UNIVERSIDAD JOS CARLOS MARITEGUI INGENIERA CIVILPROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL1.- Una compaa fabrica y venden dos modelos de lmpara L1y L2. Para su fabricacin se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de mquina para L1y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la mquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1y L2, respectivamente, planificar la produccin para obtener el mximo beneficio.1Eleccin de las incgnitas.x = n de lmparas L1y = n de lmparas L22Funcin objetivof(x, y) = 15x + 10y3RestriccionesPasamos los tiempos a horas20 min = 1/3 h30 min = 1/2 h10 min = 1/6 hPara escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:L1L2Tiempo

Manual1/31/2100

Mquina1/31/680

1/3x + 1/2y 1001/3x + 1/6y 80Como el nmero de lmparas son nmeros naturales, tendremos dos restricciones ms:x 0, y 04Hallar el conjunto de soluciones factiblesTenemos que representar grficamente las restricciones.Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante.Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.Resolvemos grficamente la inecuacin: 1/3 x + 1/2 y 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).1/30 + 1/20 1001/30 + 1/60 80La zona de interseccin de las soluciones de las inecuaciones sera la solucin al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

5Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.La solucin ptima si es nica se encuentra en un vrtice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas:1/3x + 1/2y = 100; x = 0(0, 200)1/3x + 1/6y=80; y = 0(240, 0)1/3x + 1/2y = 100;1/3x + 1/6y=80(210, 60)

6Calcular el valor de la funcin objetivoEn la funcin objetivo sustituimos cada uno de los vrtices.f(x, y) = 15x + 10yf(0, 200) = 150 + 10200 = 2 000 f(240, 0 ) = 15240 + 100 = 3 600 f(210, 60) = 15210 + 1060 = 3 750 MximoLa solucin ptima es fabricar210 del modelo L1y60 del modelo L1para obtener un beneficio de3 750

2.- Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolgrafos para la oferta, empaquetndolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondr 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolgrafos; en el segundo, pondrn 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolgrafo. Los precios de cada paquete sern 6.5 y 7 , respectivamente. Cuntos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el mximo beneficio?1Eleccin de las incgnitas.x = nmero de paquetes P1y = nmero de paquetes P22Funcin objetivof(x, y) = 6.5x + 7y3RestriccionesP1P2Disponibles

Cuadernos23600

Carpetas11500

Bolgrafos21400

2x + 3y 600x + y 5002x + y 400x 0y 04Hallar el conjunto de soluciones factibles

5Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6Calcular el valor de la funcin objetivof(x,y) = 6.5 200 + 7 0 = 1300 f(x,y)= 6.5 0 + 7 200 = 1 400 f(x,y)= 6.5 150 + 7 100 = 1 675 MximoLa solucin ptima son150 P1y100 P2con la que se obtienen1 675 3.- En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado slo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo T1 con una composicin de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, T2, con una composicin de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo T1 es de 10 euros y del tipo T2 es de 30 . Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo?1Eleccin de las incgnitas.x = cantidad de T1y = cantidad de T22Funcin objetivof(x,y) = 10x + 30y3RestriccionesT1T2Mnimo

A1515

B5115

x + 5y 155x + y 15x 0y 04Hallar el conjunto de soluciones factibles

5Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las soluciones factibles.

6Calcular el valor de la funcin objetivof(0, 15) = 10 0 + 30 15 = 450f(15, 0) = 10 15 + 30 0 = 150f(5/2, 5/2) = 10 5/2 + 30 5/2 = 100 MnimoEl coste mnimo son 100 para X = 5/2 e Y = 5/2.

Ejercicio 4 MIN 8X + 6Y S.A. 2X + Y >= 10 .......2X + 2Y >= 16 ..... ..X>= 0, Y>= 0Para resolver el problemaD)graficamos el dominio de puntos factibles y las curvas de nivel asociadas a la funcin objetivo:

El rea achurada en color verde representa el dominio de puntos factibles del problema D), es decir, son las distintas combinaciones de valores que pueden adoptar las variables de decisin que satisfacen las restricciones del problema. Cabe destacar que esto corresponde a undominio no acotado, lo que no implica que el problema no tenga solucin.Por otra parte sabemos que el ptimo de un problema lineal se encuentra en un vrtice o frontera del dominio de puntos factibles. En este caso tenemos3vrtices candidatos al ptimo los cuales se sealan con flecha blanca y azul. El vrtice(X,Y)= (0,10)conV(P)=60; (X,Y)=(2,6)conV(P)=52 y (X,Y)=(8,0)conV(P)=64. El mnimo valor para la funcin objetivo se alcanza en(X,Y)=(2,6)conV(P)=52, el cual resulta ser laSolucin ptimadelEjercicio 4). Sin embargo, una forma ms eficiente para obtener el ptimo que no implique evaluar cada vrtice en la funcin objetivo, es desplazando lascurvas de nivelde la funcin objetivo en la direccin del mximo decrecimiento (en el caso de un problema de minimizacin). Para un problema de minimizacin, el mayor decrecimiento se alcanza en la direccin del vector "- Gradiente F(X,Y)", en nuestro caso el vector con direccin(-8,-6)(direccin representada por flecha roja). Luego, el ptimo se alcanza en el ltimo punto donde las curvas de nivel intersectan al dominio de puntos factibles en la direccin del mximo decrecimiento, cuya solucin obviamente corresponde a(X,Y)=(2,6)conV(P)=52.