Ortiz Berrocal- Resistencia de Materiales

i.:.

.. t:.~aS

RESISTENCIADE

MATERIALES

LUIS ORTIZ BERROCAL

Catedrtico de Elasticidad y Resistencia de MatenaiesEscuela Tcnica Superior de Ingenieros Industriales

Universidad Politcnica de Madrid

McGraw-HillMADRID. BUENOS AIRES. CARACAS. GUATEMALA LISBOA. MEXICO NUEVA YORK

PAN AMA SAN JUAN. SANTAFE DE BOGOTA SANTIAGO. SAo PAULOAUCKLAND HAMBURGO LaNaRES. MILAN MONTREAL NUEVA DELHI

PARIS SAN PRANCISCG SIDNEY SINGAPUR ST. :"OUIS TCK:O TORONTe

Presentacin

El contenido de esta obra, al igual qu;~~~stra Elasticidad, est encuadrado en el de uncurso de Elasticidad y Resistenda de Materiales para alumnos de esta disciplina enEscuelas Tcnicas. Aunque stase puede considerar como una continuacin de aqulla en eldesarrollo de la asignatura qlf impartimos en la Escuela Tcnica Superior de IngenierosIndustriales de Madrid, por ff#tender que el estudio de las bases de la teora de la Elasticidaddebe preceder al de la Resistencia de Alateriales, se repiten aqui las conclusiones de algunosepgrafes con objeto de que pueda ser utilizada como texto de Resistencia de Materialessin haber estudiado previamente la Elasticidad. En tal caso habra que admitir estas conclu-siones a modo de axiomas y tener siempre presente que los innumerables estudios desarrol/a-dos aplicando los mtodos de la teora de la Elasticidad son los que avalan la validez de lashiptesis simplificativas que se hacen en Resistencia de "tateriales como son, por ejemplo, laconservacin de las secciones planas, la pequeez de deformaciones, etc.

Sin temor a equirocarnos podramos afirmar que sin la existencia de la teora de laElasticidad la Resistencia de Materiales se reducira a una serie de recetas para resolver lainnumerable casustica de los cuerpos elsticos como elementos resistentes, que se presentanen la prctica.

El desarrol/o del curso de Resistencia de Materiales presupone que el alumno posee losrecursos propios del clculo infinitesimal, clculo integral, geometra de masas en lo referentea saber calcular centros de gravedad y momentos de inercia de figuras planas, y, fundamen-talmente, de la Esttica, sn cuyo conocimiento es impensable poder obtener un suficienteaprovechamento del curso.

El contenido de la obra se mueve en el campo de la Elasticidad lineal, utilizando el prismamecnico como modelo terico de slido elstico.

En el primer captuo se hace una introduccin al estudio de la Resistencia de Materialesmarcando sus objetivos y estableciendo los principios generales, que completan las conclusio-nes de la teora de la Elasticidad, para poder desarrollar la disciplinr sg51endo e! mtodolgico-deductivo.

En el resto de los captulos se hace un nlisis sistemtico de las acciones que se derivande una solicitacin externa actuando sobre un prisma mecnico. Y este estudio se haceconsiderando los efectos producidos por cada una de las posibles magnitudes causantes,actuando cada una de el/as independientemente de las otras. As, los esfuerzos normal ycortante que someten al prisma a traccin o compresin y a cortadura, respectivamente, sontratados en los Captulos 2 y 3.

Aunque este orden-no permite ms que referirse a la teora elemental de la cortadura, quedista mucho de ajustarse al modelo real, presenta ventajas en el plano didctico para exponerlos mtodos de clculo de uniones remachadas, atornilladas y soldadas, cuyo fundamento seencuentra en ella.

vii

(

.....

4

Los cinco captulos siguientes se dedican al eslUdio de la j7exin, en sus mltiplesaspectos. En los dos primeros de stos se expone la teora general haciendo en uno de ellos unanlisis del estado tensional que se crea en el prisma mecnico cuando se le somete a flexinpura o fle"in simple. y en el otro, el estudio de las deformaciones producidas por la mismacausa.

La flexin segn dos direcciones, esto es, los casos de flexin desdada, as como cuandosta va acompaada de compresin o traccin (flexin compuesta), son tratadas en elCaptlllo 6.

Se dedica otro capillllo a exponer un mtodo general para el clculo de sistemas hiper-estticos: el mlOdo de las fuer::.as, aconsejable para resolver problemas de pequea dificul-tad, ya que problemas ms complejos, corno pueden ser los clculos de las estructuras deedificios, caen dentro del campo de otra dsciplina: la teora de las eslrucruras!>.

El importante tema del pandeo es lratado en el Caprulo 8, en el que hay que abandonaruna de las hiptesis fundamentales admilidas en Resslencia de Materiales cual es la depequeez de las deformaciones.

Con la exposcin de la teoria de la torsin en el CaplUlo 9 se completa el estudioindividualizado de cada una de las formas de trabajar del prisma mecnico. Se expone lateoria de la torsin de Saint- Venant desde el punto de vista de la teoria de la Elaslicidad.

Finalmente, 1In ltimo caplUlo se dedica al estudio de los eslados lensional y de deforma-ciones cuando la solicitacin que acla sobre el prisma mecnico es arbilraria. Era necesarioacabar la obra con un tema que nos hiciera ver la generalidad de aplicacin de las teoras dela Resistencia de Materiales a todo tipo de piezas. El estudio individualizado de los efectoshecho alJ(erionnenle y la consideracin reiterada de piezas recias podra lIe;ar errneamelJ(ea la creen::ia que lo expueslo slo es aplicable a este tipo de pie::.as.

Sin embargo, hay que hacer la observacin que todo lo aqu expuesto no es sino una meraintroduccin a lo que hoy se considera corno el cuerpo de doctrina propio de la Resislencia del\4ateriales, cuya evolucin histrica en los llimos cincuenta aos ha sido verdaderamentenotable.

Actualmente enlran den Ira del campo de nueSlra disciplina lemas lales corno los referen-tes a la faliga y la teora de la Plasticidad. Se han incorporado otros, como puede ser lateoria de placas y envolventes, que lradicionalmente eran Ira lados en Elaslicidad. Y es deesperar en un futuro muy prximo la incorporacin a la Resislencia de 1'11ateriales de algunostemas de la leora no !ineal de los .listemos elsticos.

Pero stos y algunos otros temas pueden ser el objeto de otra ohra si el favor de loslectores a sta as lo aconsejara.

Para un esrudiallle de ingenera, cualquiera que sea s; especialidad, no basta la smplecomprensin de la teora, ya que de nada le vale si no sabe aplicarla. Por ello, aIfinal de cadacaptulo se han resuelto quince problemas, nmero ms que razonable si se tiene en cuentaque es ste un libro en el que se exponen las teoras fundamentales de la Resistenca deMateriales y no un libro de problemas. Se recomienda que el lector proceda a la resolucin deellos sin mirar la solucin dada en el texto, y solamente despus de haber llegado a susresultados compruebe si son stos correclOS y contrasle la bondad del mtodo que hayapodido 'segur para resolverlos.

En toda la obra se ha procurado utilizar el Sistema Internacional de Unidades, aunque enResislencia de Materiales no sera aconsejable actualmente dejar de considerar unidadesdt:rivadas como son las que expresan !!!S tensiones pn kplcm2 por la utilizacin ;:.,tendida quese hace de estas unidades en las tablas de los catlogos lcnicos.

ixPRESENTACION

Madrid, mayo de 1990Luis ORTIZ BERROCAL

Se ha optado por usar la notacin kp para denotar la unidad de fuer::.a, kilogramo-jer::.ao kilopondio, y distinguirlo as de kilogramo-masa, tratando ~de evilar la posible confusin 1'11que pueden caer los que !IO manejan con la debida sollura los sistemas de unidades.

Debo de agradecer a los profesores A. Ros JI V. Zuhi::.arreta, colaboradores en las tareasdel departamenlo, por las alinadas observacion~s que han hecho a la leClura de los originales.

No quiero acabar esta breve presenlacin sin pedir benevolencia a(eclOr por los posiblesfallos y erratas que pudiera tener esta modesta obra, que estoy seguro tendr, a pesar delesfuer::o hecho para evitarlas. .

Y, finalmente, desear que esta ohra sea de inters a los que decidieron hacer de laingeniera su profesin.

PRESENTACIO~viii

".,rtII

'"j..i

eI .-:.,..'....

,.

...

,.

..

...

,

"......;

...

,

,,)

.-J~,

J--{,

JIU

Contenido

I

Presentacin .

Notaciones

Captulo 1. Introduccin al estudio de la resistencia de materiales .

1.1. Objeto y finalidad de -la Resistencia de Materiales .1.2. Concepto de slido el

CONTENiDO

Captulo 8. Flexin lateral. Pandeo .

8.1. Introduccin .8.2. Estabilidad del equilibrio elstico. Nocin de carga crtica .8.3. Pandeo de barras rect:s de seccin constante sometidas 2. compresin. Fr-

mula de Euler .8.4. Compresin excntrica de barras esbelts .8.5. Grandes desf;J.zamientos en barras esbeltas sometidas a compresin .8.6. \Ta~or de la fuerza cr;tica SCg(11 el tipa de sl.:')tcntucirl de l~ b.rra. LOrlgitud

de pandeo '" .

5.7. Deformaciones por esfuerzos cortantes. . . . . . . . . .. . .5.8. Mtodo de Mohr para el clculo de deformaciones .59. Mtodo de multiplicacin de los grficos ' .5.10. Clculo de desplazamientos en vigas sometidas a ilexin simple mcdia:1te LISO

de scries de Fourier .5.11. Deformaciones de una viga por efecto de la temperatura .5.12. Flexin simple de vigas producida por impacto .5.13. Vigas de seccin variable sometidas a flexin simple .. . .5.14. Resortes de ilexin . .Ejercicios ,.~ "~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

Capitulo 6. Flexin desviada y flexin compuesta .

6.1. Introduccin ........................................................6.2. Flexin desviada en eJ.-'dominio elstico. Anlisis de tensiones .6.3. Expresin del poten'ial interno de un prisma mecnico sometido a l1exin

desviada. Anlisis cte deformaciones .6.4. Relacin entre la traza del plano de carga y el eje neutro. . . . .. ..6.5. Flexin compuesta . .6.6. Traccin o compresin excntrica. Centre de presione~ . . . . .. . .6.7. Ncleo central de la seccin .6.8. Caso de materiales sin reSIStenCIa a la traccin .6.9. Flexin de piezas curvas .Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

xiii

344

122

'46348349354358360365

497

399399401407408410414419

480

480481

338338339

425427430

483486489

291295297298305308

284287290

Flexin hipercsttica .Captulo 7.

7.1. Introd uccin .7.2. Mtodos de clculo de vigas hiperestticas de un solo tramo .7.3. Viga empotrada en sus extremos .7.4. Viga empotrada por un extremo y apoyada en el otro .7.5. Vigas continuas .7.6. Sistemas hiperestticos. Grado de hiperestaticidad de un sistema .7.7. Mtodo de las fuerzas para el clculo de sistemas hipercstticos .7.8. Aplicacin del teorema de Castigliano para la resolucin de sistemas hiper-

estticos .7.9. Construccin de los diagramas de momentos flectores, esfuerzos cortantes

y normales en sistemas hiperestticos .7.10. Clculo de deformaciones y desplazamientos en los sistemas hiperestticos ..Ejercicios .

