Operaciones unitarias en la ingenieria de alimentos a.ibarz - g. barbosa-canovas. mejor

Tecnologa de alimentosTecnologa de alimentosColeccin

Albert Ibarz

Gustavo V. Barbosa-Cnovas

OperacionesUnitarias en laIngeniera de

Alimentos

OperacionesUnitarias en laIngeniera de

Alimentos

OPERACIONES UNITARIAS EN LA

INGENIERA DE ALIMENTOS

ALBERT IBARZCatedrtico de Tecnologa de Alimentos

Universidad de Lleida

GUSTAVO V. BARBOSA-CNOVASProfesor de Ingeniera de Alimentos

Washington State University

OPERACIONES UNITARIASEN LA

INGENIERA DE ALIMENTOS

Ediciones Mundi-PrensaMadrid Barcelona Mxico

2005

2005, Albert Ibarz y Gustavo V. Barbosa-Cnovas

2005, Ediciones Mundi-Prensa Depsito Legal: M. 4.505-2005ISBN: 84-8476-163-0

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A nuestras familias

Albert Ibarz Ribas es Licenciado y Doctor en Ciencias Qumicas (Ingeniera Qumica) porla Universidad de Barcelona, Ingeniero Tcnico Agrcola en Industrias Agroalimentariaspor la Universidad Politcnica de Catalua. En la actualidad es Catedrtico de Tecnologade Alimentos en la Universidad de Lleida.

Gustavo V. Barbosa-Cnovas es Ingeniero Mecnico por la Universidad de Uruguay,posee los ttulos de Maestra y Doctorado en Ingeniera de Alimentos por la Universidad deMassachusetts en Amherst. Actualmente es Profesor de Ingeniera de Alimentos y Directordel Centro de Procesado No-trmico de Alimentos en la Washington State University.

Uno de los objetivos primordiales de las industrias alimentarias es realizar unaserie de operaciones sobre las materias primas agrcolas, que las conviertan en ali-mentos aptos para el consumo humano. Estas operaciones se realizan de tal modoque cambian su composicin y/o su nivel energtico. Para realizar estas transfor-maciones se utilizan distintos aparatos, en las diferentes etapas de procesado,siendo imprescindible que cada una de estas etapas est bien diseada para que elproducto sufra el mnimo de deterioro. El clculo y diseo eficiente de cada una deestas etapas es el fin primordial de la Ingeniera Alimentaria, y en la que cada unade las etapas de proceso recibe el nombre de Operacin Unitaria o Bsica.

El estudio sistemtico de las Operaciones Unitarias arranca de la IngenieraQumica, donde se desarrollaron las herramientas de clculo de las mismas. Pos-teriormente, todos estos conocimientos se han ido aplicando a la Ingeniera Ali-mentaria, y al mismo tiempo se han adaptado a la naturaleza singular y distintivade las materias primas sobre las que se deben aplicar estos mecanismos de cl-culo. Siempre es importante resaltar que no slo es necesario obtener el ptimo deproduccin, sino que el producto final de toda la serie de operaciones debe ser unalimento apto para el consumo y de mxima calidad. Ello hace que en la aplica-cin de las operaciones unitarias utilizadas en un determinado proceso alimenta-rio, sea fundamental un clculo exhaustivo y esmerado, con el fin de obtener unasetapas de procesado que impartan el mnimo deterioro en el alimento que se estelaborando.

Los estudios de Ingeniera Alimentaria son muy complejos, y junto a las ense-anzas bsicas de qumica y bioqumica de alimentos, as como de los procesos,deben incluirse los estudios ms ingenieriles de clculo incluidos en la Operacio-nes Unitarias. Un anlisis de lo expuesto indica la necesidad que se debe tener paracomprender y utilizar los principios ingenieriles, y saber aplicarlos correctamente alos procesos industriales. El objetivo esencial de este libro es presentar, en formaprogresiva y sistemtica, la informacin necesaria para poder disear procesos ali-mentarios y los equipos necesarios para llevarlos a cabo. Para cumplir este objetivoes importante que el estudiante tenga una adecuada formacin en matemtica, f-sica e ingeniera en general. Este libro es til como herramienta de clculo para lasoperaciones unitarias descritas, y est enfocado para alumnos del segundo ciclouniversitario de Licenciatura e Ingeniera de Alimentos.

Prlogo

El conjunto de Operaciones Unitarias de la Ingeniera Alimentaria es muy am-plio, y un estudio exhaustivo de las mismas dara como resultado un compendioamplsimo. Adems, algunas de las operaciones unitarias son de poca aplicacin, yen algunos casos en industrias alimentarias muy especficas. En el presente libro seha intentado cubrir las que, a entender de los autores, son las de mayor relevanciapara la Industria Alimentaria en general. En los primeros captulos se dan las no-ciones bsicas de los fenmenos de transporte que rigen todas las transferencias, demateria, energa y cantidad de movimiento, en las que se basan las distintas Opera-ciones Unitarias. Se incluyen un conjunto de operaciones basadas en el transportede fluidos, resaltando la importancia del comportamiento no newtoniano de mu-chos de los alimentos fluidos y semilquidos que se manejan en la industria. Se haintroducido un captulo de balances macroscpicos de materia y energa, impres-cindibles para el planteamiento del modelo matemtico de cualquier operacinunitaria. Tambin se desarrollan las operaciones basadas en los tres mecanismos detransmisin de calor: conduccin, conveccin y radiacin. Se resalta la gran im-portancia de los aparatos utilizados en la transmisin de calor, as como las opera-ciones de pasteurizacin y esterilizacin, evaporacin y deshidratacin. Se inclu-yen tambin las siguientes operaciones basadas en la transferencia de materia:destilacin, absorcin, adsorcin, intercambio inico y extraccin slido-lquido.Las mismas cobran singular importancia para muchas industrias, aunque en otraspuedan ser totalmente prescindibles. Para facilitar la comprensin de todas las ope-raciones estudiadas, cada captulo finaliza con una serie de problemas resueltos,que sirven de ejemplo a la teora desarrollada, y que pueden clarificar y compren-der mejor los conceptos estudiados.

El deseo de los autores es el de que esta obra en espaol llene un hueco exis-tente en los estudios de Ingeniera Alimentaria en los pases de habla hispana, y se-ra una gran satisfaccin que con ello ayudsemos a entender y poder disear mu-chas operaciones unitarias vitales en la Industria de Alimentos.

Albert IbarzGustavo V. Barbosa-Cnovas

10 Operaciones Unitarias en la Ingeniera de Alimentos

Los autores quieren expresar su agradecimiento a las siguientes institucionesy personas que de una forma u otra contribuyeron para que este libro se hicieseposible:

Universidad de Lleida y Washington State University (WSU) por proveer lainfraestructura y marco ms que adecuado para la preparacin de este libro.

Mara Luisa Caldern (WSU) por su profesionalismo y dedicacin en revisarel libro de principio a fin. Sus comentarios y sugerencias fueron muy valio-sas.

Jos Juan Rodrguez (WSU) y Federico Harte (WSU Universidad de la Re-pblica Oriental del Uruguay) por su decisiva participacion en la revisin fi-nal del original y por hacer la impresin final. Ambos trabajaron con gran es-mero, dedicacin, entusiasmo y gran sentido profesional.

Todos los estudiantes que tomaron nuestros cursos de Operaciones Unitariasen Ingeniera de Alimentos, los cuales fueron un estmulo constante paraconcebir, desarrollar y culminar esta obra.

Albert por colaborar con esmero en la preparacin de muchas de las figurasdel libro y tanto a l como a Raquel por toda su invalorable ayuda y alientopara que este libro se convirtiese en una agradable realidad.

Agradecimientos

Prlogo ........................................................................................................... 9

Agradecimientos ............................................................................................ 11

1. Introduccin a las Operaciones Unitarias. Conceptos fundamentales ... 251.1. Proceso ........................................................................................... 251.2. Ingeniera de los procesos alimentarios ......................................... 251.3. Transformacin y comercializacin de productos agrcolas .......... 261.4. Diagramas de flujo. Descripcin de algunos procesos alimentarios .. 271.5. Rgimen estacionario y no estacionario ........................................ 271.6. Operaciones discontinuas, continuas y semicontinuas .................. 291.7. Las Operaciones Unitarias. Clasificacin ...................................... 30

1.7.1. Operaciones Unitarias de transporte de cantidad de movi-miento ................................................................................ 31

1.7.2. Operaciones Unitarias de transferencia de materia ........... 321.7.3. Operaciones Unitarias de transmisin de calor ................. 321.7.4. Operaciones Unitarias de transferencia simultnea de ma-

teria-calor ......................................................................... 321.7.5. Operaciones Unitarias complementarias ........................... 33

1.8. Planteamiento matemtico de los problemas ................................. 33

2. Sistemas de unidades. Anlisis dimensional y semejanza ................... 352.1. Sistemas de magnitudes y unidades ............................................... 35

2.1.1. Sistemas absolutos de unidades ........................................ 352.1.2. Sistemas tcnicos de unidades .......................................... 362.1.3. Sistemas ingenieriles de unidades ..................................... 362.1.4. Sistema Internacional de unidades (SI) ............................. 372.1.5. Unidades trmicas ............................................................. 382.1.6. Conversin de unidades .................................................... 39

2.2. Anlisis dimensional ...................................................................... 412.2.1. Teorema de Buckingham ............................................... 432.2.2. Mtodos de anlisis dimensional ...................................... 44

