Ondas transversales en una cuerda

7/25/2019 Ondas transversales en una cuerda

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2 DE GRADO EN FSICA

Ondas transversales en

cuerda sometida atensin

Iago Lpez Grobas

16/04/2013


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Objetivos

- Comprobar los modos de oscilacin de una cuerda en tensin.

- Comprobar la equidistancia entre nodos.

- Determinar la relacin entre la tensin en un cable elstico y la velocidad de

propagacin de las ondas transversales.

- Determinar el valor del dimetro del cable.

Para cumplir estos objetivos nos serviremos de las propiedades de las ondas

estacionarias (interferencia de dos movimientos ondulatorios armnicos de la misma

amplitud y longitud de onda que se mueven en sentidos contrarios).

Anlisis de datos

En primer lugar, voy a comentar los errores ms importantes cometidos al hacer la

prctica.

En cuanto al periodo de oscilacin, el osciloscopio meda del orden de milisegundos de

manera que, para el primer nodo, cada cuadrado grande (el cual tiene cinco subdivisiones)

eran 2 ms por lo que la resolucin del aparato es: . Sin embargo, esta resolucin

no se mantendr para toda la prctica pues se ha ido cambiando la sensibilidad del

osciloscopio a lo largo de la misma. No obstante, no es conveniente utilizar esta incertidumbre

pues la imagen del osciloscopio era un poco difusa y no se poda apreciar con total exactitud la

distancia entre crestas necesaria para medir el periodo. Por ello, creo conveniente incrementar

el error hasta 0,8 ms.Repito que esto slo ser vlido para el modo con n=2 medido al inicio

de la prctica, para los dems habr que volver a calcular la resolucin del aparato y hacer las

correcciones oportunas.

El instrumento para medir la distancia entre nodos es una regla que tiene una

resolucin instrumental de 0,1 cm. Sin embargo, como una regla no era lo suficientemente

grande, lo que se ha hecho es unir dos con celo. Esto hace que la medida sea ms imprecisa.

Adems, al hacer la medicin no la podemos tomar justo donde est el cable sino que tenemos

que situar la regla a cierta distancia de la cuerda lo que hace que se incremente ms el error

(error de paralaje). Por ello he credo conveniente utilizar un error de 0,5cm.

En la segunda parte de la prctica, la balanza no pudo determinar con exactitud el

valor de las masas pues careca de la suficiente precisin. Sin embargo, observamos que la

balanza se desequilibraba por completo al aadir pesas del orden de dcimas de gramos por lo

que he credo conveniente aproximar el error a este orden.

NOTA: El error instrumental slo lo partir de raz de 12 para hacer clculos pero el

valor que ir junto a las medidas ser el propio instrumental. Esto lo hago porque si no

aadira decimales a la medida que realmente no existen.


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El error estadstico provocado al tener en cuenta un nmero limitado de modos

normales y no infinitos, es decir, el nmero n finito de datos tomados en el laboratorio ya se

introducen en los resultados al realizar los ajustes pertinentes.

Una vez comentados los errores cometidos ya puedo comenzar con el tratamiento de

datos. Para ello, lo primero que har ser una tabla recogiendo los valores de la frecuencia

que corresponde a cada nmero de nodos que son los puntos en los que la amplitud de la

onda es mnima.

N de nodos T (ms) Error

instrumental

s(T) (ms) f (mHz) s(f) (mHz)

2 12 2ms/5div 0,8 0,0833 0,0016

4 7 1ms/5div 0,6 0,1429 0,0035

1 17,5 5ms/5div 0,5 0,05714 0,00047

3 8,8 2ms/5div 0,8 0,1136 0,0030

Donde para calcular la incertidumbre de la frecuencia he utilizado la frmula de

propagacin de incertidumbres:

Esta grfica es

el resultado de

presentar el nmero de

nodos frente a la

frecuencia. Como se

puede ver esto se

ajusta a una lnea recta.

De ella se puede concluir que la frecuencia crece linealmente segn va aumentando elnmero de nodos que tiene la cuerda. Esto era lo esperado pues tericamente se obtiene una

expresin para las frecuencias: , donde L es la longitud de la cuerda y v la velocidadde propagacin de la onda.

El siguiente paso ser presentar las distancias entre nodos para los modos normales

detectados. En cuanto a sta, tenemos las medidas de cada uno de los nodos al extremo y la

propia distancia entre estos. Como todas las distancias deben de ser la misma en cada modo

normal, har una media con ellas y tomar la distancia obtenida para representarla frente al

periodo correspondiente (los cuales fueron presentados en la tabla anterior).

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

f(mHz)

n de nodos


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A continuacin introduzco los valores de la media de distancias entre nodos para cada

armnico en milmetros para que la escala coincida con la de la medida del periodo. Para hacer

la media utilizo: siendo ; es decir, el nmero de nodos ms 1 pues hay quecontar la distancia hasta los extremos.

