[Pérez Ramírez, José Antonio] Secuencias Gráfi(Bookzz.org)

SECUENCIAS GRÁFICASDE PERSPECTIVA

SECUENCIAS GRÁFICASDE PERSPECTIVA

JOSÉ ANTONIO PÉREZ RAMÍREZ

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL — MÉXICO —

7SECUENCIAS GRÁFICAS DE PERSPECTIVA

PERSPECTIVAS

PRÓLOGO

Este trabajo puede parecer extemporáneo a juicio de muchos; todos aquellos for-mados recientemente en el aula, en la práctica y más aún para aquellos que hannacido y se han desarrollado en la vertiginosa época de la computación, y escierto, mucho de lo aquí descrito puede ser sustituido y desarrollarse a través de lapaquetería creada por especialistas en el campo del dibujo, la informática y me-dios afines, prueba de ello son las animaciones en tercera dimensión que se obser-van en decenas y tal vez en cientos de películas de ciencia ficción, más aún, laanimación ahora cubre no sólo los aspectos de entretenimiento, sino todos aque-llos en los que la representación gráfica es útil, el diseño en todas sus ramas, lapublicidad, la pedagogía, la didáctica, la ciencia y hasta el arte, cierto es que muyprobablemente la forma tradicional y clásica de representar gráficamente como lohicieron los griegos e incluso culturas y tribus anteriores a ellos, nunca vuelva arequerir la labor ardua y metódica que en este trabajo se describe; sin embargo, laconclusión de este esfuerzo, y el deseo de que llegue a ver la luz, tiene el objetivode preservar algunos de esos eslabones del conocimiento que la humanidad haido engarzando lenta y difícilmente durante miles de años y ahora corren el riesgode quedar perdidos dentro de la carrera de productividad, rapidez y eficiencia quenos impone la época y que tienen en la computadora, sin lugar a duda, una herra-mienta poderosísima para ello.

No es nuestra pretensión el aferrarnos al pasado o devaluar la importancia de losavances científicos y tecnológicos de nuestra era, más bien pretendemos dejar una

8 PRÓLOGO

muestra de cómo, hasta hace muy poco, fueron elaborados estos trabajos; com-pendiar, aunque de manera breve, una serie de conocimientos que corren el riesgode ser considerados materia de archivo o sólo de especialistas. Se pretende queéstos perduren un poco más en la conciencia de la humanidad y sigan siendoestudiados y analizados por su gran riqueza y capacidad formativa como discipli-na indispensable para quienes trabajan con el volumen, el espacio, las formas ycaracterísticas de los cuerpos, para quienes viven de representar gráficamente susidea, proyectos y sensaciones, pero además, para aquellos que gozan con ir descu-briendo trazo a trazo la belleza gráfica generada en su mente y convertida enrealidad, gracias a la perspectiva.


INTRODUCCIÓN GENERAL

Este libro está organizado de manera tal que permite un avance gradual y escalona-do en el conocimiento de los temas y ejemplos que presenta. Inicia con una intro-ducción que facilita a todos aquellos poco relacionados con el dibujo técnico oarquitectónico conocer las bases de esta forma de representación y sus antecedentesmás característicos; muestra, en forma por demás detallada, ejemplos con figurasgeométricas elementales y señala los principales elementos de la perspectiva apli-cándolos en este tipo de figuras, las que de manera progresiva se complican y sumanconsiguiendo composiciones cada vez más elaboradas con las cuales se introducenal desarrollo de perspectivas de tipo libre o intuitivas, en las que aun sin la aplicaciónde algún método se pueden elaborar perspectivas rápidas de gran utilidad.

La unidad número tres es, sin duda, parte fundamental de esta primera etapa dellibro, en ella se describe la perspectiva paralela y sus reglas, así como los métodosperspectivos más importantes; con las secuencias gráficas se permite el detalladoanálisis, comprensión y comparación entre los métodos expuestos. Posteriormentese tratan las variantes de la composición perspectiva y se ejemplifica con la reali-zación de perspectivas de ambientes cerrados y abiertos con la realización deperspectivas interiores y exteriores.

Como segunda parte de este trabajo, se describe la perspectiva oblicua, se retomanalgunos ejemplos ya presentados, se integran variantes, se muestran las reglas de laperspectiva faltantes y se realizan secuencias gráficas de perspectivas interiores yexteriores, en las que se incluyen la aparición de caras o planos inclinados de losobjetos.

10 INTRODUCCIÓN GENERAL

En la parte final usted encontrará los fundamentos, descripción y ejemplossecuenciados de perspectivas con el plano de cuadro inclinado, para de esta ma-nera abordar las llamadas perspectivas áreas, o a ojo de pájaro, monumentales, oa ojo de hormiga, y la variante y aplicación de un método perspectivo más; porúltimo se presenta toda la teoría necesaria para desarrollar el tema de la perspecti-va de las sombras que se ejemplifica a través de planos, volúmenes y figura huma-na en una perspectiva paralela interior, todo ello nuevamente usando las secuen-cias gráficas que le dan su nombre a este libro de perspectiva.


AGRADECIMIENTOS

Sirvan estas sencillas líneas para reconocer y agradecer la valiosa colaboración yapoyo de un numeroso grupo de jóvenes alumnos que en su momento aportaronsu esfuerzo para avanzar en la realización de esta obra, a aquellos que gustososbrindaron su apoyo e incluso sugerencias valiosas para mejorarla y organizarla.

Agradezco en forma especial a Gina, Mariana, Joan, a mis padres y hermanospor su tolerancia, paciencia y aliento permanente.

Gracias, muchas gracias, a todos.EL AUTOR


UNIDAD 1

INTRODUCCIÓN

1.1. Objetivo general

El lector contará con los recursos que le permitan representar en perspectiva todotipo de formas y elementos relativos al diseño, mediante la correcta aplicación delos principios ópticos y geométricos en que se fundamenta la representacióntridimensional del sistema de proyecciones cónicas.

1.2. Dibujo, geometría y geometría descriptiva

Para entender la relación existente entre la perspectiva, la geometría y la geometríadescriptiva, debemos partir de un mayor conocimiento sobre la disciplina de lacual surgen: el dibujo.

El dibujo

Se puede definir como una forma de comunicación gráfica usada por el hombrepara representar las formas de lo que le rodea e incluso transmitir sensaciones eideas.

La necesidad del hombre por desarrollar su propia esencia, sentimientos e ideas;es decir, la necesidad de expresar aspectos diferentes de un mismo ser, origina laformación de dos ramas del mismo tronco:

14 INTRODUCCIÓN

• Dibujo artístico y• Dibujo técnico.

Cada una de ellas ha conformado su propio lenguaje tan sólo a partir del puntoy la línea.

La división del dibujo en sus dos ramas se establece con el uso de un tercerconcepto básico, exclusivo y diferente para cada una: el tono o mancha, en eldibujo artístico y, el plano, en el dibujo técnico.

Entendemos el dibujo como la acción de representar gráficamente algo y, comoparte de éste, el dibujo técnico en relación con sus conceptos básicos: el punto, lalínea y el plano, este último resulta ser un elemento que puede ser medido enlongitud y área, y que al agruparse forma volúmenes. Entonces surge la geometría

como la ciencia que estudia las propiedades de las figuras en su forma mensurable(lineal, de superficie y de volumen), por medio de las matemáticas y su representa-ción mediante el dibujo.

Por ello, la geometría se define como la parte de las matemáticas que trata de laspropiedades de las figuras en el plano y en el espacio.

La geometría descriptiva es la rama de la geometría encargada de representargráficamente los problemas que plantean la línea, el plano y el volumen.

Es decir, la geometría descriptiva une al dibujo técnico y a las matemáticas pararesolver los problemas que se plantean al representar gráficamente (en un plano: elpapel) las líneas, los planos y los volúmenes.

PuntoLíneaPlano

Dibujo

Dibujo artístico

PuntoLíneaTono o mancha

Dibujo técnico

Punto

Línea

Plano

Dibujo

Dibujoartístico

Dibujotécnico

Geometría

Estudio delas característicasde líneas, figurasy cuerpos mediantelas matemáticas


Para esto, la geometría descriptiva hace uso de tres sistemas de proyección, queson:

• Sistema de proyección diédrico ortogonal• Sistema de proyección axonométrica• Sistema de proyección cónica.

De éstos, el sistema de proyección cónica es la base de la representación pers-pectiva. Esto se debe, como se verá posteriormente, a la similitud que este tipo deproyecciones tiene con el fenómeno de la visión humana.

Esquema 1.1

Relación entre la geometría descriptiva y el dibujo perspectivo

Esquema 1.2

1.3. Los elementos geométricos y su representación ortogonal

En el tema anterior se expuso a grandes rasgos la evolución que el dibujo técnicoha experimentado, su relación con la geometría y la geometría descriptiva, y lossistemas de representación. Por ello, es conveniente ampliar el conocimiento tantodel sistema diédrico ortogonal como axonométrico, ya que a través de ellos serealizará y facilitará la comprensión de muchas de las explicaciones que nos enca-minan a nuestro objetivo. Para empezar, se mostrarán los elementos geométricos,punto y línea, en estos sistemas.

