PAPER 3 MIER-VASCONEZ IES400.docx

8/17/2019 PAPER 3 MIER-VASCONEZ IES400.docx

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UNIVERSIDAD DE LAS AMÉRICASFacultad de Ingeniería y Ciencias AgropecuariasEscuela de Ingeniería en Sonido y AcsticaIn!or"e de Funda"entos de Acstica I# $ercer

progresoM%todo de ele"entos &nitos para "odelado deinstru"entos de "etal#

Integrantes'Remigio VásconezFranklin Mier

()*E$IV(S

• Estudiar las acústica de los instrumentos deviento, particularmente de la familia de losmetales y aplicar las bases teóricas aduiridas enel curso de acústica relacionando losconocimientos sobre sonido en espacios cerrados,impedancia, resonancia, resonador de !elm!oltz"

• #prender la importancia del dise$o de loselementos ue intervienen en los timbres

caracter%sticos de este tipo de instrumentos, y susdiferencias al intercambiarlos en la simulación"

• &nvestigar la importancia de la t'cnica y lae(periencia del int'rprete en cuanto a lareproducción óptima del sonido del instrumento"

• )onocer el m'todo de modelación de elementos*nitos y su aplicación en el estudio delcomportamiento de tres instrumentos musicalesde metal"

• )omprobar la in+uencia de las caracter%sticasgeom'tricas de los instrumentos en lareproducción sonora"

IN$R(DUCCI+NEste trabao estudia las contribuciones de bouilla y el tubo a laspropiedades acústicas de tres instrumentos musicalesnominalmente similares de la familia de los metales- trompeta,corneta y +iscorno" .a /eometr%a de estos instrumentos fueutilizada durante las simulaciones mediante el m'todo de

elementos *nitos de revolución de la respuesta armónica a lapresión sinusoidal a la bouilla" 0e utilizó el soft1are #2030, con


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elementos de modelado de la ecuación de 4elm!oltz" Espectros defrecuencia para estos instrumentos se obtuvieron mediante FF5 detonos sostenidos producidos por músicos avanzados en condicionescontroladas de estudio y las diferencias signi*cativas se observaron"Mientras ue el m'todo utilizado no puede modelar los labios de los

int'rpretes, las funciones de transmisión de sonido producidas porestos análisis mostraron diferencias signi*cativas entre losinstrumentos y coincidencias generales con los espectros medidos,en particular, un nivel fuerte del tercer armónico de la corneta y unnivel fuerte de la frecuencia fundamental para el +iscorno" .asbouillas de estos instrumentos no pudieron ser intercambiadaspara ue el modelado mediante elementos *nitos fuera capaz dedemostrar como la bouilla y tubos !acen una contribuciónsustancial a las diferencias espectrales" 0e demostró ue como erapredecible, el tubo ten%a mayor efecto sobre los armónicosinferiores, mientras ue la bouilla afecta predominantemente alrango medio de frecuencias6alrededor de 7884z para la trompeta ycorneta y 9988 4z para el +iscorno:"

,RINCI,I(S -ENERALES.a ecuación de 4elm!oltz describe la propagación de las ondasarmónicas sonoras en un medio tridimensional" En su formadiferencial presenta solución anal%tica para algunos problemasparticulares-

(∇2+k 2 ) p=0

donde p es la presión y k el número de onda".as campanas uedan, en general, e(cluidos del tratamientouniparam'trico de soluciones de la ecuación de onda" En el casoue la campana no se alee muc!o del per*l cónico o cil%ndrico, eltratamiento uniparam'trico plantea la posibilidad de ue e(ista unasolución apro(imada uniparam'trica para el estudio de lapropagación de ondas por su interior";ebster propuso un modelo de solución uniparam'trica e(acta de laecuación de onda apro(imada en la ue considera ue los frentes de

onda dentro de una campana son planos y en consecuencia no sonperpendiculares al per*l" anssonpropusieron un nuevo modelo en el ue establec%an la e(istencia desuper*cies euipotenciales esf'ricas perpendiculares al per*l y alee de la campana" El a$o 9??@ Aeefe, #gulló i =arau propusieronun nuevo modelo basado en la e(istencia de super*cieseuipotenciales perpendiculares al per*l, pero de geometr%aarbitraria" El resultado de estos últimos autores lleva a una ecuaciónue a pesar de ser anal%tica necesita forzosamente de unaresolución num'rica" En nuestro estudio emplearemos el m'todo deelementos *nitos para analizar el comportamiento acústico del

cuerpo del instrumento"


