Parcial1 Mec 2013
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UNIVERSI DAD TECNOL ´ OGICA NACIONAL F acult ad Regional Rosario U. D. B. Matem´ atica Elementos de ´ Algebr a y Geo met r ´ ı a Anal´ ı ti ca Pri mer examen p arcial — Mar tes 7 de ma yo de 2013 — Tema 1 Apellido y Nombre: Legajo: 1. Considere los puntos A(2, 5), B(3, 1) y C (4, 4). a ) Gra fique el tri´ angulo que determinan. b) Cal cul e la amplitu d del ´ angulo BAC . c ) Calcule el per ´ ımetro del tr i´ angulo. d ) Cal cul e el ´ area del tri´ angulo. 2. Considere los vec tores # » y = (1, 2, 3) y # » z = (−3, 2, −1). a ) Determine los cosenos directores del vector # » x , si # » x ⊥ # » y , # » x ⊥ # » z y el ´ angulo que forma con el eje OZ es agudo. b) Determine el v ector # » w que es paralelo y del mismo sentido que el vector # » x y adem´ as los vectores # » w, # » y y # » z forman un paralelep´ ıpedo de volumen 24.
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFacultad Regional RosarioU. D. B. Matematica
Elementos de Algebra y Geometra Analtica
Primer examen parcial Martes 7 de mayo de 2013 Tema 1
Apellido y Nombre: Legajo:
1. Considere los puntos A(2, 5), B(3, 1) y C(4, 4).
a) Grafique el triangulo que determinan.
b) Calcule la amplitud del angulo BAC.
c) Calcule el permetro del triangulo.
d) Calcule el area del triangulo.
2. Considere los vectores #y = (1, 2, 3) y #z = (3, 2,1).a) Determine los cosenos directores del vector #x , si #x #y , #x #z y el angulo que forma con
el eje OZ es agudo.
b) Determine el vector #w que es paralelo y del mismo sentido que el vector #x y ademas losvectores #w, #y y #z forman un paraleleppedo de volumen 24.
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SOLUCION PROPUESTA
1. a)
1
2
3
4
5
1
1 2 3 41
b
A
b
B
b
C
b)#
AB = (3, 1) (2, 5) = (1,4). # AC = (4, 4) (2, 5) = (2,1).
cos (BAC) =
#
AB # AC # AB # AC = 1 2 + (4) (1)12 + (4)222 + (1)2 = 6175 BAC 49.c)
#
BC = (4, 4) (3, 1) = (1, 3).
Permetro = # AB+ # AC+ # BC = 12 + (4)2 +22 + (1)2 +12 + 32
=
17 +
5 +
10 9,52145.
d) Del apartado 1b se sigue que
sen(BAC) =
1
(6
17
5
)2=
785.
Area =1
2
# AB # AC sen(BAC) = 12
17
5785
=7
2= 3,5.
2. a) El vector #x es paralelo al vector #y #z = (8,8, 8). Como la tercera componente delvector #y #z es positiva, entonces #x y #y #z tienen el mismo sentido. Luego
#x0 =1
|(8,8, 8)|(8,8, 8) =1
8
3(8,8, 8) =
( 1
3, 1
3,
13
).
Los cosenos directores del vector #x son respectivamente 13, 1
3, 1
3.
b) Como los vectores #w y #x son paralelos, entonces #w = #x0, con > 0, porque#w y #x
tienen el mismo sentido. Ademas | #w #y #z | = | #x0 #y #z | = | #x0 #y #z | = 24,de donde resulta
Volumen = | #x0 #y #z | = (
8
3)
= 24 =
3
#w =
3
( 1
3, 1
3,
13
)= (1,1, 1).
