PFC Ingenieros v5

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS UNIVERSIDAD DE SEVILLA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

PROYECTO FIN DE CARRERA

DESARROLLO DE PRÁCTICAS PARA UN LABORATORIO DE

COMUNICACIONES Autor: Francisco Sivianes Castillo Director: José Luís Calvo Borrego Sevilla, 20 de Octubre de 2006

Desarrollo de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones Francisco Sivianes Castillo

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PROYECTO FIN DE CARRERA

DESARROLLO DE PRÁCTICAS PARA UN LABORATORIO DE

COMUNICACIONES

Francisco Sivianes Castillo


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Índice General

SECCION 1.- INTRODUCCION, JUSTIFICACION Y OBJETO DEL PROYECTO

1. Introducción_______________________________________________________5

2. Justificación del Proyecto___________________________________________7

2.1. Modelo de Proyecto Docente__________________________________________8

2.2. Objetivos / Competencias_____________________________________________9

2.3. Contenidos________________________________________________________10

2.4. Métodos – Actividades de Aprendizaje__________________________________10

2.4.1. Clases de Teoría__________________________________________________11

2.4.2. Clases de Problemas_______________________________________________11

2.4.3. Prácticas de Laboratorio____________________________________________12

2.4.4. Tutorias_________________________________________________________13

2.4.5. Seminarios______________________________________________________13

2.5. Evaluación________________________________________________________15

2.5.1. Introducción_____________________________________________________15

2.5.2. Propósitos y criterios para la evaluación_______________________________15

2.6. Gestión del Conocimiento y Medios____________________________________17

2.6.1. Gestión del Conocimiento__________________________________________17

2.6.2. Medios_________________________________________________________17

2.7. Fuentes Bibliográficas_______________________________________________18

2.7.1. Internet_________________________________________________________19

3. Objetivos del Proyecto_____________________________________________20

SECCION 2.- DESARROLLO DEL PROYECTO

4. Conjunto de Prácticas para un Laboratorio de Comunicaciones________21

4.1. Práctica 1: Análisis Espectral de Señales________________________________23

4.1.1. Práctica LTC-01: Análisis Espectral de una Señal Senoidal________________29

4.1.1.1. Problema PTC0004-07___________________________________________33

4.1.2. Práctica LTC-02: Análisis Espectral de una Señal Cuadrada_______________37

4.1.2.1. Problema PTC0004-08___________________________________________43

4.1.3. Práctica LTC-03: Análisis Espectral de una Señal Triangular______________48

4.1.3.1. Problema PTC0004-09___________________________________________52

4.1.4. Práctica LTC-04: Análisis Espectral de un Tren de Pulsos Sample__________58


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4.1.4.1. Problema PTC0004-10___________________________________________63

4.2. Práctica 2: Análisis Espectral de Sistemas_______________________________77

4.2.1. Práctica LTC-05: Análisis Espectral de un Sistema RC Paso de Baja________82

4.2.1.1. Problema PTC0004-11___________________________________________88

4.2.2. Práctica LTC-06: Análisis Espectral de un Sistema RC Paso de alta_________96

4.2.2.1. Problema PTC0004-12__________________________________________102

4.2.3. Práctica LTC-08: Análisis Espectral de un Sistema RLC Paso de Baja______110

4.2.3.1. Problema PTC0004-14__________________________________________117

4.3. Práctica 3: Transmisión de Señales en Cables___________________________133

4.3.1. Práctica LTC-12: Reflexiones en un Par Trenzado______________________137

4.3.1.1. Problema PTC0004-21__________________________________________144

4.3.2. Práctica LTC-14: Reflexiones en un Coaxial__________________________148

4.3.2.1. Problema PTC0004-24__________________________________________155

4.4. Práctica 4: Ruido y Errores de Transmisión_____________________________171

4.4.1. Práctica LTC-26: Ruido y Errores de Transmisión______________________174

4.4.1.1. Problema PTC0004-35__________________________________________181

4.4.1.2. Problema PTC0004-36__________________________________________189

4.5. Práctica 5: Interfaz RS-232 (V.24) ___________________________________193

4.5.1. Práctica LTC-16: Interfaz RS-232 (V.24)_____________________________196

4.5.1.1. Problema PTC0004-22__________________________________________201

4.6. Práctica 6: Digitalización de Señales__________________________________204

4.6.1. Práctica LTC-11: Digitalización de una Señal Senoidal__________________208

4.6.1.1. Problema PTC0004-24__________________________________________222

4.7. Práctica 7: Modulación_____________________________________________229

4.7.1. Práctica LTC-20: Modulación en Amplitud: Señal Senoidal_______________233

4.7.1.1. Problema PTC0004-28__________________________________________239

4.7.2. Práctica LTC-21: Modulación en Amplitud: Señal Cuadrada______________243

4.7.2.1. Problema PTC0004-29__________________________________________250

4.7.3. Práctica LTC-23: Modulación en Frecuencia: Señal Senoidal______________256

4.7.3.1. Problema PTC0004-31__________________________________________261

SECCION 3.- CONCLUSIONES Y FUTURAS AMPLIACIONES

5. Conclusiones y Futuras Ampliaciones_________________________266

6. Referencias______________________________________________268


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1.- INTRODUCCION

Tanto la Electrónica Industrial como la Informática, como las Comunicaciones

poseen un triple carácter disciplinar: como una parte de la Matemática, como una

Ciencia y como una Ingeniería. Cada uno de ellos emplea una metodología o proceso de

trabajo académico y profesional que, si bien no suele ser exclusiva, sí es característica.

Uno de dichos procesos, la teoría, es similar al que se usa en el desarrollo de teorías

matemáticas coherentes. Tiene los siguientes elementos principales:

Definiciones y axiomas

Teoremas

Pruebas

Interpretación de resultados

Este proceso es el usado en el desarrollo y comprensión de los principios

matemáticos que sustentan las Comunicaciones y la Electrónica. Ejemplo de aplicación

en ambas asignaturas son, Teoría de la señal, Teoremas de la Teoría de Circuitos:

Thevenin, Norton, Superposición, etc., la conservación de la energías.

El segundo proceso, la abstracción, se entronca en las ciencias experimentales y

contiene los siguientes elementos:

Recogida de datos y formación de hipótesis

Modelado y predicción

Diseño de experimentos

Análisis de resultados

El proceso de abstracción en las comunicaciones incluye por una parte el

modelado de posibles aspectos conceptuales, estructuras de datos, arquitecturas, etc.; y


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por otra parte la comprobación de esos modelos, de diseños alternativos, o de la propia

teoría subyacente.

El tercer proceso, el diseño, se relaciona con la ingeniería y se usa en el

desarrollo de un dispositivo o sistema para la resolución de un problema determinado.

Consta de las siguientes partes:

Requisitos

Especificaciones

Diseño e Implementación

Prueba y Análisis

Cuando un profesional ingeniero se enfrenta con el proceso de diseño, está

conceptualizando y realizando sistemas en el contexto de las restricciones del mundo

real. Los alumnos deben aprender a diseñar tanto por experiencia directa como mediante

el estudio de los diseños de otros. Muchas prácticas y proyectos de laboratorio están

orientadas al proceso de diseño, dando a los estudiantes una experiencia de primera

mano en el desarrollo de un sistema o de un componente de un sistema para la

resolución de un problema particular.


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2.- JUSTIFICACION

En el mundo globalizado en que vivimos en este siglo XXI se disponen de unos

recursos de almacenamiento, de procesamiento y de comunicación que si se gestionan

de forma eficaz ayudarán enormemente en el avance del conocimiento. Esto posibilita la

capacidad de adaptación de una civilización para solucionar los problemas actuales y

futuros, desde un enfoque donde predomina la construcción del propio conocimiento; es

decir:”el aprender a aprender”, potenciando en las personas las competencias que la

Sociedad va demandando. Por otra parte, se deberá actualizar, profundizar y enriquecer

el primer saber a lo largo de toda la vida para ir adaptándose a los cambios que el

mundo plantea.

Vamos a resumir algunas de las competencias que creemos son el núcleo de una

buena formación y que están ligadas muy directamente a la metodología del aprendizaje

en el sentido de potenciar la construcción del propio conocimiento y la capacitación

tanto para la realización de proyectos significativos, como para la resolución de

problemas que demanda nuestro contexto social.

Por otra parte, en las directrices para el desarrollo curricular de las Tecnologías de la

Información y las Comunicaciones en el siglo XXI [CARE01], en cuanto a los aspectos

competenciales y metodológicos coincide a grandes rasgos con lo anteriormente

expuesto; pero vamos a destacar algunos aspectos.

En primer lugar el problema que representa la identificación de los

conocimientos necesarios para alcanzar las competencias deseadas, es decir ser capaces

de conjugar lo básico con lo específico en el título de Grado.

Otro aspecto relevante que aporta el estudio, es que ante la complejidad de los

equipos y sistemas modernos, es importante tener una visión global, y además ser capaz

de analizar, representar y separarlos en subsistemas. Es decir, saber aislar problemas y

resolverlos, facilitando la comunicación entre las diferentes personas que participan en

los mismos.

Otra característica a considerar es estrechar la relación entre industria,

investigadores y profesores que trabajan en desarrollo de las tecnologías.

Es importante saber transferir los conocimientos que se han aprendido a otro

contexto. El estudio también hace hincapié en que es preciso saber aplicar las técnicas a

los problemas reales fomentando la concepción amplia de sistemas teniendo en cuenta

las limitaciones prácticas, tecnológicas y humanas en la resolución de los mismos.


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Desde el punto de vista legislativo, la LOU nos define la actividad docente en

los siguientes términos:

“La actividad y la dedicación docente, así como la formación del personal docente

de las Universidades, serán criterios relevantes, atendida su oportuna evaluación,

para determinar su eficiencia en el desarrollo de la actividad profesional”.

En cuanto la Ley Andaluza de Universidades [LAU03] la creación de la Agencia

Andaluza de Evaluación de la Calidad y Acreditación que, entre sus funciones

asume “La certificación de los sistemas y procedimientos de la calidad de las

universidades, y en especial los referidos a la actividad docente del profesorado de

las universidades...”.

Pero la calidad en su aspecto más amplio se debe regir por los criterios de la Unión

Europea, que en su documento sobre Educación Superior [CARE01] se plantea

como objetivo general:”convertirse en la sociedad del conocimiento más dinámica y

competitiva del mundo, capaz de implantar un crecimiento económico sostenido,

más cantidad y mejor calidad de empleos, y una mayor cohesión social”

2.1.- MODELO DE PROYECTO DOCENTE

Uno de los modelos más ampliamente empleado para la planificación de los

programas formativos es el que podemos ver en la Figura 1. Como puede observarse en

dicha figura, se ha añadido un aspecto de especial relevancia en el mundo actual como

es la gestión del conocimiento. Efectivamente, la incorporación y utilización de las

Tecnologías de la Información y las Comunicaciones en todos los procesos de

formación necesita incorporar este aspecto clave que consiste, básicamente, en gestionar

de forma eficaz el conocimiento.


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Modelo de Planificación

Figura 1

2.2.- OBJETIVOS / COMPETENCIAS

Vamos a destacar las competencias generales, que vamos a desarrollar para conseguir

nuestros objetivos en nuestro proyecto docente:

1. Capacidad de análisis y síntesis.

2. Capacidad para aprender.

3. Capacidad para plantearse y resolver problemas complejos.

4. Capacidad para aplicar los conocimientos prácticos.

5. Habilidad para realizar buenas medidas experimentales.

Entorno Socioeconómico y

Profesional

OBJETIVOS / COMPETENCIAS

CONTRUCCION DEL PROGRAMA

METODOS Y ACTIVIDADES

EVALUACION

Entorno Universitario

Marco Conceptual

GESTION DEL CONOCIMIENTO


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6. Habilidades para la gestión de la información.

7. Capacidad para trabajar de forma autónoma.

8. Capacidad para trabajar en equipo.

9. Capacidad de organización y gestión.

La prioridad de unas determinadas competencias con respecto a otras dependerá de las

asignaturas.

2.3.- CONTENIDOS

Los contenidos están de acuerdo con los Objetivos – Competencias que se

quieren conseguir después del proceso de Enseñanza –Aprendizaje, pero a nivel general

se organizan en:

1. Los principios

2. Las leyes y las teorías.

3. Los modelos.

4. Los sistemas complejos.

5. Los procedimientos de análisis.

6. Los diseños.

7. Las técnicas de medida.

8. Los servicios innovadores.

2.4.- METODOS – ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

Vamos a efectuar en esta sección una presentación y discusión de las principales

actividades docentes que se realizan a lo largo del curso académico.

Como punto de partida obtenemos mediante una encuesta los conocimientos

previos básicos de los alumnos, el interés por la asignatura, lo que les gustaría aprender

y la carga docente de cursos anteriores. Lógicamente existe un factor muy importante a

tener en cuenta: los recursos que disponemos. Es necesario construir el conocimiento

usando lo que tenemos, siendo aspectos a tener en cuenta las horas de clases teóricas,


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horas de clases prácticas, número de alumnos, disponibilidad de Laboratorios, etc... La

aplicación en grupos reducidos como es el caso de algunas asignaturas optativas es

lógicamente más fácil y directo de implementar.

2.4.1.- Clases de Teoría

Antes de cada lección se recuerdan los conceptos claves de la lección anterior:

conocimientos previos, así como el guión de lo que se va a explicar.

Usaremos las técnicas expositivas en las clases teóricas usando unas buenas

transparencias ajustadas a una buena estructura conceptual, intentando hacer participar

activamente al alumno, si la clase es de un número reducido de alumnos como es el caso

de Tecnología de Comunicaciones la participación se consigue de una forma fácil y casi

natural, en grupos más grandes como Tecnología de Computadores resulta bastante más

complejo. En cualquier caso para lograr estos objetivos es necesario dotar a la

exposición de un dinamismo que supere el puro monologo; por ello es conveniente la

introducción de nuevos conceptos o relaciones con ejemplos y casos concretos

ilustrativos

2.4.2.- Clases de Problemas

La resolución de problemas permite una muy positiva realimentación alumno-

profesor que hace que mejore el aprendizaje al poder detectar y revisar aquellos

conceptos, principios o análisis que han presentado más dificultad de comprensión a los

estudiantes y comprobar si se han asimilado los conceptos a través de las aplicaciones

más prácticas.

En las clases de problemas, debe existir una mayor participación de los alumnos

con el consiguiente aumento de su nivel de actividad, ya que la materia básica ha sido

expuesta previamente en las clases de teoría. El profesor debe tener en estas clases una

actividad más distendida, en orden a facilitar la participación.

Aunque en la Universidad es frecuente que la ratio de alumnos/profesor sea la

misma en grupos de teoría y de problemas o aplicación, lo deseable sería que en éstas


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los grupos fueran más reducidos de tal forma que se facilitara el contacto y el

seguimiento del profesor por parte de los estudiantes.

2.4.3.-Prácticas de Laboratorio

Las Prácticas de laboratorio permiten la aplicación de los principios de diseño

expuestos en teoría además de permitir el aprendizaje de las técnicas y los instrumentos,

tanto software como hardware, que los estudiantes habrán de manejar en su vida

profesional.

Las prácticas contribuyen a cubrir otros tres objetivos que consideramos básicos:

la experiencia de trabajo en equipo, la comunicación oral (discusión de resultados) y

escrita (memoria) y la familiarización con la profesión.

Las prácticas de laboratorio pueden ser de distintos tipos:

- Realización de medidas para comprobar el uso del comportamiento de los

circuitos y los modelos que más se ajustan a dicho comportamiento real, para diferentes

señales con diferentes parámetros.

- Diseño de subsistemas de equipos complejos, así como la medida de su

correcto comportamiento.

La realización de unas buenas prácticas de Laboratorio, si la asignatura está bien

estructurada en el sentido de una buena relación de teoría con prácticas y con una buena

preparación de las mismas que permitan efectuar de una forma explicita todas las

medidas en el tiempo que disponemos, se convierten en el complemento adecuado para

aprehender los conocimientos (hacerlos propios) propiciando el análisis, la capacidad de

resolución de problemas, las habilidades instrumentales y la síntesis (diseño) y acercar

al alumno al mundo profesional. Debemos, previamente a cada una de la sesiones de

prácticas, hacer llegar al alumno la necesidad de ir a cada una de dichas sesiones, con

los conceptos formales perfectamente definidos (no necesariamente asimilados), que

nos permitan sacar el máximo provecho a las horas de laboratorio. Las horas de

laboratorios deben ser para motar sistemas, comprobar su funcionamiento y realizar

medidas. El análisis se realizará posteriormente culminándose con la elaboración de una

memoria.

Hay dos formas distintas de realizar las prácticas: las prácticas abiertas y las

prácticas cerradas.


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Una práctica la denominamos abierta cuando se le encarga al alumno la

realización, sin supervisión del profesor, de una tarea que supone el uso de un

computador, de unos programas o de equipos de laboratorio.

Los alumnos realizan una práctica cerrada asistiendo a una sesión previamente

programada, usualmente de 2 horas de duración, en un lugar predeterminado, siendo

realizada bajo la supervisión de alguno de los profesores de la materia.

El uso de equipos y programas altamente especializados y la supervisión ofrecida en las

prácticas cerradas las hacen más interesantes en ciertas situaciones, particularmente

cuando la práctica se basa en la interacción profesor-alumno; pero esto no exime la

necesidad de fomentar la realización de prácticas abiertas en horarios alternativos.

2.4.4.-Tutorías

Las tutorías constituyen un método complementario al de las clases de teoría y

de problemas enormemente útil. En ellas, el alumno tiene la oportunidad de discutir

conceptos que no le quedaron suficientemente claros en clase, o que le surgieron con la

labor personal de estudio.

La eficacia docente de esta actividad es alta si es utilizada por el alumnado de

forma continuada ya que le permite solventar las dudas conceptuales y le ayudará a

comprender mejor la asignatura.

Por otra parte al profesor le sirve de retroalimentación para comprobar los

conceptos, principios o análisis que presentan mayor dificultad, sirviéndole para ver si

el alumno esta construyendo bien su propio conocimiento.

El profesor deberá promover su uso continuado durante el desarrollo de las otras

actividades docentes. En consecuencia, el profesor tiene que estar disponible a esta

actividad.

2.4.5.-Seminarios

Puede decirse que esta técnica es un verdadero instrumento de aprendizaje activo

ya que tiene por objeto la investigación o estudio de un tema en reuniones de trabajo

planificadas y, donde los alumnos no reciban la información del todo elaborada, sino


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que la busquen por sus propios medios en un clima de colaboración recíproca. Los

grupos de trabajo estarán compuestos por 4 ó más personas.

Los seminarios serán supervisados por el profesor, el cual actuará generalmente

como asesor y coordinador. Existirá también la figura de un organizador (que podrá ser

un alumno ayudante) encargado de reunir a los grupos, asesorar en la selección de los

temas en que se desea trabajar, preparar un temario provisional, seleccionar las fuentes

de consulta, disponer locales, elementos de trabajo y horarios. El desarrollo del

seminario seguirá los siguientes pasos:

a) En la primera sesión estarán presentes todos los participantes que se dividirán

luego en los diferentes subgrupos de seminario. El organizador formulará a

título de sugerencia la agenda previa que ha preparado, la cual será discutida por

todo el grupo. Modificada o no dicha agenda por el acuerdo del grupo, queda

convertida en agenda definitiva sobre la cual han de trabajar los distintos

subgrupos.

b) El grupo grande se subdivide en grupos de seminario a voluntad de los mismos.

Cada grupo designa su director para coordinar las tareas y un secretario que

tomará nota de las conclusiones.

c) La tarea específica del seminario consistirá en indagar, buscar información,

consultar fuentes bibliográficas y documentales, recurrir a expertos y asesores,

discutir en colaboración, analizar a fondo datos e informaciones, relacionar

aportes, confrontar puntos de vista, hasta llegar a formular las conclusiones del

grupo sobre el tema , así como desarrollar simulaciones funcionales de los

sistemas. Todo ello siguiendo el plan de trabajo formulada en la agenda

aprobada por el grupo general.

d) Al concluir las reuniones de seminario debe haberse logrado en mayor o menor

medida el objetivo buscado.

e) Terminada la labor de los subgrupos, todos ellos se reúnen nuevamente con la

coordinación del organizador, para dar a conocer sus conclusiones. Estas se

debaten hasta lograr un acuerdo y resumen general de las conclusiones del

seminario.

f) Finalmente se llevará a cabo la evaluación de la tarea realizada, mediante las


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técnicas de presentación de memoria escrita y presentación oral.

2.5.-EVALUACION

2.5.1.- Introducción

La evaluación es la parte del proceso curricular que representa para el profesor

una toma de decisiones en la elección de las estrategias de enseñanza / aprendizaje

adecuadas para verificar si conseguimos los objetivos / competencias que nos

proponemos, sabiendo que tenemos unos invariantes en el proceso formativos, que no

dependen del profesor, como son en el aspecto departamental las horas de teoría, las

horas de laboratorio, la disponibilidad de laboratorios y el número de alumnos; y por

otra parte en la Universidad de Sevilla, se tiende a un sistema de evaluación continua, lo

que supone una evaluación formativa que se debe efectuar durante todo el proceso de

enseñanza / aprendizaje, siendo el rasgo característico de la misma el hecho de la propia

formación continua; es decir en el transcurso del proceso instructivo y no en momentos

aislados (única alternativa en grupos grandes).

2.5.2.-Propósitos y Criterios para la Evaluación

La finalidad de la evaluación es saber como ha funcionado el proceso de

enseñanza–aprendizaje, así como el diseño del programa en los siguientes aspectos:

a) Niveles de conocimientos.

b) Niveles de capacidades de expresión y realización de informes.

c) Niveles en el manejo de la documentación.

d) Niveles de habilidades en las medidas experimentales.

e) Niveles en la integración de conocimientos y su aplicación práctica.

f) Nivel de trabajo a nivel autónomo.

g) Nivel de trabajo en grupo.


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Para comprobar dicho funcionamiento las técnicas más usadas que se proponen son:

a) Cuestionario sobre ideas previas.

b) Mapas conceptuales.

c) Resolución de problemas propuestos

d) Prácticas de laboratorio.

e) Trabajos avanzados

f) Exámenes globalizados sobre temas.

g) Desarrollo de proyectos.

h) Pruebas Objetivas

Las diferentes técnicas presentan diferentes potencialidades que debe poner en

funcionamiento el alumno como son: recordar, elaborar, aplicar modelos, diseñar,

comprender, analizar, sintetizar y valorar.

Los criterios de evaluación establecen el tipo y grado de aprendizaje que se

espera que hayan alcanzado los alumnos respecto a las capacidades indicadas en los

objetivos generales.

Se debe tener en cuenta en la calificación el nivel óptimo de aprendizaje en sus

aspectos conceptuales, en sus aspectos de análisis y diseño de sistemas tecnológicos y

en las actitudes respecto a la actividad tecnológica. Por otra parte se deben elegir las

técnicas más idóneas, teniendo en cuenta las limitaciones de recursos, para evaluar las

capacidades expresadas en los criterios de evaluación. Lógicamente no será lo mismo

realizar controles por temas para un grupo de 100 alumnos que para un grupo de 20, ni

en número de ellos, ni en contenido.


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2.6.-GESTION DEL CONOCIMIENTO Y MEDIOS

2.6.1.-Gestión del Conocimiento

Gestionar el conocimiento supone la capacidad que debemos ir adquiriendo

progresivamente para seleccionar la información significativa, catalogándola,

referenciándola y archivándola de forma estructurada; para una fácil recuperación y

reusabilidad posterior y su integración, convirtiéndola en conocimiento para su posible

utilización en diferentes disciplinas y para que sirva de enriquecimiento en este

movimiento interdisciplinar entre docentes, alumnos, graduados y profesionales en

general.

Por otra parte debemos ser capaces de extraer sentido a la información

incompleta, poder extraer conocimiento del volumen ingente de datos que se encuentran

a nuestro alcance. Otro concepto importante es el mantenimiento y actualización

(reusabilidad) de la información, pudiendo de forma relativamente fácil mantener lo que

sigue vigente y poderlo modificar eficazmente con las nuevas aportaciones.

Aún más importancia, si cabe, toman en la actualidad la labor de búsqueda del

conocimiento, a través de los servicios de biblioteca y centros de documentación de

nuestros centro, la creación de “rutas temáticas”, por áreas que nos permitan tanto a

docentes e investigadores, alumnos y graduados dirigirnos de forma eficiente y rápida

hacia puntos óptimos de conocimiento.

En esencia las actividades de la Universidad no han experimentado cambios

sustanciales: enseñar, investigar, ser epicentro de actividades interculturales y por otro

lado gestionar de forma eficiente, dotando de los recursos suficientes para que todo lo

anterior funcione cumpliendo sus objetivos ante una sociedad cambiante que evoluciona

con los tiempos.

2.6.2.-Medios

Las técnicas docentes explicadas anteriormente necesitan de medios materiales

para su aplicación. Ante la aparición durante los últimos años de nuevos recursos

tecnológicos aplicados a la docencia universitaria que hacen uso fundamentalmente de


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herramientas informáticas, conviene dedicarles un apartado mostrando sus

características y aplicaciones.

También es importante considerar las herramientas de didáctica universitaria

más tradicionales como la pizarra, que utilizada correctamente es un recurso adecuado a

la explicación (como es el caso de desarrollos matemáticos, demostraciones, resolución

de problemas, etc.) y que combinada convenientemente con otros medios audiovisuales

sirve para enriquecer el proceso de enseñanza/ aprendizaje.

Las ventajas pedagógicas de la pizarra son el permitir al alumno un seguimiento

pausado de la explicación de profesor, favoreciendo su comprensión, ya que el alumno

ve evolucionar de forma secuencial los argumentos y contenidos de la clase, lo que

además facilita la redacción simultánea de sus apuntes.

Para obtener el máximo rendimiento de este recurso es recomendable considerar

los siguientes aspectos:

Una adecuada estructuración del contenido, una presentación del mismo de

forma clara y secuencial, poniendo el índice a seguir, desarrollando con claridad los

conceptos, borrando lo que ya se ha explicado y por tanto no introduciendo ruido en la

información transmitida. En algunos casos será no sólo conveniente sini aconsejado

usar conjuntamente el retroproyector, por ejemplo en el caso de querer visualizar

sistemas complejos y utilizar la pizarra para las demostraciones que se precisan.

El ordenador con el videoproyector puede usarse en vez del retroproyector de

transparencias cuando precisemos simulaciones, resumir un tema en que interaccionan

muchas imágenes o en el caso de necesitar animaciones. El ordenador con el

videoproyector permite la presentación de materiales didácticos con animaciones y

formatos diversos (vídeo, imagen, sonido,…) en una clase, lo que lo convierte en un

elemento que atrae poderosamente atractivo para el alumno; pero aunque puede ser un

recurso muy eficaz para acompañar las exposiciones, es preciso señalar que pueden

distraer o dificultar el aprendizaje por la cantidad excesiva de información que se tiene

que asimilar en un tiempo menor.

Al igual que ocurre con las transparencias, es necesario cuidar los contenidos de

las pantallas y reservar los efectos de animación para aquellos casos en que realmente

aportan una mejor presentación y comprensión de los contenidos.


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2.7.-FUENTES BIBLIOGRAFICAS

Las fuentes bibliográficas constituyen un complemento fundamental en la

docencia universitaria. El profesor deberá seleccionar cuidadosamente una serie de

referencias bibliográficas que recomendará a sus alumnos. Pueden establecerse dos

niveles:

a) Bibliografía básica: trata directamente de los temas de la asignatura, con un

nivel acorde con los objetivos perseguidos. Debe estar disponible en la

biblioteca del centro o en la central.

b) Bibliografía específica: trata de algún tema específico o de ampliación en

algunos temas de la asignatura.

Además de los libros, en los últimos cursos de carrera, el profesor puede

recomendar la lectura de revistas especializadas e incluso de algún artículo en

particular.

2.7.1.-Internet

Internet está revolucionando la sociedad, y la educación no podía quedarse al margen.

Además de su incuestionable utilidad en la formación a distancia y en la semipresencial,

Internet está cambiando la forma de dar las clases, la forma de relacionarse el profesor y

sus alumnos, los trabajos en grupo, la forma de buscar documentación, etc.

Entre las posibilidades que presenta Internet, destacamos por su interés, las siguientes:

Tutorías de correo electrónico, Listas de correo, Chats, Foros de discusión, Información

en la WEB…


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3.- OBJETIVO DEL PROYECTO

La incorporación de las, ya no tan nuevas, tecnologías de la información en los

procesos de enseñanza – aprendizaje, hacen de la formación y educación a distancia,

cautivadas hace algunos años a entornos académicos muy concretos, una opción

necesaria y obligada de incorporación a asignaturas, seminarios, cursos…Esta opción

que nos ofrece las tecnologías de la información está cambiando la forma en que

docente y alumno enseñan y aprenden el conocimiento. El marco de la EEES, y el libre

desplazamiento de alumnos y enseñanzas hacen todavía más si cabe necesario un

replanteamiento de los planes docentes de las asignaturas.

Los usos simultáneos de video, audio, dibujos y transparencias adaptados bajo

un determinado formato electrónico permiten el seguimiento sencillo de las

explicaciones de casi cualquier asignatura o tema desde cualquier parte del mundo.

Pero hay un aspecto que por su dificultad siempre se deja exclusivamente para la

educación o entrenamiento presencial, y éste es la práctica en laboratorios. Dificultad

añadida por la realización de la práctica en si; que en la mayoría de las ocasiones hace

imprescindible una buena asimilación de los conceptos teóricos, mediatizados a través

de estudios previos, que en muchas ocasiones se vuelven excesivamente costosos en

tiempo y recursos. En muchas ocasiones se hace necesario incluso la presencia del

alumno en tutorías para resolver dichas cuestiones previas. Si añadimos unas memorias

finales de prácticas, para poder evaluar el proceso de enseñanza – aprendizaje dentro del

laboratorio; éstas se convierten en un verdadero obstáculo para el nuevo carácter

docente de muchas asignaturas.

Es cierto que muchas aplicaciones para prácticas en educación a distancia se

basan en simulaciones: con la simple presencia de un ordenador y un programa se

pueden simular los distintos equipos de medida que encontramos en el laboratorio

(Laboratorio Virtual). Esta solución empleada frecuentemente no permiten lógicamente

tomar medidas reales ni enfrentarse al equipo de medida real, perdiéndose una parte

importantísima del proceso de enseñanza – aprendizaje del laboratorio.

Ante la simulación, surge la necesidad del laboratorio real, no accesible

lógicamente a través de Internet. Pero se puede facilitar la realización de las prácticas de

laboratorio, en aquellos aspectos que sean posibles, haciendo accesibles (a través de

Internet), los conceptos y estudios previos que hagan menos costosas la realización de

dichas prácticas.


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El presente proyecto consiste en el desarrollo de un conjunto de prácticas,

referidas a un Laboratorio de Comunicaciones. Para cada una de las referidas prácticas

se establece una estructura jerárquica, que comienza con el enunciado de la misma,

donde se establecen los objetivos del trabajo y una plantilla de recogida de datos. En

dicho enunciado, a su vez, se hace referencia a estudios previos detalladamente

resueltos, que servirán de guía para la adquisición de las medidas necesarias en la

realización de la práctica. En estos estudios previos nuevamente se hace referencia a

problemas desarrollados que resuelven y justifican los conceptos teóricos en los que se

apoya el objetivo a alcanzar por la práctica. Todo el material estará disponible para que

los usuarios accedan desde Internet y puedan hacer uso del mismo desde cualquier parte

del mundo a través únicamente de su navegador.


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4.- CONJUNTO DE PRÁCTICAS PARA UN LABORATORIO DE COMUNICACIONES

PRÁCTICA 1: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SEÑALES

PRÁCTICA 2: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SISTEMAS

PRÁCTICA 3: TRANSMISIÓN DE SEÑALES EN CABLES

PRÁCTICA 4: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN

PRÁCTICA 5: INTERFAZ RS-232 (V.24)

PRÁCTICA 6: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES

PRÁCTICA 7: MODULACIÓN


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PRÁCTICA 1: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SEÑALES


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PRÁCTICA 1: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SEÑALES 1.- Descripción de la práctica 1.1.- Para una señal sinusoidal de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:

a. Amplitudes de 2V y 5V. b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz. c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.

1.2.- Para una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:

a. Amplitudes de 2V y 5V. b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz. c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V. d. Duty Cycle de 1%, 12,5%, 25% y 75%.

1.3.- Para una señal triangular de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:


1.4.- Para una señal periódica de 1Khz, constituida en cada período por una función Sample de 10V de amplitud y 40Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. 2.- Equipos y materiales

• Generador de señales • Osciloscopio

3.- Estudio teórico El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de laboratorios siguientes: Epígrafe 1.1: Laboratorio LTC-01 Epígrafe 1.2: Laboratorio LTC-02 Epígrafe 1.3: Laboratorio LTC-03 Epígrafe 1.4: Laboratorio LTC-04


25

4.- Hojas de resultados experimentales 4.1. Señal sinusoidal Apartado a)

Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. 1 Khz.

Apartado b)

Armónicos (en dBV) Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. 0 Khz. 0 Khz. 0.5 Khz. 1 Khz. 2 Khz.

Apartado c)

Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. 1 Khz. 4.2. Señal cuadrada Apartado a)

Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.

0 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 3 Khz. 4 Khz. 5 Khz. 6 Khz. 7 Khz. 8 Khz. 9 Khz. 10 Khz.


26

Apartado b)

Armónicos (en dBV) Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.

0 Khz. 0 Khz. 0 Khz. 0.5 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 4 Khz.

1.5 Khz. 3 Khz. 6 Khz. 2 Khz. 4 Khz. 8 Khz.




Apartado c)

Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.


Apartado d)

dc=1% dc=12.5% dc=25% dc=50% dc=75% Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.