2.3. Teora de la semejanza ................................................................... 46

Contenido

2.3.1. Semejanza geomtrica ....................................................... 472.3.2. Semejanza mecnica ......................................................... 48

Problemas ................................................................................................. 53

3. Introduccin a los fenmenos de transporte ........................................ 653.1. Introduccin histrica .................................................................... 653.2. Fenmenos de transporte. Definicin ............................................ 663.3. Regmenes de circulacin. Experimento de Reynolds ................... 673.4. Mecanismos de los fenmenos de transporte ................................. 70

3.4.1. Transferencia de materia ................................................... 713.4.2. Transmisin de energa ..................................................... 723.4.3. Transporte de cantidad de movimiento ............................. 733.4.4. Leyes de velocidad ............................................................ 733.4.5. Fenmenos acoplados ....................................................... 73

4. Transporte molecular de cantidad de movimiento, energa y materia .. 754.1. Introduccin ................................................................................... 754.2. Transporte de cantidad de movimiento. Ley de Newton de la visco-

sidad ............................................................................................... 754.3. Transmisin de energa. Ley de Fourier de la conduccin de calor .. 774.4. Transferencia de materia. Ley de Fick de la difusin .................... 784.5. Ecuacin general de velocidad ....................................................... 83

5. Balances macroscpicos de materia y energa ..................................... 855.1. Introduccin ................................................................................. 855.2. Balance macroscpico de materia ................................................ 865.3. Balance macroscpico de energa ................................................ 89Problemas ................................................................................................. 96

6. Interaccin aire-agua ............................................................................. 1076.1. Introduccin ................................................................................... 1076.2. Propiedades del aire hmedo ......................................................... 1076.3. Diagrama psicromtrico de Mollier para aire hmedo .................. 111

6.3.1. Diagrama psicromtrico s T-X .......................................... 1116.3.2. Diagrama psicromtrico X-T ............................................. 115

6.4. Temperatura de termmetro hmedo ............................................. 1166.5. Saturacin adiabtica del aire ........................................................ 118Problemas ................................................................................................. 121

7. Reologa de productos alimentarios ..................................................... 1297.1. Introduccin ................................................................................... 1297.2. Esfuerzo y deformacin ................................................................. 1307.3. Slidos elsticos y fluidos newtonianos ........................................ 1327.4. Funciones viscosimtricas ............................................................. 134


7.5. Clasificacin reolgica de alimentos fluidos ................................. 1357.6. Flujo newtoniano ........................................................................... 1377.7. Flujo no newtoniano ...................................................................... 139

7.7.1. Flujo independiente del tiempo ......................................... 1397.7.2. Flujo dependiente del tiempo ............................................ 142

7.8. Viscoelasticidad ............................................................................. 1467.9. Efecto de la temperatura ................................................................ 1527.10. Efecto de la concentracin sobre la viscosidad .............................. 153

7.10.1. Teoras estructurales de la viscosidad ............................... 1537.10.2. Viscosidad de soluciones ................................................... 1547.10.3. Efecto combinado temperatura-concentracin .................. 156

7.11. Modelos mecnicos ...................................................................... 1577.11.1. Modelo de Hooke .............................................................. 1577.11.2. Modelo de Newton ............................................................ 1587.11.3. Modelo de Kelvin .............................................................. 1587.11.4. Modelo de Maxwell ........................................................... 1597.11.5. Modelo de Saint-Venant .................................................... 1607.11.6. Modelo mecnico del cuerpo de Bingham ........................ 160

7.12. Medidas reolgicas en alimentos semilquidos .............................. 1617.12.1. Mtodos fundamentales .................................................... 1617.12.2. Mtodos empricos ............................................................ 1757.12.3. Mtodos imitativos ............................................................ 175

Problemas ................................................................................................. 177

8. Transporte de fluidos por tuberas ....................................................... 1818.1. Introduccin ................................................................................... 1818.2. Circulacin de fluidos incompresibles ........................................... 182

8.2.1. Criterio para flujo laminar ................................................. 1828.2.2. Distribucin de velocidades .............................................. 1868.2.3. Perfil universal de velocidades .......................................... 194

8.3. Balances macroscpicos en la circulacin de fluidos .................... 1968.3.1. Balance de materia ............................................................ 1968.3.2. Balance de cantidad de movimiento ................................. 1988.3.3. Balance de energa total .................................................... 1988.3.4. Balance de energa mecnica ............................................ 201

8.4. Prdidas de energa mecnica ........................................................ 2028.4.1. Factores de friccin ........................................................... 2028.4.2. Clculo de factores de friccin .......................................... 2038.4.3. Prdidas menores de energa mecnica ............................. 213

8.5. Diseo de tuberas .......................................................................... 2188.5.1. Clculo de la velocidad y flujo de circulacin .................. 2188.5.2. Clculo del dimetro mnimo de tubera ........................... 2198.5.3. Redes de tuberas ............................................................... 221

8.6. Bombas .......................................................................................... 225

Contenido 15

8.6.1. Caractersticas de una bomba ............................................ 2258.6.2. Punto de instalacin de una bomba ................................... 2298.6.3. Potencia de la bomba ........................................................ 2298.6.4. Rendimiento de una bomba ............................................... 2308.6.5. Tipos de bombas ................................................................ 230

Problemas ................................................................................................. 233

9. Circulacin de fluidos a travs de lechos porosos. Fluidizacin ...... 2439.1. Introduccin ............................................................................... 2439.2. Ley de Darcy. Permeabilidad ..................................................... 2439.3. Definiciones previas ................................................................... 2449.4. Ecuaciones para el flujo a travs de lechos porosos .................. 248

9.4.1. Rgimen laminar. Ecuacin de Kozeny-Carman ........ 2489.4.2. Rgimen turbulento. Ecuacin de Burke-Plummer ..... 2499.4.3. Flujo global laminar-turbulento. Ecuaciones de Ergun

y de Chilton-Colburn ................................................... 2509.5. Fluidizacin ................................................................................ 254

9.5.1. Velocidad mnima de fluidizacin ............................... 2559.5.2. Porosidad mnima de fluidizacin ............................... 2569.5.3. Altura del lecho ........................................................... 257

Problemas ............................................................................................. 259

10. Filtracin ............................................................................................... 27110.1. Introduccin ............................................................................... 27110.2. Fundamentos de la filtracin ...................................................... 271

10.2.1. Resistencia de la torta de filtracin ............................. 27210.2.2. Resistencia del medio filtrante .................................... 27510.2.3. Resistencia total de filtracin ...................................... 27510.2.4. Tortas compresibles ..................................................... 276

10.3. Filtracin a cada de presin constante ...................................... 27710.4. Filtracin a caudal volumtrico constante ................................. 27910.5. Lavado de la torta ....................................................................... 28010.6. Capacidad de filtracin .............................................................. 28310.7. Condiciones ptimas de filtracin a presin constante .............. 28310.8. Filtros de vaco de discos rotativos ............................................ 285Problemas ............................................................................................... 287

11. Procesos de separacin por membranas ............................................ 29711.1. Introduccin ............................................................................... 297

11.1.1. Etapas en la transferencia de materia .......................... 30011.1.2. Polarizacin por concentracin ................................... 301

11.2. Modelos de transferencia a travs de la membrana ................... 30111.2.1. Modelo de solucin-difusin ....................................... 30111.2.2. Modelo simultneo difusin y flujo capilar ................. 302


11.2.3. Modelo simultneo flujo viscoso y de friccin ........... 30311.2.4. Modelo de adsorcin preferencial y flujo capilar ........ 30311.2.5. Modelo basado en la termodinmica de procesos irre-

versibles ....................................................................... 30411.3. Modelos de transferencia a travs de la capa de polarizacin .... 305

11.3.1. Modelo hidrulico ....................................................... 30611.3.2. Modelo osmtico ......................................................... 309

11.4. smosis Inversa ......................................................................... 31111.4.1. Modelo matemtico ..................................................... 31111.4.2. Capa de polarizacin por concentracin ...................... 31411.4.3. Influencia de distintos factores .................................... 315

11.5. Ultrafiltracin ............................................................................. 31811.5.1. Modelo matemtico ..................................................... 31811.5.2. Capa de polarizacin por concentracin ...................... 31911.5.3. Influencia de diferentes factores .................................. 321

11.6. Diseo de sistemas de smosis inversa y ultrafiltracin ............ 32311.6.1. Primer mtodo de diseo ............................................. 32411.6.2. Segundo mtodo de diseo .......................................... 326

11.7. Disposicin operativa de los mdulos ................................................ 32711.7.1. Etapa nica .................................................................. 32811.7.2. Cascadas simples en serie ............................................ 32811.7.3. Dos etapas con recirculacin ....................................... 329

Problemas ............................................................................................... 331

12. Propiedades trmicas de los alimentos ............................................... 33912.1. Conductividad trmica ............................................................... 33912.2. Calor especfico .......................................................................... 34012.3. Densidad ..................................................................................... 34312.4. Difusividad trmica .................................................................... 347Problemas ............................................................................................... 350

13. Transmisin de calor por conduccin ................................................ 35313.1. Ecuaciones fundamentales en la conduccin de calor ............... 353

13.1.1. Coordenadas rectangulares .......................................... 35313.1.2. Coordenadas cilndricas .............................................. 35613.1.3. Coordenadas esfricas ................................................. 356

13.2. Conduccin de calor en rgimen estacionario ........................... 35713.2.1. Conduccin monodimensional de calor ...................... 35813.2.2. Conduccin bidimensional de calor ............................ 36413.2.3. Conduccin tridimensional de calor ............................ 368

