Universidad Autnoma de Guadalajara Campus Tabasco Ingeniera en Mecatrnica

Universidad Autnoma de Guadalajara Campus TabascoFACULTAD DE INGENIERA

TEORIA DE CONTROL

PROFESOR: Dr. Reymundo Ramrez Betancour

EXPERIENCIA DE APRENDIZAJE: Modelo Matemtico del Pndulo Invertido

INTEGRANTES: Jorge Luis Arias Morales Fernando Gabriel Avalos PreciadoJess Enrique Colina ReyesOscar Daniel Cornelio Castrongel Antonio Daz Naranjo Fredy Jess Jernimo Carrillo

GRUPO: IMT 5510

EvaluacinSeccinPonderacinABCD

Objetivos5

Introduccin5

Contenido65

Conclusin Personal10

Bibliografa y Anexos5

Presentacin10

Total100

Comentarios de la Revisin____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

INDICEIntroduccin..2Objetivos..2Modelado matemtico del pndulo invertido3Representacin y anlisis del pndulo invertido por medio de diagramas de bloques6Modelado en el espacio de estados8Ejemplo8Modelado del sistema de pndulo invertido en el espacio de estados.11Diseo del controlador.14Anlisis de estabilidad14Controlador PID .15Parmetros Kp, Ti y Td...16Sintonizacin de los parmetros.18Conclusin 21Bibliografa21

INTRODUCCINLaTeora de Controles un campo interdisciplinario de laingenieray lasmatemticas, que trata con el comportamiento desistemas dinmicos. La importancia de los sistemas de control en nuestra vida diaria es tan crtica que sin ellos la vida sera complicada. A medida que los sistemas tienen ms ingeniera son sorprendentes. El sistema de pndulo invertido, que se muestra en la Figura 1-1, es conocido por ser uno de los problemas ms importantes y clsicos de la teora de control. El sistema est compuesto por un carro sobre el cual se monta un pndulo que puede girar libremente. El carro deber moverse para compensar el desplazamiento del pndulo y mantenerlo, as, en un estado de equilibrio.Figura 1-1. Sistema de pndulo invertido.

OBJETIVOSEn esta experiencia de aprendizaje, se analizar el diseo de un pndulo invertido, se modelar el sistema que describe el comportamiento del mismo y, a partir de este, se desarrollar un pndulo invertido. Representar el modelo matemtico del sistema de pndulo invertido. Ajustar y aplicar un modo de control. Analizar la estabilidad del sistema. Crear un sistema fsico real del pndulo invertido.

MODELADO MATEMTICO DEL PNDULO INVERTIDOFigura 2-1. Diagrama de cuerpo libre.

La Figura 2-1 es el diagrama de cuerpo libre del pndulo invertido. Necesitamos hallar una relacin entre la fuerza F que se le debe aplicar al carro y el ngulo de inclinacin del pndulo.Primero hacemos un anlisis de las fuerzas en el eje x con el fin de tener una ecuacin que relacione la posicin del carro y el ngulo de inclinacin.

Ahora hacemos un anlisis en el movimiento rotatorio del pndulo para tener otra ecuacin que relacione la posicin y el ngulo de inclinacin.

Ya tenemos dos ecuaciones que tienen entre sus trminos la posicin x y el ngulo Despejando de la Ecuacin (2.2)

Y sustituyendo en la ecuacin (2.1)

La Ecuacin (2.3) describe el movimiento del sistema, es decir, la relacin que existe entre la fuerza aplicada F y el ngulo de inclinacin . La Ecuacin (2.3) se puede simplificar tomando en cuenta lo siguiente.Debido a que se debe de mantener el pndulo en posicin vertical, se espera que el ngulo vare dentro de un rango de valores muy pequeo de forma que se cumplen las siguientes condiciones.

