ANALISIS VISCOPLASTICO DE FALLA DE ESTRUCTURAS DE HORMIGON

R. Lorefice*, M. Rizo Patrón*, y G. Etse†

* Grupo de Mecánica Computacional de la U.N.S.E. Universidad nacional de Santiago del Estero

Av. Belgrano (s) 1912, Santiago del Estero, 4200, Argentina e-mail: lorefice@unse.edu.ar, web page: http://www.unse.edu.ar

† Departamento de Construcciones y Obras Civiles

Universidad Nacional de Tucumán - CONICET Av. Roca 1800,4000, Tucumán, Argentina

e-mail: getse@herrera.unt.edu.ar

Key words: viscoplasticity, mesomechanic analysis, dynamic concrete failure. Resumen. En este trabajo se presenta un modelo de interfase tiempo dependiente para el análisis de falla de estructuras de hormigón simple a diferentes tasas de deformación. La formulación viscoplástica se basa en la teoría propuesta originalmente por Perzyna (1966), la cual es adaptada a las características del modelo mecánico de interfase. El modelo numérico se implementa en el marco de un criterio discreto como aproximación a la fisuración del hormigón mediante el MEF, y se calibra para reproducir ensayos de tracción simple a diferentes velocidades de carga. Los análisis numéricos de falla con el modelo viscoplástico a nivel mesomecánico se comparan con los obtenidos mediante otros criterios de tipo macromecánico o de aproximación difusa a la fisuración.

1 INTRODUCCIÓN

Es sabido que el hormigón es un material que presenta un comportamiento mecánico alta-mente complejo, por lo que su estudio es en la actualidad objeto de numerosos programas deinvestigación, tanto teórico-computacionales como experimentales. Una de las característicasfundamentales que determinan la compleja respuesta estructural de este material, es su com-posición heterogénea. En este sentido, la mayoría de los intentos realizados por reproducir larespuesta mecánica del mismo se han basado en modelos del tipo fenomenológico, de distin-to grado de complejidad y considerando principalmente teorías fundadas sobre la mecánica demedios continuos, tales como la Teoría del Flujo de la Plasticidad, la Mecánica del Daño, ycombinaciones de estas conjuntamente con conceptos de la Teoría de la Mecánica de FracturaNo Lineal. Con estos modelos, se han logrado resultados satisfactorios a nivel material, ver porejemplo Etse y Willam,1 Etse,2 Lorefice y Etse,3 y estructural Lorefice.4 Un aspecto fundamen-tal que no ha sido suficientemente explorado hasta el presente por las formulaciones existenteses el relacionado con el comportamiento frente a acciones de tipo dinámico. Esto es de capitalimportancia debido a que es muy común que las estructuras de hormigón se vean solicitadaspor cargas de este tipo, como ser durante la ocurrencia de sismos, impacto, vibraciones,etc. Eneste sentido, desde mediados de los años ’40 se han llevado a cabo numerosas investigacio-nes experimentales con el objeto de comprender la respuesta dinámica del hormigón, Suaris yShah,5(1985), Reinhardt6 (1985), Ross y Kuennen,7 (1989). Esencialmente, se deben conside-rar dos tipos de efectos tiempo-dependientes, a saber: influencia de la tasa de deformación en eldesarrollo del proceso de fractura (proceso de fisuración), fenómeno relacionado con la energíade activación necesaria para la rotura de los enlaces interatómicos, y fenómenos de fluencialenta y relajación, bajo carga constante o bajo deformación sostenida, respectivamente. En es-te trabajo, la atención se centra en la respuesta dinámica relacionada con el incremento de latasa de deformación y su influencia en el proceso de fisuración y consiguiente modo de fallapara velocidades de carga entre �������seg y ��seg, rango correspondiente a la mayoría de lascargas dinámicas consideradas por los reglamentos de construcciones (sismos, viento, acciónvibratoria de máquinas, etc.).