8081

909499

100107110

139

139141142145154160

180

180182

188190 .~196 .. ~~-200 tI

~.."

202 ..";.tos de montaje .2.7 Equilibrio de hilos y cables .2.8. Arcos iuniculares .2.9. Traccin o compresin biaxial. Envolventes de revolucin de pequeo es-

pesar. . . . . . .2.10. Traccin o compresin triaxial .Ejercicios . .

Capt:;lo 4. Teoria general de la flexin. Anlisis de tensiones

4.1. Introduccin .~.=:. Flexin pura. Ley de Navier .".J Flexin simpie. Convenio de signos para esfuerzos cortantes y momentos Oec-

tores .lA. Determinacin de momentos ilectore~; .. . .4.5. Determinacin de esfuerzos cortantes .4.6. Relaciones entre el esfuerzo cortante. el momento !lector y la carga .4.7. Tensiones producidas en [a ilexin simple por e[ esfuerzo cortante. Teorema

de Colignon .4.8. Tensiones principales en flexin simple .4.9. Vigas armadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .4.10. Vigas cOillpuestas .4.11. Estudio de las tensiones cortantes en el caso de perfiles delgados sometidos

a ilexin simple ~~ .4.12. Secciones de perfiles delgados con eje principal vertical que no lo es de sime-

lria. Centro de esfuerzos cor~antes .Ejercicios .

r

,~.",.

j J,-;...,

..

,...,.

r-i~ ..

r-~

..

......

....

. 'rII

~'"'-'t

1- ~

~,.,.",.

..

..

....

t ..'".,..,

~;. .;

~...Jl-JJ....,

~JJ~1'fI

xiv CONTENIDO

8.7. Lmites de aplicacin de la fnnula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5008.8. Frmula empirica de Tetmajer para la determinacin de las tensiones crticas

en columnas intermedias 5028.9. Mtodo de los coeficientes w para el clculo de barras comprimidas 5048.10. Flexin compuesta en vigas esbeltas 5088. 11. Pandeo de columnas con empotramientos elsticos en los extremos sm des-

plazamiento transversal 5108.12. Estabilidad de anillos sometidos a presin exterior uniforme..... . .. 514Ejercicios 517

Notaciones

Indice analtico

Distancias. ,/Ancho de,fibra en la seccin recta.Linea mdia de un prisma mecnico.Circunferencias concntricas a los crculos de Mohr.Puntos.Constantes de integracin.Crculos de Mohr.Curvatura; centro de esfuerzos cortantes; centro de presiones.Dimetro; distancia.Distancia del centro de gravedad del rea de momentos Dectores isost-ticos del tramo m-simo a su apoyo derecho.Dimetro.Distancia del centro de gravedad del rea de momentos Dectores isost-ticos del tramo m-simo a su apoyo izquierdo.Matriz de deformacin.Dilatacin cbica unitaria; excentricidad; espesor de envolvente de pe-queo espesor o perfil delgado; espesor de placa; paso de remachado.Coordenadas del centro de presiones en el plano de la seccin recta.Mdulo de elasticidad o mdulo de Young.Funcin; flecha.Fuerza de masa por unidad de volumen.Fuerza por unidad de superficie.Fuerza.Centro dI;; gravedad o baricentro de una seccin recta; mdulo de elas-ticidad transversal; coeficiente de Lam.Altura.Componente horizontal de la reaccin en el apoyo A.Radio de giro.Rado de giro mnmo.Momento de inercia polar de la seccn recta respecto del centro degravedad.Momento de inercia polar de la seccin recta respecto del punto O.Momentos de inercia de la seccin r:ecta respecto a sus ejes principalesde inercia.

J Mdulo de torsin.

e

c

D

[D]

a, b, c, ...b

A, B, C, .Cl' C2 , C3 , .

Cl' C2, C3Cd

613 ;,:.1.:

616 ~.;'

xviiNOTACIONES

p

fLn:

J.).

(Jo

Vector unitario.Componentes cartesianas del vector desplazamiento de un punto.

V Volumen.V, Componente vertical de la reaccin en el apoyo A.IV Mdulo resistente a torsin.

Mdulo resistente a flexin.Coordenadas cartesianas; desplazamientos.Coordenadas del centro de gravedad.Componentes cartesianas de 70 ,-,----:-~- ..Componentesartesianas de la.Incgnitas hiperestticas.Angulo; coeficiente de dilatacin lineal.Componentes cartesianos del vector unitario .Angul's que forma el vector unitario con las direcciones principalesDeformacin angular; coeficiente de ponderacin; peso especfico; coef,ciente para el clculo de remaches y tornillos.Valor doble de la deformacin transversal unitaria.Deformaciones angulares en los pianos xy, y: y :x.Desplazamiento; desviacin cuadrtica media.Vector desplazamiento del punto P.Coeficientes de influencia.Desplazan:ientos.Vector deformacin unitaria.Matriz columna representativa del vector deformacin unitaria.Alargamientos longitudinales unitarios en las direcciones de los ejescoordenados.Deformacin longitudinal unitaria en la direccin n.Deformaciones principales.Angulo; ngulo de torsin por unidad de longtud.Invariante lineal de la matriz de tensiones.Vector t1"as lacin.Coeficiente de Lam; esbeltez.Valor minimo de la esbeltez para que sea aplicable la frmula de Euler.Coeficiente de Poi~son.Plano.Radio de curvatura.Vector tensin en un punto segn un plano.Matriz columna representativa del vector tensin.Tensiones normales en coordenadas cartesianas.Componentes cartesianas del vector tensin.Tensiones principales.Tensin admisible.Tensin critica a pandeo.Lmite elstico.Limite elistico a traccin.

[i]

[

...

..

.,r=--....,r-r...

rr..-,......

~.....

~..

"'1..-

..

...;

..J.

..

e-1..

"1~...

1...

~..i

~

Introduccin al estudio de laresistencia de materiales

1

1.1. Objeto y finalidad de la Resistencia de MaterialesAl iniciar el estudio de cualquier disciplina es necesario establecer previamente su defini-cin y fijar con la mxima claridad y precisin los objetivos que se pretenden alcanzar.

Esto no siempre resulta fcil y el afn de formular una definicin de la forma mssimple posible puede llevarnos a dar una solucin simplista que, sin poder tacharla deincorrecta, pueda ser incompleta e inexacta.

Aun a riesgo de caer en ello, podemos decir que las teorias de la Resistencia deMateriales tienen como objetivo establecer los criterios que nos permitan determinar elmaterial ms conveniente, la fnna y las dimensiones ms adecuadas que hay que dar a loselementos de una construccin o de una mquina para que puedan resistir la accin de lasfuerzas exteriores que los solicitan, asi como para obtener este resultado de la forma mseconmica posible. .

Si sometemos dos cuerpos de la misma forma y dimensiones, pero de distinto material--como podan ser dos vigas rectas, como la representada en la Figura 1.1, de escayolauna y de acero otra- a un mismo sistema de fuerzas exteriores que vamos aumentandopaulatamente, observaremos que el cuerpo de escayoh es el primero en el que seproduce la rotura.

Diremos que el acero posee e!l mayor grado que la escayola la propiedad de resistenciamecnica, entendiendo por tal la capacidad de eponerse a la rotura al ser sometido a unasolicitacin exterior.

En cuanto a las deformaciones que experimentan ambos materiales, observamos queson distintas. Llamaremos rigidez a la propiedad que presenta el material de oponerse alas deformaciones.

Esta consideracin primera nos conduce a tratar de buscar dos magnitudes que nospennitan cuant~:Jcar estas dos propiedades. Se desprende, asimismo, la necesidad que setiene en Resistencia de Materiales de conocer !'\s caractersticas mecnicas de los materia-les y, en consecuencia, la importancia que tiene en esta ciencia el mtodo experimental, es

.

Lmite elstico a compresin.Tensin equivalente.Tensin de !1uencia.Tensin lmite.Tensin meridional.Tensin circunferencial.Tensin nonnal.Seccin recta de un prisma mecnico.Tensin tangencial o cortante.Tensin admisible a cortadura.Tensiones tangenciales en coordenadas cartesianas.Angulo; carga ficticia; ngulo de torsin.Funcin de tensiones.Funcin de alabeo.Coeficiente de pandeo; velocidad angular; rea sectorial.Vector de giro.Area de una seccin recta.Seccin reducida.Area parcial de una seccin recta.Area del diagrama de momentos flectores isostticos del tramo m-simo.

NOTACIONES

r

(fcquiv

!adm

Ix)" !y=, !=xrP

_._-----------~==~

2 RESISTENCL.\ DE Y.ATERIALES lNTRODL:CCION AL ESTL:DIO DE L.\ RESISTENCIA DE MATERIALES 3

-

, ,

, ,

",;

~.-

...-

~.,,;~i _

~''i;_ij,

decir, los ensayos en el laboratorio conducentes a la determinacin, entre otras, de esasdos :nagnitudes.

Un importante dspecLO se deduce del ejemplo anterior. Si imaginamos realizado un':orte ideal, el mismo en ambas piezas, la distribucin de fuerzas interiores que equivalen alsi,tema de fuerzas que actan a un lado del corte realizado, ser la misma si el sistema defuerzas exteriores es el mismo en los dos cuerpos y si en ambos materiales las deformacio-nes son elsticas.

Las normas de los distintos paises sobre las construcciones de todo tipo suelenestablecer lmites superiores para los valores que pueden alcanzar los esfuerzos interiores ypara las deformaciones de los diversos materiales.

Por consiguiente, podramos decir que la Resistencia de Materiales permite determinaren una pieza sometida a un sistema dado de fuerzas exteriores:

a) los esfuerzos interiores que se engendran en la pieza,h) las deformaciones que se originan; .

y, en cons,::cuencia. si esfuerzos interiores y deformaciones se mantienen inferiores a ciertosvalores lmites fijados de antemano.

Otro aspecto de gran importancia a tener en cuenta en la utilizacin de determinadomaterial en un elemento integrante de una construccin es el de la estabilidad, entendiendopor tal la capacidad de oposicin del elemento a grandes desplazamientos como cansecuencia de pequeas variaciones de la solicitacin exterior. El clculo de la estabilidad dela pieza nos permitir conocer su capacidad de conservar las formas de equilibrio que:ldopta en estado deformado.

Teniendo presentes las anteriores consideraciones, podemos dar una definicin mssimple an que la dada inicialmente, y decir que Resistencia de Aiateriales es la ciencia quetrata del clculo de la resistencia mecnica, rigidez y estabilidad de las piezas de unaestructura *.

Sus objetivos se pueden resumir en la resolucin de los dos problemas fundamentalessiguientes:

1.0 Problema de dimellsiollamiell/o. Conocido el sistema de cargas que solicita a unapieza de uaa estr\lctura, cakuIar sus dimensiones para que las tensiones o esfuerzosinternos unitarios y Ir.s deformaciones que se originan no sobrepasen unos valores lmitesfijados de antemano.