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I"pedancia de entrada


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Fig"9 Eemplos de modelado de geometr%a y malla de una campana de trompeta"

En este eemplo de considera una longitud a(ial de 8,G@@HIm , unradio inicial de 8,88G@Im y un radio *nal 8,8G9Jm

En la *gura se muestra la comparativa entre la impedancia deentrada de un cilindro de radio euivalente al radio mayor de lacampana de la trompeta con el e(tremo a: cerrado y con el e(tremob: abierto" .os má(imos y los m%nimos nos dan información sobrelas frecuencias de resonancia del cilindro" .os má(imos secorresponden con las frecuencias de resonancia del cilindro y losm%nimos con las frecuencias de anti resonancia"

Fig"H &mpedancia acústica de entrada simulada y teórica de un cilindro de radio 8,8G9Jcon e(treme a:cerrado y b:abierto"

0e puede ver ue !asta 9I884z apro(imadamente !ay un buen

acuerdo entre la teor%a y la simulación" # partir de esta frecuencia,la presencia de modos transversales dea de ser despreciable en lasimulación num'rica provocando la separación entre el cálculo y laestimación teórica unidimensional" .a !ipótesis de la propagaciónde ondas planas es válida a baas frecuencias, ya ue el primermodo transversal se convierte en propagativo si-

f c>1.84C

2πa

donde a es el radio e(tremo de salida de la campana" .a frecuenciade corte será inversamente proporcional al radio del e(tremo de la


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campana" En nuestro caso el valor de esta frecuencia es de 9G@84z, lo cual e(plica la desviación entre el cálculo teórico y num'rico"

Acstica de instru"entos de /ientoKn instrumento de viento de la familia de los metales consiste

básicamente de un tubo cil%ndrico de cierta longitud con una bocaen un e(tremo y una campana en el otro, el m'todo de producciónsonora depende de las caracter%sticas de estos tres elementos" Elinterprete genera el sonido al !acer vibrar el e(tremo en donde seubica la boca del instrumento, este ampli*ca este sonido alrededorde sus frecuencias de resonancia mediante la variación de lasimpedancias de entrada y salida entre la bouilla y la campana, 6deforma muy similar a como un transformador puede ampli*carvoltae o corriente, dependiendo de las impedancias asociadas ouna palanca puede ampli*car una fuerza o desplazamiento:" Elinstrumento tambi'n a*na y colorea la fuente de sonido mediantelas resonancias naturales asociados con la longitud del tubo".a respuesta natural de los instrumentos de metal es una buenaapro(imación para describir como actúa una onda estacionaria enun ducto cerrado en un e(tremo y abierto en el otro" El e(tremo dela boca del instrumento se asumirá como cerrado, ya ue tiene unaalta impedancia de entrada" .os labios del int'rprete no permiten laoscilación de la velocidad del aire, sino ue crean oscilaciones depresión, es decir, el e(tremo de la bouilla del instrumento secomporta como e(tremo r%gido" Kn nodo se forma en el e(tremocerrado y un antiLnodo 6má(ima amplitud de la velocidad: en el

e(tremo abierto"


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modi*car la directividad del sonido radiado, además de acortar lalongitud efectiva del tubo, desplazando las frecuencias naturales delinstrumento ligeramente !acia arriba" El dise$o de la campana tieneel *n de desplazar los modos para adaptarse a las frecuencias denotas musicales"