2 COMPORTAMIENTO DEL HORMIGON BAJO CARGAS DINAMICAS

Existe en la literatura una amplia serie de ensayos propuestos con el objeto de determinarexperimentalmente la respuesta dinámica del hormigón. Cada clase de ensayo es válido paradeterminados rangos de velocidades de aplicación de la carga. La elección de uno u otro tipode dispositivo es función del rango de velocidades en estudio en cada caso particular. En losensayos experimentales con tasas de deformación entre �������seg y ��seg se emplearon dis-positivos hidráulicos, ver por ejemplo Bresler y Bertero.8 Para velocidades de carga mayores,entre ��seg y ���seg se emplearon dispositivos de impacto tipo martillo, Watstein,9 mientrasque para ensayos experimentales con tasas de deformación mayores se emplea el dispositivodenominado barra de presión de Hopkinson (Split Hopkinson Pressure Bar - SHPB), Ross y

Figura 1: Dispositivo de Hopkinson para carga dinámica

kuennen,10 figura 1. En base a la amplia evidencia experimental disponible y, pese a la fuertedependencia del método de ensayo en los resultados obtenidos por distintos autores, se pue-den extraer algunas conclusiones generales. En primer lugar, existe una amplia coincidenciacon respecto a que el material experimenta una rigidización fuertemente dependiente de la ve-locidad de aplicación de la carga. En las figuras 2 y 3 se muestra la variación del factor desobreresistencia dinámica en función de la tasa de deformación para un rango de la misma en-tre ������ seg y ����� seg. Como se observa, existe una fuerte dispersión entre los resultadosde distintos investigadores, alcanzándose relaciones de hasta 10 veces el valor de la resistenciaestática en algunos casos. En la misma figura, se grafican en línea llena la relación de resis-tencia dinámica recomendada por el Comité Europeo del Hormigón (CEB) para hormigonescon una resistencia característica a compresión de 30 MPa y de 70 MPa. Otro importante he-cho deducido de los ensayos es que la sobreresistencia dinámica alcanzada es mayor en el casode ensayos de tracción que en compresión, siendo de más del 200 � en el primer caso y dealrededor del 40 � en el segundo para velocidades de deformación de hasta �� seg, Suaris yShah, figura 4. La rigidización experimentada por el hormigón ante el incremento de la velo-cidad de carga se atribuye generalmente a la influencia de los efectos inercial y viscoso en elproceso de microfisuración. Otro aspecto relevante para considerar la dependencia temporal delproceso de fractura es el fenómeno de inversión del ablandamiento en endurecimiento con elcambio de la tasa de velocidad, luego de alcanzado el pico. Con respecto a los fenómenos derelajación y fluencia, es claro que es de fundamental importancia el desarrollo de formulacionesconstitutivas capaces de captar el comportamiento del hormigón bajo carga o deformacionessostenidas que actúan durante períodos considerables comparados con la vida útil de diseño dela estructura, debido a que estos procesos pueden iniciar la degradación mecánica y afectar larigidez con el consiguiente avance de procesos de microfisuración que finalmente, en combi-nación con factores tales como humedad y temperatura pueden producir el colapso estructural.A la luz de la evidencia experimental disponible, es claro que un modelo numérico realista quepretenda reproducir el complejo comportamiento del hormigón debe incluir una formulación

Figura 2: Relación de sobreresistencia dinámica

Figura 3: Relación de sobreresistencia dinámica - ensayo de tracción

Figura 4: Ensayos de tracción - Suaris y Shah ��

�� ���� MPa

tiempo-dependiente robusta y eficiente, capaz de capturar la respuesta no lineal de falla bajocualquier combinación de acciones mecánicas. En la sección siguiente se describe la extensióndel modelo de interfase invíscido formulado originalmente por Carol y Prat11 como una exten-sión del modelo de fisura discreta denominado modelo de multifisuración (multicrack model).Este modelo fue posteriormente modificado por López.12

3 MODELO ELASTOVISCOPLASTICO DE JUNTA

La superficie de fractura del modelo de junta viscoplástico se plantea en términos de unamodificación de la formulación invíscida original en la cual se incorpora un término dependientede la tasa de deformación viscoplástica. El criterio de fluencia toma la forma siguiente

�� � � � � ��� � ��� � ��� ��� � ��� (1)

En la ecuación (1), � y � son las componentes de tensión normal y tangencial sobre la interfase, representa la resistencia a tracción (vértice de la hipérbola), � es la cohesión aparente, elángulo de fricción interna, � representa la viscosidad y �� el multiplicador viscoplástico definidocomo

�� ��

�� �� � (2)

La expresión adoptada aquí para la función de sobretensión es la siguiente Sluys,19 (1992);Wang,17 (1997)

�� �

�� ��� �

��

��(3)

