INTRODUCCION

Procesamiento de Señales posee una larga y rica historia, se entronca con un inmenso

conjunto de disciplinas entre las que se encuentran las telecomunicaciones, el control, la

medicina, la exploración del espacio, por nombrar solo unas pocas. Cuando se refiere al

procesado digital de señales, se refiere a la representación mediante secuencias de números

de precisión finita y el procesado se realiza utilizando un computador digital. El

Procesamiento de señales trata de la representación, transformación y manipulación de

señales y de la importancia que contienen.

En el presente trabajo colaborativo se pretende resumir las experiencias en el estudio de la

unidad 2 del presente curso. Es por eso que con el desarrollo de cada punto se consigue

sintetizar lo aprendido en esta unidad y así identificar conceptos y características de los

filtros digitales.

También se trabaja en la etapa practica con la resolución de ejercicios con la herramienta

Matlab, para profundizar y afianzar conocimientos, por medio de análisis de diseño y

métodos para el desarrollo de ejercicios.

DESARROLLO DE ACTIVIDADES TEORICAS

1. Realice un cuadro comparativo entre los filtros de Respuesta Finita al Impulso (FIR) y

los filtros de Respuesta Infinita al Impulso (IIR) teniendo en cuenta la ecuación en

diferencias, las ventajas y desventajas y las estructuras de implementación.

CARACTERÍSTICA Filtros (FIR) Filtros (IIR)

VENTAJAS

Implementados de forma

no recursiva son

inherentemente estables.

Son ideales para filtros que

tienen muy poca o ninguna

distorsión de fase.

Tienen los polos en el

origen lo cual los hace

estables.

Tienen respuesta en fase

lineal.

Son de fácil diseño e

implementación

Requieren menores coeficientes

para hacer operaciones similares

de filtrado

Se ejecutan más rápido y no

requieren de memoria extra

Un filtro analógico convencional

puede convertirse en un filtro

digital IIR

Son ideales para filtros con cortes

muy abruptos (bandas de

transmisión ancha) estos son

ideales. Involucran menos

parámetros,

Involucran menos memoria

Involucran menor complejidad

computacional.

DESVENTAJAS Requieren de mayor

complejidad computacional

Un filtro analógico

convencional NO puede

convertirse en un filtro

digital IIR

Requieren de mayores

parámetros

Requieren de mayor

La estabilidad siempre debe

comprobarse, ya que son sistemas

realimentados.

La respuesta de fase es no lineal

Son más difíciles de diseñar e

implementar

memoria

ESTRUCTURA DE

IMPLEMENTACIÓN

La salida depende no solo

en la corriente y valores de

entrada pasados sino que

también en los valores de

salida pasados.

Se usan donde se desea

desfase lineal con la

frecuencia

La salida solo depende de la

corriente y de los valores de

entrada pasados

Se usan donde NO se desea

desfase lineal con la frecuencia

MÉTODO TÍPICO

PARA LE DISEÑO DE

FILTROS

Ubicación directa de polos

y ceros

Óptimos.

Invariación al impulso

Transformada bilineal

Muestreo en frecuencia

Óptimos

Ventanas

Bandas de transición suaves

COMPARACIÓN

FUNCIÓN DE

SISTEMA

Son del tipo sólo ceros, ya

que todos los polos se

encuentran en el origen,

(salvo si se emplean

diseños de muestreo en

frecuencia)