13.3. Conduccin de calor en estado no estacionario ......................... 36913.3.1. Conduccin monodimensional de calor ...................... 37013.3.2. Conduccin bi- y tridimensional de calor. Regla de

Newman ...................................................................... 381Problemas ............................................................................................... 382

Contenido 17

14. Transmisin de calor por conveccin ................................................. 39514.1. Introduccin ............................................................................... 39514.2. Coeficientes de transmisin de calor ......................................... 395

14.2.1. Coeficientes individuales ............................................ 39514.2.2. Coeficientes globales ................................................... 401

14.3. Intercambiadores de calor de tubos concntricos ...................... 40514.3.1. Caractersticas de diseo ............................................. 40514.3.2. Clculo de los coeficientes individuales ..................... 40914.3.3. Clculo de las prdidas de carga ................................. 410

14.4. Intercambiadores de calor de carcasa y tubos ............................ 41014.4.1. Caractersticas de diseo ............................................. 41314.4.2. Clculo de la verdadera diferencia de temperatura me-

dia logartmica ............................................................. 41414.4.3. Clculo de los coeficientes individuales ..................... 41714.4.4. Clculo de las prdidas de carga ................................. 421

14.5. Intercambiadores de calor de placas .......................................... 42214.5.1. Caractersticas de diseo ............................................. 42514.5.2. Nmero de unidades de transferencia ......................... 42714.5.3. Clculo de la verdadera diferencia de temperatura me-

dia logartmica ............................................................. 42714.5.4. Clculo de los coeficientes de transmisin de calor .... 42814.5.5. Clculo de las prdidas de carga ................................. 43214.5.6. Procedimiento de diseo ............................................. 432

14.6. Intercambiadores de calor de superficie ampliada ..................... 43414.6.1. Modelo matemtico ..................................................... 43514.6.2. Eficacia de una aleta .................................................... 43714.6.3. Clculo de intercambiadores de calor de superficie am-

pliada ........................................................................... 43914.7. Intercambiadores de calor de pared rascada .............................. 43914.8. Depsitos agitados con camisa y serpentines ............................ 441

14.8.1. Coeficiente individual en el interior del depsito ....... 44114.8.2. Coeficiente individual en el interior del serpentn ...... 44214.8.3. Coeficiente individual en la camisa ............................. 442

14.9. Eficacia de intercambio de calor ................................................ 443Problemas ............................................................................................... 449

15. Transmisin de calor por radiacin ................................................... 48315.1. Introduccin ............................................................................... 48315.2. Leyes fundamentales .................................................................. 484

15.2.1. Ley de Planck .............................................................. 48415.2.2. Ley de Wien ................................................................. 48415.2.3. Ley de Stefan-Boltzmann ............................................ 485

15.3. Propiedades de la radiacin ........................................................ 48515.3.1. Propiedades totales ...................................................... 485


15.3.2. Propiedades monocromticas. Ley de Kirchhoff ........ 48615.3.3. Propiedades direccionales ........................................... 488

15.4. Factores de visin ....................................................................... 48915.4.1. Definicin y clculo .................................................... 49015.4.2. Propiedades de los factores de visin .......................... 492

15.5. Intercambio de energa radiante entre superficies separadas pormedios no absorbentes ............................................................... 49315.5.1. Radiacin entre superficies negras .............................. 49315.5.2. Radiacin entre una superficie y otra negra que la ro-

dea completamente ...................................................... 49415.5.3. Radiacin entre superficies negras en presencia de re-

fractarias. Factor refractario ........................................ 49415.5.4. Radiacin entre superficies no negras. Factor gris ...... 496

15.6. Coeficiente de transmisin de calor por radiacin ..................... 49615.7. Transmisin simultnea de calor por conveccin y radiacin ... 497Problemas ............................................................................................... 500

16. Procesado trmico de alimentos .......................................................... 50516.1. Introduccin ............................................................................... 50516.2. Cintica de destruccin trmica ................................................. 505

16.2.1. Tiempo de reduccin decimal D .................................. 50616.2.2. Curvas de destruccin trmica .................................... 50716.2.3. Constante de tiempo de muerte trmica z .................... 50816.2.4. Grado de reduccin n ................................................... 51116.2.5. Tiempo de muerte trmica F ........................................ 51116.2.6. Valor de coccin C ....................................................... 51416.2.7. Efecto de la temperatura sobre los parmetros cinti-

cos y de tratamiento trmico ........................................ 51416.3. Tratamiento de productos envasados ......................................... 515

16.3.1. Curva de penetracin de calor ..................................... 51616.3.2. Mtodos para determinar la letalidad .......................... 518

16.4. Tratamiento trmico en el procesado asptico ........................... 52016.4.1. Tiempos de permanencia ............................................. 52316.4.2. Dispersin de tiempos de permanencia ....................... 52416.4.3. Funcin de distribucin E en el comportamiento ideal .. 52716.4.4. Funcin de distribucin E en el comportamiento no

ideal ............................................................................. 52916.4.5. Aplicacin de los modelos de distribucin al tratamien-

to trmico en continuo ................................................. 532Problemas ............................................................................................... 534

17. Conservacin de alimentos por fro .................................................... 54717.1. Congelacin ............................................................................... 54717.2. Temperatura de congelacin ...................................................... 549

Contenido 19

17.2.1. Agua no congelada ...................................................... 55017.2.2. Masa molecular equivalente de solutos ....................... 552

17.3. Propiedades trmicas de los alimentos congelados .................... 55217.3.1. Densidad ...................................................................... 55217.3.2. Calor especfico ........................................................... 55317.3.3. Conductividad trmica ................................................ 553

17.4. Tiempo de congelacin .............................................................. 55417.5. Diseo de sistemas de congelacin ............................................ 55917.6. Refrigeracin .............................................................................. 56017.7. Sistemas mecnicos de refrigeracin ......................................... 56317.8. Refrigerantes .............................................................................. 56517.9. Sistemas multipresin ................................................................ 567

17.9.1. Sistemas de dos compresores y un evaporador ........... 56717.9.2. Sistemas de dos compresores y dos evaporadores ...... 571

Problemas ............................................................................................... 574

18. Deshidratacin ...................................................................................... 58318.1. Introduccin ............................................................................... 58318.2. Mezcla de dos corrientes de aire ................................................ 58418.3. Balances de materia y calor en secaderos ideales ...................... 585

18.3.1. Secadero continuo sin recirculacin ............................ 58518.3.2. Secadero continuo con recirculacin ........................... 586

18.4. Mecanismos de deshidratacin .................................................. 58718.4.1. Proceso de secado ........................................................ 58718.4.2. Perodo de secado a velocidad constante .................... 59018.4.3. Perodo de secado a velocidad decreciente ................. 592

18.5. Secaderos de armario y lecho ..................................................... 59418.5.1. Componentes de un secadero ...................................... 59518.5.2. Balances de materia y calor ......................................... 596

18.6. Secado por atomizacin ............................................................. 60318.6.1. Inyectores de presin ................................................... 60418.6.2. Atomizadores rotatorios .............................................. 60518.6.3. Atomizadores neumticos. Dos fluidos ....................... 60918.6.4. Interaccin entre las gotas y el aire de secado ............. 61018.6.5. Balances de calor y materia ......................................... 611

18.7. Liofilizacin ............................................................................... 61218.7.1. Etapa de congelacin ................................................... 61518.7.2. Etapas primaria y secundaria de secado ...................... 61518.7.3. Transferencia simultnea de calor y materia ............... 616

18.8. Otros tipos de secado ................................................................. 62118.8.1. Deshidratacin osmtica ............................................. 62118.8.2. Secado solar ................................................................. 62218.8.3. Secaderos de tambor .................................................... 623


18.8.4. Secado por microondas ............................................... 62418.8.5. Secaderos de lecho fluidizado ..................................... 624

Problemas ............................................................................................... 625

19. Evaporacion .......................................................................................... 63119.1. Introduccin ............................................................................... 63119.2. Transmisin de calor en los evaporadores ................................. 632

19.2.1. Entalpas de vapores y lquidos ................................... 63319.2.2. Aumento ebulloscpico ............................................... 63419.2.3. Coeficientes de transmisin de calor ........................... 637

19.3. Evaporador de simple efecto ...................................................... 63819.4. Aprovechamiento del vapor desprendido .................................. 639

19.4.1. Recompresin del vapor desprendido ......................... 63919.4.2. Bomba trmica ............................................................ 64219.4.3. Mltiple efecto ............................................................ 644

19.5. Evaporadores de mltiple efecto ................................................ 64519.5.1. Sistemas de circulacin de las corrientes .................... 64619.5.2. Modelo matemtico ..................................................... 64819.5.3. Resolucin del modelo matemtico ............................ 65019.5.4. Procedimiento de clculo ............................................ 651

19.6. Equipos de evaporacin ............................................................. 65319.6.1. Evaporadores de circulacin natural ........................... 65319.6.2. Evaporadores de circulacin forzada .......................... 65619.6.3. Evaporadores de tubos largos ...................................... 65719.6.4. Evaporadores de placas ............................................... 658

Problemas ............................................................................................... 659

20. Destilacin ............................................................................................. 67320.1. Introduccin ............................................................................... 67320.2. Equilibrio lquido-vapor ............................................................. 673

20.2.1. Presiones parciales. Leyes de Dalton, Raoult y Henry ... 67620.2.2. Volatilidad relativa ....................................................... 67820.2.3. Diagrama entalpa-composicin .................................. 679

20.3. Destilacin de mezclas binarias ................................................. 68020.3.1. Destilacin simple ....................................................... 68020.3.2. Destilacin sbita ........................................................ 682