)o1uilla#0 .a bouilla sirve para varios propósitos acústicos yergonómicos")uenta con una amplia apertura en relación con el ori*cio del tuboprincipal, cómodos para la colocación de los labios, sus dimensionespermiten la producción del rango adecuado de frecuencias6instrumentos como el trombón y la tuba tienen bouillas bastantegrandes:"Esta apertura se continua mediante una copa ue conduce a unaestrec!a garganta, lo ue aumenta la presión, por lo tanto, laimpedancia de entrada" .a profundidad de la copa altera lafrecuencia natural de la bouilla, modi*cando el sonido delinstrumento y la naturalidad con ue se producen ciertas notas" .asvelocidades en la garganta pueden no ser insigni*cante encomparación con la velocidad del sonido, lo ue puede introducirdistorsiones no lineales".a bouilla tiene muc!a in+uencia en el sonido, esto e(plica ladiferencia entre el sonido de la trompeta y el de la corneta, a pesarde ue sus geometr%as de tubo y la campana son notablementesimilares".as frecuencias de resonancia para bouillas son raramentedocumentadas, ya ue no es una propiedad particularmente

relevante para los músicos" .a bouilla de trompeta =ac! 1 14C

utilizada en este e(perimento, es una de las piezas bucales máscomunes, se conoce ue tiene una frecuencia de resonancia deapro(imadamente O88 4z" Kna manera rápida de encontrar lafrecuencia de resonancia de la bouilla es golpear con la palma dela mano abierta en la entrada de la bouilla y escuc!ar la frecuenciadel sonido resultante"$u2os"L El tubo es generalmente cil%ndrico con un aguero muyestrec!o en comparación con su longitud" En esencia, deberepresentar la longitud total necesaria para conseguir el tono

deseado" .os diámetros de los agueros interiores se presentanposteriormente en este estudio"


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Fig"J 5res tipos de bouillas, =ac! 11

4C para trompeta 6corta:, =ac! 1

1

2C para

+iscorno6media: y Qenis ;ick J= para corneta6larga:"

.a sección tubular de diámetro interior fue obtenida usando elmodelo del instrumento, pero tambi'n se comprobó manualmentepara asegurar ue este diámetro interior se mantuvo constante a lolargo de toda la sección tubular" .os diámetros eran 99,GG mm,99,GO mm y 98,I8 mm, respectivamente, para la trompeta, cornetay +iscorno, por tanto, sólo este último di*ere signi*cativamente,aunue el efecto sobre el timbre es insigni*cante".a campana de cada instrumento, a diferencia de la bouilla y eltubo, no estaba fácilmente disponible y tuvo ue ser medida" .osper*les se muestran en la *gura, medidos usto al inicio del tubocil%ndrico"

Fig"I


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Fig"G Modelos desenrollados de trompeta, corneta y +iscorno"

El modelo de elementos *nitos tambi'n incluyó una !abitaciónenvolvente ue como veremos a continuación es de O m @ m"Modelado#0 .a geometr%a de la campana de una trompeta escomplea y no e(iste una solución sencilla para su impedanciaacústica de entrada"


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Fig"7 Malla modelada mediante m'todo de elementos *nitos, región de la campana,completa y bouilla"

)omo se muestra en la *gura, la malla era razonablemente *nadentro del instrumento, con al menos dos elementos a trav's de la

radio del tubo en cualuier sección transversal, es decir, unos H"GLH"?mm dependiendo del instrumento" Elementos muc!o másgrandes fueron utilizados en el recinto rodeando al instrumento" Entotal !ay alrededor de HI"888 elementos de simetr%a a(ial" Esto dioresultados independientes de la malla"

