ECUACIONES VECTORIAL Y PARAMTRICA

Bloque II * Tema 064

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ECUACIN VECTORIALPor el punto A pasan infinitas rectas (r, s, t, etc).Asimismo hay infinitas rectas que tengan la misma direccin que el vector u (q, p, h, etc).Pero slo habr una recta, r, que pase por el punto A y tenga la misma direccin que el vector u.Por lo tanto una recta viene determinada por un punto A y un vector u no nulo.Se representa por r(A,u)El punto A es un punto cualquiera por el que pase la recta r, y el vector u, llamado vector director, nos indica la direccin de la recta.

ruAO(0,0)OAxystpqh

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PENDIENTE DE UNA RECTA

El vector OA es el vector de posicin del punto A.El vector u es el vector director de la recta que pasa por el punto A.Est claro que ambos vectores no tienen la misma inclinacin.La pendiente de una recta es la medida de su inclinacin: Incremento de la ordenada (y)m = ------------------------------------------ Incremento de la abscisa (x)

Si llevamos el vector u sobre la recta r vemos que su inclinacin coincide. Si las coordenadas del vector u son u=(a, b) bm = --- , que es la pendiente de la recta r. aTambin m =tangente del ngulo que forma la recta con el eje de abcisas.

ru =(a,b)AO(0,0)OAxyuba

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ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA

Sea X un punto cualquiera de la recta r(A, u)

Como se ve en la figura, el vector OX es suma del vector OA y del vector AX.

El vector AX es t veces el vector u.Siendo t un nmero que se llama parmetro de la recta.

Luego, como OX = OA + AX.

OX = OA + t. u

Si X(x,y), u=(a, b) y A(xo, yo)

(x, y) = (xo, yo) + t.(a, b)

ruAO(0,0)OAxyXOXAX

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Ejemplo_1

Una recta r forma un ngulo de 30 con el eje de abscisas.a)Hallar su pendiente.b)Hallar un vector director de la recta.c)Hallar la ecuacin vectorial de la recta sabiendo que pasa por el punto A(3, -2)

Resolucin:

a) m = tan , siendo = 30m = tan 30 = 1 / 3 = 3 / 3

b) Un vector director u=(a.b) de la recta cumple: bm= --- , o sea 3 / 3 = b / a b= 3 /, a = 3 u =(3, 3) nos vale. a

c) La ecuacin vectorial de la recta es (x, y) = (xo, yo) + t.(a, b)Luego sustituyendo en la expresin los datos conocidos:(x, y) = (3, - 2) + t.(3, 3)

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Ejemplo_2

Hallar la ecuacin vectorial de las rectas sobre las que se apoya el tringulo de la figura.Resolucin:

Podemos tomar los lados a, b y c como vectores directores de las rectas r, s y t respectivamente.

Luego:

a = (4, 0), b =(-3, 3) y c = (1, 3)

La ecuacin de r(C, a) es:(x, y) = (4, 0) + t.(4, 0)La ecuacin de s(A, b) es:(x, y) = (1, 3) + t.(- 3, 3)La ecuacin de t(B, c) es:(x, y) = (0, 0) + t.(1, 3)

A(1, 3)B(0, 0)C(4, 0)rstabcNota: A la hora de hallar el vector director de una recta, no nos importa su sentido.As, el vector director b puede ser:b =(- 3, 3) o tambin b =(3, - 3)

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Ejemplo_3

En el rombo de la figura, donde nos dan las coordenadas de los vrtices, hallar la ecuacin vectorial de:a) El lado CDb) La diagonal menor AC

Resolucin:

a) Hallamos el vector director CD:CD=(4, 4) (3, 1) = (1, 3)La ecuacin del lado CD es:(x, y) = (3, 1) + t.(1, 3)

b) Hallamos el vector director AC:AC=(3, 1) (1, 3) = (2, - 2)La ecuacin de la diagonal es:(x, y) = (1, 3) + t.(2, - 2)

A(1, 3)B(0, 0)C(3, 1)Nota: Hallar la ecuacin de la recta sobre la que se apoya el lado de un polgono es igual que hallar la ecuacin del lado.D(4, 4)

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ECUACIN PARAMTRICAECUACIN PARAMTRICA DE LA RECTA

La ecuacin vectorial de la recta es: OX = OA + t. u (x, y) = (xo, yo) + t.(a, b)Para cada valor de t tendremos un par de valores (x,y) de los puntos que forman parte de la recta.Si desglosamos las coordenadas en x e y:

x = xo + t.a y = yo + t.b

Que es la ecuacin paramtrica de la recta ( x e y dependen del valor que tome el parmetro t). Dos expresiones, una sola ecuacin: No es un sistema.

ruAO(0,0)OAxyXOXAX

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Ejemplo_1

Una recta r viene dada por su ecuacin vectorial: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5)Hallar su ecuacin paramtrica.

Desglosando las coordenadas del vector:x = 0 3.ty = 2 + 5.tQue es la ecuacin paramtrica de la recta.

Ejemplo_2

Una recta r viene dada de la forma r(A, u), donde A(3, 4) y u=(6, 8).Hallar su ecuacin paramtrica.

Como nos dan un punto A por donde pasa y un vector director u, su ecuacin vectorial ser:(x, y) = (3, 4) + t.(6, 8)Desglosando las coordenadas del vector:x=3 + 6.ty=4 + 8.tQue es la ecuacin paramtrica de la recta.

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Ejemplo_3

Los vrtices A(3,6) y C(5, 4) son los vrtices opuestos de un rombo. Hallar la ecuacin paramtrica y continua de la diagonal BD.

Resolucin:

Hallamos el vector director AC:AC=(5, 4) (3, 6) = (2, - 2)Un vector perpendicular a AC podra ser:u = (2, 2)El punto medio del lado AC, que es por donde pasa la diagonal BD, es:Xm = (3+5)/2 = 4Ym = (6+4)/2 = 5

Luego la ecuacin de la recta BD, que pasa por Pm(4,5) y u=(2,2) es:(x,y) = (4, 5) + t.(2, 2)

A(3, 6)BC(5, 4)Su ecuacin paramtrica es: x = 4 + 2.t y = 5 + 2.t

DPm

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