Geometríadescriptiva

Sistema deproyección cónica

Dibujo deperspectivas

Punto

Línea

Plano

Dibujo

artístico

Dibujo

técnico

Geometría:

estudio de las

características de

las líneas, planos

y volúmenes

apoyado en las

matemáticas

Geometría

descriptiva:

representación

gráfica de las

líneas, planos

y volúmenes

mediante

los sistemas

de proyección

Dibujo

de

perspectiva

Dibujo

16 INTRODUCCIÓN

Sistema diédrico ortogonal

Para los fines de nuestro estudio, sólo se analizará el primer cuadrante (métodoeuropeo) por ser el más usual entre arquitectos, ingenieros civiles y especialistasafines.

Tenemos:

Proyección: Es el pie de la línea perpendicular que une al punto (en el espacio)con el plano (de referencia).

En el sistema de proyecciones ortogonales, estas líneas (proyectantes) son per-pendiculares al plano, y su punto de contacto con éste es lo que se llama proyec-ción.

Cabe señalar que aun conociendo la proyección de un punto y su pie no esposible fijar su posición exacta en el espacio, dado que todos los puntos dentro deesta línea de proyección tienen el mismo pie.

Por medio de las proyecciones diédricas ortogonales se consigue determinarexactamente la posición de cualquier punto, para lo cual se utilizan planos dereferencia que se cortan formando ángulos de 90°.

La línea que surge del corte entre los planos vertical y horizontal se llama líneade tierra y divide a los planos en:

• PVS: plano vertical superior• PVI: plano vertical inferior• PHP: plano horizontal posterior• PHA: plano horizontal anterior.

Figura 1.1

Abatimiento del plano horizontal: Se considera que el plano vertical permane-ce fijo y el horizontal se abate; gira hasta integrarse en uno solo en el que el planohorizontal anterior se une al vertical inferior, y el horizontal posterior queda unidoal vertical superior.

Figura 1. 2

PHAPHP

2o.

3o. 4o.

1o.PVS

PVI

PVI

PVS

PHAPHA PVIPVI

PVSPVS PHPPHP

PHAPHP


El abatimiento produce una figura llamada “montea” que contiene a los dosplanos (figuras 1.1 y 1.2).

Dado que los planos de referencia (horizontal y vertical) se consideran ilimita-dos y que el observador siempre se ubica de frente al vertical superior y sobre elhorizontal anterior, la montea se representa por comodidad, simplemente con unalínea horizontal y dos pequeños trazos gruesos abajo de los extremos.

La representación de un punto en el espacio y en la montea se muestra clara-mente en las figuras 1.3 y 1.4.

Figura 1. 3

Representación del abatimiento (montea)

Nótese que los puntos en el espacio están marcados con mayúsculas; las proyec-ciones hechas hacia el plano horizontal tienen minúsculas con subíndice (a); lasproyecciones al plano vertical, minúsculas con coma alta (a’), y que en la repre-sentación de montea desaparece el subíndice del plano horizontal y se señalasimplemente la literal.

Para simplificar la comprensión de lo representado en cada plano es aconseja-ble entender el plano vertical superior como plano de vista frontal; y al planohorizontal anterior, como plano de vista superior, o sea:

• PVS = VF

• PHA = VS

Representación del punto en el espacio

Conociendo la representación ortogonal de un punto, pasaremos al estudio dela representación de la recta y el plano (figura 1.5 a 1.10).

a

a,

a’ A

a

a’

PVS

PHP

PVI

PHA

• PVS = VF

• PHA = VS

Representación ortogonal del punto enla montea

Figura 1. 4

18 INTRODUCCIÓN

Figura 1.5. Recta frontal Figura 1.6. Recta frontal cualquiera o frontal inclinada

Representación en el espacio Representación de montea Representación en el espacio Representación de montea

a b

a'b'

A

b'

a'

b'

a'

B

Vista superior

Vista frontal

Vista superior

Vista frontal

Aa'

a,

b,

b' B

ba

b'a'


Figura 1.7. Recta horizontal con cualquier posición Figura 1.8. Recta inclinada cualquiera

a

a' b'

b

b'

a'

a'

b'

A

B

Vista superior

Vista frontal

b'

b

a'

a

a'

b'

b'

a'

A

B

Vista superior

Vista frontal


20 INTRODUCCIÓN

Figura 1.9. Recta de punta


Figura 1.10. Recta vertical

Vista superior b

a

a'-b'

a'-b'

b'a'

A BVista frontal

Vista superior

a'

b'

a-b

a'-b'

a'

b' B

A

VS

Vista frontal


1.4. Principios básicos de los sistemas de proyeccionesy su aplicación a los dibujos tridimensionales

La geometría descriptiva cuenta con tres sistemas de proyección, que son:

• Sistema de proyección diédrico ortogonal• Sistema de proyección axonométrico• Sistema de proyección cónico o de convergentes.

Cada uno de estos sistemas utiliza líneas rectas de proyección llamadas proyec-tantes; las proyecciones son dirigidas desde un punto en el espacio hacia un planode referencia. El punto de contacto o corte, entre la proyección y el plano de referen-cia, es la proyección del punto y marca la posición relativa de este punto en el plano.

Las líneas proyectantes pueden ser de dos tipos. El sistema diédrico ortogonal yel axonométrico se basan en las proyecciones paralelas (llamadas por muchosautores cilíndricas). El sistema cónico utiliza las proyecciones cónicas (o de con-vergencia central).

El grupo de proyecciones paralelas considera a la recta o rayo proyectante diri-gido desde el infinito; tal consideración produce el paralelismo. En el caso de lasproyecciones cónicas, el punto de origen de éstas es lo suficientemente cercanocomo para formar un cono que en su base comprende a todos los puntos a proyec-tar y del cual su cúspide es el origen “o” (punto central), del que surgen los rayosproyectantes (figuras 1.11, 1.12a y 1.12b).

Figuras 1.11. Proyección paralela

22 INTRODUCCIÓN

Figuras 1.12a. Proyección paralela (o cilíndrica)

�

�

�

�

�

�

�

Figura 1.12b. Proyección cónica (o de convergentes)


Sistema diédrico ortogonal

• Los rayos de proyección, paralelos entre sí, son dirigidos hacia el plano enforma perpendicular a éste.

• Todas las medidas mantienen su verdadera magnitud.• Es necesario un mínimo de dos planos: vertical y horizontal, para poder repro-

ducir un objeto.

Ejemplos: Método europeo (o del primer cuadrante) Método americano (o del tercer cuadrante).

Observe figura 1.13

Figura 1.13 Figura 1.14

Plano lateral

Plano horizontal

Plano vertical

Sistema axonométrico

• Los rayos de proyección son paralelos entre sí, interceptan al plano de maneraoblicua.

• Los objetos a representar se muestran sobre tres planos formados por los ejesX, Y, Z. En ellos “z” siempre es vertical y los otros forman ángulos variables. Elplano de dibujo corta a los tres planos coordenados en su vértice.

• En este sistema, dependiendo de las variantes que engloba, las medidas pue-den o no conservar su verdadera magnitud.

• Este sistema es un sustituto de la perspectiva exacta.

Ejemplos: Subsistema isométrico, dimétrico, trimétrico, representación caballeray militar (figura 1.14).

24 INTRODUCCIÓN

Sistema cónico o de convergentes

• Los rayos de proyección son convergentes.• Estos rayos son dirigidos desde el observador hacia el objeto, y en su trayecto-

ria cortan al plano.• Las medidas varían dependiendo de la distancia y posición del objeto respec-

to al plano y al observador.

Figura 1.15

Ejemplos: Método de visuales y dominantes, método de la línea a 45° y métodode puntos métricos (figura 1.15).


TEORÍA DE LA PERSPECTIVA

2.1. Antecedentes históricos

La perspectiva muestra ejemplos realizados intuitivamente desde la prehistoria (año30 mil a 10 mil a.C.). Como se puede constatar en pinturas rupestres como las de lascavernas de Lascaux, Roufinac, Niaux y Altamira, en Europa occidental (figura 2.1).

UNIDAD 2

Bisonte a la carrera, pintura de las cuevas de Lascaux, Francia.�Fechado entre los años 15000 y 10000 a.C.

26 TEORÍA DE LA PERSPECTIVA

Las pinturas rupestres son las primeras muestras del deseo del hombre por ex-presar el espacio gráficamente. En ellas se observan figuras zoomorfas en las quelas diferencias de tamaño son utilizadas para representar, con un tipo de perspec-tiva intuitiva, las diferencias de distancia entre las figuras y el observador.

La perspectiva como se le conoce actualmente, basada en una serie de conoci-mientos geométricos, tiene sus antecedentes más remotos en los trabajos realiza-dos por las culturas griega y romana, en los siglos III y IV a.C., respectivamente. Enestas culturas se aprecian trabajos decorativos en los que la copia al natural indicael deseo de mostrar la volumetría de los cuerpos. Los trabajos de Euclides (mate-mático griego, siglo III a.C.) y de Vitrubio (arquitecto romano, 88-26 a.C.) nos pro-porcionan ciertos conocimientos geométricos e integran las bases de una perspec-tiva incipiente, pero con un alto grado de evolución y realismo.