Qensidad 9"H8I kg /m3

Velocidad del sonido @JJ msRelación de impedancia de borde 9 6reemplazando las condiciones

especi*cadas: 5abla"9


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En este problema !ay poca amortiguación, por lo tanto, lasresonancias son muy marcadas, los instrumentos musicales, de!ec!o, se basan en este caso con el *n de producir tonos claros defrecuencia bien de*nida" El m'todo elegido para la respuestaarmónica fue la t'cnica de superposición de modos con opción de

análisis armónico seccionado, ue resuelve el sistema deecuaciones desacoplado mediante la realización de unacombinación lineal de las formas de los modos obtenidos del análisismodal ya realizado" Kna consecuencia de esto es ue puesto ue seutilizan los picos de resonancia en el espectro generalmente !ayinformación limitada sobre el anc!o de banda, pero en el otro lado,como el anc!o de banda del instrumento se reducirá al presentarpicos de resonancia, el m'todo alternativo al utilizar un incrementode frecuencia *o !ará muy probable ue se pierda o no e(citarplenamente los picos muy estrec!os de los e(tremadamenteimportantes modos naturales y los valores má(imos verdaderos,mediante el uso de los modos conocidos esto garantiza ue !aye(citaciones a las frecuencias naturales" El uso de t'cnicas ueutilizan puntos uniformemente espaciados arbitrariamentedistribuidos en el dominio de la frecuencia, no se recomienda paraproblemas de este tipo"

)abe se$alar ue el instrumento por si mismo t%picamente mostrarápocas frecuencias naturales dentro de la gama audible, conlongitudes de onda correspondientes a múltiplos simples de lalongitud del instrumento 6con correcciones *nales para la campana:"

0in embargo, en esta simulación el instrumento fue modelado enuna N!abitaciónN , por lo tanto, !ab%a docenas a cientos defrecuencias naturales del sistema y cada una de ellas se podr%anclasi*car como una frecuencia natural del instrumento solo"


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tubo se desenrolle en una l%nea recta, se conoce ue esto tiene unefecto despreciable sobre la acústica del instrumento debido alradio muy peue$o de la perforación en comparación con la de lascurvas 6=ackus, 9?77, =enade, 9??8: y cuenta con una importanteventaa de reducir el problema computacional a una dimensión sin

introducir apro(imaciones distintas a las mencionadas" sin embargo,mientras ue el instrumento puede modelarse bien, al asumir unasala a(isim'trica se esta aplicando una mala apro(imación"El impacto de la geometr%a de la sala se reduce al asegurar ue susdimensiones son lo su*cientemente grandes como para no afectarel campo de solución dentro del instrumento, y aún más con laincorporación de la pared de amortiguación" Esto último esimportante ya ue un l%mite cil%ndrico, siendo cóncava, va a crear unpunto focal en el ee de simetr%a" En nuestro modelo !emosampliado los l%mites de la sala !asta más allá del punto en el ue!ubo un impacto visible en la solución dentro del instrumento" .asdimensiones del recinto eran de O m de longitud y @ m de radio6como referencia la longitud del tubo del instrumento es de 9,J m:"


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superposición modal las frecuencias de entrada son las frecuenciasnaturales de todo el sistema ue comprende el instrumento y la salacircundante" El incremento de frecuencia era, por lo tanto lavariable, con un promedio de alrededor de @LJ 4z en el rango deHI8 a 9788 4z, pero por encima de H8 4z" Estos valores dependen

principalmente de las dimensiones de la !abitación L una !abitaciónmás grande dar%a una resolución de frecuencia más alta"


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frecuencias" 0in embargo se observa ue !abrá fuertes resonancias"En un instrumento bien dise$ado estas resonancias 6o matices:serán apro(imadamente, pero nunca e(actamente, múltiplosenteros de cierta frecuencia fundamental, tambi'n, pero no engeneral pueden coincidir e(actamente con los picos espectrales en

