PAC1 Mariajose Vidal Morant

06.507 · Matemàtiques per Multimèdia I · PAC1 · 2012-13 · Grau de Multimèdia · Estudis d’Informàtica Multimèdia i TelecomunicacióAlumno: Mª José Vidal Morant Profesores; Raquel Buil Mur

Salvador Linares Mustarós

PAC1. “Flash” i “Aspectes bàsics i sistemes de coordenades”

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EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 0

Exercici 1

Adjunteu el .fla solució de l’exercici 1 del tauler general

Propio dibujo

Exercici 2


La foto es propia aplicandole un filtro

Exercici 3


Exercici 4


La foto que he insertado tenia esta licencia

Este ejercicio me ha costado mucho no tengo claro lo de simbolos y video, para luego poder hacer la animacion y en el texto habia truco pues no me permitia editar hasta que lo he cambiado

Exercici 5


2



EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 4

Exercici 6

a) Calculeu la matriu resultant:

Primero que todo tendríamos que realizar las multiplicaciones de las operaciones matrices de la misma densidad 2x2, y luego según sus resultados se restarían y nos darían la solución de la matriz, paso a realizarlo1 multiplicación:

Celda 11=f1a * C1b =(-1)*(-2) + (1)*(5)=+2+5= 7Celda 12=f1a * C2b =(-1)*(-2) + (1)*(0)=+2+0= 2Celda 21=f2a * C1b =(2)*(-2) + (3)*(5)=-4+15= 11Celda 22=f2a * C2b =(2)*(-2) + (3)*(0)=-4+0= -4

2 multiplicación:Celda 11=f1a * C1b =(1)*(-1) + (1)*(-1)=-1+(-1)= -2Celda 12=f1a * C2b =(1)*(-1) + (1)*(-1)=-1+(-1)= -2Celda 21=f2a * C1b =(1)*(-1) + (0)*(-1)=-1+(-0)= -1Celda 22=f2a * C2b =(1)*(-1) + (0)*(-1)=-1+0= -1

3 Con las dos matrices resultantes realizamos la resta de matrices:Celda 11=a11 – b11 =7-(-2)= 9Celda 12=a12 – b12 =2-(-2)= 4Celda 21=a21 – b21 =11-(-1)=12Celda 22= a22 – b22 =(-4)- (-1)=-3

b) Trobeu les matrius A i B tals que:

Para la realización de este ejercicio e convertido A en una matriz o por incógnitas, luego he comprobado realizando la suma que me diera correcto el resultado

Celda a11 seraa11 +1=0a11=0-1a11=-1

Celda a12 seraa12 +3=0a12=0-3a12=-3

Celda a21 seraa21 +(-1)=0a21=0+1a21=+1

Celda a22 seraa22 +0=0a22=0-0a22=0

Si lo compruebo

3



Celda 11=a11 + b11 =(-1)+1= 0Celda 12=a12 + b12 =(-3)+3= 0Celda 21=a21 – b21 =1+(-1)=0Celda 22= a22 – b22 =0+0=-0

Para la realización de este ejercicio e convertido B en una matriz o por incógnitas, luego he comprobado realizando la multiplicación que me diera correcto el resultado

Resultado R11 sera;R11 ; (b11 *1)+b12*(-1)=1 b11-1b12=1 b11=(1+1b12)R11 = b11 = 4

Resultado R21 sera;R21 ; (b21 *1)+b22*(-1)=0 b21-1b22=0 b21=+1b22

R21 = b21 = -1

Resultado R12 sera;R12; (b11 *3)+b12*(-4)=0 3b11-4b12=0R12 = b12 = 3

Resultado R22 sera;R22; (b21 *3)+b22*(-4)=1 3b21-4b22=1R22 = b22 = -1

El siguiente paso es ir remplazando y sancado los números después de despejar anteriormente

b11=(1+1b12)3b11-4b12=03(1+1b12)-4b12=03+3b12-4b12=03-b12=0

b12=3/1=3b11=(1+1b12)b11=1+3b11=4

b21=+1b22

3b21-4b22=13(1b22)-4b22=13b22-4b22=11b22=1

b22=1/-1=-1b21=+1b22

b21=1*(-1)b21=-1

c) Trobeu x, y, z i w per tal que es verifiqui la següent igualtat:

Lo voy a intentar realizar sacando las incógnitas.1.-Primero quedaría del siguiente modo:

2.-Segundo tengo que realizar la primera parte de la igualdad por medio de ecuaciones y les pondré R11, R12, R13, R14. Siendo esta una multiplicación de matrices 2x2

R11→ -1*x + 0*1/3 R11→-1x+0 R11→ -x

R21→0*x + 3*(1/3)R21→0 + 3/3R21→1

R12→-1*(-2) + 0*wR12→+2+0R12→+12

R22→0*(-2) + 3*wR21→0 + 3wR21→+3w

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3.-Tercero tengo que realizar la segunda parte de la igualdad por medio de ecuaciones y les pondré R11, R12, R13, R14. Siendo esta otra multiplicación de matrices 2x2

R11→ 0(z+w) + 1*3 R11→-0z+0w+3 R11→ 3

R21→1*(z+w) +0*3R21→1z+1w+0R21→z+w

R12→-0*4 + 1*(y-x)R12→0+1y-1xR12→+y-x

R22→1*4 + 0*(y-x)R21→4 R21→+4

4- Cuarto paso; tengo que realizar con las dos matrices que he sacado la suma de matrices y tendré hallada la igualdad. Les pondré R11, R12, R13, R14. Siendo esta una suma de matrices 2x2, que nos dara distintas ecuaciones luego resolveremos

R11→ -x+3R12→-2+y-x R21→ 1+z+wR22→ 3w+4

La igualdad resultante seria esta, para saber el número de cada celda de matriz tenemos que igualar la ecuación y hallarlas. Seguire con mi nomenclatura de R11, R12, R13, R14.

R11→ 2x = -x + 3 2x+x=3 3x=3 x = 3/3 x = 1

R12→ 2y = 2+y-x 2y=2+y – (1) 2y=2+y-1 2y-y=2-1 y = 1

R21→ 2z = 1+z+w 2z = 1+z+(-4) 2z – z = - 3 z = -3

R22→ 2w = +3w + 4 2w – 3w = 4 - 1w = 4 w = 4/(-1) w = - 4

Por consiguiente los valores son estos: X = 1Y = 1Z -3W = -4

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Exercici 7

a) Dibuixeu en uns mateixos eixos de coordenades totes les rectes següents:

Primero realizo las tablas para sacar los valores de las posiciones en x e y de cada una de las rectasx Y=x+1 x Y=2 x Y=-0,5x+1 x Y=2x-40 0+1= 1 0 2 0 (-0,5*0)+1=1 0 (2*0)-4=-42 2+1= 3 1 2 2 (-0,5*2)+1=-1+1=0 2 (2*2)-4=4-4=04 4+1= 5 Todos los

valores de y para x son 2

4 (-0,5*4)+1=-2+1=1 4 (2*4)-4=8-4=4

b) Trobeu els punts de tall entre les rectes. Assenyaleu en el dibuix anterior els quatre punts obtinguts. Pinteu l’interior del quadrilàter que els quatre punts formen.

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El Cuadrilátero que forman los cuatro puntos

c) Trobeu 5 punts de dins del quadrilàter i 5 punts exteriors.

Puntos Interiores: Puntos exterioresP1= (1,1) ;P2=(2,1); P3=(2,2); P4=(1.5,1.5)P5=(2.5, 2.5)

P1= (5,5); P2=(1,5); P3=(2,6); P4=(4,1)P5=(5,0)

d) Comproveu que els punts interiors compleixen el següent sistema d’inequacions i que els punts de fora no.