2. Problema de comprobacin. Conocida la solicitacin exterior y hecho el dimensio-namiento de la pieza, comprobar que las tensiones y deformaciones no sobrepesan losvalores limites prefijados.

Una observacin es necesario hacer respecto a la relacin entre la teor:a de la Elasticidad y la Resistencia de Materiales, ya que los objetivos de ambas disciplinas son coinci-dentes. La diferencia estriba en el mtodo seguido para llegar a resultados, ya que laResistencia de Materiales disminuye la dificultad de la resolucin de los problemas de lateora de la Elasticidad introduciendo hiptesis simplificativas.

Es de sealar que la Resistencia de Materiales estudia la pieza de una estructura. Por

111' Cuando en io que sigue decimos estructura, nos reierimos tanto a una conslrUt.:cin de dificaci6 Cm0 .un2. mquina.

l

dio, no abarca el estudio de los problemas que se refieren a la estructura en su conjunto,como puede ser el de estimacin de su estabilidad o su propio clculo. Estos temas sonna tena de otra disciplina: la teora de EstructtHas, a la que la Resistencia de Materiales,irve de base, y el conocimiento de ambas permitir al ingeniero materializar sus ideascreadoras dando las formas adecuadas al diseo y sentir la satisfaccin que sente todoespritu creador al ver plasmados en la realidad sus proyectos.

La Resistencia de Materiales tiene impOl tan tes aplicaciones en todas las ramas de laIngeniera. Sus mtodos los utilizan los ingenieros aeronuticos y na vales para el diseo yconstruccin de aviones y barcos, respect~~_~mente; los ingenieros civiles, al proyectarpuentes. presas y cualquier tipo de estrctura: los ingenieros de minas, para resolver lanecesidad de conocimientos de constfllcin que exige su profesin; los ingenieros mecni-cos, para el proyecto y construccin de maquinaria y todo tipo de construcciones mecni-cas, como son los recipientes ~. presin; los ingenieros energticos, para proyectar losdiferentes componentes de un ..reactor; los ingenieros metalrgicos, por la necesidad quetienen del conocimiento de los materiales actuales para la bsqueda de nuevos materiales:los ingenieros elctricos, pata el proyecto de mquinas y equipos elctricos, y, en fin, losingenieros quimicos, para el diseo de instalaciones en industrias de su especialidad.

1.2. Concepto de slido elstico

La Mecnica terica considera indeformables los cuerpos materiales, ya se encuentren enestado de movimiento o de Teposa. Esta propiedad no es, en el fondo. ms que unaabstraccin, ya que no corresponde en la realidad a material alguno Sin embargo, es degran utilidad por la comodidad y simplificacin que introduce. Las conclusiones que seobtienen en gran nmero de C:lSOS son buenas aproximaciones de lo que realmente ocurre.Pero avanzando en el estudio de la Mecnica aplicada, se observa experimentalmente quelas fuerzas que acten sobre determinado cuerpo, que poseer unas caractersticas fisicas ygeomtricas propias, no pueden ser arbitrariamente grandes, pues el cuerpo se deforma yse rompe. Esta observacin nos exige revisar el concepto de slido que se admite enMecnica.

Asi pues, la idea de slido que interviene con harta recuencia en Fisica y principal-mente en Mecnica, evoluciona a medida que se efecta un estudie ms profundo de losproble&as que se derivan de la Esttica aplicada.

Siguiendo la evolucin indicada, haremos del slido las tres siguientes consideraciones:

- Slido rigido.- Slido elstico.- Slido verdadero.

Slido rgido es aquel que ante cualquier esfuerzo (por grande que sea) a que estsometido, la distancia entre dos molculas cualesquiera permanece invariable.

Asi, cuando tenemos una viga AS apoyada en dos pilares (Fig. 1.1), que recibe una.carga vertic

4 RESISTENCIA DE MATERIALES

. * Cuando debido a un proceso natural O de fabricacin los elementos componentes de un cuerpo estnOrIentados en una determinada direccin. ser preciso considerar la anisotropa de los mismos, como ccurre conla madera, los metales laminados en frio o los plsticos reforzados con fibras cuando se empican para fabricarmatenales compuestos.

t

e

,t

(4

c.

\-

e

~

"e

f-

,

('5INTRODUCCJON AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

Modelo terico de slido utilizado en Resistencia de Materiales.Prisma mecnico

1.3.

Con objeto de estudiar los slidos elsticos crearemos un modelo terico que vamos adenominar prisma mecnico, que desde el punto de vista fisico posea las propiedades desotrapia, homogeneidad y contin'Jidad y que vamos a. definir atendiendo a un criteromeramente geomtrico.

Asi, llamaremos prisma mecnico al slido engendrado por una seccin plana L de reaQ cuyo centro de gravedad G describe una curva c llamada linea media o directri::, siendoel plano que contiene a L normal a la curva.

El prisma mecnico se dice que es alabeado, plano o, como caso particular de ste,recto, cuando es alabeada, plana o recta la lnea media.

La lnea media no ha de tener curvaturas muy pronunciadas, as como no deben existircambios bruscos de seccin al pasar de una arbitraria a otra prxima.

Si el rea Q es constante, se oice que el prisma es de seccin constante; en casocontrario diremos que el prisma es de seccin variable.

Para los clculos consideraremos unos ejes de referenc;~ con origen en G; eje Gx latangente a la lnea media en este punto, y ejes Gy y Gz los principales de inercia de laseccin L (Fig. 1.2). Como el plano de esta seccin es normal a la curva c, el eje Gx esnormal a los ejes Gy y Gz contenidos en L. Por otra parte, los ejes Gy y Gz son principales

Algunas de estas propiedades, por ejemplo, isotropia y homogeneidad, suelen estarntimamente unidas, pues si un cuerpo es igualmente elstico en cualquier direccin, es desuponer que sea homogneo, e inversamente, si suponemos que es homogneo es presumi-ble que sea istropo.

Sin embargo, estas propiedades de isotropia, homogeneidad y continidad no concu-rren en ningn material, ya sea natural o elaborado por el hombre: no es posible que se dun grado de elasticidad exactamente igual en todas las direcciones debido a la distribucinde sus tomos o molculas en redes cristalinas ordenadamente dispuestas. Tampoco existeen la realidad la homogeneidad perfecta, -ascomo sabemos por las teorias modernas de lamateria que sta no es continua y que existen espacios vacios entre las molculas y entrelos mismos tomos que la componen.

No obstante, la consideracin de slido continuo es muy cmoda, pues permiteadmitir, cuando existe una defrmacin debida a la aplicacin de una fuerza a unasmolculas del slido, que el esfuerzo es absorbido en parte por las molculas prximas yde esta forma queda repartido de forma continua y apta para el clculo.

Finalmente. slido verdadero es aquel que resulta de considerarlo como deformableante los esfuerzos a que est sometido y falto de isotropia, homogeneidad y continuidad.

Los materiales a que nos refiramos en lo sucesivo los consideraremos como slidoselsticos. Quiere ello decir que si microscpicamente no son ciertas las hiptesis que sehacen, si lo son macrascpicamente, pues los resultados que se obtienen quedan sanciona-dos por la experiencia.

An podremos en muchos casos, por ejemplo, cuando falte la homogeneidad en unslido, considerar la existenca de varios slidos elsticos dentro del slido dado, cada unode los cuales estar concretado por zonas que posean perfecta homogeneidad, y aplicarleslas consideraciones tericas que hagamos para los slidos elsticos en general.

i!

~!f

1i[

~

(1.2-1 )R, = O R y = O R: = OM ox = O 1\.1Oy = O 1\.10 : = O

Figura 1.1.

AF=====~=====1

siendo R x' Ry, R: y M ox, M oy, ]1,/0 : las componentes referidas a un sistema cartesianotrirrectangular de la resultante de las fuerzas ejercidas sobre el sistema y del momentoresultante de dichas fuerzas respecto de cualquier punto O.

En todo lo anteriormente expuesto hemos anticipado parcialmente el concepto deslido elstico que podemos definir como aquel que ante un esfuerzo exterior se deforma yrecupe.a su forma primitiva al cesar la causa exterior.

A los slidos elsticos se les supone una serie de cuahdades como son las de isotropa,homogeneidad y continuidad.

Se dice que un cuerpo es istropo cuando sus 'fJ-opiedades fisicas no dependen de ladireccin en que se han medido en dicho cuerpo. Asi, diremos que la isotropa quesuponemos poseen los slidos elsticos equivale a admitir la propiedad de igual elasticidaden todas las direcciones *.

El suponer el slido elstico homogneo equivale a considerar que una parte arbitraradel mismo posee idntica composicin y caractersticas que otra cualquiera.

La propiedad de continuidad supone que no existen huecos entre partculas TIl, porconsiguiente, distancias intersticiales.

existe un valor que provoca la rotura de la viga a pesar de que las reacciones en los pilaresfuesen suficientes para equilibrar la carga P.

Surge, por tanto, la necesidad de estudiar en general los limites de las cargas que sepueden aplicar a un determinado cuerpo o bien el dimensionado que hay que darle parasoportar cierto esfuerzo, con la condicin siempre de que no exista peligro de rotura. Esteestudio constituye, como hemos dicho anteriormente, el objeto de la Resistencia de 'vla/e-ria/es.

Naturalmente, si existiesen slidos rigidos no existiran peligros de rotura ni deforma-ciones de ningn tipo y tanto la tearia de la Elasticidad como la Resistencia de Materialescarecerian de objeto. Si pudiera construirse una viga con material que tuviera las propie-dades de slido rigido, por pequea que fuera su seccin y por grandes que fuesen lascargas a soportar, la estabilidad del sistema estaria asegurada siempre que se cumplieranlas condiciones generales de equilibrio

7Figura 1.6.

Figura 1.4.

Figura 1.5.

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE \lATERIALES

h) Placo. Es un cuerpo limitado por dos planos. cuya distancia --el espesor- e,pequea en comparacin con las otras dos dimensiones. En la Figura 1.6 se representauna placa rectangular y otra circular.

Son de este tipo casi todos los depsitos, como los tanques de agua, silo'.gasmetros. etc., asi como las tuberas de gran dimetro y, en general, las estructur',laminares.

Pertenecen a este tipo las losas que se fabrican para talJar depsitos subterrneos, as;como las placas utilizadas como forJados en las edificaciones.

c) C.\cara. Es un cuerpo limitado pY dos superficies no planas, a distancia pequeaen comparacin con las otras dos dimensiones (Fig. 1.7).i

iII1

y

Figura 1.2.

RESISTENCIA DE MATERIALES6

de inercia de la seccin que. segn sabemos. son perpendiculares entre si, lo que indica queel, sistema de referencia que hemos definido en el prisma mecnico es un sistema de ejestri rrectangulares.

La posicin del punto G viene determinada por su abscisa curvilnea s, longitud delarco de c!!..rva c contada a partir de un punto arbitrario. que puede ser el centro degravedad G: de la seccin extrema izquierda del prisma. Tomaremos como sentidopositivo de! eje Gx e! correspondiente a los arcos crecientes sobre c. Los sentidos positivosde los ejes Gy y G:: sern tales que hagan que el sistema de referencia adoptado sea unsistema directo.

Mediante la aplicacin del mrodo de las secciones, realizando los cortes ideales ade-cuados, podemos reducir cualquier estructura. por compleja que sea, a un determinadonmero de prismas mecnicos.

