Pensamiento matemático 2

Lada sin costo: 01800 8417005

[email protected]

www.ekeditores.com

Pens

amie

nto

mat

emát

ico

2 /

Sec

unda

ria

Om

ar V

igue

ras

Her

rera

Pensamiento matemático 2

Secundaria

Omar Vigueras Herrera



Secundaria

Este material fue elaborado para el Programa de Fortalecimiento de la Calidad en Educación Básica, en específico para el Proyecto Local “La escuela secundaria, un lugar donde todos y todas concluimos nuestros estudios”; por lo que no podrá comercializarse por ninguna vía, ya que es para uso exclusivo de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal.

Este programa es público, ajeno a cualquier partido político. Queda prohibido el uso para fines distintos a los establecidos en el programa.


Fue elaborado por Ek Editores S. A. de C. V. para la Coordinación Sectorial de Educación Secundaria, perteneciente a la Dirección General de Operación de Servicios Educativos,

de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal.

AutorOmar Vigueras HerreraEdición y revisión técnicaM. Héctor Cano PinedaCoordinación de arte y diseñoMarcela NoveloDiseño de interiores y formaciónLylyán del Carmen Ramírez RamírezDiseño de portadaMauro MachucaImágenesShutterstock Inc.

Primera edición: febrero de 2015

D. R. © 2015, Ek Editores, S. A. de C. V.Avenida Pío X núm. 1210, Col. Pío XMonterrey, Nuevo León, C. P. 64710Tel.: (81) 83 56 75 05 y 83 35 17 04

México, D. F.Calle Sur 26 núm. 16, Col. Agrícola OrientalDelegación Iztacalco, México, D. F., C. P. 08500Tel.: (55) 51 15 15 40 y 22 35 71 12

Lada sin costo: 01800 841 7005www.ekeditores.com

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 3728 ISBN edición digital: 978-607-8248-51-3

DERECHOS DE USOQueda prohibido copiar, reproducir, distribuir, publicar, transmitir, difundir, en cualquier modo o medio cualquier parte del material contenido en el archivo (texto e imágenes) con fines distintos a los personales o educacionales para los que fue creado, sin la autorización previa por escrito del editor. Sólo se podrá bajar el material a una computadora personal por licencia para uso exclusivamente personal y no comercial, limitado a una copia. Se prohíbe remover o alterar de la copia u original toda aquella leyenda de derechos de propiedad intelectual o la que manifieste la autoría del material.

Hecho en México / Made in Mexico

3

Bloque 1 8

Desafío 1. Población 10

Prácticas

1. Multiplicaciones y divisiones

de números enteros 12

2. Potencias 14

3. Ángulos 16

4. Construcción de triángulos 18

5. Áreas 20

6. Porcentajes 22

7. Interés y crecimiento poblacional 24

8. Probabilidad 26

9. Medidas de tendencia central 28

Matemáticas curiosas 30

Bloque 2 32

Desafío 2. Ventas 34

Prácticas

10. Sumas y restas de monomios 36

11. Sumas y restas de polinomios 38

12. Equivalencia de expresiones algebraicas 40

13. Volumen 42

14. Volúmenes de cubos, prismas y pirámides rectos 44

15. Proporcionalidad inversa 46

16. Probabilidad 48


Bloque 3 52

Desafío 3. Buscando un buen promedio 54

Prácticas

17. Jerarquía de operaciones 56

18. Multiplicación de expresiones

algebraicas 58

19. Ángulos interiores de polígonos 60

20. Figuras que cubren el plano 62

21. Unidades de capacidad y volumen 64

22. Relaciones de proporcionalidad 66

23. Histogramas y gráficas poligonales 68

24. Propiedades de la media y la mediana 70


Índice

Bloque 4 74

Desafío 4. Calificaciones 76

Prácticas

25. Sucesiones 78

26. Ecuaciones de primer grado 80

27. Ángulos de un círculo 82

28. Gráficas de proporcionalidad 84

29. Problemas de variación lineal 86

30. Media ponderada 88


Bloque 5 92

Desafío 5. La presión del agua 94

Prácticas

31. Sistemas de ecuaciones 96

32. Representación gráfica de un sistema 98

de ecuaciones

33. Figuras simétricas 100

34. Ángulos centrales e inscritos 102

35. Funciones lineales y sus gráficas 104

36. Problemas de funciones de la

forma y = mx + b 106

37. Probabilidad frecuencial

y probabilidad teórica 108


Presentación 4

Metodología 6

4

Actualmente los requerimientos de la sociedad a la es-cuela son muy diferentes de los de hace veinte años, debido al gran avance tecnológico en las comunicacio-nes y la electrónica, áreas que han cambiado la forma de vida de casi todos los habitantes del planeta. El gran avance tecnológico ha hecho que la sociedad de todo el mundo sufra cambios, creándose nuevas sociedades en el ámbito de las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TIC), y dando origen a la Sociedad de la Información y a las Sociedades del Conocimiento.

Entiéndase por Sociedad de la Información aquella en la cual la creación, distribución y manipulación de la in-formación forman parte importante de las actividades culturales y económicas, basándose en los progresos tecnológicos como la red de Internet, la cual juega un papel fundamental para el acceso e intercambio de in-formación.

Las Sociedades del Conocimiento, concepto más com-plejo, se refieren a los cambios en las áreas tecnológi-cas y económicas, basadas en la educación, formación de los nuevos ciudadanos y nuevas formas de trabajo. Estos cambios en nuestra sociedad son las causas de los actuales requerimientos a la educación actual, y por tanto a la escuela y a los maestros, ya que se necesita un nuevo tipo de ciudadano más acorde con la era tecno-lógica que se está viviendo y que posea competencias que le permitan desarrollarse en este tipo de socie-dades.

Los nuevos ciudadanos, hoy nuestros alumnos, necesi-tan adquirir competencias personales, sociales y profe-sionales, diferentes de las nuestras, y que hoy resultan imprescindibles. Esta presencia de la tecnología en mu-chas de las actividades que realizamos actualmente exige a su vez que los programas de estudio contem-plen nuevas temáticas y que el profesorado tenga de-terminados conocimientos, competencias y actitudes relacionados con las TIC, y que se comprometa con la búsqueda de estrategias adecuadas a los nuevos re-querimientos sociales.

De acuerdo con lo anterior, se requiere el cambio de rol del profesor para hacer frente a estos requerimientos,

centrándose la labor docente en el aprendizaje del alumno y tomando el papel de facilitador del conoci-miento y guía del alumno en el aprendizaje.

La forma de trabajar la asignatura de Matemáticas en el salón de clases también exige un cambio, ya que se nece-sita que el alumno desarrolle determinadas habilidades y destrezas para que sea competente en los aprendizajes esperados del Plan y de los Programas de Estudio.

La estrategia que se propone para el trabajo de la asignatura de Matemáticas, de acuerdo con los re-querimientos sociales de la actualidad, se basa en los principios pedagógicos que marca el Acuerdo 592, el cual establece utilizar secuencias de situaciones pro-blemáticas, contextualizadas lo más cercano al entor-no de los alumnos, que despierten el interés de éstos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes for-mas de resolver los problemas, a formular argumentos que validen los resultados y que permitan llevar a cabo una evaluación continua e integral de la asignatura. Al mismo tiempo, las situaciones problémicas planteadas deberán aplicar justamente los conocimientos y las ha-bilidades que se requieren desarrollar.

Por otra parte, la solución de las situaciones planteadas deben construirse en el entendido de que existen diver-sas estrategias posibles de las cuales hay que usar al menos una, en la cual el alumno debe usar sus conoci-mientos previos para comprender dicha situación.

El reto para el alumno consiste en reestructurar algo que ya sabe, ya sea para modificarlo, ampliarlo, recha-zarlo o para volver a aplicarlo en una nueva situación. Este tipo de reto implica que la actividad intelectual fundamental en estos procesos de estudio se apoya más en el razonamiento que en la memorización, origi-nando que el conocimiento de reglas, algoritmos, fór-mulas y definiciones solo sea importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar para solucionar pro-blemas y reconstruir en caso de olvido. Esta estrategia didáctica implica enfrentar a los alumnos y a los docen-tes a nuevos retos que requieren:

• Actitudes distintas del alumno frente al conoci-miento matemático.

Presentación

5

• Ideas diferentes del maestro sobre lo que signi-fica enseñar y aprender.

Se trata entonces de que el docente proponga proble-mas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más efica-ces. Lo que se pretende con esta estrategia didáctica es lo siguiente:

• Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta cómo resolver los problemas que se les plantean, mientras el docente observa y cuestiona a los equipos de trabajo, tanto para conocer los procedimientos y argumentos que se ponen en práctica, como para aclarar dudas, destrabar procesos y lograr que los alumnos avancen.

• Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados de los problemas.

• Lograr que los alumnos aprendan a trabajar de manera colaborativa.

Esta estrategia didáctica ayuda a la correcta implemen-tación del currículo en Matemáticas, la transformación de la práctica docente, el logro de los aprendizajes y una mejora en la calidad educativa, ya que permite:

• Centrar la atención en los estudiantes y en sus procesos de aprendizaje.

• Planificar para potenciar el aprendizaje.

• Generar nuevos ambientes de aprendizaje.

• Trabajar en colaboración para construir el apren-dizaje.

• Generar materiales para favorecer el aprendizaje.

• Incorporar temas de relevancia social.

• Reorientar el liderazgo.

• Incorporar la tutoría y la asesoría académica en el aula.

• La evaluación continua y, por tanto, a los docen-tes les permite evaluar para aprender.

6

Metodología

Para la implementación en el aula de la estrategia didác-tica descrita, se deben considerar los siguientes puntos.

• El rol del docente cambia al dejar de ser la fuente de información única de los alumnos y convertir-se en un facilitador del aprendizaje y guía.

• El maestro no explica procedimientos, ayuda a los alumnos a reconstruirlos por medio de situa-ciones problemáticas contextualizadas, en lo posible, al entorno del alumno.

• Ésta es una estrategia para trabajar en el salón de clases el programa de estudios, no un libro de tareas.

• Los alumnos son responsables de sus respues-tas.

• Es labor del profesor fortalecer la comunicación y propiciar que alumnos con mayores dificultades de aprendizaje sean incluidos en las discusiones.

• Las dudas de los alumnos no reciben respuestas como tales, sino que se induce a que encuentren la respuesta por medio de preguntas.

• Hacer que los alumnos aprendan de sus propios errores, motivándolos para que exploren sobre nuevas soluciones.

• Respetar las opiniones de cada uno de los inte-grantes y permitirles que expresen tanto sus preguntas como sus aportaciones.

A continuación se describe un procedimiento general para la aplicación de la estrategia en el aula.

1. Indicaciones sobre la forma de trabajo. El do-cente proporciona las indicaciones para llevar a cabo los trabajos de esa sesión, como los mate-riales que se utilizarán, da las indicaciones con

respecto a la comunicación entre ellos, los espa-cios en los cuales pueden llevar a cabo las acti-vidades, su rol como docente durante el tiempo que dure la actividad, y algunas otras recomen-daciones acordes con el aula.

2. Acondicionamiento del aula. En función del tamaño del aula y el tipo de muebles, las indi-caciones del desafío a trabajar y el número de alumnos, el docente toma la decisión sobre la organización y acondicionamiento del aula para llevar a cabo las actividades correspondientes a la sesión. Se recomienda acomodar en forma circular a los alumnos de cada equipo o frente a frente cuando se trabaja en parejas..

3. Integración de los equipos de trabajo. Se reco-mienda que los equipos se conformen de manera heterogénea y al azar, ya que uno de los objeti-vos en el trabajo colaborativo por equipos es la interacción y unión entre todos los alumnos del grupo, y no la división entre ellos, es decir, que los más adelantados en la asignatura formen su equipo y los más atrasados formen otro, ya que también se pretende el aprendizaje entre ellos. Se recomienda mínimo dos y máximo cinco alum-nos por equipo.

4. Presentación de la situación problemática (Actividad). Una vez formados los equipos de trabajo, el docente presenta la actividad al grupo de acuerdo con el contexto de la situación pro-blemática planteada. Esta acción se debe llevar a cabo en un tiempo máximo de cinco minutos.

5. Distribución de las actividades. Aunque cada alumno debe tener su material, en el momento de trabajar en el aula por equipos, el docente sólo debe permitir un material por equipo de tra-bajo, esto con el fin de que se fomente el trabajo colaborativo, ya que si se entrega uno por alum-no, la tendencia es trabajar de forma individual.

7

6. Inicio de los trabajos. El docente indica a los alumnos en cuanto tiempo deben solucionar la actividad. Por lo general, las actividades están diseñadas para que las resuelvan en un tiempo máximo de 20 minutos, pero queda a criterio del docente en función de los avances de su grupo. Es posible que algunas actividades se tengan que desarrollar en más de una sesión de clases, pero cuando no sea este el caso, el docente debe distribuir el tiempo de tal forma que pueda llevar a cabo las actividades posteriores.

7. Monitoreo de los equipos de trabajo. El moni-toreo consiste en supervisar el desarrollo de los trabajos de los equipos, asesorando y guiando a los alumnos en la resolución de la actividad, pero sin darles la respuesta, sólo ofreciendo suge-rencias sobre la información que necesitan para llegar a su objetivo. Una forma de hacer esto es formulando preguntas a los integrantes del equipo, pero sin dar las respuestas. En esta fase es cuando el docente registra las observacio-nes grupales e individuales con el propósito de evaluar las acciones y reacciones de los alum-nos, así como ajustar la estrategia de acuerdo con el grupo.

8. Puesta en común. La puesta en común es la discusión y análisis, entre los integrantes de los

equipos, de la situación problemática plantea-da, en la cual presentan y explican sus procedi-mientos y estrategias de solución, y tiene como objetivo la socialización de los aprendizajes ad-quiridos en los equipos de trabajo con los demás integrantes de los otros equipos.

Cada equipo de trabajo pasa al frente a presen-tar la forma en la cual solucionaron el desafío. El docente debe propiciar, por medio de cuestiona-mientos, el análisis de las respuestas dadas, de tal forma que induzca a los alumnos a comprobar cuál es la respuesta correcta.

El maestro no debe dar la respuesta, ésta la de-ben obtener los alumnos. Esto es con el fin de que adquieran confianza en las soluciones que dan y que las verifiquen, y de esta forma hacer-los independientes del maestro en este aspecto para que, en forma gradual, el alumno se haga responsable de sus decisiones.

9. Cierre de la sesión. Se refiere a las conclusiones del maestro con respecto a las observaciones de los trabajos que se llevaron a cabo; también tiene que ver con dejar actividades complemen-tarias, con respecto al tema tratado, o trabajos de investigación si así se requieren.

8

Bloq

ue 1 Problemas que implican el uso de las

leyes de los exponentes y notación científica.

Problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

Problemas que implican el cálculo de porcentajes.

Probabilidad de eventos simples.

En este bloque estudiarás:

9

Contenido

Desafío 1Población

Prácticas1. Multiplicaciones y divisiones de números enteros2. Potencias3. Ángulos4. Construcción de triángulos5. Áreas6. Porcentajes7. Interés y crecimiento poblacional8. Probabilidad9. Medidas de tendencia central

Matemáticas curiosas

10

Desafío 1ConsignaEn parejas, resuelvan el siguiente problema con ayuda de una calculadora.

La población de una ciudad es de 3 459 850 habitantes y se compone de la si-guiente manera: mujeres 54%, hombres 46%. En estas tablas se muestran datos educativos, de tal forma que en cada casilla aparece el porcentaje que cumple con los rubros escritos en la columna y renglón, considerando el porcentaje de la población de cada género.