Mucho tiempo después, en el siglo XV, al final de la Edad Media, y retomando losestudios de los clásicos, se resuelven las primeras dificultades de la representacióntridimensional mediante la prolongación de líneas que convergen.

Son dos los personajes a quienes se les puede considerar como fundadores de laperspectiva geométrica:

• Fillipo Brunelleschi, arquitecto florentino (1377-1446)• Pablo Ucello, pintor florentino (1397-1475).

Las primeras notas sobre el tema se deben al arquitecto Leo Batista Alberti (1404-1472) y el primer texto de esta técnica se atribuye al pintor y matemático PietroDegli Franceshi (muerto en 1492).

El gran Leonardo da Vinci (1452-1519) define el trazo para las líneas perpendi-culares al plano de cuadro (pantalla sobre la cual se realiza la perspectiva), y Al-berto Durero (pintor y grabador alemán, 1471-1528) demuestra físicamente la con-vergencia de estas líneas en un punto y su corte con el plano de cuadro.

En el siglo XVIII, Guido Ubaldi indica el procedimiento para ubicar el punto deconvergencia de las líneas horizontales, paralelas entre sí, con ángulos diferentes alos 45° respecto al plano de cuadro.

Por otra parte, René Descartes (1596-1650) desarrolla la geometría analítica y, en elsiglo XVIII, Gaspar Monje (1746-1818) crea la geometría descriptiva, con lo que se orde-nan y definen los sistemas de representación gráfica, en particular, el sistema de pro-yección cónica, utilizado hasta la fecha para obtener la perspectiva geométrica exacta.

Esta evolución ha permitido el aumento del número de diferentes métodosperspectivos, de sus bases teóricas y, sobre todo, la investigación fructífera en lacapacidad de expresión del volumen y la distancia; el espacio y los objetos queconforman el diseño y lo existente en el mundo del hombre actual.

2.2. Principios fundamentales del fenómeno perspectivo

Todos los objetos, al ser iluminados, reflejan los rayos procedentes de la fuenteluminosa. Estos rayos son captados por la retina de nuestros ojos y ésta reaccionamediante cambios electroquímicos que son registrados por el cerebro, formándo-se en él la imagen de lo que observamos.

Las cámaras fotográficas, de película o video, funcionan de manera similar; alhacer concurrir los rayos reflejados por los objetos sobre un rollo sensibilizadoquímicamente, éste reacciona a la luz y fija la imagen de lo que se tenga enfocado.

Tanto el ojo humano como la cámara fotográfica reciben los rayos luminosos enun lente que resulta ser el vértice o cúspide de un cono, dentro del cual se halla lovisto o fotografiado. Bajo un sistema similar funcionan las proyecciones cónicas(figuras 2.2, 2.3 y 2.4).

Figura 2.2

Imagenracionalizada

Ojo humanoObjeto


Imaginemos por un momento que tenemos una crayola y trazamos el perfil deun objeto sobre un cristal vertical, mirando con un ojo solamente. El dibujo queobtendremos será una perspectiva. Por lo tanto, una perspectiva es la representa-ción gráfica de un objeto como si fuera visto a través de un cristal. Por etimología,perspectiva viene del latín perspiciere; que significa “ver a través”.

Figuras 2.3, 2.4 y 2.5

PerspectivaConvergencia de visualesObjetos


2.3. Generalidades para la obtención de la perspectiva

La perspectiva que estudiaremos en nuestro curso es la llamada exacta. Surealización requiere del conocimiento de los sistemas de proyección, las defi-niciones propias de la materia y de métodos de resolución que de manera or-denada y secuencial nos permiten obtener perspectivas correctamente ejecuta-das.

Además de la perspectiva exacta, existe otro tipo: la perspectiva del pintor. Enella se deben utilizar las reglas de la perspectiva exacta y algunos de los conceptosbásicos de ésta. Como su nombre lo indica, es la perspectiva que el pintor aprendea desarrollar a través de la imitación y copia del natural; es decir, copia de lanaturaleza la perspectiva que en ella se presenta. La aparente disminución detamaño de los árboles o postes en una calle, las vías del tren que aparentemente seunen a la distancia y muchos otros ejemplos nos muestran la perspectiva de lanaturaleza. Esta aparente deformación de tamaño en los objetos idénticos es loque permite al ojo y al cerebro humano entender y distinguir la distancia; es poreste fenómeno óptico que podemos decidir nuestros movimientos para atajar orecibir un balón de futbol, calcular la distancia del autobús en la calle o impedirque nos golpee algún objeto que cae.

Representar la distancia en un papel o lienzo, como los artistas, requiere demucha práctica y cientos o miles de dibujos.

Nosotros no podemos dedicar años de nuestra vida practicando, como lo hacenlos pintores, hasta dominar las aparentes deformaciones de los objetos al verse endiferentes posiciones y distancias. Lo haremos, como ya se ha dicho, mediante lossistemas de proyección, las definiciones y los métodos, con la ventaja de que nuestrasperspectivas son exactas y les podemos añadir todo el sentido artístico del queseamos capaces.

Partiendo de que ya hemos realizado un breve recorrido por los sistemas deproyección, resulta evidente que los siguientes pasos nos encaminan al cono-cimiento de los conceptos; las definiciones que nos permitirán, a su vez, intro-ducirnos al manejo de los métodos perspectivos. Veamos, entonces, algunosconceptos.

En toda perspectiva, ya sea elaborada por un artista o por alguien que maneje losmétodos perspectivos, siempre se encontrarán cuatro elementos básicos, que son:

1. Línea de horizonte2. Línea de tierra3. Punto o puntos de fuga4. Líneas de fuga.

Las definiciones escritas de cada uno de estos elementos se darán al abordar eltema de definiciones. Por el momento sólo los conoceremos gráficamente, de for-ma que veamos su funcionamiento dentro de una perspectiva, tal y como podríanser usados por un pintor, un dibujante, un diseñador o un constructor, al realizaruna perspectiva sin método.

1. Ubiquemos en una hoja de papel una línea horizontal, LH representa a la líneade horizonte (figura 2.6).

2. Ahora tracemos una línea más, también horizontal y separada del borde infe-rior de la hoja más o menos lo mismo que la línea anterior, sólo que ahoraestamos trazando la línea de tierra (figura 2.7).

Figuras 2.6 y 2.7

LHHL

LT

TL

HL


3. Marquemos el punto de fuga, que se ubica en la línea de horizonte (figura2.8).

Figura 2.8

4. Hasta ahora tenemos tres de los elementos necesarios de una perspectiva, elcuarto es la línea de fuga (figura 2.9).

Figura 2.9

Estos cuatro elementos siempre estarán en una perspectiva, aunque nunca sonvisibles, pues son líneas de procedimiento, útiles en el trazo perspectivo, pero quedesaparecen al tener al objeto perspectivado; es decir, nunca se mostrarán comolas hemos visto en las figuras anteriores; sin embargo, siempre estarán ahí como partede la perspectiva y de los trazos que le dieron origen.

Con la finalidad de entender su función en la perspectiva, ejemplificaremos conalgunos volúmenes; su trazo mostrará el desempeño como líneas de procedimien-to de estos cuatro elementos básicos.

Un cubo

1. Ubiquemos en el papel los cuatro elementos (figura 2.10).

Figura 2.10

2. En la línea de tierra y partiendo de la unión de ésta y la línea de fuga, marca-remos la recta 1-2 que será la base del futuro cubo (figura 2.11).

Figura 2.11

3. Trazando otra línea de fuga desde el punto 2 hasta el PF se puede marcar enella el punto 3 de la base del cubo, y mediante un trazo paralelo a LT cortare-mos la fuga 1-2 desde el punto 1 y otra desde el punto 2. En lo alto de estasrectas marcaremos los puntos con los que se ubica el cuarto de la base. Nóte-se que la distancia 2-3 es aproximadamente la mitad de la existente entre 1-2(figura 2.12).

PF

TL

HL

LF

TL

HL

PF

LF

TL

HL

LF

H

TL

L PF

21


Figura 2.14

4. Ya tenemos la perspectiva de un cuadrado en el piso, la base del cubo. Pase-mos a realizar la cara frontal del mismo. Para esto debemos levantar una ver-tical con la dimensión exacta de 1-2 desde el punto 1 y otra desde el punto 2,en lo alto de estas rectas marcamos los puntos 5 y 6 respectivamente y luegolos unimos (figura 2.13).

Figura 2.13

5. Para conseguir las caras faltantes realizaremos otras líneas de fuga, una par-tiendo del punto 5 hacia el PF y la otra desde el punto 6 hasta el PF. Con estasfugas tenemos la altura del cubo alejándose. Ahora desde los puntos 4 y 3levantamos líneas verticales que se corten con las fugas 5-PF y 6-PF. Los puntosde corte 7 y 8 nos auxilian formando las caras faltantes (figura 2.14).