Aplicando estas condiciones a nuestra Ecuacin (2.3) obtenemos que:

Y dado que se espera que la variacin del ngulo se d de forma suave (que la velocidad angular sea muy pequea), el trmino de la Ecuacin (2.4) es despreciable, modificando la ecuacin a:

O bien

Pasando al dominio de Laplace

De la Ecuacin (2.7) se obtiene que la funcin de transferencia del sistema de pndulo invertido es

REPRESENTACIN Y ANLISIS DEL PNDULO INVERTIDO POR MEDIO DE DIAGRAMAS DE BLOQUESPara hacer la representacin y anlisis por medio de diagramas de bloques necesitamos tener las diferentes ecuaciones que describen el comportamiento del sistema. Estas ecuaciones son las que resultan al analizar las fuerzas que actan sobre el eje X y el movimiento rotatorio del pndulo, es decir, las ecuaciones (2.1) y (2.2) que ya se encontraron anteriormente.

Para facilitar el anlisis aplicamos en este punto las consideraciones tomadas con respecto al ngulo y a la velocidad angular simplificando las ecuaciones (3.1) y (3.2) a:

Pasando al dominio de Laplace obtenemos que

Reescribimos las ecuaciones

En la Figura 3-1 se muestran los diagramas de bloques correspondientes a las Ecuaciones (3.7) y (3.8) Figura 3-1 (a) Diagrama de bloques de la Ecuacin (3.7); (b) Diagrama de bloques de la Ecuacin (3.8)

Uniendo los dos diagramas obtenemos el diagrama ilustrado en la Figura 3-2.

Figura 3-2 Diagrama de bloques del sistema de pndulo invertido.Y simplificando obtenemos(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Figura 3-3 Reduccin del diagrama de bloques mostrado en la Figura 3-2.

MODELADO EN EL ESPACIO DE ESTADOSEl estado de un sistema dinmico es el conjunto ms pequeo de variables (denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en , junto con el conocimiento de la entrada para , determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo. Observe que el concepto de estado de ningn modo est limitado a los sistemas fsicos. Se puede aplicar a sistemas biolgicos, econmicos, sociales y otros.Las variables de estado de un sistema dinmico son las que forman el conjunto ms pequeo de variables que determinan el estado del sistema dinmico. Si se necesitan al menos variables para describir por completo el comportamiento de un sistema dinmico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para y se especifica el estado inicial en , el estado futuro del sistema se determina por completo), tales variables son un conjunto de variables de estado.Si se necesitan variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas variables de estado se consideran los componentes de un vector . Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de estado es aquel que determina de manera nica el estado del sistema para cualquier tiempo , una vez que se obtiene el estado en , y se especifica la entrada para .El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas estn formados por el eje , el eje ,. . ., el eje , se denomina espacio de estados. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados.En el anlisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de variables involucrados en el modelado de sistemas dinmicos: variables de entrada, variables de salida y variables de estadoEl sistema dinmico debe incorporar elementos que memoricen los valores de la entrada para . Dado que los integradores de un sistema de control en tiempo continuo funcionan como dispositivos de memoria, las salidas de tales integradores se consideran las variables que definen el estado interno del sistema dinmico. Por tanto, las salidas de los integradores funcionan como variables de estado. La cantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinmica del sistema es igual a la cantidad de integradores que contiene el sistema. EjemploConsidere un sistema de segundo orden con una como entrada para el sistema y como salida. La ecuacin de este sistema es:

Este sistema es de segundo orden por lo que contiene dos integradores. Las variables de estado quedan definidas como.

Por lo que

O bien

En forma matricial estas dos ecuaciones quedan expresadas como

La ecuacin de salida es

Que en forma matricial queda expresada como

La Ecuacin (4.1) es una ecuacin de estado y la Ecuacin (4.2) expresa la salida del sistema. Estas se pueden reescribir como:

Donde A, B, C y D representan las matrices de estas ecuaciones. Si las pasamos al dominio de Laplace obtenemos

Despejamos de la ecuacin (4.5)

Sustituyendo la Ecuacin (4.7) en la Ecuacin (4.6)

Donde es la matriz identidad, y de esta ecuacin podemos escribir la relacin , es decir, nuestra funcin de transferencia:

Cambiando A, B, C y D por sus respectivas matrices y resolviendo.

La Ecuacin (4.15) representa la funcin de transferencia del sistema; la misma funcin de transferencia para sistemas de segundo orden.Modelado del sistema de pndulo invertido en el espacio de estadosConsidere el sistema de pndulo invertido que se muestra en la Figura 4-1.