Mujeres (54%)

Primaria Secundaria Bachillerato Licenciatura Total

Institución particular

16.60% 12.20% 6.70% 6.50% 42.00%

Institución pública

20.40% 19.80% 14.30% 3.50% 58.00%

Total 37.00% 32.00% 21.00% 10.00%

Hombres (46%)

Primaria Secundaria Bachillerato Licenciatura Total

Institución particular

16.80% 11.30% 8.70% 1.20% 38.00%

Institución pública

22.20% 16.70% 16.30% 6.80% 62.00%

Total 39.00% 28.00% 25.00% 8.00%

1. Calculen la cantidad de habitantes por género de acuerdo con los porcentajes.

Que los alumnos calculen porcentajes, incluyendo procesos recursivos.

Intención didáctica

Población

11

2. A partir de las cantidades que obtuvieron en la pregunta anterior, calculen las cantidades de cada casilla de las tablas. Pueden redondear hacia abajo si la: parte decimal es menor o igual a 0.5, y hacia arriba si la parte decimal es mayor a 0.5. Las cantidades totales pueden variar por 1 habitante.

a) ¿Qué porcentaje del total representan las cantidades que obtuvieron en la pregunta anterior?

b) ¿A qué tipo de escuela asiste la mayor parte de la población?

c) ¿A qué tipo de escuela asiste la mayor parte de las mujeres que estudian

la licenciatura?

d) ¿Qué género da mayor prioridad a las escuelas públicas para estudiar el bachillerato?

e) ¿Qué género elige con menor frecuencia las escuelas particulares a nivel

secundaria?

3. Comparen sus resultados con los de sus compañeros. Comenten lo siguiente.a) ¿Variaron los resultados respecto a los de sus compañeros?

b) ¿Qué creen que fue la causa de la variación?

c) Discute con tus compañeros los métodos que utilizaron para obtener sus resultados.

Mis respuestas

Mis dudasy preguntas

12

Matemáticasrápidas

1. ¿Cuál es el doble de 75?

2. ¿Cuál es el triple de 25?

3. ¿Cuál es el quíntuple de 10?

4. ¿Cuál es la tercera parte de 75?

5. ¿Cuál es el resultado de multiplicar la mitad de 6 con el triple de 2?

6. ¿Cuál es el resultado de dividir la tercera parte de 60 entre la mitad de 40?

Recuerda que los números enteros son todos los números naturales; es-tos pueden ser positivos o negativos. Distinguimos a los negativos porque llevan un guión llamado signo negativo.

Para efectuar multiplicaciones y divisiones de números enteros, se deben aplicar las siguientes reglas:

Ejemplos:

Multiplicaciones y divisiones de números enteros

Práctica 1

Multiplicación División

Positivo × Positivo = Positivo Positivo ÷ Positivo = Positivo

Positivo × Negativo = Negativo Positivo ÷ Negativo = Negativo

Negativo × Positivo = Negativo Negativo ÷ Positivo = Negativo

Negativo × Negativo = Positivo Negativo ÷ Negativo = Positivo

Multiplicación División

5 × 14 = 70 9 ÷ 3 = 3

7 × (–3) = –21 18 ÷ (–6) = –3

(–4) × 5 = –20 (–34) ÷ 17 = –2

(–8) × (–20) = 160 (–55) ÷ (–5) = 11

13

¿Existe alguna relación entre la multiplicación y la división de números enteros?

Pregunta de reflexión

Mis respuestas


Actividades1. Efectúa las siguientes operaciones.

a) 10 × (−3) =

b) (−4) × (−4) = c) (−7) × 12 = d) (−12) × (−13) = e) (−45) × 20 =

2. Realiza las siguientes operaciones:

a) [3 × 5] × 2 = b) [(−6) × (−6)] × (−6)= c) [(−4) × 6] ÷ [(−3) × 2]= d) (−24) ÷ [(−3) × 4]= e) [36 ÷ (−9)] × (−3)=

3. Completa las operaciones de manera que el resultado sea correcto:

a) ÷ 8 = 5 b) (−24) ÷ = −4 c) (−84) ÷ = 14 d) 70 ÷ = −7 e) (−35) × = 140

4. Responde las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la sexta parte de 30?

b) ¿Cuál es el quíntuple de 5?

c) ¿Cuánto es la tercera parte del doble de −15?

d) Si el doble de la quinta parte de un número es 4, ¿de qué número se trata?

14

Una potencia entera positiva de un número es el producto de ese número por sí mismo cierta cantidad de veces. La expresión que denota este hecho es la siguiente:

xn = (x∙x∙x∙∙∙x) (n veces)

Donde el número x se llama base, al número n se le llama exponente y al pro-ducto o resultado se le llama potencia.

Ejemplos: a) 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

b) (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

c) (43)4

= (43) × (4

3) ×(43) ×(4

3) = 25681

Leyes de los exponentes1. Todo número es la primera potencia de sí mismo. Por ejemplo.

(−5)1 = −5; (52 )

1 = 52

; x1 = x

2. La potencia cero de cualquier número es 1. Por ejemplo.

(−437)0 = 1; (75 )

0 = 1; x0 = 1

3. El producto de potencias con la misma base es igual a la potencia dada por la suma de los exponentes. Por ejemplo.

22 × 23 = (2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 25 xn ∙ xm = x m+n

4. La división de dos potencias con la misma base es igual a la potencia dada por la resta de los exponentes. Por ejemplo.

35

32 = 3 × 3 × 3 × 3 ×3

3 × 3 = 33 xn

xm = xn−m

5. La potencia de una potencia es igual a la potencia dada por el producto de los exponentes. Por ejemplo.

(44)2 = (4 × 4 × 4 × 4)2 = (4 × 4 × 4 × 4) × (4 × 4 × 4 × 4)= 48 (xn)m = x nm

PotenciasPráctica 2


1. ¿Cuál es el área de un cuadrado que mide 5 metros por lado?

2. ¿Cuál es el volumen de un cubo que mide 5 centímetros por lado?

3. Si el volumen de un cubo es 27 centímetros cúbicos, ¿cuánto mide su lado?

15

¿Qué relación tienen el producto de dos números que son inversos multiplicativos y la potencia 0?


Mis respuestas


Actividades1. Encuentra las siguientes potencias:

a) 43 = b) (−2.5)−2 =

c) 70 = d) (−5)3 =

e) (−2)−3 = f) (−43 ) −3 =

2. Usando las leyes de los exponentes, encuentra las siguientes potencias:

a) (3−2)0 = b) ((0.25)−2)3=

c) ((−2)2)−3= d) ( ( 14 )

−2)−2=

e) ( ( 52 )

−2)−1= f) ((0.3)2)2 =

3. Efectúa las siguientes operaciones:

a) (4 × 4)2 = b) 34 × (−4)

33 =

c) (−2)2 (−2)3 = d) 43

52 × 52

4 =

e) 153 × 54 = f) 6−2 × 62

43 × 42

5 =

6. El inverso multiplicativo de un número se indica por el exponente –1. Por ejemplo.

5−1 = 15 ; (4

5 )−1 = 5

4 ; x −1 = (1

x )7. La potencia entera negativa indica la potencia del inverso multiplica-

tivo. Por ejemplo.

5−2 = (15 )2=

125 ;

(43 )

−3 =(3

4 )3 = 27

64 ; x −n = ( 1

xn)

16

Cuando dos líneas rectas se cortan, el punto de intersección forma el vértice de cuatro ángulos.

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales; en este caso tenemos que d = b y a = g. Observa que:

a + b = a + d = 180° y b + g = g + d = 180°.

Decimos que dos ángulos son suplementarios si la suma de los valores de sus medidas es igual a 180.

Si un par de rectas paralelas son cortadas por una recta secante, tendremos ocho ángulos que tienen las siguientes propiedades y nombres:

Ángulos alternos:Internos Externosg = «; d = u a = z; b = h

ÁngulosPráctica 3


1. En una hoja de papel, traza un segmento de línea recta.

Si doblas la hoja de tal forma que los extremos del segmento que trazaste se toquen, ¿qué medida tienen los ángulos que se forman con el doblez y el segmento?

b g

da

b

«

hz

u

gd

a

Ángulos correspondientes:a = u; d = z b = «; h = g

17

Actividades

Si la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo y un cuadrilátero suman 180° y 360°, respectivamente…

a) ¿Cuánto sumarán las medidas de los ángulos de un pentágono?

b) ¿Y de un hexágono?


Mis respuestas


1. En cada caso, encuentra el valor de la medida del ángulo marcado como x.

a) b)

x 15o

5x x

2 314

c) d)a

b c

2x

3x 4x

a

b

x

2x + 75

a

g

b

b

a

gd

La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

Donde a + b + g = 180°.

La suma de las medidas de los ángulos de un cuadrilátero es igual a 360°:

Donde a + b + g + d = 360°.

18

Construcción de triángulosRecuerda que un triángulo está formado por tres lados y tres ángulos. Cada trián-gulo es único sin importar la posición en la que se encuentre. Para construir uno, tienes tres opciones:

1. Si tienes tres segmentos de recta y representamos las medidas de dichos seg-mentos por a, b y c, puedes construir un triángulo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

a + b > c; o bien, a + c > b; o bien, b + c > a


1. ¿Cuántos triángulos aparecen en la figura siguiente?

Práctica 4

3. Si tienes dos ángulos, con medidas a y b, y un segmento de recta con medida a, puedes construir un triángulo usando el segmento como lado común de los ángulos dados.

2. Si tienes dos segmentos de recta, cuyas medidas están representadas por a y b, y un ángulo, cuya medida es a, puedes construir un triángulo con los dos lados formando el ángulo dado.

a

b

c

b

a

a

aa b

19

Actividades

Si tenemos las medidas de tres ángulos, cuya suma sea 180°, ¿se puede construir un triángulo que sea único?


Mis respuestas


1. Completa los siguientes dibujos, para obtener triángulos.

En los dibujos anteriores, ¿qué elementos del triángulo ya estaban determi-nados?

2. Usa tu juego de geometría y construye los triángulos con las medidas que se indican:

a) Lados: 5 y 7 cm. Ángulo entre los lados: 35°.

b) Lado: 8 cm. Ángulos: 30° y 50°.

c) Lados: 3, 4 y 5 cm.

20

Triángulo A= b × h2

Rectángulo A= l × a

Círculo A= p × r 2

ÁreasLos griegos definieron el área como la superficie acotada por una línea, no ne-cesariamente recta, cuyos extremos coinciden. A continuación se presentan las fórmulas para obtener el área de tres figuras regulares elementales:


1. Si la altura de una lata cilíndrica es de 11 cm y el perímetro de la base es de 12 cm, ¿cuáles son las dimensiones de la hoja de lámina para hacer la lata?

Práctica 5

Ejemplo:

Si analizamos la siguiente figura, podemos considerar el área total como la suma de dos áreas: un triángulo rectángulo y un rectángulo.

Por tanto, el área total es:

Área del triángulo Área del rectángulo Área total

1.5 × 32

= 2.25 3.5 × 3 = 10.5 2.25 + 10.5 = 12.75

3.5 cm

5 cm

3 cm

h

b

a

l

r

21

Observa la siguiente figura:

¿Qué punto debe ser M para que el área del triángulo se divida en dos partes iguales? Explica por qué.


Mis respuestas


1. Encuentra el área de las siguientes figuras:

2. Calcula el área sombreada de esta figura:

3. La siguiente figura es un pentágono regular. Si a = 4 y l = 5, calcula el área del pentágono, dividiéndolo en triángulos.

4. Calcula el área lateral y total de esta pirámide:

Actividades

M

h

1.5 cm

4 cm

2.5 cm

2 cm

6.4 cm

1.3

cm

12 cm

5 cm

4 cm

4 cm

4 cm

7.5 cm

al

22

Porcentajes


1. ¿Cuál es el 50% del 50% de 1 000?

2. ¿Qué porcentaje de 1 000 es el 50% del 50% de 1 000?

3. ¿Cuál es el 50% de 150?

4. ¿Cuál es la suma del 50% de 100 con el 50% de 50?

Práctica 6

Un porcentaje es una fracción de cien partes posibles; es decir, dividimos en cien partes un todo y tomamos algunas de esas partes. Se usa la siguiente no-tación: si tenemos n partes de 100, escribimos n %. Por ejemplo:

35 de 100, es el 35 por ciento de 100 y escribimos 35%.5 de 20, es el 25 por ciento de 20 y escribimos 25%.30 de 75, es el 40 por ciento de 75 y escribimos 40%.

El proceso para obtener el n % de una cantidad x, es el siguiente:Ejemplo:

n100 × x

Encontrar el 16% de 753. Entonces n = 16 y x = 753, por tanto

16100 × 753 = 0.16 × 753 = 120.48

Si ahora sabemos que z es el n % de una cantidad x, podemos encontrar la cantidad original x por medio del siguiente procedimiento:

x = z × 100n

Ejemplo:Si 74 es el 64% de una cantidad x, entonces z = 74, n = 64, por tanto

x = 74 × 10064 = 74 × 1.5625 = 115.625

Si tenemos dos cantidades, x y z, y queremos saber qué porcentaje de x es z entonces el procedimiento es el siguiente:

n = zx × 100

Ejemplo:¿Qué porcentaje de 900 es 765? Tenemos que z = 765, x = 900, por tanto

n = 765900 × 100 = 0.85 × 100 = 85

Actividades

1. Calcula los porcentajes de estas cantidades.10% de 400 15% de 1

15% de 90 145% de 10.45

26% de 70 2% de 0.5

23

Compara el 25% de 100 y la cuarta parte de 100, ¿cuál es mayor, o son iguales?


Mis respuestas


2. De las siguientes parejas, una es el porcentaje de otra cantidad, encuéntrala:

15, 45% 58, 14.5%

100, 180% 750, 80.4%

15, 17% 20.4, 26.3%

150, 26% 750, 150%

0.5, 3% 45.5, 105.5%

3. De las siguientes parejas de cantidades, la primera es algún porcentaje de la segunda, encuéntralo:

30, 120 0.6, 0.8

750, 400 11.4, 1140

160, 1100 74.2, 81.5

845, 150 106.5, 85

1.5, 6 5.05, 3.02

4. Contesta las siguientes preguntas.

a) ¿Qué porcentaje de 90 es 45? b) ¿Cuál es el 120% de 45?

5. Considera la siguiente situación y completa las tablas: un producto cuyo precio es $2 850.00 tiene dos descuentos; el primero es de 20% y después de aplicar el segundo el precio final es $1140.00. ¿De qué porcentaje es el segundo descuento?

Precio inicial Descuento 1Operaciones

Precio parcial

Precio parcial Descuento 2Operaciones

Precio final

120% de 116 50.5% de 85

90% de 8 43.7% de 100

24

Dentro de la matemática existen algunos modelos que nos permiten conjetu-rar el crecimiento de una cantidad durante un periodo, siempre y cuando se conozca el ritmo de crecimiento en ese periodo. Este modelo se sintetiza en la siguiente fórmula:

C = C0 ( l + n)t

Donde C es la cantidad aumentada después de un periodo t, C0 es la cantidad inicial, n es el ritmo de crecimiento, se le llama tasa; y t es el periodo (o tiempo).

Cabe aclarar que la tasa se da en porcentaje, por lo que tiene que convertirse a su valor decimal; es decir, si tenemos m %, entonces para encontrar n debe-mos hacer la división.

n = m100

Además, debemos tener cuidado de que la tasa y el tiempo estén dados en los mismos términos, ya sea días, semanas, meses, años, etcétera.