27

4.3. Señal triangular Apartado a)



Apartado b)


0 Khz. 0 Khz. 0 Khz. 0.5 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 1 Khz. 2 Khz. 4 Khz.





Apartado c)




28

4.4. Tren de pulsos Sample Khz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Aprox. Exacto Exper.

Khz 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Aprox. Exacto Exper.

Khz 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Aprox. Exacto Exper. Khz 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Aprox. Exacto Exper. Khz 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Aprox. Exacto Exper.


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PRÁCTICA LTC-01: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UNA SEÑAL SENOIDAL 1.- Descripción de la práctica Para una señal senoidal de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:


2.- Equipos y materiales


3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-07


30

4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa una señal senoidal de 1V de amplitud y 1 Khz., sin componente de continua.

Figura 1. Señal senoidal

Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. En ella se observa una única componente espectral a 1 Khz. y una pequeña componente de continua que atribuimos a las imperfecciones del generador de señal y del osciloscopio. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). En ella la componente de continua aparece relativamente más importante por el efecto que introduce la escala logarítmica. Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.


31

Figura 2. Espectro de amplitud de una señal senoidal (escala lineal)

Figura 3. Espectro de amplitud de una señal senoidal (escala en dBV RMS)


32

Apartado a)

Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. -∞ -30.0 -∞ -32.6 -∞ -29.6 1 Khz. -3.01 -3.0 3.01 3.0 10.97 11.0

Apartado b)

Armónicos (en dBV) Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. -∞ -32.2 0 Khz. -∞ -32.2 0 Khz. -∞ -32.6 0.5 Khz. -3.01 -3.0 1 Khz. -3.01 -3.0 2 Khz. -3.01 -3.0

Apartado c)

Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2 Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 Khz. 6.02 6 0 0 -∞ -31.6 0 0 6.02 6 1 Khz. -3.01 -3.0 -3.01 -3.0 -3.01 -3.0 -3.01 -3.0 -3.01 -3.0 Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden sensiblemente, mostrándose una ligera desviación en la componente de continua que atribuimos a imperfecciones del instrumental. En cualquier caso, esta desviación en la componente de continua es del entorno de -30 dBV es decir, de

VVV 031.01010 5.120

30

== −−

lo que supone unas pocas centésimas de voltios. En algunos osciloscopios las definiciones de dBV o de VRMS no coinciden exactamente con las adoptadas aquí. Así, por ejemplo, los osciloscopios Tektronix TDS 1012, calculan el valor de continua como

( ) dBVMMMM

MRMSRMS dBVdBV 32log20log202log20

2

2log20 000

0'0 +=+===

es decir, que se obtiene un valor de la componente de continua 3 dB por encima del valor teórico. Para otros osciloscopios son posibles definiciones (y resultados) diferentes.


33

Problema PTC0004-07 Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una señal sinusoidal de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia. Repetir el cálculo para:

1) Amplitudes de 2V y 5V. 2) Frecuencias de 0.5Khz y 2Khz. 3) Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.

Solución PTC0004-07 Sabemos que la señal puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión

tj

nn

necT

tf ω∑∞

−∞=

= 1)(

en la que los coeficientes se calculan de acuerdo con:

dtetfcT

T

tjn

n∫−−=

2/

2/)( ω

En el caso de una señal sinusoidal tenemos que

)cos()( tAtf fω=

por lo que

dtetAdtetfcT

T

tjf

T

T

tjn

nn ∫∫ −

−

−

− ==2/

2/

2/

2/)cos()( ωω ω

Recordando que

2)cos(

tjtj

f

ff eet

ωω

ω−+=

tenemos

dteA

dteA

dteee

AcT

T

tjT

T

tjT

T

tjtjtj

nnfnfn

ff

∫∫∫ −

+−

−

−

−

−−

+=+=2/

2/

)(2/

2/

)(2/

2/ 222ωωωωω

ωω

Integrando

t

f(t)

T

A

t

f(t)

T

A


34

[ ] [ ] 2/

2/)(2/

2/)(

)(2)(2

T

Ttj

nf

T

Ttj

nfn

nfnf ej

Ae

j

Ac −

+−−

−

+−

−= ωωωω

ωωωω

)(2)(2

2)(

2)(

2)(

2)(

nf

Tj

Tj

nf

Tj

Tj

n j

eeA

j

eeA

c

nfnfnfnf

ωωωω

ωωωωωωωω

+

−

−−

−

=

++−−−−

)(2)(2

2)(

2)(

2)(

2)(

nf

Tj

Tj

nf

Tj

Tj

n j

eeA

j

eeA

c

nfnfnfnf

ωωωω

ωωωωωωωω

+

−

+−

−

=

+−+−−−

Recordando que

j

eesenx

jxjx

2

−−=

podemos escribir

++

+

−−

=2

)()(2

)()(

Tsen

ATsen

Ac nf

nfnf

nfn ωω

ωωωω

ωω

Multiplicando y dividiendo cada término por T/2

2)(

2)(

22

)(

2)(

2 T

Tsen

TA

T

Tsen

TAc

nf

nf

nf

nf

n

ωω

ωω

ωω

ωω

+

++

−

−=

++

−=2

)(22

)(2

TSa

ATTSa

ATc nfnfn ωωωω

++

−=2

22

22

22

2

T

T

n

TSa

ATT

T

n

TSa

ATcn

ππππ

( )[ ] ( )[ ]ππ nSaAT

nSaAT

cn ++−= 12

12

Considerando que la función Sample es simétrica, Sa(x)= Sa(-x)

( )[ ] ( )[ ]ππ 12

12

++−= nSaAT

nSaAT

cn

Como sabemos, la función Sample se anula para todos los múltiplos de π, excepto para el múltiple de orden cero, en el que vale 1. Por tanto sólo existirán términos no nulos de los coeficientes de Fourier para n-1=0 y para n+1=0, es decir, para n=1 y n =-1.

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 02

02

22

02

112

1121 +=+=+=++−= ATAT

SaAT

SaAT

SaAT

SaAT

c πππ

Análogamente

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )22

002

22

112

1121

ATATSa

ATSa

ATSa

ATSa

ATc =+=+−=+−+−−=− πππ


35

Para calcular los armónicos recordaremos que la función se desarrolla como

tj

nn

necT

tf ω∑∞

−∞=

= 1)(

es decir, que cada armónico vale

0>∀+= − nT

c

T

cM nn

n

En este caso sólo existe el armónico de orden 1, que vale

AAT

T

AT

TT

c

T

cM =+=+= −

2

1

2

1111

Para la componente de continua tenemos que

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 00022

102

110

2

100 =+=+−=++−== ππππ Sa

ASa

ASa

AT

TSa

AT

TT

cM

Los valores de los armónicos en RMS se calculan como el valor eficaz de los mismos. La tensión eficaz de una señal se define como el valor de la tensión de continua que disipa la misma potencia media que la señal. Para una tensión senoidal la potencia media disipada sobre una resistencia unidad es

[ ] ∫∫∫ ===TTT

dttT

AdttA

Tdttv

TP

0

22

0

2

0

2 )(cos)cos(1

)(1 ωω

Recordando que

2

2cos1cos2 x

x+=

tenemos

[ ] [ ]TTTT

tsenT

At

T

Adtt

T

Adt

T

AP 0

2

0

2

0

2

0

2

)2(2

1

22)2cos(

22ω

ωω +=+= ∫∫

[ ] [ ] )2

2(42

)0()2(4

02

2222

TT

senT

AAsenTsen

T

AT

T

AP

πω

ωω

+=−+−=

042

)4(42

2222

T

AAsen

T

AAP

ωπ

ω+=+=

2

2AP =

Por otra parte, por la definición de la tensión eficaz, la potencia media disipada por una tensión continua sobre una resistencia unidad es

2eVP =

por lo que igualando ambos términos tenemos

2

22 A

VP e ==


36

22

2 AAVV eRMS ===

Esta expresión de la tensión eficaz o tensión RMS es válida para cualquier armónico excepto para el de orden cero, ya que al tratarse de una tensión de continua, por la propia definición de tensión eficaz,

AVV eRMS ==

Teniendo esto en cuenta, el valor RMS de los armónicos será

=∀=

>∀=

0

02

nMM

nM

M

nnRMS

nnRMS

Si el osciloscopio representa el valor de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores esperados serán

1log20 nRMS

ndBV

MM

RMS=

=∀=

>∀=

0log20

02

log20

nMM

nM

M

nndBV

nndBV

RMS

RMS

Por último, debemos señalar que si a la señal se le suma una componente de continua (offset), el único armónico que resulta alterado es el de orden cero, al que hay que sumarle la tensión de offset. Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos de cada uno de los apartados Apartado 1)

Armónicos Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 0 Khz. -∞ -∞ -∞ 1 Khz. -3.01 dBV 3.01 dBV 10.97 dBV

Apartado 2)

Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. 0 Khz. -∞ 0 Khz. -∞ 0 Khz. -∞

0.5 Khz. -3.01 dBV 1 Khz. -3.01 dBV 2 Khz. -3.01 dBV Apartado 3) Armónicos Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2

0 Khz. 6.02 dBV 0 dBV -∞ 0 dBV 6.02 dBV 1 Khz. -3.01 dBV -3.01 dBV -3.01 dBV -3.01 dBV -3.01 dBV


37

PRÁCTICA LTC-02: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UNA SEÑAL CUADRADA 1.- Descripción de la práctica Para una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:

a. Amplitudes de 2V y 5V. b. Frecuencias de 0,5kHz y 2kHz. c. Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V. d. Duty Cycle de 1%, 12,5%, 25% y 75%.





38

4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1 Khz., sin componente de continua.

Figura 1. Señal cuadrada

Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. El valor de la componente de continua es casi inapreciable. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.


39

Figura 2. Espectro de amplitud de una señal cuadrada (escala lineal)

Figura 3. Espectro de amplitud de una señal cuadrada (escala en dBV RMS)


40

Apartado a)


0 Khz. -∞ -40.4 -∞ -24.4 -∞ -26.2 1 Khz. -0.91 -1.0 5.11 5.2 13.07 13.2 2 Khz. -∞ -44.2 -∞ -54.8 -∞ -48.0 3 Khz. -10.45 -10.4 -4.33 -4.2 3.52 3.8 4 Khz. -∞ -44.2 -∞ -54.2 -∞ -51.0 5 Khz. -14.89 -14.4 -8.87 -8.6 -0.91 -0.6 6 Khz. -∞ -44.6 -∞ -54.4 -∞ -46.4 7 Khz. -17.81 -17.6 -11.79 -11.4 -3.83 -3.4 8 Khz. -∞ -44.2 -∞ -55.8 -∞ -49.8 9 Khz. -20.00 -19.6 -13.98 -13.6 -6.02 -5.4 10 Khz. -∞ -44.2 -∞ -57.8 -∞ -53.8

Apartado b)


0 Khz. -∞ -40.4 0 Khz. -∞ -40.4 0 Khz. -∞ -40.4 0.5 Khz. -0.91 -1.0 1 Khz. -0.91 -1.0 2 Khz. -0.91 -1.0 1 Khz. -∞ -44.2 2 Khz. -∞ -44.2 4 Khz. -∞ -44.2

1.5 Khz. -10.45 -10.4 3 Khz. -10.45 -10.4 6 Khz. -10.45 -10.4 2 Khz. -∞ -44.2 4 Khz. -∞ -44.2 8 Khz. -∞ -44.2




Apartado c)


0 Khz. 6.02 6.4 0 -40.4 -∞ -32.8 0 0 6.02 6.4 1 Khz. -0.91 -1.0 -0.91 -1.0 -0.91 -1.0 -0.91 -1.0 -0.91 -1.0 2 Khz. -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 3 Khz. -10.45 -10.4 -10.45 -10.4 -10.45 -10.4 -10.45 -10.4 -10.45 -10.4 4 Khz. -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 5 Khz. -14.89 -14.4 -14.89 -14.4 -14.89 -14.4 -14.89 -14.4 -14.89 -14.4 6 Khz. -∞ -44.6 -∞ -44.6 -∞ -44.6 -∞ -44.6 -∞ -44.6 7 Khz. -17.81 -17.6 -17.81 -17.6 -17.81 -17.6 -17.81 -17.6 -17.81 -17.6 8 Khz. -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 9 Khz. -20.00 -19.6 -20.00 -19.6 -20.00 -19.6 -20.00 -19.6 -20.00 -19.6 10 Khz. -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2 -∞ -44.2

Apartado d) Las figuras 4 y 5 reflejan, en distintas escalas, el espectro de amplitud para el caso de un duty cycle del 1%.


41

Figura 4. Espectro de amplitud de un pulso cuadrado con duty cyle del 1% (bajas frecuencias)

Figura 5. Espectro de amplitud de un pulso cuadrado con duty cyle del 1%


42

La tabla que recoge los valores teóricos y experimentales de este apartado es la siguiente:

dc=1% dc=12.5% dc=25% dc=50% dc=75% Armónicos (en dBV) Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct.

0 Khz. -0.18 0 -2.50 -1.2 -6.02 -4.8 -∞ -32.8 -6.02 -6.6 1 Khz. -30.97 -25 -9.26 -9.2 -3.92 -4.0 -0.91 -1.0 -3.92 -3.4 2 Khz. -30.97 -31 -9.94 -10.0 -6.93 -6.8 -∞ -44.2 -6.93 -6.8 3 Khz. -30.98 -31 -11.14 -11.6 -13.46 -12.6 -10.45 -10.4 -13.46 -14.2 4 Khz. -30.99 -31 -12.95 -12.8 -∞ -31.0 -∞ -44.2 -∞ -30.4 5 Khz. -31.00 -31 -15.58 -14.8 -17.90 -19.3 -14.89 -14.4 -17.90 -16.5 6 Khz. -31.02 -31 -19.49 -18.4 -16.48 -16.4 -∞ -44.6 -16.48 -16.4 7 Khz. -31.04 -31 -26.16 -23.6 -20.82 -19.0 -17.81 -17.6 -20.82 -22.8 8 Khz. -31.06 -31 -∞ -36.4 -∞ -30.8 -∞ -44.2 -∞ -30.4 9 Khz. -31.09 -31 -28.34 -31.2 -23.01 -25.8 -20.00 -19.6 -23.01 -22.7 10 Khz. -31.11 -31 -23.92 -24.8 -20.91 -21.0 -∞ -44.2 -20.91 -23.5

Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden sensiblemente en todos los casos.


43

Problema PTC0004-08 Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una señal cuadrada de 1V de amplitud y 1Khz. Repetir el cálculo para: 1) Amplitudes de 2V y 5V. 2) Frecuencias de 0.5Khz y 2Khz. 3) Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V. 4) Duty Cycle de 1%, 12,5%, 25% y 75%.


tj

nn

necT

tf ω∑∞

−∞=

= 1)(


dtetfcT

T

tjn

n∫−−=

2/

2/)( ω

En el caso de una onda cuadrada con duty-cycle tenemos que

dtAedtAedtAedtetfcT

d

tjd

d

tjd

T

tjT

T

tjn

nnnn ∫∫∫∫−

−

−−

−

−

−

− −++−==2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/

2/)( ωωωω

[ ] [ ] [ ] 2/

2/

2/

2/

2/

2/

T

dtj

n

d

dtj

n

d

Ttj

nn

nnn ej

Ae

j

Ae

j

Ac ωωω

ωωω−

−−−

−− +−+=

−+

−−+

−=

−−−222222

dj

Tj

n

dj

dj

n

Tj

dj

nn

nnnnnn

eej

Aee

j

Aee

j

Ac

ωωωωωω

ωωω

t

f(t)

T

d

A

t

f(t)

T

d

A


44

222222

dj

n

Tj

n

dj

n

dj

n

Tj

n

dj

nn

nnnnnn

ej

Ae

j

Ae

j

Ae

j

Ae

j

Ae

j

Ac

ωωωωωω

ωωωωωω−−−

−++−−=

2222 22 Tj

n

Tj

n

dj

n

dj

nn

nnnn

ej

Ae

j

Ae

j

Ae

j

Ac

ωωωω

ωωωω−−

+−−=

−−

−=

−−22222 T

jT

j

n

dj

dj

nn

nnnn

eej

Aee

j

Ac

ωωωω

ωω

jj

ee

j

Aj

j

ee

j

Ac

Tj

Tj

n

dj

dj

nn

nnnn

22

22

22222

−

−

−

=

−− ωωωω

ωω

−

=2

2

2

4 Tsen

Adsen

Ac n

nn

nn ω

ωω

ω

22

22

22

24 TT

Tsen

Add

dsen

Ac n

n

n

nn

n

n

nn ω

ω

ω

ωω

ω

ω

ω

−

=

−

=22

2T

ATSad

AdSac nnn ωω

2

22 2n n

d n Tc AdSa ATSa

T

πω = −

( )22n n

dc AdSa ATSa nω π = −

El segundo término es siempre cero para n>0 por lo que

2 02n n

dc AdSa nω = ∀ >


tj

nn

necT

tf ω∑∞

−∞== 1

)(



45

0>∀+= − nT

c

T

cM nn

n

Sustituyendo tenemos

2 22 2

0n n

n

d dAdSa AdSa

M nT T

ω ω− = + ∀ >

2 22 2

0n n

n

d dAdSa AdSa

M nT T

ω ω − = + ∀ >

Como la función Sample es simétrica

2 22 2

0n n

n

d dAdSa AdSa

M nT T

ω ω = + ∀ >

2

2 02n n

dM AdSa n

Tω = ∀ >

4 2

02n

Ad n dM Sa n

T T

π = ∀ >

4

0n

Ad dM Sa n n

T Tπ = ∀ >

Si llamamos dc al duty-cyle tenemos

T

ddc =

y sustituyendo

( ) 04 >∀= ndnSaAdM ccn π

Los valores de los armónicos en RMS se calculan como el valor eficaz de los mismos. La tensión eficaz de una señal se define como el valor de la tensión de continua que disipa la misma potencia media que la señal. En definitiva para un armónico de amplitud A tenemos

2

AVV eRMS ==


46

Esta expresión de la tensión eficaz o tensión RMS es válida para cualquier armónico excepto para el de orden cero, ya que al tratarse de una tensión de continua, por la propia definición de tensión eficaz,

AVV eRMS ==

Teniendo esto en cuenta, el valor RMS de los armónicos será

( )0

2

4log20

2log20

1log20 >∀=== n

dnSaAdMMM ccnnRMS

ndBVRMS

π

Para la componente de continua tenemos

T

cM 0

0 =

T

TATSa

dAdSa

T

TATSa

dAdSa

Mnn

−

=

−

=2

02

0222

2

0

ωω

AAdT

ATAdM c −=

−= 2

20

AAdMM

M cRMS

dBVRMS−=== 2log20log20

1log20 0

00

Por último, debemos señalar que si a la señal se le suma una componente de continua (offset), el único armónico que resulta alterado es el de orden cero, al que hay que sumarle la tensión de offset. Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos de cada uno de los subapartados. Apartado 1)

Armónicos Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 0 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 1 Khz. -0.91 dBV 5.11 dBV 13.07 dBV 2 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 3 Khz. -10.45 dBV -4.33 dBV 3.52 dBV 4 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 5 Khz. -14.89 dBV -8.87 dBV -0.91 dBV 6 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 7 Khz. -17.81 dBV -11.79 dBV -3.83 dBV 8 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 9 Khz. -20.00 dBV -13.98 dBV -6.02 dBV 10 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV


47

Apartado 2)

Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. 0 Khz. -∞ dBV 0 Khz. -∞ dBV 0 Khz. -∞ dBV

0.5 Khz. -0.91 dBV 1 Khz. -0.91 dBV 2 Khz. -0.91 dBV 1 Khz. -∞ dBV 2 Khz. -∞ dBV 4 Khz. -∞ dBV





Apartado 3) Armónicos Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2

0 Khz. 6.02 dBV 0 dBV -∞ dBV 0 dBV 6.02 dBV 1 Khz. -0.91 dBV -0.91 dBV -0.91 dBV -0.91 dBV -0.91 dBV 2 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 3 Khz. -10.45 dBV -10.45 dBV -10.45 dBV -10.45 dBV -10.45 dBV 4 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 5 Khz. -14.89 dBV -14.89 dBV -14.89 dBV -14.89 dBV -14.89 dBV 6 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 7 Khz. -17.81 dBV -17.81 dBV -17.81 dBV -17.81 dBV -17.81 dBV 8 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 9 Khz. -20.00 dBV -20.00 dBV -20.00 dBV -20.00 dBV -20.00 dBV 10 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV

Apartado 4) Armónicos dc=1% dc=12.5% dc=25% dc=50% dc=75%

0 Khz. -0.18 dBV -2.50 dBV -6.02 dBV -∞ dBV -6.02 dBV 1 Khz. -30.97 dBV -9.26 dBV -3.92 dBV -0.91 dBV -3.92 dBV 2 Khz. -30.97 dBV -9.94 dBV -6.93 dBV -∞ dBV -6.93 dBV 3 Khz. -30.98 dBV -11.14 dBV -13.46 dBV -10.45 dBV -13.46 dBV 4 Khz. -30.99 dBV -12.95 dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 5 Khz. -31.00 dBV -15.58 dBV -17.90 dBV -14.89 dBV -17.90 dBV 6 Khz. -31.02 dBV -19.49 dBV -16.48 dBV -∞ dBV -16.48 dBV 7 Khz. -31.04 dBV -26.16 dBV -20.82 dBV -17.81 dBV -20.82 dBV 8 Khz. -31.06 dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 9 Khz. -31.09 dBV -28.34 dBV -23.01 dBV -20.00 dBV -23.01 dBV 10 Khz. -31.11 dBV -23.92 dBV -20.91 dBV -∞ dBV -20.91 dBV


48

PRÁCTICA LTC-03: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UNA SEÑAL TRIANGULAR 1.- Descripción de la práctica Para una señal triangular de 1V de amplitud y 1Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. Repetir el experimento para:






49

4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa una señal triangular de 1V de amplitud y 1 Khz., sin componente de continua.

Figura 1. Señal triangular

Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. El valor de la componente de continua es casi inapreciable. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.


50

Figura 2. Espectro de amplitud de una señal triangular (escala lineal)

Figura 3. Espectro de amplitud de una señal triangular (escala en dBV RMS)


51

Apartado a)


0 Khz. -∞ -41.4 -∞ -32.2 -∞ -30.8 1 Khz. -4.83 -4.6 1.19 1.4 9.14 9.4 2 Khz. -∞ -57.0 -∞ -51.0 -∞ -47.0 3 Khz. -23.92 -23.8 -17.90 -17.8 -9.94 -10.0 4 Khz. -∞ -54.6 -∞ -47.0 -∞ -40.6 5 Khz. -32.79 -32.4 -26.77 -26.4 -18.81 -18.6 6 Khz. -∞ -60.6 -∞ -55.8 -∞ -49.8 7 Khz. -38.64 -38.8 -32.62 -33.2 -24.66 -24.4 8 Khz. -∞ -63.0 -∞ -54.8 -∞ -50.6 9 Khz. -43.00 -43.0 -36.98 -36.6 -29.02 -28.4 10 Khz. -∞ -64.0 -∞ -55.8 -∞ -51.8

Apartado b)


0 Khz. -∞ -41.4 0 Khz. -∞ -41.4 0 Khz. -∞ -41.4 0.5 Khz. -4.83 -4.6 1 Khz. -4.83 -4.6 2 Khz. -4.83 -4.6 1 Khz. -∞ -57.0 2 Khz. -∞ -57.0 4 Khz. -∞ -57.0





Apartado c)


0 Khz. 6.02 6.4 0 0.2 -∞ -41.4 0 -0.2 6.02 6.0 1 Khz. -4.83 -4.6 -4.83 -4.6 -4.83 -4.6 -4.83 -4.6 -4.83 -4.6 2 Khz. -∞ -57.0 -∞ -57.0 -∞ -57.0 -∞ -57.0 -∞ -57.0 3 Khz. -23.92 -23.8 -23.92 -23.8 -23.92 -23.8 -23.92 -23.8 -23.92 -23.8 4 Khz. -∞ -54.6 -∞ -54.6 -∞ -54.6 -∞ -54.6 -∞ -54.6 5 Khz. -32.79 -32.4 -32.79 -32.4 -32.79 -32.4 -32.79 -32.4 -32.79 -32.4 6 Khz. -∞ -60.6 -∞ -60.6 -∞ -60.6 -∞ -60.6 -∞ -60.6 7 Khz. -38.64 -38.8 -38.64 -38.8 -38.64 -38.8 -38.64 -38.8 -38.64 -38.8 8 Khz. -∞ -63.0 -∞ -63.0 -∞ -63.0 -∞ -63.0 -∞ -63.0 9 Khz. -43.00 -43.0 -43.00 -43.0 -43.00 -43.0 -43.00 -43.0 -43.00 -43.0 10 Khz. -∞ -64.0 -∞ -64.0 -∞ -64.0 -∞ -64.0 -∞ -64.0

Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden sensiblemente en todos los casos.


52

Problema PTC0004-09 Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una señal triangular de 1V de amplitud y 1Khz. Repetir el cálculo para: 1) Amplitudes de 2V y 5V. 2) Frecuencias de 0.5Khz y 2Khz. 3) Nivel de continua (offset) de -2V, -1V, +1V y +2V.


tj

nn

necT

tf ω∑∞

−∞== 1

)(


dtetfcT

T

tjn

n∫−−=

2/

2/)( ω

En el caso de la onda triangular la señal f(t) puede considerarse compuesta por dos rectas independientes que se corresponderían con las funciones f1(t) y f2(t). Por lo tanto,

∫∫−

−

− +=2/

0

2

0

2/

1 )()(T

tj

T

tjn dtetfdtetfc nn ωω

Las rectas f1(t) y f2(t) pueden calcularse fácilmente pues se conocen los puntos por los que pasan. Recordando que la ecuación de una recta que pasa por dos puntos es

12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

−−=

−−

o, lo que es lo mismo,

( )112

121 xx

xx

yyyy −

−−+=

Para la primera de las rectas, que pasa por los puntos [-T/2,-A] y [0,A] , tenemos

t

f(t)

A

T

t

f(t)

A

T


53

AtT

AA

T

T

At

T

AA

Tt

T

AA

Tt

TAA

Atf 24

2

44

2

4

22

0

)()(1 ++−=++−=

++−=

+

−−

−−+−=

tT

AAtf

4)(1 +=

Para la segunda recta, que pasa por los puntos [0,A] y [T/2,-A], podemos escribir

( ) tT

AAt

TAA

Atf4

00

2

)()(2 −=−

−

−−+=

Con estos resultados podemos escribir de nuevo el coeficiente como

∫∫−

−

−

−+

+=2/

0

0

2/

44 Ttj

T

tjn dtet

T

AAdtet

T

AAc nn ωω

∫∫∫∫−−

−

−

−

− −++=2/

0

2/

0

0

2/

0

2/

44 Ttj

Ttj

T

tj

T

tjn dtet

T

AdteAdtet

T

AdteAc nnnn ωωωω

Agrupando términos

∫∫∫−

−

−

−

− −+=2/

0

0

2/

2/

2/

44 Ttj

T

tjT

T

tjn dtet

T

Adtet

T

AdteAc nnn ωωω

Para simplicidad de la resolución denominemos cn1, cn2 y cn3 respectivamente a cada una de las integrales anteriores. De esta forma

321 nnnn cccc ++=

Resolvamos ahora cada una de ellas. Para la primera tenemos

[ ] ( )2/2/2/

2/

2/

2/

1TjTj

n

T

Ttj

n

T

T

tjn

nnnn eej

Ae

j

AdteAc ωωωω

ωω+−

−−

−

− −−

=−

== ∫

( )2/2/1

TjTj

nn

nn eej

Ac ωω

ω−−=

En el caso de la segunda integral podemos escribir

∫−

−=0

2/

2

4

T

tjn dtet

T

Ac nω

Esa integral no es inmediata de resolver. Abordémosla por partes, haciendo los siguientes cambios de variables

n

tjtj

j

evdtedv

dtdutun

n

ω

ωω

−=⇒=

=⇒=−

−

Recordando que en la integración por partes

∫∫ −⋅= duvvudvu

podemos sustituir

∫−

−

−

−

−−

−=

0

2/

0

2/

2

44

T n

tj

Tn

tj

n dtj

e

T

A

j

et

T

Ac

nn

ωω

ωω


54

[ ]n

Ttj

nn

Tj

n j

e

jT

A

j

eT

T

Ac

nn

ωωω

ωω

−−−

−+= −

− 0

2/2/

2 )(

4

20

4

( )2/02

2/2

42 Tjj

n

Tj

nn

nnn eeT

Ae

j

Ac ωωω

ωω−+−= −

( )2/2

2/2 1

42 Tj

n

Tj

nn

nn eT

Ae

j

Ac ωω

ωω−+−=

Para la última de las integrales tenemos

∫−−=

2/

0

3

4 Ttj

n dtetT

Ac nω

Esa integral tampoco es inmediata de resolver. Abordémosla por partes, haciendo los mismos cambios de variables que en el caso anterior

n

tjtj

j

evdtedv

dtdutun

n

ω

ωω

−=⇒=

=⇒=−

−

Recordando que en la integración por partes

∫∫ −⋅= duvvudvu

podemos sustituir

∫ −+

−−=

−− 2/

0

2/

0

3

44 T

n

tjT

n

tj

n dtj

e

T

A

j

et

T

Ac

nn

ωω

ωω

[ ]n

Ttj

nn

Tj

n j

e

jT

A

j

eT

T

Ac

nn

ωωω

ωω

−−+

−

−−=

−− 2/

02/

3 )(

40

2

4

( )02/2

2/3

42nnn jTj

n

Tj

nn ee

T

Ae

j

Ac ωωω

ωω−−= −−

( )142 2/

22/

3 −−= −− Tj

n

Tj

nn

nn eT

Ae

j

Ac ωω

ωω

Con estos tres resultados estamos ya en condiciones de reanudar el cálculo de los coeficientes cn del desarrollo en serie de Fourier. En efecto,

321 nnnn cccc ++=

( ) ( ) ( )142

142 2/

22/2/

22/2/2/ −−+−+−+−= −−− Tj

n

Tj

n

Tj

n

Tj

n

TjTj

nn

nnnnnn eT

Ae

j

Ae

T

Ae

j

Aee

j

Ac ωωωωωω

ωωωωω

++

−+−+

−−= −

2222/

22/ 444242

nnnnn

Tj

nnn

Tjn T

A

T

A

T

A

j

A

j

Ae

T

A

j

A

j

Aec nn

ωωωωωωωωωω


55

222/

22/ 844

nnn

Tj

nn

Tjn T

A

T

A

j

Ae

T

A

j

Aec nn

ωωωωωωω +

−+

−−= −

( ) ( )2

2/2/2

2/2/ 84

n

TjTj

n

TjTj

nn T

Aee

T

Aee

j

Ac nnnn

ωωωωωωω ++−−−= −−

22

8

2cos

8

2

2

nn

nn

nn T

AT

T

ATsen

Ac

ωω

ωω

ω+

−

−=

Recordando la expresión del coseno del ángulo doble tenemos

( ) xsenxsenxsenxsenxx 22222 211cos)2cos( −=−−=−=

22

2

8

421

8

2

2

nn

nn

nn T

ATsen

T

ATsen

Ac

ωω

ωω

ω+

−−

−=

22

22

8

4

168

2

2

nn

nnn

nn T

ATsen

T

A

T

ATsen

Ac

ωω

ωωω

ω+

+−

−=

+

−=4

16

2

2 22

Tsen

T

ATsen

Ac n

nn

nn ω

ωω

ω

+

−=4

16

2

2 22

Tsen

T

ATsen

Ac n

nn

nn ω

ωω

ω

2

2

22

4

44

16

2

22

2

+

−=T

TT

senT

AT

TT

senA

c

n

n

nn

n

n

nn

n

ω

ωω

ωω

ωω

ω

+

−=42

2 TSaAT

TATSac nnn ωω

+

−=4

2

2

2 2 T

T

nSaAT

T

T

nATSacn

ππ

( )ππnATSanSaATcn −

=2

2


tj

nn

necT

tf ω∑∞

−∞=

= 1)(



56

0>∀+= − nT

c

T

cM nn

n

( ) ( )0

2222

>∀−−

−+

−

= nT

nATSanSaAT

T

nATSanSaAT

M n

ππππ

( ) ( ) 022

22 >∀−−

−+−

= nnASanSaAnASanSaAM n ππππ

Como la función Sample es simétrica

( ) ( ) 022

22 >∀−

+−

= nnASanSaAnASanSaAM n ππππ

( ) 02

2 2 >∀−

= nnASanSaAM n ππ

Pero el segundo término es siempre cero para n>0, por lo que

02

2 2 >∀

= nnSaAM n

π

Por otro lado la componente de continua vale

T

cM 0

0 =

( )

T

ATAT

T

ATSaSaAT

M−

=−

=ππ

02

02

0

00 =M


02

22

log202

log201

log20

2

>∀

=== n

nSaAMM

M nnRMSndBVRMS

π


RMSRMS

dBV dBVM

MRMS

−∞=== 0log201

log20 00

Por último, debemos señalar que si a la señal se le suma una componente de continua (offset), el único armónico que resulta alterado es el de orden cero, al que hay que sumarle la tensión de offset.