En el desarrollo anterior sólo falta borrar los trazos de procedimiento, los elemen-tos necesarios de trazo. La perspectiva del cubo tendrá el aspecto de la figura 2.15.

Figura 2.15

Los ejemplos siguientes muestran el trazo de un prisma rectangular (figura 2.16aa 2.16d) y de una pirámide de base cuadrangular vista desde abajo (figura 2.17).

Figuras 2.16a, 2.16b, 2.16c y 2.16d

PF

LF

TL

HL

34

21

H

TL

L PF

3

2

6

4

1

5

HPFL

TL

8765

34

21

Perspectiva de un prisma rectangular

1 2

4 3

L H

L T

PF PF

65

TL

HL

34

21

L T21

34

87

65

L HPF

Figura 2.12


Figura 2.17. Perspectiva de una pirámide (vista desde abajo)

En el cubo, tanto como el prisma y la pirámide, además de usar los elementosbásicos, también se han utilizado algunas reglas de la perspectiva, en cuyo estudioprofundizaremos posteriormente.

Mientras tanto, analice las imágenes del prisma y de la pirámide y compárelascon lo escrito en el ejemplo del cubo.

El propósito de los ejercicios anteriores es introducirnos de manera fácil al

entendimiento de la representación del volumen, aun sin el manejo de una am-plia teoría que poco a poco se irá mostrando para su comprensión y manejo. Porel momento puede empezar a realizar algunas perspectivas por su cuenta conuna caja, silla o mesa, o tal vez con ambientes interiores como los que se mues-tran en las figuras 2.18, 2.19 y 2.20. Además, observe el trabajo de los cuatroelementos básicos.

L

L T

HPF


Figura 2.18

L LH

L LT

PF


Figura 2.19

��

��


Figura 2.20

LT

PFLH LI


2.4. Clasificación de la perspectiva

La perspectiva suele clasificarse según la posición del objeto a perspectivar res-pecto al plano de cuadro (PC). Partiendo de esto, la perspectiva puede ser:

A. Perspectiva paralelaB. Perspectiva oblicua.

La perspectiva paralela es la que presenta una o más de las caras principales delobjeto, paralelas al plano de cuadro.

La perspectiva oblicua es la perspectiva que muestra una o más de las carasprincipales del objeto formando algún ángulo respecto al plano de cuadro.

Para la mejor comprensión de esta clasificación en las figuras 2.21 y 2.22, semuestra un cubo, representado en los tres sistemas de proyección. La primera par-te corresponde al sistema diédrico ortogonal y es lo equivalente a una vista supe-rior. La parte de en medio es una prepresentación axonométrica que correspondea una vista en isométrico.

En las dos se representa el plano geometral, el plano de cuadro, e incluso semuestra la posición del observador y, naturalmente, el objeto a perspectivar poste-riormente. En la tercera parte se muestra la perspectiva del objeto (cubo).

Nótese la diferencia en el resultado.

Figura 2.21. Perspectiva paralela

PG

PC LHPF

PG PC

PC

PC

15

75

PFDPFI

PGPG PC

PCLH

Figura 2.22. Perspectiva oblicua


2.5. Definiciones de los elementos perspectivos y su representación convencional

Perspectiva. Es la rama de la expresión gráfica que une a la geometría con el dibujoartístico. Conjuga los conceptos teóricos con las técnicas artísticas, se basa en lasproyecciones cónicas y representa en el plano (de manera aproximada a la visiónhumana) el espacio y las tres dimensiones de los objetos, así como las aparentesdeformaciones de éstos al ser analizados y/o ubicados en diferentes posiciones.

Punto. Es el límite mínimo de la extensión; se considera sin longitud, anchura, nialtura. Lugar en el que se cortan dos líneas o una línea y un plano.

Línea. Es la suma de dos o más puntos, sucesión ordenada de puntos. Tiene largopero no ancho, tiene posición y dirección, está limitada por dos puntos. Es latrayectoria de un punto en movimiento.

Mancha. Conjunto de puntos. Pigmento que ocupa una superficie.

Tono. Es la cantidad de puntos en una superficie, grado de saturación de puntoso pigmento en una superficie dada.

Plano. Conjunto ordenado de tres o más líneas que contienen una superficie.Tiene sólo dos dimensiones, largo y ancho, pero no espesor (profundidad).

Espacio. Es lo que contiene a todos los objetos; los objetos ocupan una parte delespacio. El hombre lo relaciona con tres dimensiones: largo, ancho y profundidad.Suele interpretarse como volumen.

Planta. Representación horizontal de un objeto, muestra su largo y ancho. Es lavista superior de las proyecciones diédricas ortogonales. Es frecuente que se definatambién de esta manera al corte horizontal, que permite representar el interior deuna construcción (planta arquitectónica).

Elevación o alzado. Representación vertical de un objeto, muestra su altura, asícomo el largo o ancho del mismo. Ésta es la vista frontal o lateral de las proyeccio-nes diédricas ortogonales.

Plano geometral (PG). Plano horizontal. Generalmente sirve de apoyo o referen-cia para la ubicación del observador y del objeto a perspectivar.

Punto de vista (PV). Punto que señala la ubicación del observador, representa elojo de éste.

Figuras 2.23 y 2.24

PG — Plano geometral

PG

El PG ubica al observador


Visual principal (VP). Representa el eje de la visión del observador y es perpendi-cular al plano de cuadro (figura 2.27).

Punto principal (PP). Representa el contacto de la visual principal con el planode cuadro (figura 2.27).

Figura 2.27

Línea de horizonte (LH). Línea horizontal y perpendicular a la visual principal, setraza en el plano del cuadro, a izquierda y derecha del punto principal y represen-ta la altura del observador (figura 2.28).

Figura 2.28

Proyección del punto de vista (PPV). Punto que representa la proyección perpen-dicular del ojo hacia el plano geometral (figuras 2.25).

Figura 2.25

Plano de cuadro (PC). Plano imaginario, transparente y vertical (generalmente),en el que se realiza la representación de la perspectiva (figura 2.26).

Línea de tierra (LT). Línea que representa el corte entre el plano de cuadro (PC) yel plano geometral (PG) (figura 2.26).

Figura 2.26

PPV

PV

PPV

PV

VPPP

LT

PC

PPV

PV VP PP

PPV

PV

LT

LH


Visual (o rayo visual). Recta que representa un rayo de visión; se traza desde el puntode vista hasta cualquier punto del objeto, y en su trayectoria corta al plano de cuadro.

Cono de rayos visuales (CRV). Cono que representa la amplitud de la visión delobservador. Contiene todos los rayos visuales de uno de sus ojos. Puede tenerhasta 75° en su vértice, pero en perspectiva se recomienda no considerarlo mayorde 60° ni menor de 30°.

Línea de fuga (LF). Línea mediante la cual se ubican y representan en perspectivalos puntos o líneas de todo objeto. Es una línea de procedimiento fundamental enperspectiva; define la ubicación, la magnitud y la representación adecuada depuntos y líneas, mediante los cortes entre dos o más de estas líneas de fuga, o entreéstos y algún otro tipo de trazo auxiliar. Siempre se dirige hacia un punto particu-lar, llamado punto de fuga.

Punto de fuga (PF). En su forma más general, el punto de fuga es todo aquelpunto de la perspectiva en el que convergen una o más líneas de fuga. Puede

localizarse dentro o fuera de la línea de horizonte. Dada esta última característica,se tienen dos tipos de puntos de fuga: uno que agrupa las líneas horizontales (pa-ralelas al plano geometral), y el que agrupa a las líneas inclinadas (formando unángulo) con respecto al mismo plano geometral.

Punto de distancia (PD). Son puntos de fuga exclusivos para las líneas del objetoo las fugas del mismo que, siendo horizontales y paralelas entre sí, formen unángulo de 45° con respecto al plano de cuadro. Son dos y se ubican en la línea dehorizonte, a izquierda y derecha del punto principal (PDI y PDD respectivamente).

Punto de fuga accidental (PFA). Es todo punto de la perspectiva en el que conver-gen las prolongaciones o líneas del objeto (fugas) que sean inclinadas con respectoal plano geometral y paralelas entre sí. Se clasifican en ascendentes y descendentesy se ubican arriba o abajo de la línea de horizonte.

En la figura 2.29 se muestra una representación en planta de los principales deestos conceptos, así como en la figura 3.30 se hace una representación en isométrico.


Figura 2.29. Representación en planta (vista superior)


Figura 2.30. Representación en isométrico


PERSPECTIVA PARALELA

3.1. Características y definición de la perspectiva paralela

La perspectiva paralela es aquella que presenta en una o más de sus caras princi-pales “paralelas” al plano de cuadro (PC).

Entre sus principales características podemos mencionar las siguientes:

1. Presenta un aspecto de cierta rigidez.2. Al utilizar el método de visuales, requiere un reducido espacio para procedi-

miento.

3.2. Descripción del método de visuales

El método se basa en una serie de trazos de procedimiento, de los cuales los rayosvisuales y el trazo llamado inicial son dirigidos desde el observador (PV) hacia elplano de cuadro (PC).

