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OTROS TIPOS DE LGICA INTRODUCCION A LA LOGICA Que es la lgica. La Lgica proviene de los trminos griegos, logos, 'palabra' y 'proposicin', 'razn', es una disciplina y rama de la filosofa que estudia los principios formales del conocimiento humano. Su principal anlisis se centra en la validez de los razonamientos y argumentos, por lo que se esfuerza por determinar las condiciones que justifican que el individuo, a partir de proposiciones dadas, llamadas premisas, alcance una conclusin derivada de aqullas. La validez lgica depende de la adecuada relacin entre las premisas y la conclusin, de tal forma que si las premisas son verdaderas la conclusin tambin lo ser. Por ello, la lgica se encarga de analizar la estructura y el valor de verdad de las proposiciones, y su clasificacin. La validez de una proposicin se tomar de la veracidad de la conclusin. Si una de las premisas, o ms, es falsa, la conclusin de una proposicin vlida ser falsa. Por ejemplo: Todos los mamferos son animales de cuatro patas, todos los hombres son mamferos, por lo tanto, todos los hombres son animales de cuatro patas es una proposicin vlida que conduce a una conclusin falsa. Por otro lado, una proposicin nula puede, por casualidad, llegar a una conclusin verdadera: Algunos animales tienen dos patas; todos los hombres son animales, por lo tanto todos los hombres tienen dos patas representa una conclusin verdadera, pero la proposicin no lo es. Por lo tanto, la validez lgica depende de la forma que adopta la argumentacin, no su contenido. Si la argumentacin fuera vlida, cualquier otro trmino podra sustituir a cualquiera de los casos utilizados y la validez no se vera afectada. Al sustituir cuatro patas por dos patas se comprueba que ambas premisas pueden ser verdaderas y la conclusin falsa. Por lo tanto, la proposicin no es correcta aunque posea una conclusin verdadera. De que trata la lgica. En una primera aproximacin al tema, podremos dar la siguiente definicin: La lgica investiga la relacin de consecuencia que se da entre una serie de premisas y la conclusin de un argumento correcto. Se dice que un argumento es correcto (valido) si su conclusin se sigue o es consecuencia de sus premisas; de otro modo es incorrecto. Por un argumento entendemos un sistema de enunciados, de un lenguaje determinado. Uno de esos enunciados es designado como la conclusin y el resto como las premisas. Un enunciado se define como una expresin lingstica que establece un pensamiento completo: Interrogativos, Imperativos, Declarativos. Introduccin histrica. La lgica matemtica surge como el resultado de la convergencia de cuatro lneas de pensamiento: La lgica antigua (Aristteles, megrico-estoica).

La idea de un lenguaje completo y automtico para el razonamiento.Wladimir Ortiz Fernndez-

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Los nuevos progresos en algebra y geometra acaecidos despus de 1825. La idea de que hay partes de la matemtica que son sistemas deductivos, esto es, cadenas de razonamientos que se conforman a las reglas de la lgica. Forma de presentacin de los sistemas lgicos. Los diferentes sistemas lgicos elementales tienen en comn, en su presentacin, una etapa previa de simbolizacin que suele hacerse a dos niveles: Lgica proposicional: Frases declarativas simples, enunciados y proposiciones. Lgica de predicados: Se toma como base los componentes de una proposicin, trminos, cuantificadores.

Dentro de cada uno de estos niveles de representacin del lenguaje, se pueden considerar dos formas de presentar las estructuras deductivas correctas: Sintctica: Definicin axiomtica de una serie de estructuras deductivas correctas y de reglas para obtener nuevas estructuras deductivas correctas a partir de aquellas: Teora de la demostracin y deduccin natural. Semntica: Definicin de significados (Verdadero, Falso), definicin de las estructuras deductivas correctas a partir de la relacin de significados de los elementos de la deduccin: Teora de modelos.

APLICACIONES Aplicada a los procesos La lgica es el "proceso de reflejo del mundo objetivo en la conciencia del hombre y de verificacin de la correccin de este reflejo por la prctica, es generada histricamente por la vida de los hombres concretos, cuando se separan de los fenmenos de la naturaleza", sus categoras son escalones y puntos focales del conocimiento de la naturaleza objetivamente existente, lo que caracteriza la conciencia del hombre que se desprende de la naturaleza objetivamente existente. Aplicada a las matemticas El hombre de hoy se relaciona ms frecuentemente con la lgica matemtica que se refiere a un sistema deductivo en el que existen ciertos axiomas bsicos y ciertas reglas de deduccin. Ese sistema est formado por un conjunto de expresiones (o smbolos) que permiten construir determinadas proposiciones (o secuencias de signos dotables de significado), las reglas deductivas permiten reconocer cuales son las afirmaciones deducibles de los axiomas mediante las reglas de deduccin y cules no. Aplicada a la electrnica Gracias a la lgica, la electrnica a tenido un gran desarrollo, ya que con el anlisis y diseo de circuitos lgicos se ha logrado fabricar desde simples relojes y calculadoras hasta sofisticados procesadores. 1.1 FPGAs

1.2 LGICA BINARIA

Wladimir Ortiz Fernndez

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INTRODUCCION El lgebra lgica fue desarrollada a principios del siglo XIX por el matemtico George Boole para investigar las leyes fundamentales en que se basa el razonamiento humano. Este lgebra tiene una caracterstica especial: sus variables solo pueden adoptar dos valores, tradicionalmente denominados cierto y falso (es usual representarlos con 1 y 0 respectivamente), en estos casos, ambos dgitos pueden representar cualquier par de estados, con la condicin de ser mutuamente excluyentes [1]. Por esto se dice que no maneja cantidades en el sentido del resto de las matemticas, sino valores lgicos binarios y se la denomina lgebra o lgica binaria (o Booleana). Los circuitos elctricos digitales, los circuitos con fluidos (hidrulicos y neumticos), con luz (fibra ptica) y otros, se prestan muy bien a tratar este tipo de seales, porque es fcil construir circuitos que adopten tales valores, tensin no-tensin, conectado no-conectado, abierto-cerrado, encendido, apagado etc. La adaptacin del lgebra de Boole a los computadores digitales fue presentada en 1938 por Claude Shannon de los Laboratorios Bell. Hagamos hincapi que en estos casos, las cifras 0 y 1 no representan cantidades numricas. Son smbolos de dos estados mutuamente excluyentes. El hecho de que en este tipo de sistemas (de variables lgicas binarias) se utilice un sistema de numeracin binario (de base 2), es porque al tener este sistema de numeracin solo dos dgitos 0 y 1, es posible establecer una relacin biunvoca entre los valores numricos y los estados lgicos. Esta relacin se hace a veces tan ntima que la distincin tiende a desdibujarse, aunque el sistema de numeracin de base dos (o cualquier otra base) y la lgica binaria (representada por su lgebra) sean conceptos totalmente distintos. Tambin son conceptos distintos los dgitos 0/1 del sistema binario y los valores cierto/falso de las variables lgicas binarias. La lgica binaria trabaja con variables binarias y operaciones lgicas. As, las variables slo tomarn dos valores discretos: V (verdadero) y F (falso), s y no, 1 y 0 respectivamente. Una de las funciones de la Unidad Aritmtico Lgica (ALU), situada en el ncleo del procesador es la de realizar las operaciones lgicas con los datos contenidos en una instruccin del programa. GEORGE BOOLE. Lincoln, Reino Unido, 1815 - Ballintemple, actual Irlanda, 1864) Matemtico britnico. Proceda de una familia venida a menos y tuvo que desestimar la idea de convertirse en monje al verse obligado a mantener a sus padres. A los diecisis aos enseaba matemtica en un colegio privado y ms tarde fund uno propio. A los veintecuatro aos, tras la publicacin de su primer escrito, pudo ingresar en Cambridge, pero desestim la oferta, de nuevo a causa de sus deberes respecto a su familia. En 1849 le nombraron profesor de matemticas del Queen's College, en Cork, donde permaneci el resto de su vida. El gran descubrimiento de Boole fue aplicar una serie de smbolos a operaciones lgicas y hacer que estos smbolos y operaciones -por eleccin cuidadosa- tuvieran la misma estructura lgica que el lgebra convencional. En el lgebra de Boole, los smbolos podan manipularse segn reglas fijas que produciran resultados lgicos. En 1854 public Investigacin sobre las leyes del pensamiento, libro que trataba por completo de la lgica simblica y su lgebra. La influencia de esta lgica matemtica sobre las matemticas modernas tendra una evolucin lenta: si en un primer momento no pareca ms que un intrincado juego de palabras, ms adelante se vio que era de lo ms til, y hasta completamente indispensable para conseguir la matemtica lgica. Boole se cas a la edad de cuarenta aos y tuvo cinco hijas, a las que no lleg a ver adolescentes. OPERACIONES LGICAS


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Una operacin lgica asigna un valor (CIERTO o FALSO) a la combinacin de condiciones (CIERTO o FALSO) de uno o ms factores. Los factores que intervienen en una operacin lgica slo pueden ser ciertos o falsos. Y el resultado de una operacin lgica puede ser, tan slo, cierto o falso. Por ejemplo, imagnate el sistema de control del toldo de una cafetera, que se gobierna mediante una operacin lgica. Para que el motor que extiende el toldo se accione deber tener en cuenta dos factores: es de da? Est lloviendo? Si estos dos factores son ciertos, el motor debe ponerse en marcha y extender el toldo.

Los resultados de una operacin lgica, para cada uno de los valores posibles de las variables, se fijan en una tabla denominada Tabla de Verdad, como la del ejemplo anterior. Para que un procesador pueda ejecutar las operaciones lgicas, es preciso asignar un valor binario a cada una de las condiciones posibles. Se suele asignar un UNO (1) al valor CIERTO y un CERO (0) al valor FALSO, con el criterio denominado lgica positiva. Las operaciones lgicas ms importantes son: EQUAL (idntico), NOT (negacin), OR (O), AND (Y), NOR (O negada), NAND (Y negada), OREX (O exclusiva) y NOREX (O exclusiva negada). Veamos con detalle estas operaciones: FUNCIN EQUAL El resultado S de aplicar la funcin lgica equal, sobre una variable a, es muy simple: si a es CIERTO (1) S es CIERTO (1) y, si a es FALSO (0), S es FALSO (0). Estos dos resultados posibles se muestran en la tabla de verdad adjunta:a 0 1 s 0 1

Un ejemplo sencillo de aplicacin prctica de esta funcin lgica sera el encendido de las luces del alumbrado pblico. En algn lugar de la ciudad se instala un detector crepuscular, que detecta cundo es de noche y controla un interruptor que enciende las luces de las calles: si es de noche (1) se encienden las lmparas (1); si NO es de noche (0) NO se encienden las lmparas (0). Un circuito elctrico capaz de implementar esta funcin lgica es el siguiente:

FUNCIN NOT


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El resultado S de aplicar la funcin lgica NOT, sobre una variable a, es muy simple: si a es CIERTO (1) S es FALSO (0) y, si a es FALSO (0), S es CIERTO (1). Estos dos resultados posibles se muestran en la tabla de verdad adjunta. Se conoce tambin como funcin negacin: S equivale a a negada.a 0 1 s 1 0

Un ejemplo sencillo de aplicacin prctica de esta funcin lgica sera el circuito que controla el acceso a una oficina bancaria, a travs de una puerta automtica equipada con un detector de metales que cierra un interruptor. Si el detector de metales SI nota que el cliente lleva objetos metlicos (1) y la puerta NO se abre (0); en cambio, si el cliente NO lleva objetos metlicos (0), la puerta SI se abre (1).