Ejemplos:1. En una inversión o en un crédito se generan intereses, lo cual hace que la

inversión o la deuda generada por el crédito, crezca. Si consideramos un cré-dito por $2500.00 y la tasa de interés crece mensualmente 0.3%, ¿cuánto se paga al cabo de 18 meses?

Primero convertimos la tasa de interés a expresión decimal:

n = 0.3100 =0.003

Para responder la pregunta, empleamos la fórmula que dimos con los si-guientes datos: C0 = 2500; n = 0.003; t = 18; entonces tenemos,

C = 2500 (1 + 0.003)18 = 2500 (1.003)18 = 2500(1.0554) = 2638.4982

Por tanto, al término de 18 meses se pagarán $2638.4982.

A este tipo de interés se le conoce como interés compuesto, ya que en cada periodo la ganancia se suma a la cantidad inicial. En el ejemplo anterior, la ganancia del primer mes se obtiene de la siguiente manera:

2500 × 0.003 = 7.5

Entonces, la ganancia del segundo mes se calcula de esta forma:

(2500 + 7.5) × 0.003 = 2507.5 × 0.003 = 7.5225

y así sucesivamente.

Interés y crecimiento poblacional


1. Una población de bacterias se duplica cada segundo. Si un vaso con este tipo de bacteria se llena en un minuto, ¿en qué momento está medio lleno?

Práctica 7

25

Considera la siguiente sucesión:

1

1 + 12

1 + 12

+ 14

1 + 12

+ 14

+ 18

1 + 12

+ 14

+ 18

+ 1

16

1 + 12

+ 14

+ 18

+ 1

16 +

132

¿Terminará de crecer?


Mis respuestas


Actividades

2. Si tenemos una población de 680 insectos cuya tasa de natalidad es de 22% al día, ¿cuántos especímenes habrá en dos semanas?

Convertimos la tasa de natalidad a expresión decimal:

n = 22100 = 0.22

Usando la fórmula con los siguientes datos tenemos: C0 = 680; n = 0.22; t = 14. Como la tasa está dada en días y el periodo en semanas, debemos considerar los 14 días que hay en dos semanas.

Por tanto:

C = 680 (1 + 0.22)14 = 680 (1.22)14 = 680 (16.1822) = 11003.8976

Por lo que la población de insectos será de 11003.8976 individuos en dos semanas.

1. Considera la siguiente situación y completa la tabla. Si se invierten $50000.00 por 5 años, con un interés del 1.5% anual, calcula

la cantidad obtenida al cabo de cada año.

Cantidades Operaciones Cantidad del periodo

$ 50000 $ 50750

$ 51511.25

2. Aplica directamente la fórmula de interés compuesto al ejercicio anterior.

3. Si una persona invierte $75000.00 a tres años con un interés anual de 9%, ¿cuánto recibe al final del plazo? ¿Cuál fue su ganancia?

4. En el año 2000, una universidad tenía 65000 estudiantes. Si la tasa de creci-miento es de 7% anual, ¿cuántos estudiantes habrán ingresado hasta el año 2015?

5. Actualmente, la población mundial es de 7000000000 de personas. Si toma-mos la tasa de crecimiento como 3% anual, ¿cuál será la población mundial dentro de 23 años?

26

Llamaremos experimento a cualquier fenómeno que pueda ser reproducido repetidamente, por ejemplo: jugar “volados” al lanzar una moneda, lanzar un dado, aplicar una pregunta entre varias personas. A la colección de todos los resultados posibles de un experimento A se le llama espacio muestral y se de-notará como S(A). Por ejemplo, el espacio muestral correspondiente al lanza-miento de una moneda es S(A) = {águila, sol}.

Llamaremos evento a un experimento bajo ciertas condiciones, por ejemplo: “el número que resulte al lanzar un dado sea 4”. Aquí tenemos un experimento que es “lanzar un dado”, pero estamos poniendo la condición “que el número que resulte sea 4”. Si llamamos E a este evento, entonces S(E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

En matemáticas, a la posibilidad de que un evento suceda se le llama probabi-lidad. La probabilidad de que ocurra un evento es un número que varía entre 0 y 1. Mientras el número sea más cercano a 1, el evento tiene mayor posibilidad de suceder; por el contrario, si el número es más cercano a 0, el evento tiene menos posibilidades de suceder.

A la probabilidad de que un evento X pueda suceder se le denota por P(X). Por ejemplo, si B representa el evento “cae sol” en un “volado”, la probabilidad de que suceda B es 1 de entre dos opciones posibles, entonces expresamos este hecho como sigue: P(B) = 0.5

Existen eventos en los que la probabilidad es cero, a estos eventos se les llama eventos nulos. En cambio, cuando la probabilidad de un evento es 1, se le denomina evento seguro. Por ejemplo, la probabilidad de que un objeto pueda estar en dos lugares distintos en el mismo instante es cero; por tanto este evento es nulo. La probabilidad de que un ser vivo esté formado por carbono, hidrógeno, oxígeno y nitrógeno es 1; por tanto, es un evento seguro.

Por ejemplo, si el experimento C es lanzar un dado, los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5, 6; por tanto, el espacio muestral de C es S(C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Si F es el evento “cae 3” al lanzar el dado, entonces la probabilidad de F es P(F) = 1

6 . A la probabilidad de que un evento ocurra entre todos los resultados posibles se le llama probabilidad clásica.

Ejemplo:Consideremos las fichas de un dominó. Si tomamos el experimento E como es-coger un ficha y al evento D como escoger una ficha doble, entonces D sólo tiene siete posibilidades: 0−0, 1−1, 2−2, 3−3, 4−4, 5−5, y 6−6. Pero el espacio muestral, S(E), tiene 28 elementos, entonces la probabilidad de que suceda D es:

P(D) = 728 = 1

4 = 0.25

Probabilidad


1. ¿Cuál es la probabilidad de que en dos volados consecutivos salgan dos águilas?

Práctica 8

27

¿Será posible que un ser humano pueda conocer a todos los demás seres humanos vivos del planeta?


Mis respuestas


1. Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos:

a) Lanzar un dado:

b) Escoger una vocal:

c) Seleccionar una delegación política del D. F.

2. Si haces el experimento de lanzar un dado, escribe los elementos de los siguientes eventos:

a) A: el número que sale es par:

b) D : el número que sale es un cuadrado perfecto:

c) E: el número que sale es primo:

3. Calcula las probabilidades de los eventos del inciso 2:

a) P(A) =

b) P(D) =

c) P(E) =

4. Considera que en un salón hay cinco niñas y cuatro niños y se realiza el expe-rimento de seleccionar un alumno al azar. Contesta las siguientes preguntas:

a) Escribe el espacio muestral del experimento.

b) Si A es el evento “el alumno seleccionado es niña”, calcula su probabilidad.

P(A) =

c) Si B es el evento “el alumno seleccionado es niño”, calcula su probabilidad.

P(B) =

d) ¿Qué es más probable que se seleccione, un niño o una niña? Explica tu respuesta.

e) Si se seleccionan dos alumnos y el primero es una niña, ¿qué es más probable que se seleccione en segundo lugar: un niño o una niña? Ex-plica tu respuesta.

Actividades

28

Práctica 9

Cuando se trabaja con una lista de datos, se requiere analizar e interpretar dichos datos. Uno de los procesos más utilizados es obtener medidas numé-ricas resumidas; es decir, buscar cantidades que caractericen al total de datos y nos dejen ver las características más importantes. En particular, nos inte-resaremos en el centro de los datos, es por ello que a estas cantidades se les conoce como medidas de tendencia central.

La primera de estas medidas es la media aritmética y se denota por x. Si te-nemos una lista de n datos, denotados por x1, x2, ..., xn, entonces la media aritmética de dicha lista es la suma de todos los datos, dividida por la cantidad de datos; es decir,

x = x1 + x2 + ... + xnn

La segunda medida es la mediana, también conocida como promedio, de n datos que se representa con ~x. Para obtenerla, se siguen los siguientes pasos:

1. Ordenar los n datos de menor a mayor (o viceversa), incluyendo datos re-petidos.

2. En caso de que n sea par, la mediana será la media de los dos datos que apa-recen en medio de la lista. Es decir, hacemos i = n

2 y la mediana será:

~x = xi + xi + 12

3. En caso de que n sea impar, la mediana será el dato que aparece justo en medio de la lista. Es decir, hacemos i = n + 1

2 entonces la mediana será:

~x = xi

Por último, tenemos la moda, que será el dato que más veces se repite dentro de la lista de n datos.

Ejemplo:Consideremos los siguientes datos: 31.02, 31.5, 33.03, 33.03, 33.64, 33.94, 35.98, 36.98, 37.02, 38.95.

1. La media aritmética es:

x = 31.02 + 31.5 + 33.03 + 33.64 + 33.94 + 35.98 + 36.98 + 37.02 + 38.9510

x = 345.0910

x = 34.509

Medidas de tendencia central


1. ¿Cuál es el promedio de las siguientes cantidades: 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4?

29

¿En qué caso coinciden la media, mediana y moda?


Mis respuestas


1. Tres alumnos obtuvieron las siguientes calificaciones en una materia:

Alumno 1: 10, 10, 5, 9, 10, 9, 3, 10, 9.Alumno 2: 9, 8, 7, 10, 8, 8, 9, 8, 10.Alumno 3: 10, 10, 9, 9, 7, 8, 8, 7, 9.

a) Con los datos anteriores, completa la siguiente tabla.

Alumno Media Mediana Moda

1

2

3

b) A partir de las calificaciones de los alumnos, ¿consideras que los tres tienen el mismo nivel de conocimientos de la materia? ¿Por qué?

c) ¿En qué caso la media refleja mejor el desempeño del alumno? ¿Por qué?

d) ¿En qué caso, la mediana refleja mejor el desempeño del alumno? ¿Por qué?

e) ¿Consideras que alguno de ellos necesita reforzar sus conocimientos? ¿Por qué?

f ) Considerando las calificaciones y las medidas de tendencia central, ¿qué alumno obtendrá la mejor calificación en el siguiente examen? ¿Por qué?

Actividades

2. Como la cantidad de datos ya está ordenada y es par, entonces i = 102 = 5, por

tanto nos fijamos en los datos 5 y 6; es decir, x5 = 33.64 y x6 = 33.94, entonces la mediana es:

~x = 33.64 + 33.94

2 = 67.582 = 33.79

3. La moda es el dato que más se repite, en este caso la moda es 33.03.

30

La magia de los fractales

¿Te imaginas una figura con área 0? ¿O una figura con perímetro sin límite? Mejor aún, ¿te imaginas una figura con las dos propie-dades anteriores?

Construiremos una figura con estas características:

Paso 3: en los tres triángulos restantes, aplicamos el mismo proceso, a partir de los puntos medios de los lados, construimos triángulos y los recortamos.

Paso 2: a partir de los puntos medios de los lados, construimos un triángulo y lo recortamos.

Paso 1: empezamos con un triángulo equilátero.

Este procedimiento continua con los triángulos que se van generando; en la siguiente figura se muestran los pasos 4, 5 y 6.

Como podrás notar, al recortar triángulos, el área del triángulo disminuye, pero con el perímetro pasa los contrario, como se van generando más triángulos dentro del original, los lados de éstos contribuyen con sus lados al perímetro de la figura, por lo que al generarse más triángulos el perímetro aumenta.

Este objeto fue descubierto por el matemático polaco Waclaw Sierpinski (1882–1969.)

Matemáticascuriosas

31

Notas

32

Bloq

ue 2 Problemas aditivos con

monomios y polinomios.

Problemas de volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.


33

Contenido

Desafío 2Ventas

Prácticas10. Sumas y restas de monomios11. Sumas y restas de polinomios12. Equivalencia de expresiones algebraicas13. Volumen14. Volúmenes de cubos, prismas

y pirámides rectos15. Proporcionalidad inversa16. Probabilidad


34

ConsignaEn equipos de tres integrantes resuelvan el siguiente problema.

Una tienda ofrece tres productos en tres paquetes. Los precios de los tres pro-ductos se representan con las letras a, b, c, y los precios de los paquetes son los siguientes:

2a + 3b = 180; a + b + c = 120; b + 2c = 80

1. Para encontrar el precio de cada producto, efectúen las actividades.

a) ¿Cuántos productos tiene cada paquete?

b) ¿Qué representan cada uno de los monomios que aparecen en los pre-cios anteriores?

c) Despejen b en la igualdad b + 2c = 80

Desafío

Que los alumnos resuelvan problemas aditivos con monomios y polinomios.


Ventas

2

35

d) Despejen a en la igualdad a + b + c = 120

e) Sustituyan b en la igualdad que resulta en el inciso (d).

f ) Sustituyan los valores que encontraron para b y a en la igualdad 2a + 3b = 180 para encontrar el valor de c.

g) Encuentren los valores de a y b.

2. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.

a) ¿Encontraron las mismas expresiones al despejar?

b) Expliquen las operaciones y pasos que realizaron.

Mis respuestas


36

Sumas y restas de monomiosPráctica 10

Recuerda que un monomio es una expresión algebraica que consta del pro-ducto de un número, llamado coeficiente, y una literal. Las siguientes expre-siones son ejemplos de monomios:

3m, − 4r, 7x, p, 23

l,

Se pueden realizar sumas y restas de monomios, siempre y cuando las literales sean las mismas, y la operación se efectúa con los coeficientes, por ejemplo:

a) 5t + 3t = 8t b) 4m − 7m = − 3mc) −b + 5b − 2b = 3bd) 3x + 3y − 5x + y − 2y = − 2x +2y

Actividades

1. Escribe la expresión que representa el perímetro de cada una de las siguien-tes figuras.a)

c)

b)

d)

y y

y y

y

BG

a

ac

b

E

3x + 4

2x + 1D

4n

5n − 4

4 + 3n


1. El rectángulo rojo se trazó usando puntos medios. Si los lados del rectángulo grande miden lo que se indica, ¿cuánto mide el perímetro del rectángulo rojo?

x

y

37

Las literales pueden tener un gran número de aplicaciones, inclusive y aunque no lo creas, en algunos juegos:

“Piensa un número; súmale 2 y el resultado multiplícalo por 3; al resultado réstale 9; el resultado divídelo entre 3; ¿qué número te dio?; el número que pensaste es ... ”.


Mis respuestas


2. Mariana compró doce cuadernos a n pesos cada uno y al pagar le desconta-ron el precio de tres cuadernos. Encuentra una expresión que represente la transacción.

3. Considera la siguiente situación: Juan Pablo y Renata compraron peras y manzanas en oferta. Las peras a m pesos el kilogramo y las manzanas a t pe-sos el kilogramo. Juan Pablo compró 3 kilogramos de pera y 2 kilogramos de manzanas; Renata compró 5 kilogramos de pera y 1 kilogramo de manzana.

a) ¿Cuántos kilogramos de pera compraron entre los dos?

b) Encuentra una expresión para el costo de los kilogramos de pera.

c) ¿Cuántos kilogramos de manzana compraron entre los dos?

d) Encuentra una expresión para el costo de los kilogramos de manzana.

e) Si pagan con un billete de $200.00, encuentra una expresión para el cam-

bio que les dieron por su compra.

4. Resuelve lo siguiente:

a) Si al quíntuple de un número le descontamos el doble del mismo número nos da 105, ¿de qué número se trata?

b) Al comprar 15 calculadoras a b pesos cada una, se hace un descuento de $525.00 al total de la compra y se pagan $2925.00. ¿Cuál es el precio de cada calculadora?

