Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Proyecto Fin de Carrera Autor: Juan Jos Arvalo MartnTutor: Antonio Gimnez Fernndez Curso: 2010-2011 Carrera: Ingeniera Mecnica A la mejor compaera de piso del mundo, mi hermana.

Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 2 - NDICE I.INTERESES Y OBJETIVOS ............................................................................................ 6 I.1INTERESES ........................................................................................................................ 7 I.2OBJETIVOS ........................................................................................................................ 8 II.REVISIN BIBLIOGRFICA ......................................................................................... 9 II.1ESTRUCTURA DE LA REVISIN BIBLIOGRFICA. ......................................................... 10 II.2INTRODUCCIN FSICO-MATEMTICA A LAS VIBRACIONES MECNICAS. .................... 11 II.2.1Introduccin ......................................................................................................... 11 II.2.2Movimiento armnico simple ............................................................................... 13 II.2.3Movimiento general prximo al equilibrio ........................................................... 16 II.2.4Oscilaciones amortiguadas .................................................................................. 18 II.2.5Oscilaciones forzadas y resonancia ..................................................................... 20 II.2.6Tratamiento matemtico de la resonancia ........................................................... 22 II.2.7Modos normales de vibracin .............................................................................. 23 II.3FRECUENCIA NATURAL EN VIGAS EN VOLADIZO. ....................................................... 25 II.3.1Introduccin ......................................................................................................... 25 II.3.2Mtodos energticos ............................................................................................. 25 II.3.3Frecuencia natural de vibracin de una viga en voladizo ................................... 26 II.4MODELADO ................................................................................................................ 28 II.4.1Introduccin ......................................................................................................... 28 II.4.2Definiciones. ......................................................................................................... 28 II.4.3Tcnicas clsicas de modelado de sistemas ......................................................... 29 II.4.4Funcin de transferencia ...................................................................................... 30 II.4.4.1Comentarios acerca de la funcin de transferencia ....................................................... 30 II.4.4.2Salida en estado estacionario para una entrada sinusoidal. ........................................... 31 II.4.5Diagramas de Bode .............................................................................................. 32 II.5VARIABLES MUESTREADAS. ....................................................................................... 34 II.5.1Introduccin. ........................................................................................................ 34 II.5.2La necesidad del muestreo ................................................................................... 34 II.5.3Tipos de variables ................................................................................................ 35 II.5.4Teorema del muestreo .......................................................................................... 35 II.6SISTEMAS DE ADQUISICIN DEDATOS Y COMUNICACIN CON INSTRUMENTOS ......... 38 II.6.1Introduccin ......................................................................................................... 38 II.6.2Introduccin a los sistemas de adquisicin de datos............................................ 39 II.6.3Tarjetas de adquisicin de datos (TAD) ............................................................... 41 II.6.3.1Caractersticas y criterios de seleccin de las TAD ...................................................... 42 II.6.4Buses de instrumentos. ......................................................................................... 44 II.6.4.1Comandos SCPI ........................................................................................................... 44 II.6.4.2VISA e IVI ................................................................................................................... 45 Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 3 - II.7REPRESENTACIN DE SEALES EN SERIES DE FOURIER Y FILTROS ............................. 47 II.7.1Introduccin ......................................................................................................... 47 II.7.2Objetivo de Fourier .............................................................................................. 48 II.7.3Representacin en series de Fourier de seales peridicas discretas. ................ 49 II.7.3.1Combinaciones lineales de exponenciales complejas relacionadas armnicamente ..... 49 II.7.3.2Determinacin de la representacin en serie de Fourier de una seal peridica. .......... 50 II.7.3.3Series de Fourier y sistemas LTI .................................................................................. 51 II.7.4Seales aperidicas: La transformada de Fourier en tiempo discreto ................ 52 II.7.4.1Transformada rpida de Fourier (FFT) ......................................................................... 55 II.7.5Filtrado ................................................................................................................ 58 II.7.5.1Filtros selectivos en frecuencia..................................................................................... 58 II.7.5.2Filtros discretos ............................................................................................................ 60 II.8MATLAB .................................................................................................................. 61 II.8.1Introduccin ......................................................................................................... 61 II.8.2MATLAB ............................................................................................................... 62 II.8.2.1Herramientas para test y medicin ............................................................................... 63 II.9NORMATIVA .............................................................................................................. 