El valor ir acompaado de la incertidumbre combinada, esto es, la combinacin de la

estadstica y la sistemtica. As obtenemos:

2 nodos y 3 vientres:

.4 nodos y 5 vientres:

1 nodo:

.3 nodos y 4 vientres:

.Representando los valores de la distancia entre nodos frente al periodo correspondiente:

Esta grfica se ajusta a una

recta con ordenada en el

origen. Al hacer un ajuste

de este tipo se obtiene el

siguiente valor para el

coeficiente de regresin

lineal:

Que es bastante prximo auno lo que significa que

esta recta es un buen

ajuste.

El valor de la pendiente obtenido es:

La velocidad de propagacin de la onda es

. El valor que obtengo para la

pendiente es siendox distancia entre nodos consecutivos. Sin embargo, sta no es lalongitud de onda pues stos no estn en fase. Para aclararlo observemos la siguiente imagen:

6 8 10 12 14 16 18

300

400

500

600

700

800

900

x(mm)

T (ms)


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La distancia que nosotros medimos en el laboratorio es la de dos cortes consecutivos

de la onda con el eje x. Por lo tanto, la longitud de onda ser la mitad de esa distancia.

Para hallar la velocidad de propagacin entonces habr que hacer:

En la segunda parte de la experiencia lo que hemos hecho es variar la masa que cuelga

del cable de cobre variando as tambin su tensin. Siempre se han tomado las medidas para

el segundo harmnico (un nodo). Entonces, lo que har ahora ser calcular la tensin y la

velocidad al cuadrado para cada masa para poder representarlas grficamente.

Por la segunda ley de Newton se tendr que: (pues el cable vibrapero no se desplaza). Esto hace que . As que habr una tensin para cada masa.

En definitiva, tomando el valor de la gravedad como , siendo el valormedido de la cuerda:

, cogiendo el valor de la incertidumbre de las masas

como podemos construir la siguiente tabla: t (ms) s(t) (ms)

1,00 9,81 12 0,8 232,6E+02 4,5E+02

0,70 6,87 10 0,8 334,9E+02 7,8E+02

0,50 4,91 24 2 58,1E+02 1,4E+02

0,30 2,94 30 1,4 372,1E+01 5,0E+01

0,20 1,96 37 2 244,6E+01 3,8E+01

0,10 0,98 46 4 158,2E+01 4,0E+01

Donde el valor de la incertidumbre de la tensin se ha obtenido de que , ycomo la gravedad es una constante tabulada la nica contribucin a la incertidumbre viene dela masa por lo que aplicando la frmula de propagacin: . En segundo lugar,como entonces .

Cabe destacar que el valor de la longitud de onda no tendra por qu ser el de la

longitud de la cuerda. Sin embargo, en este caso se cumple esta relacin por estar haciendo las

mediciones en el segundo harmnico (un nodo). Visto matemticamente para n=2tenemos:


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Representando grficamente el cuadrado de la velocidad frente a la tensin obtengo:

En la grfica no

aparece el punto en

negrita de la tabla

debido a que se

desviaba

anormalmente. Esto

puede ser debido a

un error a la hora de

contar las

subdivisiones del

osciloscopio.

Tambin podra parecer a simple vista que el ltimo punto es demasiado atpico en

esta grfica. Pues bien, razonando un poco veremos que no es del todo cierto. Esta recta

representada tiende a crecer. Por otro lado, la escala del eje x est bastante ampliada pues los

valores de las masas en el eje X son bastante prximos lo que hace que se destaque mucho

cualquier mnima desviacin. Adems desde 0 hasta 0,5 hay cuatro puntos mientras que de 0,5

a 1 slo hay un por haber tenido que descartar el de la masa resaltada en negrita. As, no

tenemos una fiel trayectoria de puntos que nos lleve hasta el ltimo de la grfica. Por todo ello,

no se debera descartar el ltimo punto.

S que es cierto, no obstante, que su valor debera ser menor pues la velocidad

correspondiente a ese punto se supone que tendra que ser la obtenida en el primer ajuste de

la prctica y, sin embargo, es bastante ms grande pero no anmalo.

De la grfica podemos extraer que la velocidad es mayor cuando la cuerda est ms

tensa.

De este ajuste lineal con ordenada en el origen obtengo para la pendiente:

Teniendo en cuenta que los desplazamientos verticales de la cuerda respecto a la

posicin de equilibrio y(x,t)satisfacen una ecuacin de ondas: en donde sabemos

que: (considerando las deformaciones de pequea amplitud, de manera que lalongitud de la cuerda no se ve afectada por la curvatura). De esta expresin podemos decir

que usando cuerdas del mismo material, cuanto mayor sea el dimetro de la cuerda, mayor

ser su masa por unidad de longitud por lo tanto vibrar a una menor velocidad. La inversa de

0 2 4 6 8 10

0

5000

10000

15000

20000

25000

v^2(m^2/s^2)

T (N)


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la pendiente ser entonces la densidad lineal del cable pues lo que hicimos fue representar la

velocidad al cuadrado frente a la tensin. De este modo se obtiene que:

(

)

Para hallar el dimetro del cable utilizar la relacin entre la densidad lineal y la

volmica:

As pues el dimetro es: Este resultado se aproxima mucho al valor medido con el calibrador en el laboratorio.

Lo poco que se pueda desviar lo cubre la incertidumbre por lo que el resultado es muy

satisfactorio.

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