5. Completa el cuadro para que la suma de los renglones, columnas y diagonales sea 0.

34

p

12

p

p−34

p

38

Sumas y restas de polinomiosPráctica 11


1. Encuentra el área del cuadrado interior:

t1

Al sumar dos o más monomios con distintas literales obtenemos un polinomio. Por ejemplo: – 3 a + b; 5m – 2 n + 1; 2x – 3 y – t. Los polinomios también pue-den sumarse y restarse, para ello tenemos que usar las propiedades conmuta-tiva y asociativa para agrupar los monomios que tengan las mismas literales y entonces se realiza la operación de monomios correspondiente.

Ejemplos:

1. (2a – 3b)+(a + 4b) = 2a – 3b + a + 4b = (2a + a) + (–3b + 4b) = 3a + b.2. (4n + m) – (3n – 3m) = 4n + m – 3n + 3m = (4n – 3n) + (m + 3m) = n + 4m.3. (3j – 4k + 5r) + (–2j + k – 6r) = 3j – 4k + 5r – 2j + k – 6r = (3j – 2j) + (–4k + k) +

(5r – 6r) = j – 3k – r.

Por otro lado, existen expresiones que representan lo mismo, a estas expresio-nes se les llama equivalentes.

Por ejemplo, el área de la siguiente figura se puede expresar de dos formas:

1. Área = a(a + 2)2. Área = a2 + a + a = a2 + 2a

En la primera expresión, se considera el rectángulo completo, cuya base y al-tura miden a + 2 y a, respectivamente. En la segunda expresión, el área del rectángulo se divide en tres partes: un cuadrado de lado a y dos rectángulos de base 1 y altura a.

Entonces, las expresiones a(a + 2) y a2 + 2a son equivalentes. Esto lo escribi-mos así:

a(a + 2) = a2 + 2a.

a

a 1 1

39

¿Existen dos números, a y b, tales que a + b = 1 y –a –b = 0?


Mis respuestas


Actividades

1. Efectúa las siguientes sumas y restas de polinomios:

a) (3a – 7b) – (4a – b) b) 2x + 32

y – 53

x – 2y

c) (6t – 3r + 2w) – (–3t – r + 4w) d) (12

m + 3n) + (m – 13

n)

2. Completa el cuadro de manera que la suma de renglones, columnas y dia-gonales sea –6x + 9y.

–0.5x + 4.5y –1.5x + 3.5y

–3x + 2y –2x + 3y

–3.5x + 1.5y

3. Escribe dos expresiones equivalentes para las áreas totales de las siguien-tes figuras:

c

c

c c bc

b

a

a

1 1

1 1

a)

b)

40

Algunas expresiones algebraicas se pueden obtener de otras haciendo algu-nas operaciones, cuando esto sucede decimos que las expresiones son equi-valentes. Ejemplo:

[(t − 2) − 3] [w − (w + t)] es equivalente a t2 − 5t, ya que[t −2 − 3] [w −w − t]

= [t −5][t]= t2 −5 t

En geometría, las expresiones algebraicas nos pueden ayudar a resolver pro-blemas de cálculo de áreas en los que una expresión complicada pude sim-plificarse; por ejemplo, tenemos dos formas de representar el área sombreada de la siguiente figura:

1. Para encontrar el área de los rectángulos sombreados, del área total tene-mos que restar el área de los rectángulos blancos, por tanto:

(a + d) (b + c) − ac − bd = ab + ac + bd + cd − ac − bd = ab + cd

2. Como la figura sombreada son dos rectángulos, entonces su área es la suma de las áreas de dichos rectángulos: ab + cd.

Por supuesto que la segunda expresión es más fácil de manejar, pero am-bas expresiones son equivalentes:

(a + d) (b + c) − ac − bd = ab + cd

Práctica 12Equivalencia de expresiones algebraicas


1. En la siguiente tabla, los renglones, columnas y diagonales deben sumar lo que se indica en el título, complétala:

6n − 12

2n − 8 2n + 2

2n +4 2n − 4

2n − 2da

ccc

da

bbb

da

41

¿Podrán ser equivalentes las expresiones algebraicas a + b = 1 y u + v = 1 ? ¿Por qué?


Mis respuestas


Actividades

1. Considera la figura anterior. Encuentra dos expresiones algebraicas equi-valentes para el área del rectángulo con lados b y d.

2. Relaciona las siguientes columnas de expresiones algebraicas equivalentes:

2a − 5b − ( 7a − b) a) 34 m

34 m − 1

2 m + m b) 12 m

7a + 3b − (− 2b + a) c) 5a + 4b

2m − 32 m d) − 5a − 4b

14 m + m − 1

2 m e) 54 m

− 5a −b −(−10a − 5b) f ) 6a + 5b

3. Escribe dos expresiones algebraicas equivalentes para cada una de las si-guientes figuras:

b b

b

cb

b

ccc

a

1

3

a 1

5

a )

c )

b )

d )

42

El volumen es el espacio delimitado por superficies, no necesariamente pla-nas. El volumen del cubo es el más sencillo para calcular:

V = l × l × l = l3

Las fórmulas para calcular los volúmenes de prismas y pirámides son: Prismas: V = A × h Pirámides: V = A × h

3Donde A es el área de la base y h es la altura. Recuerda que si la base de un prisma o pirámide es un polígono regular, su área se calcula por medio de la fórmula: A = P × a

2 donde P es el perímetro del polígono y a es el apotema.

Ejemplo: Calcular el volumen del siguiente prisma, si L = 5, a = 1.68 cm y h =11 cm.

Perímetro del pentágono: P = 5 × 5 = 25

Área del pentágono: A = 25 × 1.68

2 = 42

2 = 21

Volumen del prisma:V = 21 × 11 = 231

Práctica 13Volumen

l l

l

Apotema

h

L

a


1. ¿Cuál es el volumen de una pirámide construida dentro de un cubo de lado 12?

43

1. En una caja caben 10 cubos a lo largo, 6 a lo ancho y 5 a lo alto.

a) ¿Cuántos cubos caben en la base de la caja?

b) ¿Cuántos cubos caben en total?

c) Si los cubos miden un centímetro de lado, ¿cuál es el volumen de la caja?

2. Calcula el volumen de un prisma cuya base es un cuadrado de lado 3 y la altura del prisma es 7.

3. ¿Cuál es el volumen de una pirámi-de con base cuadrada de lado 5 y una altura de 12?

4. Calcula el volumen de una pirámide

cuya base es un triángulo equilátero de lado 5, su altura mide 8.33 y la al-tura del prisma es de 8.

5. Calcula el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángu-lo isósceles. Los lados que forman el ángulo recto miden 5 cada uno y la altura del prisma es 12.5.

Construye cuatro triángulos equiláteros iguales con seis segmentos del mismo tamaño, de manera que el segmento sea el tamaño de los lados de los triángulos.


Mis respuestas


Actividades

5 cm

5 cm

12.5

cm

44


1. ¿Qué es un mililitro?

2. ¿A cuántos centímetros cúbicos equivale un litro?

Práctica 14

Recuerda que las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pi-rámides son:

Cubo

V = l3

Donde l es el lado del cubo.

Prisma

V = A × h

Donde A es el área del polígono regular que tiene como base y h es la altura del prisma.

Pirámide

V = A × h

3

Donde A es el área del polígono regular que tiene como base y h es la altura del prisma.

Aunque las fórmulas son para encontrar el volumen, a partir de ellas pode-mos encontrar los otros elementos involucrados, por ejemplo: un envase de 720 mililitros de capacidad tiene forma de prisma cuadrangular, si la altura del empaque es de 20 cm, ¿cuánto miden los lados del cuadrado de la base?

De la fórmula de volumen para prismas sabemos que: 720 = A × 20. De aquí podemos saber cuánto mide el área de la base cuadrada aplicando la opera-ción contraria a multiplicar por 20, que en este caso es dividir entre 20, enton-ces 720

20 = A y de esto obtenemos que 36 = A.

Ahora, como sabemos que la base es un cuadrado, la fórmula para encontrar su área es A = l2, por tanto, aplicamos la operación contraria a “elevar al cua-drado”, que en este caso es encontrar la raíz cuadrada, y si hacemos la opera-ción √36 = √ 6 2 obtenemos que 6 = l.

Actividades

1. Completa la siguiente tabla para encontrar el volumen de una alberca rec-tangular, cuyos lados miden 8 y 12 metros respectivamente y la profundi-dad es de 1.2 metros.

Fórmula Resultado

Área de la base

Volumen

Volúmenes de cubos, prismas y pirámides rectos

45

Si dos recipientes tienen la misma forma pero las medidas de uno son la mitad de las medidas del otro, ¿cuál será la relación entre sus volúmenes?


Mis respuestas


2. Lee el siguiente problema y completa la tabla para encontrar su solución:

Se requiere construir una cisterna con una capacidad de 4 m3 de agua en una superficie rectangular. Si la base es un rectángulo de 2 m de largo por 1.3 m de ancho. ¿Cuál debe ser la profundidad de la cisterna?

Área de la base Volumen

Datos

Fórmula

Operación contraria

Resultado

3. Resuelve los siguientes problemas:

a) Se necesitan tapas de plástico para un juego de seis vasos que son pris-mas octagonales. El apotema mide 3 cm y el área de las tapas debe ser de 300 cm. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la tapa?

b) La Gran pirámide de Egipto ocupaba un volumen total de aproximada-mente 2.6 millones de metros cúbicos y su base cuadrada mide 230.3 m por lado. Se piensa que estaba coronada por una pequeña pirámide de oro sólido que desapareció. Si la altura actual de la Gran pirámide es de 137 m, ¿cuál habría sido la altura máxima de la pequeña pirámide de oro?

46

Proporcionalidad inversa


1. ¿Cuántas parejas de números enteros dan 10 al multiplicarse?

Práctica 15

Decimos que dos números son inversamente proporcionales si su producto es constante; es decir, x, y son inversamente proporcionales si

xy = k,

donde k es un número fijo. Para este tipo de proporcionalidad, su gráfica es una curva que no cruza ninguno de los ejes, por ejemplo:

Para encontrar algunos puntos de la gráfica que corresponde a la proporción inversa xy = 2, podemos hacer una tabla como la siguiente dando valores a una de las variables, por ejemplo a x:

y = 2x

x

20.5 = 40.5

21

= 21

21.25

= 1.6 1.25

22.5 = 0.82.5

0 1 2 3 4x

A

BC

4

3

2

1

y

A: xy = 1 y = 1x

B: xy = 2 y = 2x

C: xy = 12

y = 12x

47

1. Considera la relación “el producto de dos números es 24”. Completa la ta-bla y la gráfica que modela esa relación.

x y

1 24

2

3 8

4

6

8

12

24

2. En un salón de clase se planea comprar un proyector. Si el costo es de $6400.00, completa la siguiente tabla para calcular cuánto pagaría cada alumno. Por medio de la gráfica calcula de cuánto sería la cooperación si sólo participan 12 alumnos.

Cantidad de alumnos

Cooperación (pesos)

4

5

8

10

16

20

Observa las gráficas de la proporción inversa. ¿Para qué número ambas coordenadas deben ser iguales?


Mis respuestas


Actividades

24

22

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

24222018161412108642

x

y

48

1. Matemáticasrápidas

1. Consideremos el experimento “lanzar un dado tres veces consecutivas”.

a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 6 en todos los lanzamientos?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se repita el mismo número en todos los lanzamientos?

Práctica 16

Un diagrama de árbol es una herramienta muy útil para calcular el total de casos posibles de un experimento aleatorio, lo que permite calcular la proba-bilidad asociada a cada evento.

Ejemplo:

¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al lanzar un dado y una mo-neda?

Resultados

Sol Águila

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

Observa que las ramas finales muestran cada una de las combinaciones posi-bles, de modo que si las contamos sabremos el total de casos posibles.

Si se quiere calcular la probabilidad de sacar un sol en la moneda y un núme-ro par en el dado, sólo hay 3 ramas que tienen esa combinación de un total de 12 posibles, por lo que la probabilidad de obtener sol y par es:

P (sol, par) = 312

= 14

Otra forma de contar la totalidad de casos posibles de un evento aleatorio es hacer una tabla. La tabla del ejemplo anterior es la siguiente.

1 2 3 4 5 6

Sol (s) (s, 1) (s, 2) (s, 3) (s, 4) (s, 5) (s, 6)

Águila (a) (a, 1) (a, 2) (a, 3) (a, 4) (a, 5) (a, 6)

Probabilidad

49

Si lanzo una moneda y cae “águila”, ¿cuál es la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento también caiga “águila”?


Mis respuestas


1. Considera el experimento de tirar dos dados.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos números sean iguales?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 10?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?

d) ¿Cuál es la probabilidad de ambos números sean pares?

2. Considera el experimento de lanzar tres monedas.

a) ¿De cuántas formas pueden caer las caras?

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos águilas y un sol?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que obtener al menos un sol?

Actividades

50

¿2 × 2 = 0?

¿Te imaginas qué pasaría si 2 × 2 = 0? O si 2 × 2 = 1. Aunque no lo creas, se pude definir un objeto donde las operaciones no dan los resultados que conocemos.

Por ejemplo, consideramos los números {0, 1, 2}, queremos defi-nir la multiplicación de manera que el resultado sea uno de esos números, por lo que construimos la siguiente tabla:

× 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

Esta multiplicación es asociativa, conmutativa y tiene elemento neutro, pero observamos que 2 × 2 = 1. De hecho, observamos algo más: 12 = 1 y 22 = 1.

Otro ejemplo lo trabajaremos con los números {0, 1, 2, 3} y aná-logamente al caso anterior, construimos la tabla de la multipli-cación:

× 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

En este caso, la multiplicación también es asociativa, conmuta-tiva y tiene elemento neutro. Además observamos que 2 × 2 = 0, 3 × 3 = 1 o que 3 × 2 = 2.

Estas colecciones de números con operaciones curiosas son un ejemplo de un tipo de estructuras algebraicas que son estudia-das por los matemáticos y suelen aparecer en todo momento. Así como se definió la multiplicación, se puede definir una suma con resultados poco empíricos.

Lo anterior, aunque no lo creas, se usa en la vida cotidiana, por ejemplo:• En la computación, se utilizan los números {1, 0} que represen-

tan la presencia de corriente eléctrica.• En las telecomunicaciones, se usan distintos códigos para la

transmisión de datos, y para ello se utilizan algunos de estos objetos.


51

Notas

52

Bloq

ue 3

Problemas que implican multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas.

Justificación de la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono.

Problemas que implican la relación entre unidades cúbicas y de capacidad.

Lectura y comunicación de información mediante histogramas y gráficas poligonales.


53

Contenido

Desafío 3Buscando un buen promedio

Prácticas17. Jerarquía de operaciones18. Multiplicación de expresiones algebraicas19. Ángulos interiores de polígonos20. Figuras que cubren el plano21. Unidades de capacidad y volumen22. Relaciones de proporcionalidad23. Histogramas y gráficas poligonales24. Propiedades de la media y la mediana


54

ConsignaEn parejas, analicen la siguiente situación y respondan los planteamientos.

1. En el tercer bimestre, Fernanda obtuvo las siguientes calificaciones: 8.5, 8.3, 9 y 8.7. Le falta una calificación para obtener su promedio final, y ne-cesita saber si obtendrá al menos 9, ya que tiene el interés de solicitar una beca.

a) Calculen su promedio hasta el momento (la escala de calificaciones va de 5 a 10).

b) Encuentren una expresión algebraica para plantear el promedio de las cin-co calificaciones y representa la calificación faltante con una incógnita.