Sobre cada una de estas piezas, adems de las cargas que estn aplicadas. habr queconsiderar en las secciones extremas la accin que el resto de la estructura ejerce sobre ellaque, en generaL se materializar en una fuerza y en un momento. Es evidente que encualquier seccin comn a dos piezas contiguas estas fuerzas y momentos respectivossern vec~ores iguales y opuestos, en virtud del principio de accin y reaccin.

La forma de los diversos prismas mecnicos que constituyen la mayoria de las estruc-turas. se reduce esencialmente a los siguientes tipos:

a) Barra. Se llama asi al prisma mecnico cuyas dimensiones de la seccin transversalson pequeas, en comparacin con la longitud de la lnea media (Fig. 1.3).

En la mavora de las estructuras, tanto en ~bras como en construccin de maquinaria,es este tipo de prisma mecnico el que se utiliza. Dentro de Poste tipo, la mayor parte debarras utlizadas son prismas mecnicos planos, es decir, con lnea media contenida en unplano, siendo ste. adems, plano de snctria del prisma.

En la determnacin de la forma de! prisma mecnico, es decir, de la pieza comoelemento integrante de una estructura, se tendr en cuenta, fundamentalmente, la clase dematerial empleado y el modo de trabajo a que va a estar sometido sta.

Por ejempio, en estructuras de hormign armado la forma ms empleada es la seccintransversal rectangular en vigas y cuadrada en pilares (Fig. lA), mientras que en estructu-ras metlicas secciones muy usuales son el perfil laminado doble te 1 en. vigas, o dossecciones en U soldadas en pilares (Fig. 1.5).

~

8 RESISTENCIA DE MATERIALES INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 9

En los ltimos tipos, es decir, en placas y cscaras, en vez de lnea media se uliliza lasuperficie media, que se define como la constituida por los puntos que dividen el espesor endos partes iguales.

1.5. Estado tensional de un prisma mecnico *

Consideremos un prisma mecnico sometido a una solicitacin exterior e imaginmoslocortado idealmente en dos partes A y S por medio de un plano ir (Fig. 1.8).

* Un determinado estudo de todo lo que se expone en este epgrafe se puede ver en el Captulo 2 de la obraE1aslicidad, del autor.

Si ahora suponemos suprimida una de las panes. por ejemplo la S, de la condicin deequilibrio elstico se desprende la existencia de una distribucin continua de fuerzas d],definida en los puntos de A pertenecientes a la seccin L, equivalente al sistema formadopor la parte de la solicitacin exterior que acta sobre la parte suprimida.

Sea P un punto perteneciente a la seccin L y 60 el rea de un entorno de P contenidoen ella. Si 6] es la resultante de las fuerzas correspondientes a los puntos de dichoentorno, se define como tensin en el punto P segln el plano re el siguiente limite:

Como se ve, la tensin if es ua vector colineal con d] y su .mdulo representa lamagnitud del esfuerzo interior ejercido en la seccin L por unidad de superficie.

La componente de if, segn la normal al plano ir, recibe el nombre de tensin normal, yla proyeccin T sobre dicho plano se llama tensin tangencial o cortante. Al conjunto deambas se denomina componentes intrinsecas del vector tensin.

Si ahora consideramos el entorno paralepipdico de un punto P interior del prisma, dearistas paralelas a los ejes de un sistema cartesiano Oxyz, sobre cada una de sus carasexiste un vector tensin cuyas componentes intrinsecas normales tendrn las direcciones delos ejes coordenados respectivos, y las tangenciales se podrn descomponer a su vez en lasdirecciones de los dos ejes paralelos a la cara que se considere (Fig. 1.9).

(1.5-1)

Figura 1.8.

d]dD.

lim 6].ill-O 60

if

!l

~f"

t~~

~,.

If.

1Q

1.4. Equilibrio esttico y equilibrio elstico

Para que un slido rigido se encuentre en equilibrio es necesario y sufic1ente que severifiquen las ecuaciones (1.2-1), que son las condiciones generales del equilibrio esttico.

Estas ses ecuaciones no son otra cosa que la traduccin analitica de dos condicionesfundamentales:

1." Que la suma de todas las fuerzas que actan sobre el slido sea igual a cero, o loque es lo mismo, que la resultante sea nula. Esta condicin asegura que el slido no tengadesplazamientos.

2: Que el momento resultante de todas las fuerzas respecto de cualquier punto seaigual a cero. Esta condicin asegura que el slido no experimente giros.

Tngase presente que momento resultante y momento de la resultante son conceptosdistintos. Momento resultante de un sistema de fuerzas respecto a un punto es la suma delos momentos de las fuerzas que componen el sistema, respecto a dicho punto. Por elcontrario, momento de la resultante es, como su nombre indica, el momento respecto de undeterminado punto de la resultante del sistema. Pero al ser la resultante vector libre notiene sentido hablar de su momento, a menos que el sistema sea reducible a un nicovector: su resultante; entonces el momento de la resultante respecto de un punto es elmomento de sta, supuesta su lnea de accin el eje central del sistema.

Los vectores momento resultante y momento de la resultante respecto de un mismopunto son iguales cuando se verifica esta circunstancia, como ocurre en los sistemas devectores concurrentes, paralelos o coplanarios.

Sin embargo, en un slido elstico estas condiciones son necesarias pero no suficientes,ya que si suponemos realizado en el slido un corte ideal y prescindimos de una de laspartes, es necesario que el sistema de fuerzas interiores en los puntos de la seccin ideal seaequivalente al sistema de fuerzas qL'e actan sobre la parte eliminada. Llegamos as alconcepto de equilibrio elstico que exige se verifiquen en un slido elstico no slo lascondiciones del equilibrio esttico, sino tambin que exista equilibrio entre las fuerzasexteriores y las inttrnas en c:ida una de las infinitas secciones.

Esta ltima condicin es la caracterstica del equilibrio elstico: es necesario que lasfuerzas exteriores que actan sobre ei slido sean contrarrestadas por las fuerzas i['terioresde cohesin molecular.

Como esto debe suceder en las infinitas secciones del slido, y siendo imposible elestudio en todas ellas, lo que se hace es estudiar solamente las secciones que debensoportar un mayor esfuerzo y, lgicamente, si stas resisten es de suponer que las someti-das a esfuerzos menores tambin lo hagan, sobreentendindose que las diversas seccionesestn constituidas por material homogneo,. ya que hablamos de slidos elsticos.

En definitiva, lo que realmente hacemos es considerar el slido como rigido excepto enuna seccin y comprobar si existe en ella equilibrio. Es como si las dos partes rigidas enque queda dividido el slido estuviesen unidas por un muelle, e investigramos si stepuede resistir los esfuerzos a que est sometido.

(1.5-6)

(1.5-9)

(1.5-7)

oOO

T=x = LX':

U):x + !xyf3 + !x:1'+ ((in); - (J){3 + !yz'}J+ t y=f3 + (an : - a)1'

X +CGn-r T xy CT x= O+ -+- =cx ay az

y +hyx

+i3(Jny a!y= O (1.5-5)

ex ay ozZ +

cr;x+

e!:,. van: O+ =ex ay oz

[a] = [T][]

INTRODUCC10N AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 11

Pues bien, planteando las condiciones de equilibrio esttico del paraleleppedo aislado.del equilibrio de fuerlas se obtienen las ecuaciones de equilibrio interno

Del equilibrio de moment9s,~ d'espreciando las fuerzas de volumen si existen, portratarse de infinitsimos de tercer orden frente a las fuerzas que actan sobre las carasdebidas a las tensiones que s.()n infinitsimos de segundo orden, se obtiene:

Estas igualdades expresan el llamado teorema de reciprocidad de las tensiones tangen-ciales: las componentes de las tensiones cortantes en un punto correspondientes a dosplanos perpendiculares, en direccin normal a la arista de su diedro, son iguales.

El conocimiento de los seis valores independientes (u nxo uny, Un=, !y:, !:.r, !xv) permiteconocer el vector tensin a(ux' uY' uJ correspondiente a una orientacin genrica definidapor el vector unitario normal (ct, ~, '), mediante la expresin

o bien

que indica que la matriz del vector tensin correspondiente a un determinado plano seobtiene multiplicando la matriz

denominada matriz de tensiones, por la matriz del vector unitario normal a dicho plano.De los infinitos planos de la radiacin de vrtice el pUl1to P existen tres, ortogonales

entre s, para los cuales los vectores tensin correspondientes son normales a ellos, care-ciendo, por tanto, de componente tangencial. Los vectores unitarios que definen estas tresdirecciones, llamadas direcciones principales, se obtienen resolviendo el sistema de ecua-ciones

rI1..

..l.

1

II1

(1.5-3)

(1.5-2)

. -J. .Ir}

a:x (Jnx + e(Jnx dxex

r;y + a!XY d (1.5-4)!X}' -- Xex

r:.: e!x= dLx.: + -- xex

!ij (i, j = x, y, z),

Figura 1.9.

(Jn (i = x, y, z)

RESISTENClA DE \1ATERIALES

Las tensiones normales las denotamos por

Por otra parte, sobre e! paraleleppedo actan fuerzas de masa por unidad de volumenIv, cuyas componentes cartesianas llamaremos X, Y, Z.

indicando el primer indice i la direccin normal al plano en que acta y el segundo j ladireccin del eje al cual es paralela. En cuanto al signo de las 'tensiones tangenciales,diremos que son positivas cuando actuando en una cara vista (Fig. 1.9) tienen el sentidopositivo de los ejes coordenados.

Si distinguimos con asterisco las tensiones en las caras de coordenadas x + dx, y + dy,z + dz, las relaciones que existen entre las tensiones corre:;pondientes a caras paralelas,por ejem~lo, las dos caras del paralelepipedo perpendiculares al eje x, en virtud de lacontinuidad de las tensiones, son:

en donde el indice i indica el eje al cual son paralelas y convendremos en asignarles signopositivo si son de traccin y negativo si se trata de compresin.

Las tensiones tangenciales las representamos por:

10

~le.:........~

.~

r""~,.

...

~..

...

fF..

".

,.-,.

,..

..,.,.,.

~

~..

...

~..

...

...-

..

...

...-

..

...

...-'

..

...

..

.--

...-

..

...

~..

13

(1.6-1 )

(1.6-4)

(1.6-3)

Figura 1.11.

Q

p

Q'

PQ = dr = dxT + dyJ + dzk

o l (eu ev) ~ (eu ~w)2 ey ax 2 ez ox~ ev _eu) O ~ (av ~\V)2 ox ay 2 az ey~ (aw _ au) ~ CIV _aV) O2 ax az 2 ay az /

Id

au ~ CU + av) l (~: + ~':)1ax 2 ay ax~ (av + au) av ~ (av + ow)2 ax ay ay 2 a, ay J~ (aw + au) l Cw av) aw

- - +- ez2 ax az 2 ey az

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

[D]

[H]

d'r = di + [H] di + [D] dr (1.6-2)

vector referido a un sistema cartesiano ortogonal Oxyz (Fig. 1.11).

* Un detenido estudio de todo lo que se expone en este epgrafe se puede ver en el Captulo 3 de la obraElasticidad, del autor.