FUNCIN OR La funcin OR equivale a la conjuncin disyuntiva O. El resultado S de aplicar la funcin lgica OR, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es cierto si a es CIERTO (1) o si b es CIERTO (1). Cuando se aplica una operacin lgica sobre 2 variables caben 4 combinaciones posibles. Los resultados de la operacin lgica OR, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta.FUNCION OR a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 s 0 1 1 1

Una aplicacin prctica sencilla de la operacin lgica OR, sera el circuito de sealizacin instalado en un comercio, en el que se puede entrar por dos puertas distintas, que avisara al dependiente al entrar un cliente por cualquiera de las dos puertas del establecimiento. Si un cliente entra por la puerta a (1) O si un cliente entra por la puerta b (1), el timbre suena (1). Si no entra ningn cliente por ninguna de las puertas a (0) ni b (0). El timbre NO suena (0). Un circuito elctrico compuesto por dos interruptores en paralelo, cumple la lgica OR. La lmpara SI se encender (1) si se acciona el interruptor a (1) O si se acciona el interruptor b (1) O si se accionan ambos interruptores. Si no se acciona ningn interruptor, la lmpara NO se encender (0).


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FUNCIN AND La funcin AND equivale a la conjuncin copulativa Y: El resultado S de aplicar la funcin lgica AND sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a es CIERTO Y si b es CIERTO. Los resultados de la operacin lgica AND, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta.FUNCION AND a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 s 0 0 0 1

Una aplicacin de la operacin lgica AND, sera el sistema de control de los pasajeros en un aeropuerto. Cada pasajero debe pasar por tres controles: Tiene tarjeta de embarque? Tiene pasaporte en regla? No lleva objetos metlicos peligrosos? Una empleada del aeropuerto comprueba que tiene un billete vlido y le da una tarjeta de embarque; a continuacin, un agente de polica verifica que su pasaporte est en regla y no est en la lista de personas reclamadas y, finalmente, un grupo de agentes comprueban su equipaje de mano con un escner y un arco detector de metales. Un pasajero slo puede embarcar en el avin si tiene tarjeta de embarque, su pasaporte est en regla y no lleva consigo objetos peligrosos. En los dems casos no puede embarcar. Es fcil construir un circuito elctrico que cumple la lgica AND: dos interruptores en serie, a y b, por ejemplo. La lmpara S se encender tan slo si se acta sobre el interruptor a Y sobre el interruptor b. En todos los dems casos, la lmpara NO se encender.

FUNCIN NOR La funcin NOR equivale a la funcin OR negada. El resultado S de aplicar la funcin lgica NOR, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a es FALSO (0) y si b es FALSO (0). Los resultados de la operacin lgica NOR, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta:


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Una aplicacin prctica sencilla de la operacin lgica NOR, sera el sistema de seguridad de un puente levadizo. Un detector a se activa cuando entra un vehculo en el puente, por el carril derecho. Otro detector b se activa cuando entra otro vehculo por el carril contrario. Los motores que accionan el sistema de elevacin del puente slo deben ponerse en marcha si se da la condicin NOR: no hay ningn vehculo circulando por el carril derecho NI por el carril izquierdo. Un circuito elctrico compuesto por dos interruptores normalmente cerrados, en serie, cumple la lgica NOR: la lmpara SI se encender (1) si NO se acciona el interruptor a (0) NI se acciona el interruptor b (0). Si se acciona cualquiera de los dos interruptores, la lmpara NO se encender (0).

FUNCIN NAND La funcin NAND equivale a la funcin AND negada. El resultado S de aplicar la funcin lgica NAND, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a es FALSO (0) o si b es FALSO (0) o si son FALSAS ambas variables. Los resultados de la operacin lgica NAND, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta:FUNCION NAND a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 s 1 1 1 0

Una aplicacin prctica sencilla de la operacin lgica NAND sera, por ejemplo, el control del aire acondicionado de un edificio inteligente. Supongamos que el edificio est equipado con un detector crepuscular, que se activa al llegar la noche. Durante el da el detector est desactivado (0) y durante la noche el detector est activado (1). Supongamos tambin que en la entrada del edificio hay un sistema de recuento de personas que se pone a CERO (0) cuando hay alguien en el edificio y se pone a UNO (1) cuando todo el mundo ha salido ya. Cmo controlar la puesta en marcha del aire acondicionado? Muy fcil, con un circuito que siga la lgica NAND: el aire acondicionado se parar cuando sea de noche y no quede nadie en el edificio.Wladimir Ortiz Fernndez WOF-7 -7-

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Un circuito elctrico compuesto por dos interruptores normalmente cerrados, en paralelo, cumple la lgica NAND: la lmpara SI se encender (1) si NO se acciona el interruptor a (0) o si NO se acciona el interruptor b (0) o si NO se accionan ambos interruptores.

FUNCIN OREX La funcin OREX se conoce tambin con el nombre de OR EXCLUSIVA. El resultado S de aplicar la funcin lgica OREX, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO solo si a es CIERTO (1) o si b es CIERTO (1), pero no si ambas variables son ciertas. Los resultados de la operacin lgica OREX, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta:FUNCION NOR a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 s 0 1 1 0

Un circuito elctrico como el del esquema siguiente, compuesto por dos pulsadores dobles NA + NC, cumple la lgica OREX: la lmpara S se encender (1) EXCLUSIVAMENTE si se acciona el pulsador a o si se acciona el pulsador b, pero NO se encender si se accionan simultneamente ambos pulsadores. Tampoco se encender si no se acciona ninguno de los dos pulsadores.

FUNCIN NOREX La funcin NOREX se conoce tambin con el nombre de OR EXCLUSIVA NEGADA. El resultado S de aplicar la funcin lgica NOREX, sobre dos variables a y b es el siguiente: S es CIERTO si a y b son ciertos O si a y b son falsos. Es decir, si ambas variables tienen el mismo valor. Los resultados de la operacin lgica NOREX, en las cuatro combinaciones posibles de valores dos variables, se muestran en la tabla de verdad adjunta:


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Un circuito elctrico como el del esquema siguiente, compuesto por dos pulsadores dobles NA + NC, cumple la lgica NOREX: la lmpara S se encender si se accionan ambos pulsadores o si no se acciona ninguno de ellos.

Otro ejemplo de aplicacin de la funcin lgica NOREX es la correccin automtica de textos: si una persona escribe una palabra en su procesador de textos, el corrector ortogrfico la comparar con todas las palabras semejantes de su diccionario aplicando una funcin NOREX entre ellas. Si alguna letra no coincide, detectar que hay un error, porque el resultado de la funcin NOREX no entrega unos en todos los bits. Por ejemplo, si escribimos con una falta de ortografa la palabra lobo:

de este modo, el procesador es capaz de detectar que el error est en el tercer carcter. APLICACIONES DE LA LOGICA A LA DEMOSTRACIN AUTOMATICA DE TEOREMAS La lgica de Primer Orden es, en la actualidad, una de las herramientas ms importantes para la solucin de problemas. Aunque el problema de encontrar un procedimiento nico para probar la validez de todas las frmulas del Clculo de Primer Orden, es irresoluble, existen procedimientos de prueba que pueden verificar si una frmula es vlida (cuando efectivamente lo es), aunque no se pueda conocer efectivamente cuando una frmula es invalida. En virtud de los resultados de Church y Turing, el planteamiento anterior es lo mejor que podemos esperar obtener de un procedimiento de Demostracin Automtica de Teoremas. Los procedimientos de demostracin de Herbrand y los basados en resolucin, son procedimientos por refutacin; es decir, en lugar de probar que una frmula es vlida, se probar que la negacin de la frmula es inconsistente. Herbrand en 1930 present un algoritmo para encontrar una interpretacin que pueda falsificar una frmula. El mtodo de Herbrand, es la base de muchos procedimientos automticos de prueba que seWladimir Ortiz Fernndez WOF-9 -9-

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usan en la actualidad. Dado un conjunto S de clusulas, el algoritmo de Herbrand genera una secuencia S'1,S'2,...,S'n de conjuntos de instancias base de S, y prueba sucesivamente la insatisfactibilidad de los conjuntos generados. Gilmore, en 1960 fue el primero en presentar una implementacin en una computadora, del procedimiento de Herbrand, generando los conjuntos S'n,S'1... en donde S'i es la conjuncin de todas las instancias base obtenidas de reemplazar todas las variables en S, por las constantes del i-esimo nivel del Universo de Herbrand. El universo de Herbrand define lo siguiente: Sea H0un conjunto de constantes que aparecen en S. Si no aparecen constantes en S, entonces H0 consiste de una sola constante, se dice que H0={a}. Para i=0,1,2,..., sea Hi+1, la unin de Hi y el conjunto de todos los trminos de la forma fn(t1,...,tn) para todas las funciones N-arias fn de S, donde tj, j=1, ...n son miembros del conjunto Hi. Entonces cada Hi es llamado el conjunto de constantes de nivel i de S y H",o lim Hi es llamado el Universo de Herbrand de S. Probar la inconsistencia ahora, es asunto de la lgica de proposiciones y Gilmore uso para ello el mtodo multiplicativo (un mtodo para el clculo de proposiciones). Davis y Putnam mejoraron el mtodo unos meses despus de publicado el trabajo de Gilmore en el mismo ao de 1960. Dado un conjunto de clusulas base S, este mtodo esencialmente elimina clusulas aplicando cuatro reglas de simplificacin. Obtiene un conjunto S', y aplicando el teorema de Herbrand se sabe que S' es insatisfactible si y solo si, S es insatisfactible. El mtodo de resolucin de Robinson est considerado como el precursor de toda una familia de mtodos, que hacen uso de los conceptos centrales, pero que, de alguna manera proponen algn refinamiento. Consiste esencialmente en una extensin de la regla de la literal simple de Davis y Putman. Se aplica directamente a cualquier conjunto de clusulas (no necesariamente clusulas base), para probar la insatisfactibilidad de S. El aspecto central del mtodo consiste en probar que si S contiene la clusula vaca, entonces es inconsistente. En caso de que S no contenga la clusula vaca, entonces es inconsistente. En caso de que S no contenga la clusula vaca, se intentara derivarla a partir de las clusulas existentes en S. Si la clusula vaca es derivada de las clusulas existente, S es inconsistente. El lgebra de Boole es una estructura algebraica que puede ser considerada desde distintos puntos de vista matemticos: COMO RETCULO El lgebra de Boole es un retculo (A, , +), donde el conjunto A esta formado por dos elementos A={0, 1}, como retculo presenta las siguientes propiedades: 1. Ley de Idempotente:

2. Ley de Asociatividad:

3. Ley de Conmutatividad:


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4. Ley de Cancelativo

COMO ANILLO Grupo Abelino respecto a (+) El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a (+): 1. (+) es una operacin interna en A:

2. Es asociativa:

3. Tiene elemento neutro

4. Tiene elemento simtrico:

5. es conmutativa:

Grupo abeliano respecto a () El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a ( ): 6. ( ) es una operacin interna en A:

7. Es asociativa:

8. Tiene elemento neutro


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9. Tiene elemento simtrico:

10. es conmutativa:

Distributivo El conjunto A={0,1} es un Grupo abeliano respecto a (+) y ( ) y es distributiva: 11. La operacin (+) es distributiva respecto a ( ):

12. La operacin ( ) es distributiva respecto a (+):

Como resultado podemos decir que el lgebra de Boole tiene Estructura algebraica de anillo conmutativo y con elemento neutro respecto a las dos operaciones (+) y ( ). Otras propiedades

OTRAS FORMAS DE NOTACIN DEL LGEBRA DE BOOLE En matemtica se emplea la notacin empleada hasta ahora ({0,1}, + , ) siendo la forma ms usual y la ms cmoda de representar. Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan as:


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Cuando el lgebra de Boole se emplea en electrnica, suele emplearse la misma denominacin que para las puerta lgica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), amplindose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras maysculas o minsculas, y pueden tomar los valores {0, 1} Empleando esta notacin las leyes de De Morgan se representan:

En su aplicacin a la lgica se emplea la notacin y las variables pueden tomar los valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1} Con la notacin lgica las leyes de De Morgan serian as:

Desde el punto de vista prctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apstrofes (') para indicar la negacin, la operacin suma (+) se representa de la forma normal en lgebra, y para el producto no se emplea ningn signo, las variables se representan, normalmente con una letra mayscula, la sucesin de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras. La representacin de las leyes de De Morgan con este sistema quedara as, con letra minscula para las variables:

y as, empleando letras maysculas para representar las variables:

Todas estas formas de representacin son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultar bibliografa. La utilizacin de una u otra notacin no modifica el lgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemticas o la tecnologa en la que se est utilizando para emplear una u otra notacin.

1.3 LGICA TERNARIA La lgica tradicional afirm siempre que no hay ms que dos clases de proposiciones dotadas de sentido: las verdaderas y las falsas. Segn esto, resulta imposible un tercer trmino, es decir, lo que los escolsticos suelen llamar el tercio excluso. As, lo que no es verdadero es falso y lo que no es falso es verdadero. La lgica ternaria, en cambio, afirma la existencia de una tercera postura lgica, que corresponde a lo que no es verdad ni mentira. Es decir, una especie de puerta secreta del silogismo, porWladimir Ortiz Fernndez WOF-

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donde el intelecto humano se escapara, de cuando en cuando, a correr aventuras en barrios extramuros de la frrea realidad. En lgica, Ockham trabaj hacia lo que ms tarde se llamara Leyes de De Morgan y considerara lgica ternaria, es decir, un sistema lgico con tres valores de verdad, un concepto que sera retomado en la lgica matemtica de los siglos XIX y XX. Segn J. Ferrater Mora (JFM), hay una cierta evidencia que Guillermo de Occam (1298-1349) haba sugerido ya el uso de tres verdad-valores. Ferrater Mora tambin indica eso alrededor de 1910, el matemtico ruso N.N. Vasilev de la universidad de Kazan, public varios artculos en los cuales l proponga y desarrolla una lgica tres-valorada. Asimismo, Vasilev desarroll su lgica trivalente, que l llam lgica no-Aristotlica, eliminando la ley del centro excluido. Sin embargo, las publicaciones contemporneas ms importantes y ms influyentes en lgica polivalente han sido publicadas por Lukasiewicz y Alfred Tarski. La lgica est solamente interesada en el verdad-valor de la declaracin sin importar cualquier contenido conceptual que puedan tambin tener. En las lgicas de ms de dos estados la variable podra optar entre ms de dos valores. Por ejemplo, en la lgica ternaria podra ser "cierto", "falso" y "desconocido" (no definido, etc). Existe un tipo de lgica de ms de dos estados, la lgica difusa, en la que las variables pueden adoptar mltiples valores, intermedios entre dos posiciones extremas. Estos valores intermedios representan estados no excluyentes. Por ejemplo, entre "cierto" y "falso" cabran todo tipo de situaciones intermedias: "casi completamente cierto", "medianamente cierto", etc. En estos casos, la variable tiene, en mayor o menor proporcin, una componente de los valores extremos. En cierto sentido podramos decir que la lgica binaria es absolutamente maniquea, mientras que la difusa se acercara ms al mundo real. COMPARACIN CON LA BASE 2 No existe nada malo con la base 2. Pero la lgica ternaria se dirige dando a diseadores otra herramienta que se pueda utilizar para solucionar problemas. Cada herramienta tiene un propsito en el cual sobresalga. El truco es dominar ambos y saberlos cuando cada uno es el ms apropiado para el trabajo. Los sistemas ternarios tienen la ventaja de que pueden representar nmeros ms grandes con menos dgitos. Los clculos numricos se utilizan para una variedad de cosas del tiempo que modela a los clculos del inters financiero. Estos nmeros tienen que ser exactos. El problema viene en la capacidad de representar los nmeros que son anlogos en naturaleza cuantificndolos en unidades discretas. Para mejorar la calidad del clculo, ms pedacitos se utilizan de modo que el error de quantizacin disminuya. Este error del quantizacin tambin afecta la manera que las computadoras interconectan al mundo exterior. Se utilizan los microprocesadores: controlar los hornos de microonda, volar el avin, audio de la transferencia a travs de las lneas telefnicas, e igualarlo para hacer los juguetes de los nios ms realistas. Esto es logrado convirtiendo del mundo anlogo a digital y de nuevo a anlogo. Definicin: Una lgica ternaria, tres-valorada o trivalente es un trmino para describir cualquiera de varios sistemas multi-valued de la lgica en los cuales haya valor verdadero, falso y un cierto tercer el indicar de tres valores de verdad. Esto se pone en contraste con las lgicas bivalentes ms comnmente sabidas (tales como lgica boleana) que preveen solamente verdad y falso.


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Figura 1.2.1

Representacin. Como con lgica bivalente, los valores de verdad en lgica ternaria se pueden representar numricamente usando varias representaciones del sistema de numeracin ternario. Algunos de los ejemplos ms comunes son: 1 para verdad, 2 para falso, y 0 para desconocido, inaplicable, o ambos. 0 para falso, 1 para verdad, con el tercer valor siendo smbolo del no-nmero entero tal como # o . Aplicaciones ternarias equilibradas -1 para falso, 1 para verdad y 0 para el tercer valor; estos valores se pueden tambin simplificar -, +, y 0, respectivamente.

Principalmente en sistemas digitales se utiliza sistema de la lgica ternaria del proposicional usando los valores de verdad {falso, desconocido, y verdad}, y extiende conectadores boleanos convencionales a un contexto trivalente. TABLA DE VERDAD BSICA Esta tabla de verdad muestra los resultados de algunas operaciones de la lgica para un sistema verdadero/falso/desconocido del estado. En esta tabla de verdad, el estado DESCONOCIDO se puede pensar en como una caja sellada que contiene un valor inequvoco VERDADERO o inequvoco FALSO. El conocimiento de si cualquier estado DESCONOCIDO particular representa secretamente VERDAD o FALSO en todo momento a tiempo no est disponible. Sin embargo, ciertas operaciones lgicas pueden rendir un resultado inequvoco, aunque ellas implican por lo menos un operando DESCONOCIDO. La forma lo ms extensamente posible puesta en ejecucin de lgica del tres-estado se encuentra en electrnica digital. Es muy importante observar que sta no es lgica ternaria verdadera. Se menciona aqu para lo completo, siendo el nico sistema extenso del tres-estado funcionando. Las salidas pueden tener uno de tres estados, con todo las entradas pueden reconocer solamente dos. Por lo tanto la clase de relaciones demostradas en la tabla arriba no ocurre. La lgica ternaria verdadera se puede poner en ejecucin en electrnica, aunque la complejidad del diseo hasta el momento ha hecho poco econmico perseguir comercialmente y el inters se ha confinado sobre todo de investigar, puesto que la lgica binaria normal es mucho ms barata poner en ejecucin y en la mayora de los casos se puede configurar fcilmente para emular sistemas ternarios. Sin embargo, hay usos tiles en la correccin de la lgica confusa y de error, y se han fabricado varios dispositivos de lgica ternarios verdaderos.


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Tabla 1.2.1. Tabla de verdad bsica

PROPIEDADES DE LA LGICA TERNARIA Estas propiedades pueden reasumirse como sigue: a) La lgica Ternaria es una generalizacin de la lgica binaria b) No tiene una estructura para hacer un lgebra Booleana. La generalizacin est en el sentido que si una proposicin p es el true (false) bajo las reglas entonces de lgica binaria es el true (false) bajo la lgica ternaria. La falta de estructura Booleana, en la lgica ternaria, se compensa por las herramientas poderosas para el anlisis. Por cuanto que para el caso ternario se usa los valores {0, 1, 2} qu significa el true=1, el false=2, y quizs arregle el false=0. Esta anotacin es el ms adecuado para un ms tarde el anlisis algebraico. Con la lgica ternaria nosotros describimos un sistema L cuyos elementos son llamados proposiciones o declaraciones son evaluados en {0, 1, 2}. Esto puso que nosotros denotamos por Z3 Si x es una proposicin, el valor de x puede verse como {0, 1, 2} tal que; 1; si x es verdad 0; si x es quizs verdad, quizs falso 2; si x es falsoWladimir Ortiz Fernndez WOF-

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De esto, nosotros tenemos que si _(x) = 1 (verdadero) bajo las reglas de lgica binaria entonces tambin. Entonces los sistemas L estn definidos con las siguientes operaciones bsicas: La negacin (Operador unitario no) La disyuncin _ (Operacin binaria o) La conjuncin ^ (Operacin binaria y) La implicacin (Operacin binaria si... entonces)

El sistema L est cerrado bajo cualquiera de estos cuatro funcionamientos.