En la ecuación (3), �� es un parámetro de normalización que se elige habitualmente igual alvalor del umbral inicial de fluencia, y N es el denominado exponente de Perzyna,13 � � � para

cumplir la condición de convexidad en el intervalo ���. A diferencia del caso invíscido, laevolución de los parámetros de resistencia del modelo, la resistencia a tracción y la cohesiónaparente � son funciones tanto de la energía disipada como de la tasa de liberación de la misma,es decir, � ������ ����� y � � ������� �����. El ángulo de fricción se mantiene constante.Por lo tanto, la evolución de la energía disipada necesaria para la formación de una fisura en elproceso de fractura tiempo dependiente es en el caso de tracción

����� � ������

� ������

� � � ���� � � � ���� � � � (4)

y para compresión

����� � � � ��������

����� � ���

����� �

��

����� � �� ��

�����

� � � (5)

con el ángulo de dilatancia definido como � � ��������������, (López,14(1999)). Las leyesde evolución de los desplazamientos críticos tiempo-dependientes se expresan en términos de lafunción de potencial viscoplástico ���� y el multiplicador viscoplástico ����� en forma análogaal caso invíscido

� ����� � � ����������

��� ����� � � �����

�����

��(6)

Una hipótesis importante que se deduce de la (6) es que se supone aquí que el potencial vis-coplástico no depende del tiempo. En forma análoga a la teoría del flujo de la plasticidad, lacondición de consistencia de la viscoplasticidad continua se plantea considerando que para queel estado tensional pertenezca a la superficie de fluencia viscoplástica se debe cumplir que

��� �� ���

���� �

� ���

���� �

� ���

���� �

� ���

�����

� ���

�� �

� ������� � � (7)

lo cual nos lleva a la siguiente forma de las condiciones generalizadas de Kuhn-Tucker para elcaso de procesos de fractura tiempo-dependientes y viscoplasticidad continua

�� �� ��� �� �� � � � �� � �� �� ��� �� ����� �� �� � � (8)

4 INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN CONSTITUTIVA

La integración constitutiva del modelo de junta basado en la teoría viscoplástica continua serealiza en base a la propuesta formulada por Carosio y Etse,15(2001). En el contexto del Métodode Proyección al Punto más Cercano, la aproximación hacia atrás del tensor de deformacionesviscoplásticas en el instante de tiempo ��� resulta

����� � ����

��� ����� � ����

��� ����� (9)

con � � ��������. Omitiendo el subíndice n, las formas incrementales de la variación detensión y de la variable de estado pueden expresarse como

�� � ����� ����� � ���� ��� (10)

�� � ��� (11)

En la (10),� representa la matriz de rigidez elástica de la interfase definida como

� �

���� �� ���

�(12)

Expandiendo la condición de consistencia viscoplástica ��� � � como una serie de Taylor limi-tada al primer término se alcanza la siguiente expresión explícita en ���

� �� ���� �� �� ��

���

�

��� � ��� ��� ���� �� �

�� ��

���

���

(13)

en la que la derivada de la función de fluencia viscoplástica con respecto a �� se obtiene pormedio de la regla de derivación en cadena como

� ��

���� � �

��

���� � � ��

� ��

���(14)

En esta expresión � � �� ������ y �� � ������ ���� ��. Debido a la dependencia lineal de la(14) en la derivada � ������, es necesario primeramente hallar �� � �����, es decir, resolver lacondición de consistencia viscoplástica. En la totalidad de las referencias bibliográficas (Pont-hot,16(1995); Wang,17 (1997)) se asume que la tasa del multiplicador viscoplástico es consis-tente con la linerización del problema, evitando así mayores complicaciones en las ecuacionesdiferenciales. Este criterio implica que � �� � ������. Teniendo en cuenta este resultado, laderivada del tensor de tensiones respecto del cambio del multiplicador viscoplástico

��

���� � � �������� �

��

��������

��

���� ��� � �� (15)

con

�� � ���� ������ �

���� ���

��

��

���

(16)

donde �� es el tensor equivalente,� � ����� es el Hessiano del potencial viscoplástico,�� ������ y � � �������. Reemplazando la (15) en la (14), obtenemos

� ��

���� �� � �� � ��� � �

��

��(17)

con lo cual la fórmula de iteración resulta

���� � �����

��� �� � �� � ��� � � ����

(18)

A partir de la (11) se obtienen los incrementos del multiplicador viscoplástico, vector tensión yvariable de estado en la interfase

��� ���� ����� ��� (19)��� � ������ ��� (20)

��� �� ���� (21)

5 OPERADOR ALGORITMICO VISCOPLASTICO DE INTERFASE

La deducción del operador tangente algorítmico viscoplástico para la junta es de suma impor-tancia para obtener una tasa de convergencia cuadrática, deseable en el contexto de un análisisestructural mediante el MEF. Este operador se establece a partir de la condición de consistenciaviscoplástica, la que puede escribirse como