Pueden tener sus polos y sus ceros

en cualquier punto finito del plano

z

COMPARACIÓN

MEMORIA

Necesitan mucha memoria

para almacenar la muestra

actual y las anteriores de la

señal de entrada, así como

los coeficientes del filtro

Necesitan menos registros de

almacenamiento, ya que el

número de coeficientes es menor

que el equivalente

COMPARACIÓN

MÓDULO DE LA

RESPUESTA EN

FRECUENCIA

Algunas características de

amplitud, como la

requerida en los sistemas

diferenciadores se realiza

Los filtros paso-todo sólo se

pueden realizar con IIR

mejor con un FIR

COMPARACIÓN

FASE DE LA

RESPUESTA EN

FRECUENCIA

Pueden conseguir una

característica de fase

exactamente lineal

sólo se pueden aproximar a una

característica de fase Lineal con

gran aumento de la complejidad

ECUACIÓN EN

DIFERENCIA

y [n ]=∑k=0

n−1

h [k ] x [n−k ] ,

Hfir (Z )=∑k=0

n−1

h [k ] z−k ,

y [n ]=∑k=0

∞

h [k ] x [n−k ] ,

Hiir (Z )=∑k=o

M

bk z−k

∑k=0

N

ak z−k

COMPARACIÓN

ESTABILIDAD

Son intrínsecamente

estables

Sólo serán estables (y causales

simultáneamente) si todos sus

polos están en el interior de la

circunferencia unidad

COMPARACIÓN

DIFICULTAD EN EL

DISEÑO

Suelen exigir

aproximaciones iterativas

Se diseñan con fórmulas cerradas

y transformaciones sencillas como

la bilineal

COMPARACIÓN

ESTRUCTURAS

Admiten realizaciones

recursivas y no recursivas

Sólo pueden realizarse con

estructuras recursivas

COMPARACIÓN

SENSIBILIDAD A LAS

INTERFERENCIAS

Puede verse afectada por

su estado inicial o

cualquier interferencia

La perturbación puede afectar a la

señal de salida indefinidamente

COMPARACIÓN

ERROR DE

CUANTIFICACIÓN

Los efectos de la

cuantificación pueden

hacerse irrelevantes si se

utilizan longitudes de

palabra a partir de 12 bits.

pueden producirse oscilaciones

indeseadas en la salida a causa del

desbordamiento o de los ciclos

límite

2. Realice un breve mapa conceptual donde analice las técnicas de diseño para filtros de Respuesta Infinita al Impulso (IIR):

Invarianza al impulso y transformación Bilineal, teniendo en cuenta definición y ventajas y desventajas de uno respecto a

otro.

3. Realice un breve mapa conceptual donde analice las técnicas de diseño para filtros de

Respuesta Finita al Impulso (FIR): Método de ventanas, Rizado Constante óptimo y

Muestreo en frecuencia, teniendo en cuenta definición y ventajas y desventajas de uno

respecto a otro.

v

Ventajas:

*Permite un control total de las características del filtro en cuanto a frecuencias ganadas y longitud.

Desventajas:

*El rizado no se distribuye uniformemente en las bandas.

*Escaso control sobre las frecuencias criticas del corte.

*No existe forma fácil de optimizar el diseño de los filtros.

Ventajas:

*Procedimientos rápidos para el cálculo de los coeficientes.

*Se controla perfectamente la anchura de la zona de transición, ya que es igual a 2π/N.

Desventajas:

*Tiene un pobre control de la frecuencia fuera de los puntos de muestreo.

Ventajas:

*Presenta menor rizado en las bandas de paso y de rechazo.

Desventajas:

*Altera respuesta frecuencial del filtro obtenido respecto a las especificaciones.

*Alargamiento del periodo de muestreo si los cálculos son extensos.

*Sin control sobre los parámetros.

METODO DE FRECUENCIAS:

Con este método obtenemos un filtro cuya respuesta en frecuencia pasa por los puntos fijados.

Estos métodos se basan en la teoría de la aproximación, imponiendo restricciones en cuanto a la desviación de la respuesta en frecuencia del filtro respecto del filtro ideal

METODO DE VENTANAS:

Se basa en truncar la respuesta impulsional infinita de un filtro ideal.

RIZADO CONSTANTE ÓPTIMO:

Reparte el error de aproximación entre la respuesta en frecuencia ideal y la real.

TECNICAS DE DISEÑO PARA FILTROS DE

RESPUESTA FINITA AL IMPULSO (FIR)

4. Convierta el filtro con la siguiente función de transferencia

T ( s )= 16(s+4 )2

a su equivalente discreto usando el método de la Transformación Bilineal. El filtro discreto

se va a utilizar con una frecuencia de muestreo de 5Hz.

Resolviendo directamente la transformada inversa es:

T ( s )= 16(s+4)2=

16s2+8 s+16

s= 2Ts. {1−Z−1

1+Z−1 }Reemplazando

H ( z )= 16

[ 2Ts.{1−Z−1

1+Z−1 }]2

+8[ 2Ts.{1−Z−1

1+Z−1 }]+16

H ( z )= 16

4Ts2

(1−Z−1 )2

(1+Z−1)2 +16Ts

(1−Z−1)(1+Z−1)

+16

Sacando común divisor en el denominador

H ( z )= 164 (1−Z−1 )2+16(1−Z−1)(Ts(1+Z−1))+16(Ts2 (1+Z−1 )2)

Ts2 (1+Z−1 )2

Aplicando la ley de la oreja

H ( z )=16(Ts2 (1+Z−1 )2)

4 (1−Z−1 )2+16(1−Z−1) (Ts(1+Z−1))+16 (Ts2 (1+Z−1 )2)