Tabla 1.2.2. Propiedades de la lgica ternaria

OPERACIONES BSICAS EN LA LGICA TERNARIA El valor de x, x y y, x ^ y, x > y y otras operaciones compuestas depende del valor de cada componente x y y. Estos valores pueden obtenerse usando la tabla de verdad como se muestra en la figura anterior. Tambin en la tabla anterior se muestra el funcionamiento de la equivalencia que puede ser derivado de la conjuncin e implicacin. El operador de una sola variable de negacin es una funcin de: f : Z3 Z3 y el operador binario como el de disyuncin es una funcin f : Z32 Z3 En general, nosotros podemos definir las funciones lgicas ternarias como la siguiente forma: f : Z3n Z3 Cuando n = 1 nosotros tenemos una funcin de variable f(x), y existe (33)1 = 27 de estas funciones, entre ellas, la Identidad, la negacin N(x), la Tautologa T(x) y la contradiccin Y(x).Wladimir Ortiz Fernndez WOF-

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Todas estas 27 funciones tambin se llaman las funciones modales de x y ellos se muestran en la siguiente tabla:

Tabla 1.2.3. Todas las funciones ternarias de una variable

De la misma manera nosotros podemos computar que hay (33)3=7625597484987 diferentes funciones de tres variables. En general all existe (33)n diferentes funciones de lgica ternaria de n variables. Ejemplos: Algunas funciones o proposiciones de una variable. Permita a x ser la declaracin simple est lloviendo, entonces a continuacin se muestra 4 de las 27 funciones ternarias, f(x) f1(x) = id(x) = est lloviendo (afirmacin) f20(x) = N(x) = x = no est lloviendo (Negacin) f8(x) = T (x) = Si est lloviendo entonces que est lloviendo (Tautologa) f22(x) = Y(x) = No es verdad que si est lloviendo entonces que est lloviendo (Contradiccin) Pero a pesar de todo esto, el sistema lgico ternario no puede tener una Estructura Algebraica Booleana. TABLAS CON LGICA TERNARIA

Tabla 1.2.4. Tabla de verdad con lgica ternaria


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Tabla 5. La derivacin de la ley de la equivalencia en la lgica ternaria.

LGICA DE TRINARY Esta lgica puede ser considerada una parte de la lgica ternaria, que utiliza lo siguiente: OPERACIONES SINGULARES Los operadores unitarios transforman un solo nmero de la entrada a un nmero de la salida por un sistema de reglas dado. INVERTIDO Este operador invierte simplemente su entrada. Hace esto cambiando los 0 y 2 valores. Esta operacin ser referida por el smbolo siguiente:

La tabla siguiente ilustra esta operacin:

Tabla 1.3.6. Tabla de verdad del operador invertido.

ROTAR PARA ARRIBA Su smbolo esquemtico es:


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Este operador rota simplemente el nmero instal uno. Hace esto incrementando la MOD 3 del nmero. La tabla siguiente ilustra esta operacin:

Tabla 1.2.7. Tabla de verdad del operador rotar para arriba.

ROTAR ABAJO Su smbolo esquemtico es:

Este operador rota simplemente el nmero estableci uno. Hace esto decrementando la MOD 3 del nmero. La tabla siguiente ilustra esta operacin:

Tabla 1.2.8. Tabla de verdad del operador rotar para abajo.

CAMBIO PARA ARRIBA Su smbolo esquemtico es:

Los incrementos de este operador el nmero instalaron simplemente uno. 2 no se pueden incrementar ms arriba y no siguen siendo 2. La tabla siguiente ilustra esta operacin:

Tabla 1.2.9. Tabla de verdad del operador cambio para arriba.Wladimir Ortiz Fernndez WOF-

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CAMBIO PARA ABAJO Su smbolo esquemtico es:

Los decrementos de este operador el nmero establecieron simplemente uno. Un 0 no se puede decremento ms bajo y no sigue siendo un 0. La tabla siguiente ilustra esta operacin:

Tabla 1.2.10. Tabla de verdad del operador cambio para abajo.

OPERACIONES TERNARIAS Las operaciones binarias toman dos nmeros y los manipulan segn un sistema de reglas. Hay cuatro funciones binarias en la lgebra de Trinary. MNIMO Su smbolo esquemtico es:

El propsito de este operador es seleccionar el valor mnimo entre las dos entradas. La tabla siguiente ilustra esta operacin:

Tabla 1.2.1. La funcin mnima

MXIMO Su smbolo esquemtico es:


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El propsito de este operador es seleccionar el valor mximo entre las dos entradas. La tabla siguiente ilustra esta operacin:

Tabla 1.2.12. La funcin mxima

MXIMO EXCLUSIVO Su smbolo esquemtico es:

Esta puerta se relaciona algo con la funcin mxima. Su diferencia es que tiene una salida numrica siempre que una u otra entrada cree exclusivamente la salida de una funcin mxima. Es decir si los valores son iguales, se hace salir un cero. La tabla de verdad siguiente ilustra esta operacin.

Tabla 1.2.13. Funcin mxima exclusiva

MEDIO Su smbolo esquemtico a travs de esta clase particular ser:

El propsito de este operador es seleccionar ms el centro de dos entradas. Si ambas entradas son un 1, las salidas son 2. Si una de las entradas es un 1, se hace salir un 1. Si ninguna de las dos entradas es un 1, se hace salir un 0. Esta puerta no tiene ningn anlogo en lgebra binaria puesto que selecciona el valor medio. La tabla siguiente ilustra esta operacin:

Tabla 1.2.14. La funcin medioWladimir Ortiz Fernndez WOF-

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MAGNITUD Su smbolo esquemtico es:

El propsito de este operador es comparar la magnitud de dos entradas. Si un valor es menos, se hace salir un cero. Si es igual, se hace salir el. Y si es mayor, se hace salir dos. La tabla siguiente ilustra esta operacin:

Tabla 1.2.15. La funcin de la magnitud

El p denota el primario (o A en la tabla antedicha) entrada. Las leyes algebraicas de Trinary son virtualmente iguales para otras ramas de las matemticas.

APLICACIONES. Los siguientes dispositivos utilizan lgica ternaria, los mismos de los cuales se encuentran patentados. Desmoduladores digitales del multi-valor ternario y ms alto/descramblers; Desmoduladores digitales del multi-valor ternario y ms alto/descramblers; Desmoduladores ternarios y del multi-valor de la seal numrica, descramblers y generadores de la secuencia; Elementos de la informacin digital y dispositivos de memoria de retencin Multi-valued; La creacin y la deteccin del Pseudo-Ruido binario y No-Binario ordena con los circuitos de LFSR. Adems la lgica ternaria tiene otras aplicaciones coma: La lgica ternaria es mucho ms interesante que la binaria. El ternario balanceado permite representar nmeros negativos de manera natural, sin recurrir a complementos, y simplifica mucho las cosas, y llego a utilizarse en la ex Unin Sovitica para la construccin de un ordenador ternario (Setun), lstima que slo se llegase a fabricar un ordenador ternario, el Setun sovitico. Lgica Ternaria de Lucasiewicz:


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Un ejemplo de seal ternaria en televisin es el pulso de sand-castle (castillo de arena) que contiene la informacin de borrado horizontal y habilitacin de burst. El super-sand-castle, que incluye borrado vertical, es cuaternario. Relaciones ternarias para la creacin de bases de datos estructurados, como por ejemplo: Para determinar si una relacin pertenece a este tipo debemos estudiar sus claves candidatas (es decir, sus claves nicas). En este caso sabemos que toda clave fornea que pertenezca a una entidad que esta tabla relaciona se debe encontrar ya sea en la clave primaria o en alguna de sus claves nicas. Matrculas Vehculos

Nmero Matrcula (PK) Nmero Matrcula (PK)

Departamentos

Matrculas Vehculos Departamentos

Nmero Matrcula (PKFK) Nmero Departamento (PK) Nmero Veculos (PKFK) Nmero Departamento (FK)

En este caso existirn dos claves nicas adems de la clave primaria. Dichas claves nicas son (Nmero_Matrcula, Nmero_Departamento) y (Nmero_Vehculo, Nmero_Departamento). Entonces en este caso se deduce que la relacin es 1-1-1 debido a que al haber una clave fornea que no es primaria, entonces se sabe que la cardinalidad de la entidad a la cual hace referencia dicha clave fornea es 1, luego se enlista todas las claves nicas con los atributos que la componen. Para cada caso aquel atributo que no se encuentre en una clave nica y que nosotros sepamos que hace referencia a una entidad que relaciona la tabla, entonces sabemos con certeza que tiene cardinalidad 1, es decir, si Nmero_Matrcula-Nmero_Departamento componen una clave nica sabemos que Nmero_Vehculo tiene cardinalidad 1. Ahora se pasa a justificar lo anterior con un ejemplo, ingresando algunas tuplas a las tablas de la relacin antes citada.