Sistema de ecuaciones Comprobación PUNTOS INTERIORES CumpleP1: (1,1)y≤x+1y≤2y≥-0,5x+1y≥2x-4

Todo el sistema de ecuaciones se cumple1 1+1 1 2 √1 2 1 2 √1 (-0,5*1)+1 1 0,5…………√1 (2*1)-4 1 -2……………√

SiSiSiSi

P1: (2,1)y≤x+1y≤2y≥-0,5x+1y≥2x-4

1 2+1 1 3 √1 2 1 2 √1 (-0,5*2)+1 1 0...…………√1 (2*2)-4 1 0……………√

SiSiSiSi

P1: (2,2)y≤x+1y≤2y≥-0,5x+1y≥2x-4

2 2+1 2 3 √2 2 2 2 √2 (-0,5*2)+1 2 (-1+1=0) √2 (2*2)-4 2 (4-4=0) √

SiSiSiSi

7



P1: (1,5 , 1,5)y≤x+1y≤2y≥-0,5x+1y≥2x-4

1,5 1,5+1 1,5 2,5 √1,5 2 1,5 2 √1,5 (-0,5*1,5)+1 1,5 (-0,75+1=0,25) √1,5 (2*1,5)-4 1,5 (3-4=1) √

SiSiSiSi

P1: (2,5 , 2,5)y≤x+1y≤2y≥-0,5x+1y≥2x-4

2,5 2,5+1 2,5 3,5 √2,5 2 2,5 2 √2,5 (-0,5*2,5)+1 2,5 (-2,25+1=-1,25) √2,5 (2*2,5)-4 2,5 (5-4=1) √

SiSiSiSi

Sistema de ecuaciones Comprobación PUNTOS EXTERIORES No Cumple

P1: (5,5)y≤x+1y≤2y≥-0,5x+1y≥2x-4

Al fallar en algunas ecuaciones ya NO CUMPLE5 5+1 5 6 √5 2 5 2 √

5 (-0,5*5)+1 1 1,5…………×

1 (2*5)-4 1 6……………×

NOSiSiNONO

P1: (1,5)y≤x+1y≤2y≥-0,5x+1y≥2x-4

5 1+1 5 2 ×

5 2 5 2 ×5 (-0,5*1)+1 5 0,5…………√5 (2*1)-4 5 -2 …………√

NONOSiSi

P1: (2,6)y≤x+1y≤2y≥-0,5x+1y≥2x-4

6 2+1 6 3 ×

6 2 6 2 ×6 (-0,5*2)+1 6 (-1+1=0) √6 (2*2)-4 6 (4-4=0) √

NONOSiSi

P1: (4 , 1)y≤x+1y≤2y≥-0,5x+1y≥2x-4

1 4+1 1 5 √1 2 1 2 √1 (-0,5*4)+1 1 (-2+1=-1) √

1 (2*4)-4 1 (8-4=4) ×√

SiSiSiNO

P1: (5 , 0)y≤x+1y≤2y≥-0,5x+1y≥2x-4

Al fallar en algunas ecuaciones ya NO CUMPLE0 5+1 0 6 √0 2 0 2 √

0 (-0,5*5)+1 0 1,5…………×

0 (2*5)-4 0 6……………×

SiSiNONO

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Exercici 8

a) Creeu en un full de càlcul tipus Excel una columna de 1081 valors numèrics des del nombre enter -360 fins al 720 d’un en un (La columna comença amb el -360, a sota hi ha el -359, a sota d’aquest el -358, etcètera fins arribar al 718, 719, 720.

En una segona columna han d’aparèixer els valors dels angles en radiants.

En una tercera columna han d’aparèixer els valors del sinus d’aquests angles.

Representeu les columnes 1 i 3 en un gràfic.

Representeu les columnes 2 i 3 en un gràfic.

Feu una captura de pantalla i adjunteu en la PAC aquesta impressió de pantalla on es vegi una part de les columnes i els dos gràfics. Adjunteu a la carpeta de PAC 1 el full de càlcul per si volem comprovar alguna part.

Insertaremos la hoja de Excel con las columnas

Otra imagen donde se ven que las columnas A son Valores numéricos, La columna B Valores de los ángulos en Radianes mediante la formula: rpg*G es decir ( π/180)*G y la Columna C los valores de los senos de dichos ángulos (=sen.( π/180)*G) en Excel (=sen(A1076*pi()/180) o (=seno(B1076)

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Nota: Nosaltres hem fet una part d’aquest exercici fent que a la segona columna apareixen els valors del cosinus dels valors en graus de la primera columna i hem obtingut la següent captura de pantalla:

b) Resoleu la següent equació sin(x) = 1.