57

Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos de cada uno de los subapartados. Apartado 1)

Armónicos Amplitud=1 Amplitud=2 Amplitud=5 0 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 1 Khz. -4.83 dBV 1.19 dBV 9.14 dBV 2 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 3 Khz. -23.92 dBV -17.90 dBV -9.94 dBV 4 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 5 Khz. -32.79 dBV -26.77 dBV -18.81 dBV 6 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 7 Khz. -38.64 dBV -32.62 dBV -24.66 dBV 8 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 9 Khz. -43.00 dBV -36.98 dBV -29.02 dBV 10 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV

Apartado 2)

Frecuencia= 0.5 Khz. Frecuencia= 1 Khz. Frecuencia= 2 Khz. 0 Khz. -∞ dBV 0 Khz. -∞ dBV 0 Khz. -∞ dBV






Apartado 3) Armónicos Offset=-2 Offset=-1 Offset=0 Offset=1 Offset=2

0 Khz. 6.02 dBV 0 dBV -∞ dBV 0 dBV 6.02 dBV 1 Khz. -4.83 dBV -4.83 dBV -4.83 dBV -4.83 dBV -4.83 dBV 2 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 3 Khz. -23.92 dBV -23.92 dBV -23.92 dBV -23.92 dBV -23.92 dBV 4 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 5 Khz. -32.79 dBV -32.79 dBV -32.79 dBV -32.79 dBV -32.79 dBV 6 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 7 Khz. -38.64 dBV -38.64 dBV -38.64 dBV -38.64 dBV -38.64 dBV 8 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV 9 Khz. -43.00 dBV -43.00 dBV -43.00 dBV -43.00 dBV -43.00 dBV 10 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV


58

PRÁCTICA LTC-04: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN TREN DE PULSOS SAMPLE 1.- Descripción de la práctica Para una señal periódica de 1Khz, constituida en cada período por una función Sample de 10V de amplitud y 40Khz de frecuencia determinar, usando el osciloscopio, su espectro de amplitud. Comprobar que el valor experimental coincide con el teórico. 2.- Equipos y materiales




59

4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa un tren de pulsos Sample de 10V de amplitud y 1 Khz.

Figura 1. Tren de pulsos Sample

La figura 2 presenta un detalle de la figura anterior en la que se observa con más claridad la forma del pulso Sample. Su espectro de amplitud en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 3. Igualmente, en la figura 4 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Por último la figura 5 representa el espectro en escala logarítmica pero en un mayor rango de frecuencias.


60

Figura 2. Tren de pulsos Sample

Figura 3. Espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample (escala lineal)


61

Figura 4. Espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample (escala en dBV RMS)

Figura 5. Espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample (rango amplio de frecuencias)


62

Los valores medidos (en dBV RMS) y su comparación con los teóricos se recogen en las siguientes tablas. Khz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Aprox. -18.06 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -18.11 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01 Exper. -23.1 -15.0 -15.2 -15.1 -15.2 -15.1 -15.2 -15.0 -15.1 -15.0

Khz 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.11 -15.00 Exper. -15.1 -15.0 -15.1 -15.0 -15.1 -15.0 -15.1 -15.0 -15.1 -15.0

Khz 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.11 -15.00 -15.11 -14.99 -15.12 -14.98 -15.12 -14.97 -15.14 -14.96 Exper. -15.1 -15.0 -15.2 -14.9 -15.1 -15.1 -15.2 -14.9 -15.1 -15.0 Khz 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.15 -14.94 -15.17 -14.92 -15.21 -14.87 -15.28 -14.76 -15.50 -14.30 Exper. -15.2 -14.9 -15.1 -14.9 -15.2 -14.8 -15.3 -14.8 -15.5 -14.4 Khz 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Aprox. -21.07 -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ Exacto -21.09 -36.14 -41.54 -44.98 -47.51 -49.52 -51.18 -52.61 -53.86 -54.97 Exper. -21.0 -37.8 -41.4 -44.8 -50.0 -52.0 -50.2 -54.1 -54.1 -55.1 Como se puede observar los valores teóricos y los experimentales coinciden sensiblemente en todos los casos.


63

Problema PTC0004-10 Se dispone de un osciloscopio digital con capacidad de análisis espectral de señales mediante FFT. El valor de cada una de las componentes espectrales se presenta en dBV RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). Calcular los valores teóricos que deberían observarse en el osciloscopio cuando se realiza el análisis espectral de una señal periódica de 1Khz, constituida en cada período por una función Sample de 10V de amplitud y 40Khz de frecuencia. Solución PTC0004-10

La figura representa el tren de pulsos del enunciado. Cada uno de los ciclos puede verse en detalle en la figura siguiente

Sabemos que la señal puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión

tj

nn

necT

tf ω∑∞

−∞=

= 1)(


dtetfcT

T

tjn

n∫−−=

2/

2/)( ω

En el caso que nos ocupa tenemos que

t

f(t)

T

A

t

f(t)

T

A

t

f(t)

Ts

A

t

f(t)

Ts

A


64

−∈∀

==

2,

2

2)()(

TTtt

TSaAtSaAtf

ss

πω

por lo que

dtet

tsenAdtetSaAc

T

T

tj

s

sT

T

tjsn

nn ∫∫ −

−

−

− ==2/

2/

2/

2/

)()( ωω

ωωω

Desafortunadamente la expresión anterior no puede resolverse analíticamente. Caben dos soluciones: a) una integración numérica con el cálculo de cada uno de los valores necesarios; o b) una solución analítica aproximada. Intentemos primero este segundo camino. Consideremos para ello una señal Sample igual a la anterior, pero que no se repite periódicamente, es decir, un único pulso de tipo Sample. Para este caso,

)()( tSaAtg sω=

y, al no ser periódica, su representación espectral se consigue mediante la transformada de Fourier que vale

[ ]( ) ( ) ( ) ( )n nj t j ts sG g t e dt ASa t e dt ASa tω ωω ω ω

∞ ∞− −

−∞ −∞= = = ℑ∫ ∫

Esta integral tampoco puede resolverse directamente, pero sí podemos acudir a las propiedades de la transformada de Fourier para resolverla. Recordamos que si una función m(t) se transforma en

[ ]( ) ( )M m tω = ℑ

entonces la función )()( tMtn =

se transforma en

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) 2 ( )N n t M t mω π ω= ℑ = ℑ = −

Apliquemos esta propiedad a una función pulso de amplitud B y ancho d

−∉∀=

−∈∀=

2,

20)(

2,

2)(

ddttm

ddtBtm

Sabemos, y es fácil demostrar, que su transformada vale

[ ]( ) ( )2

dM m t BdSaω ω = ℑ =

Tengamos ahora otra función constituida por un pulso tipo Sample

==2

)()(d

tBdSatMtn

La transformada de esta función, aplicando la propiedad anteriormente enunciada será

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) 2 ( )N n t M t mω π ω= ℑ = ℑ = −

lo que dada la simetría de la función Sample nos lleva a


65

)(2)( ωπω mN =

−∉∀=

−∈∀=

2,

20)(

2,

22)(

ddN

ddBN

ωω

ωπω

Comparando n(t) con g(t) tenemos

=

=

2)(

)()(

dtBdSatn

tSaAtg sω

y, por lo tanto, ambas funciones son iguales si

BdAd

s == ;2

ω

o lo que es lo mismo

ss

A

d

ABd

ωω

2;2 ===

por lo que la transformada es

[ ]

[ ]

−∉∀=

−∈∀=⋅

==

ss

ssss

s

G

ATATAG

ωωωω

ωωωπ

πω

πω

,0)(

,222

22

2)(

es decir, un pulso cuadrado en el plano de la frecuencia, tal como puede observarse en la gráfica

Con esos resultados, y volviendo a la señal original, podemos escribir

dtetSaAdtetSaAdtetSaAcT

tjs

T tjs

tjsn

nnn ∫∫∫∞ −−

∞−

−∞

∞−

− −−=2/

2/)()()( ωωω ωωω

Comparando con las expresiones anteriores vemos que

dtetSaAdtetSaAGcT

tjs

T tjsn

nn ∫∫∞ −−

∞−

− −−=2/

2/)()()( ωω ωωω

G(ω)

2ωs

ω

2sAT

G(ω)

2ωs

ω

2sAT


66

Si T>>Ts la función Sample toma un valor muy pequeño, lo mismo que ocurre con las dos integrales de la expresión anterior. Por tanto, de una forma aproximada (ver Anexo), podemos escribir

)(ωGcn ≈

[ ][ ]

−∉∀≈

−∈∀≈

ssnn

ssns

n

c

ATc

ωωω

ωωω

,0

,2

−∉∀≈

−∈∀≈

ssn

ss

sn

TTT

nc

TTT

nATc

πππ

πππ

2,

220

2,

22

2

−∉∀≈

−∈∀≈

ssn

ss

sn

T

T

T

Tnc

T

T

T

Tn

ATc

,0

,2

El valor de G(ω) presenta una singularidad en ω= ωs, cambiando bruscamente de valor. Esto hace que debamos estudiar especialmente el valor de cn para ωn= ωs. En este caso tenemos

dtetSaAdtetSaAcT

T

tjs

T

T

tjsn

sn ∫∫ −

−

−

− ==2/

2/

2/

2/)()( ωω ωω

[ ]dttjsenttSaAc ss

T

T sn )()cos()(2/

2/ωωω −= ∫−

dttsentjSaAdtttSaAc s

T

T ss

T

T sn )()()cos()(2/

2/

2/

2/ωωωω ∫∫ −−

−=

La segunda integral, como la de cualquier función simétrica es cero. En efecto,

dttsentjSaAdttsentjSaAdttsentSaAj s

T

ssT ss

T

T s )()()()()()(2/

0

0

2/

2/

2/ωωωωωω ∫∫∫ +=

−−

Haciendo en la primera integral el cambio de variable

00;2/2/;; =→==→−=−=−= xtTxTtdxdtxt tenemos

dttsentjSaAdxxsenxjSaAdttsentjSaA s

T

ssT ss

T

T s )()())(()()()(2/

0

0

2/

2/

2/ωωωωωω ∫∫∫ +−−−=

−


T

ss

T

ss

T

T s )()())(()()()(2/

0

2/

0

2/

2/ωωωωωω ∫∫∫ +−−−−=

−

Como la función Sample es simétrica y la función seno no lo es, podemos escribir


T

ss

T

ss

T

T s )()()()()()(2/

0

2/

0

2/

2/ωωωωωω ∫∫∫ +−=

−


67

de donde, como queríamos demostrar,

0)()(2/

2/=∫− dttsentjSaA s

T

T s ωω

Sustituyendo en el cálculo del valor de cn tenemos

dtttSaAdttsentjSaAdtttSaAc s

T

T ss

T

T ss

T

T sn )cos()()()()cos()(2/

2/

2/

2/

2/

2/ωωωωωω ∫∫∫ −−−

=−=

dttASadttsen

t

Adtt

t

tsenAc

T

T ss

T

Ts

s

T

Ts

sn ∫∫∫ −−−

===2/

2/

2/

2/

2/

2/)2(

2

)2()cos(

)( ωωω

ωω

ω

dtetASadttASac tjssn

0)2()2( ∫∫∞

∞−

∞

∞−=≈ ωω

Es decir el valor será aproximadamente igual al término de continua (para ω=0) de la transformada de una función Sample de frecuencia doble a la original. Por tanto, para ω= ωs, tenemos

42

)2/( ssn

ATTAc =≈

Para calcular los armónicos recordaremos que cada armónico vale

0>∀+= − nT

c

T

cM nn

n

=∀+≈

∉∀≈

∈∀+≈

s

ssn

sn

s

ssn

T

Tn

T

AT

T

ATM

T

TnM

T

Tn

T

AT

T

ATM

44

,00

,022

=∀≈

∉∀≈

∈∀≈

s

sn

sn

s

sn

T

Tn

T

ATM

T

TnM

T

Tn

T

ATM

2

,00

,0

Por otro lado la componente de continua vale

T

cM 0

0 =


68

T

ATM s

20 ≈


2log20

1log20 nnRMS

ndBV

MMM

RMS==


00

0 log201

log20 MM

M RMSdBVRMS

==

Con estos resultados estamos en condiciones de obtener los valores teóricos exactos (por cálculo numérico) y aproximados de cada armónico, expresados todos ellos en dBV RMS. Khz 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Aprox. -18.06 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -18.11 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01 -15.10 -15.01

Khz 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.10 -15.00 -15.11 -15.00 Khz 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.11 -15.00 -15.11 -14.99 -15.12 -14.98 -15.12 -14.97 -15.14 -14.96 Khz 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Aprox. -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 -15.05 Exacto -15.15 -14.94 -15.17 -14.92 -15.21 -14.87 -15.28 -14.76 -15.50 -14.30 Khz 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Aprox. -21.07 -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ -∞ Exacto -21.09 -36.14 -41.54 -44.98 -47.51 -49.52 -51.18 -52.61 -53.86 -54.97


69

Anexo. Cálculo del error de aproximación Hemos visto que

dtetSaAdtetSaAGcT

tjs

T tjsn

nn ∫∫∞ −−

∞−

− −−=2/

2/)()()( ωω ωωω

lo que nos permite, si T>>Ts, aproximarlo mediante

)(ωGcn ≈

El error cometido en esta aproximación es

dtetSaAdtetSaAT

tjs

T tjsn

nn ∫∫∞ −−

∞−

− +=2/

2/)()( ωω ωωε

Este error podemos rescribirlo haciendo, en la primera integral, el cambio de variable

2/2/;;; TxTtxtdxdtxt =→−=∞=→−∞=−=−= por lo que tenemos

dtetSaAdxexSaAT

tjs

T xjsn

nn ∫∫∞ −

∞+−−=

2/

2/)()()( ωω ωωε

Recordando que la función Sample es simétrica

dtetSaAdxexSaAT

tjsT

xjsn

nn ∫∫∞ −∞

+=2/2/

)()( ωω ωωε

y cambiando de nuevo de variable x=t

dtetSaAdtetSaAT

tjsT

tjsn

nn ∫∫∞ −∞

+=2/2/

)()( ωω ωωε

( ) ( )∫∫

∞ −∞ − +=+=2/2/ 2

)(2)(T

tjtj

sT

tjtjsn dt

eetSaAdteetSaA

nn

nn

ωωωω ωωε

( ) ( )∫∫∞∞

==2/2/

cos)(

2cos)(2T n

s

s

T nsn dttt

tsenAdtttSaA ω

ωωωωε

Recordando las expresiones trigonométricas de la suma y resta de ángulos tenemos

⋅−⋅=−⋅+⋅=+

bsenabasenbasen

bsenabasenbasen

coscos)(

coscos)(

Sumando ambas ecuaciones

basenbasenbasen cos2)()( ⋅=−++

2

)()(cos

basenbasenbasen

−++=⋅

Aplicando esta expresión a la integral tenemos

∫∞ −++=

2/ 2

)()(2T

nsns

sn dt

ttsenttsen

t

A ωωωωω

ε


70

[ ] [ ]∫∫

∞∞ −++=2/2/

)()(T

s

ns

Ts

nsn dt

t

tsenAdt

t

tsenA

ωωω

ωωωε

Distinguiremos tres casos. a) El primero será el que ocurre cuando ωn< ωs. En este caso en la primera integral hacemos el cambio de variable

2

)(2/;;;)( ns

nsns

TxTtxt

dxdtxt

ωωωω

ωω +=→=∞=→∞=+

==+

y en la segunda integral hacemos el cambio

2

)(2/;;;)( ns

nsns

TxTtxt

dxdtxt

ωωωω

ωω −=→=∞=→∞=−

==−

por lo que el error resulta ser

snT

ns

nss

T

ns

nss

n nsns

dx

x

xsenA

dx

x

xsenA ωω

ωωωω

ωωω

ωωω

ε ωωωω <∀−

−

++

+

= ∫∫∞

−∞

+2

)(

2

)(

snT

s

T

sn nssn

dxx

xsenAdx

x

xsenA ωωωω

ε ωωωω <∀+= ∫∫∞

−∞

+2

)(

2

)(

b) El segundo caso será el que ocurre cuando ωn> ωs. En este caso en la primera integral hacemos el mismo cambio de variable y en la segunda integral hacemos el cambio

2

)(2/;;;)( sn

snsn

TxTtxt

dxdtxt

ωωωω

ωω −=→=∞=→∞=−

==−

por lo que el error resulta ser

snT

sn

sns

T

ns

nss

n snsn

dx

x

xsenA

dx

x

xsenA ωω

ωωωω

ωωω

ωωω

ε ωωωω >∀−

−

−++

+

= ∫∫∞

−∞

+2

)(

2

)()(

snT

s

T

sn snsn

dxx

xsenAdx

x

xsenA ωωωω

ε ωωωω >∀−= ∫∫∞

−∞

+2

)(

2

)(

c) El tercer y último caso será el que ocurre cuando ωn= ωs. En este caso sustituimos estos valores en ambas integrales teniendo

snTs

Ts

sn dt

t

tsenAdt

t

tsenA ωω

ωωωε =∀+= ∫∫

∞∞

2/2/

)0()2(

snTs

sn dt

t

tsenA ωω

ωωε =∀= ∫

∞

2/

)2(

Haciendo el cambio de variable

ss

s TxTtxtdx

dtxt ωω

ω =→=∞=→∞=== 2/;;2

;2


71

tenemos

snTs

ns

dxx

senxA ωω

ωε

ω=∀= ∫

∞

22

snTs

ns

dxx

senxA ωωω

εω

=∀= ∫∞

Resumiendo los tres casos, el error de aproximación resulta ser

=∀=

>∀−=

<∀+=

∫

∫∫

∫∫

∞

∞−

∞+

∞−

∞+

snTs

n

snT

s

T

sn

snT

s

T

sn

s

snsn

nssn

dxx

senxA

dxx

xsenAdx

x

xsenA

dxx

xsenAdx

x

xsenA

ωωω

ε

ωωωω

ε

ωωωω

ε

ω

ωωωω

ωωωω

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

y en términos absolutos

=∀≤

>∀+≤

<∀+≤

∫

∫∫

∫∫

∞

∞−

∞+

∞−

∞+

snTs

n

snT

s

T

sn

snT

s

T

sn

s

snsn

nssn

dxx

senxA

dxx

xsenAdx

x

xsenA

dxx

xsenAdx

x

xsenA

ωωω

ε

ωωωω

ε

ωωωω

ε

ω

ωωωω

ωωωω

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

En definitiva, el error resulta ser dependiente de integrales del tipo

∫∞

=a

dxx

xsenaI )(

en las que el límite inferior de la integral es un número positivo que crece, cuando T crece.

( )

=∀≤

>∀

−+

+≤

<∀

−+

+≤

snss

n

snsn

s

sn

sn

snns

s

sn

sn

TIA

TI

ATI

A

TI

ATI

A

ωωωω

ε

ωωωωω

ωωω

ε

ωωωωω

ωωω

ε

2

)(

2

)(

2

)(

2

)(

Mostraremos que las integrales I(a) y, por tanto el error de aproximación, son muy pequeños cuando T es muy grande. Para ello veamos que el integrando está formado por dos funciones: una senoide de período 2π y una hipérbola. La integral es el área debajo de la curva formada por el integrando y el eje de abscisas, lo que podemos obtener también sumando las áreas de cada período o ciclo.


72

Numeramos los ciclos empezando por i=0 (de x=0 a x=2π), i=1 (de x=2π a x=4π), i=2 (de x=4π a x=6π), y así sucesivamente hasta i=∞. Supondremos también que el límite inferior de la integral a está en el ciclo m-ésimo (por simplicidad y sin pérdida de generalidad supondremos que coincide con el inicio del ciclo). Es decir,

ma π2= Según esto, la integral vale

∑∫∞

=

∞==

miia

Adxx

xsenaI )(

siendo Ai el área del ciclo i-ésimo. Este ciclo va desde x=2πi a x=2π(i+1) y está formado por dos semiciclos, uno positivo de área Aip desde x=2πi a x=2πi+π y otro negativo de área Ain desde x=2πi+π a x=2π(i+1), siendo

∫∫+

+

++=+=

)1(2

2

2

2

i

i

i

iinipi dxx

xsendx

x

xsenAAA

π

ππ

ππ

π

En el semiciclo positivo, la senoide está multiplicada por un valor variable 1/x comprendido en el intervalo

Ciclo i Ciclo i+1Ciclo i-1

2πi 2π(i+1)

iπ2

1

)1(2

1

+iπππ +i2

1

2πi+ π

Ciclo i Ciclo i+1Ciclo i-1

2πi 2π(i+1)

iπ2

1

)1(2

1

+iπππ +i2

1

2πi+ π

Ciclo i Ciclo i+1Ciclo i-1 Ciclo i Ciclo i+1Ciclo i-1


73

πππ +≥≥

ixi 2

11

2

1

Si sustituimos ese factor variable por una constante igual al máximo valor del factor en el semiciclo obtendremos una cota superior del área del semiciclo. En efecto,

∫∫++

≤=ππ

π

ππ

π πi

i

i

iip dxi

xsendx

x

xsenA

2

2

2

2 2

Igualmente, en el semiciclo negativo la senoide está multiplicada por un valor variable 1/x comprendido en el intervalo

)1(2

11

2

1

+≥≥

+ ixi πππ

Si sustituimos ese factor variable por una constante igual al mínimo valor del factor en el semiciclo obtendremos una cota superior del área del semiciclo (recordemos que el área en este semiciclo es negativa). En efecto,

∫∫+

+

+

+ +≤=

)1(2

2

)1(2

2 )1(2

i

i

i

iin dxi

xsendx

x

xsenA

π

ππ

π

ππ π

Sustituyendo las cotas superiores de las áreas de los semiciclos positivo y negativo obtenemos una cota superior del área total del ciclo

∫∫+

+

+

++≤+=

)1(2

2

2

2 )1(22

i

i

i

iinipi dxi

xsendx

i

xsenAAA

π

ππ

ππ

π ππ

Integrando tenemos

[ ] [ ])1(2

cos

2

cos )1(22

22

+−

+−

≤+

++

i

x

i

xA

ii

ii

i ππ

πππ

πππ

[ ] [ ] [ ] [ ]

)1(2

)1(2cos2cos

2

2cos2cos

++−+++−≤

i

ii

i

iiAi π

ππππ

πππ

)1(2

2

2

2

)1(2

1)1(

2

)1(1

+−=

+−−+−−≤

iiiiAi ππππ

+−≤

1

111

iiAi π

Sustituyendo este resultado en el cálculo de la integral de la función Sample tenemos

∑∑∫∞

=

∞

=

∞

+−≤==

mimiia ii

Adxx

xsenaI

1

111)(

π

+

+−

++

+−

++

+−≤ L

3

1

2

1

2

1

1

1

1

111)(

mmmmmmaI

π

ππ mmaI

111)( =

≤


74

Recordando que ma π2=

y sustituyendo el valor de m en función de a tenemos

aaaI

221)( =≤ π

π

Sustituyendo esta cota de la integral en la expresión del error de aproximación tenemos

=∀≤

>∀−

++

≤

<∀−

++

≤

snss

n

snsnssns

n

snnsssns

n

T

A

TA

TA

TA

TA

ωωωω

ε

ωωωωωωωωε

ωωωωωωωωε

2

2

)(2

2

)(2

2

)(2

2

)(2

Como en esa expresión todos los valores son positivos tenemos

=∀≤

>∀−

++

≤

<∀−

++

≤

snss

n

snsnssns

n

snnsssns

n

T

A

T

A

T

A

T

A

T

A

ωωωω

ε

ωωωωωωωω

ε

ωωωωωωωω

ε

2

)(

4

)(

4

)(

4

)(

4

y simplificando

=∀≤

>∀

−+

+≤

<∀

−+

+≤

snss

n

snsnsns

n

snnssns

n

T

A

T

A

T

A

ωωωω

ε

ωωωωωωω

ε

ωωωωωωω

ε

12

114

114

=∀≤

>∀

−+

+≤

<∀

−+

+≤

snss

n

snsnsns

n

snnssns

n

ffff

fA

fffffff

fA

fffffff

fA

ππππ

ε

πππππππ

ε

πππππππ

ε

222

1

2

2

2222

1

22

1

2

4

2222

1

22

1

2

4


75

=∀≤

>∀

−+

+≤

<∀

−+

+≤

sns

n

snsnsn

n

snnssn

n

fffm

A

ffffffm

A

ffffffm

A

2

2

2

2

11

11

πε

πε

πε

Vemos que, como queríamos demostrar, cuando T crece disminuye la integral y por tanto, disminuye el error. Podemos hacer el error tan pequeño como queramos sin más que aumentar m (T/Ts), o lo que es lo mismo, la relación entre el período del tren de pulsos Sample (T) y el período de la propia función Sample (Ts). El valor de m en nuestro enunciado es 40. La gráfica siguiente muestra la evolución del error de la aproximación en función de m para tres armónicos (0 Khz, 10 Khz y 30 Khz). Este error se ha calculado por métodos numéricos y está expresado en porcentaje sobre el valor máximo teórico del espectro que, como vimos anteriormente, vale

22)( sAT

BG == πω

Vemos como, efectivamente, el error va disminuyendo al hacer que el período del tren de pulsos Sample (T) sea sensiblemente mayor que el período de la propia función Sample (Ts), es decir, al hacer que m crezca. En la gráfica siguiente se muestra la evolución del error de la aproximación para los distintos armónicos (m=40, valor del enunciado). Se observa una singularidad del error a la frecuencia de 40 Khz (pasa del 9.08% al 0.13%). Esta frecuencia es la misma a la que se produce la singularidad del espectro. En cualquier caso, se observa que, para los datos del enunciado, el error no supera el 10% en ninguno de los armónicos.

0 20 40 60 80 100m HTêTsL

0

5

10

15

20

25

rorrE

H%L


76

Estos valores se encuentran por debajo de las cotas calculadas tal como puede verse en la gráfica siguiente que muestra la evolución del error de la aproximación y su cota en función de m para el armónico de 30 Khz.

De igual forma, en la gráfica inferior se muestra la evolución del error de la aproximación y su cota para los distintos armónicos (m=40, valor del enunciado).

0 20 40 60 80 100Armó nico HKhz L

0

2

4

6

8

rorrE

H%L

0 20 40 60 80 100m HTêTsL

10

20

30

40

50

rorrE

H%L

0 20 40 60 80 100Armó nico HKhz L

0

5

10

15

20

rorrE

H%L


77

PRÁCTICA 2: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SISTEMAS


78

PRÁCTICA 2: ANÁLISIS ESPECTRAL DE SISTEMAS 1.- Descripción de la práctica 1.1.- Excitar un circuito RC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:

1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. El retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 5. Inyectar ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia

del tren de pulsos 1Khz y frecuencia del Sample 40 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.

Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio en “CA”. R=1KΩ, C=100nF.

1.2.- Excitar un circuito RC paso de alta como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:


del tren de pulsos 200 Hz y frecuencia del Sample 8 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.


R

C

vi(t) vo(t)R

C

vi(t) vo(t)

R

Cvi(t) vo(t)

R

Cvi(t) vo(t)


79

1.3.- Excitar un circuito RLC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:


del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.

Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio en “CA”. R=100Ω, L= 10mH, C=100nF.


• Generador de señales • Osciloscopio • Resistencias de 100Ω y 1 KΩ • Bobina de 10mH • Condensador de 100nF

3.- Estudio teórico El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de laboratorios siguientes: Epígrafe 1.1: Laboratorio LTC-05 Epígrafe 1.2: Laboratorio LTC-06 Epígrafe 1.3: Laboratorio LTC-08

C

L

vi(t) vo(t)

R

C

L

vi(t) vo(t)

R


80

4.- Hojas de resultados experimentales 4.1. Circuito RC paso de baja

Tensión (voltios)

Retardo (Microsegundos)

Ganancia Desfase (Grados)

Retardo de grupo (Microsegundos)

Frecuencia (en Khz)

Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 0,1 0,25 0,5 1 1,59 2 3 4 5 7 10 20 50 100 500 1.000 4.2. Circuito RC paso de alta

Tensión (voltios)




Frecuencia (en Khz)

Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 0,1 0,25 0,5 1 1,59 2 3 4 5 7 10 20 50 100 500 1.000


81

4.3. Circuito RLC paso de baja

Tensión (voltios)




Frecuencia (en Khz)

Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 0,1 0,5 1 2 3 4 4,5 4,7 5 5,5 6 7 10 20 50 100 500 1000


82

PRÁCTICA LTC-05: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN SISTEMA RC PASO DE BAJA 1.- Descripción de la práctica Excitar un circuito RC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:


del tren de pulsos 1Khz y frecuencia del Sample 40 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.



• Generador de señales • Osciloscopio • Resistencia de 1KΩ • Condensador de 100nF


R

Cvi(t) vo(t)

R

Cvi(t) vo(t)


83

4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La Figura 4 representa (en amarillo) una señal de excitación senoidal de 5V de amplitud y 1 Khz. y la correspondiente señal de salida (en azul).


En la gráfica podemos observar que en la tensión de salida se produce una atenuación y un retraso. Repitiendo este proceso para distintas frecuencias de la señal de entrada y midiendo las tensiones y retardos de la señal de salida obtenemos la tabla de la página siguiente. El enunciado nos sugiere que las tensiones se midan pico a pico. Ello nos facilita la medida (muchos osciloscopios la tienen incorporada) limitando el posible efecto que una tensión de offset tendría sobre una medida de amplitud. Igualmente, la sugerencia de acoplamiento en el osciloscopio en “CA” va encaminada a eliminar el efecto que una posible tensión de offset (siempre presente por las impresiones de la fuente de señal) tendría sobre las medidas. En la tabla, las 4 primeras columnas (encabezadas “Exp.”) son medidas directas obtenidas experimentalmente con el osciloscopio. Las columnas encabezadas como “Calc.” son medidas indirectas calculadas a partir de las medidas directas experimentales. Por último, las columnas encabezadas como “Teor.” reflejan los valores teóricos que deberían obtenerse.


84

Tensión (voltios)




Frecuencia (en Khz)

Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 10,10 10,16 0,00 -100,00 1,006 1,000 0,0 -0,4 -115,56 -100,00 0,1 10,12 10,17 -104,00 -99,87 1,005 0,998 -3,7 -3,6 -115,56 -99,61 0,25 10,09 10,03 -104,00 -99,19 0,994 0,988 -9,4 -8,9 -104,00 -97,59 0,5 10,02 9,61 -102,00 -96,89 0,959 0,954 -18,4 -17,4 -100,00 -91,02 1 9,94 8,40 -94,00 -89,28 0,845 0,847 -33,8 -32,1 -86,00 -71,70 1,59 9,79 6,92 -80,00 -78,54 0,707 0,707 -45,8 -45,0 -56,33 -50,00 2 9,69 6,04 -73,60 -71,51 0,623 0,623 -53,0 -51,5 -48,66 -38,77 3 9,57 4,49 -58,40 -57,46 0,469 0,469 -63,1 -62,1 -28,00 -21,96 4 9,53 3,53 -48,80 -47,43 0,370 0,370 -70,3 -68,3 -20,00 -13,67 5 9,50 2,91 -41,40 -40,19 0,306 0,303 -74,5 -72,3 -11,80 -9,20 7 9,49 2,14 -31,40 -30,63 0,225 0,222 -79,1 -77,2 -6,40 -4,92 10 9,44 1,55 -22,60 -22,49 0,164 0,157 -81,4 -81,0 -2,07 -2,47 20 9,46 0,76 -11,80 -11,87 0,080 0,079 -85,0 -85,5 -1,00 -0,63 50 9,47 0,32 -4,88 -4,90 0,034 0,032 -87,8 -88,2 -0,27 -0,10 100 9,48 0,17 -2,46 -2,47 0,018 0,016 -88,6 -89,1 -0,04 -0,03 500 9,68 0,04 -0,48 -0,50 0,004 0,003 -86,4 -89,8 0,02 0,00 1.000 9,65 0,03 -0,25 -0,25 0,003 0,002 -89,3 -89,9 -0,02 0,00 Los valores calculados a partir de los datos experimentales son los siguientes: la ganancia

o

i

VG

V=

el desfase φº (en grados) a partir del retardo R y de la frecuencia f 2 360

º 3602

R R fT

πϕπ

= = ⋅ ⋅

y, por último, el retardo de grupo a partir del desfase φº y de la frecuencia f

( )

2º

2 1 º 1 º 13602 360 2 360 360g

dd d d

Rd d f df df f

πϕϕ π ϕ ϕ ϕω π π

∆ = = = = ≈

∆

Apartado a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

0,001

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

0,001

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)


85

Apartado b) Las gráficas siguientes representan el espectro de fase (en grados) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.

Apartado c) Las gráficas siguientes representan el retardo del sistema (en microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.

Apartado d) Las gráficas siguientes representan el retardo de grupo del sistema (en microsegundos) en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.

Todos los valores teóricos y experimentales coinciden con bastante aproximación. Únicamente se observan algunas discrepancias sensibles en los valores de los retardos a

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)


86

muy baja frecuencia. Ello es debido a la dificultad de medir en el osciloscopio desfases muy pequeños, como ocurre en el caso de las bajas frecuencias. Aunque en menor medida, también se observan algunas discrepancias en los valores de ganancia a altas frecuencias. La explicación en este caso es la misma: los valores de la tensión de salida son tan bajos que no pueden medirse bien con el osciloscopio (vienen afectados por las imprecisiones experimentales). Apartado e) Según el estudio teórico realizado, para la señal de entrada el valor del armónico esperado es de 177 mV hasta 40 Khz. La gráfica siguiente muestra la representación obtenida en el osciloscopio que coincide sensiblemente con el valor teórico.

Figura 2.

Por otra parte, sabemos del estudio teórico que la forma del espectro de la señal de salida es aproximadamente igual a la de la función de transferencia, difiriendo únicamente en un valor constante. En la gráfica siguiente observamos el valor obtenido en el osciloscopio para el espectro de amplitud de la señal de salida del sistema. En dicha gráfica hemos superpuesto el valor teórico y experimental del espectro de amplitud del sistema que hemos trazado ya en el apartado a). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente.


87

Figura 3.


88

Problema PTC0004-11 Se dispone de un circuito RC como el de la figura. Calcular:

1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. La frecuencia de 3dB. 5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de 3dB. 6. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia

del tren de pulsos 1Khz y frecuencia del Sample 40 Khz. Demostrar que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de amplitud del sistema.

