion difiere de pa. Esto es lapresion manometrica. La presion absoluta es pa - p(x , t).

Consideramos un cilindro imaginario de aire con area transversal S y eje alo largo de la direccion de propagacion de la onda (ver Figura I.16.1).

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Figura I.16.1: Volumen cilındrico de gas con area transversal S .

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Ondas Sonoras

Cuando no hay una onda longitudinal la longitud del cilindro es ∆x y suvolumen es V = S ∆x .

Cuando una onda esta presente, el desplazamiento del cilindro es:

y1 = y(x , t) y y2 = y(x + ∆x , t)

Si y2 > y1, tenemos una disminucion de presion.

Si y2 < y1, tenemos una aumentacion de presion.

Para y2 = y1, tenemos un desplazamiento del cilindro hacia la derecha.

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Ondas Sonoras

El cambio de volumen:

∆V = S(y2 − y1) = S [y(x + ∆x , t)− y(x , t)]

En el lımite ∆x → 0, el cambio fraccionario ∆V /V :

dV

V= lım

∆x→0

y(x + ∆x , t)− y(x , t)

∆x=∂y(x , t)

∂x(I.16.2)

El cambio esta relacionado con la fluctuacion de presion por el modulo devolumen: B = −p(x ,t)

dV /V

p(x , t) = −B dV

V= −B ∂y(x , t)

∂x(I.16.3)

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Ondas Sonoras

Cuando ∂y(x ,t)∂x > 0 el volumen aumenta y la presion disminuye.

En terminos de onda de densidad la ecuacion I.16.1 se escribe:

p(x , t) = B κA cos(ωt − κx) (I.16.4)

La amplitud de presion es la maxima de fluctuacion:

pmax = B κA (I.16.5)

y(x , t) (I.16.1) y p(x , t) (I.16.4) describen la misma onda pero confrecuencias desfasadas de 1/4 de ciclo.

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El desplazamiento es maximo cuando la fluctuacion de presion es cero, yviceversa.

La amplitud de presion es proporcional al desplazamiento.

La fluctuacion de presion tambien depende de λ. Mas corta λ, mas grandeκ y mayores las variaciones (ver Figura I.16.2).

De otra manera, un volumen con B grande requiere una mayor amplitud,porque significa menos compresibilidad y por tanto un mayor cambio depresion.

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Figura I.16.2: Fluctuacion de presion p(x , t) y desplazamiento p(x , t) en unaonda sonora viajera senosoidal, representados como funciones de x en un instantedato t.

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Ondas Sonoras

Ejemplo: Onda sonora en el aire

Onda sonora de moderada intensidad tiene una amplitud de presion pmax

= 3.0× 10−2 Pa alrededor de la presion atmosferica: pa = 1.013× 105 Pa.

Si f = 1000 Hz , y νaire = 344 m/s ¿Cual es la amplitud de la onda?

Por definicion: A = pmax

B κ

Donde κ = ω/ν y ω = 2π f = 2π rad · 1000Hz = 6283 rad/s

⇒ κ =ω

ν=

6283 rad/s

344m/s= 18.3

rad

m

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Usando el modulo de volumen adiabatico:

B = γpa = 1.4 · 1.013× 105Pa = 1.42× 105Pa

⇒ A =pmax

B κ=

3.0× 10−2Pa

(1.42× 105Pa)(18.3 rad/m)= 1.2× 10−8m

Esto es 1/100 el tamano de una celula humana.

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Ondas Sonoras

Ejemplo: Onda en el oıdo interno

Cuando una onda entra en el oıdo se pone al oscilar el tımpano (ver FiguraI.16.3).

Este hace oscilar los osıculos que transmiten la onda al oıdo interno llenode un fluido.

El movimiento del fluido perturba las celulas pilosas que transmitenimpulsos nerviosos al cerebro.

La parte movil del tımpano tiene un area de 43 mm2. El estribo tiene unarea de apenas 32 mm2.

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Figura I.16.3: Anatomıa del oıdo humano.

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Ondas Sonoras

Si ignoramos la masa de los osıculos (58 mgrs) la fuerza sobre el fluidoejercida por los osıculos es igual al la fuerza ejercida sobre el tımpano porla onda sonora.

La amplitud de presion en el oıdo interno es mayor porque si la fuerza es lamisma, el area donde se aplica la fuerza es menor.

pmax ,int =F

Sint=

pmax ,aireStimSint

=(3.0× 10−2Pa)(43mm2)

3.2mm2= 0.40Pa

Los osıculos aumentan la presion en el oıdo interno por un factor deStim/Sint = 13.

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Ondas Sonoras

La amplitud del desplazamiento en el oıdo interno (fluido = agua pura):A = pmax

B κ , donde B = 1compresibilidad del agua = 1

45.8 × 1011 Pa y κ = ωaireνagua

.

Para una temperatura de 37 oC , νagua = 1500 m/s,κ = (6283 rad/s)/(1500m/s) = 4.2 rad/m.

Aint =0.40Pa

(2.18× 109Pa)(4.2 rad/m)= 4.4× 10−11m

Pero que cuenta realmente es la amplitud de presion porque es la variacionde presion que mueve las celulas pilosas.

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Percepcion de Ondas Sonoras

Las caracterısticas de la onda sonora tienen una relacion directa con lapercepcion.

Para una frecuencia dada, mayor la amplitud de presion y mayor elvolumen aparente.

El oıdo no es sensible a todas las frecuencias de la misma manera. Para1000 Hz , pmax = 3× 10−5 Pa, pero para producir el mismo volumen a200 Hz o 1500 Hz , pmax = 3× 10−4 Pa.

Con la edad se pierda la sensibilidad a las altas frecuencias.

La frecuencia determine el tono (calidad de agudo o grave).

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Percepcion de Ondas Sonoras

La amplitud de presion tambien determina la percepcion del tono. Mayorpresion, mas volumen y mas grave la impresion.

El sonido musical es una combinacion de ondas complejas formadas defundamentales y armonicas. La calidad del tono tambien es determinadapor el ataque y decremento de la onda.

En la Figura I.16.4 vemos las curvas de fluctuacion de presion de unclarinete (a) y de una flauta (c). Las curvas de abajo muestran elcontenido armonico.

El ruido es una combinacion de todas las frecuencias. El ruido blanco esuna combinacion en cantidad igual de todas las frecuencias.

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Percepcion de Ondas Sonoras

Figura I.16.4: (a) Curva de fluctuacion de presion versus tiempo de un clarinete.(b) Contenido armonico del sonido del clarinete. (c) Curva de fluctuacion depresion versus tiempo de una flauta dulce alto. (d) Contenido armonico del sonidode una flauta dulce alto.

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