Introducción a la Dinámica no Lineal: Péndulo Invertido...
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cx Introducci ´ on Resultados Discusi ´ on Summary Introducci ´ on a la Din ´ amica no Lineal: P ´ endulo Invertido Forzado Ghenzi Nestor Fabian 1 1 Instituto Balseiro Bariloche, Argentina. Charlitas Experimental II 23 de mayo del 2006 Ghenzi Nestor Fabian Introducci ´ on a la Din ´ amica no Lineal: Caos
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Introduccion a la Dinamica no Lineal: PenduloInvertido Forzado
Ghenzi Nestor Fabian1
1Instituto BalseiroBariloche, Argentina.
Charlitas Experimental II23 de mayo del 2006
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Que fue lo que se uso?ObjetivosAlgunos datos para saber de que hablamos
Dispositivo
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Que fue lo que se uso?ObjetivosAlgunos datos para saber de que hablamos
Consideraciones experimentales
El parametro elegido a variar para observar los diferentescomportamientos del pendulo fue la frecuencia de forzado.Otros parametros que tambien se pueden variar son laconstante de rozamiento del sistema o la amplitud deforzado.
Se tuvo especial cuidado en la calibracion de los resortespara conservar una simetrıa en la fuerza aplicadas alsistema.
La conexion del L.V.D.T. se realizo con sumo cuidado paraimponer al sistema el mınimo roce dentro de nuestrasposibilidades.
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Objetivos
1 Analizar el comportamiento del sistema usando diferentestecnicas de Dinamica no lineal como lo son:
Diagramas de fase.Transformada de Fourier.Mapas de Poincare.Coeficientes de Lyapunov.
2 Comparar el comportamiento de nuestro sistema con elcomportamiento de una particula sometida al potencial deDuffing el cual esta dado por
V (θ) =12κθ2 + MgL(cos θ − 1) (1)
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Potencial de Duffing
Este potencial presenta dos comportamientos dependiendo desi k ≥ MgL, donde tiene forma de parabola con un solo pozo ysi k < MgL tiene dos pozos
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Teorıa
Diagrama de fases: Se puede ver de forma aproximada siel sistema esta en regimen caotico u ordenadodependiendo de la estructura geometrica de lastrayectorias.
Para la representacion total de nuestro sistema senecesitaban tres dimensiones: Posicion, velocidad y tiempode forzado. Solo se graficaban dos (posicion y velocidad)proyectandose todas las trayectorias en el mismo planopara cualquier frecuencia de forzado.
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Teorıa
Transformada de Fourier: Sirven para determinar lasfrecuencias predominantes del movimiento. Con estos sepueden observar:
Movimientos perıodicos que corresponden a solo un picoen el diagramaMovimientos con varios picos en el diagramacorrespondientes a la aparicion de armonicos ysubarmonicos.Espectros continuos que indican la aparicion de caosdebido a que el movimiento no presenta ningunapredileccion por alguna frecuencia en particular(relacionado con la aparicion de subarmonicos yultrasubarmonicos).
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Teorıa
Coeficientes de Lyapunov: Nos sirve para determinar lamanera en que se separan dos trayectorias inicialmentejuntas en el espacio de fases.Si d(t) es la distancia entrelas dos trayectorias, transcurrido un cierto tiempo t , seobtiene d(t) = d02λt , donde λ se define como elcoeficiente de Lyapunov del sistema y d0 es la distanciainicial de separacion. Este criterio dice que
Si λ > 0 el sistema es caotico,Si λ < 0 es perıodicoSi λ = 0 se esta en presencia de un ciclo lımite.
Estos coeficientes tienen una importante propiedad: lasuma de todos ellos da el coeficiente de rozamiento delsistema.
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Teorıa
Mapas de Poincar e: Son los puntos del diagrama de fase(en nuestro caso posicion, velocidad y tiempo de forzado)muestreados cada cierto tiempo caracterıstico relacionadocon la frecuencia de forzado.
Si el mapa de Poincare presenta una estructura fractal paralos atractores aparece la idea de atractor extrano. Puedeser caotico o no dependiendo del coeficiente de Lyapunov.¿Que es un fractal?: es una forma geometrica que consisteen un motivo que se repite a sı mismo en cualquier escalaque se le observe. A esta propiedad se le denomina de“autosemejanza”.Asociada a los fractales, es posible definir un parametrollamado dimension fractal.
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Curiosidades
El primer atractor extrano fue el atractor de Lorentz. Esteaparecio en 1963 investigando la causa de que el estado deltiempo fuese imposible de predecir a largo plazo. Asi descubriola concepcion fundamental del Caos : una extrema sensibilidada las condiciones iniciales.
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Resultados IResultados IIResultados IIIResultados IVResultados V
Consideracion experimental
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Resultados IResultados IIResultados IIIResultados IVResultados V
Duplicacion de Periodo
Diagrama de fase y transformada de Fourier para el rangoentre 509 y 473 mHz.
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¿Caos?