Consideremos un slido elstico en estado neutro, es decir, no sometido a solicitacinalgun:J. y, por consiguiente, sin que se haya producido en l ninguna deformacin.

Sea P un punto del mismo y Q otro punto perteneciente al entorno de P. tal que

1.6. Estado de deformacin de un prisma mecnico *

siendo:

Producida la deformacin, los puntos P y Q pasan a las nuevas posiciones P' y Q'definidas por los reClOres corrimienlo b p(u, U, 1I) YbQ(u', r', w'), respectivamente.

El vector P'Q' = -r;. se puede expresar de la siguiente forma

r

(1.5-11 ), y2 ,x- ~

-, + , + d(r /121

(J nx - (J t xy r x.:

exy Ci n)' - (J r y= O (1.5-10)~ .xz r y= (Jnz - (J

RESISTENCIA DE MATERIALES

Las tres circunferencias de centros en el eje de abscisas y de dimetros (J 2 - (J3'(Jl - (J3 i (JI - (J2 reciben el nombre de crculos de Mohr.

a,

en donde (J toma los valores de las raic~s de la ecuacin caracteristica

o

Figura l.IO.

siendo (J l' (J 2' (J 3 los valores de las tensiones principales.Los vectores tensin correspondientes a los infinitos planos que pasan por un punto

son susceptibles de una representacin grfica plana por medio de sus componentesintrinsecas.

Si suponemos (J 1 ~ (J 2 ~ (J 3 Y representamos en unos ejes coordenados planos,lievando en abscisas la tensin normal y en ordenadas la tensin tangencial, el punto M,representativo de la tensin de cualquiera de los planos de la radiacin, pertenece al reasombreada en la Figura 1.\0.

12

que se obtiene al imponer la condicin de compatibilidad del anterior sistema homogneode ecuaciones.

Las raices de esta ecuacin, que no son otra cosa que los valores propios de la matrizde tensiones [T], reciben el nombre de tensiones principales. Son las tensiones correspon-dientes a los planos normales a las direcciones principales.

El lugar geomtrico de los extremos de los vectores tensin para la infinidad de planosde la radiacin de vrtice el punto que se considera es un elipsoide llamado elpsoide delensiones o elipsoide de Lam. Su ecuacin, referida a un sistema de ejes coincidentes conlas direcciones principales, es:

15

(1.6-8)

(1.6-7)

[D][]

O

dr[D] [d11

1:2 Ix:1:2 'Ir'

M'[D] lm -ILV! - 01/',.11

I.. -" L. - 012 f xz 2 yz

1(ex - G)C( + :2 i'x\.{3 +- l X=I O21 1 (1.6-6):2 YxyC( + (e y - e){3 + 2: ryzl O1 l2: Ix=C( + :2 y\={3 + (e= e)i' O

Iex - e :2 I'xr12" i'x-,,; E" - f,

[D][M'JIMI


Figura 1.13.ir

limILVI - o

Las direccior _, principales se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones

en los que e toma los valores 1: 1, 'e2> e3, races de la ecuacin caracteristica

siendo el vector unitario en la direccin de dr.Las proyecciones del vector ; sobre la direccin definida por y sobre el plano

perpendicular a dicha direccin son sus compfJnentes intrnsecas e. y ~ 'In (Fig. 1.13).

Las raices de esta ecuacin, que no son otra cosa que los valores propios de la matrizde deformacin [D], reciben el nombre de deformaciones principales. Son los alargamientos longitudinales unitarios correspondientes a las direcciones principales.

En un punto P interior al slido elstico, se define el vector deformacin unitaria en ladireccin determinada por /',.1, como el lmite

jI

I1j

111

,1

t

-->

[D]dr

Q'

p'

Q

1 ~ '''1ex 2: Yxy[D] 1 (1.6-5)'2 i'xy ey '2 i'yz1

'2 f'xz '2 }yz ez )

Figura 1.12.


1.0 Una traslacin definida por el vector corrimiento J p del punto P mediante la cualPQ pasa a~ ~

2. Un giro determinado por la matriz hemisimtrica [H] por el que FQl pasa aFQ2'

3" Una dilatacin definida por la matriz simtrica [D], mediante la cual FQ: pasafinalmente a la posicin P'"(f.

Fijado el punto P, los dos primeros pasos -traslacin y giro- son comunes paratodos los puntos del entorno de P, por lo que no tienen influencia en la deformacinpropiamente dicha, ya que no se produce variacin relativa alguna de las distancias entrelas partculas del slido elstico.

Es por ello que la deformacin viene dada por la transformacin [D] dr Y de ah que lamatriz [D] se denomine matriz de deformacin.

Esta matriz se suele poner de la siguiente forma:

Sus trminos tienen un fcil significado. Los situados en la diagonal principal, ex, ey, ez,indican los alargamientos unitarios en las direcciones de los ejes coordenados respectivos,mientras que los trminos rectangulares, 'xp Yxz' '1,=, representan las variaciones angularesexperimentadas por ngulos inicialmente rectos de lados paralelos a los ejes coodenados x,y; x, z, e y, z, respectivamente.

Al ser simtrica la matriz de deformacin se deduce la existencia de tres djf~ccionesortogonales entre si, Ilamada-s direcciones principales, tales que el vector dado por latransformacin [D] dr no cambia de direccin, sino solamente de mdulo.

La ecuacin (1.6-2) nos indica que el vector li1 que tiene por origen un punto P delslido elstico y por extremo otro punto Q de su entorno antes de la deformacin, seconviene. despus de producida sta. en otro vector d'7. que se puede obtener a partir deague mediante ios siguientes pasos (Fig_ L! 2):