2. Completen la siguiente tabla en la que se muestran algunas de las posibles calificaciones que Fernanda puede obtener. Utilicen la expresión que en-contraron en la indicación anterior:

Quinta calificación Promedio

5

6

7

8

9

10

Desafío

Que el alumno resuelva problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma ax + b e Identifique, interprete y exprese relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas.


Buscando un buen promedio

3

55

a) ¿Podrá Fernanda obtener un 9 en su promedio final? Expliquen su res-puesta.

b) ¿Podrá Fernanda obtener un 6 en su promedio final? Expliquen su res-puesta.

3. Comparen la expresión que encontraron con otros compañeros. Argu-menten cómo las obtuvieron.

4. Con ayuda de su profesor, expliquen algebraicamente por qué no es posi-ble que Fernanda pueda obtener un 9 en su calificación final.

Mis respuestas


56


1. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma?

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

2. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma?

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20

Jerarquía de operacionesPráctica 17

Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, algunas de las cuales están entre paréntesis, se buscan los resultados de cada operación, yendo de los paréntesis internos hacia los externos. Los paréntesis indican, por tanto, el orden en que deben hacerse las operaciones.

Ejemplos:

a) 4 × [3 + (10 4 2)] = 4 × [3 + 5] = 4 × 8 = 32b) [(4 × 3) + 10] 4 2 = [12 + 10] 4 2 = 22 4 2 = 11c) (4 × 3) + (10 4 2) = 12 + 5 = 17

Observa cómo varían los resultados según como se coloquen los paréntesis.

Si en una expresión con varias operaciones hay paréntesis, existe una serie de reglas que permiten llevarlas a cabo de manera única. Estas reglas se conocen como jerarquía de operaciones y son las siguientes:

1º Se resuelven potencias y raíces de números (si las hay).2º Se realizan multiplicaciones y divisiones (si las hay).3º Se resuelven las sumas y restas (si las hay).

Algunas operaciones funcionan como paréntesis. Por ejemplo, para resolver la siguiente operación, primero se deben resolver las multiplicaciones, des-pués la resta y por último la división por 11:

8 × 4 − 5 × 211

= 32 − 1011

= 2211

= 2

En la siguiente operación primero se hacen las multiplicaciones, seguidas de la suma y por último la raíz cuadrada:

√5 × 20 + 23 × 3 = √100 + 69 = √169 = 13

Actividades

1. Resuelve las siguientes operaciones.

a) = 8 × 5 − 25

5

b) = 3 (23 − 4 4 2)

c) = 5 × √253

− 2(23

+ 123 )

d) = √(− 5)(3 − 7) + 2.9 × 10

57

Si el quíntuple del cuadrado de la mitad de la raíz cuadrada de un número es 245, ¿de qué número se trata?


Mis respuestas


2. Resuelve la siguiente operación:

2(65

− (7 − 3)2

5 ) − √81 4 3 =

3. En las siguientes operaciones coloca los paréntesis donde correspondan, para que el resultado sea correcto:

a) 42 − 32 × √81 = − 65

b) 6 × 5 − 25 4 4 = − 30

c) − 20 + 4 4 3 = − 8

d) − 42 − 4 4 2 × 5 = 6

4. Resuelve el siguiente problema:

Se reparten $45285.00 entre cuatro personas de la siguiente manera: a la pri-mera persona le tocan $3570.00 más que a la segunda persona; a la segunda persona le tocan $700.00 menos que a la tercera persona; a la tercera persona le toca la mitad de lo que le toca a la cuarta persona más $1680.00; y a la cuarta persona le tocan $15230.00. ¿Cuánto le toca a las demás personas?

58


1. La cantidad de euros que tengo es la misma que su valor en pesos; la cantidad de yenes es su valor en pesos menos uno; la cantidad de dólares es el doble de su costo en pesos. ¿Cuántos pesos tengo?

Encuentra una expresión algebraica para esta situación.

Práctica 18

Para multiplicar monomios, sigue estos pasos:

1º Se multiplican los coeficientes.2º Si las literales son las mismas, también se multiplican usando las leyes de los exponentes.

Ejemplo:

(3x)(− 2x) = − 6x2

3º Si las literales son distintas, se multiplican los coeficientes y la multiplica-ción de literales se queda indicada, es decir, las literales se escriben tal cual.

Ejemplo: (− 2x) (−y) = 2xy

Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplicamos el monomio por cada uno de los términos del polinomio, por ejemplo:

3x(− 2x − y) = (3x)(− 2x) − (3x) (y) = 6x2 − 3xy

Ahora, para multiplicar polinomios se debe multiplicar cada uno de los términos de uno de ellos, por cada uno de los términos del otro, por ejemplo:

(3a − b)(2a + 4b) = (3a)(2a) + (3a)(4b) − (b)(2a) − (b)(4b)

= 6a2 + 12ab − 2ab − 4b2

= 6a2 + 10ab − 4b2

Actividades

1. Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) (− 4n) (2n) =

b) (3t)(− t + 4k) =

c) (− 2x + 3z) (x + z) =

d) (2a − 3b) (2a + 3b) =

Multiplicación de expresiones algebraicas

59

3. Encuentra el factor para que el resultado en cada operación sea correcto.

a) (− 3w)( ) = 12wt

b) ( )(− 2n − 3m) = ( )(− 2n) − ( )(3m) = 10mm + 15m2

c) (3x + 2y)( ) = (3x)( ) + (2y)( ) = 3x2y + 2xy2

4. Encuentra una expresión algebraica, según lo que se indica en cada caso.

a) El largo del rectángulo

b) El ancho del rectángulo

c) El perímetro y el área del perímetro del rectángulo rojo

Tengo n canicas en n –9 bolsas y en cada bolsa tengo n3 canicas. Escribe una expresión algebraica para esta situación.

¿Se puede saber la cantidad de canicas?


Mis respuestas


2. Encuentra una expresión algebraica que represente el área de las siguientes figuras:

a) b)

5x

x m

m + 5

A = 8y2 + 12y

2y + 3

A = 12x2 − 15x 3x

b + 5

6b + 4

A = 3b + 15

60

FiguraNúmero de lados

Número de triángulos que se forman al trazar diagonales

desde un solo vértice

Suma de ángulos

interiores

Práctica 19


1. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono regular de 20 lados?

2. ¿Cuántos lados tiene el polígono regular cuyos ángulos internos suman 4500°?

Todo cuadrilátero se puede descomponer en dos triángulos si trazas una dia-gonal desde cualquiera de sus vértices:

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es el doble; es decir, 360°.

Los polígonos regulares también se pueden descomponer en triángulos a par-tir de uno de sus vértices, como se muestra en la figura.

En este caso, el polígono es de 7 lados y vemos que se puede descomponer en 5 triángulos, por tanto, la suma de sus ángulos internos es: 7 × 180O = 1260O. Actividades

1. En las siguientes figuras traza las diagonales desde un solo vértice y completa la tabla.

Ángulos interiores de polígonos

A

B

C

D

61

FiguraNúmero de lados

Número de triángulos que se forman al trazar diagonales

desde un solo vértice

Suma de ángulos

interiores

Polígono de n lados

Cuando hacemos que la cantidad de lados de un polígono regular crezca, la suma de sus ángulos internos crece, pero ¿qué pasa con los ángulos de los triángulos que se forman dentro de él?


Mis respuestas


2. Sin hacer el dibujo, calcula la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos:

Polígono Suma de los ángulos interiores

a) Eneágono (nueve lados)

b) Decágono (diez lados)

c) Endecágono (once lados)

d) Dodecágono (doce lados)

62


1. ¿La figura clásica de los rompecabezas será una tesela? ¿Por qué?

Práctica 20

En matemáticas, cubrir el plano se refiere literalmente a acomodar repetida-mente una o más figuras a modo de rompecabezas, sin que se encimen, sin dejar huecos y cuidando que se llene.

A este proceso se le llama teselar el plano; a las figuras que lo cubren se les llama teselas y a la figura que forman se le llama teselación.

Las siguientes figuras son una muestra de teselaciones conocidas:

Actividades

1. Completa la siguiente tabla.

Polígono regular

Número de ángulos

Suma de ángulos interiores

Medida de cada ángulo

Triángulo 3 180°

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Heptágono 128.57° aprox.

Octágono 135°

Eneágono 9

Decágono

Endecágono 11 1620° 147.27° aprox.

Dodecágono 12

Figuras que cubren el plano

63

¿A qué crees que se debe que sólo algunos polígonos regulares pueden cubrir el plano sin dejar huecos ni encimarse?


Mis respuestas


1

2

1

2

3

1 2

12

3

45

2. Con base en la tabla anterior, responde las preguntas para cada una de las siguientes figuras.

a) ¿Cuánto miden los ángulos 1 y 2 del hexágono regular?

b) ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2?

c) ¿Cuánto mide el ángulo que permitiría cubrir el hueco que queda?

d) ¿Cabría otro hexágono regular en ese hueco?

a) ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos 1, 2 y 3?

b) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos 1, 2 y 3?


d) ¿Cabría otro pentágono en ese hueco?

a) ¿Cuánto miden los ángulos 1 y 2 del octágono regular?

b) ¿Cuánto suman los ángulos 1 y 2?


d) ¿Cabría otro octágono en ese hueco?

a) ¿Cuánto miden los ángulos 1, 2, 3, 4, y 5 de los triángulos equiláteros?

b) ¿Cuánto suman los cinco ángulos?


d) ¿Cabría otro triángulo en ese hueco?

64


1. ¿Qué capacidad tiene un envase de base rectangular, cuyos lados miden 5 y 10 cm y su altura es de 20 cm?

Práctica 21

Un litro es la capacidad de una caja cúbica de un decímetro de arista; es decir, que tiene un volumen de un decímetro cúbico.

Algunas medidas de capacidad son las siguientes:

Símbolo Unidad de capacidad Equivalencia en litros

kl kilolitro 1 000 l

hl hectolitro 100 l

dal decalitro 10 l

l litro 1 l

dl decilitro 0.1 l

cl centilitro 0.01 l

ml mililitro 0.001 l

Para expresar alguna de las unidades de capacidad en términos de otra, se multiplica por 10 o se divide entre 10, según sean las unidades involucradas.

Algunas medidas de volumen en el Sistema Internacional de Unidades son las siguientes:

Símbolo Unidad Equivalencia (metros cúbicos)

km3 kilómetro cúbico 1 000 000 000 m3

hm3 hectómetro cúbico 1 000 000 m3

dam3 decámetro cúbico 1 000 m3

m3 metro cúbico 1 m3

dm3 decímetro cúbico 0.001 m3

cm3 centímetro cúbico 0.000 001 m3

mm3 milímetro cúbico 0.000 000 001 m3

Una relación que es muy importante es: un kilogramo es el peso de un litro de agua.

Unidades de capacidad y volumen

65


¿Qué parte del volumen del cubo ocupa la pirámide de colores?

Mis respuestas


Actividades

1. Convierte las siguientes unidades en litros:

a) 4 kl = L b) 2.5 dal = L

c) 3.49 hl = L d) 3 ml = L

e) 28 cl = L f) 9.5 dl = L

g) 84 cl = L h) 0.5 ml = L

i) 745 ml = L j) 0.9 dal = L

2. Escribe las siguientes cantidades en metros cúbicos:

a) 8 km3 = m3 b) 5.2 dam3 = m3

c) 3.49 hm3 = m3 d) 3 mm3 = m3

e) 28 cm3 = m3 f) 5.5 dm3 = m3

g) 86 cm3 = m3 h) 0.5 km3 = m3

i) 545 mm3 = m3 j) 0.9 dam3 = m3

3. Indica si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero (V) o falso (F).

a) En un metro cúbico caben 1000000 centímetros cúbicos. ( ) b) Un metro cúbico es equivalente a 100000 centímetros cúbicos. ( )

c) El peso de medio litro es medio kilogramo. ( )

d) En un decímetro cúbico caben 1000 centímetros cúbicos. ( )

e) 5 gramos es el peso de 50 centímetros cúbicos de agua. ( )

66


1. Si tenemos dos rectángulos cuyas medidas de uno son 6 y 4 y las medidas del otro son la mitad, ¿cuántas veces es mayor el área del rectángulo grande?

Práctica 22

Una relación de la forma y = kx describe una variación directamente propor-cional, en la que x es una variable independiente, y es la variable dependien-te y k es un número fijo llamado constante de proporcionalidad.

El hecho de que x sea una variable independiente quiere decir que puede to-mar cualquier valor que se le asigne; mientras que la variable y depende del valor que se le asigne a x para tomar algún valor.

Actividades

1. Completa la siguiente tabla:

y = 45 xx

45 (− 5) = −

205 = − 4− 5

− 3

− 32

− 25

0

1

75

2.3

135

4

4

Relaciones de proporcionalidad

67


Si tenemos un prisma cuya base es un polígono regular y aumentamos sus medidas en un factor mayor que 1, digamos n, ¿cómo aumenta su volumen?

Mis respuestas


2. Completa las siguientes tablas y escribe la expresión algebraica que relaciona a las variables que aparecen en ella:

a)b 2.3 4.2 5.7 8.1 9.4

a 25.3 89.1 103.4

Expresión algebraica:

b)u 300 423 501 732 810

v 150.3 219.6


c)t 9 12 15 18 21

w 1440 1680



a) Si para cubrir el piso de una habitación de 24 m2 se gastaron 2800 pe-sos, ¿cuál será el costo para cubrir el piso de una habitación de 53 m2 con los mismos materiales?

• Escribe una expresión algebraica que represente esta situación.

• ¿Cuál es el valor de k?

b) Un estudiante escribe en promedio 215 palabras en 3 horas. Si tiene que entregar un trabajo de 1400 palabras, ¿cuánto tiempo tardará en escribirlo?

• Escribe una expresión algebraica que represente esta situación.

• ¿Cuál es el valor de k?

68

Práctica 23


1. Si lanzamos dos dados al mismo tiempo y sumamos los números que se obtengan, ¿qué suma será la más común?

Un histograma es una representación gráfica de la frecuencia con la que se presenta una variable dentro de un conjunto de datos.

¿Cómo se construye un histograma?• El eje horizontal se separa en intervalos de longitud uniforme, que corres-

ponde a alguna clase o agrupación de los datos.• En el eje vertical se señala cuántas veces se repite cada clase, es decir, la

frecuencia.• Sobre cada intervalo se construye un rectángulo con la altura de la frecuen-

cia correspondiente.

Es importante señalar que:• Las clases en el eje horizontal deben ser contiguas, de manera que las barras

no están separadas.• La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia con la que se

presenta cada clase.

Un polígono de frecuencia se forma al unir con segmentos los puntos medios del extremo superior de cada rectángulo de un histograma.

Es importante mencionar que:• Los polígonos de frecuencias son más útiles cuando se trata de datos que

varían con el tiempo.• Se puede hacer un polígono de frecuencias sin trazar el histograma si se

toma solamente el punto medio de cada clase, conocido como marca de clase, y la altura correspondiente.

Ejemplo:

Se registró la edad de los alumnos de una escuela y se obtuvieron los siguientes datos.

Edad (años) Alumnos

12 2

13 6

14 9

15 1

Total 18

La gráfica muestra el histograma (en barras) y el polígono de frecuencias (línea poligonal en rojo) correspon-diente a los datos de la tabla.

Histogramas y gráficas poligonales

Núm

ero

de a

lum

nos

10

8

6

4

2

0 12 13 14 15

Edad (años)

69


La gráfica indica cómo ha aumentado la esperanza de vida en nuestro país desde la década de 1930.