90º es el ángulo cuyo seno vale 1.El seno no puede volver a valer uno hasta que el ángulo no valga 90º+360º=540ºSi damos otra vuelta volverá a valer uno es decir 90º+k*360º, donde k es cualquier entero

Ejm; dos vueltas k=290º+2*360=90º+720º=810º

Tiene infinidad de soluciones; x=90º+k*360º

c) Resoleu la següent equació sin(x/2) = 0.

Seno es igual a 0, en 0º, 180º y 360ºLa mitad de la circunferencia es 360/2=180Por consiguiente ½ de 360 = seno 0 que es 180º

d) Resoleu la següent equació 2sin(x) = 1.

2seno(x)=1Sin(x)=1/2 Sin(30)=1/2

La resolución seria 30º

Ya que dos veces el seno de 30=1

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Exercici 9

a) Parametritzeu una circumferència de centre (5,0) i radi 5 de forma que pel

valor del paràmetre t=0 estiguem situats sobre el punt (0,0).

Existen distintas relaciones para la parametrización de la circunferencia en este caso con el centro no esta en (0,0) cogemos dicha formula que indica la parametrización cuando el centro no es 0,0 y es esta;

P(t)=(A+Rcost, B+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 π

El centro es (5,0) siendo A=5 y B=0 y t=0P(t)=(A+Rcost, B+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 πP(t)=(5+Rcost, 0+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 πP(0)=(5+(5*1), 0+(5*0) 0 ≤ t ≤ 2 πP(0)=(10, 0)

Para explicarlo mejor cojo otro valor de t=90;El centro es (5,0) siendo A=5 y B=0 y t=90

P(t)=(A+Rcost, B+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 πP(90)=(5+Rcos(90), 0+Rsen(90)) 0 ≤ t ≤ 2 πP(90)=(5+(5*0), 0+(5*1) 0 ≤ t ≤ 2 πP(90)=(5, 5)

El centro es (5,0) siendo A=5 y B=0 y t=180P(t)=(A+Rcost, B+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 πP(180)=(5+Rcos(180), 0+Rsen(180)) 0 ≤ t ≤ 2 πP(180)=(5+(5*(-1), 0+(5*0) 0 ≤ t ≤ 2 πP(180)=(5-5 , 0)P(180)=(0, 0)

b) Trobeu 6 punts situats sobre la circumferència.

Puntos situados sobre la circunferencia1PuntoP(30)=(9,33 , 2,5)

P(t)=(A+Rcost, B+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 πP(30)=(5+Rcos(30), 0+Rsen(30)) 0 ≤ t ≤ 2 πP(30)=(5+(5*0,8660), 0+(5*0,5) 0 ≤ t ≤ 2 πP(30)=(5+4,33 , 2,5)P(30)=(9,33 , 2,5)

2PuntoP(45)=(8,5355 , 3,5355)

P(t)=(A+Rcost, B+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 πP(45)=(5+Rcos(45), 0+Rsen(45)) 0 ≤ t ≤ 2 πP(45)=(5+(5*0,7071), 0+(5*0,7071) 0 ≤ t ≤ 2 πP(45)=(5+3,5355), 0+3,5355) 0 ≤ t ≤ 2 πP(45)=(8,5355, 3,5355)

3PuntoP(60)=(7,5 , 4,33)

P(t)=(A+Rcost, B+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 πP(60)=(5+Rcos(60), 0+Rsen(60)) 0 ≤ t ≤ 2 πP(60)=(5+(5*0,5), 0+(5*0,8660) 0 ≤ t ≤ 2 πP(60)=(5+2,5), 0+4,33) 0 ≤ t ≤ 2 πP(60)=(7,5 , 4,33)

4PuntoP(120)=(2,5 , 4,33)

P(t)=(A+Rcost, B+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 πP(120)=(5+Rcos(120), 0+Rsen(120)) 0 ≤ t ≤ 2 πP(120)=(5+(5*(-0,5)), 0+(5*0,8660) 0 ≤ t ≤ 2 πP(120)=(5-2,5), 0+4,33) 0 ≤ t ≤ 2 πP(120)=(2,5 , 4,33)

5PuntoP(150)=(0,67 , 2,5)

