Parametros de la Cola de una Distribucion

Parametros de Distribucion de SiniestrosMetodo de estimar la cola

Congreso AMA XXVIICancun, Quintana Roo, Mexico

23 Octubre, 2015

Alejandro Ortega, FCAS, CFA

2

El Problema

• Estimar la Distribuccion de Siniestros para el ano 2016

• Lo podemos usar para medir Capital• Determinar un plan de Reaseguro• Podria ser una cartera de Auto,

Transportes, Incendio, o toda la compania

3

Los Datos

• Fecha de hacer Analisis – 23 Oct 2015

• Prima 2010 – 2014• Siniestros 2010-2014• Porque no 2015?

4

Resumen de Datos

AnoNumero

Siniestros Monto Pagado2010 330 3,057,507 2011 312 3,177,057 2012 256 2,849,844 2013 272 3,571,991 2014 367 4,680,122

5

Resumen de Datos

Supuestos• El tamano de la cartera no ha

cambiado• Si cambia, se necesita calcular

Frecuencia de Siniestros• Inflacion es cero – 0%

• Si no es, se necesita ajustar los datos historicos

• Lo comun es usar la inflacion general del mercado

• Si existe suficiente data, se puede usar algo mas preciso

6

Resumen de DatosMonto Pagado

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

2010 2011 2012 2013 2014

Monto Pagado

7

Resumen de DatosNumero de Siniestros

0

100

200

300

400Siniestros

8

Resumen de Datos

AnoNumero

SiniestrosMonto Pagado Promedio

2010 330 3,057,507 9,265

2011 312

3,177,057 10,183

2012 256

2,849,844 11,132

2013 272

3,571,991 13,132

2014 367

4,680,122 12,752

• Parece tendencia subiendo

9

Resumen de DatosNumero de Siniestros

(Trimestral)

Media 77 Mediana 77 Min 49 Max 114 Desv Std 15

• Parece que no hay tendencia• Suponemos que expuestos no han cambiado en tiempo

020406080

100120140

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1

Siniestros

Siniestros

10

Pasos

• Estimar Distribuccion Para Numero de Siniestros• En General se usa Frecuencia, y se

aplica a la prima pronosticada del proximo ano

• Estimar Distribuccion por el costo de cada siniestro• Primero la Pansa• Despues la Cola

11

Distribuciones Frecuencia

• Binomial Negativo• Poisson• Overdispersed Poison• Binomial

Parametros Frecuencia

12

Parametros Elegidos370.68

Datos ActualesMedia 76.9Desviacion Standard

15.4

Parametros Frecuencia

13

Parametros Elegidos370.68

Datos EstimadosMedia 77.3Desviacion Standard

15.5

Datos ActualesMedia 76.9Desviacion Standard

15.4

0

20

40

60

80

100

120

140

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1Siniestros Neg Bin.

14


Simulacion 1

15

0

20

40

60

80

100

120

140



Simulacion 2

16

0

20

40

60

80

100

120

140



Simulacion 3

17

0

20

40

60

80

100

120

140



Simulacion 4

18

Pasos

• Estimar Distribuccion Para Numero de Siniestros

• En General se usa Frecuencia, y se aplica a la prima pronosticada del proximo ano

• Estimar Distribuccion por el costo de cada siniestro

• Primero la Pansa• Despues la Cola

19

Distribuciones Severidad

• Weibull• Gamma• Normal• LogNormal• Exponential• Pareto

Excess Mean

La media de siniestros arriba de un monto

• Por cualquier

Cuando sube tienes cola larga

20

Excess Mean - Normal

21

93

-

250

500

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Normal

Excess Mean - Exponential

22

-

250

500

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Exponential

Excess Mean - Weibull

23

-

500

1,000

1,500

2,000

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Weibull

Excess Mean - LogNormal

24

-

500

1,000

1,500

2,000

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Lognormal

Excess Mean - Pareto

25

-

500

1,000

1,500

2,000

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Pareto

Esta curva esta subestimada

Cola Larga

Embrechts:Cada Distribucion con cola largaEn el Limite se parece a Pareto

26

El tamano de la cola se controla con el parametro (Xi) No existe Desviacion Std.