Datos: R= 1KΩ, C=100nF

Solución PTC0004-11 Trataremos en primer lugar de determinar la función de transferencia del sistema. Para ello plantearemos las ecuaciones diferenciales que modelan su comportamiento. La intensidad por el condensador será

( )( ) o

C

dv ti t C

dt=

Por otra parte, la tensión en la resistencia es ( ) ( )R Rv t i t R=

Al estar la salida del circuito abierta, la impedancia de la carga es infinita y la intensidad que circula por ella es nula, por lo que las intensidades por la resistencia y por el condensador son iguales

( ) ( ) ( )C Ri t i t i t= =

Aplicando el cálculo de tensiones en el circuito tenemos

( ) ( ) ( )i R ov t v t v t= +

y sustituyendo ( ) ( ) ( )i ov t i t R v t= +

( )

( ) ( )oi o

dv tv t RC v t

dt= +

R

Cvi(t) vo(t)

R

Cvi(t) vo(t)


89

Esta ecuación es la que modela el comportamiento temporal del circuito. Para calcular la función de transferencia no tenemos más que recordar la expresión

)(

)()(

ωωω

jP

jPH

B

A=

donde los polinomios PA y PB son los que aparecen en la ecuación diferencial que modela el comportamiento temporal del sistema, de acuerdo con

)()()()( tyDPtxDP BA =

En nuestro caso, el comportamiento temporal se puede expresar como

( )( ) 1 ( )i ov t RCD v t= +

por lo que los polinomios son

( ) 1

( ) 1A

B

P D

P D RCD

= = +

Sustituyendo en la expresión de la función de transferencia tenemos

( ) 1( )

( ) ( ) 1A

B

P jH

P j RC j

ωωω ω

= =+

1

( )1

Hj RC

ωω

=+

o, en términos de frecuencia

1( )

1 2H f

j fRCπ=

+

Apartado a)

Con este resultado estamos en condiciones de calcular el espectro de amplitud del sistema que no es más que

1( )

1H

j RCω

ω=

+

2 4 6 8 10f HKhz L

0.2

0.4

0.6

0.8

1»HHf L»

Figura 5.Espectro de amplitud (escala lineal)


90


1( )

1 2H f

j fRCπ=

+

La figura 1 representa el espectro de amplitud en escala lineal. Análogamente, la figura 2 lo representa en escala logarítmica.

Figura 2.Espectro de amplitud (escala logaritmica)

Apartado b)

Figura 8. Espectro de fase (escala lineal)

De igual forma, el espectro de fase del sistema es

[ ] [ ] [ ]arg ( ) arg 1 arg 1 01

RCH j RC arctg

ωω ω = − + = −

[ ] ( )arg ( )H arctg RCω ω= −


[ ] ( )arg ( ) 2H f arctg f RCπ= −

La figura 3 representa el espectro de fase en escala lineal. Análogamente, la figura 4 lo representa en escala logarítmica.

0.001 0.01 0.1 1 10 100f

0.02

0.05

0.1

0.2

0.5

1

»HHf L»

2 4 6 8 10f H

-80

-60

-40

-20

Arg @HHf LD


91

Figura 4. Espectro de fase (escala logarítmica)

Apartado c)

Figura 10. Retardo (escala lineal)

El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula como

[ ] [ ] [ ]arg ( )1( ) arg ( ) arg ( )

22

HTR H H

T

ωω ω ω

ππ ω= = =

Recordando que

[ ] ( )arg ( )H arctg RCω ω= −

tenemos que

( )( )

arctg RCR

ωω

ω−

=

En términos de frecuencia podemos escribir

( )2( )

2

arctg f RCR f

f

ππ

−=

0.001 0.01 0.1 1 10 100f HKhz L

-80

-60

-40

-20

0Arg @HHf LD

2 4 6 8 10f H

-100

-80

-60

-40

-20

RHf L HµsL


92

La figura 5 representa el retardo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 6 lo representa en escala logarítmica.

Figura 11. Retardo (escala logarítmica)

Por otra parte, el retardo de grupo se define como [ ]arg ( )

( )g

d HR

d

ωω

ω≡

Por tanto

( )( )2( )

1g

d arctg RC RCR

d RC

ωω

ω ω

− − = =+


( )2( )1 2

g

RCR f

f RCπ−=

+

La figura 7 representa el retardo de grupo del sistema en escala lineal. Análogamente, la figura 8 lo representa en escala logarítmica.

2 4 6 8 10f HKhz L

-100

-80

-60

-40

-20

RgHf L HµsL

Figura 12. Retardo de grupo (escala lineal)

0.01 0.1 1 10 100f HKhz L

-100

-80

-60

-40

-20

RHf L HµsL


93

Las figuras 9 y 10 comparan el retardo y el retardo de grupo en escalas lineal y logarítmica respectívamente.

Figura 15. Retardo (línea inferior) y retardo de grupo (escala lineal)

Se observa cómo, al no ser el espectro de fase lineal, los dos retardos no coinciden. En términos absolutos, vemos que el retardo es mayor que el retardo de grupo.

Figura 16. Retardo (línea inferior) y retardo de grupo (escala logarítmica)

Apartado d) El ancho de banda de 3 dB, o la frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como aquella en la que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella que cumple

3( ) 3dB dBH f dB= −

0.01 0.1 1 10 100f HKhz L

-100

-80

-60

-40

-20

RgHf L HµsL

Figura 13. Retardo de grupo (escala logarítmica)

0.01 0.1 1 10 100f

-100

-80

-60

-40

-20

RHf L HµsL

2 4 6 8 10f

-100

-80

-60

-40

-20

RHf L HµsL

Figura 14. Retardo (línea inferior) y retardo de


94

3

120log 3

1 2 dBj f RCπ= −

+

1 1

3 3 2 220 10

3

1 1 110 10

1 2 2 2dBj f RCπ− − = = = = +

( )223

1 1

21 2 dBf RCπ=

+

( )2

31 2 2dBf RCπ+ =

32 1dBf RCπ =

3

1

2dBfRCπ

=

En nuestro caso tenemos

3 3 9

1 11'59

2 2 (1 10 )(100 10 )dBf KhzRCπ π −= = =

⋅ ⋅

Apartado e) Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de 3 dB (f3dB). En primer lugar, la ganancia del sistema es, por definición,



3

1( ) 0 '707

2dBH f = =

El desfase es

[ ] ( ) ( )3 3

1arg ( ) 2 2 1 45º

2dB dBH f arctg f RC arctg RC arctgRC

π ππ

= − = − = − = −

El retardo del sistema se calcula como

( ) ( )33

3

12

2 2( ) 1

12 422

dBdB

dB

arctg RCarctg f RC RC

R f arctg RC RCf

RC

ππ πππ π

π

− − = = = − = −

3( ) 78'54dBR f sµ= −

Y, por último, el retardo de grupo es


95

( )3 9

3 2 2

3

10 100 10( )

2 211 21 2

2

g dB

dB

RC RC RCR f

f RCRC

RC

π ππ

−− − − − ⋅ ⋅= = = =+ +

3( ) 50g dBR f sµ= −

Apartado f) Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale

110

40 2501

1

sn

AT KhzM mVT

Khz

⋅≈ = =

o, en valores RMS,

250177

2 2n

nRMS

M mVM mV= ≈ =

Por otra parte, si denominamos H(ω) a la función de transferencia del sistema, F(ω) a la representación espectral de la entrada y G(ω) a la representación espectral de la salida, tenemos que

( )

( )( )

GH

F

ωωω

=

Pero si la entrada es aproximadamente constante, entonces

( ) ( )H k Gω ω≈ ⋅ es decir, que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que la función de transferencia, difiriendo en una constante, que para representaciones RMS, toma el valor

1 1

177nRMS

kM mV

= =


96

PRÁCTICA LTC-06: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN SISTEMA RC PASO DE ALTA 1.- Descripción de la práctica Excitar un circuito RC paso de alta como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:


del tren de pulsos 200 Hz y frecuencia del Sample 8 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.



• Generador de señales • Osciloscopio • Resistencia de 1KΩ • Condensador de 100nF


R

C

vi(t) vo(t)R

C

vi(t) vo(t)


97



En la gráfica podemos observar que en la tensión de salida se produce una atenuación y un retraso (adelanto en este caso). Repitiendo este proceso para distintas frecuencias de la señal de entrada y midiendo las tensiones y retardos de la señal de salida obtenemos la tabla de la página siguiente. El enunciado nos sugiere que las tensiones se midan pico a pico. Ello nos facilita la medida (muchos osciloscopios la tienen incorporada) limitando el posible efecto que una tensión de offset tendría sobre una medida de amplitud. Igualmente, la sugerencia de acoplamiento en el osciloscopio en “CA” va encaminada a eliminar el efecto que una posible tensión de offset (siempre presente por las impresiones de la fuente de señal) tendría sobre las medidas. En la tabla, las 4 primeras columnas (encabezadas “Exp.”) son medidas directas obtenidas experimentalmente con el osciloscopio. Las columnas encabezadas como “Calc.” son medidas indirectas calculadas a partir de las medidas directas experimentales. Por último, las columnas encabezadas como “Teor.” reflejan los valores teóricos que deberían obtenerse.


98

Tensión (voltios)




Frecuencia (en Khz)

Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 10,11 0,07 24.000 25.100 0,007 0,006 90.4 89,6 -122.22 -100,00 0,1 10,15 0,66 2.400 2.400 0,065 0,063 86,4 86,4 -122.22 -99,61 0,25 10,15 1,61 900 900,81 0,158 0,155 81,0 81,1 -100,00 -97,59 0,5 10,05 3,13 400 403,11 0,312 0,300 72,0 72,6 -100,00 -91,02 1 9,98 5,43 160 160,72 0,545 0,532 57,6 57,9 -80,00 -71,70 1,59 9,88 7,10 76 78,54 0,719 0,707 43,5 45,0 -66,00 -50,00 2 9,80 7,73 52 53,49 0,789 0,782 37,4 38,5 -41,52 -38,77 3 9,70 8,59 24,8 25,88 0,886 0,883 26,8 27,9 -29,60 -21,96 4 9,66 8,98 14,4 15,07 0,929 0,929 20,7 21,7 -16,80 -13,67 5 9,61 9,17 10,0 9,81 0,954 0,953 18,0 17,7 -7,60 -9,20 7 9,58 9,34 4,8 5,08 0,975 0,975 12,1 12,8 -8,20 -4,92 10 9,57 9,45 2,5 2,51 0,988 0,988 9,0 9,0 -2,87 -2,47 20 9,54 9,52 0,61 0,63 0,998 0,997 4,4 4,5 -1,28 -0,63 50 9,57 9,57 0,10 0,10 1,000 0,999 1,8 1,8 -0,24 -0,10 100 9,58 9,54 0,03 0,03 0,996 1,000 0,9 0,9 -0,05 -0,03 500 9,69 9,67 0,00 0,00 0,997 1,000 0,0 0,2 -0,01 0,00 1.000 9,68 9,65 0,00 0,00 0,998 1,000 0,0 0,1 0,00 0,00 Los valores calculados a partir de los datos experimentales son los siguientes: la ganancia

o

i

VG

V=


º 3602

R R fT

πϕπ

= = ⋅ ⋅


( )

2º

2 1 º 1 º 13602 360 2 360 360g

dd d d

Rd d f df df f


∆ = = = = ≈

∆


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

0,001

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

0,001

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)


99




Todos los valores teóricos y experimentales coinciden con bastante aproximación. Únicamente se observan algunas discrepancias sensibles en los valores de los retardos a

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

020406080

100120140160180200

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

020406080

100120140160180200

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

020406080

100120140160180200

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

020406080

100120140160180200

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)


100

muy baja frecuencia. Ello es debido a la dificultad de medir en el osciloscopio desfases muy pequeños, como ocurre en el caso de las bajas frecuencias. Aunque en menor medida, también se observan algunas discrepancias en los valores de ganancia a bajas frecuencias. La explicación en este caso es la misma: los valores de la tensión de salida son tan bajos que no pueden medirse bien con el osciloscopio (vienen afectados por las imprecisiones experimentales). Apartado e) Según el estudio teórico realizado, para la señal de entrada el valor del armónico esperado es de 177 mV hasta 8 Khz. La gráfica siguiente muestra la representación obtenida en el osciloscopio que coincide sensiblemente con el valor teórico.

Figura 2.

Por otra parte, sabemos del estudio teórico que la forma del espectro de la señal de salida es aproximadamente igual a la de la función de transferencia, difiriendo únicamente en un valor constante. En la gráfica siguiente observamos el valor obtenido en el osciloscopio para el espectro de amplitud de la señal de salida del sistema. En dicha gráfica hemos superpuesto el valor teórico y experimental del espectro de amplitud del sistema que hemos trazado ya en el apartado a). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente.


101

Figura 3.


102

Problema PTC0004-12 Se dispone de un circuito RC como el de la figura. Calcular:

1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. La frecuencia de 3dB. 5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de 3dB. 6. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia

del tren de pulsos 200 Hz y frecuencia del Sample 8 Khz. Demostrar que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de amplitud del sistema.

Datos: R= 1KΩ, C=100nF


( )( ) c

C

dv ti t C

dt=

Por otra parte, la tensión en la resistencia es

0( ) ( ) ( )R Rv t v t i t R= =

o lo que es lo mismo,

0( )( )R

v ti t

R=


( ) ( ) ( )C Ri t i t i t= =


( ) ( ) ( )i c ov t v t v t= +


( ) ( ) ( )c i ov t v t v t= −

R

C

vi(t) vo(t)R

C

vi(t) vo(t)


103

y sustituyendo

[ ]

0

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

i oc i oC

R

d v t v tdv t dv t dv ti t i t C C C

dt dt dt dt

v ti t i t

R

− = = = = − = =

Igualando tenemos

0( ) ( ) ( )i odv t dv t v tC

dt dt R − =

0( ) ( ) ( )i odv t dv t v t

dt dt RC− =

y, finalmente

0

( ) ( ) 1( )i odv t dv t

v tdt dt RC

= +


)(

)()(

ωωω

jP

jPH

B

A=



En nuestro caso, el comportamiento temporal se puede expresar como 1

( ) ( )i oDv t D v tRC

= +


( )

1( )

A

B

P D D

P D DRC

= = +


( )( )

1( )A

B

P j jH

P j jRC

ω ωωω ω

= =+

( )1

j RCH

j RC

ωωω

=+


2( )

1 2

j fRCH f

j fRC

ππ

=+


104

Apartado a)

Figura 1 Espectro de amplitud (escala lineal)


( )1

j RCH

j RC

ωωω

=+


2( )

1 2

j fRCH f

j fRC

ππ

=+


Figura 18. Espectro de amplitud (escala logarítmica)

0.1 1 10 100f

0.02

0.05

0.1

0.2

0.5

1»HHf L»

2 4 6 8 10f HKhz L

0.2

0.4

0.6

0.8

1»HHf L»



105

Apartado b)


De igual forma, el espectro de fase del sistema es

[ ] [ ] [ ]arg ( ) arg arg 12 1

RCH j RC j RC arctg

π ωω ω ω = − + = −

[ ] ( )arg ( )2

H arctg RCπω ω= −


[ ] ( )arg ( ) 22

H f arctg f RCπ π= −



0.001 0.01 0.1 1 10 100f HKhz L

20

40

60

80

Arg @HHf LD

2 4 6 8 10f H

20

40

60

80

Arg @HHf LD


106

Apartado c)


El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula como

[ ] [ ] [ ]arg ( )1( ) arg ( ) arg ( )

22

HTR H H

T

ωω ω ω

ππ ω= = =

Recordando que

[ ] ( )arg ( )2

H arctg RCπω ω= −

tenemos que

( )2( )

arctg RCR

π ωω

ω

−=


( )22( )

2

arctg f RCR f

f

π π

π

−=



2 4 6 8 10f H

25

50

75

100

125

150

175

200RHf L HµsL

0.5 1 5 10 50 100f HKhz L

25

50

75

100

125

150

175

200RHf L HµsL


107

Por otra parte, el retardo de grupo se define como [ ]arg ( )

( )g

d HR

d

ωω

ω≡

Por tanto

( ) ( )( )2

2( )

1g

d arctg RC d arctg RC RCR

d d RC

π ω ωω

ω ω ω

− − − = = =+


( )2( )1 2

g

RCR f

f RCπ−=

+



Apartado d) La frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como aquella en la que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella que cumple


2 4 6 8 10f HKhz L

-100

-80

-60

-40

-20

RgHf L HµsL



0.01 0.1 1 10 100f HKhz L

-100

-80

-60

-40

-20

RgHf L HµsL


108

3

3

220log 3

1 2dB

dB

j f RC

j f RC

ππ

= −+

1 1

3 3 2 23 20 10

3

2 1 110 10

1 2 2 2dB

dB

j f RC

j f RC

ππ

− − = = = = +

( )3

2 2 2 223 3

3 3 3

2 1 1 1

21 2 21 11

2 2 2

dB

dB dB

dB dB dB

f RC

f RC f RC

f RC f RC f RC

π

π ππ π π

= = =+

+ +

2

3

11 2

2 dBf RCπ

+ =

3

11

2 dBf RCπ=

3

1

2dBfRCπ

=


3 3 9

1 11'59

2 2 (1 10 )(100 10 )dBf KhzRCπ π −= = =

⋅ ⋅

Apartado e) Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de 3 dB (f3dB). En primer lugar, la ganancia del sistema es, por definición,



3

1( ) 0 '707

2dBH f = =

El desfase es

[ ] ( ) ( )3 3

1arg ( ) 2 2 1 45º

2 2 2 2dB dBH f arctg f RC arctg RC arctgRC

π π ππ ππ

= − = − = − =


( )( )

3

33

122

2 22( ) 112 2 42

2

dB

dBdB

arctg RCarctg f RCRC

R f arctg RC RCf

RC

ππ ππ π πππ π

π

−− = = = − =


109

3( ) 78'54dBR f sµ=

Y, por último, el retardo de grupo es

( )3 9

3 2 2

3

10 100 10( )

2 211 21 2

2

g dB

dB

RC RC RCR f

f RCRC

RC

π ππ

−− − − − ⋅ ⋅= = = =+ +

3( ) 50g dBR f sµ= −

Apartado f) Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale

110

8 2501

0'2

sn

AT KhzM mVT

Khz

⋅≈ = =

o, en valores RMS,

250177

2 2n

nRMS

M mVM mV= ≈ =


( )

( )( )

GH

F

ωωω

=



1 1

177nRMS

kM mV

= =


110

PRÁCTICA LTC-08: ANÁLISIS ESPECTRAL DE UN SISTEMA RLC PASO DE BAJA 1.- Descripción de la práctica Excitar un circuito RLC paso de baja como el de la figura con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y frecuencia en un rango significativo de valores. Medir la tensión de salida y su retardo con respecto a la entrada. Calcular la ganancia, el desfase y el retardo del sistema para cada frecuencia. Con estos valores determinar:


del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Observar el espectro de amplitud de la entrada y la salida. Determinar en qué medida se parece el espectro de la salida al espectro de amplitud del sistema.

Notas: Las tensiones deben medirse pico a pico y con acoplamiento en el osciloscopio en “CA”. R=100Ω, L= 10mH, C=100nF.


• Generador de señales • Osciloscopio • Resistencia de 100Ω • Bobina de 10mH • Condensador de 100nF


C

L

vi(t) vo(t)

R

C

L

vi(t) vo(t)

R


111


Figura1. Señal senoidal

En la gráfica podemos observar que en la tensión de salida se produce una atenuación (ganancia en este caso) y un retraso. Repitiendo este proceso para distintas frecuencias de la señal de entrada y midiendo las tensiones y retardos de la señal de salida obtenemos la tabla de la página siguiente. El enunciado nos sugiere que las tensiones se midan pico a pico. Ello nos facilita la medida (muchos osciloscopios la tienen incorporada) limitando el posible efecto que una tensión de offset tendría sobre una medida de amplitud. Igualmente, la sugerencia de acoplamiento en el osciloscopio en “CA” va encaminada a eliminar el efecto que una posible tensión de offset (siempre presente por las impresiones de la fuente de señal) tendría sobre las medidas. Experimentalmente obtenemos que la ganancia máxima es de 2’541, por lo que dando por buenos los valores de L y C, podemos calcular el valor de la resistencia total del circuito como

2

2 11 1

( )m

LR

C H ω

= − −


112

Para nuestro caso tenemos

( )3

9 2

2 10 10 11 1 127 '03

100 10 2 '541R

−

−

⋅ = − − = Ω ⋅

es decir, que además de la resistencia de 100 ohmios del circuito, existen otras resistencias debidas a las no idealidades del resto de componentes y, sobre todo, de la fuente. Será éste el valor que utilicemos como valor teórico del circuito en los estudios siguientes. En la tabla, las 4 primeras columnas (encabezadas “Exp.”) son medidas directas obtenidas experimentalmente con el osciloscopio. Las columnas encabezadas como “Calc.” son medidas indirectas calculadas a partir de las medidas directas experimentales. Por último, las columnas encabezadas como “Teor.” reflejan los valores teóricos que deberían obtenerse.

Tensión (voltios)




Frecuencia (en Khz)

Entr. Sal. Exp. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. Calc. Teor. 0,01 10,40 10,40 1.040,0 -12,7 1,00 1,00 3,7 0,0 -115,56 -12,70 0,1 10,30 10,30 0,0 -12,7 1,00 1,00 0,0 -0,5 -115,56 -12,72 0,5 10,30 10,40 -12,0 -12,8 1,01 1,01 -2,2 -2,3 -15,00 -13,06

1 10,40 10,80 -13,2 -13,2 1,04 1,04 -4,8 -4,8 -14,40 -14,21 2 10,20 11,90 -14,8 -14,9 1,17 1,17 -10,7 -10,7 -16,40 -20,02 3 9,72 14,30 -18,8 -18,9 1,47 1,45 -20,3 -20,4 -26,80 -36,40 4 8,52 18,10 -30,4 -28,4 2,12 2,05 -43,8 -40,9 -65,20 -87,23

4,5 7,68 18,90 -40,4 -37,5 2,46 2,43 -65,4 -60,8 -120,40 -135,07 4,7 7,32 18,60 -45,2 -42,1 2,54 2,52 -76,5 -71,2 -153,20 -151,39

5 7,28 17,80 -52,0 -49,0 2,45 2,50 -93,6 -88,1 -158,53 -158,31 5,5 7,84 15,30 -59,6 -57,5 1,95 2,08 -118,0 -113,9 -135,60 -120,96

6 8,44 12,50 -62,4 -60,8 1,48 1,57 -134,8 -131,3 -93,20 -75,61 7 9,28 8,50 -59,2 -59,2 0,92 0,92 -149,2 -149,1 -40,00 -31,45

10 10,00 3,26 -45,6 -45,8 0,33 0,33 -164,2 -164,8 -13,87 -6,74 20 10,30 0,68 -24,0 -24,1 0,07 0,07 -172,8 -173,8 -2,40 -0,96 50 10,40 0,10 -9,9 -9,9 0,01 0,01 -178,6 -177,7 -0,53 -0,13

100 10,40 0,03 -5,0 -5,0 0,00 0,00 -178,6 -178,8 0,00 -0,03 500 10,40 0,01 -1,0 0,00 0,00 0,0 -179,8 1,24 0,00

1000 10,40 0,01 -0,5 0,00 0,00 0,0 -179,9 0,00 0,00 Los valores calculados a partir de los datos experimentales son los siguientes: la ganancia

o

i

VG

V=


º 3602

R R fT

πϕπ

= = ⋅ ⋅



113

( )

2º

2 1 º 1 º 13602 360 2 360 360g

dd d d

Rd d f df df f


∆ = = = = ≈

∆




-70,00

-60,00

-50,00

-40,00

-30,00

-20,00

-10,00

0,00

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-70,00

-60,00

-50,00

-40,00

-30,00

-20,00

-10,00

0,00

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-70,00

-60,00

-50,00

-40,00

-30,00

-20,00

-10,00

0,00

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

-70,00

-60,00

-50,00

-40,00

-30,00

-20,00

-10,00

0,00

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)


114


Todos los valores teóricos y experimentales coinciden con bastante aproximación. Únicamente se observan algunas discrepancias sensibles en los valores de los retardos a muy baja frecuencia. Ello es debido a la dificultad de medir en el osciloscopio desfases muy pequeños, como ocurre en el caso de las bajas frecuencias. Aunque en menor medida, también se observan algunas discrepancias en los valores de ganancia a bajas frecuencias. La explicación en este caso es la misma: los valores de la tensión de salida son tan bajos que no pueden medirse bien con el osciloscopio (vienen afectados por las imprecisiones experimentales).

-250

-200

-150

-100

-50

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-250

-200

-150

-100

-50

0

0 2 4 6 8 10

Frecuencia (Khz)

-250

-200

-150

-100

-50

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)

-250

-200

-150

-100

-50

0

0,01 0,1 1 10 100 1000

Frecuencia (Khz)


115

Apartado e) Según el estudio teórico realizado, para la señal de entrada el valor del armónico esperado es de 177 mV hasta 10 Khz. En la primera gráfica siguiente muestra la representación obtenida en el osciloscopio que coincide sensiblemente con el valor teórico. En ella observamos que, aunque debería ser aproximadamente plano, aparece una bajada en las proximidades de la frecuencia de resonancia.

Figura 2.

Por otra parte, sabemos del estudio teórico que la forma del espectro de la señal de salida es aproximadamente igual a la de la función de transferencia, difiriendo únicamente en un valor constante. No obstante la bajada del espectro de entrada a la frecuencia de resonancia hace que a dichas frecuencias, el espectro de salida no alcance los valores máximos esperados, aunque sí aproxima la forma del espectro. En la segunda de las gráficas siguientes observamos el valor obtenido en el osciloscopio para el espectro de amplitud de la señal de salida del sistema. En dicha gráfica hemos superpuesto el valor teórico y experimental del espectro de amplitud del sistema que hemos trazado ya en el apartado a). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente.


116

Figura 3.


117

Problema PTC0004-14 Se dispone de un circuito RLC como el de la figura. Calcular:

1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. La frecuencia de máxima ganancia y la frecuencia de 3dB. 5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de

máxima ganancia. 6. Se sustituye ahora la resistencia por otra de valor desconocido que da una

ganancia máxima de 10. Calcular el valor de la resistencia y el valor de la frecuencia de máxima ganancia.

7. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Demostrar que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de amplitud del sistema.

Datos: R= 100Ω, L= 10mH, C=100nF


( )( ) o

C

dv ti t C

dt=


( ) ( )R Rv t i t R=

y la tensión en la bobina es

( )( ) L

L

di tv t L

dt=


C

L

vi(t) vo(t)

R

C

L

vi(t) vo(t)

R


118

( ) ( ) ( ) ( )C R Li t i t i t i t= = =


( ) ( ) ( ) ( )i R L ov t v t v t v t= + +

y sustituyendo

( )( ) ( ) ( )i o

di tv t i t R L v t

dt= + +

( ) ( )

( ) ( )o oi o

dv t dv tdv t RC L C v t

dt dt dt = + +

2

2

( ) ( )( ) ( )o o

i o

dv t d v tv t RC LC v t

dt dt= + +


)(

)()(

ωωω

jP

jPH

B

A=




( )2( ) 1 ( )i ov t LCD RCD v t= + +


2

( ) 1

( ) 1A

B

P D

P D LCD RCD

=

= + +


2

( ) 1( )

( ) ( ) ( ) 1A

B

P jH

P j LC j RC j

ωωω ω ω

= =+ +

( )2

1( )

1H

LC j RCω

ω ω=

− +


( )2 2

1( )

1 4 2H f

LCf j f RCπ π=

− +


119

Apartado a) Con este resultado estamos en condiciones de calcular el espectro de amplitud del sistema que no es más que

( )2

1( )

1H

LC j RCω

ω ω=

− +


( )2 2

1( )

1 4 2H f

LCf j f RCπ π=

− +




Apartado b) De igual forma, el espectro de fase del sistema es

[ ] [ ] ( )22

arg ( ) arg 1 arg 1 01

RCH LC j RC arctg

LC

ωω ω ωω

= − − + = − −

[ ] 2arg ( )

1

RCH arctg

LC

ωωω

= − −

0.1 0.5 1 5 10 50 100f

0.050.1

0.51

510»HHf L»

2 4 6 8 10f HKhz L

1

2

3

4

5»HHf L»


120


[ ] 2 2

2arg ( )

1 4

f RCH f arctg

LCf

ππ

= − −




Apartado c) El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula como

[ ] [ ] [ ]arg ( )1( ) arg ( ) arg ( )

22

HTR H H

T

ωω ω ω

ππ ω= = =

Recordando que

[ ] 2arg ( )

1

RCH arctg

LC

ωωω

= − −

2 4 6 8 10f H

-175

-150

-125

-100

-75

-50

-25

Arg @HHf LD

0.5 1 5 10 50 100f HKhz L

-175

-150

-125

-100

-75

-50

-25

Arg @HHf LD


121

tenemos que

21( )

RCarctg

LCR

ωωω

ω

− − =


2 2

21 4

( )2

f RCarctg

LCfR f

f

ππ

π

− − =



Por otra parte, el retardo de grupo se define como

[ ]arg ( )( )g

d HR

d

ωω

ω≡

Por tanto

2 4 6 8 10f H

-50

-40

-30

-20

-10

RHf L HµsL

0.5 1 5 10 50 100f HKhz L

-40

-30

-20

-10

RHf L HµsL



122

2 2

2

2

1 1 1( )

11

g

RC RCd arctg dLC LC

Rd dRC

LC

ω ωω ωω

ω ωωω

− − − − = = + −

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2

2 222 2

22

1 21( )

1 1

1

g

LC RC RC LCR

LC RC LC

LC

ω ω ωω

ω ω ω

ω

− − −−=− + −

−

( )( ) ( ) ( )

22 2 2 2 2

2 222 2

1 2( )

1 1g

LC RC RLC RLCR

LC RC LC

ω ω ωωω ω ω

− − − +=− + −

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 22 22 2

2( )

1 1g

RC RLC RLC RC RLCR

LC RC LC RC

ω ω ωωω ω ω ω

− + − − −= =− + − +

( )( ) ( )

2

2 22

1( )

1g

RC LCR

LC RC

ωω

ω ω

− +=

− +


( )( ) ( )

2 2

2 22 2

1 4( )

1 4 2g

RC LC fR f

LC f f RC

π

π π

− +=

− +


2 4 6 8 10f HKhz L

-200

-150

-100

-50

RgHf L HµsL



123

Apartado d) La frecuencia de máxima ganancia (fm), se define como aquella en la que es máximo

( ) ( ) ( )2 2 22

1 1( )

1 1H

LC j RC LC RCω

ω ω ω ω= =

− + − +

o lo que es lo mismo, cuando es mínimo el denominador de la anterior fracción. Si llamamos

( ) ( )2 22( ) 1f LC RCω ω ω= − +

la ganancia del sistema será máxima cuando f(ω) sea mínima. Para ello derivemos e igualemos a cero

[ ] ( ) ( )2 221( ) d LC RCd f

d d

ω ωωω ω

− + =

[ ] 2 2 4 2 2 2 22 1( ) d L C LC R Cd f

d d

ω ω ωωω ω

− + + =

[ ] ( )2 2 4 2 2 22 1( ) d L C R C LCd f

d d

ω ωωω ω

+ − + =

[ ] ( )2 2 3 2 2( )

4 2 2d f

L C R C LCd

ωω ω

ω= + −

A la frecuencia de máxima ganancia se cumple que

[ ] ( )2 2 3 2 2( )4 2 2 0

m

m m

d fL C R C LC

dω ω

ωω ω

ω=

= + − =

( )2 2 2 2 22 2 2 0m mL C R C LCω ω + − =

lo que nos da dos soluciones

0.5 1 5 10 50 100f HKhz L

-200

-150

-100

-50

RgHf L HµsL



124

( )2 2 2 2 2

0

2 2 0

m

mL C R C LC

ω

ω

= + − =

La primera solución corresponde a un máximo relativo de la ganancia (como puede verse en la gráfica del espectro de amplitud), por lo que la frecuencia de máxima ganancia se corresponde con la segunda solución que es

2 2 2

2 2 2

2 1

2 2m

LC R C R

L C LC Lω −= = −

o en términos de frecuencia

2

2

1 1

2 2m

Rf

LC Lπ= −

que coincide con la frecuencia de resonancia sólo si la resistencia es nula. En nuestro caso tenemos

2 89

3 9 3 2

1 1 (100) 1 1010 4 '91

2 (10 10 )(100 10 ) 2(10 10 ) 2 2mf Khzπ π− − −= − = − =

⋅ ⋅ ⋅

Este valor de la frecuencia de máxima ganancia sólo existe si la expresión dentro de la raíz es mayor que cero. En caso contrario no existe pico en la ganancia. Para que un circuito RLC presente un pico en la ganancia debe cumplirse que

2

2

10

2

R

LC L− ≥

2

2

1

2

R

L LC≤

2 2L

RC

≤

2LR

C≤

En nuestro caso, esta condición se cumple cuando

35

9

2 2(10 10 )2 10

(100 10 )

LR

C

−

−

⋅≤ = = ⋅⋅

447 '21R ≤ Ω

Si representamos el valor de la frecuencia de máxima ganancia en función del valor de la resistencia obtenemos una gráfica cómo la de la figura 9


125

Observamos cómo la frecuencia de máxima ganancia va decreciendo desde la frecuencia de resonancia, situación correspondiente al circuito LC puro (sin resistencia), hasta una frecuencia cero, momento en el cual el circuito RLC deja de tener pico de ganancia y se comporta como un circuito paso de baja simple. Por otra parte, el ancho de banda de 3 dB, o la frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como aquella en la que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella que cumple


320log ( ) 3dBH f = −

1 1

3 3 2 220 10

3

1 1( ) 10 10

2 2dBH f

− − = = = =

( )2 23 3

1 1

1 4 2 2dB dBLCf j f RCπ π=

− +

( ) ( )2 22 23 3

1 1

21 4 2dB dBLCf f RCπ π=

− +

( ) ( )2 22 23 31 4 2 2dB dBLCf f RCπ π− + =

Elevando al cuadrado

( ) ( )2 22 23 31 4 2 2dB dBLCf f RCπ π− + =

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2

3 3 31 16 8 4 2dB dB dBL C f LCf R C fπ π π+ − + =

( )4 2 2 4 2 2 2 2 23 316 4 8 1 0dB dBL C f R C LC fπ π π+ − − =

100 200 300 400 500 600R HΩL

1

2

3

4

5

f mHKhz L

Figura 34. Frecuencia de máxima ganancia


126

Resolviendo esa ecuación bicuadrada tenemos

( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

23 4 2 2

4 8 4 8 64

32dB

R C LC R C LC L Cf

L C

π π π π ππ

− − ± − +=

( )2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 4 2 3 4 2 2

23 4 2 2

4 8 16 64 64 64

32dB

R C LC R C L C R C L L Cf

L C

π π π π π ππ

− − ± + − +=

( )2 2 2 2 4 4 2 2 2 3

23 4 2 2

4 2 4 8 4

32dB

R C LC R C L C R C Lf

L C

π ππ

− − ± + −=

( )2 2 4 4 2 2 2 3

23 2 2 2

2 8 4

8dB


L Cπ− − ± + −

=

En esta expresión sólo es válida la solución con el signo positivo delante de la raíz, ya que en caso contrario, el resultado sería negativo y, al extraer raíz cuadrada, obtendríamos una solución compleja con parte imaginaria. En efecto vemos que

( ) ( )2 22 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 64 4 8R C LC L C R C LCπ π π π π− + ≥ −

o, lo que es lo mismo

( ) ( )22 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 64 4 8R C LC L C R C LCπ π π π π− + ≥ −

Por lo tanto, con el signo positivo de la raíz tenemos

( ) ( )( ) ( )

22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 8 64

4 8 4 8

R C LC R C LC L C

R C LC R C LC

π π π π π

π π π π

− − + − + ≥

− − + −

Si el término entre paréntesis es positivo

( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 24 8 4 8 64 0R C LC R C LC L Cπ π π π π− − + − + ≥

y si es negativo

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 4 8 64 2 4 8 0R C LC R C LC L C R C LCπ π π π π π π− − + − + ≥ − ≥

Por el contrario, con el signo negativo de la raíz tenemos

( ) ( )( ) ( )

22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 8 64

4 8 4 8

R C LC R C LC L C

R C LC R C LC

π π π π π

π π π π

− − − − + ≤

− − + −



127

( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 24 8 4 8 64 0R C LC R C LC L Cπ π π π π− − + − + ≤

y si es negativo

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 4 8 64 2 4 8 0R C LC R C LC L C R C LCπ π π π π π π− − + − + ≤ − ≤

En definitiva, sólo el signo positivo de la raíz da soluciones válidas con lo que

( )2 2 4 4 2 2 2 3

23 2 2 2

2 8 4

8dB


L Cπ− − + + −

=

y, finalmente

( )2 2 4 4 2 2 2 3

3 2 2

2 8 41

2 2dB


L Cπ− − + + −

=

En nuestro caso tenemos, sustituyendo

3 7 '68dBf Khz=

La figura 10 representa el espectro de amplitud en escala lineal señalándose la frecuencia de 3dB. Análogamente, la figura 11 lo representa en escala logarítmica.