Figura 4-1. Diagrama de cuerpo libre del sistema de pndulo invertido.

El modelo matemtico de este sistema est definido por las ecuaciones siguientes:

Las Ecuaciones (4.16) y (4.17) se pueden modificar como

Las Ecuacin (4.18) se obtiene eliminando de las Ecuaciones (4.16) y (4.17). La Ecuacin (4.19) se obtiene eliminando de las Ecuaciones (4.16) y (4.17). Definimos las variables de estado

Debido a que la fuerza aplicada F es nuestra variable de entrada que depende del ngulo y de la posicin , consideramos estas como las salidas de nuestro sistema, definiendo nuestras ecuaciones de salidas como

Por lo tanto nuestro modelo en espacio de estados queda definido en trminos vectoriales como

Recordemos que la expresin que define la funcin de transferencia en trminos de las matrices A, B, C y D es

Por lo que sustituyendo las matrices de las Ecuaciones (4.20) y (4.21) en la Ecuacin (4.22) obtenemos

La Ecuacin (4.28) representa las funciones de transferencia del sistema.

La Ecuacin (4.29) expresa la relacin entre el ngulo y la fuerza aplicada F. La Ecuacin (4.30) expresa la relacin entre la posicin y la fuerza aplicada F.

DISEO DEL CONTROLADOREn la Figura 5-1 se muestra un diagrama de cuerpo libre del sistema de pndulo invertido.

Figura 5-1. Diagrama de cuerpo libre del sistema de pndulo invertido.

Anlisis de estabilidadEl problema del control de posicin es mantener al pndulo en posicin vertical. Se sabe que la funcin de transferencia que describe la relacin entre la fuerza F aplicada y el ngulo es

Mediante el criterio de estabilidad de Routh podemos determinar si el sistema es estable o no. El arreglo de Routh queda de la siguiente manera:

Existe un cambio de signo en la primera columna por lo que se considera el sistema como inestable. Si analizamos su estabilidad haciendo uso del mtodo de ubicacin de las races en el plano S necesitamos encontrar las races de la ecuacin caractersticas. Estas son

En el plano S estos polos se encuentran ubicados como se muestra en la Grfica 5-1.

Grfica 5-1 Plano SPara cualquier valor que tengan los elementos de nuestra planta existir un polo en el lado derecho del plano por lo que este ser un sistema inestable y puede caer en cualquier momento y en cualquier direccin con la ms mnima perturbacin.Debido a su inestabilidad debe incluirse una accin de control derivativa en el controlador, de esta manera podremos aprovechar la razn de cambio y as iniciar una pronta accin correctiva; pero la accin de control derivativa no puede usarse sola. Controlador PIDSe propone un control de tipo proporcional integral derivativo el cul, en comparacin al controlador de tipo PD, corrige eficazmente y en el mnimo tiempo posible los efectos de las perturbaciones.La funcin de transferencia para un controlador tipo PID es la mostrada en la Ecuacin (5.3)

Debido a que en el sistema el controlador producir una fuerza F para corregir el ngulo , podemos reescribir la Ecuacin (5.3) en los trminos de nuestro sistema.

En la Figura 5-2 se muestra el diagrama de bloques de este sistema de control.

Figura 5-2 Diagrama de bloques del sistema de pndulo invertido con controlador.Donde es nuestra seal de referencia, la cual igualamos a 0 ya que esta indica que el pndulo se encuentra en posicin vertical, por lo que nuestra seal de error ser .De las Ecuaciones (5.1) y (5.4) podemos obtener la ecuacin que describe el comportamiento de nuestro sistema junto con su controlador.

Simplificando obtenemos

Reacomodando y transformando la Ecuacin (5.6) al dominio del tiempo

Parmetros Kp, Ti y TdSe pueden determinar las caractersticas dinmicas del sistema a partir de su respuesta en frecuencia; esto se hace analizando el sistema en bucle cerrado usando solo la accin de control proporcional. Lo que se busca en este mtodo es encontrar un valor Kp, llamado ganancia crtica Kcr, tal que se consiga que el sistema oscile con una amplitud constante y medir el periodo de esas oscilaciones, llamado periodo crtico Pcr; despus, haciendo uso de las reglas de sintona de Ziegler-Nichols basada en la ganancia crtica y periodo crtico, se determinan los valores aproximados de los parmetros del sistema, y luego se realiza un ajuste fino.Que un sistema tenga una oscilacin constante indica que la ecuacin caracterstica de su funcin de transferencia tiene races complejas y adems que la parte real es igual a 0; se puede forzar el valor Kp para lograr que el sistema tenga una respuesta de oscilaciones con amplitud constante y determinar el periodo de estas. En la Figura 5-3 se muestra el sistema de pndulo invertido en lazo cerrado con controlador proporcional.