Los rayos visuales son dirigidos a los puntos importantes del objeto y debencortar el plano de cuadro.

En algunas ocasiones es necesario utilizar un trazo auxiliar que genera un puntollamado punto de alturas (PA). Con el auxilio del PA se traza una línea de alturas que

UNIDAD 3

42 PERSPECTIVA PARALELA

nos permite realizar las mediciones verticales necesarias, empezando por ubicarla LT (con altura 0.00) y la LH (con altura correspondiente a la del observador).

Además de los trazos mencionados, se requiere realizar las proyecciones de vi-suales, la proyección que ubica al punto de fuga, y con esto realizar las líneas defuga que al cortarse con las proyecciones de visuales o con otras líneas de fugaubican a los puntos del objeto ya perspectivado.

Para su mejor comprensión, el método descrito se ha dividido en dos etapas:trabajo de planta y abatimiento del plano de cuadro.

Primera parte: trabajo de planta

1. Se dibuja el objeto a perspectivar en planta y a escala (los puntos que lodefinen se marcan con mayúsculas).

2. Se define la posición del observador y del plano de cuadro (PV y PC) respecti-vamente.

3. Se trazan las visuales hacia el punto o puntos dominantes del objeto aperspectivar. Éstas deben cortar al plano de cuadro (su corte se marca con laletra minúscula del punto al que se dirigen).

4. Cuando los puntos del objeto se encuentran separados del plano de cuadro,se realiza un trazo auxiliar perpendicular al plano de cuadro. El contacto deesta perpendicular y el PC genera un punto llamado punto auxiliar o puntode altura (PA).

5. Se traza la visual principal (VP) y su contacto con el plano de cuadro se marcacomo el punto principal (PP).

NOTA: El trazo auxiliar (punto 4) siempre es perpendicular al PC en perspectivaparalela. No así en perspectiva oblicua, como se verá posteriormente.

Antes de iniciar la descripción de la segunda parte del procedimiento llamadoabatimiento del plano de cuadro, es conveniente explicar algunas consideracionesfundamentales.

Dado que la perspectiva se realiza en el plano de cuadro, éste se ha considera-do, hasta el momento, simplemente como una línea (visto desde arriba); resultaimposible mostrar en él alguna perspectiva. Es necesario abatirlo; girarlo hastaconseguir que quede horizontal, paralelo a nuestro papel. Este abatimiento se rea-liza suponiendo unido el PC con el PG en la LT (figuras 3.1 y 3.2).

Figuras 3.1 y 3.2

PG

T

L

PC

PG

TL

PC


Reunir la parte del trabajo de planta con el abatimiento del plano de cuadroimplica obtener la perspectiva encima del dibujo del objeto a perspectivar y detodos los trazos ya realizados en planta, lo que complica innecesariamente la cla-ridad del procedimiento y la limpieza del resultado final.

Es por eso que normalmente además de abatir el plano de cuadro, éste se trasla-da fuera, hacia arriba o abajo del plano geometral (figura 3.3).

Segunda parte: abatimiento del plano de cuadro

1. Se traza la línea de tierra (base del plano de cuadro, principio del campoperspectivo), arriba o abajo de planta.

2. Se trasladan las proyecciones de visuales (marcándolas con letra minúscula ycoma alta) en forma perpendicular hasta la nueva línea de tierra.

3. A partir de algún punto del objeto en contacto con el plano de cuadro o del PA

(punto auxiliar), se traslada su proyección hasta LT y se marca en ésta (proyec-ción) la altura del observador trazando la línea de horizonte (LH).

4. Posteriormente, por medio de una línea de proyección se traslada el puntoprincipal (de planta) hasta la línea de horizonte, lugar en el que funcionacomo punto de fuga (PF).

5. Desde la referencia del punto auxiliar (correspondiente en caso de ser varias),se fuga y se corta a la proyección del punto que está perspectivado, el corteentre la fuga y la proyección de visual, para determinar la ubicación del puntoperspectivado (que se marca con mayúscula y coma alta).

3.2.1. Aplicación del método de visuales dominantes en figuras geométricas yvolúmenes

Todas las figuras geométricas y los volúmenes, sean regulares o irregulares, se de-limitan por puntos.

La sucesión de puntos forma líneas, las líneas planos y los planos volúmenes.Todos los métodos perspectivos utilizan el punto como parte fundamental en el

proceso resolutivo.Para facilitar la comprensión del método de visuales dominantes y de sus varian-

tes, como la perspectiva paralela (que es la que nos ocupa) y la perspectiva obli-cua, se ha considerado conveniente analizar la representación perspectiva del punto(figuras 3.4 y 3.5).

Figura 3.3

Perspectiva

Perspectiva

TL

PC

PG

PC


3.2.2. El punto en perspectiva por el método de visuales dominantes

El punto puede encontrarse en dos posiciones con respecto al plano geometral: encontacto con él o en el espacio.

Iniciaremos analizando la primera posibilidad (figuras 3.6 y 3.7).

Figuras 3.4 y 3.5 Figuras 3.6 y 3.7

Punto

Dos líneas

Punto

Una línea y un plano

C

B

D

PV

PG

cbd

VP

PC PP

C

B

D

PV


Pimera parte: trabajo en planta

1. Se dibuja la ubicación de los puntos B, C y D (apoyados en el plano geometral),debemos notar que el punto D se localiza en el corte entre el PG y el plano decuadro (PC) (figura 3.6).

2. Se define la posición del observador (PV) y del plano de cuadro (PC).3. Se trazan las visuales a los diferentes puntos, marcando su corte con el PC con

letra minúscula (figura 3.7).4. Desde los puntos B y C, se baja una perpendicular al PC que genera a sus

respectivos puntos auxiliares. El punto D por estar en contacto con el PC tienea su punto auxiliar en él mismo (figura 3.8).

5. Se traza la visual principal (VP) y su contacto con el PC, se marca como puntoprincipal (PP).


1. Se traza la línea de tierra.2. Se trasladan las proyecciones de visuales (minúsculas con coma alta).3. A partir de alguno de los diferentes puntos auxiliares (de planta), se traslada su

proyección hasta la línea de tierra (LT), y se mide ésta para marcar la línea dehorizonte (LH) a la altura conveniente o señalada como dato (ejemplo 1.70).

4. Se traslada el punto principal a la línea de horizonte y se marca como puntode fuga (PF) (figura 3.8).

Figura 3.8

Pa cPa b

Pa d

1.70

Pa b

c`b`d` TL

HL PF

PC

PC

PG

PV

Pa c

PPcbd

C

D

B


El punto D, por encontrarse en contacto con el plano de cuadro, reúne tanto altrazo auxiliar como su punto auxiliar con su proyección de visual; por lo tanto, lalínea de fuga se corta con la proyección de la visual y su punto auxiliar en el puntod’, esto señala que es ahí donde se localiza la ubicación del punto D’ perspectivado.

Hasta el momento hemos analizado el método de visuales perspectivando pun-tos aislados, apoyados en el piso (PG) separados del PC y en contacto con éste. Esrecomendable realizar algunos ejercicios más, a fin de reforzar la comprensión delmétodo. Las figuras de la 3.10 a la 3.13 están destinadas a ser resueltas por ellector. En caso de tener dudas se recomienda volver a la lectura y análisis de laexplicación previa.

5. Desde el punto auxiliar correspondiente (Pa b, Pa c o Pa d) fugar al PF. El lugaren que esta fuga se corta con la proyección de visual del mismo punto (B, C oD), se localiza el punto perspectivado B’, C’ o D’ (figura 3.9).


PV

PG

PC

DC

BA



PV

PG

PC

DC

BA

DCBA

PV

PG

PC


Para realizar estos ejercicios, se deben utilizar todos los pasos indicados en ladescripción del método. La altura del observador (1.70) se dio sólo como ejemplo,por lo que puede modificarse o no. Ésta es una medida que representa la altura delobservador, pero por el momento no se está utilizando ninguna escala.

3.2.3. El cuadrado

Método de visuales dominantes, perspectiva paralela

Supongamos un cuadro apoyado en el plano geometral (PG) y en contacto con elplano de cuadro (PC).


Primera parte: trabajo en planta

1. Se empieza por dibujar el objeto A, B, C y D en planta y a escala (medida).2. Se marca la ubicación del plano de cuadro (PC) y del observador (PV). Para

fines explicativos y sólo por el momento también se marca el plano geometral(PG) (figura 3.14).

D

C B

A

PC

PV

PG

PV

PG

D

CB

APC


3. Desde el observador; es decir, el punto de vista (PV), se trazan las visuales a lospuntos dominantes que determinan la figura (A, B, C y D).

4. Se señala la visual principal (PV) y su contacto con el plano de cuadro, cono-cido como punto principal (PP) (figura 3.15).


1. Se ubica el campo perspectivo (lugar del papel en el que se realiza la pers-pectiva, arriba o abajo del trabajo de planta), lo que se consigue marcando lalínea de tierra (LT).

2. Se trasladan todas las proyecciones de visuales (perpendicularmente) hasta lalínea de tierra.

3. Con el dato de altura del observador y midiendo hacia arriba, desde la líneade tierra (altura cero), se traza la línea de horizonte (ejemplo 1.70).