el sonido real"0e formuló la !ipótesis de ue las magnitudes espectrales relativasde la respuesta forzada periódica 6real: se correlaciona con lafacilidad de producción de una frecuencia particular, ue a su vezestá relacionada con la fuerza de la resonancia" )omo se e(plicóanteriormente, un instrumento de metal se apro(ima a un tubocerrado en un e(tremo, por lo ue fuertes resonancias secaracterizan por un má(imo de presión en la bouilla 6nodo: ym%nimo de presión en la campana 6antinodo:"Kna medida num'rica de esta resonancia es el 605F: SRoundtransmisión FunctionS, de*nida como la relación de la presión deentrada 6bouilla: sobre la presión de salida 6campana:" .osmodelos FE muestran claramente frecuencias particulares ueproducen una presión simultánea de entrada má(ima 6bouilla: y desalida m%nima 6campana: de presión, como se predio pararesonancias del instrumento" En medio de estos picos 6la granmayor%a de puntos de datos: el 05F var%a t%picamente alrededor de@8 órdenes de magnitud menor" Estos corresponder%an aresonancias de la sala"0in embargo observamos ue el 05F producirá picoscorrespondientes a todas las notas NabiertasN 6cuando no !ay

válvulas presionadas: cuando están disponibles en los instrumentos,una serie de armónicos basados en =T, o apro(imadamentemúltiplos de 99G 4z 6e(cluyendo la frecuencia fundamental:" .ose(perimentos por el contrario se basaron en la FJ nota 6@J? 4z: ysólo múltiplos enteros e(actos de esta, por lo tanto sólo resonanciasue son múltiples enteros cerca de esta nota se e(citarán, es decir,cada tercer armónico posible" .os otros sobre tonos estaráninactivos cuando se toca esta nota" .os 05F a continuación incluyenmatices de FJ 6@J? 4z: ya ue el 05F se utiliza como apro(imaciónpara el espectro de instrumentos, los picos se muestran comopuntos individuales, ya ue, como se e(plicó anteriormente, todos

los demás datos son insigni*cantes" En la *gura se muestran losresultados para los tres instrumentos"


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Fig"O Funciones de transmisión de sonido de 605F: por el m'todo de elementos *nitos paratres instrumentos de metal 6se muestran los sobre tonos de la nota FJ:

,rocedi"iento e5peri"entalEl obetivo fue grabar sonidos representativos producidos por unmúsico e(perto tocando la nota = T en la trompeta, corneta y+iscorno, para identi*car las caracter%sticas distintivas de losespectros de frecuencia atribuibles espec%*camente a losinstrumentos, con el *n de validar el modelo num'rico presentado,Qos músicos fueron utilizados en esta grabación con el *n de

cuanti*car, y mostrar como gobiernan sustancialmente la in+uenciadel músico sobre los resultados" Estos dos músicos fueronestudiantes con !onores de formación clásica en el )onservatorio deMúsica de 5asmania"


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.os instrumentos fueron grabados en el estudio de grabaciónprincipal del )onservatorio de Música de la Kniversidad de

5asmania" Este es un espacio acústicamente seco 6aunue nocompletamente anecoico: el micrófono, colocado apro(imadamentea 988 mm longitudinalmente y dirigido a @8 mm de la l%nea central

de la salida de la campana, ósea en el campo cercano, lo uepermitió una captura de sonido predominantemente directo concoloración insigni*cante del campo reverberante".a temperatura de esta !abitación era H9 grados )elsius" 0e usó unmicrófono de cinta 2aced Eye NRos1elliteN muy sensible, se colocótan cerca de la campana como fue posible sin da$ar el micrófono" .agrabación se !izo en


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Fig" 99 Función de transmisión de sonido de la trompeta modelado mediante el m'todo FE,se muestra en comparación con la FF5 grabada de la nota FJ sostenida en la trompetatocada por el int'rprete no" 9, normalizado con respeto al pico espectral dominante

Fig"9H Función de transmisión de sonido de la corneta modelado mediante el m'todo FE,se muestra en comparación con la FF5 grabada de la nota FJ sostenida en la trompetatocada por el int'rprete no" 9, normalizado con respeto al pico espectral dominante


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Fig" 9@ Función de transmisión de sonido del +iscorno modelado mediante el m'todo FE, semuestra en comparación con la FF5 grabada de la nota FJ sostenida en la trompeta tocada

por el int'rprete no" 9, normalizado con respeto al pico espectral dominante"