P(t)=(A+Rcost, B+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 πP(150)=(5+Rcos(150), 0+Rsen(150)) 0 ≤ t ≤ 2 πP(150)=(5+(5*(-0,8660)), 0+(5*0,5) 0 ≤ t ≤ 2 πP(150)=(5-4,33), 2,5) 0 ≤ t ≤ 2 πP(120)=(0,67 , 2,5)

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6PuntoP(180)=(0,0)

P(t)=(A+Rcost, B+Rsent) 0 ≤ t ≤ 2 πP(180)=(5+Rcos(180), 0+Rsen(180)) 0 ≤ t ≤ 2 πP(180)=(5+(5*(-1)), 0+(5*0) 0 ≤ t ≤ 2 πP(150)=(5-5, 0+0) 0 ≤ t ≤ 2 πP(150)=(0, 0)

c) Doneu 4 punts de l’interior de la circumferència i 22 punts de l’exterior de la circumferència.

4 Puntos Interiores de la circunferencia: 2 Puntos exteriores de la circunferenciaPi1= (8,-2) ;Pi2=(8,2); Pi3=(2,2); Pi4=(2-2) Pe1= (9,5); Pe2=(1,5);

d) Dibuixeu la circumferència en uns eixos de coordenades i assenyaleu tots els punts.

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Exercici 10 Donats els punts A=(-3,7) i B = (4,-1)

a) Trobeu la parametrització de la recta. Representeu la recta en uns eixos de coordenades. Assenyaleu els punts.)

P(t)=A+t(B-A); t€ R

Vamos a por el vector directriz (director)B-A = (4,-1) – (-3 , 7)B-A = (4,+3 , -1 +(-7)) B-A= (7 , -8)

Por consiguiente la parametrización resultante es:P(t)=A+t(w) o P(t)=A+t(B-A) ;nota (w) es omega, el modulo directorP(t)=(-3,7)+t(7 , -8)

b) Trobeu un punt de la recta que estigui just al mig entre A i B. Demostreu utilitzant el teorema de Pitàgores que la distància d’A a aquest punt és igual que la distancia de B a aquest punt.

Punto Medio de la recta ABP(1/2)=A+t(w) P(1/2)=(-3 , 7)+(3,5 , -4)P(1/2)=(0,5 , 3) Este es el punto medio de la recta

Demostración según el TEOREMA DE PITAGORASPitagoras; h2=c2+c2

Se saca h=

h=

h= = 10,63

La mitad de 10,6310,63/2= 5,315

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c) Trobeu el punt que es troba sobre la recta a triple distancia de A que de B.

P(t)=A+t(w)P(3/4)=A+3/4(w)P(3/4)=(-3,7)+3/4(7,-8)P(3/4)=(-3,7)+(5,25 , -6)P(3/4)=(2,25 , 1)

El punto que esta a triple distancia de A que de BPor consiguiente de B estara a 1 distancia

Si deseara comprobarlo con la distancia B que es ¼Es la siguienteP(t)=B+t(w)P(1/4)=(4, -1)+1/4(-7, 8)P(1/4)=(4, -1)+(-1,75 , 2)P(1/4)=(2,25 , 1)Como vemos nos da el mismo punto que esta triple distancia de A que de B

d) Trobeu els punts de talls de la recta amb els eixos.

La recta corta al eje “y” cuando “x” = 0 Punto de corte x es; (3,125 , 0)La recta corta al eje “x” cuando “y” = 0 Punto de corte y es; (0 , -3,58)

A(-3, 7) x(t)=a1 + tw1w (7, -8) y(t)=a2 + tw2 P(t)=A+tw

y P(t)=7+t(-8) ; 7-8t 0=7-8t 8t= 7-0 t=7/8

x P(t)= -3+t(7) ; -3, 7t 0= -3+7t 7t= 3 t=3/7

Punto de x;P(7/8)=A+t(w) P(7/8)=(-3, 7) + 7/8(7,-8)P(7/8)=(-3 + 6,125) , 7 + (-1))P(7/8)=(3,125 , 0)

Punto de y;P(3/7)=A+t(w) P(3/7)=(-3, 7) + 3/7(7,-8)P(3/7)=(-3 +3 , 7 + (-3,42)P(7/8)=(0 , -3,58)

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