4. Se traslada hasta la línea de horizonte la posición del punto principal (deplanta); éste, al entrar a perspectiva, trabaja como punto de fuga (PF).

5. Se fuga desde los puntos A y D hasta el punto de fuga (PF).6. Donde la fuga A-PF corta a la proyección de visual B se localiza el punto B’ de

perspectiva. En el corte de la fuga D-PF con la proyección de la visual delpunto C, se localiza su ubicación perspectivada C’.

7. Una los puntos A’, B’, C’, D’ (figura 3.16).

Figura 3.15

PP

PG

VP

RV

PV

D

CB

APC


3.2.4. Empleo de la escala de alturas

Los puntos que conforman los objetos no sólo se ubican en contacto con el planogeometral, porque los objetos también tienen altura. Hasta el momento se hanresuelto ejemplos en los que los puntos están en el piso (PG). Veamos la manera enla que se perspectiva la altura.

Para perspectivar la altura, se utiliza la línea llamada escala de alturas o tambiénlínea de alturas.

Esta línea de alturas requiere que el punto en el espacio sea referido al PG y PC.Para conseguir esta doble referencia, se procede realizando una proyección ortogonala cada uno de los planos mencionados: hacia el PG y hacia el PC (figura 3.17).


Pa

PG

PC

A

Proyeccionesortogonales

punto de alturasPa = Punto auxiliar o

Punto proyectadoal PC

Punto proyectado al PG

Punto enel espacio

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Figura 3.18

La proyección al PG en su representación de planta queda indicada precisamen-te abajo del punto en el espacio; es decir, el punto en el espacio cubre su propiaproyección, por lo que no se requiere realizar ningún otro trazo.

Para proyectar el punto hacia el PC, simplemente trazamos una perpendiculardesde éste hacia el PC y ahí lo señalamos como punto auxiliar (PA) (figura 3.18).

La proyección ortogonal del punto al plano de cuadro es un trazo auxiliar y elpunto auxiliar se convierte en punto de alturas (al estar en perspectiva). Además, alser proyectado hasta la línea de tierra, su proyección es la llamada línea o escalade alturas, en la cual se realizan mediciones verticales de los objetos; es decir, lasalturas de los puntos (figura 3.19).

Trazo auxiliar

PG

PV

A

Pa

PC

Figura 3.19


Figura 3.20

3.2.5. El punto en el espacio (separado del PG)

La obtención de la perspectiva de puntos en el espacio requiere del conocimientode su referencia en el plano geometral. La representación perspectiva de los pun-tos apoyados en este plano ya se ha descrito.

Supongamos que se desea obtener la perspectiva en puntos separados de PG

(elevados), los puntos E, F, y G, suspendidos en el espacio. Considérense los si-guientes datos:

• El punto E se localiza separado del plano de cuadro (como se indica en larepresentación de planta), y a una altura 3x separado del PG.

• El punto F se localiza en contacto con el plano de cuadro y a una altura de 2x.• El punto G se ubica separado del PC y la altura x respecto al PG.• La altura del observador (PV) es de 4x (superior a la altura de los puntos).• Las distancias entre punto de vista, plano de cuadro y los diferentes puntos,

serán las indicadas en la representación de planta.

Primera parte: trabajo en planta (figura 3.21):

1. Se dibuja en planta la posición de los puntos E, F y G (proyección hacia el PG).2. Se dibuja en planta la posición del PV y del PC (según datos).3. Se trazan visuales a los diferentes puntos y se marcan con minúscula sus

cortes con el PC.4. Trazamos auxiliares, se bajan perpendiculares al PC desde los puntos E y G. El

punto F por estar contenido en el PC tiene su trazo auxiliar en él mismo (estostrazos generan a los puntos auxiliares respectivos).

5. Se traza la visual principal y su contacto con el PC se marca como puntoprincipal PP.

PV

Rep

rese

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ión

en p

lant

a

GF

E

PC

PG

Pa f f

PPe

Pa e

g

Pa g

PV

Tra

bajo

de

plan

ta

GF

E

PC

PG

Figura 3.21


Figura 3.22


1. Se traza la línea de tierra.2. Se trasladan las proyecciones de visuales.3. A partir de alguno de los auxiliares perspectivados en la LT del PC y, sobre su tras-

lado, se mide la altura de observador (4x) y se traza la línea de horizonte (LH).4. Se traslada el punto principal (PP) a la línea de horizonte y se marca como un

punto de fuga (PF).5. Desde el punto auxiliar correspondiente (Pa g, Pa e, o Pa f ), se fuga a PF. El

corte entre proyección de visual y fuga determina las posiciones de los pun-tos, pero en el plano geometral (ejemplo e”, su referencia en piso); faltaubicarlos en el espacio.

6. Partiendo de la altura 3x marcada en la línea de alturas se fuga al PF; desdeel punto e”; fugue a infinito (trazo paralelo a la LT) hasta cortar la fuga delpunto de alturas Pa g; levante en ese corte una vertical hasta la fuga de 3x, ya partir de ese otro corte, nuevamente fugue a infinito, pero ahora hastacortar la proyección de la visual e, este último corte ubica la posiciónperspectivada (E’) del punto E, en concordancia con los datos.

Esta secuencia se repite (de manera aproximada) para localizar los puntos G y Fperspectivados.


Figura 3.23

El procedimiento completo y ampliado (para mayor claridad), se representa enla figura 3.23.

Se recomienda que el lector resuelva en forma aislada la perspectiva de cadauno de los puntos, empezando por el punto E. Esto le permitirá una menor canti-dad de trazos de procedimiento, facilitándole la comprensión de cada uno.

Asimismo, se recomienda que el ejercicio se resuelva considerando el punto enel espacio y su referencia en el PG y no como puntos aislados, sino como los pun-

tos externos de una línea; es decir, el ejercicio deja de ser para perspectivar puntosen el espacio y se convierte en ejercicio para perspectivar líneas verticales, condiferentes posiciones en el plano geometral y con diferentes alturas.

Nótese que los puntos auxiliares o puntos de alturas generan la línea de altu-ras, en la cual deben realizarse las mediciones verticales a los objetos o puntos,como en este caso.


Figura 3.24

3.3. Deducción de las reglas de la perspectiva paralela

Del conjunto de perspectivas realizadas hasta el momento podemos deducir losiguiente:

1. Las líneas rectas al ser perspectivadas continúan rectas (figura 3.24).


Figura 3.25

2. Las líneas verticales al ser perspectivadas se mantienen verticales (figura 3.25).


Figura 3.26

3. Las líneas horizontales paralelas a la línea de tierra al ser perspectivadas semantienen paralelas a esa línea (figura 3.26).


Figura 3.27

4. Las líneas horizontales y perpendiculares a la base del PC al ser perspectivadasfugan al punto de fuga central (PFC) (figura 3.27).


Figura 3.28. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos y volúmenes (inicio)

La aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes se muestra en lasecuencia que va de la figura 3.28 a la 3.35b.


Figura 3.28a. Aplicación del método de visuales dominantes. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.28b. Aplicación del método de visuales dominantes. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.29. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos y volúmenes. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.29a. Aplicación del método de visuales dominantes. PC en 1a. posición


Figura 3.29b. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos y volúmenes. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.30. Aplicación de método de visuales en polígonos. Perspectiva de las figuras “B, C y D” (secuencia gráfica)


Figura 3.30a. Aplicación del método de visuales en polígonos. Perspectiva completa (secuencia gráfica)


Figura 3.30b. Aplicación del método de visuales en polígonos. Perspectiva completa (secuencia gráfica)


Figura 3.30c. Aplicación del método de visuales en polígonos. Perspectiva completa (secuencia gráfica)


Figura 3.31. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.31a. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.31b. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.31c. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.31d. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.31e. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.31f. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.32. Aplicación del método de visuales en polígonos. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.32a. Aplicación del método de visuales en polígonos. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.32b. Aplicación del método de visuales en polígono. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.33. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.33a. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.33b. Aplicación del método de visuales en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.34. Método de visuales. Perspectiva paralela en círculo y cilindros (secuencia gráfica)


Figura 3.34a. Método de visuales. Perspectiva paralela en círculo y cilindros (secuencia gráfica)


Figura 3.34b. Método de visuales. Perspectiva paralela en círculo y cilindros (secuencia gráfica)


Figura 3.34c. Método de visuales. Perspectiva paralela en círculo y cilindros (secuencia gráfica)


Figura 3.35. Aplicación del método de visuales en polígonos (secuencia gráfica)


Figura 3.35a. Aplicación del método de visuales en polígonos (secuencia gráfica)


Figura 3.35b. Aplicación del método de visuales dominantes en polígonos y volúmenes. PC en 1a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.36

3.4. Descripción del método de la línea a 45°

El método de la línea a 45° se realiza en dos etapas. La primera es el trabajo deplanta, mientras que la segunda (al igual que en el método de visuales dominantes)se denomina abatimiento del PC u obtención de la perspectiva.