14

~I

t:ji!.....~

~~~_ .J.~, 'J,."j

~

--.tr-

~


(1.7-1)

(1.7 -2)

(e)(biFigura 1.15.

{N 2 sen f3 = NI sen aN cos a + N z cos f3 = p

II

t(a)

{N 2 sen (f3 - !l(3) = N sen .(a - !la)N cos (a - !la) + N z cos (8 - !lfJ) = P

Principio de rigidez relativa de los sistemas elsticos

Estas hiptesis y otras que en el momento oportuno se establecern al estudiar elUlmportamiento de los materiales ante determinado tipo de solicitacin, son insuficientes.Es necesario aceptar algunos postulados que tengan carcter general y sirvan de base parala solucin de la mayoria de los problemas que se nos puedan presentar.

En Resistencia de Materiales existen tres principios generales: el principio de rigidezrelativa de los sistemas elsticos, el principio de superposicin de efectos y el principio deSaint-Venant. En este captulo introductorio es obligado exponer -


---------1--------- B-!-_x- p ~

--------i~-------

Principio de Saint-Venant

general, que puede ser compleja, en casos encillos que resultan haciendo actuar porseparado las diversas fuerzas o acciones de cualquier tipo, como pueden ser variacionestrmicas, asientos de los apoyos de una estructura, cte.

A pesar de que el principio de superposicin es de aplicacin generalizada a lossistemas elsticos, tiene sus limitaciones. Asi, no ser vlido en los casos en los que no seaaplicable el principio de rigidez que hemos visto anteriormente. Ni en los casos en los quelos efectos de las fuerzas no sean independientes de las deformaciones como ocurre en laviga recta AB indicada en la Figura l.l7, sometida a una fuerza de compresin F ya unacarga P aplicada en la seccin me9iade.AB.

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 19

Figura 1.17.

Es evidente que si se aplican simultneamente F y P, la deformacin de la lnea mediade la viga es diferente si se aplica P por una parte y F por otra, separadamente, ya que lafuerza F (sin sobrepasar un determinado valor crtico, como veremos ms adelante) noproduce, actuando sola, desplazamiento alguno en la direccin del eje y. Por el contrario,si actan simultneamente, el momento producido por F aumenta la deformacin produ-cida por P.

Tampoco se verificar en el sistem2. indicado en la Figura 1.16-b, ya q'je no se verifirauna relacin lineal entre la fuerza P y el desplazamiento b.

Este principio establece que a partir de una distancia suficiente de los puntos de lasuperficie de un slido elstico en los que est aplicado un determinado sistema de fuerzas,las tensiones y deformaciones son prcticamente iguales para todos los sistemas de fuerzasque sean estticamente equivalentes al dado.

Fcilmente se comprende que en el caso de cargas puntuales, para evitar que en lospuntos de localizacin de esas c,,;gas la tensin tome valor infinito, ser preciso suponeruna C:ctribucin uniforme tal que sea estticamente equivalente a la real, esto es, querespecto de cualquier punto los siste;nas real y supuesto tengan la misma resultante y elmismo momento resultante. El reparto de tensiones en las proximidades de los puntos deaplicacin de las fuerzas es evidente que no son iguales en ambos casos.

I

Ii

ttr

l

-r~_7

!

(b)Figura 1.16.

p

(a)

l. x .)---.c-..:::----- -1 - --- - --- - ----

Principio de superposicin de efectos

sistema de ecuaciones que permite obtener, sin ms, los valores de los esfuerzos en lasbarras sin necesidad de tener en cuenta las deformaciones.

Este principio no ser aplicable cuando las condiciones de equilibrio en las posicionesdeformada v sin deformar sean sustancialmente distintas, como ocurre, por ejemplo, en loscasos indic~dos en la Figura l.l6, en los que las magnitudes que se consideren dependende la nueva geometria del sistema.

En el primer caso (Fig. 1.16-a), el momento, por ejemplo, en una seccin de abscisa xseria nulo si fuera cierto el principio. Por el contrario, su valor depende del desplazamien-to experimentado por la seccin de la viga.

El caso indicado en la Figura 1.l6-b es el ejemplo tpico que se suele poner de sistemaen el que, siendo sus elementos elsticos, existe una dependencia no lineal entre desplaza-mientos y las fuerzas exteriores aplicadas. La consideracin de la nueva configuracingeomtrica del sistema es esencial en la formulacin del problema. Por tanto, no seraplicable el principio.

Es de hacer notar, sin embargo, que el principio de rigidez puede ser aplicable asistemas de material que no siga la ley de Hooke, es decir, en los que exista una relacin dedependencia no lineal entre desplazamientos y fuerzas exteriores, siempre que la variacinde forma experimentada por el sistema no sea significativa.

Es aplicable a los sistemas en que son lineales las relaciones entre fuelzas exteriores ydesplazamientos y en los que las lneas de accin de las fuerzas no quedan modificadas de

,.;forma significativa por los desplazamientos. Expresa que el estado de equilibrio debido avarias acciones exteriores es igual a la superposicin de las soluciones que corresponden acada uno de los estauos si cada accin exterior actuara independientemente, o dIcho deotra forma, los desplazamientos y las tensiones en un punto de un slido elstico sometidoa varias fuerzas exteriores directamente aplicadas son, respectivamente, la suma de losdesplazamientos y las tensiones que se producen en dicho punto por cada fuerza actuandoaisladamente.

Una consecuencia inmediata que se deduce del citado principio es que el estado finaldel cuerpo no depende del orden en que se apliquen las fuerzas.

Hemos indicado que este principio es vlida su aplicacin a sistemas en los que sonlineales las relaciones entre fuerzas exteriores y desplazamientos, o, lo que es lo mismo, lastensiones son proporcionales a las deformaciones, es decir, sistemas en los que se verifica laley ue Hooke.

Este principio es de gran utilidad ,dado que permite dividir el caso de una solicitacin

~; ..,,...

L-t...

--1-..;rJ

~

2."

...

~...

...

.~...

-..

.~-"

.-..

......j ...jC" ...

'=

1.8. Relaciones entre los estados tensional y de deformaciones *

,.

-.........

..

..-

..

...

tII-

...

...

littr...

..

~,..-~ts-'

~ti...

re-f....

e:-t

~

...

6-

~,

..

~e

..

~

21

(b)

-----------=-----

o

. IIIIIIIIIIII

(J

T

Figura 1.18.(a) _

Zona plstica

Zona elstico-plstica


--------------::.,;-;..--0-_.. (Jma.,I _-_._--~I /k

-----------r,IIII,

IIII111I

(J

o~----l--_t_---......L---il__-

ama...

La probeta, debido al esfuerzo, se alarga. Llamemos e al alargamiento unitario en elsentido longitudinal. Aumentando progresivamente el valor de F y~llevando los valores de(J y E a un grfico cuyo eje de ordenadas mida tensiones ((J) y el de abscisas deformacionesunitarias (e), se obtiene para el acero dulce el diagrama tensin-deformacin indicado en laFigura 1. 18-a.

Al ir aum~ntando .el valor de la tensin desde O hasta (J D' existe proporcionalidad conlas deformaCIOnes umtanas. La grfica es recta y el punto p correspondiente recibe elnombre de lmite de proporcionalidad. Para el acero es (J p '= 2000 kpjcm 2, aproximada-mente.

Sobrep~sando este valor, se entra en la zona de elasticidad no proporcional. La grficaes curva, SIendo nulas las deformaciones permanentes hasta el punto e llamado limite deelasticidad, que separa el perodo elstico del perodo elstico-plstico.

En la zona elstico-plstica, en el caso de cesar la fuerza, se observaran deformacionesp~r~anentes, lo que imposibilita que el material vugva a recuperar las condicioneslOlClales.

U:::ga00 a este p:.:nto, se pueden observar unas lneas que forman 45 con el eje de laprobeta llamadas lineas de Lders, y que son producidas por las tensiones tangencialescuyos valores mximos, segn veremos en el Captulo 2, corresponden a esas direccionesy originan un desplazamiento relativo de las redes cristalinas de molculas del material.

Hasta U? punto fs que se llama lmite de fluencia los alargamientos son pequeos, peroal llegar a el aumentan considerablemente sin necesdad de aumentar la fuerza F. Paracierto tipo de materiales la fuerza disminuye hasta un valor determinado por el punto j"denominado lmite inferior de fluencia (en este caso fs se llama lmite superior de fluencia).Se advierte que el alargamiento de la probeta a partir del momento que comienza a fluir esun gran nmero de veces mayor que el producido antes de fluir. Cuando el valor de latensin alcanza cierto valor, la seccin de una parte de la probeta comienza a disminuir.

(1.8-1)FQ

RESISTENCIA DE MATERIALES20

Un detenido estudio de todo lo que se expone en este epgrafe se puede ver en el Captulo 4 de la obraElasticidad. del autor.

Con cualquier esquema de clculo que podamos considerar, podemos representar unsinfn de disposiciones constructivas equivalentes. El principio de Sain- Venanl nos diceque en todas ellas la distribucin de tensiones y deformaciones es la misma, a distanciasuficiente de los puntos de aplicacin de las fuerzas exteriores. En vigas normales estadistancia suficiente suele ser del orden de las dimensiones de la seccin transversal.

Aunque este principio es aplicable a la mayora de los sstemas que nos pedamosencontrar en la prctica, no tendr sentido referirnos a l cuando se trate de calcular lastensiones en la zona prxima a la aplicacin de las fuerzas. En tal caso tendremos querecurrir a la teoria de la Elasticidad y el grado de exactitud con que la solucin delproblema elstico. nos d la distribucin de tensiones en esa zona depender del grado decoincidencia de la distribucin real de las fuerzas aplicadas al slido elstico con ladistribucin supuesta en las condiciones de contorno.

En dos epgrafes anteriores hemos expuesto las principales particularidades que presentanlos estados tensional y de deformacin creados en el interior de un slido elstico. Eltratamiento de ambas cuestiones ha sido totalmente independiente. Sin embargo, dadoque deformacin y tensin son causa y efecto, es de esperar que las matrices de tensiones yde deformacin estn relacionadas entre s.

Fijada la solicitacin exterior es evidente que la deformacin que se origina y, enconsecuencia, la tensin creada en el slido elstico, dependen de las fuerzas de traccinmolecular, es decir, de la estructura interna del material.

Se deduce, por tanto, que para obtener la relacin entre tensiones y deformacionestendremos que proceder necesariamente por via experimental mediante ensayos realizadosen el laboratorio, en donde se comprueba, en efecto, que para dos piezas de distintosmateriales, de iguales dimensiones y sometidas al mismo estado de cargas, las deformacio-nes son distintas.

Quiz el ensayo ms simple que se pueda hacer sea el de traccin. Se realiza esteensayo sometiendo una pieza de dimensiones normalizadas llamada probeta a un esfuerzode traccin que se aumenta gradualmente' hasta la rotura. En la probeta se realizanpreviamente dos marcas, que determinan una lor:gitud denominada distancia entre puntos,sobre las que se efecta, por medio de un extensmet~o, la medida de los alargamientos.

Consideremos una probeta de seccin Q a h~ que aplicamos en sus extremos una fuerzaF en direccin axial. Esta fuerza causa eJ' el interior del material un estado de tensionesque supondremos uniforme para cualquier seccin recta. La tensin normal (J est relacio-naa con la fuerza F mediante la ecuacin

.......

L..1 ..


(1.8-2)

(1.8-3)

Figura 1.20.

[; =z

"'lateral i E kp/cm'IAcero (0.15-0.30 % C) ') , X 106_. ,Acero (3-35 % Ni) 1.1 x 106Fundicin gris LOS x 10"Hormign (1 .:2: 3.5) 1 76 x 10 5Mad.era pino 1.17 x 10 5Madera de roble L12 x 105Aluminio. fundicin (99 % Ai) 0.7 x 106Latn (60 % Cu; 40 % Zn) 0.9 x lO"Bronce (90;';, Cu; 10 % Sn) OS x 106Cobre 0.9 x 106

Por el punto del eje de abscisas correspondiente a [; = 0.2 por lOO se traza una rectaparalela a la parte del diagrama tensin-deformacin. La ordenada del punto A ~"interseccin de esta recta con la curva nos da el valor del lmite elstico ae

Se observa una zona de elasticidad proporcional en la que la relacin tensin-deforma-cin ser lineal, es decir, su ecuacin analtica tendr la forma

Tabla 1.1. Valores del mdulo de elasticidad E

siendo E una constante llamada mdulo de elasticidad IOllgitudinal o mdulo de Young.Esta expresin constituye la ley de Hooke: en la zona elstica de los materiales, las

tensiones son proporcionales a los_alargamientos unitarios.El mdulo de elasticidad E, que segn la ecuacin (1.8-2) tiene las dimensiones de una

tensin ([F] [Lr 2), es diferente para cada material. En la Tabla l.1 figura su valor paraalgunos materiales de uso frecuente.