0.1 0.5 1 5 10 50 100f

0.050.1

0.51

510»HH f L»


2 4 6 8 10f HKhz L

1

2

3

4

5»HHf L»



128

Apartado e) Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de máxima ganancia (fm). En primer lugar, la ganancia del sistema es

( ) ( )2 22

1( )

1m

m m

HLC RC

ωω ω

=− +

22 2

2 22 2

1( )

1 11

2 2

mHR R

LC R CLC L LC L

ω =

− − + −

22 2 4 2

2

1( )

1 12 2

mHR C R C R C

L L L

ω =

− + + −

4 2 2 4 2

2 2

1( )

4 2

mHR C R C R C

L L L

ω =

+ −

4 2 2

2

1( )

1 14 2

mHR C R C

L L

ω = − +

2 4 2

2

1( )

4

mHR C R C

L L

ω =−


( )( )

( )( )

2 22 9 4 91

23 3

1 1( ) 3'20

10100 100 10 100 100 10 104

10 10 4 10 10

mH ω−− − −

− −

= = =⋅ ⋅ −−

⋅ ⋅

El desfase es

[ ] 2arg ( )

1m

mm

RCH arctg

LC

ωωω

= − −

[ ]

2 2

2 2

22

2

1 12 2arg ( )

1 1 1122

m

R RRC RC

LC L LC LH arctg arctgR CR

LCLLC L

ω

− − = − = − − +− −


129

[ ]2 2 2

2 2 2

1 1arg ( ) 2 2

2 2m

L R L RH arctg arctg

R LC L R LC Lω

= − − = − −

[ ] 2

1arg ( ) 2

2m

LH arctg

R Cω

= − −


[ ] ( )( )

3

2 9

10 10 1 1arg ( ) 2 2 10

2 2100 100 10mH arctg arctgω

−

−

⋅ = − − = − − ⋅

[ ]arg ( ) 80 '79ºmH ω = −


21( )

m

mm

m

RCarctg

LCR

ωω

ωω

− − =


2

2

2

12

2( )

12

m

Larctg

R CR

R

LC L

ω

− −

=−

En nuestro caso

( )( )

3

2 9

2 89

3 9 3 2

10 10 1 12 2 102100 100 10 2( )

1 (100) 1010

(10 10 )(100 10 ) 2(10 10 ) 2

m

arctg arctg

R ω

−

−

− − −

⋅ − − − − ⋅ = =

− −⋅ ⋅ ⋅

( ) 45'7mR sω µ= −

El retardo de grupo del sistema a la frecuencia de máxima ganancia se calcula como

( )( ) ( )

2

2 22

1( )

1

m

g m

m m

RC LCR

LC RC

ωω

ω ω

− +=

− +



130

( )

2

2

22 2

2

2 2

11

2( )

1 11

2 2

g m

RRC LC

LC LR

R RLC RC

LC L LC L

ω

− + −

=

− − + −

2

22 2 4 2

2

1 12

( )

1 12 2

g m

R CRC

LR

R C R C R C

L L L

ω

− + −

=

− + + −

2 2 2

4 2 2 4 2 2 4 2 2 2

2 2 2

2 2 22 2 2

( )

14 2 4 4

g m

R C R C R CRC RC RC

L L LR

R C R C R C R C R C R C R CL L L L L L L

ω

− − − − − −

= = = + − − −

2

2

22

( )

14

g m

R CL

LR

R CR

L

ω

− −

=

−

En nuestro caso

( ) ( )( )

( )( )

2 933 2

3 2

32 92

23

100 100 10 1010 10 2 10 22 10 10 2 10( )

10100 100 10 10 1100 1 4 104 10 10

g mR ω

−−− −

− −

−−

−−

⋅ − ⋅ − − − ⋅ ⋅ = = ⋅ − − ⋅ ⋅

( ) 200g mR sω µ= −

Apartado f) Sabemos que el valor máximo de la ganancia se produce a la frecuencia de máxima ganancia y que vale

2 4 2

2

1( )

4

mHR C R C

L L

ω =−

Si conocemos la ganancia máxima y queremos calcular el valor de la resistencia que la produce, trataremos de despejar R en la ecuación anterior. Para ello procedemos de la siguiente forma

2 4 2

2

1

4 ( )m

R C R C

L L H ω− =


131

2 4 2

22

1

4 ( )m

R C R C

L L H ω− =

Ordenando la ecuación tenemos

24 2

22

10

4 ( )r

C CR R

L L H ω− + =

que es una ecuación bicuadrada en R. Resolviendo tenemos

22 2

222

22 2

2 2

11 144 ( )( )

22

4

mm

C CC C CL LL L L HH

RC C

L L

ωω

± − ± − = =

22

2 11 1

( )m

LR

C H ω

= ± −

En principio esa ecuación tiene dos soluciones, pero veremos que sólo una de ellas es válida. En efecto, la ganancia a la frecuencia de máxima ganancia es siempre mayor que 1

( ) 1mH ω ≥

por lo que

2

10 1

( )mH ω≤ ≤

2

10 1 1

( )mH ω

≤ − ≤

2

10 1 1

( )mH ω≤ − ≤

Pero, según vimos en un apartado anterior, para que el circuito presente un pico de ganancia, se tiene que cumplir que

2 2LR

C≤

por lo que la expresión

22

2 11 1

( )m

LR

C H ω

= ± −


132

sólo tiene solución válida cuando la raíz está precedida del signo menos, ya que en caso contrario la resistencia superaría el valor límite del circuito. En definitiva, la única solución válida es

22

2 11 1

( )m

LR

C H ω

= − −

y, como la resistencia debe ser positiva, finalmente obtenemos

2

2 11 1

( )m

LR

C H ω

= − −


( ) ( )3

5 29 2

2 10 10 11 1 2 10 1 1 10 31'6

100 10 10R

−−

−

⋅ = − − = ⋅ − − = Ω ⋅

Apartado g) Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale

110

40 2501

1

sn

AT KhzM mVT

Khz

⋅≈ = =

o, en valores RMS,

250177

2 2n

nRMS

M mVM mV= ≈ =


( )( )

( )

GH

F

ωωω

=



1 1

177nRMS

kM mV

= =


133

PRÁCTICA 3: TRANSMISIÓN DE SEÑALES EN CABLES


134

PRÁCTICA 3: TRANSMISIÓN DE SEÑALES EN CABLES 1.- Descripción de la práctica 1.1.- Excitar un cable de pares de 50 metros de longitud con un pulso de tensión de 0 a 10 voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%. Colocar en el otro extremo del cable un potenciómetro de 500 ohmios para cargar el cable con distintos valores de resistencia (incluyendo el circuito abierto y el cortocircuito). Observar la tensión de entrada y la de salida para distintos valores de la resistencia de carga. Con estos valores determinar:

a. El retardo del pulso reflejado. b. La velocidad de propagación de las señales por el cable. c. La impedancia característica del cable. d. Los parámetros unitarios del cable (inductancia y capacitancia).

1.2.- Cortocircuitar el cable en un extremo y medir con un polímetro la impedancia de entrada de continua. Con este valor determinar la resistencia del cable de continua. 1.3.- Excitar ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos valores de frecuencia. Observar la tensión de salida midiendo la ganancia. Con estos valores determinar:

a. El espectro de amplitud del cable con una carga igual a la impedancia característica.

b. El ancho de banda de 3dB c. La frecuencia pelicular

1.4.- Repetir los apartados anteriores para un cable coaxial de 50 metros de longitud 2.- Equipos y materiales

• Generador de señales • Osciloscopio • Polímetro • Potenciómetro de 500 Ω

3.- Estudio teórico El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de laboratorios LTC-12 (cable de pares) y LTC-14 (cable coaxial)


135

4.- Hojas de resultados experimentales 4.1. Cable de pares con excitación de un pulso

Retardo del pulso a la salida Retardo del pulso reflejado Resistencia de carga sin reflexiones Resistencia de entrada en cortocircuito

4.2. Cable de pares con excitación sinusoidal

Tensión (voltios)

Ganancia Frecuencia (en Khz)

Entrada Salida Calculada Teórica 0,001 0,01 0,1 1 10 50 100 200 500

1.000 2.000 5.000 10.000

4.3. Cable coaxial con excitación de un pulso

Retardo del pulso a la salida Retardo del pulso reflejado Resistencia de carga sin reflexiones Resistencia de entrada en cortocircuito


136

4.4. Cable coaxial con excitación sinusoidal

Tensión (voltios)


Entrada Salida Calculada Teórica 0,001 0,01 0,1 1 10 50 100 200 500

1.000 2.000 5.000 10.000 16.000


137

PRÁCTICA LTC-12: REFLEXIONES EN UN PAR TRENZADO 1.- Descripción de la práctica 1. Excitar un cable de pares de 50 metros de longitud con un pulso de tensión de 0 a 10

voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%. Colocar en el otro extremo del cable un potenciómetro de 500 ohmios para cargar el cable con distintos valores de resistencia (incluyendo el circuito abierto y el cortocircuito). Observar la tensión de entrada y la de salida para distintos valores de la resistencia de carga. Con estos valores determinar:


2. Cortocircuitar el cable en un extremo y medir con un polímetro la impedancia de

entrada de continua. Con este valor determinar la resistencia del cable de continua. 3. Excitar ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos

valores de frecuencia. Observar la tensión de salida midiendo la ganancia. Con estos valores determinar:




• Generador de señales • Osciloscopio • Cable de par trenzado de 50 metros



138

4.- Resultados Apartado a) Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa (en amarillo) la señal de entrada (un pulso de tensión de 0 a 10 voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%) y la correspondiente señal de salida (en azul) cuando la salida del cable se deja en circuito abierto.

Figura 1. Tren de pulsos de entrada (amarillo) y salida (azul) para cable en circuito abierto

La figura 2 es un detalle de la figura anterior en la que puede observarse (y medirse fácilmente) el retardo entre el pulso de entrada y salida. Igualmente se observa un segundo pulso atenuado en la señal de entrada correspondiente a la reflexión en la salida del cable. Al estar la salida del cable en circuito abierto el coeficiente de reflexión es 1. La atenuación se produce porque el cable no es un cable sin pérdidas, sino que tiene una resistencia distinta de cero. Puede observarse también un segundo pulso atenuado e invertido en la señal de salida correspondiente a la reflexión de esta señal en la entrada del cable (la fuente). Al estar la entrada del cable conectada a una fuente con baja impedancia de salida (idealmente cero), el coeficiente de reflexión en este extremo es idealmente -1.


139

Figura 237. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en circuito abierto (detalle)

Figura 338. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en cortocircuito


140

La figura 3 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del cable está cortocircuitada. Puede observarse que la tensión de salida es nula (está en cortocircuito) y que en la entrada aparece un segundo pulso atenuado e invertido correspondiente a la reflexión de esta señal en la salida del cable. Al estar la salida del cable en cortocircuito el coeficiente de reflexión es -1. Por último, la figura 4 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del cable está cargada con una resistencia igual a la impedancia característica del cable. Esto se consigue cargando el cable con un potenciómetro y variando su valor hasta conseguir que la onda reflejada sea prácticamente nula. En este caso el coeficiente de reflexión es 0.

Figura 4. Tren de pulsos de entrada y salida para cable cargado con la impedancia característica

La medida de la resistencia del potenciómetro en ese momento nos da un valor de 97 ohmios Apartado 1.a) En las figuras anteriores puede observarse que el retardo entre el pulso a la entrada y a la salida es de 348 ns. Igualmente puede observarse cómo a la entrada aparece un pulso reflejado con un retraso de 682 ns. (Aproximadamente el doble del valor anterior). Apartado 1.b) La velocidad de propagación de las señales en el cable se calcula inmediatamente a partir de los resultados anteriores, sin más que recordar que


141

longitudvelocidad

retardo=

50

143.678'16348

m Kmv

ns s= =

o en términos de la velocidad de la luz

143.678'160 '479

300.000

Kmsv c

Km

s

= =

Apartado 1.c) El valor de la resistencia de carga que anula las reflexiones coincide con la impedancia característica del cable, Como hemos visto experimentalmente, esta impedancia es de

0 97Z = Ω

Apartado 1.c) Conociendo el valor de la velocidad de propagación y la impedancia característica del cable, es fácil calcular la capacitancia unitaria mediante la expresión

11

0

1 17 '175 10

143.678'16 97

faradiosC

Kmv Z metros

−= = = ⋅⋅ ⋅ Ω

De igual forma, la inductancia unitaria del cable puede calcularse mediante la expresión

70 976'751 10

143.678'16

Z henriosL

Kmv metros

−Ω= = = ⋅

Apartado 2) Cortocircuitando el cable en un extremo y midiendo con un polímetro la impedancia de entrada de continua obtenemos un valor de 8’9 Ω. Con este valor podemos determinar la resistencia del cable de continua mediante la expresión

8'90 '178

50in

e

ZR =

z m m

Ω Ω= =

Apartado 3) Excitando ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos valores de frecuencia obtenemos un conjunto de valores para la tensión de entrada y de salida. Con ellos calculamos la ganancia y la comparamos con el valor teórico. Los resultados se muestran en la tabla siguiente.


142

Tensión (voltios)


Entrada Salida Calculada Teórica 0,001 6,52 5,72 0,877 0,916 0,01 6,36 5,56 0,874 0,916 0,1 6,48 5,64 0,870 0,916 1 6,52 5,64 0,865 0,916 10 6,52 5,52 0,847 0,906 50 6,56 5,48 0,835 0,857 100 6,40 5,44 0,850 0,814 200 6,40 5,36 0,838 0,763 500 6,32 5,24 0,829 0,717

1.000 6,24 4,92 0,788 0,715 2.000 6,00 4,32 0,720 0,587 5.000 5,60 2,80 0,500 0,441 10.000 4,44 1,40 0,315 0,315

Apartado 3.a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.

Apartado 3.b) El ancho de banda de 3dB se obtiene como aquél que cumple

3( ) 3dB dBH dBω = −

3 3( ) 20 log ( ) 3dB dBdBH H dBω ω= = −

3

203

1( ) 10 0.707

2dBH ω

−

= = =

Observando las gráficas anteriores vemos que esto se produce aproximadamente a 2’5Mhz por lo que

3 2'5dBB Mhz=

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000

Frecuencia (Khz)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2.000 4.000 6.000 8.000 10.000

Frecuencia (Khz)

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

Frecuencia (Khz)

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

Frecuencia (Khz)


143

Apartado 3.c) Para el cálculo de la frecuencia pelicular estudiemos cuanto vale la resistencia a la frecuencia de 10 Mhz

( )0

2 2( ) 97 0'315 4'482

50e

R Z Ln H Lnz m m

ω Ω≈ − = − ⋅ Ω⋅ =

Observamos que la resistencia a alta frecuencia es considerablemente mayor que la de baja frecuencia. Esto es debido al efecto pelicular que, en la zona de alta frecuencia, se expresa mediante

0

2 s

R fR

f=

de donde

2

270

0'17810 3'943

2 2 4'482s

R mf f Hz KhzR

m

Ω = = = Ω ⋅


144

Problema PTC0004-21 En un cable con pérdidas se inyecta un pulso de alta frecuencia. Observando las características de entrada y de salida, calcular:

a) Velocidad de propagación de la señal en el cable b) Capacitancia del cable c) Inductancia del cable d) Resistencia del cable a baja frecuencia e) Frecuencia pelicular del cable

Datos

• Longitud: 50 metros. • Impedancia característica: 58 Ω. • Retardo de propagación de un pulso de alta frecuencia: 254 ns. • Resistencia de entrada (a frecuencia cero) con la salida en cortocircuito: 2.7 Ω. • Ganancia a 10 Mhz con el cable cargado con la impedancia característica: 0’847.

Nota: Considerar que no existen pérdidas en el dieléctrico Solución PTC0004-21 Apartado a) Podemos calcular fácilmente la velocidad de propagación a partir de los datos del cable, sin más que recordar que

longitudvelocidad

retardo=

50

196.850 '39254

m Kmv

ns s= =

Apartado b) Llamando

;Z = R j L Y = G j Cω ω+ + sabemos que la impedancia característica del cable es

0

ZZ

Y=

A alta frecuencia las partes reactivas de Z e Y son mucho más importantes que las resistivas por lo que podemos escribir

0

Z R j L LZ

Y G j C C

ωω

+= = ≈+

También sabemos que la velocidad de propagación es

1v

L C=

⋅


145

Conociendo el valor de la velocidad de propagación y la impedancia característica del cable, es fácil calcular la capacitancia unitaria sabiendo que

0

1 1Lv Z

C CL C⋅ ≈ =

⋅

11

0

1 18'759 10

196.850 '39 58

faradiosC

Kmv Z metros

−≈ = = ⋅⋅ ⋅ Ω

Apartado c) De igual forma, la inductancia unitaria del cable puede calcularse sabiendo que

0

1

LZ LC L C Lv C

L C

≈ = ⋅ =

⋅

70 58

2'946 10196.850 '39

Z henriosL

Kmv metros

−Ω≈ = = ⋅

Apartado d) A frecuencia cero tenemos que

Z = R j L Rω+ =

Y = G j C Gω+ = Como no existen pérdidas en el dieléctrico G=0. Si colocamos el cable en cortocircuito y no influyen G (por ser nula), L ni C (por estar a frecuencia cero) el único efecto es el resistivo por lo que la resistencia de entrada del cable será

in eZ = R z⋅

De ahí deducimos

2'70'054

50in

e

ZR =

z m m

Ω Ω= =

Apartado e) Para calcular la frecuencia pelicular debemos partir de la ganancia (o atenuación) a alta frecuencia. Sabemos que la función de transferencia de un cable con pérdidas es (ver TTC-004)

1( )

e ez zH

e eγ γρω

ρ −

+=+

siendo


146

0

0

L

L

Z Z

Z Zρ −=

+

Z Yγ = ⋅ Cuando el cable se carga con una impedancia igual a la impedancia característica entonces

0 0

0 0

0Z Z

Z Zρ −= =

+

y la función de transferencia es

1( )

ezH

eγω =

siendo el espectro de amplitud

1( )

ezH

eγω =

Cuando la frecuencia es grande se puede demostrar (ver PTC0004-19) que

2

1( )

eRC GL

zLC

H

e

ω +≈

Conociendo la ganancia G, L, y C podemos calcular R desarrollando la expresión anterior

2 1

( )

eRC GL

zLCe

H ω

+

≈

1

( )( )2

e

RC GLz Ln Ln H

HLCω

ω+ ≈ = −

1

( )( )2

e

RC GLz Ln Ln H

HLCω

ω+ ≈ = −

2 ( )

e

LCLn HRC GL

z

ω+ ≈ −

2 ( )

e

LCLn H GLR

C z C

ω≈ − −

⋅

2( )

e

L GLR Ln H

z C Cω≈ − −

Para el caso de ausencia de pérdidas en el dieléctrico (G=0) tenemos


147

2( )

e

LR Ln H

z Cω≈ −

0

2( )

e

R Z Ln Hz

ω≈ −

A la frecuencia de 10 Mhz la resistencia vale

( )0

2 2( ) 58 0'847 0'385

50e

R Z Ln H Lnz m m

ω Ω≈ − = − ⋅ Ω⋅ =

Observamos que la resistencia a alta frecuencia es considerablemente mayor que la de baja frecuencia. Esto es debido al efecto pelicular que, en la zona de alta frecuencia se expresa mediante

0

2 s

R fR

f=

de donde

2

0

2

s

f R

f R

=

2

0

2s

Rf f

R =

Sustituyendo los valores de la resistencia a 10 Mhz podemos calcular la frecuencia pelicular

2

70.054

10 49'1822 0'385

smf Hz Khz

m

Ω

= = Ω ⋅


148

PRÁCTICA LTC-14: REFLEXIONES EN UN CABLE COAXIAL 1.- Descripción de la práctica 1. Excitar un cable coaxial de 50 metros de longitud con un pulso de tensión de 0 a 10

voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%. Colocar en el otro extremo del cable un potenciómetro de 500 ohmios para cargar el cable con distintos valores de resistencia (incluyendo el circuito abierto y el cortocircuito). Observar la tensión de entrada y la de salida para distintos valores de la resistencia de carga. Con estos valores determinar:


2. Cortocircuitar el cable en un extremo y medir con un polímetro la impedancia de

entrada de continua. Con este valor determinar la resistencia del cable de continua. 3. Excitar ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos

valores de frecuencia. Observar la tensión de salida midiendo la ganancia. Con estos valores determinar:




• Generador de señales • Osciloscopio • Cable coaxial de 50 metros



149

4.- Resultados Apartado a) Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa (en amarillo) la señal de entrada (un pulso de tensión de 0 a 10 voltios, 100 Khz frecuencia y un duty cycle del 1%) y la correspondiente señal de salida (en azul) cuando la salida del cable se deja en circuito abierto.

Figura 1. Tren de pulsos de entrada (amarillo) y salida (azul) para cable en circuito abierto

La figura 2 es un detalle de la figura anterior en la que puede observarse (y medirse fácilmente) el retardo entre el pulso de entrada y salida. Igualmente se observa un segundo pulso atenuado en la señal de entrada correspondiente a la reflexión en la salida del cable. Al estar la salida del cable en circuito abierto el coeficiente de reflexión es 1. La atenuación se produce porque el cable no es un cable sin pérdidas, sino que tiene una resistencia distinta de cero. Puede observarse también un segundo pulso atenuado en la señal de salida correspondiente a la reflexión de esta señal en la entrada del cable (la fuente). Al estar la entrada del cable conectada a una fuente con baja impedancia de salida (idealmente cero), el coeficiente de reflexión en este extremo es idealmente -1.


150

Figura 2. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en circuito abierto (detalle)

Figura 3. Tren de pulsos de entrada y salida para cable en cortocircuito


151

La figura 3 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del cable está cortocircuitada. Puede observarse que la tensión de salida es nula (está en cortocircuito) y que en la entrada aparece un segundo pulso atenuado e invertido correspondiente a la reflexión de esta señal en la salida del cable. Al estar la salida del cable en cortocircuito el coeficiente de reflexión es -1. Por último, la figura 4 representa las tensiones de entrada y salida cuando la salida del cable está cargada con una resistencia igual a la impedancia característica del cable. Esto se consigue cargando el cable con un potenciómetro y variando su valor hasta conseguir que la onda reflejada sea prácticamente nula. En este caso el coeficiente de reflexión es 0.

Figura 4. Tren de pulsos de entrada y salida para cable cargado con la impedancia característica

La medida de la resistencia del potenciómetro en ese momento nos da un valor de 58 ohmios Apartado 1.a) En las figuras anteriores puede observarse que el retardo entre el pulso a la entrada y a la salida es de 254 ns. Igualmente puede observarse cómo a la entrada aparece un pulso reflejado con un retraso de 500 ns. (Aproximadamente el doble del valor anterior). Apartado 1.b) La velocidad de propagación de las señales en el cable se calcula inmediatamente a partir de los resultados anteriores, sin más que recordar que


152

longitudvelocidad

retardo=

50

196.850 '39254

m Kmv

ns s= =

o en términos de la velocidad de la luz

196.850 '390 '656

300.000

Kmsv c

Km

s

= =

Apartado 1.c) El valor de la resistencia de carga que anula las reflexiones coincide con la impedancia característica del cable, Como hemos visto experimentalmente, esta impedancia es de

0 58Z = Ω

Apartado 1.d) Conociendo el valor de la velocidad de propagación y la impedancia característica del cable, es fácil calcular la capacitancia unitaria mediante la expresión

11

0

1 18'759 10

196.850 '39 58

faradiosC

Kmv Z metros

−= = = ⋅⋅ ⋅ Ω

De igual forma, la inductancia unitaria del cable puede calcularse mediante la expresión

70 582'946 10

196.850 '39

Z henriosL

Kmv metros

−Ω= = = ⋅

Apartado 2) Cortocircuitando el cable en un extremo y midiendo con un polímetro la impedancia de entrada de continua obtenemos un valor de 2’55 Ω. Con este valor podemos determinar la resistencia del cable de continua mediante la expresión

2'550 '051

50in

e

ZR =

z m m

Ω Ω= =

Apartado 3) Excitando ahora el cable con una tensión sinusoidal de 5 voltios de amplitud y distintos valores de frecuencia obtenemos un conjunto de valores para la tensión de entrada y de salida. Con ellos calculamos la ganancia y la comparamos con el valor teórico. Los resultados se muestran en la tabla siguiente.


153

Tensión (voltios)


Entrada Salida Calculada Teórica 0,001 5,28 5,22 0,989 0,958 0,01 5,28 5,22 0,989 0,958 0,1 5,26 5,18 0,985 0,958 1 5,30 5,14 0,970 0,958 10 5,28 5,06 0,958 0,958 50 5,30 5,06 0,955 0,957 100 5,31 5,06 0,953 0,953 200 5,34 5,06 0,948 0,945 500 5,32 5,00 0,940 0,940

1.000 4,84 4,98 1,029 0,947 2.000 5,12 4,64 0,906 0,926 5.000 4,28 4,12 0,963 0,888 10.000 3,00 2,54 0,847 0,842 16.000 2,06 1,66 0,806 0,805

Apartado 3.a) Las gráficas siguientes representan el espectro de amplitud en escalas lineal y logarítmica, comparando el valor experimental con el teórico.

Apartado 3.b) El ancho de banda de 3dB se obtiene como aquél que cumple

3( ) 3dB dBH dBω = −

3 3( ) 20 log ( ) 3dB dBdBH H dBω ω= = −

3

203

1( ) 10 0.707

2dBH ω

−

= = =

Observando las gráficas anteriores vemos que esta condición no se produce a ninguna frecuencia dentro del rango experimental, por lo que podemos deducir que el ancho de banda es

3 16dBB Mhz>

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5.000 10.000 15.000

Frecuencia (Khz)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5.000 10.000 15.000

Frecuencia (Khz)

0,01

0,1

1

10

0,01 1 100 10000

Frecuencia (Khz)

0,01

0,1

1

10

0,01 1 100 10000

Frecuencia (Khz)


154

Apartado 3.c) Para el cálculo de la frecuencia pelicular estudiemos cuanto vale la resistencia a la frecuencia de 16 Mhz

( )0

2 2( ) 58 0'806 0'500

50e

R Z Ln H Lnz m m

ω Ω≈ − = − ⋅ Ω⋅ =

Observamos que la resistencia a alta frecuencia es considerablemente mayor que la de baja frecuencia. Esto es debido al efecto pelicular que, en la zona de alta frecuencia, se expresa mediante

0

2 s

R fR

f=

de donde

2

260

0'05116 10 41'616

2 2 0'500s

R mf f Hz KhzR

m

Ω = = ⋅ = Ω ⋅


155

Problema PTC0004-14 Se dispone de un circuito RLC como el de la figura. Calcular: 1. El espectro de amplitud del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 2. El espectro de fase del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 3. El retardo y el retardo de grupo del sistema (en escalas lineal y logarítmica). 4. La frecuencia de máxima ganancia y la frecuencia de 3dB. 5. La ganancia, el desfase, el retardo y el retardo de grupo a la frecuencia de máxima

ganancia. 6. Se sustituye ahora la resistencia por otra de valor desconocido que da una ganancia

máxima de 10. Calcular el valor de la resistencia y el valor de la frecuencia de máxima ganancia.

7. Se inyecta ahora un tren de pulsos Sample de 10 voltios de amplitud, frecuencia del tren de pulsos 250 Hz. y frecuencia del Sample 10 Khz. Demostrar que el espectro de la salida tiene aproximadamente la misma forma que el espectro de amplitud del sistema.