Figura 5-3 Sistema en lazo cerrado con un controlador proporcional.La funcin de transferencia del sistema es

La ecuacin caracterstica del sistema es

Las races de esta ecuacin son

De la Ecuacin (5.10) se puede observar que las races de la ecuacin sern nmeros complejos conjugados, con parte real igual a 0, siempre y cuando se cumpla que , es decir, los polos no se encontrarn del lado derecho del plano S.Como se mencion anteriormente, la frecuencia de las oscilaciones de un sistema estar dada por la parte imaginaria de la raz compleja, por lo que para nuestro sistema

Para determinar el periodo de las oscilaciones recordemos que

Por lo que de las Ecuaciones (5.11) y (5.12) determinamos que

Ziegler y Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parmetros , y de acuerdo con la frmula que se muestra en la Tabla 5-1.

Tabla 5-1 Regla de sintona de Ziegler-NicholsPor razones de simplicidad y gracias a la naturaleza de nuestro sistema podemos expresar nuestros parmetros y en funcin de , parmetro que haremos variar para estabilizar la salida de nuestro sistema. De la Tabla 5-1 deducimos que

Sintonizacin de los parmetrosPara determinar el valor de los parmetros se hace uso del software de Matlab y de Simulink para estimar por prueba y error el valor de y, por medio de las Ecuaciones (5.14) y (5.15), de y .En la Figura 5-4 se muestra el diagrama de bloques del sistema retroalimentado con controlador tipo PID diseado en Simulink para las pruebas de sintonizacin y ajuste.Suponemos los siguientes valores para los elementos fsicos de nuestro sistema

Figura 5-4 Diagrama de bloques del sistema con controlador tipo PID diseado en SimulinkSe puede observar, en la Figura 5-4, que se han aadido perturbaciones al sistema para ver cmo responde el sistema. Primero proponemos un lo que nos produce un y un . Con estos parmetros nuestro sistema se comporta de la manera mostrada en la Figura 5-5.

Figura 5-5 Respuesta del Sistema con un , un y un .Observamos que el sistema tarda aproximadamente 4 segundos en estabilizarse. Aumentaremos el valor de ganancia para aumentar la velocidad de respuesta del sistema a lo que nos produce un y un . Con estos parmetros nuestro sistema se comporta de la manera mostrada en la Figura 5-6.

Figura 5-6 Respuesta del Sistema con un , un y un .Ahora observamos que el sistema tarda aproximadamente 2 segundos en estabilizarse pero los cambios en el ngulo parecen muy bruscos. A continuacin disminuimos el valor de ganancia a lo que nos produce un y un . Con estos parmetros nuestro sistema se comporta de la manera mostrada en la Figura 5-7.

Figura 5-7 Respuesta del Sistema con un , un y un .En esta prueba vemos que el sistema tambin tarda aproximadamente 2 segundos en estabilizarse y los cambios en el ngulo son ms suaves que en la prueba anterior. En base a las pruebas realizadas podemos ver que nuestro sistema funciona correctamente ya que tiende al valor estable deseado. Tomando como base al ltimo experimento realizado, donde , y , podemos crear un sistema de pndulo invertido que se mantenga estable y en caso de ser necesario realizar los ajustes finos ya que los parmetros encontrados nos proporcionan, en la simulacin, una respuesta aproximada a la real.CONCLUSINDespus de realizar esta experiencia, nos hemos abierto a un nuevo paso para la construccin de nuestro pndulo invertido, ya que con las ecuaciones obtenidas, nos damos una idea general de cmo funcionar nuestro proyecto final.

BIBLIOGRAFIAhttp://es.slideshare.net http://www.utm.mX

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