En la etapa de trabajo de planta se realizan traslados de todos los puntos a pers-pectivar. Estos traslados son líneas que se proyectan (desde los puntos a perspectivar)hacia el plano de cuadro, mediante líneas a 45° y por cada punto se realizan dostraslados: uno de izquierda a derecha y el otro inverso.

Conocida la ubicación del punto de vista, también se trazan líneas a 45° haciael PC (en sus dos direcciones) y se ubican los puntos de distancia izquierdo y dere-cho de planta.

Por último, todos los traslados y sus referencias en el PC, así como los puntos dedistancia (PDI y PDD) son proyectados hacia el campo perspectivo.

En las figuras 3.36 y 3.37 podemos observar el desarrollo del método de la líneaa 45°, el cual se inicia con la representación del objeto en planta, y el conocimien-to de la ubicación del PC y del PV.

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Figura 3.37

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Figura 3.38

Posteriormente, se realizan los trazos iniciales (PDI y PDD) y todos los traslados.Este método, al abatir el PC, consigue perspectivar los puntos, figuras o volúme-

nes, mediante el corte de dos fugas.Las fugas se originan a partir de los traslados marcados en la LT y su trazo hacia el

punto de distancia izquierdo y el punto de distancia derecho, según corresponda.

Cabe observar que los traslados al cortar el PC reciben el nombre del punto delque surgen, y el subíndice que tienen, que puede ser “i” o “d”, según el trasladosea paralelo al trazo inicial izquierdo o derecho. Esto permite determinar fácil-mente hacia qué punto de distancia deben fugar (figura 3.38).


Figura 3.39

La figura 3.39 muestra la aplicación completa del método: el trabajo de planta yel abatimiento del plano de cuadro.

Analice la manera en la que se obtiene el punto perspectivado 4’. De la mismaforma se prosigue para ubicar 1, 2 y 3 perspectivados.


Figura 3.40

3.4.1. Empleo de la escala de alturas

En el método de la línea a 45° debemos considerar que cada uno de los trasladosgenera un punto auxiliar o punto de alturas. Con esto queda claro que cada uno deestos traslados y su proyección hacia la línea de tierra puede ser utilizado como lalínea de alturas y realizar en cada una de ellas las mediciones de los diferentespuntos elevados del objeto.

Por otra parte, el método de la línea a 45° puede prescindir del dibujo de plantamediante el uso de la escala de alturas, y de la escala de anchuras.

Para utilizar una escala de alturas, sólo se necesita seleccionar alguna de lasproyecciones de traslado y en su corte con la línea de tierra se marca el cero paraposteriormente subdividir en una determinada distancia, hasta alcanzar la mayoraltura de los puntos u objetos a perspectivar (figura 3.40).

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Figura 3.41

Debemos notar que la escala de alturas es una línea en la que se miden lasdiferentes alturas de los puntos u objetos, pero las mediciones hechas en esta “es-cala” deberán transportarse, horizontalmente, a las proyecciones de los trasladosde los puntos a los que se desea dar altura, para posteriormente realizar las fugasaltas hacia el punto de distancia izquierdo (PDI) y el punto de distancia derecho(PDD). El cruce de éstas determina la posición de los puntos perspectivados a laaltura deseada.

Por otra parte, todas las mediciones verticales deben realizarse a partir de la LT;es decir, la escala de alturas invariablemente deberá surgir de la LT.

3.4.2. Empleo de la escala de anchuras

La escala de anchuras es una subdivisión realizada en la línea de tierra. Es frecuen-te que su origen sea el mismo que utiliza la escala de alturas.

Es conveniente reiterar que tanto la escala de alturas como la escala de anchurasubican su origen en la línea de tierra de la perspectiva, lo que quiere decir que sutrabajo se realiza a lo alto y a lo ancho del plano de cuadro. Sólo ahí, en el PC, lasmedidas son reales. Toda medición realizada fuera de este plano será necesaria-mente modificada por el efecto de fugas y, por lo tanto, errónea.

Al utilizar la escala de anchuras y para evitar el dibujo en planta del objeto aperspectivar, el conocimiento de éste, la ubicación del PC y la posición del PV sondatos que siempre deberán conocerse; es evidente que nunca se podrá realizar laperspectiva de algo desconocido, pero tampoco podemos aplicar método algunosi no se ha definido claramente la posición de PC y la ubicación del observador (PV).

La ubicación de la escala de anchuras se inicia determinando la posición de suorigen, pero además debemos conocer la ubicación del punto principal, que como seha dicho anteriormente depende del punto de vista, dado que el primero (PP) es elresultado de una perpendicular dirigida desde el segundo (PV) hacia el plano de cuadro.

Conociendo todos estos datos se ubica el origen de la escala de anchuras en lalínea de tierra, se subdivide ésta y se procede a ubicar, con base en la distancia queexiste entre PP y PV, la posición del punto de distancia izquierdo (PDI) y el punto dedistancia derecho (PDD) sobre la línea de horizonte.

Dado que la línea de horizonte ya se tiene trazada a la altura requerida y esamedición de altura se efectuó sobre la escala de alturas y su origen definido comocero, se toma preferentemente ese origen también para la escala de anchuras y semiden en ella todas las profundidades o alejamientos que presente el objeto parafugar a los puntos de distancia.

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Figura 3.42

La figura 3.41 muestra al objeto a perspectivar, la posición de PC y la ubicaciónde PV; además, se indican las mediciones (unidades de medición) usadas, la escalaen que se muestra el dibujo, la altura del objeto y la altura del observador. Enconclusión, se tienen todos los datos necesarios para efectuar la perspectiva, lacual podrá realizarse utilizando todos los trazos marcados por el procedimiento ypartiendo de la planta, como ya se mostró, o sin dibujar la planta y usando lasescalas de altura y de anchura, como a continuación se describe:

1. Se traza una línea vertical. Puede ser a partir de la visual principal, la conti-nuación de alguno de los trazos de la figura (perpendiculares al PC) o inclusofuera del objeto a perspectivar (el ejemplo utiliza la primera oPCión).

2. En la parte baja de la línea vertical se traza una línea horizontal. En la uniónde estas dos líneas tenemos el origen de las dos escalas y se procede a subdi-vidirlas (figura 3.42).

3. En la escala de alturas y a la altura del observador, trazamos la línea de hori-zonte.

4. Con el dato de distancia entre PV y el plano de cuadro, se marcan los puntosde distancia, midiendo en la escala de anchuras y trasladando hacia la LH, 50 i;para el PDD y 50 d para el PDI.

5. Para ubicar los vértices del objeto es necesario analizar su posición relativarespecto a la ubicación del eje de alturas; es así que para perspectivar alpunto A analizamos su alejamiento del PC. Para este caso, A queda alejadodel PC diez unidades (figuras 3.43 y 3.44).

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Figuras 3.43 y 3.44


Figura 3.46

Considerando que el método trabaja realizando dos traslados de 45° cada unodesde el punto a perspectivar hacia el PC y dado que sabemos, según las leyes desenos y cosenos de trigonometría, que un triángulo rectángulo posee dos catetosiguales y su hipotenusa mayor, se tiene que el alejamiento del punto respecto al PC

es uno de los catetos y el otro cateto tiene un ángulo de 90° (rectángulo) por lo quesu dimensión es la misma, siendo entonces la hipotenusa el traslado que marca elmétodo, y el alejamiento es la dimensión idéntica para los dos catetos. En la figura3.45 se muestra el resultado, aplicando la perspectiva sin planta.

El punto A del objeto al ser analizado en planta muestra un cateto con aleja-miento de 10 unidades y los otros dos correspondientes a los traslados de 10 uni-dades también (cada uno) sobre el PC (figura 3.46).

Al analizar su posición en planta respecto al origen de la escala de anchuras, setiene (como se muestra en la figura 3.46) que el traslado paralelo al trazo inicializquierdo coincide con el origen, el alejamiento se ubica en la división que marcael 10d y el traslado paralelo al trazo inicial derecho se ubica en la división 20d.

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Figura 3.45


Figura 3.47. Método de la línea a 450 en perspectiva paralela. PC en 1a. posición

Es importante analizar cada uno de los puntos de la figura a perspectivar de laforma como que se ha indicado; el alejamiento del punto respecto al PC, el puntoque se ubica en el traslado izquierdo y el traslado derecho sobre la escala deanchura, marcando además el subíndice “i” o “d” según corresponda, se pueden

observar en las figuras que van de la 3.47 a la 3.55e puesto que esto nos indica elpunto de distancia al que se debe fugar (PDI O PDD).

Perspectiva de la figura en el plano geometral(sin alturas) y el análisis general de planta


Figura 3.48. Método de la línea a 450 en perspectiva paralela. PC en 2a. posición


Figura 3.49. Método de la línea a 450 de aplicación en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.49a. Método de la línea a 450 de aplicación en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.49b. Método de la línea a 450 de aplicación en polígonos y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.49c

NOTA: Es importante observar en esta lámina la aparición del PFC, como se ha podido ver en lasláminas anteriores e incluso en ésta. El PFC no es necesario en este procedimiento, sin embargo,note que al mostrarlo en la perspectiva todas las fugas dirigidas hacia él coinciden perfectamentecon el resultado previamente obtenido.