Entre las desventaas se observe ue lo más notable es ue elmodelo FE no pueda predecir el nivel fuerte de el tercer armónicodel espectro de la trompeta".a baa 05F para altas frecuencias es tambi'n una tendenciaconstante" Esto puede ser debido a la solución lineal" )omo sese$aló anteriormente puede !aber no linealidades introducidas, en

particular, por la garganta de la bouilla, lo ue podr%a e(plicar elaumento de la energ%a espectral en las frecuencias más altas de losresultados medidos"0e ve claramente ue sin embargo los modelos FE fueron capacesde captar las diferencias signi*cativas entre los instrumentos, yestos son ampliamente consistentes con los resultados medidos, dea!% la modelación num'rica con*rmó ue la geometr%a delinstrumento desempe$a un papel importante en la con*guración deltimbre del mismo"In7uencias relati/as de instru"ento4 la 2o1uilla y el "sico#

En vista de ue la diferencia se$alada anteriormente entre el tubo yla geometr%a de la campana de la trompeta y corneta norepresentan diferencias signi*cativas en ambos espectros medidos ysimulados, un modelo más fue creado para probar la in+uencia debouillas en el sonido del instrumento" Este modelo consiste en labouilla de trompeta conectada al tubo y campana del +iscorno" 0inembargo esto no pudo ser reproducido e(perimentalmente ya uelos instrumentos ten%an diferentes dimensiones y 6aunue un selloefectivo podr%a ser creado: !ab%a un riesgo de da$o a losinstrumentos y de las bouillas"El espectro de presión de entrada 6bouilla: proporcionó más

evidencia de la in+uencia de la bouilla" .as presiones de entradade la trompeta corneta y +iscorno mostraron picos espectrales


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dominantes en alrededor de 7?8 4z, GG8 4z y 99I8 4zrespectivamente".a *gura a continuación muestra una comparación de los 05Fs de latrompeta y +iscorno estándar, y el +iscorno modi*cado" Elinstrumento modi*cado tiene su pico dominante en el primer

armónico, como el +iscorno original, sin embargo, el segundoarmónico del +iscorno aumento alrededor del H8P a 7IP con elcambio a la bouilla de trompeta" Esto muestra la bouilla detrompeta como un factor importante para in+uir en la fuerza dereproducción del segundo armónico"

Fig" 9J Espectro normalizado de presión de una trompeta modelada mediante FE"

Fig" 9I Función de transmisión de sonido del +iscorno modi*cado 6con bouilla detrompeta: modelado mediante el m'todo FE, se muestra en comparación con la trompeta y

+iscorno usando sus propias bouillas"

C(NCLUSI(NES• 0e !an evidenciado claras diferencias obtenidas

entre los datos teóricos y e(perimentales, debidoprincipalmente a algunas condiciones de la


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simulación en la cual ue no se utilizó un modelo delos labios del int'rprete 6impedancia de entrada:, as%como las caracter%sticas del +uido 6aire: ue sondif%ciles de representar"

• 0e comprobó e(perimentalmente mediante variosm'todos como la representación gra*ca del espectrode frecuencias y armónicos, ue una de lasdiferencias mas importantes en la adecuadareproducción de sonido en instrumentos de viento esla t'cnica del int'rprete, ya ue esta determina laimpedancia de entrada la cual es ampli*cada por eltubo cil%ndrico y *nalmente por la campana delinstrumento"

• #plicamos los conocimientos aduiridos en la materiasobre la interacción del sonido con espacios cerrados,resonancia en ductos, caracter%sticas de lasfrecuencias naturales y modos normales deresonancia"

• #prendimos como la geometr%a de la bouilla y eltubo de estos instrumentos es fundamental para lascaracter%sticas sonoras de los mismos"

Re!erencias'Rose 2ic!olas y 4ollo1ay Qamien, H89H, Finite elementmodeling of brass musical instruments, School ofEngineering, University of Tasmania, Hobart, Australia"#ustralian #coustical 0ociety"

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