1. ¿Qué se puede deducir de la gráfica?

2. ¿En qué época la diferencia es mayor?

*Gráfica tomada del INEGI:http://cuentame.inegi.org.mx/ poblacion/esperanza.aspx?tema=P

Mis respuestas


Actividades

1. Contesta lo que se pide.

La tabla muestra la tasa de inflación en México entre los años 2000 y 2010. La inflación es el promedio de aumento de los precios al consumidor, expresado como porcentaje.

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

9 6.5 6.4 4.5 5.4 4 3.4 4 5.1 3.6 4.1

a) Dibuja el polígono de frecuencias correspondiente a los datos.

b) ¿En qué año se reportó la tasa más baja de inflación?

c) Entre los años 2000 y 2006, ¿cuál era la tendencia de la tasa de inflación?

d) ¿Entre qué años la tasa de inflación registró una tendencia a crecer?

e) ¿Existe alguna tendencia de la tasa de inflación a partir de 2003? Explica.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

33

45.1

58.8

68 70.9 71.5 72.1

34.7

48.7

63

75 76.4 77 77.5

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

20002001

20022003

20042005

20062007

20082009

2010

70

Práctica 24


1. ¿Cuál es el promedio de los siguientes números?

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 y 20

1. Para todo conjunto de datos x1, x2, x3 ..., xn con una media aritmética (o pro-medio) x sucede que:

• La suma de las desviaciones de cada dato respecto de la media es cero. Es decir:

(x − x1) + (x − x2) + ...+ (x − xn) = 0

• Si todos los datos tienen un mismo valor, la media es igual a esa misma constante. Es decir:

x1 = x2 = x = ... = xn = x

• Si todos los datos se multiplican por una constante k entonces la media de los nuevos datos es igual a la constante por la media de la muestra original. Es decir:

kx es la media de kx1, kx2, ..., kxn.

• Si a todos los datos se les suma o resta una cantidad constante entonces la media de los nuevos datos es igual a la media de la muestra original más (o menos) la misma constante. Es decir:

x ± k es la media de (x1 + k), (x2 + k), ..., (xn + k)

2. Para todo conjunto de datos x1, x2, x3, ... xn con una mediana Md :

• La mediana del conjunto es única.

• La mediana no cambia en presencia de valores extremos.

• La mitad de los datos son menores que la mediana y la otra mitad de los datos son mayores.

3. Para todo conjunto de datos x1, x2, x3, ... xn con una media aritmética x y me-diana Md:

• Se dice que el conjunto de datos es simétrico si la media aritmética es igual a la mediana.

• Si la media aritmética es mayor que la mediana, se dice que el conjunto de datos tiene una asimetría positiva.

• Si la media aritmética es menor que la mediana, se dice que el conjunto de datos tiene una asimetría negativa.

Propiedades de la media y la mediana

71


Si conocemos el promedio de una muestra, pero nos falta un dato, ¿podemos conocer el dato faltante?

Mis respuestas


Actividades

1. Considera las propiedades de la media y la mediana para contestar las si-guientes preguntas.

a) La media del salario en una empresa es de $6983.00. Si en marzo todos recibieron una compensación extra de $1450.00, ¿cuál es la media del salario en el mes de marzo?

b) Se reportó que la media de las edades de los niños de un equipo de fut-bol es de 14 años. De los catorce niños inscritos en el equipo, tres tienen 12 años, cinco tienen 13 años, cuatro tienen 14 años y dos tienen 17 años. Utiliza la propiedad que afirma que la suma de las desviaciones respecto de la media es cero, para verificar si el reporte es correcto.

c) La media de los precios de las bebidas en la cafetería de la escuela es de 3.50 pesos. Si el día de la kermés triplicaron el precio de cada bebida, ¿cuál fue la media del precio de las bebidas el día de la kermés?

2. En los siguientes conjuntos de números, calcula la media y la mediana. Ade-más, determina si son simétricos o si presentan asimetría positiva o negativa.

a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.

b) 10, 11, 3, 5, 7, 10, 9, 14, 16, 10, 2, 5, 7, 8, 3, 12, 18, 6, 4, 10, 15, 10, 15, 13, 8, 17.

c) 3, 5, 2,7, 5, 9, 5, 2, 8, 6.

d) 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

72

Nudos matemáticos

Seguramente has escuchado sobre el ácido desoxirribonucleico (ADN), que es una molécula que contiene la información genéti-ca de un ser vivo; pero tal vez, algo de lo que no has escuchado es una área de la matemática llamada teoría de nudos. Esta teoría, como su nombre lo indica, estudia nudos, como los que se mues-tran en las siguientes figuras:

¿Y cuál es la relación entre estas dos áreas del conocimiento? Una molécula de ADN es un nudo:

A finales del siglo XX, se empezó a utilizar la teoría de nudos para estudiar algunas cadenas de ADN. Uno de los actores principa-les en el estudio de ADN es una enzima llamada topoisomerasa, que es capaz de recombinar una cadena de ADN, produciendo así distintas variedades biológicas. Esto quiere decir, matemáti-camente, que se generan nudos distintos. Una de las preguntas que surgen de estos estudios es: ¿podría predecirse qué tipo de molécula resulta después de la intervención de la topoisomera-sa? Aunque sólo se ha trabajado con ADN de algunas bacterias, para alguna de ellas sí fue posible.


73

Notas

74

Bloq

ue 4 Sucesiones de números enteros a

partir de una regla dada y viceversa. Problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas. Problemas que implican la media y la mediana.


75

Contenido

Desafío 4Calificaciones

Prácticas25. Sucesiones26. Ecuaciones de primer grado27. Ángulos de un círculo28. Gráficas de proporcionalidad29. Problemas de variación lineal30. Media ponderada


76

ConsignaEn equipos de tres integrantes, consideren la siguiente situación y respon-dan lo que se pide usando una calculadora.

El director de una secundaria, planea premiar el esfuerzo de sus alumnos en el estudio. Para ello, propuso que si en grupo obtenían en promedio 7.0 de calificación en un examen general, les organizaría una excursión al Museo de Arte de la ciudad.

Las calificaciones del examen del grupo B de segundo grado, integrado por 15 alumnos, fueron las siguientes: 3.2, 5.3, 5.5, 5.7, 6.2, 6.5, 6.7, 6.8, 7.5, 7.8, 7.8, 8.3, 8.5, 8.7 y 9.7.

1. Con estas calificaciones, ¿alcanzarán el promedio mínimo para ganar el premio? Para hallar la respuesta respondan lo siguiente.

a) Calculen la media aritmética de las calificaciones.

b) Calculen la mediana de las calificaciones.

Que los alumnos resuelvan problemas que implican calcular, interpretar y explici-tar las propiedades de la media y la mediana.


Calificaciones

Desafío 4

77

c) Si se quitan la calificación más baja y la más alta, calculen la media arit-mética con los 13 datos restantes.

d) Calculen la mediana con estos 13 datos.

e) ¿Son diferentes las medias aritméticas? Expliquen su respuesta.

2. Comparen sus resultados con sus compañeros y con ayuda del maestro respondan:

a) ¿Cuál es el aprovechamiento general del grupo: no suficiente, suficien-te, bueno, excelente?

b) ¿Cambiaría el aprovechamiento general del grupo si sólo consideramos la media con 13 datos? Expliquen.

Mis respuestas


78


1. Observa las siguientes figuras. ¿Qué sucesión definen?

SucesionesPráctica 25

Una sucesión es una relación entre dos números, el que representa el lugar en la sucesión (primero, segundo, tercero,…) y el número que forma la sucesión. A cada número que forma la sucesión se le llama término. Podemos acomo-dar los términos de una sucesión en una lista ordenada y llamaremos n al lugar que ocupa un término cualquiera de la sucesión empezando por el uno. Los valores de n son los números naturales (1, 2, 3, 4, ...).

Ejemplos:

a) La sucesión de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10,...

b) La sucesión de los números impares: 1, 3, 5, 7, 9,...

c) La sucesión de los múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25,...

Cada sucesión tiene asociada una regla algebraica que permite encontrar cualquier término de la sucesión. Para hallar la regla hay que identificar cómo varían los términos.

Ejemplo:

En la sucesión de múltiplos de 3, los términos varían de 3 en 3, por tanto, la regla algebraica es 3n.

Lugar 1 2 3 4 5 6 ... n ...

× 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3

Término 3 6 9 12 15 18 ... 3n ...

Al primer término de la sucesión se le denomina como a1, al segundo término como a2, al tercer término se le nombra a3; y así sucesivamente hasta el enési-mo término: El enésimo término de una sucesión de múltiplos es d × n donde d es la diferencia entre dos términos consecutivos.

Del ejemplo anterior tenemos la siguiente sucesión.

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...

+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

Figura 1

Figura 2

Figura 3

79

Observa la siguiente sucesión: 1, 1

2, 1

4 ,1

8, 116

, 132

, ... , 12n

,...

¿Se “detendrá” en algún número? ¿En cuál?


Mis respuestas


1. Escribe los primeros cinco términos de las siguientes sucesiones y el término indicado:

a) an = 8n − 7

a1 a2 a3 a4 a5 ... a20

b) − 4n + 1

a1 a2 a3 a4 a5 ... a100

c) an = 1

2 n + 12

a1 a2 a3 a4 a5 ... a50

2. Encuentra la regla general de las siguientes sucesiones y el término que se

pide: a)

a1 a2 a3 a4 a5 ... a25 ... an

2 4 6 8 10 b)

a1 a2 a3 a4 a5... a17 ... an

7 14 21 28 c)

a1 a2 a3 a4 a5 ... a35 ... an

2.5 3 3.5 4.5

d)a0 a1 a2 a3 a4 ... a70 ... an

34 45 56 78

Actividades

Cada término se encuentra sumando tres al término anterior. Si se compara con la sucesión de los múltiplos de 3, se ve que:

Lugar 1 2 3 4 5 6 ... n ...

× 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 ... × 3 ...

Múltiplos de 3

3 6 9 12 15 18 ... 3n ...

+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ... + 1 ...

Términos 4 7 10 13 16 19 ... 3n + 1 ...

80


Práctica 26

1. Si el triple de un número aumen-tado en 3 es igual al quíntuple del mismo número aumentado en 5, ¿de qué número se trata?

Ecuaciones de primer gradoLas propiedades de la igualdad son básicas para resolver ecuaciones, por lo tanto es muy importante conocerlas para aplicarlas. A continuación se expli-can algunas de esas propiedades:

a) Si se suma el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando.b) Si se resta el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue conservando.c) Si se multiplica por el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue

conservando.d) Si se divide entre el mismo número a ambos lados, la igualdad se sigue con-

servando.e) Una igualdad tiene la siguiente propiedad: si a + b = c entonces c = a + b.

Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades descono-cidas que se llaman incógnitas.

Ejemplos:• 6 + 3x = 9 + x La incógnita es x.• y + 10 = 20 – y La incógnita es y.• 2 – 5m = 10 + m La incógnita es m.

Resolver una ecuación significa encontrar el valor de la incógnita que satis-face la ecuación; es decir, el valor de la incógnita que hace que la igualdad se cumpla.

Ejemplo: 6 + 3x = 9 + x Se resta x en cada lado de la ecuación:

6 + 3x − x = 9 + x − x6 + 2x = 9

Se resta 6 en cada lado:

6 + 2x − 6 = 9 − 62x = 3

Se divide entre 2 en cada lado:

x = 32

= 1.5

Para comprobar la respuesta sustituimos el último resultado en la ecuación; en este caso, 1.5 en lugar de x:

6 + 3(1.5) = 6 + 4.5 = 10.5 9 + 1.5 = 10.5

Si en ambos lados de la igualdad se obtiene el mismo resultado, significa que x = 1.5 es la solución.

81

Existen algunas incógnitas que no lo parecen, porque son números, pero no podemos conocerlos exactamente, ¿conoces alguno?


Mis respuestas


1. Comprueba que las siguientes son soluciones de la ecuación dada:

a) y – 10 = 20 – y. Solución y = 15

b) 2x + 5 = x – 4. Solución x = –9

c) 2 – 5m = 10 + m. Solución m = – 4

3

d) 3(a – 20) = 9 – 3a. Solución a = 23

2

2. Resuelve las ecuaciones y comprueba el resultado:

a) 7x + 5 = 2x + 20

b) 2(3x – 1) = 4(x – 3)

c) 1.5x – 2.3 = 0.25x + 2

d) 2 (x – 34 ) = 4 ( 3

2x + 5)


a) La suma de tres números consecutivos es 192. ¿Cuáles son los números?

b) El perímetro de un rectángulo mide 38 metros. Si su largo mide 7 metros más que el ancho. ¿Cuánto mide de largo y cuánto mide de ancho?

c) En un triángulo isósceles cuyo perímetro es 16 cm, los lados iguales mi-den 2 cm más que la base. ¿Cuánto mide la base y cada uno de los lados iguales?

d) La suma de la cuarta parte y la tercera parte de un número es igual al doble del número menos 17. ¿Cuál es el número?

Actividades

82

Práctica 27

1. Si un ángulo central mide 180°, ¿cuánto medirá un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco?


Ángulos de un círculoEn un círculo dado, se pueden trazar los ángulos que se muestran en la figura:

El ángulo inscrito es aquel que tiene el vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas del círculo. En la figura anterior el ángulo ABC es un ángulo inscrito.

El ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferen-cia y sus lados son radios del círculo. En la figura, el ángulo AOC es un ángulo central.

Teorema: En un círculo dado, si un ángulo inscrito y un ángulo central sub-tienden el mismo arco de circunferencia, entonces el ángulo central mide el doble que el ángulo inscrito.

En la figura anterior, el ángulo ABC y el AOC subtienden ambos el arco de cir-cunferencia; por tanto, AOC = 2ABC.

Teorema: Para cualquier circunferencia, la tangente en un punto de ésta for-ma un ángulo recto con el radio en el mismo punto.

En la figura anterior, DE es la tangente y el radio es la distancia de O a C.

A

BO

C

E

D

83

¿Cuánto mide el ángulo A de la siguiente figura?


Mis respuestas


1. Encuentra la medida de los ángulos que se indican.

Actividades

Ángulo a =

Ángulo b =

22o

bc

a)

b)

c)

d)

39o

a

b

a

200o

70o

b

Ángulo b =

Ángulo c =

Ángulo b =

Ángulo a =

A

84

Práctica 28


1. La gráfica de la

relación y = 32

x

¿pasará por

el punto (10, 5)?

Gráficas de proporcionalidadEn matemáticas, una relación entre dos conjuntos de cantidades, o variables, puede representarse gráficamente en un sistema de coordenadas. Una rela-ción de proporcionalidad y = k x es una expresión que permite encontrar pa-rejas ordenadas de números, (x, y) en las que cada valor de y se encuentra al multiplicar un valor de x por el número k.

Ejemplo:y = 2x

Podemos construir una tabla para ver la relación:x –3 –1 0 2 3 3.5

y –6 –2 0 4 6 7

De la tabla se obtienen las parejas (– 3, – 6), (– 1, – 2), (0, 0), (2, 4), (3, 6) y (3.5, 7). Como los valores seleccionados para x son parte de una infinidad de valores posibles, se representa la relación uniendo estos puntos con una línea recta continua, como se muestra en la siguiente figura.