20.4. Rectificacin continua de mezclas binarias ............................... 68420.4.1. Clculo del nmero de platos ...................................... 68520.4.2. Relacin de reflujo ...................................................... 69120.4.3. Alimentaciones mltiples y extracciones laterales ...... 69520.4.4. Eficacia de platos ......................................................... 69820.4.5. Dimetro de la columna .............................................. 69920.4.6. Columnas de agotamiento ........................................... 701

20.5. Rectificacin discontinua ........................................................... 702

Contenido 21

20.5.1. Operacin con composicin de destilado constante .... 70320.5.2. Operacin a razn de reflujo constante ....................... 705

20.6. Destilacin por vapor directo ..................................................... 706Problemas ............................................................................................... 709

21. Absorcin .............................................................................................. 72121.1. Introduccin ............................................................................... 72121.2. Equilibrio lquido-gas ................................................................ 72221.3. Mecanismo de la absorcin ........................................................ 724

21.3.1. Teora de la doble pelcula ........................................... 72521.3.2. Ecuaciones bsicas de transferencia de materia .......... 72521.3.3. Velocidad de absorcin ................................................ 727

21.4. Columnas de relleno ................................................................... 73021.4.1. Seleccin del disolvente .............................................. 73021.4.2. Obtencin de datos de equilibrio ................................. 73121.4.3. Balance de materias ..................................................... 73121.4.4. Balance entlpico ........................................................ 73421.4.5. Eleccin del tipo de relleno. Clculo del dimetro de

la columna ................................................................... 73521.4.6. Clculo de altura de la columna .................................. 743

21.5. Columnas de platos .................................................................... 752Problemas. .............................................................................................. 755

22. Extraccin slido-lquido ..................................................................... 76722.1. Introduccin ............................................................................... 76722.2. Equilibrio slido-lquido ............................................................ 768

22.2.1. Retencin de disolucin y disolvente .......................... 77022.2.2. Diagramas triangular y rectangular ............................. 771

22.3. Mtodos de extraccin ............................................................... 77522.3.1. Contacto simple nico ................................................. 77622.3.2. Contacto simple repetido ............................................. 77922.3.3. Contacto mltiple en contracorriente .......................... 785

22.4. Aparatos de extraccin slido-lquido ....................................... 79222.4.1. Extractores de contacto simple .................................... 79222.4.2. Sistemas de mltiples contactos con lecho fijo ........... 79422.4.3. Extractores continuos de lecho mvil ......................... 79422.4.4. Otros tipos de extractores ............................................ 797

22.5. Aplicaciones a la industria alimentaria ...................................... 799Problemas ............................................................................................... 805

23. Adsorcin. Intercambio inico ............................................................ 81523.1. Introduccin ............................................................................... 815

23.1.1. Adsorcin .................................................................... 81523.1.2. Intercambio inico ....................................................... 815


23.2. Equilibrio de los procesos .......................................................... 81623.2.1. Equilibrio de adsorcin ............................................... 81623.2.2. Equilibrio de intercambio inico ................................. 818

23.3. Cintica de los procesos ............................................................. 81923.3.1. Cintica de adsorcin .................................................. 81923.3.2. Cintica de intercambio inico .................................... 820

23.4. Operacin por etapas .................................................................. 82123.4.1. Contacto simple nico ................................................. 82123.4.2. Contacto simple repetido ............................................. 82323.4.3. Contacto mltiple en contracorriente .......................... 824

23.5. Columnas de lecho mvil ........................................................... 82623.6. Columnas de lecho fijo .............................................................. 827

23.6.1. Columnas de lecho fijo con equilibrio entre fases ...... 82823.6.2. Mtodo deductivo de Rosen ........................................ 82823.6.3. Mtodo de la zona de cambio ...................................... 829

Problemas ............................................................................................... 837

Bibliografa .................................................................................................... 845

Apndice ......................................................................................................... 855

Contenido 23

1.1. Proceso

Recibe el nombre de proceso el conjunto de actividades u operaciones in-dustriales que tienden a modificar las propiedades de las materias primas, con elfin de obtener productos que sirvan para cubrir las necesidades de la sociedad.Estas modificaciones que se realizan a las materias primas naturales van enca-minadas a la obtencin de productos que tengan una mayor aceptacin en elmercado, o bien que presenten mayores posibilidades de almacenamiento otransporte.

El conjunto de necesidades primarias que deben satisfacer al ser humano, indi-vidualmente o en sociedad no ha variado excesivamente a lo largo de la historia,pues tanto la alimentacin, vestido y vivienda eran necesarios al hombre primitivocomo lo son al actual para su supervivencia como individuo.

La satisfaccin de estas necesidades se lleva a cabo empleando, transformandoy consumiendo los medios de los que se dispone en el entorno natural. En un pri-mer nivel, de escaso desarrollo social, eran utilizados los productos naturales di-rectamente, o con slo unas pequeas modificaciones fsicas artesanales.

Este sencillo esquema productivo fue cambiando a medida que se desarrollla sociedad, de forma que actualmente ya no se utilizan directamente las materiasprimas para satisfacer las necesidades, sino que stas son sometidas a transfor-maciones fsicas y qumicas, que las cambian en otros productos de propiedadesdiferentes.

De esta forma, no slo las materias primas son las que cubren las necesidadesdel consumidor, sino tambin aquellos productos derivados de la manipulacin dedichas materias primas.

1.2. Ingeniera de los Procesos Alimentarios

Por analoga con otras ramas de la ingeniera, se pueden dar distintas defini-ciones de la Ingeniera de los Procesos Alimentarios. As, segn una de estas de-finiciones, la Ingeniera de los Procesos Alimentarios comprende la parte de laactividad humana en que los conocimientos de las ciencias fsicas, naturales y

1Introduccin a las OperacionesUnitarias. Conceptos fundamentales

econmicas, se aplican de forma que a los productos agrcolas se les hace expe-rimentar una modificacin en su composicin, contenido energtico o estadofsico.

Tambin puede definirse como la ciencia de concebir, calcular, disear, hacerconstruir y hacer funcionar las instalaciones donde se efectan, a escala industrialy del modo ms econmico posible, los procesos de transformacin de los produc-tos agrcolas.

Por tanto, el ingeniero de las industrias alimentarias deber conocer los princi-pios bsicos de la Ingeniera de Procesos, y ser capaz de desarrollar nuevas tcni-cas para la elaboracin de los productos agrcolas. Asimismo, debe tener suficientecapacidad para poder disear los aparatos que deben utilizarse en un proceso deter-minado.

El objeto fundamental de la Ingeniera de los Procesos Alimentarios es estudiarlos principios y leyes que siguen las etapas fsicas, qumicas o bioqumicas de losdistintos procesos, a fin de poder abordar el diseo de los aparatos en los que se lle-van a cabo industrialmente dichas etapas de fabricacin. Luego, se deben encami-nar los estudios a los procesos de transformacin de materias primas agrcolas enproductos acabados, o que los conserven de tal modo que puedan permanecer sincambio alguno por largos perodos de tiempo.

1.3. Transformacin y comercializacin de productosagrcolas

Para que exista un funcionamiento eficiente en la comercializacin de los pro-ductos agrcolas deber ser fcil su manipulacin y colocacin en el mercado.

Por regla general, los productos obtenidos directamente del campo no puedencomercializarse, sino que deben sufrir ciertas transformaciones. Incluso aquellosproductos que se puedan utilizar directamente deben ser envasados adecuada-mente, teniendo en cuenta las necesidades de mercado. Los productos agrcolas seutilizan, generalmente, para fines alimentarios, por lo que se deben adecuar conve-nientemente para su uso.

En la manipulacin de los productos agrcolas uno de los problemas que sepresenta es el transporte de los productos desde el campo al consumidor, pues mu-chos de ellos tienen una vida corta, y debe pensarse en mtodos de tratamiento yconservacin de dichos productos para su uso posterior. Como ya se ha indicadoanteriormente, muchos de estos productos no pueden ser usados directamentepara la alimentacin, sino que sirven como materia prima para la obtencin de ali-mentos.

En los pases ms avanzados se tiende a la elaboracin de dichos productos enla zona de produccin, evitando de este modo que aquellos productos perecederosse deterioren durante el transporte desde la zona de produccin a la industria trans-formadora.


1.4. Diagramas de flujo. Descripcin de algunos procesosalimentarios

Los procesos alimentarios suelen esquematizarse mediante los denominadosdiagramas de flujo. Estos son esquemas de todo el proceso que indican las diferen-tes etapas de fabricacin, as como el flujo de materias o energa involucrados endicho proceso.

Existen distintos tipos de diagramas de flujo, siendo el ms utilizado el de blo-ques o rectngulos. En ellos cada etapa del proceso se representa por un rectn-gulo o bloque, que tiene entradas y salidas para indicar el sentido del flujo de ma-teriales. Sobre el rectngulo se suele escribir la etapa que representa.

Otros tipos de diagramas de flujo son los de equipo y de instrumentacin.En las figuras 1.1, 1.2 y 1.3 se presentan diagramas de flujo para algunos pro-

cesos alimentarios.

1.5. Rgimen estacionario y no estacionario

Se entiende que un sistema se encuentra en rgimen estacionario cuando to-das las variables fsicas permanecen constantes e invariables con el tiempo, encualquier punto del sistema, pero pueden ser distintas de unos puntos a otros.

Introduccin a las Operaciones Unitarias. Conceptos fundamentales 27

Figura 1.1. Obtencin de aceite de oliva.