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Matrculas_Vehculos_Departamentos Nm_Mat SAK 445 SAK 445 SSD 320 DFF 440 Nm_Veh 4670 890 430 4670 Nm_Dep 10 10 11 10

Vlido S No S No

Debido a que Nmero_Matrcula, Nmero_Vehculo son clave primaria de la tabla, entonces deducimos que la entidad Departamentos tiene cardinalidad 1. Ahora, a partir del ejemplo que se muestra ingresando tuplas, se deduce que un valor de Nmero_Vehculo y Nmero_Departamento estos slo pueden aparecer juntos en una misma tupla una sola vez en toda la tabla. Por ende estos dos atributos forman una clave nica, deduciendo entonces que la entidad Matrculas tiene cardinalidad 1. De la misma forma ocurre con la entidad Vehculos. Por lo tanto la representacin conceptual de este conjunto de tablas es la siguiente:

1.4 LGICA DIFUSA [FUZZY LOGIC]

INTORUCCION La lgica difusa ha cobrado una fama grande por la variedad de sus aplicaciones, las cuales van desde el control de complejos procesos industriales, hasta el diseo de dispositivos artificiales de deduccin automtica, pasando por la construccin de artefactos electrnicos de uso domstico y de entretenimiento, as como tambin de sistemas de diagnstico. La expedicin de patentes industriales de mecanismos basados en la lgica difusa tiene un crecimiento sumamente rpido en todas las naciones industrializadas del orbe. Las lgicas difusas, pues de hecho hay que hablar de ellas en plural, son esencialmente lgicas multivaluadas que extienden a las lgicas clsicas las cuales deben su nombre a que imponen a sus enunciados nicamente valores falso o verdadero. Bien que las lgicas clsicas han modelado satisfactoriamente a una gran parte del razonamiento ``natural'', es cierto que el razonamiento humano utiliza valores de verdad que no necesariamente son ``deterministas''. Por ejemplo, al calificar que `èl cielo es azul'' uno est tentado a graduar qu tan `àzul'', en efecto, es el cielo, e igualmente, si `ùnWladimir Ortiz Fernndez WOF-

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vehculo se mueve rpido'', tambin se est obligado a considerar qu tan rpido es el vehculo, aunque esto ltimo no implique necesariamente cuantificar la velocidad del vehculo con toda precisin. Las lgicas difusas tratan de crear aproximaciones matemticas en la resolucin de ciertos tipos de problemas. Pretenden producir resultados exactos a partir de datos imprecisos, por lo cual son particularmente tiles en aplicaciones electrnicas o computacionales. El adjetivo ``difuso'' aplicado a estas lgicas se debe a que en ellas los valores de verdad nodeterministas utilizados tienen, por lo general, una connotacin de incertidumbre. Un vaso medio lleno, independientemente de que tambin est medio vaco, no est lleno completamente ni est vaco completamente. Qu tan lleno puede estar es un elemento de incertidumbre, es decir, de difusidad, entendida esta ltima como una propiedad de indeterminismo. Ahora bien, los valores de verdad asumidos por enunciados aunque no son deterministas, no necesariamente son desconocidos. Por otra parte, desde un punto de vista optimista, lo difuso puede entenderse como la posibilidad de asignar ms valores de verdad a los enunciados que los clsicos ``falso'' o ``verdadero''. Consecuentemente, las lgicas difusas son tipos especiales de lgicas multivaluadas. HISTORIA Y FUNDAMENTOS DE LA LGICA DIFUSA Esta simple idea naci en un artculo de Lotfi A. Zadeh publicado en 1965 y titulado "Fuzzy Sets" (Conjuntos Difusos). La lgica difusa permite representar de forma matemtica conceptos o conjuntos imprecisos, tales como das fros, meses calurosos, personas altas, salarios bajos, guisos con mucho condimento, profesores poco valorados, etc. Pero hay que tener en cuenta que la idea en s de que las cosas no son blancas o negras, sino que existen infinitos matices de grises viene ya desde la poca de los primeros grandes filsofos como Platn. Posteriormente a ellos, otros grandes pensadores como David Hume o Kant apoyaban esta idea manteniendo que el razonamiento vena dado por las observaciones de las que somos testigos a lo largo de nuestra vida y la deteccin de algunos principios contradictorios en la lgica clsica. Tras la publicacin de Lotfi A. Zadeh, se comenz rpidamente a usar la lgica difusa en distintas aplicaciones prcticas, llegando a su mximo auge a principios de los aos 90, y continuando ste hasta la poca actual. Un tipo de lgica que reconoce ms que simples valores verdaderos y falsos. Con lgica difusa, las proposiciones pueden ser representadas con grados de veracidad o falsedad. Por ejemplo, la sentencia "hoy es un da soleado", puede ser 100% verdad si no hay nubes, 80% verdad si hay pocas nubes, 50% verdad si existe neblina y 0% si llueve todo el da. La Lgica Difusa o Fuzzy Logic es bsicamente una lgica con mltiples valores, que permite definir valores en las reas oscuras entre las evaluaciones convencionales de la lgica precisa: Si / No, Cierto / Falso, Blanco / Negro, etc. Se considera un sper conjunto de la Lgica Booleana. Con la Lgica Difusa, las proposiciones pueden ser representadas con grados de certeza o falsedad. La lgica tradicional de las computadoras opera con ecuaciones muy precisas y dos respuestas: Si o no, uno o cero. Ahora, para aplicaciones de computadores muy mal definidos o sistemas vagos se emplea la Lgica Difusa. La lgica borrosa (Fuzzy Logic) ha surgido como una herramienta lucrativa para el control de subsistemas y procesos industriales complejos, as como tambin para la electrnica de entretenimiento y hogar, sistemas de diagnstico y otros sistemas expertos. Aunque la lgica borrosa se invent en Estados Unidos el crecimiento rpido de esta tecnologa ha comenzado desde Japn y ahora nuevamente ha alcanzado USA y tambin Europa. La lgica borrosa es todava un boom en Japn, el nmero de cartas patentando aplicaciones aumenta exponencialmente. Principalmente se trata de aplicaciones ms bien simples de lgica borrosa.Wladimir Ortiz Fernndez WOF-

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La lgica difusa ha cobrado una fama grande por la variedad de sus aplicaciones, las cuales van desde el control de complejos procesos industriales, hasta el diseo de dispositivos artificiales de deduccin automtica, pasando por la construccin de artefactos electrnicos de uso domstico y de entretenimiento, as como tambin de sistemas de diagnstico. De hecho, desde hace ya, al menos, dcada y media, la expedicin de patentes industriales de mecanismos basados en la lgica difusa tiene un crecimiento sumamente rpido en todas las naciones industrializadas del orbe. Se ha considerado de manera general que el concepto de lgica difusa apareci en 1965, en la Universidad de California en Berkeley, introducido por Lotfi A. Zadeh. Las lgicas difusas, pues de hecho hay que hablar de ellas en plural, son esencialmente lgicas multivaluadas que extienden a las lgicas clsicas. Estas ltimas imponen a sus enunciados nicamente valores falso o verdadero. Bien que stas han modelado satisfactoriamente a una gran parte del razonamiento ``natural'', es cierto que el razonamiento humano utiliza valores de verdad que no necesariamente son ``tan deterministas''. Por ejemplo, al calificar que `èl cielo es azul'' uno est tentado a graduar qu tan `àzul'', en efecto, es el cielo, e igualmente, si `ùn vehculo se mueve rpido'', tambin se est obligado a considerar qu tan rpido es el vehculo, aunque esto ltimo no implique necesariamente cuantificar la velocidad del vehculo con toda precisin. Las lgicas difusas procuran crear aproximaciones matemticas en la resolucin de ciertos tipos de problemas. Pretenden producir resultados exactos a partir de datos imprecisos, por lo cual son particularmente tiles en aplicaciones electrnicas o computacionales. El adjetivo ``difuso'' aplicado a ellas se debe a que los valores de verdad no-deterministas utilizados en ellas tienen, por lo general, una connotacin de incertidumbre. Un vaso medio lleno, independientemente de que tambin est medio vaco, no est lleno completamente ni est vaco completamente. Qu tan lleno puede estar es un elemento de incertidumbre, es decir, de difusidad, entendida esta ltima como una propiedad de indeterminismo. Ahora bien, los valores de verdad asumidos por enunciados aunque no son deterministas, no necesariamente son desconocidos. Por otra parte, desde un punto de vista optimista, lo difuso puede entenderse como la posibilidad de asignar ms valores de verdad a los enunciados que los clsicos ``falso'' o ``verdadero''. As pues, reiteramos, las lgicas difusas son tipos especiales de lgicas multivaluadas. Las lgicas difusas han tenido aplicaciones de suma relevancia en el procesamiento electrnico de datos. En determinadas reas de conocimiento, a sus enunciados se les asocia valores de verdad que son grados de veracidad o falsedad, mucho ms amplios que los meros ``verdadero'' y ``falso''. En un sistema deductivo se distingue enunciados ``de entrada'' y enunciados ``de salida''. El objetivo de todo sistema manejador de una lgica difusa es describir los grados de los enunciados de salida en trminos de los de entrada. Ms an, algunos sistemas son capaces de refinar los grados de veracidad de los enunciados de salida conforme se refinan los de los de entrada. Por estas propiedades es que ciertos sistemas de lgica difusa aparentan una labor de aprendizaje, y son excelentes mecanismos de control de procesos. Desde el punto de vista tecnolgico, las lgicas difusas se encuadran en el rea de la llamada Inteligencia Artificial y han dado origen a sistemas expertos de tipo difuso y a sistemas de control automtico. En esta presentacin haremos nfasis en el carcter multivaluado de las lgicas difusas. Introduciremos primero la nocin de conjunto difuso, y las operaciones usuales en ese tipo de conjuntos. Inmediatamente despus, presentaremos ciertos tipos de clculos proposicionales de tipo difuso y de cuantificacin difusa. La lgica difusa ha cobrado una fama grande por la variedad de sus aplicaciones, las cuales van desde el control de complejos procesos industriales, hasta el diseo de dispositivos artificiales de deduccin automtica, pasando por la construccin de artefactos electrnicos de uso domstico y de entretenimiento, as como tambin de sistemas de diagnstico.Wladimir Ortiz Fernndez WOF-

