4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

OPERACIONESCON MATRICES

1Ing. Luis David Narváez

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

GENERALIDADESTraza

De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de losvalores de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo:

La traza de la matriz es traza = 5 –7 +7 = 5

2

7513

070

985

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

OPERACIONESSuma de dos matrices

Sean dos matricesconformables para la suma(mismo orden), se define lasuma como:

[C] m,n = [A] m,n + [B] m,n

La matriz [C] tendrá el mismoorden de [A] ó [B].

Cada elemento de C es la sumadel correspondiente elementode [A] y [B]ci,j = ai,j + bi,j

Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n

+ =

3

97

23

57

48

140

25

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

OPERACIONES

Resta de dos matrices

Sean dos matricesconformables para la resta(mismo orden), se define laresta como:

[C] m,n= [A] m,n - [B] m,n

La matriz [C] tendrá el mismoorden de [A] ó [B].

Cada elemento de C es la resta algebraicade los correspondientes elementos de[A] y [B]ci,j = ai,j - bi,j

Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n

Ejemplo

- =

4

97

23

57

48

414

611

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

OPERACIONESPropiedades de la Suma y Resta Matricial

Sean tres matrices conformables para la suma y k un escalar• [A]m,n , [B]m,n , [C]m,n

• [A] + [B] = [B] + [A] Ley Conmutativa

• [A] +( [B] + [C] ) = ( [A] + [B] )+ [C] Ley Asociativa

• k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] = ( [A] + [B] )k Ley Distributiva de unescalar por la izquierda o derecha en la suma

• Existe una matriz [C] tal que [A] + [C] = [B] 5

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

OPERACIONES

Producto de una matriz por un escalar

Sea k un escalar y la matriz [A]m,n, se define la muliplicación de unamatriz por un escalar como

[C]m,n = k [A]m,n

En donde ci,j = k ai,j (i=1,2,3....m; j=1,2,3...n)Ejemplo

[C] = 3 [A]

3 =6

97

23

2721

69

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

OPERACIONES

Producto de dos matrices

Dos matrices se dice serconformables para lamultiplicación si:

[A]ma,na [B]mb,nb

El número de columnas de [A] esigual al número de filas de [B]

El producto de dos matriceses

[C]ma,nb= [A]ma,n x [B]mb,nb

Conci,j=Sk=1 ai,k x bk,j

(i=1,2,3....ma; j=1,2,3...na)

7

=

na

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

OPERACIONES

x =

Ejemplo[C]ma,nb= [A]ma,na x [B]mb,nb

Son conformables para la multiplicación ya que na = mb

8

132

201

0

1

1

2

25

03

14

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

OPERACIONES

Leyes de la suma y la Multiplicación

Sean tres matrices [A] [B] [C]conformables para la suma ymultiplicación

Primera Ley Distributiva[A]( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]

Segunda Ley Distributiva([A] + [B]) [C] = [A] [C] +[B] [C]Ley Asociativa[A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C]

En general1) [A] [B] [B] [A]2) [A] [B] = [0]No necesariamente

[A] = [0] o [B] = [0]3) [A] [B] = [A] [C]No necesariamente

[B] = [C]

9

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

OPERACIONES

Matriz Transpuesta

Sea la matriz [A]ma,na , la matriz transpuesta se define como:

[A]mb,nb en donde ai, j = aj, i Para i = 1,2 .....ma j = 1,2 ......namb = na y nb = ma

También se denotar como [A]’

[A] = [A] =10

T

TT

5

471

32

573

412

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

OPERACIONES

Propiedades de la Matriz Transpuesta

Sean las matrices [A] [B]con sus respectivas transpuestas [A]’ [B]’ y k un escalar

i) [A’]’= [A]ii) (k [A])’ = k [A]’

La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sustranspuestas( [A]+ [B] )’ = [A]’ + [B]’

La transpuesta del producto de dos matrices es el producto en ordeninverso de sus transpuestas.( [A] [B] )’ = [B]’ [A]’ 11

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

TIPOS DE MATRICES

Matriz Identidad [I] o Unidad

Es una matriz cuadrada cuyo valor de los elementos de ladiagonal principal es uno y valor cero en todos los demáselementos.

[I] =

12

100

010

001

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Cero o Nula

Es una matriz cuadrada enla cual el valor de todos loselementos es cero.

000

000

000

13

Ejemplo

[ 0 ] =

[ 0 ] =

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Opuesta o Negativa.

- [A]Se obtiene de la matriz [A]

multiplicando cadaelemento por el escalar -1

128

954

421

128

954

421

14

EjemploSea la matriz

[A] =

-1 [A] =

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matrices Iguales

Son aquellas que tienen el mismo orden y cadaelemento de una es igual al correspondienteelemento de la otra.

[A] = [B] ai,j = bi,j para i =1,2,3.... m j =1, 2,3... nEjemplo

15

075

876

243

075

876

243=

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matrices Conmutativas

Son aquellas matrices para las cuales se cumple :Sean [A] y [B] matrices cuadradas tales que

[A] x [B] = [B] x [A]

=

16

14

41

14

41

36

63

36

63

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos loselementos son cero excepto en la diagonal.

[ F ] =

17

2100

0100

004

B

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Escalar

Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos loselementos son cero excepto en la diagonal principal, quetienen el mismo valor.

a11 =a22 =a33 =a44 = k donde k es un escalar

18

400

040

004B=B

B = -4 [ I ]

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Triangular Superior

Es una matriz cuadrada cuyoselementos en la parte superior dela diagonal principal y en ella, elvalor es diferente de cero.El valor de los elementos abajo dela diagonal principal es cero

ai j = 0 para i > j

Ejemplo

19

200

470

642

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejemplo

Matriz Triangular Inferior

Es una matriz cuadrada cuyoselementos en la parte inferior de ladiagonal principal y en ella, el valor esdiferente de cero.El valor de los elementos arriba de ladiagonal principal es cero.

ai j = 0 para i < j

20

276

041

002

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matrices simétricas

Aquellas que cumplen con:[A]’ = [A].