Aceitunas

LAVADO

Aceite de prensa

Orujo agotado

Orujo

Aceite virgen Aceite de orujo

SECADO

PRENSADO

EXTRACCIN

CENTRIFUGACIN


Figura 1.2. Elaboracin de zumos concentrados de frutas.

Figura 1.3. Elaboracin de caf soluble.

Fruta

Zumo 12 Brix

Pulpa

Zumo 15 Brix

Zumo 70 Brix

TRITURACIN

PRENSADO

Caf tostado

Extracto de caf (solucin diluida)

MOLIENDA

EXTRACCIN

Extracto de caf (solucin concentrada)

EVAPORACIN

Caf soluble

SECADO

PRECONCENTRACIN

TRATAMIENTO ENZIMTICO

CLARIFICACIN

EVAPORACIN

ENFRIAMIENTO

ALMACENAMIENTO

Agua

Residuo slido

Agua

Vapor de agua

Agua caliente

Agua y aromas

Por el contrario, cuando las variables intensivas caractersticas de la operacinno slo pueden variar a travs del sistema en cada momento, sino que las corres-pondientes a cada punto del mismo varan con el tiempo, el rgimen se denominano estacionario.

Las variables fsicas a considerar pueden ser mecnicas o termodinmicas. En-tre las primeras cabe citar el caudal, velocidad, etc., mientras que las termodinmi-cas son la viscosidad, concentracin, temperatura.

1.6. Operaciones discontinuas, continuas y semicontinuas

En los procesos de la industria, las operaciones llevadas a cabo pueden reali-zarse de diferentes modos. Se entiende como operacin discontinua aquella enla que se carga la materia prima en el aparato, y despus de realizarse la transfor-macin requerida se descargan los productos obtenidos. Estas operaciones, lla-madas tambin por cargas o intermitentes, se realizan en una serie sucesiva deetapas:

1. Carga del aparato con las materias primas.2. Preparacin de las condiciones para la transformacin.3. Transformacin requerida.4. Descarga de los productos.5. Limpieza del aparato.La operacin en discontinuo se desarrolla en rgimen no estacionario, pues sus

propiedades intensivas varan con el tiempo. Un ejemplo de este modo de operar esel prensado de las semillas oleaginosas para obtener aceite.

Las operaciones continuas son aquellas en las que las etapas de carga, trans-formacin y descarga se realizan simultneamente. La limpieza del aparato seefecta cada cierto tiempo, dependiendo de la naturaleza de la transformacin y delas materias a tratar. Para realizar la limpieza debe pararse la produccin. Las ope-raciones continuas se desarrollan en rgimen estacionario, de modo que las varia-bles intensivas caractersticas de la operacin pueden variar en cada punto del sis-tema, pero las que se dan en cada punto no varan con el tiempo. En realidad esdifcil que se llegue a un estado de rgimen estacionario absoluto, pues puede ha-ber ciertas fluctuaciones inevitables. Un ejemplo de operacin en continuo puedeser la rectificacin de mezclas de alcohol-agua.

En algunos casos es muy difcil llegar a operar en continuo, y slo se llega deun modo aproximado. Esta forma de operar se denomina semicontinua. Puedeocurrir que algunos materiales se carguen en el aparato y permanezcan en l ciertotiempo, de forma discontinua, mientras que otros entran o salen continuamente. Devez en cuando se necesitar descargar aquellos materiales que se vayan acumu-lando. As, en la extraccin de aceite por disolventes, se carga la harina y se ali-menta de forma continua el disolvente; al cabo de cierto tiempo la harina se agotade aceite y debe reemplazarse.


Las distintas formas de operar presentan ventajas y desventajas, citndose acontinuacin las correspondientes a operacin en continuo.

Ventajas de operacin en continuo:1. Se eliminan las etapas de carga y descarga.2. Permite automatizar la operacin, reduciendo la mano de obra.3. La composicin de los productos es ms uniforme.4. Presenta un mejor aprovechamiento trmico.Desventajas de operacin en continuo:1. Las materias primas deben poseer una composicin uniforme para evitar

las fluctuaciones de la operacin.2. La puesta en marcha de la operacin suele ser costosa, por lo que deben

evitarse las paradas.3. Las fluctuaciones en la demanda de producto lleva consigo el que deba

disponerse de cantidades considerables de materias primas y productos enalmacn.

4. Debido a la automatizacin de la operacin el equipo es ms costoso y de-licado.

En las puestas en marcha y en las paradas de la operacin en continuo, statranscurre de forma no estacionaria, pero una vez alcanzado el pleno funciona-miento puede considerarse que se ha llegado a rgimen estacionario. Aunque estono es exactamente cierto pues puede haber fluctuaciones muchas veces debidasa las variaciones existentes en la composicin de las materias primas y tambin amodificaciones de agentes externos.

Cuando se elige la forma de operacin, debern tenerse en cuenta las ventajas einconvenientes de cada una de ellas. Sin embargo, cuando se requieran produccio-nes bajas, se trabajar discontinuamente, y en caso que quieran obtenerse produc-ciones elevadas resulta ms rentable operar una instalacin en continuo.

1.7. Las Operaciones Unitarias. Clasificacin

Analizando los diagramas de flujo de los distintos procesos descritos en unapartado anterior, se observa que algunas de las etapas se repiten en todos ellos.Cada una de estas etapas se denomina Operacin Bsica o Unitaria, y son comunesa un gran nmero de procesos industriales. Las operaciones individuales tienentcnicas comunes y se basan en los mismos procesos cientficos, esto hace que elestudio de estas operaciones se unifique y el tratamiento de todos los procesos re-sulte ms sencillo.

Dentro de las Operaciones Unitarias pueden distinguirse diferentes tipos, de-pendiendo de la naturaleza de la transformacin llevada a cabo, as cabe distinguiretapas fsicas, qumicas y bioqumicas.

a) Etapas fsicas: Molienda, Tamizado, Mezcla, Fluidizacin, Sedimenta-cin, Flotacin, Filtracin, Rectificacin, Absorcin, Extraccin, Adsor-cin, Intercambio de calor, Evaporacin, Secado, etc.


b) Etapas qumicas: Refinado, Pelado qumico.c) Etapas bioqumicas: Fermentacin, Esterilizacin, Pasteurizacin, Pelado

enzimtico.Por tanto, el conjunto de etapas fsicas, qumicas y bioqumicas que tienen lu-

gar en los procesos de transformacin de los productos agrcolas constituyen lasdenominadas Operaciones Unitarias de las Industrias Alimentarias. La finalidad delas Operaciones Unitarias es la separacin de dos o ms sustancias presentes enuna mezcla, o bien el intercambio de una propiedad debido a un gradiente. La se-paracin se logra mediante un agente separador, que es distinto dependiendo de lapropiedad que se transfiera.

Segn la propiedad transferida, las Operaciones Unitarias se pueden clasificar endistintos grupos, pues los cambios posibles que puede experimentar un cuerpo vie-nen definidos por la variacin que experimenta en su masa, energa o su velocidad.

As, las Operaciones Unitarias se clasifican segn el esquema: Operaciones Unitarias de transferencia de materia. Operaciones Unitarias de transmisin de calor. Operaciones Unitarias de transporte de cantidad de movimiento.Adems de las Operaciones Unitarias englobadas en cada uno de los apartados

mencionados, existen aquellas de transferencia simultnea de calor y materia, yotras Operaciones que no se pueden englobar en ninguno de estos apartados, y quereciben el nombre de complementarias.

Todas las Operaciones Unitarias que se engloban en estos apartados se encuen-tran en procesos fsicos, pero se pueden considerar ciertas operaciones que inclu-yen tambin reacciones qumicas.

1.7.1. Operaciones Unitarias de transporte de cantidad de movimiento

En estas operaciones se estudian los procesos en que se ponen en contacto dosfases, cuya velocidad es distinta. Las diferentes operaciones incluidas en este apar-tado se suelen dividir en tres grandes grupos: Circulacin interna de fluidos, circu-lacin externa y movimiento de slidos en el seno de fluidos.

Circulacin interna de fluidos: Estudio del movimiento de fluidos por el inte-rior de tuberas. Tambin se incluye el estudio de los aparatos utilizados en la im-pulsin de los fluidos (bombas, compresores, soplantes y ventiladores) y los meca-nismos utilizados en la medicin de las propiedades propias de los fluidos(diafragmas, venturmetros, rotmetros, etc.).

Circulacin externa de fluidos: El fluido circula por el exterior de un slido.Se incluyen las operaciones de flujo de fluidos a travs de lechos porosos fijos, le-chos fluidizados (Fluidizacin) y transporte neumtico.

Movimiento de slidos en el seno de fluidos: Es la base de la separacin de unslido que se halla en el seno de un fluido. Dentro de este tipo de separaciones seincluyen las siguientes operaciones: Sedimentacin, Filtracin y Ultrafiltracin,entre otras.


1.7.2. Operaciones Unitarias de transferencia de materia

Estas operaciones estn controladas por la difusin de un componente en elseno de una mezcla. A continuacin se realiza una breve exposicin de las distintasoperaciones incluidas en este grupo.

Destilacin: Separacin de dos o ms componentes aprovechando la diferenciade presiones.

Absorcin: de un componente de una mezcla gaseosa por un lquido, segn lasolubilidad del gas en el lquido: puede ser con o sin reaccin qumica. El procesocontrario es la desorcin.

Extraccin: Se basa en la disolucin de una mezcla (lquida o slida) en un di-solvente selectivo. Puede ser: Lquido-Lquido o Slido-Lquido. Esta ltimatambin se la denomina, Lavado, Lixiviacin, etc.