Datos: R= 100Ω, L= 10mH, C=100nF


( )( ) o

C

dv ti t C

dt=


( ) ( )R Rv t i t R=

y la tensión en la bobina es

( )( ) L

L

di tv t L

dt=


( ) ( ) ( ) ( )C R Li t i t i t i t= = =

C

L

vi(t) vo(t)

R

C

L

vi(t) vo(t)

R


156


( ) ( ) ( ) ( )i R L ov t v t v t v t= + +

y sustituyendo

( )( ) ( ) ( )i o

di tv t i t R L v t

dt= + +

( ) ( )

( ) ( )o oi o

dv t dv tdv t RC L C v t

dt dt dt = + +

2

2

( ) ( )( ) ( )o o

i o

dv t d v tv t RC LC v t

dt dt= + +


)(

)()(

ωωω

jP

jPH

B

A=




( )2( ) 1 ( )i ov t LCD RCD v t= + +


2

( ) 1

( ) 1A

B

P D

P D LCD RCD

= = + +


2

( ) 1( )

( ) ( ) ( ) 1A

B

P jH

P j LC j RC j

ωωω ω ω

= =+ +

( )2

1( )

1H

LC j RCω

ω ω=

− +


( )2 2

1( )

1 4 2H f

LCf j f RCπ π=

− +

Apartado 1)


157


( )2

1( )

1H

LC j RCω

ω ω=

− +


( )2 2

1( )

1 4 2H f

LCf j f RCπ π=

− +


Apartado 3) De igual forma, el espectro de fase del sistema es

[ ] [ ] ( )22

arg ( ) arg 1 arg 1 01

RCH LC j RC arctg

LC

ωω ω ωω

= − − + = − −

[ ] 2arg ( )

1

RCH arctg

LC

ωωω

= − −


0.1 0.5 1 5 10 50 100f HKhzL0.05

0.1

0.51

510ÈHHfLÈ


2 4 6 8 10f HKhzL1

2

3

4

5ÈHHfLÈ



158

[ ] 2 2

2arg ( )

1 4

f RCH f arctg

LCf

ππ

= − −


Apartado 3) El retardo (en tiempo) que el sistema introduce a un armónico determinado es fácil calcularlo en función del desfase (en ángulo) que se produce, sin más que tener en cuenta que el período T equivale a un ángulo de 2π, por lo que el retardo se calcula como

[ ] [ ] [ ]arg ( )1( ) arg ( ) arg ( )

22

HTR H H

T

ωω ω ω

ππ ω= = =

Recordando que

[ ] 2arg ( )

1

RCH arctg

LC

ωωω

= − −

tenemos que

2 4 6 8 10f H

-175

-150

-125

-100

-75

-50

-25

Arg @HHf LD


0.5 1 5 10 50 100f HKhz L

-175

-150

-125

-100

-75

-50

-25

Arg @HHf LD



159

21( )

RCarctg

LCR

ωωω

ω

− − =


2 2

21 4

( )2

f RCarctg

LCfR f

f

ππ

π

− − =


Por otra parte, el retardo de grupo se define como

[ ]arg ( )( )g

d HR

d

ωω

ω≡

Por tanto

2 4 6 8 10f H

-50

-40

-30

-20

-10

RHf L HµsL


0.5 1 5 10 50 100f HKhz L

-40

-30

-20

-10

RHf L HµsL



160

2 2

2

2

1 1 1( )

11

g

RC RCd arctg dLC LC

Rd dRC

LC

ω ωω ωω

ω ωωω

− − − − = = + −

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2

2 222 2

22

1 21( )

1 1

1

g

LC RC RC LCR

LC RC LC

LC

ω ω ωω

ω ω ω

ω

− − −−=− + −

−

( )( ) ( ) ( )

22 2 2 2 2

2 222 2

1 2( )

1 1g

LC RC RLC RLCR

LC RC LC

ω ω ωωω ω ω

− − − +=− + −

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2 2

2 22 22 2

2( )

1 1g

RC RLC RLC RC RLCR

LC RC LC RC

ω ω ωωω ω ω ω

− + − − −= =− + − +

( )( ) ( )

2

2 22

1( )

1g

RC LCR

LC RC

ωω

ω ω

− +=

− +


( )( ) ( )

2 2

2 22 2

1 4( )

1 4 2g

RC LC fR f

LC f f RC

π

π π

− +=

− +


2 4 6 8 10f HKhz L

-200

-150

-100

-50

RgHf L HµsL



161

Apartado 4) La frecuencia de máxima ganancia (fm), se define como aquella en la que es máximo

( ) ( ) ( )2 2 22

1 1( )

1 1H

LC j RC LC RCω

ω ω ω ω= =

− + − +

o lo que es lo mismo, cuando es mínimo el denominador de la anterior fracción. Si llamamos

( ) ( )2 22( ) 1f LC RCω ω ω= − +

la ganancia del sistema será máxima cuando f(ω) sea mínima. Para ello derivemos e igualemos a cero

[ ] ( ) ( )2 221( ) d LC RCd f

d d

ω ωωω ω

− + =

[ ] 2 2 4 2 2 2 22 1( ) d L C LC R Cd f

d d

ω ω ωωω ω

− + + =

[ ] ( )2 2 4 2 2 22 1( ) d L C R C LCd f

d d

ω ωωω ω

+ − + =

[ ] ( )2 2 3 2 2( )

4 2 2d f

L C R C LCd

ωω ω

ω= + −

A la frecuencia de máxima ganancia se cumple que

[ ] ( )2 2 3 2 2( )4 2 2 0

m

m m

d fL C R C LC

dω ω

ωω ω

ω=

= + − =

( )2 2 2 2 22 2 2 0m mL C R C LCω ω + − =

lo que nos da dos soluciones

0.5 1 5 10 50 100f HKhz L

-200

-150

-100

-50

RgHf L HµsL



162

( )2 2 2 2 2

0

2 2 0

m

mL C R C LC

ω

ω

= + − =

La primera solución corresponde a un máximo relativo de la ganancia (como puede verse en la gráfica del espectro de amplitud), por lo que la frecuencia de máxima ganancia se corresponde con la segunda solución que es

2 2 2

2 2 2

2 1

2 2m

LC R C R

L C LC Lω −= = −

o en términos de frecuencia

2

2

1 1

2 2m

Rf

LC Lπ= −

que coincide con la frecuencia de resonancia sólo si la resistencia es nula. En nuestro caso tenemos

2 89

3 9 3 2

1 1 (100) 1 1010 4'91

2 (10 10 )(100 10 ) 2(10 10 ) 2 2mf Khzπ π− − −= − = − =

⋅ ⋅ ⋅

Este valor de la frecuencia de máxima ganancia sólo existe si la expresión dentro de la raíz es mayor que cero. En caso contrario no existe pico en la ganancia. Para que un circuito RLC presente un pico en la ganancia debe cumplirse que

2

2

10

2

R

LC L− ≥

2

2

1

2

R

L LC≤

2 2L

RC

≤

2LR

C≤

En nuestro caso, esta condición se cumple cuando

35

9

2 2(10 10 )2 10

(100 10 )

LR

C

−

−

⋅≤ = = ⋅⋅

447 '21R≤ Ω

Si representamos el valor de la frecuencia de máxima ganancia en función del valor de la resistencia obtenemos una gráfica cómo la de la figura 9


163

Observamos cómo la frecuencia de máxima ganancia va decreciendo desde la frecuencia de resonancia, situación correspondiente al circuito LC puro (sin resistencia), hasta una frecuencia cero, momento en el cual el circuito RLC deja de tener pico de ganancia y se comporta como un circuito paso de baja simple. Por otra parte, el ancho de banda de 3 dB, o la frecuencia de 3 dB (f3dB), se define como aquella en la que la potencia de la señal se divide por 2, o lo que es lo mismo, aquella que cumple


320log ( ) 3dBH f = −

1 1

3 3 2 220 10

3

1 1( ) 10 10

2 2dBH f

− − = = = =

( )2 23 3

1 1

1 4 2 2dB dBLCf j f RCπ π=

− +

( ) ( )2 22 23 3

1 1

21 4 2dB dBLCf f RCπ π=

− +

( ) ( )2 22 23 31 4 2 2dB dBLCf f RCπ π− + =

Elevando al cuadrado

( ) ( )2 22 23 31 4 2 2dB dBLCf f RCπ π− + =

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2

3 3 31 16 8 4 2dB dB dBL C f LCf R C fπ π π+ − + =

( )4 2 2 4 2 2 2 2 23 316 4 8 1 0dB dBL C f R C LC fπ π π+ − − =

100 200 300 400 500 600R HΩL

1

2

3

4

5

f mHKhz L

Figura 41. Frecuencia de máxima ganancia


164

Resolviendo esa ecuación bicuadrada tenemos

( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

23 4 2 2

4 8 4 8 64

32dB

R C LC R C LC L Cf

L C

π π π π ππ

− − ± − +=

( )2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 4 2 3 4 2 2

23 4 2 2

4 8 16 64 64 64

32dB

R C LC R C L C R C L L Cf

L C

π π π π π ππ

− − ± + − +=

( )2 2 2 2 4 4 2 2 2 3

23 4 2 2

4 2 4 8 4

32dB


L C

π ππ

− − ± + −=

( )2 2 4 4 2 2 2 3

23 2 2 2

2 8 4

8dB


L Cπ− − ± + −

=

En esta expresión sólo es válida la solución con el signo positivo delante de la raíz, ya que en caso contrario, el resultado sería negativo y, al extraer raíz cuadrada, obtendríamos una solución compleja con parte imaginaria. En efecto vemos que

( ) ( )2 22 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 64 4 8R C LC L C R C LCπ π π π π− + ≥ −

o, lo que es lo mismo

( ) ( )22 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 64 4 8R C LC L C R C LCπ π π π π− + ≥ −

Por lo tanto, con el signo positivo de la raíz tenemos

( ) ( )( ) ( )

22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 8 64

4 8 4 8

R C LC R C LC L C

R C LC R C LC

π π π π π

π π π π

− − + − + ≥

− − + −


( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 24 8 4 8 64 0R C LC R C LC L Cπ π π π π− − + − + ≥

y si es negativo

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 4 8 64 2 4 8 0R C LC R C LC L C R C LCπ π π π π π π− − + − + ≥ − ≥

Por el contrario, con el signo negativo de la raíz tenemos

( ) ( )( ) ( )

22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 8 4 8 64

4 8 4 8

R C LC R C LC L C

R C LC R C LC

π π π π π

π π π π

− − − − + ≤

− − + −



165

( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 24 8 4 8 64 0R C LC R C LC L Cπ π π π π− − + − + ≤

y si es negativo

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 24 8 4 8 64 2 4 8 0R C LC R C LC L C R C LCπ π π π π π π− − + − + ≤ − ≤

En definitiva, sólo el signo positivo de la raíz da soluciones válidas con lo que

( )2 2 4 4 2 2 2 3

23 2 2 2

2 8 4

8dB


L Cπ− − + + −

=

y, finalmente

( )2 2 4 4 2 2 2 3

3 2 2

2 8 41

2 2dB


L Cπ− − + + −

=

En nuestro caso tenemos, sustituyendo

3 7 '68dBf Khz=

La figura 10 representa el espectro de amplitud en escala lineal señalándose la frecuencia de 3dB. Análogamente, la figura 11 lo representa en escala logarítmica.

0.1 0.5 1 5 10 50 100f

0.050.1

0.51

510»HH f L»


2 4 6 8 10f HKhz L

1

2

3

4

5»HH f L»



166

Apartado 5) Calcularemos ahora los parámetros del sistema a la frecuencia de máxima ganancia (fm). En primer lugar, la ganancia del sistema es

( ) ( )2 22

1( )

1m

m m

HLC RC

ωω ω

=− +

22 2

2 22 2

1( )

1 11

2 2

mHR R

LC R CLC L LC L

ω =

− − + −

22 2 4 2

2

1( )

1 12 2

mHR C R C R C

L L L

ω =

− + + −

4 2 2 4 2

2 2

1( )

4 2

mHR C R C R C

L L L

ω =

+ −

4 2 2

2

1( )

1 14 2

mHR C R C

L L

ω = − +

2 4 2

2

1( )

4

mHR C R C

L L

ω =−


( )( )

( )( )

2 22 9 4 91

23 3

1 1( ) 3'20

10100 100 10 100 100 10 104

10 10 4 10 10

mH ω−− − −

− −

= = =⋅ ⋅ −−

⋅ ⋅

El desfase es

[ ] 2arg ( )

1m

mm

RCH arctg

LC

ωωω

= − −

[ ]

2 2

2 2

22

2

1 12 2arg ( )

1 1 1122

m

R RRC RC

LC L LC LH arctg arctgR CR

LCLLC L

ω

− − = − = − − +− −


167

[ ]2 2 2

2 2 2

1 1arg ( ) 2 2

2 2m

L R L RH arctg arctg

R LC L R LC Lω

= − − = − −

[ ] 2

1arg ( ) 2

2m

LH arctg

R Cω

= − −


[ ] ( )( )

3

2 9

10 10 1 1arg ( ) 2 2 10

2 2100 100 10mH arctg arctgω

−

−

⋅ = − − = − − ⋅

[ ]arg ( ) 80 '79ºmH ω = −


21( )

m

mm

m

RCarctg

LCR

ωω

ωω

− − =


2

2

2

12

2( )

12

m

Larctg

R CR

R

LC L

ω

− −

=−

En nuestro caso

( )( )

3

2 9

2 89

3 9 3 2

10 10 1 12 2 102100 100 10 2( )

1 (100) 1010

(10 10 )(100 10 ) 2(10 10 ) 2

m

arctg arctg

R ω

−

−

− − −

⋅ − − − − ⋅ = =

− −⋅ ⋅ ⋅

( ) 45'7mR sω µ= −

El retardo de grupo del sistema a la frecuencia de máxima ganancia se calcula como

( )( ) ( )

2

2 22

1( )

1

m

g m

m m

RC LCR

LC RC

ωω

ω ω

− +=

− +



168

( )

2

2

22 2

2

2 2

11

2( )

1 11

2 2

g m

RRC LC

LC LR

R RLC RC

LC L LC L

ω

− + −

=

− − + −

2

22 2 4 2

2

1 12

( )

1 12 2

g m

R CRC

LR

R C R C R C

L L L

ω

− + −

=

− + + −

2 2 2

4 2 2 4 2 2 4 2 2 2

2 2 2

2 2 22 2 2

( )

14 2 4 4

g m

R C R C R CRC RC RC

L L LR

R C R C R C R C R C R C R CL L L L L L L

ω

− − − − − −

= = = + − − −

2

2

22

( )

14

g m

R CL

LR

R CR

L

ω

− −

=

−

En nuestro caso

( ) ( )( )

( )( )

2 933 2

3 2

32 92

23

100 100 10 1010 10 2 10 22 10 10 2 10( )

10100 100 10 10 1100 1 4 104 10 10

g mR ω

−−− −

− −

−−

−−

⋅ − ⋅ − − − ⋅ ⋅ = = ⋅ − − ⋅ ⋅

( ) 200g mR sω µ= −

Apartado 6) Sabemos que el valor máximo de la ganancia se produce a la frecuencia de máxima ganancia y que vale

2 4 2

2

1( )

4

mHR C R C

L L

ω =−

Si conocemos la ganancia máxima y queremos calcular el valor de la resistencia que la produce, trataremos de despejar R en la ecuación anterior. Para ello procedemos de la siguiente forma

2 4 2

2

1

4 ( )m

R C R C

L L H ω− =


169

2 4 2

22

1

4 ( )m

R C R C

L L H ω− =

Ordenando la ecuación tenemos

24 2

22

10

4 ( )r

C CR R

L L H ω− + =

que es una ecuación bicuadrada en R. Resolviendo tenemos

22 2

222

22 2

2 2

11 144 ( )( )

22

4

mm

C CC C CL LL L L HH

RC C

L L

ωω

± − ± − = =

22

2 11 1

( )m

LR

C H ω

= ± −

En principio esa ecuación tiene dos soluciones, pero veremos que sólo una de ellas es válida. En efecto, la ganancia a la frecuencia de máxima ganancia es siempre mayor que 1

( ) 1mH ω ≥

por lo que

2

10 1

( )mH ω≤ ≤

2

10 1 1

( )mH ω

≤ − ≤

2

10 1 1

( )mH ω≤ − ≤

Pero, según vimos en un apartado anterior, para que el circuito presente un pico de ganancia, se tiene que cumplir que

2 2LR

C≤

por lo que la expresión

22

2 11 1

( )m

LR

C H ω

= ± −


170

sólo tiene solución válida cuando la raíz está precedida del signo menos, ya que en caso contrario la resistencia superaría el valor límite del circuito. En definitiva, la única solución válida es

22

2 11 1

( )m

LR

C H ω

= − −

y, como la resistencia debe ser positiva, finalmente obtenemos

2

2 11 1

( )m

LR

C H ω

= − −


( ) ( )3

5 29 2

2 10 10 11 1 2 10 1 1 10 31'6

100 10 10R

−−

−

⋅ = − − = ⋅ − − = Ω ⋅

Apartado 7) Sabemos que el espectro de amplitud de un tren de pulsos Sample es aproximadamente plano (ver problema PTC0004-10) y que cada armónico vale

110

40 2501

1

sn

AT KhzM mVT

Khz

⋅≈ = =

o, en valores RMS,

250177

2 2n

nRMS

M mVM mV= ≈ =


( )

( )( )

GH

F

ωωω

=



1 1

177nRMS

kM mV

= =


171

PRÁCTICA 4: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN


172

PRÁCTICA 4: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN Se desea comprobar la influencia del ruido en los errores de comunicaciones. Para ello se dispone de un cable formado por dos pares trenzados. En un extremo del primer par se introduce una señal V.24 atenuada y en el del segundo par se inyecta un ruido. En el otro extremo del primer par se recibe una señal V.24 atenuada y con ruido.

Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite de forma continua un carácter (elegido aleatoriamente) y, simultáneamente, es capaz de recibir caracteres y compararlos con los transmitidos, escribiendo en pantalla la tasa de caracteres erróneos recibidos. Proceder de la siguiente forma: 1. Mediante el potenciómetro atenuar la señal V.24 hasta una zona próxima a la que

comiencen a producirse errores. 2. En el segundo par inyectar un ruido de amplitud variable. 3. Determinar la relación entre la probabilidad de error de un carácter y la SNR. Datos:

Velocidad: 600 bps Longitud del carácter (número de bits de datos): 8 Paridad: Ninguna Número bits de parada: 1 R1= R2=10KΩ


• PC con puerto serie • Generador de señales • Osciloscopio • Conector RS-323 con los hilos de transmisión, recepción y masa accesibles • Cable de par trenzado de 50 metros • Resistencia de 10KΩ • Potenciómetro de 10KΩ

3.- Estudio teórico El estudio teórico y la memoria correspondiente se encuentran en el ejercicio de laboratorio LTC-26

R1

R2

R1

R2

+

Vn

Tx

Rx

Gnd


173

4.- Hojas de resultados experimentales

Amplitud señal en recepción sin ruido

Ruido en generador

Ruido en recepción

SNR (Calculado)

Tasa errores

0 0.5 1

1.5 2

2.5 3

3.5 4

4.5 5

5.5 6

6.5 7

7.5 8

8.5 9

9.5 10


174

PRÁCTICA LTC-26: RUIDO Y ERRORES DE TRANSMISIÓN 1.- Descripción de la práctica Se desea comprobar la influencia del ruido en los errores de comunicaciones. Para ello se dispone de un cable formado por dos pares trenzados. En un extremo del primer par se introduce una señal V.24 atenuada y en el del segundo par se inyecta un ruido. En el otro extremo del primer par se recibe una señal V.24 atenuada y con ruido.

Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite de forma continua un carácter (elegido aleatoriamente) y, simultáneamente, es capaz de recibir caracteres y compararlos con los transmitidos, escribiendo en pantalla la tasa de caracteres erróneos recibidos. Proceder de la siguiente forma: 1. Mediante el potenciómetro atenuar la señal V.24 hasta una zona próxima a la que

comiencen a producirse errores. 2. En el segundo par inyectar un ruido de amplitud variable. 3. Determinar la relación entre la probabilidad de error de un carácter y la SNR. Datos:

Velocidad: 600 bps Longitud del carácter (número de bits de datos): 8 Paridad: Ninguna Número bits de parada: 1 R1= R2=10KΩ


• PC con puerto serie • Generador de señales • Osciloscopio • Conector RS-323 con los hilos de transmisión, recepción y masa accesibles • Cable de par trenzado de 50 metros • Resistencia de 10KΩ • Potenciómetro de 10KΩ

R1

R2

R1

R2

+

Vn

Tx

Rx

Gnd


175

3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en los problemas PTC0004-35 (desarrollo del programa) y PTC0004-36 (análisis del ruido). 4.- Resultados Al ejecutar el programa descrito en PTC0004-35 el resultado obtenido en el osciloscopio para la tensión de salida es el siguiente

en el que se puede observar que la tensión está comprendida entre los -12 y +12 voltios aproximadamente. Si conectamos el PC al cable tal como se especifica en la figura del enunciado, podemos regular la tensión a la entrada del cable hasta un valor comprendido entre -2 y +2 voltios aproximadamente. Comprobamos mediante el programa que no se producen errores en esta configuración. El resultado obtenido es el siguiente


176

Mediante el generador de señales inyectamos en el otro par del cable (ver figura del enunciado) un ruido uniforme cuya amplitud seleccionamos en el propio generador. La figura siguiente recoge el caso para un ruido de 5 voltios.


177

Para poder observar bien los valores máximo y mínimo del ruido utilizamos el osciloscopio con un modo de adquisición de envolvente. El resultado es el siguiente

Conectamos la salida del primer par con la recepción de la UART, observándose en ese punto, en ausencia de ruido, lo recogido en la gráfica siguiente


178

Si añadimos un ruido de 5 voltios, la señal de recepción es la siguiente

Cambiando los valores de la amplitud del ruido en el generador se obtienen distintos valores del ruido en el receptor. La gráfica siguiente refleja el ruido en el receptor para una tensión en el generador de 5 voltios (con un modo de adquisición de envolvente).


179

Si observamos la señal recibida en presencia de un ruido (para una tensión en el generador de 5 voltios y con un modo de adquisición de envolvente) obtenemos lo siguiente

Con todo ello, y midiendo la señal en el receptor en ausencia de ruido (que vale A=2.10 voltios) estamos en condiciones de construir la tabla siguiente

Tensión generador

Señal+ ruido

(mín.: m)

Señal+ ruido

(máx.: M)

Señal+ ruido

(media: µ)

Ruido (rango: b) A=2.1 V

SNR A=2.1 V

4 -3.20 3.26 0.03 1.04 12.28 4.5 -3.32 3.42 0.05 1.18 9.53 5 -3.48 3.68 0.10 1.39 6.86

5.5 -3.60 3.76 0.08 1.49 5.97 6 -3.70 3.80 0.05 1.56 5.44

6.5 -3.88 4.00 0.06 1.75 4.32 7 -4.00 4.08 0.04 1.85 3.87

7.5 -4.12 4.20 0.04 1.97 3.41 8 -4.28 4.36 0.04 2.13 2.91

8.5 -4.44 4.52 0.04 2.29 2.52 9 -4.56 4.64 0.04 2.41 2.28

9.5 -4.68 4.76 0.04 2.53 2.06 10 -4.80 4.92 0.06 2.67 1.85

Para el cálculo del rango se ha utilizado la siguiente expresión


180

( )2

M m Ab

− −=

Igualmente para la SNR hemos utilizado la fórmula

2

2

3ASNR

b=

Observando ahora con el programa la tasa de caracteres erróneos recibidos para cada tensión de ruido del generador obtenemos la tabla siguiente

Tensión generador

SNR Tasa errores

4 12.28 0.00E+00 4.5 9.53 5.86E-03 5 6.86 1.08E-02

5.5 5.97 1.64E-02 6 5.44 1.97E-02

6.5 4.32 6.10E-02 7 3.87 9.43E-02

7.5 3.41 1.42E-01 8 2.91 2.48E-01

8.5 2.52 2.90E-01 9 2.28 3.16E-01

9.5 2.06 5.30E-01 10 1.85 6.31E-01

En realidad, dado el carácter aleatorio del experimento, la tasa de errores para cada tensión de ruido del generador se ha obtenido como la media de 10 medidas experimentales. En la figura siguiente se reflejan los puntos experimentales obtenidos (probabilidad de error del carácter frente a SNR) y se comparan con los valores del análisis teórico para umbrales de 0 (rojo), 0.5 (azul) y 1 voltio (verde) respectivamente.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 2 4 6 8 10 12 14


181

Problema PTC0004-35 Un transmisor codifica los bits en NRZ polar (+A voltios para el 1 y –A voltios para el cero). Dicha transmisión se ve afectada por un ruido aleatorio con función de densidad uniforme entre –b y +b voltios. El receptor codifica las tensiones inferiores a –c como un 1 y las superiores a +c como un cero. En la zona indeterminada del receptor la probabilidad de interpretación de un uno es lineal

a) Determinar analítica y gráficamente la probabilidad de que se produzca un error en un bit en función de la relación señal-ruido en el canal.

b) Repetir el cálculo anterior para el caso de la probabilidad de error de un carácter en una transmisión asíncrona con 8 bits de datos, un bit de parada y sin bit de paridad.

Solución PTC0004-35 Apartado a) Sea n(t) la función temporal correspondiente al ruido aleatorio. Denominemos f(n) a la función de densidad de probabilidad de dicho ruido. Su representación gráfica es la siguiente

En toda función de densidad de probabilidad se verifica que

1)( =∫∞

∞−

dnnf

por lo que, en nuestro caso,

[ ] [ ] 12)()( ==−−=== −−

∞

∞−∫∫ kbbbknkkdndnnf b

b

b

b

Esto nos conduce a que

bk

2

1=

Por otra parte, la probabilidad de que el detector interprete un uno (d=1), en función del valor de la tensión a su entrada, lo denotamos como

1( ) [ 1| ]d rP v P d v v≡ = =

siendo su representación gráfica la siguiente.

n

f(n)

b-b

k

n

f(n)

b-b

k


182

Podemos ver fácilmente que el valor de dicha probabilidad vale

[ ]1

1

1

( ) 0

1( ) ,

2 2( ) 1

d

d

d

P v v c

vP v v c c

cP v v c

= ∀ ≤ − = + ∀ ∈ −

= ∀ ≥

Como el enunciado no afirma nada, supondremos que el ruido es aditivo. En ese caso, la función f1(v) de densidad de probabilidad de la tensión en el receptor cuando se transmite un 1 será como la de la figura

Esta función de densidad de probabilidad se corresponde, como sabemos, con la probabilidad de que la tensión del receptor esté en el entorno del valor v cuando se transmite un uno, o más concretamente

11

[ ]( ) rP v v v dv

f vdv

≤ ≤ +≡

La probabilidad de que el receptor cometa un error en la decisión cuando, habiendo transmitido un uno, la tensión del receptor esté en el entorno del valor v, la denotamos como

1[ ]e rP v v v dv≤ ≤ +

Este valor se calcula como la probabilidad de que se produzcan simultáneamente dos sucesos:

- que la tensión del receptor esté en el entorno del valor v, y; - que teniendo ese valor la tensión del receptor, se produzca un error de

decisión. Esta conjunción de sucesos (que suponemos independientes) se obtiene multiplicando la probabilidad de ambos sucesos por separado, es decir que

v

Pd1(v)

c

1

-c

v

f1(v)

-A+b-A-b -A

k


183

1 1[ ] [ ] [ 1| ]e r r rP v v v dv P v v v dv P d v v≤ ≤ + = ≤ ≤ + ⋅ = =

[ ]1 1 1[ ] ( ) ( )e r dP v v v dv f v dv P v≤ ≤ + = ⋅

1 1 1[ ] ( ) ( )e r dP v v v dv f v P v dv≤ ≤ + = ⋅ ⋅

La probabilidad de error en el receptor cuando se transmite un uno será pues

1 1 1 1[ ] ( ) ( )e e r dP P v v v dv f v P v dv∞ ∞

−∞ −∞= ≤ ≤ + = ⋅ ⋅∫ ∫

lo que superponiendo las dos gráficas anteriores no da finalmente el área rayada

Esta probabilidad vale

1 1 1 1 1

1( ) ( ) ( ) ( )

2 2

A b A b

e d dc c

vP f v P v dv f v P v dv k dv

c

∞ − + − +

−∞ − −

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = +

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )2 22

1 4 2 4 2 4 2

A b

e

c

A b A b cv v cP k k

c c c

− +

−

− + − + − −= + = + − −

2 2 2 2

1

1 2 1 2

2 4 2 4 2 2 4 2 4e

A b Ab b A c c A b Ab b A cP

b c b c

+ − − + − −= + − + = + +

( )2 2 21

12 2 2

8eP A b Ab bc Ac cbc

= + − + − +

( ) ( )2

1

12 2

8eP A b c c b Abc

= − + + −

El estudio análogo para la probabilidad de error en el receptor cuando se transmite un cero nos da

0 0 0 0[ ] ( ) ( )e e r dP P v v v dv f v P v dv∞ ∞

−∞ −∞= ≤ ≤ + = ⋅ ⋅∫ ∫

lo que se representa mediante el área rayada de la figura siguiente

v

f1(v)

-A+b-A-b -A

k

-c c


184

lo que por simetría con el caso anterior nos da

( ) ( )2

0 1

12 2

8e eP P A b c c b Abc

= = − + + −

Si denominamos P0 a la probabilidad de que se transmita un cero y P1 a la de que se transmita un uno, la probabilidad de error será

1100 eee PPPPP +=

Si en promedio se transmiten el mismo número de ceros que de unos tenemos que

2

110 == PP

por lo que queda

( ) ( )0 1 0 1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2e e e e e e e eP P P P P P P P= + = + = + =

( ) ( )212 2

8eP A b c c b Abc

= − + + −

Todo esto ocurre si –c<-A+b<c (o lo que es lo mismo, A-c<b<A+c). Si consideramos A y c valores fijos y estudiamos cómo varía la probabilidad de error a medida que aumenta el ruido, tenemos las situaciones reflejadas en las figuras siguientes.

En estas figuras observamos tres casos:

a) El primero, en el que b<A-c (primera figura) y por tanto vemos gráficamente que

v

f1(v)

-A+b-A-b -A

k

-c c

v

f1(v)

-A+b-A-b -A

k

-c

c

v

f0(v)

A+bA-b A

k

-c c

v

f1(v)

-A

k

-cc

v

f1(v)

-A+b-A-b -A

k

-c c


185

0eP =

b) El segundo, en el que A-c<b<A+c (segunda y tercera figuras), que se

corresponde con el desarrollo anterior y en el que hemos demostrado que

( ) ( )212 2

8eP A b c c b Abc

= − + + −

c) El tercero, en el que b>A+c (cuarta figura), que no ha sido todavía estudiado

y que debe ser desarrollado independientemente. Analizando, por tanto, el tercero de los casos tenemos

1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c A b

e e d d dc cP P f v P v dv f v P v dv f v P v dv

∞ − +

−∞ −= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

[ ]21

12 2 4 2

cc A b A b

e cc cc

v v vP k dv k dv k k v

c c

− + − +

−−

= + + ⋅ ⋅ = + +

∫ ∫

( ) ( )2 2

4 2 4 2e

c c c cP k k A b c kc k A b c

c c

= + − + + − + − = + − + −

( ) ( )eP k c A b c k b A= − + − = −

( )1

2eP b Ab

= −

Por otra parte para expresar ahora la probabilidad de error en función de la relación señal ruido (SNR) debemos transformar las expresiones anteriores. Supondremos que tanto A como c son valores prefijados por el sistema de comunicaciones que utilizamos. Por ello lo que puede alterar la probabilidad de error es la cantidad de ruido que se añade al sistema, es decir, el valor de b. En este sentido, sabemos que

N

SSNR=

Por una parte, la potencia de la señal S es fácil de calcular puesto que se trata de una señal digital de sólo dos valores (+A y –A) y en ambos casos la potencia es la misma

2AS = Por otro lado, también sabemos que la potencia del ruido N es igual a la varianza (recordemos que el ruido es aleatorio), y que vale

[ ]∫∞

∞−

−== dnnfnnnN )()()( 22 µσ

Teniendo en cuenta que la media del ruido vale

02

)(

22)()(

222

=

−−=

===

−−

∞

∞−∫∫

bbk

nkndnkdnnnfn

b

b

b

b

µ


186

podemos sustituir y obtener

3333

222

3

2

3

)(

33)()( kb

bbk

nkdnnkdnnfnnN

b

b

b

b

=

−−=

====

−−

∞

∞−∫∫σ

Recordando el valor de k podemos escribir finalmente

32

1

3

2)(

232 b

bb

nN === σ

Sustituyendo los valores de S y N tenemos

2

2

2

2 3

3b

A

b

A

N

SSNR ===

SNRA

b 32

2

=

3b A

SNR=

Estamos ahora en condiciones de expresar la probabilidad de error en función de la SNR. En efecto, y resumiendo los tres casos analizados anteriormente tenemos:

a) Para b<A-c 2

3 3; ;

A cb A c A A c

SNR SNR A

− < − < − <

2

3A

SNRA c

> −

En este caso

0eP =

b) Para A-c<b<A+c

3;A c b A c A c A A c

SNR− < < + − < < +

2 2 2 2

3;

3

A c A c A SNR A

A SNR A A c A c

− + < < > > − +

2 2

3 3A A

SNRA c A c

> > − +

En este caso

( ) ( )212 2

8eP A b c c b Abc

= − + + −


187

2

1 3 32 2

38

eP A A c c A ASNR SNR

cASNR

= − + + −

c) Para b>A+c

23 3

; ;A c

b A c A A cSNR SNR A

> > + > + >

2

3A

SNRA c

< +

En este caso

1 3 1 31

2 332

e

SNRP A A

SNR SNRA

SNR

= − = −

11

2 3e

SNRP

= −

Gráficamente dicha expresión toma la siguiente forma

Apartado b) En el caso un carácter en una transmisión asíncrona con 8 bits de datos, un bit de parada y sin bit de paridad debemos darnos cuentas que el carácter está formado por n=10 bits (1 de comienzo, 8 de datos y 1 de parada). La probabilidad de que se produzca un error en un carácter es la complementaria de que llegue un carácter correcto.

1ec ecP P= −

1 2 3 4 5SNR

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Pe


188

La probabilidad de que llegue un carácter correcto es igual a la probabilidad de que lleguen correctos todos y cada uno de los n bits del carácter.

n

ec e e e e eP P P P P P= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

siendo la probabilidad de que llegue correcto un bit la complementaria de que llegue erróneo dicho bit

1e eP P= −

Por tanto, sustituyendo,

( )1 1n

ec eP P= − −

Gráficamente dicha expresión toma la siguiente forma

1 2 3 4 5SNR

0.2

0.4

0.6

0.8

1Pe


189

Problema PTC0004-36 Se desea comprobar la influencia del ruido en los errores de comunicaciones. Para ello se dispone de un cable formado por dos pares trenzados. En un extremo del primer par se introduce una señal V.24 atenuada y en el del segundo par se inyecta un ruido. En el otro extremo del primer par se recibe una señal V.24 atenuada y con ruido.

Realizar un programa en C que configure el puerto serie del PC, transmita de forma continua un carácter (elegido aleatoriamente) y, simultáneamente, sea capaz de recibir caracteres y compararlos con los transmitidos, escribiendo en pantalla la tasa de caracteres erróneos recibidos. Datos: Velocidad: 600 bps Longitud del carácter (número de bits de datos): 8 Paridad: Ninguna Número bits de parada: 1

R1= R2=10KΩ Solución PTC0004-36 El puerto serie de un PC está constituido por una UART de la serie 8250 (National Semiconductor). Este dispositivo, hoy obsoleto, ha sido seguido por otros tales como el 16450 y el 16550. Existen numerosos tutoriales de cómo manejar este dispositivo y, en cualquier caso, la hoja de características del propio dispositivo (disponible en Internet). Con estos datos estamos en condiciones de escribir un programa como el descrito en cuyos comentarios se van explicando cada uno de los pasos.