SegurosFinancia (eg. acciones)

Distribucion Pareto

𝐹 𝑢 (𝑥 )=1−(1+ 𝜉 𝑥𝛽 )−1𝜉

27

Datos - Severidad

28

Siniestro Trimestre MontoMonto con

Inflacion1 2010Q1 14,101 14,101 2 2010Q1 1,824 1,824 3 2010Q1 688 688 … … ... …

1534 2014Q4 25 25 1535 2014Q4 32,574 32,574 1536 2014Q4 15,380 15,380 1537 2014Q4 1,016 1,016

Datos - Severidad

Siniestros mas grande

29

Siniestro Trimestre Monto1305 2014Q2 126,434

415 2011Q1 135,387 1392 2014Q3 149,925 1055 2013Q3 153,900 1423 2014Q3 166,335

225 2010Q3 181,881 1381 2014Q3 254,864 1310 2014Q2 510,060

Severidad

30

0%

20%

40%

60%

80%

100%

- 200,000 400,000 600,000

F(x) empirico

Survival Function – Log Log Scale

31

0.05%0.10%0.20%0.39%0.78%1.56%3.13%6.25%

12.50%25.00%50.00%

100.00% 1 8 128 2,048 32,768 524,288

S(x) empirico - logarithmo 𝑆 (𝑥 )=1−𝐹 (𝑥)


32

𝑆 (𝑥 )=1−𝐹 (𝑥)

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 10,000 40,000 160,000

S(x) emprico - logarithmo

La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log


33

𝑆 (𝑥 )=1−𝐹 (𝑥)La Distribucion Pareto es un linea recta en un graphico log log

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25%

12.50% 10,000 40,000 160,000



34


0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25%

40,000 320,000



35


0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25%

40,000 320,000



36

No se elige con meta que el ultimo punto esta en la linea

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25%

40,000 320,000



37

No se elige con meta que el ultimo punto esta en la linea

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25%

40,000 320,000


Elegir Parametros - Severidad

Se puede tratar diferentes ’s para ver si da resultado similar (o diferente)

38

Elige , determina

39

Siniestro Trimestre Monto empirico1348 2014Q3 49,302 95.12%

592 2011Q4 49,479 95.19%

105 2010Q2 49,885 95.25%

50,000 95.26%

686 2012Q1 50,862 95.32%

682 2012Q1 51,085 95.38%

639 2011Q4 51,160 95.45%

𝐹 (𝑥 )=𝑟𝑎𝑛𝑘𝑖𝑛𝑔𝒏+𝟏 Numero de Siniestros

Primer Prueba de Parametros

Elige primero, despues El elegido es muy alto

40

0.05%0.10%0.20%0.39%0.78%1.56%3.13%6.25%

40,000 320,000


1.00

= 2,000

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000


S(x) empiricoS(x) Pareto

Prueba de Parametros del Pareto

Mejor. Parece que el pendiente no baja suficiente

41

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000



0.02%0.05%0.10%0.20%0.39%0.78%1.56%3.13%6.25%

40,000 320,000


0.50

= 5,500


Ahora parece que baja muy rapido

42

0.00%0.01%0.01%0.02%0.05%0.10%0.20%0.39%0.78%1.56%3.13%6.25%

40,000 320,000


0.20

= 15,000

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000




Mucho MejorBuscamos un poco abajo y arriba

43

0.01%0.02%0.05%0.10%0.20%0.39%0.78%1.56%3.13%6.25%

40,000 320,000


0.35

= 9,000

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000




Tambien es buena

44

0.01%0.01%0.02%0.05%0.10%0.20%0.39%0.78%1.56%3.13%6.25%

40,000 320,000


0.30

= 10,000

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000




Peor de 0.30 y 0.35; pero nos da un tope

45

0.01%0.02%0.05%0.10%0.20%0.39%0.78%1.56%3.13%6.25%

40,000 320,000


0.40

= 7,400

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000




Mucho MejorBuscamos un poco abajo y arriba

46

0.01%0.02%0.05%0.10%0.20%0.39%0.78%1.56%3.13%6.25%

40,000 320,000


0.35

= 9,000

0.01%

0.02%

0.05%

0.10%

0.20%

0.39%

0.78%

1.56%

3.13%

6.25% 40,000 320,000



Resumen Severidad

Tenemos Distribucion para la pansa• Hasta el

La Cola se usa el Pareto con estos parametros:

47

48

Pasos

• Estimar Distribuccion Para Numero de Siniestros• En General se usa Frecuencia, y se

aplica a la prima pronosticada del proximo ano

• Estimar Distribuccion por el costo de cada siniestro• Primero la Pansa• Despues la Cola

Supuestos

La Cartera es similar • Hogar, Apartamentos

Hay buena forma de estimar expuestos• Autos, Casas, Ventas

Ajustes de Inflacion se hacen• El del mercado general, o mas detallado

Riesgo de Modelo• Expuestos, inflacion

49

Sobre el autor

50

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