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De hecho, desde hace ya, al menos, dcada y media, la expedicin de patentes industriales de mecanismos basados en la lgica difusa tiene un crecimiento sumamente rpido en todas las naciones industrializadas del orbe. Se ha considerado de manera general que el concepto de lgica difusa apareci en 1965, en la Universidad de California en Berkeley, introducido por Lotfi A. Zadeh. Las lgicas difusas, pues de hecho hay que hablar de ellas en plural, son esencialmente lgicas multivaluadas que extienden a las lgicas clsicas. Estas ltimas imponen a sus enunciados nicamente valores falso o verdadero. Bien que stas han modelado satisfactoriamente a una gran parte del razonamiento ``natural'', es cierto que el razonamiento humano utiliza valores de verdad que no necesariamente son ``tan deterministas''. Por ejemplo, al calificar que `èl cielo es azul'' uno est tentado a graduar qu tan `àzul'', en efecto, es el cielo, e igualmente, si `ùn vehculo se mueve rpido'', tambin se est obligado a considerar qu tan rpido es el vehculo, aunque esto ltimo no implique necesariamente cuantificar la velocidad del vehculo con toda precisin. Las lgicas difusas procuran crear aproximaciones matemticas en la resolucin de ciertos tipos de problemas. Pretenden producir resultados exactos a partir de datos imprecisos, por lo cual son particularmente tiles en aplicaciones electrnicas o computacionales. El adjetivo ``difuso'' aplicado a ellas se debe a que los valores de verdad no-deterministas utilizados en ellas tienen, por lo general, una connotacin de incertidumbre. Un vaso medio lleno, independientemente de que tambin est medio vaco, no est lleno completamente ni est vaco completamente. Qu tan lleno puede estar es un elemento de incertidumbre, es decir, de difusidad, entendida esta ltima como una propiedad de indeterminismo. Ahora bien, los valores de verdad asumidos por enunciados aunque no son deterministas, no necesariamente son desconocidos. Por otra parte, desde un punto de vista optimista, lo difuso puede entenderse como la posibilidad de asignar ms valores de verdad a los enunciados que los clsicos ``falso'' o ``verdadero''. As pues, reiteramos, las lgicas difusas son tipos especiales de lgicas multivaluadas. Las lgicas difusas han tenido aplicaciones de suma relevancia en el procesamiento electrnico de datos. En determinadas reas de conocimiento, a sus enunciados se les asocia valores de verdad que son grados de veracidad o falsedad, mucho ms amplios que los meros ``verdadero'' y ``falso''. En un sistema deductivo se distingue enunciados ``de entrada'' y enunciados ``de salida''. El objetivo de todo sistema manejador de una lgica difusa es describir los grados de los enunciados de salida en trminos de los de entrada. Ms an, algunos sistemas son capaces de refinar los grados de veracidad de los enunciados de salida conforme se refinan los de los de entrada. Por estas propiedades es que ciertos sistemas de lgica difusa aparentan una labor de aprendizaje, y son excelentes mecanismos de control de procesos. Desde el punto de vista tecnolgico, las lgicas difusas se encuadran en el rea de la llamada Inteligencia Artificial y han dado origen a sistemas expertos de tipo difuso y a sistemas de control automtico. En esta presentacin haremos nfasis en el carcter multivaluado de las lgicas difusas. Ser introducido primero la nocin de conjunto difuso, y las operaciones usuales en ese tipo de conjuntos. Luego se presentarn ciertos tipos de clculos proposicionales de tipo difuso y de cuantificacin difusa. En la Antigua Grecia, Aristteles introdujo las Leyes del Conocimiento, las que posteriormente seran el sustento de la Lgica clsica. Sus tres Leyes fundamentales eran:

Principio de Identidad Ley de la Contradiccin Ley del Tercero Excluido


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La ley del Tercero Excluido afirma que para toda proposicin p, bien p ~p deben ser verdaderas, sin que haya ninguna proposicin verdadera entre ellas. Es acaso totalmente cierto? En principio podramos pensar que as es, pero ciertamente nos surgen dudas al llenar un vaso hasta la mitad, y proponer como proposicin p 'lleno'. Nos encontraremos que el vaso o est lleno, o est vaco... Platn ya plant los fundamentos de lo que hoy se conoce como lgica difusa, indicando que haba una tercera regin entre verdadero y falso: los grados de pertenencia. Posteriormente, se indag en el concepto de lo vago, lo similar, la ambigedad. En el siglo XVIII, tanto George Berkeley como David Hume describieron y explicaron que el ncleo de un concepto atrae conceptos similares. A principios del siglo XX, Bertrand Russell estudi las vaguedades del lenguaje, siendo Ludwig Wittgenstein el que estudi las formas en las que una palabra puede ser empleada para muchas cosas que tienen algo en comn. Fue Jan ukasiewicz el primero que propuso una alternativa sistemtica a la lgica bi-valuada de Aristteles, una lgica de vaguedades. La describi como la lgica de los 3 valores o tri-valuada, con el tercer valor siendo 'Posible'. Sin embargo, aunque la Historia lo haya olvidado, hemos de reconocer al filsofo cuntico Max Black como el precursor de la Lgica difusa. Black define en 1937 el primer conjunto difuso mediante una curva que recoga la frecuencia con la que se pasaba de un estado a su opuesto, una idea que pas totalmente inadvertida por ser contraria al empirismo lgico que para entonces primaba entre los filsofos de la ciencia. En los 60 Lotfi Asker Zadeh, basado en las ideas de Black, cre (segn algunos, simplemente descubri) la 'lgica difusa', que combina los conceptos de la lgica y de los conjuntos de Jan ukasiewicz mediante la definicin de grados de pertenencia. No fue, sin embargo, hasta 1973 cuando propuso la teora sobre la lgica difusa, que supuso una autntica revolucin en los cimientos de la lgica clsica. Propuso que la funcin miembro operase en el rango de los nmeros reales [0,1], adems de nuevas operaciones para el clculo lgico y mostr que la lgica difusa era una 'generalizacin' de la lgica clsica. DEFINICIN La Lgica Difusa es una extensin de la Lgica Multivaluada, que adems est relacionada y fundamentada en la teora de conjuntos difusos. Segn esta teora, ser una funcin de transferencia (que tomar cualquiera de los valores reales comprendidos en el intervalo [0,1]) la que determine el grado de pertenencia de un elemento a un conjunto. Ejemplo: Segn la lgica Convencional, un recinto est solamente Oscuro (0) Claro (1). Para la Lgica Difusa Son posibles condiciones intermedias como muy Claro, Algo Oscuro, Ligeramente claro, etc. La lgica Difusa nos permite ser relativamente imprecisos en la representacin de un problema y an as llegar a una muy buena solucin. Maneja la incertidumbre y la imprecisin. Un ejemplo clsico es el de aparcar un coche. Este se puede aparcar fcilmente cuando no se ha fijado una posicin final exacta. Pero si se fija una posicin final deseada en milmetros y segundos de arco, la solucin de este problema tardara mucho (clculos complejos) y su costo sera elevado. Cundo la COMPLEJIDAD de un problema crece, la posibilidad de analizarlo en trminos PRECISOS disminuye


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DE DNDE PROCEDE Y EN QU CONSISTE LA LGICA DIFUSA? La Lgica Difusa se deriva de la Teora de los conjuntos difusos, y su razonamiento se basa en la aproximacin a la percepcin humana: no todo es blanco o negro, los distintos tipos de grises predominan en el pensamiento humano. Por tanto, se da prioridad a la aproximacin ms que a la precisin, la cual reciba toda la atencin e importancia de la lgica clsica. Puede ser imaginada como la aplicacin prctica de la Teora de los conjuntos difusos junto a la extraccin de valores reales de problemas complejos, Teora desarrollada por Klir y Yuan en 1997. Llegados a este punto, es importante establecer que existen diferencias entre grados de verdad y probabilidades, desconocidas para muchos. La verdad difusa (los distintos tipos de verdad) representa que se es miembro de unos conjuntos vagamente definidos, no indica probabilidad o algn tipo de condicin. El ejemplo siguiente aclarar esta definicin: Juan est en un parque de atracciones, el cual se compone de exclusivamente 2 montaas rusas. Los recintos de ambas son totalmente adyacentes. En muchos casos, el estado de Juan en el conjunto que definimos como "en la montaa rusa sencilla" est completamente claro: est en el conjunto "en la montaa rusa sencilla", o en el conjunto "no en la montaa rusa sencilla". Pero... qu pasa cuando Juan est entre los dos recintos? Podramos considerar que est "parcialmente en la montaa rusa sencilla". Cuantificar este estado parcial nos lleva a su pertenencia a conjuntos difusos. Con una pierna en la montaa rusa sencillar, podramos decir que Juan est en un 85% "en la montaa rusa sencilla" y un 15% "en la montaa rusa peligrosa", por ejemplo. Sin embargo, ningn evento (como tirar una moneda) nos dir si Juan est completamente "en la montaa rusa sencilla" o "no en la montaa rusa peligrosa", mientras que est situado entre los dos recintos. El 85% no nos est indicando la probabilidad de que Juan est en uno de los dos recintos, sino nos indica que su cuerpo est en unos de los recintos en un porcentaje de su masa, y en el otro recinto con otro porcentaje de su cuerpo. Esto es debido a que los conjuntos difusos se basan en vagas definiciones de conjuntos, no en aleatoriedad. Es por esto por lo que la 'lgica difusa' permite pertenecer a conjuntos cuyos valores varen de 0 a 1 (ambos incluidos), y permite usar conceptos imprecisos como "ligeramente", "bastante" y "mucho". Eso no es todo, sino que se permite la inclusin 'parcial' en un conjunto. La 'lgica difusa' es vlida para ciertas aplicaciones y para otras no. Pese a que tiene una enorme aceptacin y un amplio registro de aplicaciones exitosas, algunos ingenieros de control la rechazan para validacin y otras razones, y por algunos estadsticos, los cuales mantienen que la probabilidad es la nica descripcin matemtica rigurosa para describir 'lo incierto'. La idea bsica que subyace bajo el uso de la tecnologa de la Lgica difusa, es la aproximacin al pensamiento humano en el cual se va a llevar a cabo un racionamiento en base a mltiples variables medidas de forma difusa, de esta forma se va intentar imitar la inteligencia humana teniendo en cuenta todos los factores posibles. Desde este punto de vista el racionamiento humano es difuso, siendo esta una de las claves del exitoso desarrollo del ser humano. La capacidad de anlisis del entorno y el ser capaz de tomar decisiones teniendo en cuenta todas las entradas posibles medidas de una forma no matemtica. UTILIDAD DE LA LOGICA DIFUSA. La idea de este principio parte de que la complejidad de un sistema hace que resulte mucho ms difcil o casi imposible determinar cmo ser su comportamiento, llegando un punto en el cual es imposible llegar a una solucin sin utilizar la lgica difusa. Esta idea se apoya en una serie de conceptos, que se van a clarificar para hacer ms sencilla la comprensin de los sistemas de lgica difusa: Fuzzy Sets o conjuntos difusos: desde el punto de vista de que se aplican palabras a la definicin de cualquier propiedad por ejemplo: mujeres altas, edificios viejos, hombres bajos,Wladimir Ortiz Fernndez WOF-