PropiedadSi [A] es una matriz

cuadrada[A] + [A]’ es simétrica

Ejemplo:la matriz [A] es simétrica ya que:

21

258

514

843

258

514

843[A]’ =

[A] =

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Antisimétrica oHemisimétrica

Es una matriz cuadrada que esigual a la opuesta (o negativa)de su transpuesta.

Necesariamente los elementosde la diagonal principal tienenel valor de cero.

[A] = - 1 [A]’

EjemploLa matriz [A] es antisimétrica ya que:

22

058

504

840

058

504

840

-1 [A]’ =

[A] =

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Periódica

Aquella matriz [A] para la cual[A]k+1= [A]

Donde k es un entero positivoSe dice que la matriz es de un

periodo k

23

321

431

422

[A]x [A] = [A]

[A] =

Ejemplo:

[A] es periódica, conperiodo 1

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Idempotente

Es una matriz Periódica con período 1Ejemplo

24

321

431

422

[A]x [A] = [A]

[A] =

TIPOS DE MATRICES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Matriz Inversa

Si [A] y [B]-1 son matrices cuadradas, conformables para lamultiplicación, la matriz Inversa [B]-1 es aquella que cumple con:

[A] x [B]-1 = [B]-1 [A] = [I]

A la matriz [B]-1 se le llama matriz Inversa de [A]Ejemplo de matrices Inversas:

25

421

331

321

101

011

326x =

100

010

001

MATRIZ INVERSA

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Adjunta

Es aquella matriz que se forma de una matriz cuadrada.La manera de construirla es la siguiente:1. Construir la matriz de cofactores. cofactores[M]2. Transponer la matriz de cofactores. ( cofactores [M] )T

adj [A] = ( cofactores [M] )T

26

MATRIZ ADJUNTA

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Adjunta

EjemploSea una matriz [A])=

Con su correspondiente matriz de cofactorescofactores [M] =

Entonces adj [A] =

27

572

024

331

14126

13116

242010

141324

121120

6610

MATRIZ ADJUNTA

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Propiedades de la Matriz Adjunta

[A] x adj [A] = (| A |) [I ]EjemploSea [A]= |A| = - 2 y adj [A] =

Entonces:

x28

572

024

331

100

010

001

= ( -2)

141324

121120

6610

572

024

331

141324

121120

6610

MATRIZ ADJUNTA

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Propiedades de la Matriz Adjunta

La Matriz Adjunta de un producto matricial es igual alproducto de las adjuntas de las matrices

adj ( [A] x [B] ) = adj [B] x adj [A]

29

MATRIZ ADJUNTA

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta

Con base en el concepto de Matriz Adjunta se tiene que[A] x adj [A] = | A | [I]Si [A] es no singular entonces | A |=0 despejando:[A] = [I]

Entonces [A] –1 =

30

||][

AAadj

||][

AAadj

MATRIZ INVERSA

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejemplo

Calcular la Matriz inversa por medio de la matriz adjunta

Sea [A] = y la Adj [A] = y |A| = - 2

Entonces [A] –1 =(-1/2)

31

572

024

331

141324

121120

6610

141324

121120

6610

MATRIZ INVERSA

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Transformaciones elementales en una matriz....

Al realizarse las transformaciones elementales en una matriz, nose cambia el valor del orden ni del rango de la matriz.

Se k un escalar diferente a 01. El intercambio de filas. Ejemplo intercambiar los elementos de

la fila uno por los elementos de la fila tres.2. El intercambio de columnas. Mismo concepto de las filas.3. La multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar k .

32

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Transformaciones elementales en una matriz

4. La multiplicación de cada elemento de una columna por unescalar k.

5. La suma a los elementos de una fila de k veces loscorrespondientes elementos de otra fila.

6. La suma a los elementos de una columna de k veces loscorrespondientes elementos de otra columna.

33

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matrices Equivalentes

Dos matrices [A] y [B] son equivalentes, si una puede ser obtenida dela otra por una secuencia de transformaciones elementales.

Se denotan como [A] [B]

Ambas matrices tienen el mismo orden y el mismo rango

34

MATRIZ EQUIVALENTE

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Matriz Inversa por medio de Transformaciones elementales

Pasos:1. A la matriz [A] cuadrada, de orden m se le agrega en la parte

derecha la matriz identidad, de orden m .[ [ A ] [I] ] quedando una matriz aumentada

2. Por medio de transformaciones elementales, se obtiene la matrizidentidad [I] en el lugar en que estaba la matriz [A].Y en el lugar en que estaba la matriz [I] queda la matriz inversa[ [I] [ A ]-1 ]

35

MATRIZ INVERSA

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….

Sea [A] =1. Se forma la matriz aumentada [ [ A ] [I] ] =2 Se realizan las transformaciones elementales para obtener [I]

Se intercambian los renglones 1 y 2

2da fila = 2da fila + 3 1era fila

36

10

01

45

13

01

10

54

31

31

10

74

01

41

53

MATRIZ INVERSA

4251 3

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….

2da fila = (-1/7) 2da fila

1a fila = 1a fila –4 2da fila

[ A ]-1=

37

7/37/1

7/57/4

7/31

7/10

14

01

7/37/5

7/17/4

10

01

MATRIZ INVERSA