Adsorcin: Tambin denominada Sorcin. Consiste en la eliminacin de uno oms componentes de un fluido (lquido o gas) por retencin en la superficie de unslido.

Intercambio Inico: Sustitucin de uno o varios iones de una disolucin porotros del agente intercambiador.

1.7.3. Operaciones Unitarias de transmisin de calor

Estas Operaciones estn controladas por los gradientes de temperatura. Depen-den del mecanismo con que se transfiere el calor, distinguindose transmisin decalor por conduccin, conveccin y radiacin.

Conduccin: En medios materiales continuos, el calor fluye en sentido decre-ciente de temperaturas, y no existe movimiento macroscpico de materia.

Conveccin: El flujo entlpico asociado a un fluido en movimiento se le deno-mina flujo convectivo de calor. La conveccin puede ser natural o forzada.

Radiacin: Transmisin de energa mediante ondas electromagnticas. No senecesita un medio material para su transmisin.

Basados en estos mecanismos de transmisin de calor se estudian los Trata-mientos Trmicos (Esterilizacin y Pasteurizacin), Evaporacin, Intercambiado-res de Calor, Hornos, Placas solares, etc.

1.7.4. Operaciones Unitarias de transferencia simultnea de materia-calor

En estas operaciones existe a la vez un gradiente de concentracin y de tempe-ratura.

Humidificacin y Deshumidificacin: Tienen tres finalidades: Humidifica-cin y deshumidificacin de un gas y enfriamiento de lquidos.

Cristalizacin: Formacin de partculas slidas cristalinas en el seno de unafase homognea lquida.


Deshidratacin: Eliminacin de un lquido contenido en el seno de un slido.La aplicacin de calor hace pasar el lquido, contenido en el slido, a fase vapor. Laliofilizacin se basa en eliminar el lquido, que se encuentra en fase slida, por su-blimacin a estado vapor.

1.7.5. Operaciones Unitarias complementarias

Existen una serie de operaciones que no se incluyen en esta clasificacin, porno basarse en ninguno de los fenmenos de transporte citados anteriormente. As,dentro de este grupo se incluyen la Trituracin, Molienda, Tamizado y Mez-clado de slidos y pastas, etc.

1.8. Planteamiento matemtico de los problemas

Los problemas que se plantean en el estudio de las Operaciones Unitarias sonmuy diversos, aunque en todas ellas se cumplen las leyes de conservacin (materia,energa, cantidad de movimiento y estequiomtricas) en las reacciones qumicas.

El aplicar las leyes de conservacin a un problema determinado es efectuar unbalance de la propiedad a estudiar en dicho problema. De forma general, la ex-presin de los balances de materia, energa y cantidad de movimiento, referidos ala unidad de tiempo, se pueden expresar como:

= + Es decir, la entrada al sistema de la propiedad considerada es igual a la que sale

ms la que se acumula. De forma esquemtica:

E = S + A

En los casos que exista reaccin qumica, al realizar un balance para un com-ponente, puede aparecer un trmino adicional de generacin. En estos casos la ex-presin del balance ser:

E + G = S + A

Al resolver un problema dado se presentan cierto nmero de incgnitas o va-riables (S), y de los balances se obtienen un conjunto de relaciones o ecuaciones(R). Segn sea el valor de S y R se pueden presentar los siguientes casos:

Si S < R El problema est mal planteado o se repite alguna ecuacin. Si S = R El problema presenta una sola solucin. Si S > R Se pueden dar varias soluciones, encontrndose la mejor solu-

cin optimizando el proceso. Existen F = S R variables de diseo.

Propiedad quese acumula

Propiedad quesale del sistema

Propiedad queentra al sistema


Los diferentes tipos de problemas que se presentan dependen del tipo de ecua-ciones que se obtengan al efectuar los balances correspondientes. As, se tienen:

Ecuaciones algebraicas: De fcil solucin matemtica, obtenindose la so-lucin por mtodos analticos.

Ecuaciones diferenciales: Que suelen obtenerse en procesos continuos noestacionarios. La resolucin del modelo matemtico planteado con los balan-ces puede realizarse mediante mtodos analticos o aproximados. En algunoscasos las ecuaciones diferenciales planteadas presentan solucin analtica.Sin embargo, en aquellos casos que no es posible solucionar analticamenteel modelo matemtico, es necesario recurrir a mtodos aproximados de inte-gracin numrica (clculo digital) o grfica (clculo analgico).

Ecuaciones en diferencias finitas: Se resuelven mediante computadorasanalgicas, dndose el resultado en forma grfica. En algunos casos puedeobtenerse la solucin exacta por mtodos numricos.


2.1. Sistemas de magnitudes y unidades

El valor de cualquier magnitud fsica se expresa como el producto de dos fac-tores, siendo uno de ellos el valor de la unidad y el otro el nmero de unidades.

Las propiedades fsicas de un sistema estn relacionadas entre s mediante unaserie de leyes fsicas y mecnicas. Algunas magnitudes pueden considerarse comofundamentales y otras como derivadas. Las magnitudes fundamentales varan deun sistema a otro.

Generalmente, se toman como fundamentales el tiempo y la longitud. Los sis-temas de unidades necesitan una tercera magnitud fundamental, que puede ser lamasa o la fuerza. Aquellos sistemas de unidades que tienen como tercera magnitudfundamental la masa reciben el nombre de sistemas absolutos de unidades, mien-tras que los que tienen la fuerza como unidad fundamental se les denomina siste-mas tcnicos de unidades. Adems, existen los llamados sistemas ingenieriles deunidades, que consideran como magnitudes fundamentales la longitud, el tiempo,la masa y la fuerza.

2.1.1. Sistemas absolutos de unidades

Se consideran tres sistemas absolutos de unidades: el cegesimal (CGS), elGiorgi (MKS) y el Ingls (FPS). En todos ellos, las magnitudes fundamentales sonlongitud, masa y tiempo. En la tabla 2.1 se observan las distintas unidades para lostres sistemas mencionados. En estos tres sistemas la fuerza es una unidad derivada.A partir de las tres unidades fundamentales se definen las derivadas. En la tabla 2.2se detallan las unidades de fuerza y energa.

2Sistemas de unidades.Anlisis dimensional y semejanza

Tabla 2.1. Sistemas absolutos de unidades

SISTEMAMagnitud

Cegesimal (CGS) Giorgi (MKS) Ingls (FPS)

Longitud (L) 1 centmetro (cm) 1 metro (m) 1 pie (ft)Masa (M) 1 gramo (g) 1 kilogramo (kg) 1 libra masa (lb)Tiempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s) 1 segundo (s)

Cuando se trabaja con magnitudes calorficas, es conveniente definir la unidadde temperatura. Para los sistemas CGS y MKS la unidad de temperatura es el gradocentgrado (C), mientras que para el ingls, el grado Farenheit (F).

Conviene resaltar que las unidades de calor se definen independientemente delas de trabajo. Ms adelante se ver que para relacionar el trabajo con el calor esnecesario un factor denominado equivalente mecnico del calor.

2.1.2. Sistemas tcnicos de unidades

Entre los sistemas tcnicos ms utilizados se encuentran el mtrico y el ingls.En ambos, se toman como magnitudes fundamentales la longitud, la fuerza y eltiempo. Con respecto a la temperatura, la unidad del sistema mtrico es el gradocentgrado, y la del ingls el Farenheit. En la tabla 2.3 se muestran las unidadesfundamentales de los sistemas tcnicos mencionados.

En los sistemas tcnicos la masa es una magnitud derivada, que en cada uno delos sistemas ser:

Sistema mtrico: 1 UTM (unidad tcnica de masa). Sistema ingls: 1 slug.


Tabla 2.2. Unidades derivadas de sistemas absolutos

SISTEMAMagnitud

Cegesimal (CGS) Giorgi (MKS) Ingls (FPS)

Fuerza 1 dina 1 Newton (N) 1 poundalEnerga 1 ergio 1 Julio (J) 1 (libra) (pie)

Tabla 2.3. Sistemas tcnicos de unidades

SISTEMAMagnitud

Mtrico Ingls

Longitud (L) 1 metro (m) 1 pie (ft)Fuerza (F) 1 kilogramo fuerza (kp o kgf) 1 libra fuerza (lbf)Tiempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s)Temperatura () 1 grado centgrado (C) 1 grado Farenheit (F)

2.1.3. Sistemas ingenieriles de unidades

Hasta ahora se han visto sistemas de unidades en los que se consideran tresmagnitudes fundamentales. Sin embargo, en los sistemas ingenieriles se tomancuatro: longitud, tiempo, masa y fuerza. En la tabla 2.4 se recogen las distintas uni-dades para los sistemas ingenieriles mtrico e ingls.