64 II.9.1Introduccin ......................................................................................................... 64 II.9.2CEI 60068-2-6 ...................................................................................................... 65 II.9.3Exigencias para el ensayo .................................................................................... 65 II.9.4Severidad .............................................................................................................. 66 II.9.5Ensayo .................................................................................................................. 67 II.9.6Otros apartados.................................................................................................... 68 III.MATERIAL Y MTODOS ............................................................................................. 69 III.1ESTRUCTURA DE MATERIALES Y MTODOS ............................................................... 70 III.2ARQUITECTURA DEL SISTEMA DE MEDIDA ................................................................. 71 III.2.1Instrumentos empleados. ...................................................................................... 71 III.2.1.1Generador de seales Agilent 33220a ......................................................................... 71 III.2.1.2Amplificador LDS PA100E ........................................................................................ 72 III.2.1.3Mesa de vibracin LDS V406/8 .................................................................................. 73 III.2.1.4Acelermetro 352C03 de PCB Piezotronics ............................................................... 75 III.2.1.5Acondicionador de seales482C05 de PCB Piezotronics.......................................... 77 III.2.1.6Tarjeta de adquisicin de datos NI USB-6251 Screw Term ........................................ 78 III.2.2Comunicacinde los distintos instrumentos. ...................................................... 79 III.2.2.1Introduccin ................................................................................................................ 79 III.2.2.2PC Generador de funciones. .................................................................................... 80 III.2.2.3Generador de funcionesAmplificador ................................................................... 85 III.2.2.4Acondicionador de sealesTarjeta de adquisicin de datos ................................... 85 III.2.2.5Tarjeta de adquisicin de datosPC ........................................................................ 86 III.3PROCESO DE ADQUISICIN DE DATOS ......................................................................... 87 III.3.1Proceso general de Adquisicin de Datos ............................................................ 87 III.3.2Gua de utilizacin del programa RESONANCIA 1.0 .......................................... 90 Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 4 - III.3.3Caractersticas de cdigo fuente de RESONANCIA 1.0 ...................................... 99 III.3.3.1Resonancia.m ............................................................................................................ 100 III.3.3.2Inicia_intru.m ............................................................................................................ 100 III.3.3.3an_freq_barrido ......................................................................................................... 101 III.3.3.4Daq.m ........................................................................................................................ 102 III.3.3.5Bode.m ...................................................................................................................... 106 III.3.3.6ordenar.m .................................................................................................................. 107 III.4OBTENCIN DEL MODO NORMAL DE VIBRACIN DE UNA VIGA EN VOLADIZO .......... 107 III.4.1Consideraciones prcticas ................................................................................. 108 III.4.1.1Objeto de estudio ...................................................................................................... 108 III.4.1.2Utillaje ...................................................................................................................... 108 III.4.1.3Parmetros del ensayo ............................................................................................... 113 III.4.2Simulacin por elementos finitos........................................................................ 115 III.4.2.1Introduccin al Mtodo de los Elementos Finitos ..................................................... 115 III.4.2.2CATIA ...................................................................................................................... 116 IV.RESULTADOS Y DISCUSIN .................................................................................... 119 IV.1INTRODUCCIN ........................................................................................................ 120 IV.2MODO NORMAL DE VIBRACIN DE UNA VIGA EN VOLADIZO. MTODO EXPERIMENTAL120 IV.2.1Observaciones .................................................................................................... 121 IV.3MODO NORMAL DE VIBRACIN DE UNA VIGA EN VOLADIZO. MTODO ANALTICO .. 123 IV.3.1Observaciones. ................................................................................................... 123 IV.4MODO NORMAL DE VIBRACIN DE UNA VIGA EN VOLADIZO. ANLISIS MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS. ............................................................................................................................ 124 IV.4.1Observaciones .................................................................................................... 125 V.CONCLUSIONES .......................................................................................................... 126 VI.BIBLIOGRAFA ............................................................................................................ 131 VI.1LIBROS ..................................................................................................................... 132 VI.2ARTCULOS CIENTFICOS .......................................................................................... 132 VI.3PROYECTOS FIN DE CARRERA ................................................................................... 132 VI.4NORMAS .................................................................................................................. 133 VI.5MANUALES .............................................................................................................. 133 VII.ANEXOS ......................................................................................................................... 