R1

R2

R1

R2

+

Vn

Tx

Rx

Gnd


190

/************************************************** ******************* Programa para calcular tasa de errores en el canal *************************************************** ******************/ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define PUERTO 0x3F8 /* COM1*/ #define THR (PUERTO+0) /*THR: Transmitter Holding Register (con DLAB=0; en escritura)*/ #define RBR (PUERTO+0) /*RBR: REceiver Buffer Register (con DLAB=0; en lectura)*/ #define DLL (PUERTO+0) /*DLL: Divisor Latch Least Significant Byte (con DLAB=1; lectura/escritura)*/ #define DLM (PUERTO+1) /*DLS: Divisor Latch Most Significant Byte (con DLAB=1; lectura/escritura)*/ #define IER (PUERTO+1) /* IER: Interrupt Enable Register (con DLAB=0; lectura/escritura) */ #define ERBFI 0x01 /*Bit 0 (ERBFI): Enable Received Data Available Interrupt*/ #define ETBI 0x02 /*Bit 1 (ETBI): Enable Transmitter Holding Register Empty Interrupt*/ #define ELSI 0x03 /*Bit 2 (ELSI): Enable Receiver Line Status Interrupt*/ #define EDSSI 0x04 /*Bit 3 (EDSSI): Enable Modem Status Interrupt*/ #define LCR (PUERTO+3) /* LCR: Line Control Register (lectura/escritura) */ #define longitud_5 0 /*Longitud 5 bits*/ #define longitud_6 1 /*Longitud 6 bits*/ #define longitud_7 2 /*Longitud 7 bits*/ #define longitud_8 3 /*Longitud 8 bits*/ #define bitsparada_1 0 /*Bits de parada: 1 bits*/ #define bitsparada_2 4 /*Bits de parada: 2 bits*/ #define paridad_no 0 /*Paridad: no*/ #define paridad_si 8 /*Paridad: si*/ #define paridad_impar 0 /*Paridad impar*/ #define paridad_par 16 /*Paridad par*/ #define SPE 0x20 /* Bit 5:(SPE) Stick Parity Enable; con PEN=1 y EPS=1 transmite paridad 0; con PEN=1 y EPS=0 transmite paridad 1*/ #define BC 0x40 /* Bit 6: (BC) Break Control; fuerza condici¢n de Break en la línea (en bajo) */ #define DLAB 0x80 /* Bit 7 (DLAB): Divisor Latch Access Bit */ #define LSR (PUERTO+5) /*LSR: Line Status Register (lectura/escritura)*/ #define DR 0x01 /*Bit 0 (DR): Data Ready*/ #define OE 0x02 /*Bit 1 (OE): Overrun Error*/ #define PE 0x04 /*Bit 2 (PE): Parity Error*/ #define FE 0x08 /*Bit 3 (FE): Framing Error*/ #define BI 0x10 /*Bit 4 (BI): Break Interrupt*/ #define THRE 0x20 /*Bit 5 (THRE): Transmitter Holding Register (THR) Empty*/ #define TEMT 0x40 /*Bit 6 (TEMT): Transmitter Empty */ #define RFE 0x80 /*Bit 7: (RFE) Error in RCVR FIFO*/ #define ESCAPE 27 /* Velocidad: se calcula como divisor (x16) de un reloj de 1.8432MHz (los valores reales son aproximaciones a los nominales)*/ #define velocidad_50 2304 /*Velocidad 50 bps*/ #define velocidad_75 1536 /*Velocidad 75 bps*/ #define velocidad_150 768 /*Velocidad 150 bps*/


191

#define velocidad_300 384 /*Velocidad 300 bps*/ #define velocidad_600 192 /*Velocidad 600 bps*/ #define velocidad_1200 96 /*Velocidad 1.200 bps*/ #define velocidad_2400 48 /*Velocidad 2.400 bps*/ #define velocidad_4800 24 /*Velocidad 4.800 bps*/ #define velocidad_9600 12 /*Velocidad 9.600 bps*/ #define velocidad_19200 6 /*Velocidad 19.200 bps*/ #define velocidad_56000 2 /*Velocidad 56.000 bps*/ #define velocidad_128000 1 /*Velocidad 128.000 bps*/ void main(void) unsigned char lcr,lsr,rbr,configuracion,cenv,inicio; unsigned int velocidad,terminar=0; unsigned int numcar,numerrores,numerrorUART; unsigned int haydato,hayerror,mascaraerror; float tasaerrores; /* Configurar velocidad */ lcr=inportb(LCR); lcr=lcr|DLAB; /* Pone DLAB=1 */ outportb(LCR,lcr); velocidad=velocidad_600; outportb(DLL,velocidad&0xFF); outportb(DLM,(velocidad>>8)&0xFF); /* Configurar paridad, longitud y stop */ lcr=lcr&(!DLAB); /* Pone DLAB=0*/ outportb(LCR,lcr); configuracion=longitud_8|bitsparada_1|paridad_no; outportb(LCR,configuracion); /* Deshabilita interrupciones */ outportb(IER,0); /*0000.0000 (con DLAB=0)*/ /* Transmitir de forma continua un carácter seguido de pausa */ printf("\n\nInicio de la UART\n"); inicio=1; randomize(); cenv=random(256); numcar=0; numerrores=0; numerrorUART=0; outportb(lsr,0x0); while(1 && !terminar) lsr=inportb(LSR); if(lsr&THRE) /* comprueba si el transmisor está vacío)*/ outportb(THR,cenv); /* Envía el carácter*/ delay(10); /* Espera en milisegundos*/ haydato=lsr&DR; mascaraerror=PE|FE|BI; hayerror=lsr&mascaraerror; if(hayerror) /* Comprueba si se ha recibido algún error*/


192

numerrores++; numerrorUART++; delay(100); /* Espera en milisegundos*/ /* De "hayerrores" */ if(haydato) /* Comprueba si se ha recibido algún dato*/ rbr=inportb(RBR); /* Lee el dato recibido*/ /* printf("%x; ",rbr);*/ if(inicio==1) if(rbr==cenv) inicio=0; numcar=0; /* printf("\nFin del Inicio\n; ");*/ /* De inicio */ else numcar++; if(rbr!=cenv&&!hayerror) /*printf("Error; ");*/ numerrores++; /* De else inicio */ /* De "haydato" */ if(kbhit()!=0) /* Comprueba si el usuario ha pulsado una tecla (para terminar)*/ if(getch()==ESCAPE) terminar=1; tasaerrores=numerrores; if(numcar!=0)tasaerrores=tasaerrores/numcar; printf("\rCaracteres: %d; Errores totales: %d; Tasa: %e", numcar,numerrores,tasaerrores); /* De "While (terminar)" */ printf("\nN£mero de errores: %d\n",numerrores); printf("N£mero de car ct‚res transmitidos: %d\n",numcar); tasaerrores=numerrores; tasaerrores=tasaerrores/numcar; printf("Tasa de errores: %e\n",tasaerrores);


193

PRÁCTICA 5: INTERFAZ RS-232 (V.24)


194

PRÁCTICA 5: INTERFAZ RS-232 (V.24) 1.- Descripción de la práctica Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite 2 caracteres cada segundo y escriba en pantalla lo que recibe. La configuración del puerto es la siguiente: 600 bps; 7 bits de datos; 2 bits de parada; paridad impar. 1. Observar en el osciloscopio la tensión de salida del puerto y determinar si cumple la

norma V.24 2. Determinar la información transmitida 3. Alterar el número de bits del carácter, la paridad y el número de bits de parada,

observando las consecuencias en la tensión de salida. 4. Medir el Slew-Rate máximo. 2.- Equipos y materiales

• PC con puerto serie • Conector RS-323 con los hilos de transmisión recepción y masa accesibles • Osciloscopio

3.- Estudio teórico El estudio teórico y la memoria correspondiente se encuentran en el ejercicio de laboratorio LTC-16


195

4.- Hojas de resultados experimentales Apartado a)

Tensión del “cero” Tensión del “uno” Duración del bit Velocidad de transmisión (calculado)

Apartado b)

Información transmitida (primer carácter) Información transmitida (segundo carácter)

Apartado d)

Tiempo de subida (pendiente aprox. constante) Tensión subida (pendiente aprox. constante) Slew Rate (calculado)


196

PRÁCTICA LTC-16: INTERFAZ RS-232 (V.24) 1.- Descripción de la práctica Se dispone de un programa en C que configura el puerto serie del PC, transmite 2 caracteres cada segundo y escriba en pantalla lo que recibe. La configuración del puerto es la siguiente: 600 bps; 7 bits de datos; 2 bits de parada; paridad impar. a) Observar en el osciloscopio la tensión de salida del puerto y determinar si cumple la

norma V.24 b) Determinar la información transmitida c) Alterar el número de bits del carácter, la paridad y el número de bits de parada,

observando las consecuencias en la tensión de salida. d) Medir el Slew-Rate máximo. 2.- Equipos y materiales

• PC con puerto serie • Conector RS-232 con los hilos de transmisión recepción y masa accesibles • Osciloscopio

3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-22.


197

4.- Resultados Apartado a) Al ejecutar el programa descrito en PTC0004-22 el resultado obtenido en el osciloscopio para la tensión de salida es el siguiente

en el que se puede observar que la tensión está comprendida entre los -10’6 voltios y los 10’2 voltios. Estos valores están claramente dentro del rango de la RS-232 (entre -15 y -5 para el “1” lógico; entre +5 y +15 para el “0” lógico). Como vemos la RS-232 utiliza lógica negativa, por lo que es más fácil identificar los bits si invertimos en el osciloscopio la señal. En ese caso se obtiene la imagen representada en la gráfica siguiente. En ella observamos cómo la línea se encuentra en “1” (“marca”) cuando está en reposo y va oscilando entre “0” y “1” cuando está transmitiendo. El número total de bits transmitidos por cada carácter es: 1 bit de comienzo + 7 bits de datos + 1 bit de paridad + 2 bits de parada; en total 11 bits por cada carácter. Como se transmiten 2 caracteres el número total de bits es de 22 bits. El tiempo de duración de cada bit será

11'67

600bt msbps

= =


198

Ampliando esta gráfica e identificando los valores de cada bit en cada intervalo (1’67 ms) tenemos

0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1

S T A R T

Datos Datos

P A R I T Y

S T O P

S T O P

P A R I T Y

S T O P

S T O P

S T A R T


199

Apartado b) Para determinar la información transmitida tenemos que tener en cuenta que los datos aparecen en la línea (y por tanto en el osciloscopio) empezando por el menos significativo. Los datos transmitidos son: L M S S B B Primer carácter: 0100101 Segundo carácter: 1010010 Poniéndolos en el orden que habitualmente se hace (empezando por el más significativo) tenemos que los datos transmitidos son: M L S S B B Primer carácter: 1010010 (52 en hexadecimal) Segundo carácter: 0100101 (25 en hexadecimal) Apartado c) Si alteramos la configuración del puerto serie obtenemos imágenes similares a la anterior. Para 8 bits de datos, sin paridad y un bit de parada se obtiene la siguiente gráfica

0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1

S T A R T

Datos Datos

S T O P

S T O P

S T A R T


200

Apartado e) Para medir el Slew-Rate conectamos la línea de transmisión a la de recepción, para provocar que la carga del transmisor sea la adecuada. En estas circunstancias, ampliando fuertemente la escala horizontal del osciloscopio, podemos observar la pendiente de subida de la tensión de acuerdo con la siguiente figura

Midiendo el primer tramo de subida, en la que la pendiente es prácticamente constante y de valor máximo, observamos que transcurren 56 ns para que la tensión se incremente en 2 voltios, es decir que el Slew-Rate máximo es

max

2 235'71

56 0'056

dV V V V VSR

dt t ns s sµ µ∆= ≈ = = =∆

Este valor es ligeramente superior al permitido por la norma (30 V/µs)


201

Problema PTC0004-22 Realizar un programa en C que configure el puerto serie del PC, transmita 2 caracteres cada segundo y escriba en pantalla lo que recibe. Datos: Velocidad: 600 bps Longitud del carácter (número de bits de datos): 7 Paridad: Impar Número bits de parada: 2 Primer carácter: 52 (hexadecimal) Segundo carácter: 25 (hexadecimal) Solución PTC0004-22 El puerto serie de un PC está constituido por una UART de la serie 8250 (National Semiconductor). Este dispositivo, hoy obsoleto, ha sido seguido por otros tales como el 16450 y el 16550. Existen numerosos tutoriales de cómo manejar este dispositivo y, en cualquier caso, la hoja de características del propio dispositivo (disponible en Internet). Con estos datos estamos en condiciones de escribir un programa como el descrito en cuyos comentarios se van explicando cada uno de los pasos.


202

/************************************************** ******************* Programa para manejo del puerto serie *************************************************** ******************/ #include <stdio.h> #define PUERTO 0x3F8 /* COM1*/ #define THR (PUERTO+0) /*THR: Transmitter Holding Register (con DLAB=0; en escritura)*/ #define RBR (PUERTO+0) /*RBR: REceiver Buffer Register (con DLAB=0; en lectura)*/ #define DLL (PUERTO+0) /*DLL: Divisor Latch Least Significant Byte (con DLAB=1; lectura/escritura)*/ #define DLM (PUERTO+1) /*DLS: Divisor Latch Most Significant Byte (con DLAB=1; lectura/escritura)*/ #define IER (PUERTO+1) /* IER: Interrupt Enable Register (con DLAB=0; lectura/escritura) */ #define ERBFI 0x01 /*Bit 0 (ERBFI): Enable Received Data Available Interrupt*/ #define ETBI 0x02 /*Bit 1 (ETBI): Enable Transmitter Holding Register Empty Interrupt*/ #define ELSI 0x03 /*Bit 2 (ELSI): Enable Receiver Line Status Interrupt*/ #define EDSSI 0x04 /*Bit 3 (EDSSI): Enable Modem Status Interrupt*/ #define LCR (PUERTO+3) /* LCR: Line Control Register (lectura/escritura) */ #define longitud_5 0 /*Longitud 5 bits*/ #define longitud_6 1 /*Longitud 6 bits*/ #define longitud_7 2 /*Longitud 7 bits*/ #define longitud_8 3 /*Longitud 8 bits*/ #define bitsparada_1 0 /*Bits de parada: 1 bits*/ #define bitsparada_2 4 /*Bits de parada: 2 bits*/ #define paridad_no 0 /*Paridad: no*/ #define paridad_si 8 /*Paridad: si*/ #define paridad_impar 0 /*Paridad impar*/ #define paridad_par 16 /*Paridad par*/ #define SPE 0x20 /* Bit 5:(SPE) Stick Parity Enable; con PEN=1 y EPS=1 transmite paridad 0;

con PEN=1 y EPS=0 transmite paridad 1*/ #define BC 0x40 /* Bit 6: (BC) Break Control; fuerza condici¢n de Break en la línea (en bajo) */ #define DLAB 0x80 /* Bit 7 (DLAB): Divisor Latch Access Bit */ #define LSR (PUERTO+5) /*LSR: Line Status Register (lectura/escritura)*/ #define DR 0x01 /*Bit 0 (DR): Data Ready*/ #define OE 0x02 /*Bit 1 (OE): Overrun Error*/ #define PE 0x03 /*Bit 2 (PE): Parity Error*/ #define FE 0x04 /*Bit 3 (FE): Framing Error*/ #define BI 0x10 /*Bit 4 (BI): Break Interrupt*/ #define THRE 0x20 /*Bit 5 (THRE): Transmitter Holding Register (THR) Empty*/ #define TEMT 0x40 /*Bit 6 (TEMT): Transmitter Empty */ #define RFE 0x80 /*Bit 7: (RFE) Error in RCVR FIFO*/ #define ESCAPE 27 /* Velocidad: se calcula como divisor (x16) de un reloj de 1.8432MHz (los valores reales son aproximaciones a los nominales)*/ #define velocidad_50 2304 /*Velocidad 50 bps*/ #define velocidad_75 1536 /*Velocidad 75 bps*/ #define velocidad_150 768 /*Velocidad 150 bps*/ #define velocidad_300 384 /*Velocidad 300 bps*/


203

#define velocidad_600 192 /*Velocidad 600 bps*/ #define velocidad_1200 96 /*Velocidad 1.200 bps*/ #define velocidad_2400 48 /*Velocidad 2.400 bps*/ #define velocidad_4800 24 /*Velocidad 4.800 bps*/ #define velocidad_9600 12 /*Velocidad 9.600 bps*/ #define velocidad_19200 6 /*Velocidad 19.200 bps*/ #define velocidad_56000 2 /*Velocidad 56.000 bps*/ #define velocidad_128000 1 /*Velocidad 128.000 bps*/ void main(void) unsigned char a,c,configuracion,caracter=1; unsigned int velocidad,terminar=0; /* Configurar velocidad */ a=inportb(LCR); a=a|DLAB; /* Pone DLAB=1 */ outportb(LCR,a); velocidad=velocidad_600; outportb(DLL,velocidad&0xFF); outportb(DLM,(velocidad>>8)&0xFF); /* Configurar paridad, longitud y stop */ a=a&(!DLAB); /* Pone DLAB=0*/ configuracion=longitud_7|bitsparada_2|paridad_si|paridad_impar; outportb(LCR,configuracion); /* Deshabilita interrupciones */ outportb(IER,0); /*0000.0000 (con DLAB=0)*/ /* Transmitir de forma continua dos caracteres seguido de pausa */ while(1 && !terminar) a=inportb(LSR); if(a&THRE) /* comprueba si el transmisor está vacío)*/ if(caracter==1) outportb(THR,0x52); /* Envía el primer carácter*/ caracter=2; else outportb(THR,0x25); /* Envía el segundo carácter*/ caracter=1; delay(1000); /* Espera en milisegundos*/ if(a&DR) /* Comprueba si se ha recibido algún dato*/ c=inportb(RBR); /* Lee el dato recibido*/ printf("%x; ",c); if(kbhit()!=0) /* Comprueba si el usuario ha pulsado una tecla (para terminar)*/ if(getch()==ESCAPE) terminar=1;


204

PRÁCTICA 6: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES


205

PRÁCTICA 6: DIGITALIZACIÓN DE SEÑALES 1.- Descripción de la práctica Una señal senoidal de 2 Khz y 5 voltios de amplitud se digitaliza mediante el circuito de la figura. Como señal de muestreo se utiliza un pulso cuadrado de 0 a 5 voltios y 40 Khz. de frecuencia. Determinar:

a) La señal muestreada (muestreo natural) y su espectro. b) Repetir el apartado anterior cuando la señal de muestreo tiene un duty-cycle del

25%, 12% y 1%. c) La señal muestreada (muestreo plano) y su espectro para un duty-cycle del 1%. d) La señal recuperada para el caso del muestreo natural y su espectro. e) La señal recuperada para el caso del muestreo plano y su espectro. f) Repetir el apartado anterior para distintas frecuencias de la señal de muestreo.

NOTAS: R1=R2=10KΩ; C1=C2=1nF


• Generador de señales (2 señales independientes) • Osciloscopio • Fuente de alimentación de +7 y de -7 voltios • Interruptor analógico 4066 • Amplificador operacional 741 • 2 resistencias de 10KΩ • 2 condensadores de 1 nF

3.- Estudio teórico El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en el ejercicio de laboratorio LTC-11.

-

+

C1

R2

C2

+

V in

R1

4066

-

+

C1

R2

C2

+

V in

R1

4066


206

4.- Hojas de resultados experimentales Apartados a) y b)

dc=50% dc=25% dc=12.5% dc=1% Arm. Khz. Teór. Exp. Teór. Exp. Teór. Exp. Teór. Exp.

2 42 82 122 162 202 242 282 322 362 402

Apartado c)

dc=1% Arm. Khz. Teór. Exp.

2 42 82 122 162 202 242 282 322 362 402

Apartado d)

Teórico Experimental Armónicos Original Original/2 y

filtrado Recuperado Recuperado

2 Khz.


207

Apartado e)

Teórico Experimental Armónicos Original Original


2 Khz. Apartado f)

Recup. (10Khz)

Recup. (20Khz)

Recup. (30Khz)

Arm. Orig. (dBV)

Filt. (dBV)

Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. 2 Khz.

Recup. (40Khz)

Recup. (50Khz)

Recup. (60Khz)

Recup. (70Khz)

Arm. Orig. (dBV)

Filt. (dBV)

Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. 2 Khz.


208

PRÁCTICA LTC-11: DIGITALIZACIÓN DE UNA SEÑAL SENOIDAL 1.- Descripción de la práctica Una señal senoidal de 2 Khz y 5 voltios de amplitud se digitaliza mediante el circuito de la figura. Como señal de muestreo se utiliza un pulso cuadrado de 0 a 5 voltios y 40 Khz. de frecuencia. Determinar:

a) La señal muestreada (muestreo natural) y su espectro. b) Repetir el apartado anterior cuando la señal de muestreo tiene un duty-cycle del

25%, 12% y 1%. c) La señal muestreada (muestreo plano) y su espectro para un duty-cycle del 1%. d) La señal recuperada para el caso del muestreo natural y su espectro. e) La señal recuperada para el caso del muestreo plano y su espectro. f) Repetir el apartado anterior para distintas frecuencias de la señal de muestreo.

NOTAS: R1=R2=10KΩ; C1=C2=1nF


• Generador de señales (2 señales independientes) • Osciloscopio • Fuente de alimentación de +7 y de -7 voltios • Interruptor analógico 4066 • Amplificador operacional 741 • 2 resistencias de 10KΩ • 2 condensadores de 1 nF


-

+

C1

R2

C2

+

V in

R1

4066

-

+

C1

R2

C2

+

V in

R1

4066


209

4.- Resultados Apartado a) Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La Figura 4 representa (en amarillo) la seña original (la triangular), la señal de muestreo (en violeta) y la señal muestreada (en azul).

Figura 1. Muestreo de señales

En las gráficas siguientes se refleja un detalle de la señal muestreada (figura 2), así como los correspondientes espectros de la seña original (figura 3) y de la señal muestreada (figura 4 y figura 5). Podemos observar cómo el espectro de la señal original es el típico de una señal senoidal, mientras que para la señal muestreada aparece el espectro repetido y duplicado para cada múltiplo de la frecuencia de la señal de muestreo (40 Khz, 80 Khz, etc.) Observamos también cómo en la señal muestreada cada repetición del espectro tiene una amplitud diferente de acuerdo con lo esperado teóricamente.


210

Figura 2. Señal muestreada (detalle)

Figura 3. Espectro de la señal original


211

Figura 4. Espectro de la señal muestreada

Figura 5. Espectro de la señal muestreada (detalle)


212

Apartado b) En las gráficas siguientes se representan las señales muestreadas y sus espectros para distintos valores del duty-cycle (dc)

Figura 10. Señal muestreada (dc=12%)

Figura 11. Espectro señal muestreada (dc=12%)






213

Observamos cómo en la señal muestreada cada repetición del espectro tiene una amplitud diferente según el valor del duty-cycle, de acuerdo con lo esperado teóricamente. Los valores teóricos y experimentales de los armónicos del primer lóbulo, expresados en dBV, son los siguientes


2 4.95 4.8 -1.07 -1.2 -7.09 -7.2 -29.03 -28.8 Los valores teóricos y experimentales del primer armónico de cada lóbulo son los siguientes


2 4.95 4.8 -1.07 -1.2 -7.09 -7.2 -29.03 -28.8 42 1.03 0.8 -1.98 -2.0 -7.32 -7.6 -29.03 -29.6 82 -∞ -36 -4.99 -5.2 -8.00 -8.4 -29.04 -30.0 122 -8.52 -9.2 -11.53 -12.4 -9.20 -9.6 -29.04 -30.4 162 -∞ -37.6 -∞ -30.8 -11.02 -11.2 -29.05 -30.8 202 -12.95 -14.0 -15.96 -15.6 -13.64 -13.6 -29.07 -31.2 242 -∞ -37.6 -14.54 -15.2 -17.55 -17.2 -29.08 -32.0 282 -15.88 -18.0 -18.89 -20.4 -24.22 -23.2 -29.10 -33.6 322 -∞ -36.0 -∞ -28.0 -∞ -36.0 -29.12 -34.8 362 -18.06 -21.2 -21.07 -21.2 -26.40 -27.2 -29.15 -37.2 402 -∞ -31.6 -18.97 -20.4 -21.98 -22.0 -29.17 -39.2

Apartado c) Cuando se realiza el muestreo plano la señal original y muestreada toman la forma de la figura 14. El espectro de la señal muestreada aparece en la figura 15




214

Figura 14. Señal original y muestreada (muestreo plano)

Figura 15. Espectro de la señal muestreada (muestreo plano)


215

Los valores teóricos y experimentales de los armónicos del primer lóbulo, expresados en dBV, son los siguientes


2 10.93 10.8 Los valores teóricos y experimentales del primer armónico de cada lóbulo son los siguientes


2 10.93 10.8 42 -15.51 -15.6 82 -21.33 -21.6 122 -24.79 -24.8 162 -27.26 -27.2 202 -29.19 -28.8 242 -30.77 -30.4 282 -32.12 -31.6 322 -33.29 -32.4 362 -34.34 -33.2 402 -35.27 -33.6

Apartado d) Si filtramos la señal muestreada (muestreo natural) mediante un simple circuito RC paso de baja de frecuencia de corte adecuada, podemos recuperar (aproximadamente) la señal original. La frecuencia de corte en nuestro caso es

3 4 9

1 115'9

2 2 10 10dBf KhzRCπ π −= = =

⋅ ⋅

En la figura 16 se recogen la señal original y la recuperada. El espectro de la señal recuperada aparece en la figura 17. Los valores teóricos y experimentales de los armónicos de la señal recuperada, expresados en dBV, son los siguientes:

Teórico Experimental Armónicos Original Original/2 y


2 Khz. 10.97 4.88 4.88 4.4


216

Figura 16. Señal original y recuperada (muestreo natural)

Figura 17. Espectro de la señal original (dividido por 2) y de la recuperada (muestreo natural)


217

Apartado e) Si filtramos la señal muestreada (muestreo plano) mediante el mismo circuito recuperador (un simple circuito RC paso de baja de frecuencia de corte 15’9 Khz), podemos recuperar (aproximadamente) la señal original. En la figura 18 se recogen la señal original y la recuperada. El espectro de la señal recuperada aparece en la figura 19. Los valores teóricos y experimentales de los armónicos de la señal recuperada, expresados en dBV, son los siguientes:

Teórico Experimental Armónicos Original Original


2 Khz. 10.97 10.90 10.87 10.8

Figura 18. Señal original y recuperada (muestreo plano)


218

Figura 19. Espectro de la señal original y recuperada (muestreo plano)

Apartado f) En las gráficas siguientes se representan las señales muestreadas y recuperadas, así como el espectro de la señal recuperada para distintos valores de la frecuencia de muestreo (fs)

Figura 20. Señal original y recuperada (fs=10Khz)

Figura 21. Espectro señal original y recuperada (fs=10Khz)


219








220








221

En las tablas siguientes se estudia el comportamiento para frecuencias de 10 a 70 Khz.

Recup. (10Khz)

Recup. (20Khz)

Recup. (30Khz)

Arm. Orig. (dBV)

Filt. (dBV)

Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. 2 Khz. 10.97 10.90 10.32 10.0 10.76 10.4 10.84 10.8

Recup. (40Khz)

Recup. (50Khz)

Recup. (60Khz)

Recup. (70Khz)

Arm. Orig. (dBV)

Filt. (dBV)

Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. Teor. Exp. 2 Khz. 10.97 10.90 10.87 10.8 10.88 10.8 10.89 10.8 10.89 10.8


222

Problema PTC0004-24 Una señal senoidal de 2 Khz y 5 voltios de amplitud se digitaliza mediante el circuito de la figura. Como señal de muestreo se utiliza una señal cuadrada de 0 a 5 voltios y 40 Khz. de frecuencia. Determinar:

a) El espectro de la señal original. b) El espectro de la señal muestreada (muestreo natural) cuando la señal de

muestreo tiene un duty-cycle del 50%, 25%, 12’5% y 1%. c) El espectro de la señal muestreada (muestreo plano) para un duty-cycle del 1%. d) El espectro de la señal recuperada para el caso de muestreo natural. e) El espectro de la señal recuperada para el caso de muestreo plano. f) Repetir el apartado anterior para distintas frecuencias de la señal de muestreo.

NOTAS: Obtener los valores de cada una de las componentes espectrales en dBV RMS (sobre 1 voltio RMS: Root Mean Square). R1=R2=10KΩ; C1=C2=1nF

Solución PTC0004-24 Apartado a) Sabemos que la señal original que pretendemos muestrear puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión

1( ) nj t

fnn

f t c eT

ω∞

=−∞= ∑


/ 2

/ 2( ) n

T j tfn T

c f t e dtω−

−= ∫

Según se puede calcular (ver problema PTC0004-07) existen sólo valores para n=±1 (un único componente armónico) de valor

-

+

C1

R2

C2

+

V in

R1

4066

-

+

C1

R2

C2

+

V in

R1

4066


223

12fn

ATc n= ∀ = ±

siendo A la amplitud de la señal cuadrada. Cada armónico vale

0fn fn

fn

c cM n

T T−= + ∀ >

y sustituyendo

1fnM A n= ∀ =

El espectro de amplitud para frecuencias positivas se refleja en la figura siguiente

Para obtener los valores de los armónicos en dB sobre voltios RMS los valores esperados serán

20log 02RMS

fnfndBV

MM n= ∀ >

Los resultados son los siguientes

Frecuencia Armónico 2 Khz. 10.97 dBV

Apartado b) Llamando g(t) a la señal muestreada (muestreo natural) sabemos que su espectro vale

( ) ( )( ) c c si

G d Sa i d F iω π ω ω∞

=−∞= ⋅ ⋅ −∑

siendo dc el duty-cycle de la señal de muestreo. Análogamente

( ) ,gn c c fn ii

c d Sa i d cπ∞

=−∞= ⋅ ⋅∑

donde cfn,i corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud i·fs. Análogamente, para los armónicos podemos escribir

5 10 15 20

0.5

1

1.5

2

2.5


224

( ) ,0

gn c c fn ii

M d Sa i d Mπ∞

== ⋅ ⋅∑

El espectro de amplitud de la señal muestreada se representa para frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 50 y del 25% respectivamente.

Igualmente las figuras siguientes muestran el espectro de la señal muestreada para un duty-cycle del 12’5 y del 1% respectivamente.

Los valores numéricos de los armónicos del primer lóbulo son los siguientes

Lóbulo Armónicos dc=50% dc=25% dc=12.5% dc=1% 1 2 Khz. 4.95 dBV -1.07 dBV -7.09 dBV -29.03 dBV

Los valores numéricos del primer armónico de cada lóbulo son los siguientes

20 40 60 80 100 120 140

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

20 40 60 80 100 120 140

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

20 40 60 80 100 120 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

20 40 60 80 100 120 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


225

Lóbulo Armónicos dc=50% dc=25% dc=12.5% dc=1%

1 2 Khz. 4.95 dBV -1.07 dBV -7.09 dBV -29.03 dBV 2 42 Khz. 1.03 dBV -1.98 dBV -7.32 dBV -29.03 dBV 3 82 Khz. -∞ dBV -4.99 dBV -8.00 dBV -29.04 dBV 4 122 Khz. -8.52 dBV -11.53 dBV -9.20 dBV -29.04 dBV 5 162 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -11.02 dBV -29.05 dBV 6 202 Khz. -12.95 dBV -15.96 dBV -13.64 dBV -29.07 dBV 7 242 Khz. -∞ dBV -14.54 dBV -17.55 dBV -29.08 dBV 8 282 Khz. -15.88 dBV -18.89 dBV -24.22 dBV -29.10 dBV 9 322 Khz. -∞ dBV -∞ dBV -∞ dBV -29.12 dBV 10 362 Khz. -18.06 dBV -21.07 dBV -26.40 dBV -29.15 dBV 11 402 Khz. -∞ dBV -18.97 dBV -21.98 dBV -29.17 dBV

Apartado c) Llamando gh(t) a la señal muestreada (muestreo plano) sabemos que, cuando el ancho del pulso de muestreo es muy pequeño, su espectro vale

( )1( )

2s

hc

TG Sa G

dω ω ω = ⋅

( ) ( )1( )

2s

h c c sic

TG Sa d Sa i d F i

dω ω π ω ω

∞

=−∞

= ⋅ ⋅ ⋅ −

∑

( ) ( )( )2s

h c si

TG Sa Sa i d F iω ω π ω ω

∞

=−∞

= ⋅ ⋅ −

∑

Análogamente

( ) ,0 2

sghn c fn i

i

TM Sa Sa i d Mω π

∞

=

= ⋅ ⋅

∑

El espectro de amplitud de la señal muestreada (muestreo plano) se representa para frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 1%.

En la gráfica anterior aparecen reflejadas dos líneas discontinuas. La primera de ellas (la superior en la gráfica) corresponde al factor

20 40 60 80 100 120 140

0.5

1

1.5

2

2.5


226

( )cSa i dπ

para un duty-cycle del 1%, mientras que la segunda (la inferior en la gráfica) corresponde al factor

2sT

Sa ω

Los valores numéricos de los armónicos del primer lóbulo son los siguientes

Lóbulo Armónicos dc=1% 1 2 Khz. 10.93 dBV

Los valores numéricos del primer armónico de cada lóbulo son los siguientes

Lóbulo Armónicos dc=1% 1 2 Khz. 10.93 dBV 2 42 Khz. -15.51 dBV 3 82 Khz. -21.33 dBV 4 122 Khz. -24.79 dBV 5 162 Khz. -27.26 dBV 6 202 Khz. -29.19 dBV 7 242 Khz. -30.77 dBV 8 282 Khz. -32.12 dBV 9 322 Khz. -33.29 dBV 10 362 Khz. -34.34 dBV 11 402 Khz. -35.27 dBV

Apartado d) En el recuperador utilizamos un filtro paso de baja, constituido por un circuito RC, cuya función de transferencia (problema PTC0004-11) sabemos que vale

1( )

1H

j RCω

ω=

+

con una frecuencia de corte de 3dB de valor

3 4 9

1 115'9

2 2 10 10dBf KhzRCπ π −= = =

Llamando r(t) a la señal recuperada (después del muestreo natural) tenemos que

( ) ( ) ( )R G Hω ω ω= ⋅

( ) ( )( ) ( )c c si

R d Sa i d F i Hω π ω ω ω∞

=−∞= ⋅ ⋅ − ⋅∑

y si los parámetros del muestreador y recuperador están bien calculados, sabemos que la recuperación nos deja aproximadamente sólo el primer lóbulo (i=0) por lo que podemos escribir

( ) ( )( ) 0 0 ( )c c sR d Sa d F Hω π ω ω ω≈ ⋅ ⋅ − ⋅


227

( )( ) 1 ( )cR d F Hω ω ω≈ ⋅ ⋅ ⋅

( )( ) cR d Fω ω≈ ⋅

Análogamente, para los armónicos podemos escribir

( ) ,0

( )rn c c fn ii

M d Sa i d M Hπ ω∞

== ⋅ ⋅ ⋅∑

El espectro de amplitud de la señal recuperada (muestreo natural) se representa para frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 50%.