Al definirse como fundamentales la masa y la fuerza, se podra llegar a una incon-gruencia, pues estas magnitudes se hallan relacionadas por el principio fundamentalde la dinmica. Para evitar esta incompatibilidad, debe introducirse un factor de pro-porcionalidad o correccin (gC). De forma que la ecuacin de dicho principio ser:

gC Fuerza = Masa Aceleracin

Obsrvese que gC posee unidades de Masa Aceleracin/Fuerza. El valor deeste factor de correccin en los sistemas ingenieriles es:

Sistema mtrico: gC = 9,81 = 9,81

Sistema ingls: gC = 32,17 = 32,17

2.1.4. Sistema Internacional de unidades (SI)

Al incorporarse los pases anglosajones al sistema mtrico decimal, resultconveniente unificar el uso de los sistemas de unidades. Para ello, se adopt comosistema internacional el MKS, que pas a denominarse SI. Aunque es un sistemacuya obligatoriedad es reconocida, an se siguen utilizando otros; pero ya muchasrevistas y libros de Ingeniera se editan slo en SI, esto hace que cada vez se vayaimponiendo en mayor medida sobre los otros sistemas de unidades. En la tabla 2.5

lb ftlbf s2

(lbmasa) (pie)(lbfuerza) (segundo)2

kg mkgf s2

(kgmasa) (metro)(kgfuerza) (segundo)2

Sistemas de unidades. Anlisis dimensional y semejanza 37

Tabla 2.4. Sistemas ingenieriles de unidades

SISTEMAMagnitud

Mtrico Ingls

Longitud (L) 1 metro (m) 1 pie (ft)Masa (M) 1 kilogramo (kg) 1 libra masa (lb)Fuerza (F) 1 kilogramo fuerza (kp o kgf) 1 libra fuerza (lbf)Tiempo (T) 1 segundo (s) 1 segundo (s)Temperatura () 1 grado centgrado (C) 1 grado Farenheit (F)

Tabla 2.5. Sistema internacional de unidades

Magnitud Unidad Abreviatura Dimensin

Longitud metro m LMasa kilogramo kg MTiempo segundo s TFuerza Newton N MLT2

Energa Julio J ML2T2

Potencia Vatio W ML2T3

Presin Pascal Pa ML1T2

Frecuencia Hertzio Hz T1

se dan las unidades fundamentales de este sistema, y tambin algunas suplemen-tarias y derivadas.

A veces, la unidad elegida resulta demasiado grande o demasiado pequea, porlo que es necesario adoptar prefijos que indiquen los mltiplos y submltiplos de launidad fundamental. Generalmente, se aconseja que estos mltiplos o submltiplosse utilicen en forma de potencias de 103. A continuacin se da una relacin de losmltiplos y submltiplos ms utilizados, as como el nombre y smbolo respectivode cada uno de ellos.


Prefijo Factor de multiplicacin Smbolo SI

tera 1012 Tgiga 109 Gmega 106 Mkilo 103 khecto 102 hdeca 101 dadeci 101 dcenti 102 cmili 103 mmicro 106 nano 109 npico 1012 pfemto 1015 fatto 1018 a

Debe remarcarse el kilo (103) como mltiplo, que hace que la unidad funda-mental de masa el kilogramo resulte de nombre inadecuado, ya que en espa-ol, la palabra kilo se suele utilizar para designar el kilogramo.

Es interesante resaltar que en muchos problemas se utilizan unidades molarespara expresar la concentracin. La unidad molar ms utilizada es el mol, que se de-fine como la cantidad de sustancia cuya masa en gramos es numricamente igual asu masa molecular.

2.1.5. Unidades trmicas

Como es sabido, el calor es una forma de energa, de este modo la dimensinde ambos es ML2T2. Sin embargo, en algunos sistemas se introduce la temperaturacomo dimensin. En estos casos, la energa calorfica se puede expresar como pro-porcional al producto de la masa por la temperatura. La constante de proporciona-lidad es el calor especfico, que depende del material, y vara de unos a otros. Estohace que se defina la cantidad de calor en funcin del material. Se toma como refe-rencia el agua, y el calor especfico resulta la unidad, con lo que:

Calor = Masa Calor especfico Temperatura

Segn el sistema de unidades adoptado, la unidad de calor es distinta. As: Sistema mtrico:

Calora: calor necesario para elevar la temperatura de un gramo de aguade 14,5 C hasta 15,5 C.

Sistemas ingleses: Btu (British thermal unit): cantidad de calor necesario para elevar la tem-

peratura de una libra de agua en un grado Farenheit (de 60 F a 61 F). Chu (Centigrad heat unit o libra calora): cantidad de calor necesario para

elevar la temperatura de una libra de agua en un grado centgrado. Sistema Internacional:

Al ser el calor una forma de energa, su unidad es el julio. La calora puede definirse en funcin del Julio, resultando:

1 calora = 4,185 julios

Al ser el calor y trabajo dos formas de energa, es necesario definir un factorque los relacione. Para esto se adopta el denominado equivalente mecnico delcalor (Q), de forma que:

Q Energa calorfica = Energa mecnica

con lo que:

Q = = = L2T21

2.1.6. Conversin de unidades

La conversin de unidades de un sistema a otro se realiza fcilmente si las can-tidades se expresan en funcin de las unidades fundamentales de masa, longitud,tiempo y temperatura. Para la conversin de las distintas unidades se utilizan losllamados factores de conversin. El factor de conversin es el nmero de unida-des de un cierto sistema, contenido en una unidad de la magnitud correspondientede otro sistema. Los factores de conversin ms comunes para las distintas magni-tudes se dan en la tabla 2.6.

En la conversin de unidades debe distinguirse los casos en que se convierte nica-mente valores numricos de aquellos en los que la conversin debe ser de una frmula.

a) Conversin de valores numricos. Cuando se requiere convertir valoresnumricos de una unidad a otra, se utilizan directamente las equivalenciasentre ellas, dadas por los factores de conversin.

b) Conversin de unidades de una frmula. En estos casos, las constantes queaparecen en la frmula suelen tener dimensiones. Para poder aplicar la fr-mula en otras unidades distintas a las dadas, slo debe convertirse la constantede la frmula. En aquellos casos en que la constante sea adimensional, la fr-mula puede aplicarse directamente en cualquier sistema de unidades.

MLT2 L

MEnerga mecnicaEnerga calorfica



Tabla 2.6. Factores de conversin

Masa:1 lb 0,4536 kg

(1/32,2) slugLongitud:

1 pulgada (inch) 2,54 cm1 pie (ft) 0,3048 m1 milla 1.609 m

Superficie:1 pulgada cuadrada (sq inch) 645,2 mm2

1 pie cuadrado (sq ft) 0,09290 m2

Volumen y capacidad:1 pie cbico (cu ft) 0,02832 m3

1 galn (imperial) 4,546 litros1 galn (USA) 3,786 litros1 barril 159,241 litros

Tiempo:1 min 60 s1 h 3.600 s1 da 86.400 s

Diferencia de temperaturas:1 C = 1 K 1,8 F

Fuerza:1 poundal (pdl) 0,138 N1 lbf 4,44 N

4,44 105 dina 32,2 pdl

1 dina 105 N

Presin:1 atmsfera tcnica (at) 1 kgf/cm2

14,22 psi1 bar 100 kPa1 mm Hg (tor) 133 Pa

13,59 kgf/cm2

1 psi (lb/sq inch) 703 kgf/m2

Energa, calor y potencia:1 kilocalora (kcal) 4.185 J

426,7 kgm 1 erg 107 J1 Btu 1.055 J 1 Chu 0,454 kcal

1,8 Btu1 caballo de vapor (CV) 0,736 kW

75 kgm/s1 caballo de vapor (horse power, HP) 0,746 kW

33.000 ft lb/min 76,04 kgm/s

2.2. Anlisis dimensional

La aplicacin de ecuaciones deducidas de las leyes fsicas, es uno de los mtodosque pueden utilizarse en la resolucin de un problema determinado. Sin embargo,puede ocurrir que el obtener ecuaciones de tal tipo sea difcil, por lo que en algunoscasos se requerir la utilizacin de ecuaciones obtenidas de forma emprica.

En el primer caso, las ecuaciones son homogneas desde el punto de vista di-mensional. Es decir, sus trminos poseen las mismas dimensiones, y adems, lasposibles constantes que puedan aparecer sern adimensionales. Este tipo de ecua-ciones pueden utilizarse en cualquier sistema de unidades, siempre que se usenunidades coherentes para las mismas magnitudes. Por el contrario, las ecuacionesobtenidas experimentalmente pueden no resultar homogneas dimensionalmente,siendo normal la utilizacin de distintas unidades para una misma magnitud.

El objetivo del anlisis dimensional es relacionar las distintas variables que in-tervienen en los procesos fsicos. Por ello se agrupan las variables en grupos o ra-zones adimensionales, que permiten encontrar una relacin entre las diferentes va-riables. En la tabla 2.7 se dan los mdulos adimensionales que usualmente seencuentran en problemas ingenieriles. El anlisis dimensional es un mtodo anal-tico en el que, conocidas las variables que intervienen en un fenmeno fsico, se es-tablece una ecuacin que las ligue. Es decir, el anlisis dimensional proporcionauna relacin general entre las variables, que debe completarse con la ayuda de laexperimentacin para llegar a obtener la ecuacin final que liga todas las variables.