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elevada inteligencia, baja velocidad, viscosidad moderada Desde este punto de vista estos valores no podran ser definidos solo con 2 valores, 0 y 1, se ha de establecer un peso para la caracterstica estableciendo valores intermedios ( ejemplo entre 0 y 1 tomando todos los valores intermedios, o bien estableciendo una escala de 0 a 100). Grado de pertenencia: este valor establece el punto de transicin entre 0 y 1 entre las condiciones del conjunto difuso, por ejemplo si se establece que un edificio en el aspecto de lo nuevo que es tiene un valor de 7 , este ser el grado de pertenencia entre los nuevos edificios. Un ejemplo de uso del grado de pertenencia podra ser el siguiente, en el control de la velocidad de un vehculo, se contemplara la pertenencia en el aspecto de velocidad excesiva y no existe necesidad de cambio en la velocidad. Con estos dos aspectos se podra calcular cual es la accin que se ha de llevar a cabo segn los valores de entrada de estos valores. Resumen de la informacin: la percepcin que tienen los seres humanos de su entorno es por naturaleza difusa, esto se debe a que no se usa la lgica bivaluada, a travs de un proceso mental inherente a la percepcin humana se llega a una salida, la cual es verbalizada. (A partir de un conjunto de entradas puede determinarse la situacin). Los seres humanos reciben ingentes cantidades de informacin , debido a la capacidad que los seres humanos poseen para manipular conjuntos difusos se pueden resumir, esta caracterstica es una de las grandes diferencias entre el proceso en los seres humanos y en las maquinas. La emulacin de esta habilidad humana es el desafo afrontado para llevar a cabo el desarrollo de la inteligencia artificial. Variable difusa: es cualquier valor que est basado en la percepcin humana ms que en valores precisos de medicin ( Ej. un color, que est compuesto en realidad por varias tintas, si la presin de la caldera es excesiva, si la temperatura del agua es la adecuada, si la cantidad de sal que lleva la tortilla es excesiva, si la velocidad de un tren es elevada) todas estas dependen de la percepcin y estn vinculadas con el uso del lenguaje y pueden ser usadas en estructuras del tipo if-then, como por ejemplo: if velocidad es excesiva then reducir la presin sobre el acelerador. Universo de discurso: Este es el conjunto de elementos que vamos a tener en consideracin, por ejemplo si se considera que las personas de una comunidad, este universo estar formado por las personas bajas, las personas altas, los hombre con gafas

CONJUNTOS DIFUSOS Conceptos bsicos. Un universo es una coleccin de objetos de los que se hablar en una lgica especfica. Por ejemplo, si se ha de tratar de contribuyentes al fisco, entonces el universo consistir de las personas fsicas o morales que pagan o han de pagar impuestos y, naturalmente, de las cantidades pagadas como impuesto. Si se habla de automviles y sus refacciones, el universo consistir de los objetos involucrados, a saber, automviles y componentes de ellos que sean relevantes en el discurso. Un conjunto en el universo es, desde un punto de vista intuitivo, una coleccin de objetos en el discurso tal que es posible decidir cundo un objeto del universo est o no en esa coleccin. En el universo de contribuyentes, las personas fsicas forman un conjunto, las personas morales otro, los contribuyentes cuyo pago anual de impuestos excede 105 unidades monetarias forma un conjunto, etc. Abstrayendo laWladimir Ortiz Fernndez WOF-

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nocin de conjunto, se puede considerar que un conjunto es exactamente una funcin del universo en el conjunto de valores 0,1 que asocia precisamente el valor 1 a los objetos que estn en el conjunto y el valor 0 a los que no1. Un conjunto difuso es tambin una funcin que asocia a cada objeto del universo un valor en el intervalo [0,1]. Si x es un objeto en el universo y y=C(x) es el valor asociado a x, se dice que y es el grado de pertenencia del objeto x al conjunto difuso C. As pues, todo conjunto en el sentido usual es tambin un conjunto difuso. Los conjuntos usuales merecen un nombre especial. En ingls, por ejemplo, se les llama de manera convencional crisp2 sets. En espaol no hay una tal convencin, as que aqu los llamaremos sencillamente conjuntos usuales. El conjunto vaco coincide con la funcin idnticamente cero y el universo coincide con la funcin constante 1. Por ejemplo, en el universo de contribuyentes, para cada contribuyente x, sea i(x) el impuesto anual pagado por x en unidades monetarias. En Mxico, podemos suponer que i(x)=104 es un valor ms o menos generalizado, i(x)=105 es un valor propio de un contribuyente de la clase media alta e i(x)=106 es propia de un millonario. Por supuesto que hay posibles valores mayores para la funcin i. Podemos distinguir un conjunto de contribuyentes mayores asocindole a cada contribuyente x el valor 1 si , el valor

si , y 0 en cualquier otro caso. En la figura 1.4.3 (a) presentamos grficamente a esta funcin que determina a un conjunto difuso de contribuyentes mayores. El eje de las x's tiene como unidades diez millares de unidades monetarias y se muestra ah nicamente a valores entre -10 y 110e4. Otro conjunto de contribuyentes mayores se puede construir asocindole a

cada contribuyente x el valor f(i(x)) donde. En la figura 1.4.3 (b) se ve la grfica de esta segunda funcin. Aqu la distincin entre contribuyentes mayores y no-mayores es ms drstica alrededor de las 500 000 unidades monetarias.

Figura 1.4.3: Dos conjuntos difusos de contribuyentes mayores.

Otros ejemplos. 1. Mnadas: Sea x un punto del universo. La funcin que vale 1 en x y 0 en cualquier otro punto se dice ser la mnada, del punto x.


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2. Valores cercanos a un centro: Consideremos como universo a un intervalo en la recta real. Sea x0 un punto del intervalo y h>0. Consideremos la funcin lineal por trozos tal que antes del extremo inferior x0-h es nula, entre x0-h y x0 va de 0 a 1, entre x0 y x0+h va de 1 a 0 y despus del extremo superior x0+h es nula. Puede verse como el conjunto de puntos cercanos a x0. En la figura 1.4.4 presentamos dos funciones de este tipo.

Figura 1.4.4: Dos conjuntos difusos de puntos cercanos a un punto.

En los conjuntos usuales, se tiene una serie de conceptos bien definidos, a saber, cundo un conjunto es un subconjunto de otro, cundo dos conjuntos son iguales, cuntos elementos tiene un conjunto, etc. En lo que resta de esta seccin presentaremos extensiones de aquellas definiciones elementales e introduciremos terminologa que utilizaremos posteriormente. Subconjuntos Dados dos conjuntos difusos A y B en un universo, diremos que A es un subconjunto de B si para todo objeto x del universo se cumple la desigualdad . Los conjuntos sern iguales si cada uno es un subconjunto del otro, en otras palabras, si para todo x, A(x) = B(x). Por ejemplo, en el conjunto de contribuyentes consideremos al conjunto mostrado en la figura 1.4.5 (a):

(1)

donde i(x) es el impuesto anual pagado por x en unidades monetarias. Ahora consideremos al conjunto de


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(2)

cuya grfica est en la figura 5 (a) (observe ah que aunque se tiene la misma forma que en la figura 1.4.5 (a) la escala de valores en el dominio de la funcin es distinta).

Figura 1.4.5: Los contribuyentes gigantes forman un subconjunto del de los contribuyentes mayores. En la grfica (a) se ve el conjunto de contribuyentes gigantes. En la (b) se ve a ambos conjuntos de contribuyentes mayores y gigantes.

Se tiene,

si

entonces

y

,

si

entonces

y

,

si

entonces

y

y finalmente

si

entonces

y

En cualquier caso


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Grficamente esto se ve en la figura 1.4.5 (b), donde la funcin que ah aparenta ser la constante 1 es la que determina el conjunto difuso de contribuyentes mayores. Por tanto el conjunto de contribuyentes gigantes es un subconjunto del de contribuyentes mayores. Todo contribuyente que sea gigante ha de ser mayor, aunque el recproco no se cumpla. Puede parecer paradjica la ec. (3), mas no lo es. Por ejemplo, un contribuyente que aporta un impuesto de, digamos, unidades monetarias tiene un grado de pertenencia a 'gigantes' igual a 1/2, mas su grado de pertenencia a mayores es 1. Es pues mayor con toda certeza, mas no tanto es gigante. Cortes Estas operaciones en conjuntos difusos permiten transformarlos en conjuntos usuales. Fijo un umbral a se toma a los elementos cuyo grado de pertenencia al conjunto difuso sea al menos a. Sea A un conjunto difuso y sea un nmero entre 0 y 1. El corte-a de A es el conjunto, en el sentido usual, consistente de aquellos objetos cuyos grados de pertenencia a A superen, estrictamente, el valor a. En el ejemplo arriba de contribuyentes gigantes si se fija, por ejemplo consta de los contribuyentes cuya contribucin anual exceda a las entonces el corteunidades monetarias.

Si a>0, el corte-a cerrado de A es Aa el cual conjunto consta de los puntos cuyos grados de pertenencia a A no sea inferior a A. Tamaos Con esta nocin contaremos a los elementos de un conjunto difuso. El tamao, o cardinalidad, de un conjunto difuso A en un universo dado es la suma, sobre los elementos del universo, de los grados de pertenencia a A:

El peso relativo, respecto a A, de cada objeto x del universo es

Por ejemplo, en el recuadro (1.4.1) presentamos un universo de 10 contribuyentes, cada uno con su respectivo impuesto anual, y sus grados de pertenencia a los conjuntos de contribuyentes mayores y gigantes. Contribuyente Impuesto Grado Grado PesoRel PesoRel

mayores gigantes mayores gigantes Azcrraga BrachoWladimir Ortiz Fernndez

8 454 10

1 0

18.30 1.66

77.59 0.00WOF

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Crdenas De la Madrid Elizondo Fox Gmez Hernndez Iglesias Jimnez Tamaos:

200 300 4 945 1 34 1 000 2

1 1 0 1 0 0 0 1 0

18.30 18.30 .55 18.30 0.00 6.10 18.30 0.18

1.83 2.74 0.00 8.67 0.00 0.00 9.17 0.00

Tabla 1.4.1: Un universo de 10 contribuyentes

El tamao del conjunto mayores en ese universo es

o sea, la suma de la tercera

columna en el recuadro (1.4.1). El del conjunto gigantes es o sea, la suma de la cuarta columna. As pues, podemos pensar que mayores abarcan aproximadamente el 54% de los 10 miembros del universo y gigantes el 11%. Los pesos relativos de cada contribuyente en los dos conjuntos aparecen, multiplicados por 100 para expresarlos como porcentajes, en el mismo recuadro (1.4.1), en sus ltimas columnas. Momentos Los momentos en un conjunto difuso son parmetros correspondientes a promedios ponderados de los grados de pertenencia de los elementos en el universo al conjunto difuso. El valor esperado, o centroide, de un conjunto difuso A es el promedio Inclusive, se define la nocin de m-simo momento de A como

Los momentos de un conjunto difuso proporcionan informacin sobre la distribucin de los puntos en ese conjunto difuso.


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Por ejemplo, en el recuadro (1.4.2) presentamos los momentos de rdenes 1, 2, 5 y 20 de los conjuntos mayores y gigantes en el universo de los 10 contribuyentes. Orden k k-simo momento de k-simo momento de mayores 1 2 5 20 gigantes

0.937004051606639 0.6812326310655667 0.921892613092972 0.5674392997837057 0.915223398204837 0.3521307053587635 0.914972273584962 0.0329106898382526

Tabla 1.4.2: Momentos de orden 1, 2, 5 y 20 en el universo de 10 contribuyentes.

