7/26/2019 PautaC1-2106-16

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Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de MatematicasDepartamento de Matematica21/Marzo/2016

MAT 2106

Pauta control 1

1. Determine  p y  q  ∈  R, de modo que el vector   u =

2 p

32q 

pertenezca a  S   donde:

S  =

12

−5

3

,

2

−14

7

Solucion:

u ∈  S  ⇐⇒ ∃ α , β  ∈  R tal que

2 p

32q 

= α

12

−53

+ β 

2−1

47

⇐⇒

2

 p

32q 

=

α + 2β 2α − β 

−5α + 4β 

3α + 7β 

⇐⇒ el sistema:

α + 2β    = 22α − β    =   p

−5α + 4β    = 323α + 7β    =   q 

tiene solucion

⇐⇒ q  − 60 = 4 − P 

5  =

 42

14 = 3

⇐⇒ q  = 9  ∧   p =  −11

Luego si  q  = 9  ∧   p =  −11, entonces  u ∈  S .

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2. Determine  a ∈  R, de modo que el conjunto  { p(x) , q (x) , r(x) } ∈  P2[R] sea linealmente

independiente. donde:

 p(x) = x2 + ax + 1  , q (x) = 2x2 + x + a , r(x) = x2 + (a + 1)x + 1

Solucion:

El conjunto  { p(x) , q (x) , r(x) } ∈  P2[R] , es linealmente independiente si y solo si

α p(x) +  β q (x) + γ r(x) = 0(x) =⇒ α  =  β  = γ  = 0

Esto es:

=⇒ α (x2 + ax + 1) + β  (2x2 + x + a) + γ  (x2 + (a + 1)x + 1) = 0 + 0 x + 0 x2

=⇒ (α + 2β  +  γ ) x2 + (a α + β  + (a + 1) γ ) x + (α + aβ  +  γ ) = 0 + 0 x + 0 x2

=⇒α + 2β  +  γ    = 0

a α + β  + (a + 1) γ    = 0α + aβ  +  γ    = 0

=⇒α + 2β  +  γ    = 0

(1 − 2a)β  +  γ    = 0(a − 2)β    = 0

De donde el conjunto es linealmente independiente si el sistema homogeneo tiene unica

solucion y esto sucede si  a = 2