Dividiendo los coeficientes de toda la expresión entre 4 y reemplazando el valor de

Ts= 1/5

H ( z )=4 ((1/5)2 (1+Z−1 )2

)

( 1−Z−1 )2+4 (1−Z−1)( 15(1+Z−1))+4((1/5)2 (1+Z−1 )2)

H ( z )=4 (0.04 (1+Z−1 )2)

( 1−Z−1 )2+4 (1−Z−1) (0.2 (1+Z−1))+4 (0.04 (1+Z−1 )2)

Multiplicando los coeficientes por el valor de Ts

H ( z )= 0.16 (1+Z−1 )2

( 1−Z−1 )2+0.8(1−Z−1) (1+Z−1 )+0.16 (1+Z−1)2

Desarrollando y destruyendo paréntesis

H ( z )= 0.16 ( 1+2Z−1+Z−2 )( 1−2Z−1+Z−2 )+(0.8−0.8 Z−1) (1+Z−1 )+0.16 ( 1+2Z−1+Z−2 )

H ( z )= 0.16+0.32Z−1+0.16 Z−2

1−2Z−1+Z−2+0.8+0.8Z−1−0.8Z−1−0.8Z−2+0.16+0.32 Z−1+0.16Z−2

Sumando términos semejantes

H ( z )= 0.16+0.32Z−1+0.16 Z−2

1.96−1.68Z−1+0.36 Z−2

Multiplicamos toda la expresión por Z2

H ( z )=(0.16+0.32Z−1+0.16Z−2 )∗(Z2 )( 1.96−1.68 Z−1+0.36Z−2 )∗(Z2 )

H ( z )= 0.16Z2+0.32Z+0.161.96 Z2−1.68Z+0.36

Dividimos todos los coeficientes en la expresión entre el primer termino del

denominador

H ( z )=

( 0.16Z2+0.32Z+0.16 )(1.96 )

(1.96 Z2−1.68Z+0.36 )(1.96 )

H ( z )=0.081Z2+0.163Z+0.081Z2−0.857Z+0.183

Rta: H ( z )=0.081Z2+0.163Z+0.081Z2−0.857Z+0.183

DESARROLLO DE ACTIVIDADES PRÁCTICAS

1. Convierta el filtro con la siguiente función de transferencia:

T ( s )= 6(s+1)(s+2)(s+3)

A su equivalente discreto usando el método del impulso invariante. La frecuencia de

muestreo de 20Hz.

Solución mediante MATLAB:% Método del Impulso Invarianteclear allclcFs=20num=[6 6];den=[1 5 6];sys=tf(num,den)[r,p,k]=residue(num,den)[numd,dend]=impinvar(num,den,Fs)impulse(sys)hold onimpz(Fs*numd,dend,[],Fs)

2. Diseñar un filtro pasa alto, por medio del método de muestreo en frecuencia que

cumpla con las siguientes características.

Frecuencia en la banda de rechazo – fsb = 1.5kHz;

Frecuencia en la banda de paso - fbp = 1.6kHz;

Rizado en la banda de paso – Rp = 1dB;

Máxima atenuación en la banda de rechazo - As = 60dB;

Frecuencia de muestreo = 8000Hz;

Para el diseño del filtro solicitado trabajamos en la herramienta fdatool en Matlab.

A continuación se presenta la información del filtro actual y la grafica a respuesta de

magnitud del filtro solicitado.

O también mediante srcipt en Matlab, a continuación código de programación para el

diseño del filtro solicitado.

%Metodo de muestreo en frecuencia. clear allclcfs=8000fpb=1600fsb=1500rp=1as=60dp=(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1)ds=10^(-as/20)F=[fsb,fpb]A=[0,1]DEV=[ds,dp][N,Fo,Ao,W]=firpmord(F,A,DEV,fs)B=firpm(N,Fo,Ao,W)freqz(B,1,512,fs)

CONCLUSIONES

En la actualidad existen diversos paquetes para simular sistemas y es necesario saber

utilizar los más usados. Con este trabajo llegamos a la conclusión que Matlab es una

herramienta poderosa para ver el comportamiento del filtro, es más, diríamos que es muy

fácil diseñar filtros con este programa.

Una de las ventajas de los filtros IIR es que al tener ceros y polos es necesario un menor

número de coeficientes para realizar un determinado filtrado. Dentro de los inconvenientes

encontramos que la presencia de polos puede producir inestabilidades, ellos no garantizan

que la fase de su función de transferencia sea lineal y además, la implementación

hardwares más compleja que en el caso de filtros FIR.

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