� �� � ��� � ��� � �� ����� � � (22)

Tomando como base la descomposición aditiva de la deformación total en una contribuciónelástica y otra viscoplástica, el diferencial de tensión puede escribirse

�� � ������ ���� (23)

y definiendo a los coeficientes de la (22) como

� �� ��

��� � ���� �� �� �

� ��

� ��(24)

El cambio diferencial de la variable interna puede evaluarse como

�� � �� ������������� ������ (25)

siendo

�� ���

������� �

�������

�� �����������

(26)

Entonces, la variación del parámetro viscoplástico se expresa como

��� ��

���

���� ��� ����������� ��

������ (27)

� � ��

��� ��� ���� ��

������������

������ ��

��(28)

Finalmente, la tangente algorítmica del modelo de interfase toma la forma

� ����� � �

� ��

�����

�� � ������

�� ����

� � �������

�� (29)

6 CALIBRACION DEL MODELO

La implementación del modelo de junta viscoplástico en un código apto para el análisisno lineal de estructuras mediante el MEF permite estudiar la influencia de la heterogeneidadde la estructura constitutiva del hormigón bajo acciones o combinaciones de acciones tiempo-dependientes. Para ello, previamente es necesario realizar la calibración del modelo de juntacon el objeto de ajustar los resultados numéricos a los experimentales. En este trabajo, esteajuste se realiza considerando los ensayos experimentales de Suaris y Shah sobre probetas de

hormigón a tracción simple y a diferentes velocidades de aplicación de la carga. Aquí, se debetener presente que en teoría, el parámetro viscoso � no es independiente del proceso de carga,es decir, depende de la velocidad de deformación. Esto puede verse claramente si se recuerdaque en rigor, la viscosidad es una función de la forma

� � ���� �� � (30)

Es decir, la viscosidad depende en teoría del estado de tensión (nivel de presión normal o con-finamiento), de la velocidad de deformación y también de la temperatura. En nuestro caso, lavariación de la viscosidad con la temperatura no se considera. Teniendo en cuenta que la for-mulación del modelo de junta implica que sólo se llega a la falla por corte, por tracción o porestados combinados de corte con confinamiento o tracción-corte, la calibración de la dependen-cia del parámetro viscoso con el nivel de presión de confinamiento es en cierto modo indirecta,realizándose en esta propuesta mediante ensayos de corte con diferentes niveles de confinamien-to. La calibración de la dependencia del parámetro viscoso con la velocidad de deformación serealiza mediante un algoritmo de interpolación parabólica, obteniendo la tabla de valores básicamediante una serie de simulaciones computacionales a nivel constitutivo en tracción pura en losque se ajusta el valor de � para reproducir el valor pico de los ensayos experimentales.

Figura 5: Calibración modelo de junta en tracción pura ��

�� ���� MPa

7 ANALISIS DINAMICO A NIVEL MESOESTRUCTURAL

Se presentan aquí simulaciones numéricas de ensayos de tracción simple a diferentes veloci-dades de carga mediante el MEF empleando diferentes criterios de aproximación a la fisuración,ver Etse, Lorefice, López y Carol.23 En primer lugar, se considera el denominado criterio me-somecánico. En este enfoque, se representa al hormigón como un material compuesto bifásico,en el cual los agregados gruesos se encuentran embebidos en una matriz que representa la pasta

de mortero y los agregados más finos. Insertados entre las fases agregado y matriz y en la dis-cretización de la matriz misma se disponen elementos de junta de espesor nulo, en los cuales seintroduce la nueva formulación de fractura hiperbólica tiempo-dependiente. A fin de lograr unamuestra lo suficientemente representativa de un hormigón real, la discretización del dominiose realiza en base al criterio propuesto originalmente por Stankowski,18 (1993)). Este criterioconsiste en realizar una subdivisión del dominio en polígonos de Voronoi, cuyos centros geo-métricos se distribuyen de una forma aleatoria mediante una perturbación tipo Monte Carlo, apartir de un arreglo regular de puntos predefinido. El dominio se discretiza luego en elementostriangulares de acuerdo al criterio de Delauney. A fin de generar caminos de fisura menos in-trincados que los que surgen del procedimiento original, la discretización resultante se modifica(López12 (1999)) con el fin de lograr líneas potenciales de fisuración más naturales que las quesurgen del planteo original de Stankowski. La malla generada por este procedimiento es la quese emplea en las simulaciones numéricas de este trabajo, y puede verse en la figura 6 en la que