Tomando como base lo anterior, podemos enunciar que la gráfica de una rela-ción de proporcionalidad cumple con las siguientes propiedades:

• Es una línea recta.• Pasa por el origen de coordenadas, es decir, que pasa por (0, 0).• El valor de k determina la inclinación de la recta.

y

x

4

2

−2

−4

2 4−4 −2

85

Toma dos valores de y de la tabla de la actividad 1 y réstalos; ahora toma los valores de x correspondientes y réstalos en el mismo orden. Divide el resultado de los valores de y entre el resultado de los valores de x, ¿qué resultado obtienes?


Mis respuestas


1. Considera la relación y = 1.5 x.

a) Completa la siguiente tabla:

x 0.5 1.5 2.5 3.5 4

y 3.75

b) Traza la gráfica de la relación:

2. Encuentra la relación de proporcionalidad de la siguiente gráfica:

3. Calcula el valor de k a partir de la siguiente tabla:

x – 2 – 1 0 1

y – 1 – 0.5 0 0.5

Actividades

7 6 5

4 3 2

1

x−2 −1 0 1 2 3 4 5

y

6 5 4

3 2 1

0

−1 −2 −3

−4

y

x−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

86

Práctica 29


1. Constanza toma clases de tenis todos los días, incluyendo los domingos. Le cobran 75 pesos por media hora de clase. Si toma dos horas diarias, ¿cuánto paga por semana?

Problemas de variación linealEn muchas situaciones de la vida real existe una relación entre dos conjuntos de datos. Por ejemplo: el precio total que se paga en un cine depende de la cantidad de boletos que se compren, o el tiempo que tarda un objeto en caer depende de la altura de la que fue soltado.

Cuando las cantidades varían de manera uniforme, entonces se considera que existe una variación lineal entre esas cantidades.

Como en el caso de los boletos de cine: cada boleto que se agrega a la compra aumenta el costo total en la misma cantidad (el precio de un boleto).

Ejemplo:

El hermano de Felipe accedió a llevarlo al cine con sus amigos, pero quiere que le paguen el costo del estacionamiento que cuesta 60 pesos. Cada boleto de entrada cuesta 45 pesos.

En la siguiente tabla se muestra la variación del costo.

Número de personas 2 3 4 5 6 7

Costo 150 195 240 285 330 375

Para encontrar la expresión algebraica del problema, se representa el costo con la letra C y el número de amigos con la letra A. Como cada asistente paga 45 pesos, se debe multiplicar 45 por A; y finalmente sumar el precio del esta-cionamiento. La expresión queda entonces:

C = 45A + 60

En general esta expresión tiene la forma y = ax + b, donde a y b son constantes.

Actividades

1. En un experimento se utilizan gusanos que aumentan de tamaño de acuer-do con la siguiente ecuación:

L = 1.7 T + 2.3

En donde 2.3 mm es la longitud del gusano cuando sale del huevo y T es el tiempo en semanas. Completa la tabla y contesta las preguntas.

Tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Milímetros 2.3 10.8

87

¿Existe relación entre este tipo de variación y la vista en la práctica 27? Explica por qué.


Mis respuestas


a) ¿Cuántos milímetros crece el gusano cada semana?

b) Uno de los gusanos salió del huevo con 3 mm de longitud, escribe la

ecuación para la longitud de este gusano.

c) La tercera parte de los gusanos fueron sometidos al experimento y se

encontró que en la semana 1 los gusanos medían 4.7 mm y en la semana 2 ya medían 7.1 mm. Encuentra la ecuación para el crecimiento de estos gusanos.

2. Para promover al equipo femenil de futbol, la escuela le regaló un libro a

cada jugadora. Además, la escuela dará un libro extra a la jugadora que anote un gol. La escuela encontró que la ecuación que relaciona el número de goles con el número de libros que tiene que adquirir es la siguiente:

L = G + J

En donde L es el número de libros, G es el número de goles y J es el número de jugadoras del equipo.

a) Al comienzo del torneo había 15 jugadoras. Reescribe la ecuación para este equipo.

b) Finalmente, el pedido fue de 37 libros. ¿Cuántos goles anotó el equipo?

c) La escuela decidió aumentar el estímulo a dos libros por cada gol anota-

do en la siguiente temporada. Escribe la ecuación tomando en cuenta que el número de jugadoras seguirá siendo 15.

88

Práctica 30


1. La batería de un teléfono celular dura 8 horas, aproximadamente, con la siguiente distribución de uso: sistema operativo 54% en las 8 horas; pantalla, 15% en 6 horas; antena de red inalámbrica, 8% en 4 horas; música, 12% en 2 horas; uso de redes sociales, 6% en 3 horas; teléfono en espera, 5% en 2 horas. ¿Cuál es el porcentaje de uso promedio de la pila?

Media ponderadaLa media ponderada es el procedimiento mediante el cual se calcula la media de un conjunto de datos en los que se asigna diferente peso o grado de impor-tancia.

Considera el conjunto de datos x1, x2, ..., xn a los que se les asigna los pesos w1, w2, ..., wn La media ponderada es:

x = x1 , w1 + x2 , w2 + ... + xn , wn

w1 + w2 + ... + wn

Ejemplo:

En un examen, la calificación de la sección de matemáticas equivale al 40% de la calificación final, la sección de lengua equivale al 30%, la sección de cien-cias naturales al 15%, la sección de ciencias sociales al 10% y la sección de expresión artística al 5%.

Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones: matemáticas, 6.3; lengua, 7.8; ciencias naturales, 8.1; ciencias sociales, 8.7 y expresión artística, 9.5; enton-ces, la calificación global (Cg) del examen es:

Cg = (40)(6.3) + (30)(7.8) + (15)(8.1) + (10)(8.7) + (5)(9.5) 40 + 30 + 15 + 10 + 5

= 742 100

Cg = 7.42

Actividades

1. Para la calificación bimestral de matemáticas las tareas representan el 33%, el examen 40%, el proyecto bimestral 12% y el trabajo en clase 15%. Calcula la calificación del 3.er bimestre de un alumno que obtuvo 9.4 en tareas, 8.5 en el examen, 10 en el proyecto bimestral y 8.2 en trabajo de clase.

89

El promedio es un caso particular de la media ponderada. ¿Por qué? Explica.


Mis respuestas


2. En una empresa, en la nómina mensual, hay 2 empleados que ganan 3 4000 pesos, 5 empleados que ganan 2 7500 pesos, 9 empleados que ga-nan 18 900 pesos, 15 empleados que ganan 9 700 pesos y 3 empleados que ganan 4 300 pesos. ¿Cuál es el salario mensual promedio en esa empresa?

3. Un terreno está dividido en cinco secciones que se venden de acuerdo con la ubicación: en la primera sección el metro cuadrado cuesta 597 pesos, en la segunda sección el precio es de 315 pesos, en la tercera es de 280 pesos, en la cuarta es de 200 pesos y en la quinta es de 176 pesos. Una constructora compró 12000 m2 en la primera sección, 30000 m2 en la segunda sección, 22000 m2 en la tercera, 19000 m2 en la cuarta y 44000 m2 en la quinta. ¿Cuál es el precio promedio por metro cuadrado que pagó la constructora?

4. Un abogado cobra por hora: 100 pesos por la investigación de un caso, 75 pesos por consulta legal y 200 pesos por la redacción de un informe. En el último caso, este abogado dedicó 5 horas a consulta legal, 12 horas a la in-vestigación del caso y 9 horas a la redacción del informe. ¿De cuánto fueron sus honorarios promedio por hora en este caso?

90

Sucesiones y números irracionales.

Las sucesiones son objetos que pueden ayudarnos a descubrir nuevos números, distintos de los naturales, enteros y raciona-les; se llaman números irracionales. Un ejemplo de este tipo de números es el siguiente:

Consideramos la sucesión an = (1 + 1n)n. En la siguiente tabla

vemos los primeros cinco términos de la sucesión así como el centésimo término.

an = (1 + 11)1 = 2 a4 = (1 + 14)4

= 625256 ≈ 2.44140625

a2 = (1 + 12)2

= 94 = 2.25 a5 = (1 + 15)5 = 7776

3125 = 2.48832 a3 = (1 + 13)3

= 6427 = 2.370 a100 = (1 + 1

100)100 = (101

100)100 ≈ 2.70481383

Observamos que la sucesión crece, pero lentamente; de he-cho, crece tan lento que los términos no llegan al 3, por lo que decimos que la sucesión está acotada. Más aún, los términos de la sucesión se acumulan en un número que se introdujo en matemáticas en 1618, aunque no se sabía mucho al respecto. Fue hasta 1731 que el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783), calculó su expansión decimal hasta 20 lugares y obser-vó que continuaba, por lo que utilizó una letra para referirse a dicho número: e.

La gráfica del número exponencial e es la siguiente:


−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

6

5

4

3

2

1

−1

y = x + 1

f (x) = e x

0

91

Notas

92

Bloq

ue 5 Problemas que implican el uso de

sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Construcción de figuras simétricas respecto de un eje y sus propiedades.

Medidas de diversos elementos del círculo, como ángulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares.

La relación que existe entre la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.


93

Contenido

Desafío 5La presión del agua

Prácticas31. Sistemas de ecuaciones32. Representación gráfica de un sistema

de ecuaciones33. Figuras simétricas34. Ángulos centrales e inscritos35. Funciones lineales y sus gráficas36. Problemas de funciones de la forma y = mx + b37. Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica


94

Desafío

ConsignaLa presión del agua al nivel del mar es de 15 lb/pulg2. Por cada 10 pies de profundidad, la presión aumenta 4.34 lb/pulg2.

1. Completen la siguiente tabla donde se pueden observar algunos valores para la presión del agua a distintas profundidades.

Profundidad (pies) Presión del agua (lb/pulg2)

0 15.000

1 15.434

2

16.302

5

10 19.340

20

2. Cada renglón de la tabla de anterior nos da una pareja de coordenadas (x, y). Tracen en su cuaderno un plano cartesiano, en hoja cuadriculada, de manera que el eje x vaya de 0 a 20 unidades y el eje y de 0 a 24.

a) ¿Qué figura forman los puntos representados en la gráfica?

3. Tomen dos parejas de puntos de los que obtuvieron en la tabla y completen la siguiente tabla. Tengan cuidado en el orden en el que toman las diferencias.

Que los alumnos hagan la lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.


La presión del agua

5

95

PuntosDiferencia de las primeras

coordenadas

Diferencia de las segundas coordenadas

Cociente de la diferencia de las segundas coordenadas entre la diferencia entre las

primeras coordenadas

(0, 15), (1, 15.434)

1 – 0 = 1 15.434 – 15 = 0.434 0.4341

= 0.434

(0, 15), (10, 19.34)

10 – 0 = 10 19.34 – 15 = 4.34 4.3410

= 0.434

a) ¿Qué sucede con el cociente?

b) Observen los valores que obtuvieron en la columna de la presión del agua e identifiquen si hay alguna relación con el cociente. ¿Qué pueden concluir?

c) ¿Cuál es la diferencia de este fenómeno con las relaciones de propor-cionalidad?

4. Encuentren una ecuación que relacione la presión y profundidad.

5. ¿A qué profundidad se tiene una presión de 100 lb/pulg2?

6. Comparen sus resultados con los de sus compañeros.

7. Con ayuda de su maestro, traten de explicar si este fenómeno puede ser una relación de proporcionalidad.

Mis respuestas


96


1. El precio de la entrada a un cine es de 25 pesos por niño y 40 pesos por adulto. Un grupo paga 155 pesos. Si son 5 miembros del grupo, ¿cuántos adultos y cuántos niños son?

Sistemas de ecuacionesPráctica 31

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es una pareja de ecua-ciones en la cual, para dos números, se cumplen dos condiciones diferentes.

Resolver un sistema de ecuaciones significa hallar el valor de las dos incóg-nitas de forma que se satisfagan ambas ecuaciones. Aquí presentamos dos métodos para hacerlo.

Método de sustituciónConsiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y susti-tuir el resultado en la otra ecuación.

Ejemplo: x + 3y = 6 Ecuación 1 5x – 2y = 13 Ecuación 2

Paso 1. Se despeja x de la ecuación 1. x = 6 – 3y

Paso 2. Se sustituye x = 6 – 3y en lugar de x en la ecuación 2.5(6 – 3y) – 2y = 13

Paso 3. Se resuelve la última ecuación de primer grado con una incógnita. 5(6 – 3y) – 2y = 13 30 – 15y – 2y = 13 30 – 17y = 13 –17y = 13 – 30 –17y = –17 y = –17

–17 y = 1.

Paso 4. Se sustituye el valor de y en el despeje de la primera.x = 6 – 3(1) = 6 – 3 = 3

Las soluciones son: x = 3, y = 1.

Método de igualaciónEste método consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones e igualar los resultados obtenidos.

Ejemplo: 6x – 5y = –9 Ecuación 1 4x + 3y = 13 Ecuación 2

Paso 1. Despejar x de ecuación 1:6x = –9 – 5y

x = (–9 – 5y)6

97

¿Siempre existe solución para un sistema de ecuaciones? ¿Puede existir más de una solución?


Mis respuestas


Actividades

Paso 2. Despejar x de la ecuación 2:4x + 13 = 3y

x = (13 – 3y)4

Paso 3. Igualar ambos despejes: (–9 – 5y)

6 = (13 – 3y)

4

Paso 4. Resolver la ecuación de primer grado con la incógnita que resulta. 4(–9 – 5y)= 6 (13 – 3y)

–36 – 20y = 78 – 18y 20y + 18y = 78 + 36

38y = 114 y = 114

38 y = 3.

Paso 5. Sustituir el valor de y = 3 en cualquiera de los dos despejes de x.

x = –9 + 5y6

= –9 + 5(3)6

= 66

= 1

Las soluciones son x = 1, y = 3.

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que conside-res pertinente.

a) x – 5y = 15 6y – x = 22

b) x – 5 = 17 2x + 5y = –26

c) x + 5y = 17 2x + 5y = –26

2. Resuelve los siguientes problemas.

a) Rosaura tiene el doble de dinero que Carolina. Entre ambas tienen 282 pesos. ¿Cuánto dinero tiene cada una?

b) Para una función de teatro infantil, 10 entradas de adulto y 9 de niño cuestan 512 pesos, mientras que 15 entradas de adulto y 17 de niño cuestan 831 pesos. ¿Cuánto cuesta la entrada de adulto y cuánto la entrada de niño?

98


1. En una ciudad del país, el “banderazo” por abordar un taxi es de 5.80 pesos; y por cada 250 m se cobran 80 centavos. Si un trayecto consta de 4.5 km, ¿cuál será el costo del viaje?

Práctica 32Representación gráfica de un sistema de ecuacionesCada una de las ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, se puede representar mediante una recta.

Ejemplo:

Considera el sistema de ecuaciones x + y = 6 Ecuación 1. 5x – 4y = 12 Ecuación 2.

Despeja y en ambas ecuaciones:De la ecuación 1 se tiene:

x + y = 6 y = 6 – x.

De la ecuación 2 se tiene:5x – 4y = 12

–4y = 12 – 5x y = (12 – 5x)

(–4)Con algunos de los valores que satisfacen cada ecuación, se forman pares or-denados que pueden representarse mediante puntos en un sistema de coor-denadas.

x y = –x + 6 (x, y)

0 6 (0, 6)

2 4 (2, 4)

4 2 (4, 2)

x y = 54 x –3 (x, y)

0 –3 (0, –3)

2 –0.5 (2, –0.5)

4 2 (4, 2)

La solución del sistema está dada por la intersección de ambas rectas. En este caso, el punto de intersección es (4, 2); por tanto, la solución es x = 4, y = 2.