Energa, calor y potencia:1 kilovatio (kW) 1.000 J/s

1,359 CV1 kilovatio hora (kWh) 3,6 106 J

860 kcal1 atm.litro 0,0242 kcal

10,333 kgmViscosidad:

1 poise (P) 0,1 Pas1 libra/(fth) 0,414 mPas1 stoke (St) 104 m2/s

Flujo msico:1 lb/h 0,126 g/s1 ton/h 0,282 kg/s1 lb/(ft2h) 1,356 g/(sm2)

Magnitudes trmicas:1 Btu/(hft2) 3,155 W/m2

1 Btu/(hft2F) 5,678 W/(m2K)1 Btu/lb 2,326 kJ/kg1 Btu/(lbF) 4,187 kJ/(kgK)1 Btu/(hftF) 1,731 W/(mK)

Tabla 2.6. Factores de conversin (continuacin)


Tabla 2.7. Mdulos adimensionales

Mdulo Expresin Equivalencia

Biot (Bi)

Bodenstein (Bo) (Re) (Sc)

Euler (Eu)

Froude (Fr)

Graetz (Gz) (Re) (Pr) (d/L)

Grashof (Gr)

Hedstrom (He)

Nusselt (Nu)

Peclet (Pe) (Re) (Pr)

Potencia (Po)

Prandtl (Pr)

Reynolds (Re)

Schmidt (Sc)

Sherwood (Sh)

Stanton (St) (Nu) [(Re) (Pr)]1

Weber (We) l v2

hCp v

kg d

D

D

v d

Cp

k

Pdp N 5

v d Cp

k

h d

k

d 0

g d3 T 2

2

v d2 Cp

k L

dp N

g

P

v2

v d

D

h d

k

2.2.1. Teorema de Buckingham

Se define como factor todo trmino que no tiene dimensiones. Segn Bridg-man, los principios fundamentales del anlisis dimensional son tres:

a) Todas las magnitudes fsicas pueden expresarse como funciones potencia-les de un nmero reducido de magnitudes fundamentales.

b) Las ecuaciones que relacionan magnitudes fsicas son homogneas dimen-sionalmente. Es decir, las dimensiones de todos sus trminos han de seriguales.

c) Si una ecuacin es dimensionalmente homognea puede reducirse a unarelacin entre una serie completa de razones o grupos adimensionales. Enestas razones o grupos figuran todas las variables fsicas que influyen en elfenmeno, las constantes dimensionales que puedan corresponder al sis-tema de unidades elegido y las constantes universales relacionadas con elfenmeno que se trate.

Este principio se denomina teorema de Buckingham. Se entiende que unaserie de grupos adimensionales es completa si todos ellos son independientes entres, y cualquier otro grupo adimensional que pueda formarse ser combinacin dedos o ms de los grupos de la serie completa.

Como consecuencia del teorema de Buckingham si la serie q1, q2, , qn es elconjunto de n variables independientes que definen un problema o un fenmeno f-sico, existe siempre una funcin explcita del tipo:

f (q1, q2, , qn) = 0 [2.1]

De esta forma, con la totalidad de las variables pueden definirse un nmero defactores adimensionales , tal que:

1 = q1a1 , q2

a2 , , qnan

2 = q1b1 , q2

b2 , , qnbn

i = q1p1 , q2

p2 , , qnpn

se obtienen i factores , en la que cada uno de ellos es funcin de las variables ele-vadas a unos exponentes que pueden ser positivos, negativos o nulos. El nmero defactores adimensionales ser i, donde: i = n k, siendo n el nmero de variablesindependientes y k es la caracterstica de la matriz formada por los exponentes delas ecuaciones dimensionales de las distintas variables y constantes con relacin aun sistema de unidades definido.

Estos i factores adimensionales 1, 2, , i estarn relacionados medianteuna funcin:

f (1, 2, , i) = 0 [2.2]


que puede aplicarse en cualquier sistema de unidades. A veces resulta difcil en-contrar una relacin de este tipo, y se recurre a una representacin grfica que liguelos distintos parmetros.

2.2.2. Mtodos de anlisis dimensional

Los principales mtodos del anlisis dimensional son tres: Mtodo de Buckingham. Mtodo de Rayleigh. Mtodo de las ecuaciones diferenciales.A continuacin se estudian con detalle los dos primeros, y se describe breve-

mente el tercero.

2.2.2.1. Mtodo de Buckingham

En primer lugar se relacionan las variables que pueden influir en el fen-meno que se estudia. Se establecen las ecuaciones dimensionales de las diferen-tes variables, as como las de las constantes dimensionales. En el caso que ha-yan variables con las mismas dimensiones, slo se escoge una de ellas. Lasrestantes se dividen por sta, obtenindose grupos adimensionales que se aadi-rn al final, al total obtenido. Estas razones adimensionales son los denomina-dos factores de forma.

Seguidamente se forma la matriz constituida por los exponentes de las magni-tudes correspondientes a las distintas variables y constantes adimensionales. As,para el caso de las n variables q1, q2, , qn y la constante gC:

q1, q2, , qn. gC

LMFT

La caracterstica k se determina de esta matriz. Este valor representa el mnimonmero de variables y constantes que no forman grupo adimensional.

A continuacin se forman los i grupos o factores adimensionales. Cadagrupo estar formado por el producto de k + 1 factores q, siendo cada factor unavariable o constante adimensional, elevados a exponentes, que deben determi-narse. De todos estos factores adimensionales, habr k que sern las variablesque hacen que la matriz sea de caracterstica k, adems de cada una de las n-kvariables restantes con exponente unidad. De esta forma, los factores sern:


Matriz de los exponentes de las magnitudes para lasvariables y constantes dimensionales

1 = q1a1 q2

a2 , , qkak qk+1

2 = q1b1 q2

b2 , , qkbk qk+2

i = q1p1 q2

p2 , , qkpk qk+in

En este conjunto de ecuaciones las magnitudes q1, q2, , qk, variables y cons-tantes, contienen entre todas la totalidad de magnitudes fundamentales del sistemade unidades elegido. El conjunto de exponentes a1, b1, , p1; a2, b2, , p2, etc., de-ben ser tales que los grupos carezcan de dimensiones.

Como los factores carecen de dimensiones, se ponen las magnitudes de cadavariable en los distintos grupos adimensionales agrupando a continuacin cadamagnitud, de forma que quede elevada a un exponente, combinacin de los expo-nentes de las variables en la que aparece esta magnitud. Esta combinacin de ex-ponentes se iguala a cero, obtenindose para cada factor un sistema de k ecuacio-nes y k incgnitas. Se resuelven estos sistemas, lo que permite determinar losexponentes de las variables que forman cada grupo adimensional.

Con estos i factores y los que puedan haber de factores de forma, se puede lle-gar a obtener la funcin:

f (1, 2, ..., i, ...) = 0 [2.3]

En algunas ocasiones no hay necesidad de formar la matriz de los exponentes ydeterminar su caracterstica, pues por simple observacin puede encontrarse el n-mero mnimo de variables y constantes que no forman grupo adimensional.

2.2.2.2. Mtodo de Rayleigh

Como en el caso anterior, inicialmente deben identificarse las variables fsicasque intervienen en el proceso. A continuacin una de las variables, generalmente lade mayor inters, se expresa analticamente como una funcin potencial de todaslas dems:

q1 = K q2a2 q3

a3 qnan [2.4]

donde K es una constante adimensional.Se sustituyen las variables y posibles constantes dimensionales por las magni-

tudes de un sistema de unidades, aplicando las condiciones de homogeneidad paracada magnitud. De esta forma, se obtienen tantas ecuaciones como magnitudesfundamentales tenga el sistema de unidades escogido. Si es p el nmero de talesmagnitudes, el nmero de incgnitas en este sistema de ecuaciones ser n-1:

Ecuaciones pIncgnitas n-1 exponentes


Como existen mayor nmero de incgnitas que de ecuaciones, se eligen (n-1)-p exponentes, y los restantes se ponen en funcin de ellos. De esta forma, to-dos los exponentes se pueden poner en funcin de estos (n-1)-p elegidos, que sesustituyen en la ecuacin anterior. Se agrupan las variables y constantes dimensio-nales de forma que resulten grupos elevados al mismo exponente. As, se obtienen(n-1)-p grupos elevados a los exponentes que se han escogido, ms un grupo cuyoexponente es la unidad. De este modo, se obtiene la relacin entre grupos adimen-sionales que se buscaba:

1 = f (2, 3, ..., i) [2.5]

2.2.2.3. Mtodo de las ecuaciones diferenciales

En este mtodo se parte de las ecuaciones diferenciales de conservacin decantidad de movimiento, materia y energa, que puedan aplicarse a un determinadoproblema, as como de los que puedan obtenerse a partir de las condiciones lmite.

Como en este caso se parte de ecuaciones que son dimensionalmente homog-neas, si en cada una de ellas se dividen todos sus trminos por uno cualquiera deellos, se obtienen tantos grupos adimensionales como trminos tena la ecuacinmenos uno.

La ventaja de este mtodo frente a los anteriores es que es menos probable quese omitan variables que puedan influir en un determinado problema. Cosa que sloocurrira en el caso de que la ecuacin utilizada fuera incorrecta. Adems, propor-ciona un acercamiento ms intuitivo al significado fsico de los grupos adimensio-nales resultantes (Dickey y Fenic, 1976).

2.3. Teora de la semejanza

Para el diseo y construccin de equipos industriales, existen dos caminos po-sibles, que pasan por la construccin de modelos. Estos modelos pueden ser mate-mticos o empricos. Al equipo industrial se le denomina prototipo.

Modelos matemticos: A partir de aspectos tericos es posible, a veces, di-sear y construir directamente un prototipo, aplicable a escala industrial. Enla prctica esto se presenta en contadas ocasiones.

Modelos empricos: En estos casos se necesita de experimentacin en mo-delos reducidos o maquetas, siguiendo las directrices dadas por el anlisis di-mensional.

A partir de los valores encontrados en el modelo, se calculan los valores delprototipo. Para pasar del modelo al prototipo se deben cumplir una serie de crite-rios de semejanza.

La diferencia primordial entre los dos modelos estriba en que el matemtico esaplicable a cualquier escala, mientras que, para la aplicacin del modelo emprico sedeben cump

Operaciones unitarias en la ingenieria de alimentos a.ibarz - g. barbosa-canovas. mejor

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