En el mismo ensayo a traccin se observa que simultneamente al alargamiento de laprobeta se produce un acortamiento de las dimensiones de la seccin transversal. Parauna pieza de seccin rectangular (Fig. 1.20), las deformaciones transversales unitarias serigen por las expresiones

en donde J1 es el llamado coeficiente de Poisson, que es constante para cada material. Suvalor para mater ales istropos es aproximadamente igual a 0.25. Par" el jicere> d'.lkt: (:r.deformaciones elsticas se suele tomar el valor J1 = 0.3. Los valores correspondientes parael aluminio y cobre que se deforman elsticamente son ligeramente superiores.

i1

I!

IFigura 1.1 'JoLL _

Este fenmeno se conoce como estriccin. Las tensiones permanecen constantes produ-cindose un notable alargamiento a partir del momento en que el material empieza a fluir.

A partir de este alargamiento a tensin constante es preciso aumentar la fuerza detraccin sobre la probeta hasta un valor O"mx' Esto se debe a la propiedad del material.conocida como endurecimiento por deformacin. Despus, la tensin disminuye, el alarga-miento aumenta hasta producirse la rotura para un valor a, de la tensin. Para el acerodulce la tensin de rotura vale de 4000 a 5000 kp/cm2 .

Cuando hemos hablado de que se ha alcanzado un valor determinado de la tensin. seha calculado esta dividiendo la fuerza F ejercida por la seccin inicial que tenia la probeta,pero esta seccin ha ido disminuyendo, lo que hace que el valor indicado en la grfica seaun valor errneo por defecto que ir aumentando con las deformaciones. Esto hace que lagrfica obtenida sea falsa; sin embargo, es la que se utiliza en la prctica dado lo laboriosoque seria tener en cuenta continuamente en el valor de la tensin las variaciones de laseccin.

La determinacin del limite de elasticidad es, en general, bastante dificil, por lo que enla prctica se toma este lmite el punto fs que se llama entonces lmite aparente deelasticidad.

La rotura se produce en una seccin media de la garganta o huso que se forma comoconsecuencia de la estriccin. Esta gargata forma una superficie cnica, cuyo semingulotiene un valor aproximado de 45'. lo que nos indica que son las tensiones cortantes lasprincipales causantes de la rotura de los materiales dctiles.

Por el contrario, el comportamiento de los materiales frgiles, como la fundicin. elvidrio o la porcelana, es distinto. La rotura se produce sin que se manifieste el fenmenode estriccin, en una seccin perpendicular al eje de la probeta, lo que nos indica que sonlas tensiones normales las causantes de la rotura de los materiales frgiles.

Una observacin es necesario hacer respecto a las diferentes caractersticas de fluenciaque presentan los materiales dctiles, como son el acero de construccin y el aluminio. Enel caso del acero, como hemos visto, en el perodo de fluencia se presenta alargamiento atensin constante y el fenmeno de endurecimiento por deformacin (Fig. 1.18-a).

En el caso del aluminio (Fig. 1.18-b) Yde otros muchos materales dctiles no existe elaumento de la deformacin a tensin constante, sino que es creciente hasta un valor ama.en el que comienza la estriccin y aumenta el alargamiento a la par que disminuye latensin hasta que se produce la rotl!ra. En e:;te caso, se define el limite elstico a un tantopor ciento del alargamiento. En la Figura 1.19 se indica la forma como se determina el:mite elstico en un material dctil de las caractersticas indicadas cuando el alargamientolongitudinal unitario de la probeta es del 0.2 por 100.

a:...

"....1

"....

....

t:...

,1:11 ....

~l

, -"I-ai.,j

~.~

.-

~;-1::' ...;.......

.

....

..

-Tabla 1.2. Valores del mdulo de elasticidad G

Si el sistema de ejes coordenados no coincide con las direcciones principales, lasrelaciones entre las componentes de la matriz de tensiones [T] y de deformacin [DJ son:

Estas relaciones constituyen las leyes de Hooke generalizadas. G recibe el nombre demdulo de elasticidad transversal. Su expresin en funcin de E y de j1

.....

...-

...

...

...-

...

...

f--,.

...

...-

...

...

...

...

"..

..

...

...

..

..

fI'!...

...

tr-...

..

...-

~...

..

...

....

..

..

~..

~~

25

U9-1)

Figura 1.21.

R = NY + T.} + T.kSus tres componentes son: N, T, Y Tz


1.9. Esfuerzos normal y cortante y momentos de flexin y de torsin:sus relaciones con las componentes de la idatriz de tensiones

Consideremos un prisma mecnico que suponemos en equilibrio esttico bajo la accinde un sistema de fuerzas F(i = 1, 2, .., 7, en la Figura 1.21), que representa laaccin exterior y emplearemos el mtodo de las secciones para analizar el equilibrioelstico en una seccin mn.

* Se denomina 'orsor de un sistema de vectores deslizantes en un punto al conjunto formado por dosvectores -resultante y momento resultante del sistema respecto de dicho punto-- que forman un sistemaequivalente a ste.

.,p;.'--_.-------

El mtodo consiste en imaginar realizado un corte en el prisma. Este corte determinauna seccin mn que consideraremos plana por comodidad (aunque no es necesario que losea). Supondremos. asimismo, que mil es una seccin recta, es decir, contenida en un planonormal a la linea media del prisma.

Es evidente que realizado este seccionamiento y eliminada, por ejemplo, la parte de laderecha, sobre la parte de la izquierda se rompera radicalmente el equilibrio a no ser porla existencia de una fuerza y un par, es decir, del torsor* equivalente a la accin externaque ejerce la parte de la derecha, que se ha eliminado.

Ya se comprende, segn se deduce de las condiciones generales del equilibrio esttico,que esta fuerza y par son, respectivamente, la resultante R y momento resultante Alrespecto al centro de gravedad G de la seccin, de las fuerzas que actan en la parteeliminada.

Esta consideracin no nos permite conocer la distribucin de esfuerzos en los diferen-te'> puntos de la seccin, para ello es necesario establecer hiptesis simplificativas s11ple-mentarias que ya se indicarn ms adelante, pero s nos permite obtener unas interesantesconclusiones acerca del tipo de esfuerzos a que est sometida la seccin.

En efecto, refiriendo la resultant~ R al triedro trirrect!1gulo Gxyz, cuyos ve.::toresunitarios son Y, J, k (Fig. 1.22), se tiene

I1

I(I

.1,.c

(1.8-6)EG=2(1 + j1)

lEl E [0"1 j1( CJ 2 + CJ 3)J

1e2 E [CJ 2 j1( CJ 1 + CJ 3)J (1.8-4)

1e3 = E [CJ 3 - Il(CJ 1 + CJ 2)]

1ex E [CJnx - II( CJny + O"n=)]

1ey E [CJny j1(nx + CJnJJ

1 (1.8-5)"= E [CJno - j1(nx + ny)J

exy r x= !}'=Yxy Yxo = Jly= =G G G

Material G kp/cm 2

Acero (0.15-0.30 % C) 8.44 X 105Acero (3-3.5 % Ni) 8.44 x 105Fundici6n gris 4.22 x 105Aluminio, fundicin (99 % Al) 2.8 x 105Latn (60 % Cu; 40 % Zn) 3.52 x 10 5Bronce (90 % Cu; 10 % Sn) 4.22 x 105Cobre 4.22 x 105


Las ecuaciones (1.8-2) y (1.8-3) nos relacionan los elementos de la matriz de tensionescon la de deformaciones en un caso muy simple, en el que 0"1 = O"nx; 0"2 = 0"3 = O.

Si consideramos ahora un estado elstico tridimensional, se demuestra que las direc-ciones principales de ambas matrices son coincidentes.

Admitido el principio de superposicin, las relaciones entre las deformaciones y tensio-nes principales sern:

24

nos hace ver que tiene las mismas dimensiones que E ([F] [LJ - 2), ya que j1 es adimer.sio-nal, y que depende exclusivamente del material.

En la Tabla 1.2 se recogen los valores de G para algunos materiales de frecuente uso enla prctica.

~~.l..1 26..

RESISTENCIA DE MATERIALES INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES27

(1.9-7)

(1.9-5)

(1.9-4)

Figura 1.24.

MJ + !vi];:

_----------7',, ,

" \, ,I II I~.~I

\ ,\ I\ I\ ,

- -- ----'-""

fIn ~nx dn

fIn1 j 1(

T fIn (yrx: -M O Y z ZTx.vl d0. +~nx d0. T XY d0. T x : dn

+j fIn Z~nx d0. - 1( fIn YVnx d0. Mrf + MJ + A(1( (1.9-6)Identificando coeficientes, se tiene

Para encontrar las relaci9nes entre las componentes de JI y M y las componentes de lamatriz de tensiones, tendremos en cuenta que las fuerzas engendradas por las tensiones entoda la seccin recta forman un sistema cuya resultante es JI y cuyo momento resultanterespecto de G es Iv!. Por tanto, los esfuerzos normal N y cortantes Ty y T" en funcin delas componentes de la matriz de tensiones, sern:

Las expresiones de los momentos torsor M T Y flectores M y y M: se obtic:1cn de

Como ya sabemos, el vector momento nos expresa una tendencia al giro. ExpresadoAl en funcin de sus componentes M T' M, Y M:, veamos qu efecto produce cada una deellas sobre el prisma. .

!viT acta perpendicularmente al plano de la seccin en la direccin de la lnea media,. por tanto, tiende a hacer girar el slido sobre s mismo, creando un efecto de torsin. Se:Ilama por ello a }.,fT momento torsor.

M" y M: tienden a obligar al slido a girar lateralmente curvndolo en los planos xz yX.l'. respectivamente, flexionndolo, por lo que se denominan momentos jlecrores. Su>resultante est contenida en el plano dela seccin recta; es el momellro jlecror

I1

IIl.

(1.9-2)

(1.9-3)

f

Figura 1.23.

Figura 1.22.

Veamos el significado de cada una de estas componentes.N, llamado esfuerzo normal, por serlo a la superficie de la seccin considerada, tiende a

empujar o separar a ambas partes del prisma dando lugar a esfuerzos de compresin otraccin, respectivamente.

T,. y T:, por estar en el mismo plano de la seccin efectan la misma clase de esfuerzo y,por tanto, podemos obtener su resultante f .

que es la expresin de un esfuerzo que acta tangencialmente a la superficie de la sccincomo si se tratase de deslizar la seccin respecto de una muy prxima, separndola ocortndola. Es por ello que esta componente de la resultante se denomina esjilerzotangencial o cortante. Si el prisma se rompiese por la seccin recta, el vector f nosindicara la direccin en que saldrian despedidos los dos trozos del prisma.

Anlogamente podemos proceder a descomponer el momento resultante jI en ladireccin perpendicular al plano de la seccin y en otra componente contenida en dichoplano (Fig. 1.23)

itII

~~

~..-

,.;

~i~~'.-

~..

~,,

e,.

e ...f:

."

..

t:I

1 ..~j"iIJ

28 RESISTENCIA DE MATERIALES INTRODUCClON AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 29

1.10. Tipos de solicitaciones exteriores sobre un prisma mecnico

La solicitacin exterior sobre un prisma mecamco est constituida, en general, por lasfuerzas activas o directamente aplicadas que llamamos cargas y las fuerzas de reaccin oreacciones debidas a las ligaduras. Las cargas que actan sobre el prisma mecnico estnconstituidas por fuerzas y momentos (pares). Las reacciones se materializarn, en el casode que la seccin extrema se obtenga mediante un corte ideal por aplicacin del mtodo delas secciones, en la accin que ejerce el resto de la estructura sobre la pieza que seconsidera, o en una reaccin en el caso de que exista un vinculo exterior, tal como unapoyo o un empotramiento.

La accin en el primer caso o la reaccin en el segundo estarn formadas, en general,por una fuerza y un momento. En el epgrafe siguiente le dedicaremos a las reacciones enlos apoyos un estudio ms detenido.

Intentemos ahora hacer una clasificacin de las fuerzas directamenle aplicadas o car-gas.

Una primera clasificacin distingue entre fuerzas de volumen y fuerzas de superficie.Las primeras actan sobre todos los puntos del slido y son debidas a campos de

fuerzas tales como el campo gravitatorio, el campo de fuerzas de inercia engendradas enun slido afectado de aceleracin, o el campo magntico cuya existencia puede afectar adeterminados materiales.

Si llamamos]" a la fuerza por unidad de volumen (fe ser, en general, funcin de laposicin del punto), sobre cada elemento de volumen dI: del prisma estar aplicada lafuerza]e dv.

Las fuerzas de superficie son las que se aplican a la superficie exterior del prisma.Pueden ser concentradas O repartidas.

En realidad no existen fuerzas concentradas. Todas las fuerzas de superficie reales sonfuerzas que se distribuyen sobre cierta rea. Asi, en el caso de una rueda que transmite alcarril que la gua una cierta carga, sta se reparte sobre el rea, aunque reducida, debida ala deformacin local que se produce alrededor del punto terico de contacto.

. En el caso de que estuvieran repartidas, silo es la fuerza que se ejerce por unidad desuperficie, sobre un elemento de rea dQ actuar]o clQ.. Ejemplos de este tipo de fuerzasson las debidas al viento sobre una pared, la accin ejercida sobre una compuerta de undepsito por el fluido que contiene, el empuje de tierras sobre un muro de co~iencir, lar~accin de un cuerpo, etc.