Figura 3.50. Aplicación del método de la línea a 450 en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.50a. Aplicación del método de la línea a 45o en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.50b. Aplicación del método de la línea a 450 en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.50c. Aplicación del método de la línea a 450 en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.50d. Aplicación del método de la línea a 450 en polígonos y volúmenes. PC en 2a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.51. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.51a. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.51b. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.51c. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en círculo y cilindro (secuencia gráfica)


09 = Figura 3.51d. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.52. Método de la línea a 450. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)

NOTA: Observe que las fugas que no se unen entre sí, antesdel PC o su representación en perspectiva LT, deben ser pro-longadas hasta encontrar la fuga correspondiente y así definirel punto o elemento que se desea perspectivar.


Figura 3.52a. Método de la línea a 45º. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.52b. Método de la línea a 45o. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)

NOTA: Observe que las fugas que no se unen entre sí, antesdel PC o su representación en perspectiva LT, deben ser pro-longadas, hasta encontrar la fuga correspondiente y, así, defi-nir el punto o elemento que se desea perspectivar.


Figura 3.52c. Método de la línea a 450. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.52d. Método de la línea a 450. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.52e. Método de la línea a 450. Aplicación en polígonos y volúmenes. PC en 3a. posición (secuencia gráfica)


Figura 3.53. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.53a. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.53b. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.53c. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.53d. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, círculo y cilindro (secuencia gráfica)


Figura 3.54. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.54a. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.54b. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.54c. Método de la línea a 450. Perspectiva oblicua, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.55. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.55a. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.55b. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)


Figura 3.55c. Método de la línea a 450. Perspectiva paralela, aplicación en figuras geométricas y volúmenes (secuencia gráfica)

134 COMPOSICIÓN EN LA PERSPECTIVA

guir esto, debe considerarse al objeto fijo y al observador móvil, capaz de ubicarseen cualquier punto de los 360o de una circunferencia en torno del objeto.

La ubicación de PV alrededor del objeto muestra diferentes aspectos del mismo.Es evidente que el PV 1 mostrará un resultado perspectivo muy diferente al que seobtendrá trabajando con el PV 4 (figura 4.1)

4.3. Posición del plano de cuadro

La posición del PC puede ser analizada sólo desde dos variables: a) el ángulo queforme con respecto al PG (inclinación del PC), y b) su ubicación respecto a la distan-cia entre PV y el objeto (posición del PC respecto al PV–objeto).

Al analizar el ángulo de contacto entre PC y PG se tiene que el PC puede adoptartres posiciones típicas respecto al plano de sustento geometral, que son:

• Plano de cuadro vertical• Plano de cuadro inclinado atrás• Plano de cuadro inclinado adelante.

Estas definiciones además de considerar al PG, también toman como referenciala posición del observador (figuras 4.2, 4.3 y 4.4).

Figura 4.1 Figura 4.2 Plano de cuadro vertical


UNIDAD 5

EXTERIORES EN PERSPECTIVA PARALELA

El análisis de los objetos a perspectivar es fundamental. Es necesario conocer ple-namente sus dimensiones horizontales y verticales. Tratándose de elementos o con-juntos arquitectónicos, su análisis y representación se basa en el juego de planosen los que se muestran sus plantas, cortes y fachadas.

Luego del análisis de plantas, cortes y fachadas, deberá plantearse, como unaprimera posibilidad, la posición y distancia del PV, la ubicación más convenientepara el PC y la altura del observador. Partiendo de esto, el dibujante podrá visualizarel resultado de la futura perspectiva, destacando aquellos aspectos que, a su jui-cio, sean sobresalientes o de mayor interés técnico o artístico en la obra arquitec-tónica.

Por otra parte, para seleccionar el método a utilizar en una perspectiva, se de-ben tomar en cuenta los siguientes aspectos:

• Complejidad del exterior arquitectónico• La menor o mayor cantidad de trazos de procedimiento• Disponibilidad de espacio para trabajar el método.

Dadas las características propias de los métodos ya estudiados, se deberá utili-zar el que en opinión del dibujante proporcione mayor número de ventajas: preci-sión, limpieza de resultado y rapidez de ejecución, entre otras.

144 EXTERIORES EN PERSPECTIVA PARALELA

Como ya se ha mencionado, el manejo adecuado de los elementos de la com-posición perspectiva asegura que el resultado satisfaga los deseos del dibujante.Para tener certeza de que un trabajo terminado cumplirá nuestras expectativas, esrecomendable realizar uno o más bosquejos previos al trabajo formal. Dibujar amano alzada, de manera sencilla y rápida, la planta, la posición del PV, del PC y laaltura del observador, permitirá una perspectiva provisional que mostrará un resul-

tado muy aproximado al que se obtendrá al utilizar el método completo con esosdatos de composición.

Este bosquejo permite hacer los ajustes necesarios para garantizar que el trabajofinal muestre lo deseado.

En las figuras 5.1 a 5.7 podrá observar distintas aplicaciones de los métodos de visua-les dominantes y de línea a 450 en perspectivas paralelas de exteriores arquitectónicos.


Figura 5.1. Aplicación en exteriores arquitectónicos. Perspectiva paralela exterior (método de la línea a 450)

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Figura 5.2. Datos para la elaboración de perspectivas exteriores por los métodos de visuales dominantes y línea a 450

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Figura 5.3. Perspectiva paralela exterior. Método de visuales

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PV

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LTLHPC


Figura 5.4. Perspectiva paralela exterior. Método de la línea a 450. PC en 4a. posición

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Figura 5.5. Perspectiva paralela. Método de visuales dominantes. PC en 1a. posición

Perspectiva ampliada

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L

T

H

PV

PC


Figura 5.6. Perspectiva exterior paralela


Figura 5.7. Perspectiva paralela exterior

1 5 3SECUENCIAS GRÁFICAS DE PERSPECTIVA

INTERIORES EN PERSPECTIVA PARALELA

Para realizar una perspectiva de interiores se deben analizar las características delobjeto a perspectivar, en especial los datos de las dimensiones horizontales (anchoy largo), además de las medidas verticales que se obtienen de los cortes arquitec-tónicos o alzados.

Al igual que en el caso de una perspectiva exterior, para una interior deberánconsiderarse los puntos siguientes:

• Complejidad del interior arquitectónico• La menor o mayor cantidad de trazos de procedimiento• Disponibilidad de espacio para trabajar el método.

El análisis de la composición deberá considerarse como un ejercicio de imagi-nación mediante el cual se visualice el resultado perspectivo.

Para quien se inicia en el conocimiento de la representación perspectiva proba-blemente no resulte muy fácil el proceso de transformar mentalmente un gráficobidimensional, como una planta o corte arquitectónicos, hasta visualizarla comoalgo tridimensional. Por ello, deben realizarse ejercicios en los que se dibuje laplanta del local a perspectivar y se ejecuten diversos ensayos hasta conseguir elefecto deseado. Estos ensayos deberán cambiar o modificar uno o más elementosde la composición perspectiva, sea la altura del observador, la posición del PC, elalejamiento o ubicación del PV.

UNIDAD 6

1 5 4 INTERIORES EN PERSPECTIVA PARALELA

Sólo practicando de esta manera se podrá adquirir la experiencia necesariapara disminuir, primero, y prescindir, después, de estos ejercicios.

Las figuras 6.1 a 6.6 muestran diversos aspectos de la realización de perspecti-vas interiores.

Figura 6.1. Aplicación en interiores arquitectónicos de la perspectiva paralela interior

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Figura 6.2. Planta para la ejecución de la perspectiva paralela interior

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Figura 6.3. Cortes arquitectónicos para la perspectiva paralela interior

2.500.60

0.60

0.60

0.30

0.200.70

3.00

0.40

0.70

1.90

0.50

1.60

0.800.50

0.30

3.15

Datos:Esc.: 1:100Acot. : mAlt. obs. : 1.70Alt. total : 3.00


Figura 6.4. Perspectiva paralela interior. Método de visuales dominantes. PC en 4a. posición. Local (secuencia gráfica)

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Figura 6.5. Perspectiva paralela interior por el método de visuales dominantes. PC en 4a. posición. Local y envolventes (secuencia gráfica)

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Figura 6.6. Perspectiva paralela interior por el método de visuales dominantes con PC en 4a. posición. Local y envolventes

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Figura 6.6a. Perspectiva paralela interior. Método de visuales dominantes


Figura 6.7. Perspectiva paralela interior


Figura 6.8. Perspectiva paralela interior

Impreso en los Talleres Gráficosde la Dirección de Publicaciones del

Instituto Politécnico NacionalTresguerras 27, Centro Histórico, México, D. F.

Agosto del 2001. Edición 1 000 ejemplaresCUIDADO EDITORIAL Y CORRECCIÓN: Carmen Sánchez Crespo

DISEÑO DE PORTADA: Wilfrido Heredia Díaz

[Pérez Ramírez, José Antonio] Secuencias Gráfi(Bookzz.org)

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