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ESTADSTICA BSICA SEMESTRE 2015-II

PARCIAL JUEVES, 8 DE OCTUBRE DE 2015

Apellidos:___________________________________________________________________________ Nombre:___________________________________________________________________________ Seccin:___________________

No se puede consultar ningn tipo de documentacin.

En este examen se proporciona una serie de recuadros en los que se ha de escribir el resultado final de cada cuestin que se plantea. El desarrollo ha de realizarse en el cuadernillo. Estas hojas SE ENTREGARN JUNTO CON EL CUADERNILLO, y se escanearn para prevenir fraudes posteriores. Por esta razn NO SE CONSIDERAR NINGUNA RESPUESTA QUE NO SE HAYA ESCRITO EN LOS RECUADROS HABILITADOS Y QUE NO SE HAYA RAZONADO EN EL CUADERNILLO.

1. Un artculo manufacturado est compuesto por dos piezas, P1 y P2, como muestra la figura.

Debido a la variabilidad del sistema productivo, las longitudes respectivas, 1 y 2, son variables aleatorias, que verifican 1 (10,2 = 1) y 2 (12,2 = 4), siendo ambas longitudes variables aleatorias independientes. a) Cmo ser la variable aleatoria (distribucin y parmetros)? (3 p.)

(22,2 = 5)

b) Este artculo es aceptable si su longitud total verifica que [21,24] Qu proporcin de artculos

defectuosos se est produciendo? (2 p.)

Proporcin=51%

SOLUCIN:

a) Al tratarse de normales independientes se verifica que su suma ser normal, ((),())

con () = (1) + (2) = 22

() = (1) + (2) = 5 Por tanto,

(22,5) b) La proporcin de defectuosos es:

P(defectuoso)=( > 24) + ( < 21) Para usar las tablas de la N(0,1) hacemos los siguientes clculos

P1 P2

1 2

2

( > 24) + ( < 21) = 1 ( 24) + ( < 21) = 1 24 225 + 21 225 = 1 ( 0.89) + ( -0.45) = 1 0.8133 + 0.3264 = 0.51

2. Un examen consta de 5 preguntas del tipo Verdadero/Falso. Contesta de forma razonada a las siguientes cuestiones.

a) Si la puntuacin es de 4 puntos por respuesta correcta y 0 por respuesta incorrecta, qu puntuacin espera obtener (en media) un estudiante que conteste al azar? (2 p.)

Puntuacin esperada=10

b) Cul es la probabilidad de que un estudiante apruebe (11 puntos o ms) contestando al azar?

(1 p.)

Probabilidad=0.5

c) El profesor decide ahora que si la respuesta a una pregunta es correcta el valor es de 4 puntos, pero si es incorrecta, se obtiene una puntuacin negativa de -3. Qu nota esperar ahora obtener el estudiante que conteste al azar? (2 p.)

Puntuacin esperada=2.5

SOLUCIN:

a) Contestar de forma correcta una pregunta al responder al azar entre Verdadero o Falso tiene probabilidad 0.5. Si llamamos =nmero de respuestas correctas en un grupo de 5 preguntas, donde la probabilidad de acertar en cada una es 0.5, tenemos que

(5,0.5) Por tanto, () = = 2.5 preguntas. Si cada pregunta vale 4 puntos, la puntuacin esperada ser de 10.

b) Para aprobar se necesita un mnimo de 11 puntos. Como cada pregunta vale 4 puntos, es necesario acertar un mnimo de 3 preguntas, lo que proporcionara un mnimo de 12 puntos.

( 3) = ( = 3) + ( = 4) + ( = 5) = 53 0.530.52 + 540.540.51 550.55 = 0.55 53 + 54 + 55 = 0.313(10 + 5 + 1) = 0.5

c) Sea =puntuacin de la pregunta i-sima contestada al azar. Esta variable aleatoria se define como

= 4, (4) = ( = 4) = 0.53, (3) = ( = 3) = 0.5

El valor esperado de esta variable es () = 4 (4) 3 (3) = 0.5

Entonces, la puntuacin total puede escribirse como = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

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Y su valor esperado es () = (1) + (2) + (3) + (4) + (5) = 5 0.5 = 2.5

3. Sea una variable aleatoria con la siguiente funcin de densidad de probabilidad () = (1 2); [1,1]

Se pide: a) Calcula y dibuja ().(1 p.)

=3/4 b) Calcula la moda, la mediana y la media.(2 p)

Moda=0 Mediana= 0 Media=0

c) Calcula ( > 0.4) (2 p.) ( > 0.4) = 0.216

SOLUCIN:

a) El valor debe verificar que

(1 2)11

= 1 33 1

1 = 23 + 23 = 1 = 34

b) La distribucin es simtrica alrededor del 0, por lo que media, mediana y moda son iguales a 0 c) La probabilidad se obtiene integrando ():

( > 0.4) = () =10.4 34 (1 2) = 0.21610.4

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4. Microluz es un importante fabricante del sector de la electrnica especializado en iluminacin LED. El

tiempo de vida de sus bombillas LED sigue una distribucin exponencial de media 10 aos. No obstante, algunas de ellas son defectuosas y siguen una exponencial cuya vida media es de slo 1 ao. Se sabe que el 10 % de las bombillas fabricadas por la empresa son defectuosas.

a) Calcula la probabilidad, para cada tipo de bombilla, de que duren ms de 1 ao. (0.5 p.)

Bombillas aceptables=0.905 Bombillas defectuosas=0.368

b) Calcula la probabilidad de que una bombilla elegida al azar dure ms de 1 ao. (1 p.)

Probabilidad=0.852

c) Se selecciona al azar una bombilla LED de esta empresa y despus de un ao sigue

funcionando. Cul es la probabilidad de que sea de las defectuosas? (1.5 p.)

Probabilidad=0.043

d) Cul es la probabilidad de que esta bombilla que lleva ya un ao funcionando funcione al menos otro ao ms? Razonar la respuesta. (2 p.)

Probabilidad=0.880

SOLUCIN:

a) Sea A =bombilla aceptable, con vida media de 10 aos, con () = 0.9. Sea D = bombilla defectuosa, con vida media de 1 ao, con () = 0.1. Las duraciones de cada tipo de bombilla se pueden denotar por las siguientes variables aleatorias:

= tiempo de vida de una bombilla seleccionada al azar, = tiempo de vida de una bombilla con media 10 aos. ( = 1/10), = tiempo de vida de una bombilla con media 1 ao. ( = 1).

Se tiene entonces que

( > 1) = 1 = 110 = 0.905 ( > 1) = 1 = 1 = 0.368

b) Para calcular ( > 1) aplicamos el teorema de la probabilidad total:

( > 1) = ( > 1|)() + ( > 1|)() = 0.368 0.1 + 0.905 0.9 = 0.852 c) Nos preguntan por (| > 1). Segn el Teorema de Bayes:

(| > 1) = ( > 1|)()( > 1) = 0.368 0.10.852 = 0.043,

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d) Nos preguntan por la probabilidad siguiente

( > 2| > 1) = ( > 2 > 1)( > 1) = ( > 2)( > 1).

Procediendo como en el apartado anterior tenemos que

( > 2) = ( > 2|)() + ( > 2|)() donde

( > 2|) = ( > 2) = 2 = 0.2 = 0.8187 ( > 2|) = ( > 2) = 2 = = 0.135 .

Por tanto, tenemos que

( > 2) = 0.1353 0.1 + 0.8187 0.9 = 0.750 . Finalmente resulta que

( > 2| > 1) = ( > 2)( > 1) = 0.7500.852 = 0.88