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

1 3 4

x + y = 6

5x – 4y = 12

99

La solución gráfica de un sistema de ecuaciones está determinado por el punto donde las rectas se intersecan. ¿Qué pasa si las dos rectas son paralelas?


Mis respuestas


1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones gráficamente. Para esto, ela-bora una tabla y localiza los puntos en un sistema de coordenadas.

a) x – y = 1 x + y = 7

b) 2x + y = 2 x + y = 3

c) x + 2y = –2 x – 2y = 6

d) 2x – 4y = 5 x – 2y = 6

Actividades

100

Práctica 33


1. Una persona camina 120 metros en dirección norte, y después 90 metros en dirección este. ¿A qué distancia lineal se encuentra del punto donde partió?

Figuras simétricasSi se tiene una figura plana y una recta en el mismo plano, se puede construir una figura simétrica respecto a la recta, equivalente a su reflejo en un espejo, como se muestra a continuación.

Los vértices de la figura se marcaron con las letras A, B, C, D y E y la recta con la letra l. Los puntos simétricos se marcaron respectivamente con las letras A’, B’, C’, D’ y E’. Estos puntos cumplen con las siguientes condiciones: • Cada segmento AA’, BB’, CC’, DD’ y EE’ es perpendicular a la recta l. • La distancia entre A y l es la misma que la distancia entre A’ y l. Lo mismo

ocurre con las otras parejas de puntos. • La recta l se llama eje de simetría. • El tamaño de cada componente de la figura original no cambia en su ima-

gen simétrica; es decir, la longitud de los lados y la medida de los ángulos se conservan.

• El eje de simetría puede estar en cualquier parte del plano, incluso sobre la figura.

Actividades

1. Traza la imagen simétrica de las siguientes figuras con respecto a la recta. a)

A

C

E

D

B l

A’

B’

D’

C’E’

101

Si tenemos una figura en el primer cuadrante de un plano cartesiano, lo reflejamos respecto al eje x y después respecto al eje y. ¿Se tendrá el mismo resultado si lo reflejamosprimero respecto al eje y y después respecto al eje x?


Mis respuestas


2. Elabora un sistema de coordenadas. Localiza los vértices de los siguientes triángulos, trázalos y encuentra sus simétricos.

a) Un triángulo tiene coordenadas (–2, 0), (–2, 8) y (–9, 3). ¿Cuáles serán las coordenadas del triángulo simétrico respecto al eje x?

b) Un triángulo tiene vértices en las coordenadas (0, 0), (–7, 2) y (4, 6). ¿Cuáles serán las coordenadas del triángulo simétrico respecto al eje y?

b)

c)

102

Práctica 34


1. Para una fiesta, 6 amigos compran un pastel de 28 cm de diámetro. Si a cada uno le corresponde la misma porción, ¿qué área de pastel le corresponde a cada uno de ellos?

Ángulos centrales e inscritosEn un círculo se pueden trazar algunas líneas, ángulos o áreas notables, que se miden utilizando fórmulas específicas. A continuación presentamos algu-nas de estas fórmulas.

Diagrama Nombre Fórmula Dimensiones

Circunferencia: es el contorno del círculo.

C = 2pr = pDC es la circunferencia, r es el radio y D es el diámetro.

Arco de circunferencia: es un segmento de la circunferencia.

l = apr180

l es la longitud del arco, a es el ángulo central y r es el radio.

a es un ángulo central.b es un ángulo inscrito.

a = 2b

a y b son ángulos y se miden en grados.

Círculo: es la superficie dentro de la circunferencia.

A = pr 2

r es el radio y se mide en unidades de longitud. A es el área y se mide en unidades de área (cm2, m2, etc.)

Sector circular: Es la superficie comprendida dentro de dos radios con un ángulo a y el arco de circunferencia correspondiente.

S = pr 2

360

r es el radio y se mide en unidades de longitud, S es la superficie y se mide en unidades de área y a es el ángulo y se mide en grados.

Corona. Es la superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas.

A = p(R2 – r 2)

R es el radio mayor, r es el radio menor y A es la superficie medida en unidades de área.

r

r

ra l

a

b

ar

r

R

103

¿Cómo calcularías el área de una sección de un círculo cortado por una cuerda?


Mis respuestas


1. En una circunferencia de 3.7 cm de radio, se trazó un ángulo inscrito de 72°.

a) ¿Cuánto mide el ángulo central que subtiende el mismo arco de circunferencia?

b) ¿Cuánto mide la longitud del arco de la circunferencia?

2. La longitud de una circunferencia es 43.96 cm, ¿cuál es el área del círculo?

3. Se está construyendo una barra en forma de corona circular y la superficie se va a cubrir con mosaico. La circunferencia mayor tiene un diámetro de 5.7 m y la circunferencia menor tiene un diámetro de 3 m.

¿Cuántos metros cuadrados de mosaico utilizarán para cubrir la barra?

Actividades

104


1. Dos autos hacen el mismo recorrido de la siguiente manera:• El primer auto

sale a las 12:00 horas con una velocidad de 80 km/h.

• El segundo auto sale a las 13:00 horas con una velocidad de 120 km/h.

¿Cuánto tiempo tardará el segundo auto en alcanzar al primero?

Práctica 35Funciones lineales y sus gráficasUna función lineal de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (punto en el que la función corta al eje y), es una función cuya gráfica es una línea recta cuando se dibuja en un plano carte-siano.

Cuando b es cero, la gráfica pasa por el origen de coordenadas (punto donde se cortan los ejes x y y) y la función recibe el nombre de función de proporcio-nalidad. Toda función asociada a una relación de proporcionalidad directa entre dos conjuntos de cantidades x y y puede ser expresada como una fun-ción del tipo y = kx.

Ejemplos:

La función y = –3x +2 es lineal, con pendiente m = –3 y ordenada al origen b = –1.

Por otra parte, la función y = 2x es una función de proporcionalidad directa, cuyo factor constante es k =2, que en la gráfica correspon-de al valor de la pendiente.

Actividades

1. Analiza el siguiente problema y resuelve.

Héctor está comparando los costos de un seguro de gastos médicos para su familia. La compañía de seguros le ofrece dos planes distintos:

• El plan A tiene un costo de contratación que es independiente del número de miembros que lo contraten, solo se cobra una suma por cada asegurado.

• El plan B no tiene costo de contratación, pero el costo por cada asegura-do incrementa más rápido.

Héctor construyó las gráficas correspondientes para comparar cuál seguro le conviene más.

7654321

-1-2-3-4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y = − 3x + 2

y = 2x

105

Las rectas verticales no se pueden representar por funciones, pero sí por ecuaciones. ¿Por qué?

¿Cuál es la ecuación de una recta vertical que pasa por el punto (a, 0)?


Mis respuestas


Contesta las preguntas a partir de la información proporcionada por la gráfica.

a) Identifica cuál línea corresponde al plan A y cuál al plan B.

b) ¿Cuánto cuesta el seguro para una sola persona en el plan A?

c) ¿Cuánto cuesta el seguro para una persona en el plan B?

d) ¿Cuál es el plan que más le conviene si sólo contratara el seguro para una persona?

e) ¿Cuánto dinero ahorraría si contrata el seguro más barato para una persona?

f) ¿Cuántos seguros debe comprar para que el precio sea el mismo en los dos planes?

g) Si la familia de Héctor consta de 5 miembros, ¿cuál plan le conviene contratar?

h) Utiliza la gráfica para calcular el costo del plan familiar en cada uno de los planes.

i) Calcula la diferencia entre los dos planes.

j) Una recta se puede expresar mediante la ecuación y = mx + b. En este caso, y es el precio de los seguros y x es el número de personas aseguradas. Utiliza la información de la gráfica para encontrar la ecuación del plan A y del plan B. Muestra tu procedimiento.

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

1 2 3 4 5 Ns

P($)

106


Práctica 36

1. El precio de un auto nuevo es de 120 000 pesos y disminuye a razón de 8% por año.

a) Escribe la expresión algebraica que representa el costo del auto en el tiempo.

b) ¿En cuánto tiempo el costo será de 81 600 pesos?

Problemas de funciones de la forma y = mx + bDada una función, se tienen varios procedimientos para construir su gráfica. Uno de ellos consiste en completar la tabla y luego trazar los puntos hallados.

Consideremos como ejemplo la función y = x. Completa la tabla.

x –2 –1 0 1 2 3 4

y –1 2

Con los datos de la tabla se construye la gráfi-ca de la función en un plano cartesiano.

Traza los puntos generados en la tabla y úne-los con una recta.

Completa la tabla de la función y = x – 1; dibuja su gráfica en el mismo plano.

x –2 –1 0 1 2 3 4

y = x – 1 –3 –1 3

Otro procedimiento, sin hacer la tabla, consiste en usar los valores de la pen-diente m y la ordenada al origen b (o punto sobre el eje y). Recordemos que una recta tiene asociada la ecuación y = mx + b.

En el plano cartesiano anterior, construye las gráficas correspondientes a las ecuaciones:

A: y = x + 1.5; B: y = x – 2.5.

Actividades

1. La siguiente gráfica representa la gráfica de la función y = x.

54321

-1-2-3

-2 -1 1 2 3 4

y

x0

107

En la ecuación:y = mx + bm representa la inclinación de la recta o pendiente. ¿Qué representa b?


Mis respuestas


a) Completa la tabla de la función y = 2x y traza su gráfica en el plano anterior.

x –2 –1 0 1 2

y = 2x –2 4

b) Completa la tabla de la función y = –0.5x y dibuja la gráfica en el mismo plano.

x –2 –1 0 1 2

y = –0.5x 0.5 –1

c) Sin hacer la tabla, dibuja las gráficas de las siguientes funciones. Coloca la letra correspondiente cerca de la gráfica.

A: y = –3x B: y = 0.5x

2. En el siguiente plano se encuentran las gráficas de las funciones que se pre-sentan a continuación. Identifica la gráfica de cada una y coloca la letra co-rrespondiente junto a ella.

a) A: y = 2x + 1

b) B: y = –2x + 0.5

c) C: y = –x – 1

d) D: y = 2x – 2

e) E: y = 5x – 3

f) F: y = –3x – 2

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4

y

x

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4

y

x

y = x

0

108


1. Al sacar una ficha de dominó, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números sea 6?

Práctica 37Probabilidad frecuencial y probabilidad teóricaSe llama probabilidad frecuencial a la que resulta de repetir muchas veces un experimento aleatorio. Para ilustrar su significado, veamos un ejemplo:

• Tirar dos dados y sumar los puntos que quedan en las caras de arriba es un experimento aleatorio, porque no se puede saber con exactitud qué va a salir.

• Si el experimento se repite 10 veces, algunos resultados aparecerán varias veces, pero no tendremos ningún resultado sobresaliente.

• Cuando el experimento se repite 100 veces, algunos valores se repiten más frecuentemente que otros, siguiendo un patrón. A este patrón se le conoce como distribución frecuencial.

En muchos casos, no es necesario realizar el experimento si se toma en cuen-ta cuántos resultados diferentes son posibles y cuántos resultados se repiten. Regresando al ejemplo anterior, al sumar los puntos de un par de dados, ve-mos que los resultados posibles van de 2 a 12, pero para obtener 2 o 12 sólo hay una combinación. Sin embargo, cuando la suma es 7, hay tres combina-ciones posibles: 1 y 6, 2 y 5, 3 y 4. Una distribución teórica es el patrón que se obtiene calculando todos los resultados posibles.

Al dibujar la gráfica de un experimento aleatorio, ya sea frecuencial o teórico, se visualiza más fácilmente el patrón que sigue y al comparar las gráficas se pueden predecir algunos resultados.

Muchos experimentos aleatorios tienen una distribución teórica como la que se muestra en la siguiente figura:

En esta figura se aprecia cómo algunos resultados son menos probables de obtener (los extremos de la campana), y otros resultados son más probables (en el centro de la campana). A esta distribución se le conoce como distribu-ción normal o campana de Gauss, en honor del matemático C. F. Gauss, que desarrollo la ecuación de la curva.

109

Una urna tiene 4 bolas rojas y 3 azules. De las rojas, 2 son de plástico y 2 de metal; 2 azules son de plástico y 1 de metal. ¿La probabilidad de que al sacar una bola sea roja y de metal es la misma de que la bola sea roja o de metal?


Mis respuestas


1. En una empresa se midió la estatura de los 51 empleados que trabajaban en ella. Los resultados se registraron en la siguiente tabla:

Estatura (m) Frecuencia

1.55 – 1.59 2

1.60 – 1.64 10

1.65 – 1.69 15

1.70 – 1.74 9

1.75 – 1.79 5

1.80 – 1.84 6

1.85 – 1.89 3

1.90 – 1.94 1

Total 51

a) Elabora el histograma y traza la curva a través de los puntos medios del segmento al tope de cada columna. Intenta trazar la curva de manera uniforme sin regresos.

b) Compara la curva que trazaste con el ejemplo de la campana de Gauss y determina si la distribución frecuencial de la estatura de los empleados es parecida a una distribución normal.

2. Con dos dados de distintos colores, por ejemplo azul y rojo, realiza el expe-rimento de tirarlos y restar el valor del azul al valor del rojo; por ejemplo, si el azul sale 3 y el rojo 2, el resultado es ROJO – AZUL = 2 – 3 = –1.

Realiza el experimento durante 100 tiros y escribe los resultados de la resta.

a) Dibuja el histograma del experimento. Utiliza una escala adecuada en el eje y. Traza la curva a través de los puntos medios del segmento al tope de cada columna. Compárala con la campana de Gauss. ¿Es una distribución normal?

Actividades

110

¿Te imaginas un espacio en el que las rectas no son rectas?

Existen distintos espacios geométricos, por ejemplo el espacio en que vivimos se conoce como espacio euclididano. Cada uno de estos tipos de espacios tiene características que lo distingue de los otros, pero la más notoria está dada por las líneas parale-las. En el caso del espacio euclidiano, dada una línea recta y un punto fuera de ella, existe una única línea recta paralela; pero en algunos casos, esto no sucede. Las siguientes figuras son una muestra de un espacio llamado disco hiperbólico, donde las “rectas” son arcos de circunferencias o diámetros y cada rec-ta tiene muchas paralelas. En la figura de la derecha, las rectas roja, verde y punteada son paralelas a la recta negra que pasan por un mismo punto; mientras que la recta azul no lo es.

En este espacio, la suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo siempre es menor a 180º:


ab

g

Rectas del disco hiperbólicoRectas paralelas del plano hiperbólico

Este espacio es un ejemplo de geometría no euclidiana, un con-cepto incomprendido durante mucho tiempo, hasta que los matemáticos rusos Nikolai Ivanovich Lobachevsky y János Bolyai lograron construir diversos modelos para comprender que exis-ten distintos espacios geométricos que burlan nuestra intuición pero son de gran utilidad para comprender la naturaleza.

111

Notas

Lada sin costo: 01800 8417005

[email protected]

www.ekeditores.com

Pens

amie

nto

mat

emát

ico

2 /

Sec

unda

ria

Om

ar V

igue

ras

Her

rera


Secundaria




Secundaria

Este material fue elaborado para el Programa de Fortalecimiento de la Calidad en Educación Básica, en específico para el Proyecto Local “La escuela secundaria, un lugar donde todos y todas concluimos nuestros estudios”; por lo que no podrá comercializarse por ninguna vía, ya que es para uso exclusivo de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal.

Este programa es público, ajeno a cualquier partido político. Queda prohibido el uso para fines distintos a los establecidos en el programa.

Pensamiento matemático 2

Education

Transcript of Pensamiento matemático 2