El momento de orden 1 es el centroide. Para el conjunto mayores, se tiene que el valor esperado del grado de pertenencia a ese conjunto es 0.93... La manera en la que decrecen los valores de los momentos muestra que la nocin de mayores est distribuda ms uniformemente que la de gigantes en el universo planteado en el recuadro (1.4.2). Realces Un realce es una funcin unaria que hace el papel de un adverbio en un conjunto difuso. Dado un conjunto difuso A el realce de A bajo r es la funcin que se obtiene de aplicar primero A y luego r, llamada tambin la composicin . Un realce es pues un subconjunto difuso en el intervalo unitario [0,1]. Si para cada t, , decimos que r es un realce diminutivo4 en tanto que si para cada t, , decimos que r es un realce aumentativo. En el ejemplo ms adelante se ver una justificacin de esta terminologa. Para cada p>0, la funcin es un realce. Para el realce rp es diminutivo y para , rp es aumentativo. .

En la figura 1.4.6 se muestra las grficas de las funciones rp para

Figura1.4 6: Grficas de las funciones rp para.

En la figura 4 se muestra las grficas de las funciones rp paraWladimir Ortiz Fernndez

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Figura 1.4.7: (a) Grfica de la funcin r0. (b) Grfica de la funcin

Como casos extremos estn p=0, que hace 1 a todo grado de pertenencia positivo segn se ve en la figura 5 (b), y , que hace 0 a todo grado de pertenencia inferior a 1 segn se ve en la figura 5 (c). r0 es el ms diminutivo de los realces rp y el ms aumentativo.

Ejemplo: Consideremos como universo al conjunto de vehculos de transporte. Sea veloz el conjunto difuso que a cada vehculo v le asocia el valor , donde V(v) es la velocidad promedio, medida en con la que v recorre la distancia entre dos puntos prefijados. ,

En el recuadro (1.4.3) mostramos algunos ejemplos de valores de velocidad y su grfica, visto como funcin.

Ejemplos de valores de velocidad y su grfica

Vehculo v

Vel. en 100


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150 500 900 1000

Tabla 1.4.3: Ejemplos de qu tan veloces son algunos vehculos (las expresiones entre llaves indican perodos repetidos en la expansin decimal.).

Ahora bien, consideremos el realce diminutivo

Entonces para cada posible vehculo v tendremos

En el recuadro (4) mostramos los mismos ejemplos considerando el conjunto difuso al menos un poco veloz.

Ejemplo considerando el conjunto difuso


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Tabla 1.4.4: Ejemplos de qu tan al menos un poco veloces son algunos vehculos.

Los vehculos que son menos rpido tienen un grado de pertenencia mayor al conjunto Al menos un poco veloz. Similarmente, consideremos el realce aumentativo.

Entonces para cada posible vehculo v tendremos En el recuadro (5) mostramos los mismos ejemplos considerando el conjunto difuso muy veloz.

Ejemplo considerando el conjunto difuso muy veloz

Ejemplos de qu tan muy veloces son algunos vehculos. Tambin aqu, los vehculos veloces tienen un menor grado de pertenencia a los Muy veloces. DESDIFUSIFICAR.


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Tabla 1.4. 5: Ejemplos de qu tan muy veloces son algunos vehculos.

Tambin aqu, los vehculos veloces tienen un menor grado de pertenencia a los Muy veloces. DESDIFUSIFICAR. La operacin de desdifusificar, u operacin-DF para abreviar, consiste en seleccionar un elemento representativo de un conjunto difuso. Con esta operacin se suprime lo difuso porque habiendo estimado propiedades de un conjunto difuso, se elige a un objeto concreto que lo representa. Para esto, existen diversos criterios. Primer mximo Tmese como representante de un conjunto difuso al primer elemento xAen el universo X, de

acuerdo con un orden dado, tal que. Este criterio conlleva la dificultad de calcular un valor mximo de una funcin real, precisamente A, definida sobre X. Corte-a Dado un conjunto difuso A en un universo X, sea un nmero real positivo, pero estrictamente menor que 1. Diremos que el nmero a es el umbral de corte. Eljase un elemento Centroide Dado un conjunto difuso A en un universo X, sea elemento tal que:Wladimir Ortiz Fernndez

en l centroide.

su centroide. Eljase al

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es decir, x0 es uno de los elementos en el universo X cuyo grado de pertenencia a A es el ms cercano al valor esperado de los valores de A. Por ejemplo, con este criterio, cualquiera de los contribuyentes Azcrraga, Crdenas, De la Madrid, Fox o Iglesias, desdifusifica al conjunto de mayores, y slo Azcrraga desdifusifica al de gigantes. De manera ms general, para , se puede elegir al elemento tal que:

es decir, x0 es uno de los elementos cuyo grado de pertenencia a A tiene una k-sima potencia ms cercana al k-simo momento

Centro de gravedad Supongamos por ahora que el universo X posee una estructura geomtrica de espacio vectorial. Dados dos vectores se tiene definida su suma, x1+x2, y para cada nmero real t se tiene tambin la elongacin t x1 del vector x1 por el escalar t. Para fijar ideas, el lector puede suponer que X es el espacio tridimensional Dado un conjunto .

de n puntos en X, y dados n coeficientes tales que , el vector se dice ser una suma convexa de los elementos de X' y est precisamente en el poliedro mnimo que contiene a X'. Recprocamente, se tiene que dado cualquier punto xen ese poliedro mnimo han de existir coeficientes tales que y . Por esta razn a ese poliedro mnimo se le llama la cerradura convexa de X'. Un conjunto difuso A en X se dice ser convexo si para cualesquiera n puntos y cualesquiera ncoeficientes tales que , se tiene:

Sea Recordamos que el corte-a cerrado Aa de A consta de todos los puntos cuyo grado de pertenencia a A no es inferior al valor a. El centro de gravedad de altura a de A es


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El centro de gravedad C(A,a) es pues el promedio de los elementos en el corte-a de A. El centro de gravedad bsico es el centro de gravedad de altura 0. El centro de gravedad mximo es el centro de gravedad de altura . En el caso de que A sea un conjunto convexo, cualquiera de los centros bsico o mximo puede ser un buen representante del conjunto difuso A. Sin embargo, si A no es convexo, la seleccin por centros puede ser muy desafortunada. Por ejemplo, si A fuese un conjunto usual, entonces se podra elegir a un elemento fuera de A con este criterio. Ejemplo. Sea X=[0,1] y sea Ap el conjunto difuso , con p>0. Para p=2 la grfica de Ap es una

parbola. Para , coincide con la grfica de la raz cuadrada segn se muestra en la figura 6. Si , el conjunto Ap es convexo. Dado . se tiene: . Por tanto, el corte-a cerrado es y, un clculo directo muestra que

As pues, el tamao de este corte-a es El centro de gravedad es pues:

que, en trminos de a y p define una funcin cuya grfica se muestra en la figura 1.4.7.


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Figura 1.4.7: El centro de gravedad, en trminos de la altura a, con .

, y del exponente p, con

Para , el conjunto Ap es convexo. Por lo cual, el grado de pertenencia del centro no ser inferior al promedio de los grados de pertenencia. En este caso, de la anterior ecuacin se ve que cuando , es decir, cuando p decrece hacia cero, entonces independientemente del umbral el centro tender a ser 1/2, es decir, el centro de gravedad tender a ser el punto medio del universo. Vase esto en la figura 1.4.8 (a), donde se ve la grfica de centros de gravedad, rotada de manera que en un primer plano aparezca el correspondiente a p=0, y la escala de valores de la altura a.

Figure 1.4.8: (a) Vista de la funcin de centros de gravedad desde el plano p=0. (b) Vista de la funcin de centros de gravedad desde el plano a=0.

Para p> 1, el conjunto Ap no es convexo. En particular, si p fuese un entero, lo cual resulta

de donde se ve que el centro bsico es . Este valor, a todas luces, es ms bien bajo pues se est considerando en el promedio a muchos valores que son pequeos. En el otro extremo, el centro mximo es C(Ap,1)=1, como era de esperarse. Estos dos aspectos quedan mostrados en la figura 7 (b). En un primer plano aparece el caso de a=0 y al fondo el de a=1. As pues, para conjuntos no-convexos, en tanto es mayor el umbral, ser mejor la seleccin del centro de gravedad. OPERADORES COMPOSICIONALES Es bien sabido que los conjuntos usuales pueden ser operados para formar otros nuevos. Las operaciones tpicas entre conjuntos son la unin, la interseccin y el complemento respecto a un universo. Con estas operaciones, el conjunto de conjuntos usuales forma una estructura algebraica llamada precisamente lgebra booleana. En esta seccin veremos algunas maneras de extender las operaciones conjuntistas convencionales a conjuntos difusos.Wladimir Ortiz Fernndez WOF-

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Negaciones. Veamos cmo extender a la operacin de complemento. En los conjuntos usuales, un punto est en el complemento de un conjunto si y slo si no est en el conjunto. Si vemos al conjunto como su propia funcin caracterstica, tenemos que la operacin complemento voltea los valores de pertenencia: A los puntos donde se tuviese un valor de pertenencia 1 el complemento les asignar el valor 0 y viceversa. Un operador de negacin es pues una funcin N que a cada valor t en el intervalo [0,1] le asocia un valor N(t) en el mismo intervalo [0,1], de manera tal que N(0)=1, N(1)=0 y que adems es una funcin no-creciente, es decir, si Ejemplos. Las siguientes son negaciones: Lineal. La funcin es una negacin. Su grfica se ve en la figura 8. entonces .

Figura 1.4.9: Tpica funcin de negacin

.

Negacin de la verdad. Sea la funcin .

Su grfica se ve en la figura 1.4.10 (a). Negacin de la falsedad.

Sea

la funcin

.

Su grfica se ve en la figura 1.4.10 (b).


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Figure 1.4.10: (a) Negacin de la verdad. (b) Negacin de la falsedad.

Si A es un conjunto difuso y N es una negacin, entonces la composicin es el complemento de A bajo el operador N. Observacin Si C es un conjunto usual y N es una negacin cualquiera, el complemento de C bajo N coincide con el complemento de C en el sentido usual. Por ejemplo para el conjunto de contribuyentes mayores definido por la ecuacin se tiene.

donde i(x) es el impuesto anual pagado por x en unidades monetarias. Cada una de estas negaciones introduce un criterio propio para decidir cundo un contribuyente NO es mayor. Las extensiones de la negacin no necesariamente poseen todas las propiedades de la negacin usual. Observacin: El principio de la doble negacin slo vale para el ndice p=1. Es decir: 1. Para todo : N1(N1(x))=x. As pues, para cualquier conjunto difuso A: . 2. Para , para todo

Para todo conjunto difuso A,


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