En el caso de una barra, el peso propio se considera, generalmente, no ;;omo una fuerzade volumen, sino como fuerza de superficie en forma de carga lineal repartida a lo largo deella.

Si atendemos a la continuidad de presencia sobre la estructura, las cargas se puedenclasificar en:

a) .C:argas perlllllnentes, que como su nombre indica, son las que existen siempremantemen.dosc constantes en magnitud y posicin. Ejemplos de este tipo de cargas son elpeso propIO, los pavimentos, los materiales de cubricin de los techos, etc.

b) Cargas accid

IF=====:::IFigura 1.29.

x

I \\5J~0/C::Lk.

1.12. Sistemas isostticos e hiperestticos

Figura 1.28.

Previamente a estudiar el estado tensional enun prisma mecnico, ser necesario conocercompletamente la solicitacin exterior, es ecir, no slo las fuerzas directamente aplicadas

lNTRODCCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE .\IATERIALES 31

Apoyo articulado fijo

Apoyo empotrado

El desplazamiento est impedido tanto en la direccin del eje x como en la del eje y, peroel giro en el plano xy no lo est. La reaccin es en este caso una fuerza de componentesRAx Y RAy' Equivale. por consiguiente, a dos incgnitas.

En la Figura 1.28 se representan algunas formas constructivas de este apoyo, as comola forma esquemtica que ms se utiliza para su representacin.

Estn impedidos los desplazamientos en las direcciones de los ejes x e y, asi como el giroen el plano xy, quedando, por tanto, inmovilizada la seccin A del apoyo. -.!-a reaccin secompone de una fuerza R A' de componentes R AX Y R A .y , Yde un momento M A perpendicu-lar al plano xy (Fig. 1.29). Un empotramiento equivale, pues, a tres incgnitas.

1

Il

1

y

Figura 1.26.z

Figura 1.27.

x

Figura 1.25.

I ,

I '

-------j/z

impide el posible desplazamiento de la ,eccin. como ocurre en el caso de una rtulaesfrica (Fig. 1.26), el nmero de incgnitas se reduce a tres: las componentes de la fuerzade reaccin. ya que la rtula no impide el libre giro de la correspondiente seccin.

Resumiendo. podemos definir la ligadura de un prisma mecnico como todo dispositi-vo material que impida total o parcialmente el libre movimiento de una seccin del mismo.Si slo impide el desplazamiento. como ocurre en el caso de una articulacln. la reaccines una fuerza que tendr componentes en las direcciones en las que el desplazamiento esimpedido. Si adems se impide el giro, como ocurre en el caso de un empotramiento. lareaccin se compone de una fuerza y un momento que tiene componentes en las direccio-nes normales a los planos en los que est impedido el giro.

La reaccin de la ligadura se simplifica notablemente en los casos de sistemas planosen los que el prisma mecnico admite plano medio de simetra y la solicitacin externa esun sistema de cargas contenidas en dicho plano. Si la solicitacin externa comprendealgn momento, se tendr presente que ste es equivalente a un par de fuerzas situadas enun plano perpendicular al mismo. Para estos casos. los apoyos los podemos clasificar en:

Apoyo articulado mvil

Es libre el movimiento de la seccin del vnculo en la direccin del eje x, as como el giroen el plano xy. La reaccin se reduce a una fuerza perpendicular al po,ible desplazamientodel a:;pyo. Equivale, por tanto, a una incgnita: el mdulo de la reaccin.

Este tipo de apoyo se materializa en la prb.ctica de diversas forms. En la Figura 1.27se indican algunas de ellas, asi como el esqu~ma que con mayor frecuencia utilizaremospara represen tarlo.

Iy


r:

~~---iRAMA~ :A !::========================:::JI B,

~ HA

(b)

(al

(e)

(e)

(d)

(f)Fig;ua 1.30.

I0:TRODCCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES 33

Hay, sin embargo, una serie de factres que hacen que las tensiones a las que realmenteva a estar sometida la pieza sean superiores a las que obtenemos en el clculo.

Estos factores a los que nos referimos son entre otros, por ejemplo, el de la heteroge-neidad del material, en contra de la hiptesis de homogeneidad que se ha admitido; el devariacin de la forma y dimensiones tericas, como las que pueden presentar los perfiles ychapas laminadas, as como las armaduras en el hormign armado; el de posibles erroresde clculo; el de actuar sobrecargas imprevistas, como las debidas a la accin del viento,empuje de tierras, acciones ssmicas, etc.

Dado que el diseo de cualquier pieza de una estructura se deber hacer siguiendo elprincipio de mxima economa de material, es necesario conocer para u e1Jltmina.d - 1 d d 'd d' . 1 t

Cada uno de estos coeficientes de seguridad parciales responde a una posible desvia-cin del valor terico de clculo de determinado factor, respecto del valor que realmentetiene.

El nmero de coeficientes parciales, unido a los factores que represeman, que hay que

na forma de averiguarlo sera hacer crecer las fuerzas exteriores multiplicando todasellas por un mismo factor n mayor que la unidad hasta producir la rotura en U., pieza oen una estructura, igual a la proyectada. Este valor de n, que podriamos llamar coeficientede seguridad. nos resolvera el problema. Pero este mtodo para calcular la seguridad de lapieza o la estructura ya se comprende que sera extraordinariamente costoso. Nos intere-sara poder medir la seguridad de la pieza atendiendo a las caractersticas del material encuanto a la capacidad de resistencia medida en trminos de tensiones, que podemosobtener fcilmente en el laboratorio. Es decir, cambiaramos el coeficiente ele seguridad debs fuerzas externas por el correspondiente a las tensiones internas.

En este sentido, para garantizar que las tensiones no sobrepasen en ningn punto delsolido elstico un determinado valor alim' consideraremos como tensin mxima de clcu-lo o tensin admisible el valor dado por la expresin

35INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTENCIA DE MATERIALES

Tabla 1.3. Coeficientes de ponderacin

considerar en las piezas de maquinas y construcciones, as como los valores que se debentomar, suelen venir dados en las normas de los diferentes paises.

El valor de cada uno de estos coeficientes se suele obtener estadisticamente estudiandoun considerable nmero de construcciones anlogas.

Otra forma de fijar el coeficiente de seguridad es utilizar coeficientes de ponderacinpara mayoracin de las cargas, por una p~arte, y para minoracin de la resistencia delmaterial, por otra.

Asi, la norma espaola MV-103-1972 para clculo de las estructuras de acero lamina-do en ediicacin establece como coeficientes de ponderacin de cargas los indicados en laTabla 1.3.

Coeficiente de ponderacinCASO DE CARGA CLASE DE ACCION si el efecto de la accin es:

I Desfavorable FavorableCASO l

I Acciones constantes 1.33 I1.33 I 1.0Acciones constantes fa Sobrecarga 1.33 1.50 1 OYcombinaciones de dos Viento IjO 1.33 I Oacciones variables

independientes Acciones constantes 1.33 I 1.0Ih Sobrecarga \.50 I OI Nieve 1.50 OIAcciones constantes U3 1.0

le VienlO 1.50 ONieve 1.50 O

CASO II Acciones constantes 133 1.0Acciones constantes y combinacin Sobrecarga 133 Ode tres acciones variables Viento 133 Oindependientes Nieve 133 O

CASO III Acciones constan tes 1.00 1.0Acciones constantes y combinacir: Sobrecarga r(1) Ode cuatro acciones variables Viento 0.25(2) Oindependientes, incluso Nieve 0..50(3) Olas acciones ssmicas Acciones ssmicas 1.00 O

(1) r es el coeficiente reductor para las sobrecargas (Tabla VIlI de la Norma P.G.-S-I, parte Al. que indica:CASO 1.0 Azoteas, viviendas y hoteles (salvo locales de reunin): r = 0.50.CASO 2. Oficinas, comercios, calzadas y garajes: r = 0.60.CASO 3. Hospitales, crceles, edificios docentes, iglesias, edificios de reunin y espectculos y salas de

reuniones de hoteles: r = 0.80.(2) Slo se considerar en construcciones en situacin topogrfica o muy expuesta (Norma MV-lOl).(3) En caso de lugares en los que la nieve permanece acumulada habitualmente ms de treinta dias. en caso

contrario el coeficiente ser cero.L

I

(1.13-1)

(1.13-2)

naadm

RESISTENCIA DE :-V1ATERIALES

siendo n un numero mayor que la unidad llamado coeficiente de seguridad.Como el comportamiento de los materiales frgiles y ductiles es distinto, ya que

mientras los primeros tienen un comportamiento elstico hasta la rotura y los segundospresentan el comportamiento descrito en el epgrafe 1.8, se toma como alim la tensin derotura a, en d caso de materiales frgiles, como son los hormigones, piedras y materialescermicos, y el limite elstico ae en el caso de materiales dctiles, tales como acero dulce,aluminio, cobre (sin tratamientos trmicos ni mecanizados en fro).

En la construccin de mquinas ha sido adoptado el clculo de la resistencia atendien-do a las tensiones admisibles. El codicien te de seguridad vara, aproximadamente, entrelos limites de 1.5 a 2.5.

Es indudable que este coeficiente va a ser un factor numrico que nos va a representaren certa forma el margen de seguridad de la pieza. Esta forma de proceder, que podramoscalificar de criterio clsico, resuelve el problema de la seguridad de una forma parcial, yaque parece evidente que para f~iar un determinado valor para el coeficiente de seguridadser necesario tener en cuenta las condiciones de trabajo de la construccin que se calculay depender, asimismo, del grado de precisin del mtodo de clculo que se siga para ladeterminacin de las tensiones y de la evaluacin cuantitativa de ls consecuencias que sederivaran de la destruccin de la estructura.

Dado que es la ley del azar la nica que rige la determinacin del valor numrico de lasvariables citadas, ser necesario rp:currir, para su estudio, a las leyes estadsticas del clculode probabilidades.

Modernamente, el coeficiente de seguridad n se descompone en una serie Je coeficien-tes parciales, tales que su producto es igual a n

34

.,.j

t:.."

1-*i ,;.Ji .....J-., """,

..-

..

...

..-

ir....

...

...

~..

"-...

..

....

.......

..

..

..-

..

..

.-

..

..

..-'

...

..

...-

..

...

..

.-.-

--..

~

P!!..

,.........

..

....

37

(1.14-2)

(1.14-1)(T equiv = (J 1

INTRODUCCION AL ESTUDIO DE LA RESISTE:"CIA DE MATERIALES

1.14. Criterios de resistencia. Tensin equivalente

Figura 1.31.

Vase el capilulo 11 de la obra EI"s/icid,,equ;v

siendo (Jet Y (Jec los lmtes elsticos a traccin y a compresin, respectivamente.

Existen infinidad de casos en los que un material va a estar sometido a un estado tensionalcomplejo. Como generalmente la informacin que disponemos de ese material es su limiteelstico (Je' obtenido en el ensayo a traccin, seria deseable poder establecer algn criterioque nos permita encontrar un estado de traccin monoaxial equivalente al estado tripleque se considere y asi hacer posible la comparacin de esta tensin equivalente con ellimite elstico del material.

Varios son los criterios que se han propuesto para fijar la tensin equiralente, es decir,la tensin que existiria en una probeta de (J i, el clculo de la resistencia por este criterio se haceimponiendo las siguientes condiciones simultneas:

Si consideramos un material sometido a un estado tensional cualquiera, cuyas ten-siones principales en un punto son (JI' (Jz. (JJ ((Ji ~ (Jz ~ (13)' las tensiones equivalentes,segn los diversos criterios. son las siguientes:

l. Criterio de la tensin principal mxima o de Rankine. Segn este criterio, para(Ji > y (Jil > (JJI

(1.13-5)

(1.13-4)

resistencia caractersticacoeficiente de minoracin

Tipo de acero Lmite elstico (J. kp{cm 2

A 42 2600A 52 3600


1, para los aceros con lmite elstico mnimo garantizado1.1, para los aceros cuyo lmite elstico sea determinado por mtodos estadsticos

-la

siendo (J. el lmite elstico del acero y i'a un coeficiente que toma los siguientes'valores:

(1.13-3)

En cuanto al lmite (J. se fijan los siguientes valores segn el tipo de acero:a) Aceros laminados fabricados segn la Norma MV-I2-l975Acero laminado para estructuras de edificacin

Ya

b) Otros aceros laminados.El lmite elstico garantizado por el fabricante, verificado mediante ensayos de recep-

cin. Si no existe este minimo garantizado, se obtendr el limite elstico (J. medianteensayos, de acuerdo con los mtodos estadsticos y se tomar

La resistencia de clculo del acero viene fijada, en la misma citada norma, por laexpresin

36

siendo (Jm el valor medio, y j la desviacin cuadrtica media relativa de los resultados delos ensayos.

Ortiz Berrocal- Resistencia de Materiales

Documents

Transcript of Ortiz Berrocal- Resistencia de Materiales