Diagrama de fase y transformada de Fourier para el rangoentre 462 y 384 mHz y entre 363 y 308 mHz.
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Triplicacion de Periodo
Diagrama de fase y transformada de Fourier para el rangoentre 377 y 370 mHz.
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Movimiento periodico
Diagrama de fase y transformada de Fourier para el rangoentre 303 y 231 mHz .
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Mapas de Poincare
Mapas de Poincare para 384 mHz y 290 mHz.
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Mapas de Poincare
Mapas de Poincare para 384 mHz y los simuladosnumericamente.
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ResultiesComparison with numerical resultiesConclusiones IConclusiones II
Resultados globales
O sea que a medida que fuimos aumentando el periodo seobservo el siguiente comportamiento:
Duplicacion de periodo (T y 2T).
Atractor extrano (Caotico?).
Triplicacion de periodo (T, 2T y 3T).
Atractor extrano (Caotico?).
Movimiento periodico (frecuencia de resonancia).
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Resultados numericos[4]
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Conclusiones
Se observa la presencia de subarmonicos los cuales estanrelacionados con la posterior aparicion de atractoresextranos.
El comportamiento del sistema puede ser caracterizadopor medio de la conjuncion de los diagramas de fase, losespectros de Fourier y los mapas de Poincare.
Para poder asegurar la existencia de Caos es necesariocontar con los coeficientes de Lyapunov en funcion delparametro de control.
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Aplicaciones
Se demostro que si se perturba de una manera adecuadaal sistema caotico, se lo puede estimular para que adopteuno de todos los comportamientos que presentan.Ejemplos de esto son
Lasers de CO2 con lo que se logro un factor de salida de15 veces mayor.Control de Sistema biologicos: A conejos se le provocaronarritmias y a traves de senales electricas se restablecio laorbita a traves del metodo OGY (Ott, Gregobi y Yorke) quele hicieron restablecer un ritmo normal (marcapasos ydefibriladores).
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Para saber m asNotes
Para saber mas
Moises Jose SametbandEntre el orden y el caos:la complejidad.Asociacion de Ciencia Hoy, 1991.
Kapitaniak TomaszChaotic OscillatorsWorld scientific,1992
Solari H.G., Natiello M.A y Mindlin G.B.Nonlinear DynamicsInstitute of Physics publishing
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Para saber m asNotes
Para saber mas
Moises Jose SametbandEntre el orden y el caos:la complejidad.Asociacion de Ciencia Hoy, 1991.
Kapitaniak TomaszChaotic OscillatorsWorld scientific,1992
Solari H.G., Natiello M.A y Mindlin G.B.Nonlinear DynamicsInstitute of Physics publishing
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Para saber m asNotes
Para saber mas
Moises Jose SametbandEntre el orden y el caos:la complejidad.Asociacion de Ciencia Hoy, 1991.
Kapitaniak TomaszChaotic OscillatorsWorld scientific,1992
Solari H.G., Natiello M.A y Mindlin G.B.Nonlinear DynamicsInstitute of Physics publishing
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Para saber m asNotes
Para saber mas
B. Duschene, C.W. Fischer, C.G. Gray y K.R. JefreyChaos in the motion of an inverted pendulum: anundergraduate laboratory experiment.American Journal of Physics, volumen 59, pags. 987/992
A. Wolf, J.B. Swift y H.L. Swinney y J.A. VastanoDetermining Lyapunov exponents from a time seriesPhysyca d, Volumen 16, pags. 284/317.
B. Van del Pol y J. Van der Mark.Frecuency demultiplicationNature, volumen 20, pags. 363/364.
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Para saber m asNotes
Para saber mas
B. Duschene, C.W. Fischer, C.G. Gray y K.R. JefreyChaos in the motion of an inverted pendulum: anundergraduate laboratory experiment.American Journal of Physics, volumen 59, pags. 987/992
A. Wolf, J.B. Swift y H.L. Swinney y J.A. VastanoDetermining Lyapunov exponents from a time seriesPhysyca d, Volumen 16, pags. 284/317.
B. Van del Pol y J. Van der Mark.Frecuency demultiplicationNature, volumen 20, pags. 363/364.
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Para saber mas
B. Duschene, C.W. Fischer, C.G. Gray y K.R. JefreyChaos in the motion of an inverted pendulum: anundergraduate laboratory experiment.American Journal of Physics, volumen 59, pags. 987/992
A. Wolf, J.B. Swift y H.L. Swinney y J.A. VastanoDetermining Lyapunov exponents from a time seriesPhysyca d, Volumen 16, pags. 284/317.
B. Van del Pol y J. Van der Mark.Frecuency demultiplicationNature, volumen 20, pags. 363/364.
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Fractales: Conjunto de Mandelbrot
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Fractales: Curva de Koch
Se forma partiendo de un segmento elcual es dividido en tres partes iguales. La parte central sesustituye por dos segmentos del mismo tamano que eleliminado. Sucesivamente se repite el mismo proceso por cadasegmento formado. .
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