Figura 6: Malla mesomecánica (López, 1999)

se aprecian a la izquierda el mallado y a la derecha la disposición de las fases agregado y matrizcon un arreglo de ��� piezas de árido. Con el fin de realizar comparaciones las mismas mallasse emplean con otros criterios de modelación, a saber: 1) criterio macromecánico con un mo-delo viscoplástico de continuo (sin juntas), considerando un solo material para todo el dominio2) agregados elásticos y mortero viscoplástico y 3)modelo mixto, propuesto originalmente porStankowski en el cual se insertan elementos de junta de espesor nulo sólo en la interfase entreagregados y mortero, siendo estos elementos de junta los equipados con la ley constitutiva hi-perbólica viscoplástica. En este último caso, el mortero se supone elastoplástico. En los casos1) a 3) el modelo de continuo empleado en el mortero es el denominado Modelo Extendido deLeon bidimensional, Etse y Willam1 (1994). Los ensayos numéricos se realizaron manteniendocontrol de desplazamientos verticales sobre los nodos del borde superior de la probeta y con-

siderando el borde inferior con impedimento de desplazamientos en la dirección vertical, enestado de tensión plana en todos los casos.En la figura 7 se observan las respuestas a nivel constitutivo y de elementos finitos del caso me-somecánico. Puede verse que si bien las curvas correspondientes a los ensayos experimentalessólo llegan hasta poco después del punto de máxima resistencia, sin reproducir el comporta-miento en ablandamiento, en los 4 casos se predice aún para la velocidad mayor una pronun-ciada caída de la resistencia luego de alcanzada la tensión máxima. Esto es más acentuado enel caso de los análisis con malla mesomecánica, resaltándose aquí que aún en el caso de lasimulación numérica de calibración a nivel material se capta de manera satisfactoria el compor-tamiento global en tracción uniaxial. En la figura 8 se comparan los resultados obtenidos conlos cuatro criterios considerados aquí (casos � a �).

Figura 7: Analisis de falla mesomecánico - Tracción pura

8 CONCLUSIONES

A partir de una propuesta original de Carol y Prat, se ha desarrollado un modelo constitutivode interfase tiempo-dependiente basado en la teoría de la viscoplasticidad continua de Perzy-na. El modelo numérico se ha implementado en el marco del CPPM siguiendo el algoritmo deintegración propuesto por Carosio, Etse y Willam, incluyendo el desarrollo de un operador tan-gente consistente para mejorar la tasa de convergencia del modelo original. Combinado con uncriterio mesomecánico de aproximación a la fisuración, este es capaz de reproducir el compor-tamiento de falla del hormigón bajo la acción de cargas dinámicas. El modelo ha sido calibrado

Figura 8: Comparación de los 4 casos-Ensayo de tracción

para captar satisfactoriamente el incremento de resistencia que experimenta el material para unamplio rango de velocidades, las cuales comprenden la mayoría de las acciones que normal-mente solicitan a las estructuras de ingeniería. Con respecto a los resultados computacionales,se observa que existen pequeñas diferencias entre los valores pico alcanzados por los diferentescasos, los cuales se deben al empleo del algoritmo de interpolación parabólica que ajusta elvalor del parámetro viscoso �. Este aspecto puede mejorarse mediante el uso de una funciónque se debe calibrar para el rango de aplicación de los modelos. Con respecto a la fragilidad delcomportamiento de pospico, los casos de mortero viscoplástico y mortero elastoplástico conjuntas viscosas entre agregados y matriz presentan comportamientos comprendidos entre loscriterios extremos, es decir, el macromecánico y el mesomecánico. Los resultados obtenidosindican que el criterio mesomecánico presenta una respuesta de pospico más frágil, siendo larespuesta menos frágil la correspondiente a la aproximación de tipo fenomenológico, cuandotodo el material se supone viscoplástico (caso 1). Finalmente, es claro que el modelo de inter-fase viscoplástico presenta un gran potencial para investigar juntas de hormigón, mediante unaadecuada calibración puede emplearse para estudiar el comportamiento tiempo-dependiente demateriales compuestos. Otro empleo potencial interesante del modelo es el de estudiar la adhe-rencia hormigón-acero a diferentes tasas de deformación y el fenómeno de rotura diferida delhormigón bajo carga y/o deformación sostenida.

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