Los valores numéricos de los armónicos de la señal recuperada son los siguientes

Armónicos Original Original/2 y filtrado

Recuperado

2 Khz. 10.97 dBV 4.88 dBV 4.88 dBV Apartado e) En el recuperador utilizamos un filtro paso de baja, constituido por un circuito RC, cuya función de transferencia (problema PTC0004-11) sabemos que vale

1( )

1H

j RCω

ω=

+

Llamando rh(t) a la señal recuperada (después del muestreo plano) tenemos que

( ) ( ) ( )h hR G Hω ω ω= ⋅

( ) ( )( ) ( )2s

h c si

TR Sa Sa i d F i Hω ω π ω ω ω

∞

=−∞

= ⋅ ⋅ − ⋅

∑

y si los parámetros del muestreador y recuperador están bien calculados, sabemos que la recuperación nos deja aproximadamente sólo el primer lóbulo (i=0) por lo que podemos escribir

( ) ( )( ) 0 0 ( )2s

h c s

TR Sa Sa d F Hω ω π ω ω ω ≈ ⋅ ⋅ − ⋅

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


228

( )( ) 1 ( )2s

h

TR Sa F Hω ω ω ω ≈ ⋅ ⋅ ⋅

( )( )2s

h

TR Sa Fω ω ω ≈ ⋅


( ) ,0

( )2s

rhn c fn ii

TM Sa Sa i d M Hω π ω

∞

=

= ⋅ ⋅ ⋅

∑

El espectro de amplitud de la señal recuperada (muestreo plano) se representa para frecuencias positivas en la figura siguiente para un duty-cycle del 1%.

En la gráfica anterior aparecen reflejadas mediante línea discontinua el valor para una recuperación ideal. Los valores numéricos de los armónicos de la señal recuperada son los siguientes

Armónicos Original Original Filtrado

Recuperado

2 Khz. 10.97 dBV 10.90 dBV 10.87 dBV Apartado f) Si en el caso del muestreo plano utilizamos otras frecuencias de muestreo, los datos de la recuperación son distintos. En la tabla siguiente, obtenida numéricamente, se estudia el comportamiento para frecuencias de 10 a 70 Khz.

Arm. Orig. (dBV)

Filt. (dBV)

Recup. (10Khz)

Recup. (20Khz)

Recup. (30Khz)

Recup. (40Khz)

Recup. (50Khz)

Recup. (60Khz)

Recup. (70Khz)

2 Khz. 10.97 10.90 10.32 10.76 10.84 10.87 10.88 10.89 10.89

5 10 15 20

1

2

3

4

5


229

PRÁCTICA 7: MODULACIÓN


230

PRÁCTICA 7: MODULACIÓN 1.- Descripción de la práctica 1.1.- Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar l espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas amplitudes de la señal modulante. 1.2.- Una señal cuadrada de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas amplitudes de la señal modulante. 1.3.- Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en frecuencia una portadora senoidal de 10 Khz y 10 voltios de amplitud. La desviación en frecuencia es de 5 Khz. Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas desviaciones de frecuencia. 2.- Equipos y materiales


NOTA 1: El generador de señales utilizado modula en AM mediante la siguiente expresión

[ ] ( ) 1( ) 1 ( ) cos

2 p pg t A m f t tω= + ⋅

por lo que la amplitud seleccionada deberá ser de 10 voltios (el doble de la requerida para la portadora). NOTA 2: El generador de señales utilizado modula en FM mediante los siguientes parámetros

• FM FUNC: SINE • FM FREQ: 1 Khz • FM DEVIA: 1 Khz

3.- Estudio teórico El estudio teórico y las memorias correspondientes se encuentran en los ejercicios de laboratorios siguientes: Epígrafe 1.1: Laboratorio LTC-20 Epígrafe 1.2: Laboratorio LTC-21 Epígrafe 1.3: Laboratorio LTC-23


231

4.- Hojas de resultados experimentales 4.1. Señal senoidal modulada en amplitud

Armónicos(dBV) Amplitud=1

Armónicos(dBV) Amplitud=0.5


Frecuencia (en Khz.)

Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 9 Khz. 10 Khz. 11 Khz.

4.2. Señal cuadrada modulada en frecuencia





Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


232

4.3. Señal senoidal modulada en frecuencia

Armónicos (en dBV) ∆f=0.1 ∆f=0.5 ∆f=1 ∆f=2 ∆f=5

Frecuencia (en Khz)

Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


233

PRÁCTICA LTC-20: MODULACIÓN EN AMPLITUD: SEÑAL SENOIDAL 1.- Descripción de la práctica Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:

a) El espectro de la señal original. b) El espectro de la señal modulada. c) Repetir el apartado anterior para distintas amplitudes de la señal modulante.



NOTA: El generador de señales utilizado modula en AM mediante la siguiente expresión

[ ] ( ) 1( ) 1 ( ) cos


por lo que la amplitud seleccionada deberá ser de 10 voltios (el doble de la requerida para la portadora). 3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-28


234

4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa una señal modulante senoidal de 1V de amplitud y 1 Khz., así como la señal modulada en amplitud correspondiente.

Figura 1. Señales modulante y modulada (AM)

Apartado a) El espectro de amplitud de la modulante en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. En ella se observa una única componente espectral a 1 Khz. y una pequeña componente de continua que atribuimos a las imperfecciones del generador de señal y del osciloscopio. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). En ella la componente de continua aparece relativamente más importante por el efecto que introduce la escala logarítmica. Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.


235

Figura 2. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala lineal)

Figura 3. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala en dBV RMS)


236

Armónicos(dBV)

Amplitud=1 Frecuencia (en Khz.)

Teor. Práct. 0 Khz. -∞ -30.0 1 Khz. -3.01 -3.0

Apartado b) El espectro de amplitud de la señal modulada (AM) en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 4 (en rojo). En ella se observa una componente espectral de 10 Khz. correspondiente a la portadora, y dos bandas laterales (superior e inferior) con el espectro de la señal modulante a cada lado. En dicha figura hemos superpuesto el valor teórico (en amarillo). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente. Igualmente, en la figura 5 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.

Figura 4. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala lineal)


237

Figura 5. Espectro de amplitud de la señal modulada (escala en dBV RMS)





Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 9 Khz. 4.95 5.6 -1.07 -0.6 -15.05 -14.6 10 Khz. 10.97 11.0 10.97 11.0 10.97 11.0 11 Khz. 4.95 5.6 -1.07 -0.6 -15.05 -14.6

Apartado c)


238

Figura 8. Señales (A=0.1V)

Figura 9. Espectro señal modulada (A=0.1V)




239

Problema PTC0004-28 Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:


Solución PTC0004-28 Apartado a) Sabemos que la señal modulante puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión

1( ) nj t

fnn

f t c eT

ω∞

=−∞= ∑


/ 2

/ 2( ) n

T j tfn T

c f t e dtω−

−= ∫

Según se puede calcular (ver problema PTC0004-07) existen sólo valores para n=±1 (un único componente armónico) de valor

12fn

ATc n= ∀ = ±


0fn fn

fn

c cM n

T T−= + ∀ >

y sustituyendo

1fnM A n= ∀ =

El espectro de amplitud para frecuencias positivas se refleja en la figura siguiente

2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


240


20log 02RMS

fnfndBV

MM n= ∀ >



Armónico (en dBV)

1 Khz. -3.01 dBV Apartado b) Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que

[ ] ( )( ) 1 ( ) cosp pg t A m f t tω= + ⋅

siendo m el índice de modulación. Su representación gráfica es la siguiente

Para calcular su espectro escribimos

( ) ( )( ) cos ( )cosp p p pg t A t A m f t tω ω= +

[ ] ( ) ( )( ) ( ) cos ( )cosp p p pG g t A t A m f t tω ω ω = = + F F

( ) ( )( ) cos ( )cosp p p pG A t A m f t tω ω ω = + F F

El primer sumando corresponde a la portadora senoidal y su espectro será

( )( ) cosp pP A tω ω = F

de donde

( )( ) ( ) ( )cosp pG P A m f t tω ω ω = + F

Por otra parte, el segundo sumando vale

( ) ( )2( ) ( )cos ( )cos j tp p p pG A m f t t A m f t t e dtωω ω ω

∞−

−∞

= = ∫F

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-5

5

10


241

2( ) ( )2

p pj t j tj t

p

e eG A m f t e dt

ω ωωω

−∞−

−∞

+= ∫

( ) ( )2( ) ( ) ( )

2 2p pj t j tp pA m A m

G f t e dt f t e dtω ω ω ωω

∞ ∞− − − +

−∞ −∞

= +∫ ∫

2( ) ( ) ( )2 2p p

p p

A m A mG F Fω ω ω ω ω= − + +

2( ) ( ) ( )2p

p p

A mG F Fω ω ω ω ω = − + +

Por lo tanto, finalmente, el espectro de una señal modulada en amplitud vale

( ) ( )( ) ( )2p

p p

A mG P F Fω ω ω ω ω ω = + − + +

Análogamente

, ,2 2p p

p pgn pn fn fn

A m A mc c c cω ω−= + +

donde cfn,ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud fp; mientras que cfn,-ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud -fp. Análogamente, para los armónicos podemos escribir

, ,2 2p p

p pgn pn fn fn

A m A mM M M Mω ω−= + +

expresión en la que Mfn,ωp representa a los armónicos (bilaterales) correspondientes al espectro de la modulante centrado en ωp. El espectro de amplitud de la señal modulada para frecuencias positivas se refleja en la figura siguiente

Los valores numéricos de los armónicos son los siguientes

5 10 15 20

0.5

1

1.5

2

2.5


242


Armónico (en dBV)

9 Khz. 4.95 dBV 10 Khz. 10.97 dBV 11 Khz. 4.95 dBV

Apartado c) En la figura se representan las señales moduladas y sus espectros cuando la amplitud de la modulante es, respectivamente, de 0.5V y de 0.1V.

Los valores numéricos de los armónicos son

Armónico (en dBV) Frecuencia (en Khz.) A=1V A=0.5V A=0.1V 9 Khz. 4.95 dBV -1.07 dBV -15.05 dBV 10 Khz. 10.97 dBV 10.97 dBV 10.97 dBV 11 Khz. 4.95 dBV -1.07 dBV -15.05 dBV

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-4

-2

2

4

5 10 15 20

0.5

1

1.5

2

2.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-6

-4

-2

2

4

6

5 10 15 20

0.5

1

1.5

2

2.5


243

PRÁCTICA LTC-21: MODULACIÓN EN AMPLITUD: SEÑAL CUADRADA 1.- Descripción de la práctica Una señal cuadrada de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:




NOTA: El generador de señales utilizado modula en AM mediante la siguiente expresión

[ ] ( ) 1( ) 1 ( ) cos


por lo que la amplitud seleccionada deberá ser de 10 voltios (el doble de la requerida para la portadora). 3.- Estudio teórico El estudio teórico de la práctica se realiza en el problema PTC0004-29


244

4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa una señal modulante cuadrada de 1V de amplitud y 1 Khz., así como la señal modulada en amplitud correspondiente.

Figura 1. Señales modulante y modulada (AM)

Apartado a) El espectro de amplitud de la modulante en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2. En ella se observa una única componente espectral a 1 Khz. y una pequeña componente de continua que atribuimos a las imperfecciones del generador de señal y del osciloscopio. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). En ella la componente de continua aparece relativamente más importante por el efecto que introduce la escala logarítmica. Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.


245

Figura 2. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala lineal)

Figura 3. Espectro de amplitud de la señal modulante (escala en dBV RMS)


246

Armónicos(dBV)

Amplitud=1 Frecuencia (en Khz.)

Teor. Práct. 0 -∞ -40.4 1 -0.91 -1.0 2 -∞ -44.2 3 -10.45 -10.4 4 -∞ -44.2 5 -14.89 -14.4 6 -∞ -44.6 7 -17.81 -17.6 8 -∞ -44.2 9 -20.00 -19.6 10 -∞ -44.2

Apartado b) El espectro de amplitud de la señal modulada (AM) en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 4 (en rojo). En ella se observa una componente espectral de 10 Khz. correspondiente a la portadora, y dos bandas laterales (superior e inferior) con el espectro de la señal modulante a cada lado. En dicha figura hemos superpuesto el valor teórico (en amarillo). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente. Igualmente, en la figura 5 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.


247




248





Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 -∞ -14.4 -∞ -16.8 -∞ -23.0 1 -6.85 -6.0 -12.87 -12.8 -26.85 -27.6 2 -∞ -41.8 -∞ -32.8 -∞ -50.0 3 -6.11 -5.2 -12.13 -12.2 -26.11 -26.8 4 -∞ -43.0 -∞ -32.0 -∞ -38.4 5 -4.43 -3.6 -10.45 -10.2 -24.43 -23.2 6 -∞ -46.0 -∞ -30.6 -∞ -44.0 7 -1.08 -0.4 -7.10 -6.6 -21.08 -21.0 8 -∞ -46.0 -∞ -33.0 -∞ -47.0 9 7.49 8.2 1.47 2.0 -12.51 -11.8 10 10.97 10.8 10.97 10.8 10.97 10.8 11 7.45 7.2 1.43 1.4 -12.55 -12.4 12 -∞ -46.0 -∞ -34.8 -∞ -50.0 13 -1.43 -3.4 -7.45 -8.8 -21.43 -21.6 14 -∞ -43.0 -∞ -32.8 -∞ -53.0 15 -5.35 -8.8 -11.37 -13.6 -25.35 -27.4 16 -∞ -46.0 -∞ -41.8 -∞ -43.0 17 -7.85 -12.8 -13.87 -16.8 -27.85 -29.8 18 -∞ -41.8 -∞ -36.0 -∞ -53.0 19 -9.69 -16.0 -15.71 -19.2 -29.69 -31.8 20 -∞ -44.0 -∞ -29.4 -∞ -36.8

Apartado c)




249




250

Problema PTC0004-29 Una señal cuadrada de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en amplitud una portadora senoidal de 10 Khz y 5 voltios de amplitud. El índice de modulación es 1. Determinar:


Solución PTC0004-29 Apartado a) Sabemos que la señal modulante puede representarse genéricamente mediante una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión

1( ) nj t

fnn

f t c eT

ω∞

=−∞= ∑


/ 2

/ 2( ) n

T j tfn T

c f t e dtω−

−= ∫

Según se puede calcular (ver problema PTC0004-08)

2 02fn n

dc AdSa nω = ∀ >


0fn fn

fn

c cM n

T T−= + ∀ >

y sustituyendo

2 02fn

nM ASa n

π = ∀ >

El espectro de amplitud se refleja en la figura siguiente


251


20log 02RMS

fnfndBV

MM n= ∀ >



Armónico (en dBV)

0 -∞ 1 -0.91 2 -∞ 3 -10.45 4 -∞ 5 -14.89 6 -∞ 7 -17.81 8 -∞ 9 -20.00 10 -∞

Apartado b) Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que

[ ] ( )( ) 1 ( ) cosp pg t A m f t tω= + ⋅

siendo m el índice de modulación. Su representación gráfica es la siguiente

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-5

5

10

-10 -5 5 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


252

Para calcular su espectro escribimos

( ) ( )( ) cos ( )cosp p p pg t A t A m f t tω ω= +

[ ] ( ) ( )( ) ( ) cos ( )cosp p p pG g t A t A m f t tω ω ω = = + F F

( ) ( )( ) cos ( )cosp p p pG A t A m f t tω ω ω = + F F

El primer sumando corresponde a la portadora senoidal y su espectro será

( )( ) cosp pP A tω ω = F

de donde

( )( ) ( ) ( )cosp pG P A m f t tω ω ω = + F

Por otra parte, el segundo sumando vale

( ) ( )2( ) ( )cos ( )cos j tp p p pG A m f t t A m f t t e dtωω ω ω

∞−

−∞

= = ∫F

2( ) ( )2

p pj t j tj t

p

e eG A m f t e dt

ω ωωω

−∞−

−∞

+= ∫

( ) ( )2( ) ( ) ( )

2 2p pj t j tp pA m A m

G f t e dt f t e dtω ω ω ωω

∞ ∞− − − +

−∞ −∞

= +∫ ∫

2( ) ( ) ( )2 2p p

p p

A m A mG F Fω ω ω ω ω= − + +

2( ) ( ) ( )2p

p p

A mG F Fω ω ω ω ω = − + +

Por lo tanto, finalmente, el espectro de una señal modulada en amplitud vale

( ) ( )( ) ( )2p

p p

A mG P F Fω ω ω ω ω ω = + − + +

Análogamente

, ,2 2p p

p pgn pn fn fn

A m A mc c c cω ω−= + +

donde cfn,ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud fp; mientras que cfn,-ωp corresponde a los coeficientes del desarrollo en serie de la señal original, desplazados en frecuencia en la magnitud -fp.


253

En las figuras siguientes se reflejan respectivamente cada uno de los dos sumandos del espectro de amplitud de la señal modulada, cfn,-ωp y cfn,ωp.

El espectro de amplitud completo de la señal modulada, cgn, se refleja en la figura siguiente


, ,2 2p p

p pgn pn fn fn

A m A mM M M Mω ω−= + +

expresión en la que Mfn,ωp representa a los armónicos (bilaterales) correspondientes al espectro de la modulante centrado en ωp. Los valores numéricos de los armónicos son los siguientes

-20 -10 10 20

0.5

1

1.5

2

2.5

-20 -10 10 20

0.5

1

1.5

2

2.5

-20 -10 10 20

0.5

1

1.5

2

2.5


254

Frecuencia

(en Khz.) Armónico

(en dBV) 0 -∞ 1 -6.85 2 -∞ 3 -6.11 4 -∞ 5 -4.43 6 -∞ 7 -1.08 8 -∞ 9 7.49 10 10.97 11 7.45 12 -∞ 13 -1.43 14 -∞ 15 -5.35 16 -∞ 17 -7.85 18 -∞ 19 -9.69 20 -∞

Apartado c) En la figura se representan las señales moduladas y sus espectros cuando la amplitud de la modulante es, respectivamente, de 0.5V y de 0.1V.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-6

-4

-2

2

4

6

-20 -10 10 20

0.5

1

1.5

2

2.5


255


Armónico (en dBV) Frecuencia (en Khz.) A=1V A=0.5V A=0.1V

0 -∞ -∞ -∞ 1 -6.85 -12.87 -26.85 2 -∞ -∞ -∞ 3 -6.11 -12.13 -26.11 4 -∞ -∞ -∞ 5 -4.43 -10.45 -24.43 6 -∞ -∞ -∞ 7 -1.08 -7.10 -21.08 8 -∞ -∞ -∞ 9 7.49 1.47 -12.51 10 10.97 10.97 10.97 11 7.45 1.43 -12.55 12 -∞ -∞ -∞ 13 -1.43 -7.45 -21.43 14 -∞ -∞ -∞ 15 -5.35 -11.37 -25.35 16 -∞ -∞ -∞ 17 -7.85 -13.87 -27.85 18 -∞ -∞ -∞ 19 -9.69 -15.71 -29.69 20 -∞ -∞ -∞

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-4

-2

2

4

-20 -10 10 20

0.5

1

1.5

2

2.5


256

PRÁCTICA LTC-23: MODULACIÓN EN FRECUENCIA: SEÑAL SENOIDAL 1.- Descripción de la práctica Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en frecuencia una portadora senoidal de 10 Khz y 10 voltios de amplitud. La desviación en frecuencia es de 5 Khz. Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas desviaciones de frecuencia. 2.- Equipos y materiales


NOTA: El generador de señales utilizado modula en FM mediante los siguientes parámetros

• FM FUNC: SINE • FM FREQ: 1 Khz • FM DEVIA: 1 Khz



257

4.- Resultados Describimos aquí los resultados experimentales obtenidos en laboratorio. La figura 1 representa la señal modulada en frecuencia.

Figura 1. Señal modulada (FM)

El espectro de amplitud de la señal modulada (FM) en escala lineal tiene la apariencia que refleja la figura 2 (en rojo). En ella se observa una componente espectral de 10 Khz. correspondiente a la portadora, y dos bandas laterales (superior e inferior) con el espectro de la señal modulante a cada lado. En dicha figura hemos superpuesto el valor teórico (en amarillo). Como podemos ver ambas representaciones coinciden sensiblemente. Igualmente, en la figura 3 se presenta también el mismo espectro de amplitud en escala logarítmica (dBV RMS). Los valores medidos para los distintos casos a los que se refiere el enunciado de la práctica se recogen en las siguientes tablas.


258




259

Armónicos (en dBV) ∆f=0.1 ∆f=0.5 ∆f=1 ∆f=2 ∆f=5

Frecuencia (en Khz)

Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. Teor. Práct. 0 -374 -25.4 -235 -26.8 -175 -26.4 -115 -25.2 -39.7 -27.0 1 -328 -53.0 -203 -49.0 -149 -52.0 -95.1 -52.0 -28.2 -28.6 2 -283 -53.0 -172 -47.8 -124 -47.0 -76.1 -56.0 -17.7 -18.0 3 -239 -49.0 -141 -49.0 -99.5 -41.2 -58.2 -41.0 -8.46 -10.6 4 -196 -53.0 -112 -49.4 -76.6 -52.0 -41.4 -40.6 -0.66 -3.00 5 -155 -59.0 -84.9 -59.0 -55.5 -53.0 -26.1 -26.8 5.33 4.80 6 -115 -47.0 -58.9 -59.0 -35.1 -34.4 -12.4 -12.6 8.84 8.80 7 -76.7 -56.0 -34.8 -35.0 -17.2 -18.4 -0.80 -2.40 8.23 6.60 8 -41.1 -42.0 -13.3 -15.8 -1.80 -4.40 7.94 5.40 -9.65 -12.8 9 -9.04 -9.60 4.68 4.40 9.86 9.20 12.2 11.8 7.30 7.00 10 17.0 17.2 16.4 16.6 14.6 14.6 3.99 4.00 1.98 2.00 11 -9.04 -10.2 4.68 3.40 9.86 8.80 12.2 11.0 7.30 6.20 12 -41.1 -42.2 -13.3 -16.2 -1.80 -4.80 7.94 4.60 -9.65 -13.6 13 -76.6 -52.0 -34.8 -34.2 -17.2 -17.6 -0.80 -1.20 8.23 7.60 14 -115 -59.0 -58.9 -52.0 -35.1 -35.2 -12.4 -12.4 8.84 9.00 15 -155 -59.0 -84.9 -50.0 -55.1 -47.0 -26.1 -27.2 5.33 4.40 16 -196 -59.0 -112 -56.0 -76.6 -59.0 -41.4 -41.8 -0.66 -4.20 17 -239 -59.0 -141 -52.0 -99.5 -52.0 -58.2 -52.0 -8.46 -9.40 18 -283 -56.0 -172 -53.0 -124 -52.0 -76.1 -50.0 -17.7 -17.4 19 -328 -56.0 -203 -53.0 -149 -56.0 -95.1 -56.0 -28.2 -28.4 20 -374 -56.0 -235 -52.0 -175 -49.0 -115 -59.0 -39.7 -42.4

En las figuras siguientes se representan los espectros de las señales moduladas cuando la desviación de frecuencia es, respectivamente, de 0.1, 0.5, 1 y 2 Khz.

Figura 4. Espectro señal modulada (∆f=0.1)

Figura 5. Espectro señal modulada (∆f=0.5)


260

Figura 6. Espectro señal modulada (∆f=1)

Figura 7. Espectro señal modulada (∆f=2)


261

Problema PTC0004-31 Una señal senoidal de 1 Khz y 1 voltio de amplitud modula en frecuencia una portadora senoidal de 10 Khz y 10 voltios de amplitud. La desviación en frecuencia es de 5 Khz. Determinar el espectro de la señal modulada. Repetir el cálculo para distintas desviaciones de frecuencia. Solución PTC0004-31 Según se puede calcular (ver problema PTC0004-07) la señal modulante es una función periódica f(t), que admite un desarrollo en serie de Fourier de acuerdo con la expresión

1( ) cos( ) nj t

f nn

f t A t c eT

ωω∞

=−∞= = ∑

en la que los coeficientes son nulos excepto para

12

ffn

ATc n= ∀ = ±

por lo que el espectro de amplitud de la señal modulante para frecuencias positivas es el siguiente

Para calcular los armónicos recordaremos que cada armónico vale

0n nfn

f f

c cM n

T T−= + ∀ >

En este caso sólo existe el armónico de orden 1, que vale

1 11

1 1

2 2f f

ff f f f

AT ATc cM A

T T T T−= + = + =


20log1RMS

fnRMSfndBV

MM =

2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


262

20log 02

20log 0

RMS

RMS

fnfndBV

fndBV fn

MM n

M M n

= ∀ >

= ∀ =

Lo que se traduce en nuestro caso en la tabla siguiente

Frecuencia Armónico 1 Khz. -3.01 dBV

Llamando g(t) a la señal modulada sabemos que

( )( ) cospg t A tθ =

El ángulo de la expresión anterior está ligado con la frecuencia instantánea mediante

( )2i i

d tf

dt

θω π= ≡

o, inversamente,

( ) 2i it dt f dtθ ω π= =∫ ∫

expresión en el que la frecuencia instantánea vale

( )( ) cos 2i p p ff f k f t f k A f tπ= + ⋅ = + ⋅

La máxima desviación de la pulsación angular (y de frecuencia) se produce cuando el coseno en la expresión anterior vale 1 (o -1), por lo que podemos calcular la constante mediante

k A f⋅ = ∆

fk

A

∆=


( ) ( )cos 2 cos 2i p f p f

ff f A f t f f f t

Aπ π∆= + ⋅ = + ∆

El ángulo vale pues

( ) ( )2 2 cos 2i p ft f dt f f f t dtθ π π π = = + ∆ ∫ ∫

( ) ( )2 2 cos 2p ft f dt f f t dtθ π π π= + ∆∫ ∫

( ) ( )22 sen 2

2p ff

ft f t f t

f

πθ π ππ

∆= +

( ) ( )2 sen 2p ff

ft f t f t

fθ π π∆= +


263

Por lo tanto la señal modulada en frecuencia vale

( ) ( )( ) cos cos 2 sen 2p p p ff

fg t A t A f t f t

fθ π π

∆ = = +

Su representación gráfica para una desviación de frecuencia de 5 Khz es la siguiente

Por otra parte sabemos que la señal modulada en frecuencia admite un desarrollo en serie del tipo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1

2

3

( ) cos cos cos

cos 2 cos 2

cos 3 cos 3

p p p p f p f

p p f p f

p p f p f

g t A J t A J t t

A J t t

A J t t

β ω β ω ω ω ω

β ω ω ω ω

β ω ω ω ω

= − − − +

+ − − +

− − − +

+L

Cada uno de esos sumandos supone un armónico de valor

( )gn p nM A J β=

con un espectro que es simétrico y está centrado en la frecuencia portadora. En esta expresión se denomina

f f

f

f

ωβω∆ ∆= =

al índice de modulación, y Jn(β) a la función de Bessel de primera clase. En nuestro caso, se afirma en el enunciado que la desviación de frecuencia es de 5 kHz por lo que

5f Khz∆ = y, por tanto,

55

1m

f Khz

f Khzβ ∆= = =

Las funciones de Bessel de primera clase para este índice de modulación, dependen exclusivamente de n, lo que se recoge en la tabla y gráfica siguientes:

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-10

-5

5

10


264

n Jn(ββββ); β=1 0 -0,178 1 -0,328 2 0,047 3 0,365 4 0,391 5 0,261 6 0,131 7 0,053 8 0,018 9 0,006 10 0,001 11 -

lo que, multiplicado por la amplitud de la portadora, nos da que el espectro de amplitud de la señal modulada para frecuencias positivas que es el siguiente

En las figuras siguientes se representan los espectros de las señales moduladas cuando la desviación de frecuencia es, respectivamente, de 0.1, 0.5, 1 y 2 Khz.

5 10 15 20

0.5

1

1.5

2

2 4 6 8 10n

-0.2

0.2

0.4

JnHβL


265


Armónicos (en dBV) Frecuencia ∆f=0.1Khz ∆f=0.5Khz ∆f=1Khz ∆f=2Khz ∆f=5Khz

0 Khz. -374,41 -234,67 -174,61 -115,00 -39,68 1 Khz. -328,39 -202,63 -148,61 -95,08 -28,17 2 Khz. -283,29 -171,51 -123,53 -76,09 -17,71 3 Khz. -239,21 -141,42 -99,48 -58,15 -8,46 4 Khz. -196,28 -112,48 -76,59 -41,41 -0,66 5 Khz. -154,70 -84,89 -55,06 -26,06 5,33 6 Khz. -114,70 -58,89 -35,13 -12,38 8,84 7 Khz. -76,64 -34,83 -17,18 -0,80 8,23 8 Khz. -41,08 -13,29 -1,80 7,94 -9,65 9 Khz. -9,04 4,68 9,86 12,21 7,30 10 Khz. 16,97 16,44 14,67 3,99 1,98 11 Khz. -9,04 4,68 9,86 12,21 7,30 12 Khz. -41,08 -13,29 -1,80 7,94 -9,65 13 Khz. -76,64 -34,83 -17,18 -0,80 8,23 14 Khz. -114,70 -58,89 -35,13 -12,38 8,84 15 Khz. -154,70 -84,89 -55,06 -26,06 5,33 16 Khz. -196,28 -112,48 -76,59 -41,41 -0,66 17 Khz. -239,21 -141,42 -99,48 -58,15 -8,46 18 Khz. -283,29 -171,51 -123,53 -76,09 -17,71 19 Khz. -328,39 -202,63 -148,61 -95,08 -28,17 20 Khz. -374,41 -234,67 -174,61 -115,00 -39,68

5 10 15 20

1

2

3

5 10 15 20

1

2

3

4

5

5 10 15 20

1

2

3

4

5 10 15 20

0.5

1

1.5

2

2.5


266

5. CONCLUSIONES Y FUTURAS AMPLIACIONES

5.1.-CONCLUSIONES

Dentro de las competencias generales que se deben desarrollar para conseguir un

proyecto docente coherente para la formación de un futuro ingeniero, están la capacidad

para aplicar los conocimientos prácticos y la habilidad para realizar buenas medidas

experimentales; así como la capacidad para trabajar en equipo.

Dichas capacidades exigen la realización presencial de una buenas prácticas de

laboratorio dentro del proceso enseñanza – aprendizaje. En este sentido se hace

necesaria la elaboración de un conjunto de actividades de laboratorio, exigentes; pero a

la vez lo más autocontenidas posible que permitan al alumno, poder trabajar de forma

autónoma, pudiendo realizar de forma independiente las experiencias prácticas en

laboratorio, más allá de los horarios formales de las asignaturas; permitiendo una

flexibilidad de las necesarias horas presénciales en un laboratorio.

Las Prácticas de laboratorio permiten la aplicación de los principios de diseño

expuestos en teoría además de permitir el aprendizaje de las técnicas y los instrumentos,

tanto software como hardware, que los estudiantes habrán de manejar en su vida

profesional.

Las Prácticas contribuyen a cubrir otros tres objetivos que consideramos básicos:

la experiencia de trabajo en equipo, la comunicación oral (discusión de resultados) y

escrita (memoria) y la familiarización con la profesión.

Cuando un profesional ingeniero se enfrenta con el proceso de diseño, está

conceptualizando y realizando sistemas en el contexto de las restricciones del mundo

real. Los alumnos deben aprender a diseñar tanto por experiencia directa como mediante

el estudio de los diseños de otros. Muchas prácticas y proyectos de laboratorio están

orientadas al proceso de diseño, dando a los estudiantes una experiencia de primera

mano en el desarrollo de un sistema o de un componente de un sistema para la

resolución de un problema particular.


267

5.2.-FUTURAS AMPLIACIONES

En este sentido las posibles ampliaciones del proyecto irían dirigidas en esta línea:

Elaboración de nuevas actividades prácticas que complementen y/o amplíen el catalogo

de actividades de laboratorio expuesto. Y aprovechando las nuevas tecnologías para el

apoyo de la docencia a través de Internet de la Universidad de Sevilla, elaborar con la

plataforma web disponible, un conjunto de herramientas útiles para la enseñanza a

través de Internet y que permitan por un lado complementar la docencia presencial y

favorecer la enseñanza a distancia y por otro facilitar el contacto entre el conjunto de

alumnos de la asignatura y entre estos y el profesorado.


268

6. REFERENCIAS

[FREN03] FRENZEL. “Electrónica Aplicada a los Sistemas de las

Comunicaciones”. Alfaomega. 3ª Edición 2003.

[LAU03] “Proyecto de Ley Andaluza de Universidades”. Parlamento de

Andalucía. 2003.

[LOU01] “Ley Orgánica 6/2001, de 21 de diciembre, de Universidades”.

Ministerio de Educación, Cultura y Deportes. B.O.E. de 24 de diciembre

de 2001.

[LRU83] “Ley Orgánica, 11/1983, de 25 de agosto, de Reforma Universitaria”.

Ministerio de Educación y Cultura. B.O.E. de 11 de septiembre de 1983.

[MAND80] Mandado, E.: "La enseñanza de la electrónica aplicada y su

metodología". Mundo Electrónico, no. 100, pp. 231-240, 1980.

[OPPE98] ALAN V. OPPENHEIM, ALAN V. WILLSKY, S. HAMID NAWAD: “ Señales y Sistemas”. Pearson Educación. 2ª Edición 1998.

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