134 VII.1ANEXOI: PLANO DE CONEXIONES ......................................................................... 135 VII.2ANEXO II: CDIGO FUENTE COMPLETO DEL PROGRAMA RESONANCIA 1.0 ........ 141 VII.2.1Resonancia.m .................................................................................................... 141 VII.2.2an_freq_discreta.m ............................................................................................ 142 VII.2.3an_freq_barrido ................................................................................................ 143 VII.2.4daq.m ................................................................................................................. 145 Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 5 - VII.2.5freq_datos.m ...................................................................................................... 146 VII.2.6ordenar.m .......................................................................................................... 147 VII.2.7info_instru.m...................................................................................................... 147 VII.2.8inicia_instru.m ................................................................................................... 148 VII.2.9getvt.m ............................................................................................................... 149 VII.2.10otras_opc.m ..................................................................................................... 149 VII.2.11Archivos.m ....................................................................................................... 150 VII.2.12Resultados.m.................................................................................................... 150 VII.2.13bode.m ............................................................................................................. 151 VII.2.14transferencia.m ................................................................................................ 152 VII.3RESULTADOS DE LOS ENSAYOS EXPERIMENTALES ................................................... 154 VII.4ANEXO III: INFORME DEL ANLISIS POR ELEMENTOS FINITOS................................ 160 Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 6 - I. I. I. I.Intereses yIntereses yIntereses yIntereses y objetivos objetivos objetivos objetivos Donde se expone de forma detallada los motivos por los que se realiza el trabajo y los objetivos que se pretenden alcanzar con el mismo. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 7 - I.1Intereses Aunqueexistencasosdocumentadosdelefectodevastadordelaresonancia mecnicadesdeelsigloXIX,cuandodebidoalmarcadopasomilitarunpuentese derrumb en Francia, no fue hasta 1940 cuando el puente de Tacoma Narrows marca el punto de inflexin en el estudio y prevencin de la resonancia mecnica. El 1 de junio de 1940 se inauguraba en la localidad de Tacoma (EE.UU) el tercer puentemsgrandedelapoca,consus1600metrosdelongitudelpuentesalvabael estrechodePugetyunaTacomaconGigHarow.Apenas6mesesmstarde,el7de noviembrede1940elpuentesederrumb,provocandoloqueseconocecomolams dramtica falla en la historia de la ingeniera de puentes. Figura1.Puente de Tacoma Narrows, tras su colapso. Lacausadelderrumbefueelvientoquesoplaba,peronoporelmpetudesu velocidad,yaqueapenasllegabaalos65km/h,sinoporsufrecuencia,0.2Hz.Esta frecuenciaprovocunefectoderesonanciamecnicaenlaestructura,esdeciruna respuestadelsistemaquecausaraunostrgicosdesplazamientosenlaestructuraque acabaran con su colapso final. Aunque ste haya sido el exponente ms claro de resonancia mecnica, el hecho es que las vibraciones provocan la mayor parte de las fallas en estructuras y maquinaria, ejemplosclarosdeestasfallassonelcasodeejesdescentrados,osimplementela rupturadesalpicaderosyretrovisoresencochescuyasvibracionesexcedenlas aconsejables. Es por ello que los esfuerzos de fatiga provocados por vibraciones hacen Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 8 - queelgastoenmantenimientoyseguridaddemquinasseveaincrementado notablemente. Pero no slo desde el punto de vista mecnico las vibraciones son perjudiciales, laGuatcnicaparalaevaluacinyprevencindelosriesgosrelacionadosconlas vibracionesmecnicas,basndoseenelRealdecreto1311/2004,del4denoviembre, determinalasgarantasprecisasparaestablecerunadecuadoniveldeproteccindela saluddelostrabajadoresfrentealosriesgosderivadosdelasvibracionesmecnicas, estableciendo valores lmites y duraciones mximas para esta exposicin daina. Quedaportantoconcluidoqueelintersdelestudiodelasvibracionesenel mbitodelamaquinariaylasestructurasestjustificado,primeroporlocomndesu causa,todamquinavibraenmayoromenormedida,ysegundoporlodainodesus efectos,nosloparalapropiamquinasinotambinparalapropiaseguridaddel operario. I.2Objetivos Elprincipalobjetivodeesteproyectoserlaimplantacindeunamesade vibraciones que nos permitir calcular de forma fcil y sencilla, los modos propios de vibracin de cualquier mecanismo u objeto de menos de 200 gramos. Para poder lograr esta meta, dividiremos el proyecto en tres fases. La primera de las fases ser el montaje y la conexin de los distintos equipos, la segunda de las fases ser la realizacin de un programa bajo MATLAB que nos permita una gestin cmoda en el proceso de obtencin de los modos propios de vibracin,yla ltima de lasfases serunaprimerapruebadelsistema,paraelloobtendremoselmodoprincipalde vibracindeunavigaenvoladizodeformaexperimental,contrastandolosresultados conlosobtenidosdeformatericaymedianteelementosfinitos,enunprogramade simulacin. De esta forma nace en la Universidad de Almera la primera semilla de un futuro laboratorio de vibraciones, teniendo ya dos consecuencias inmediatas, la primera es quese abre todo un abanico de nuevas posibilidades enla temtica de futuros proyectos fin decarreraysegundo,puedeservircomounprimerpasohacianuevaslneasde investigacin en la Universidad. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 9 - II. II. II. II.RevisinRevisinRevisinRevisin bibliogrfica bibliogrfica bibliogrfica bibliogrfica Donde se incluye aquella informacin relacionada con el tema objeto de estudio que se considera necesaria para la mejor comprensin del planteamiento del mismo, ofreciendo una panormica completa del tema elegido. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 10 - II.1Estructura de la revisin bibliogrfica. Como parte fundamental de cualquier proyecto, la revisin bibliogrfica debe de contar con unos principiosy unos objetivos muy claros para poder desarrollar un texto quegueallectorenlacomprensindelasbasestericasnecesarias,sincaerenel exceso de un manual especialista, pero con el suficiente rigor para permitirnos encontrar la informacin necesaria de los muy variados temas que se tratan,y es por ese motivo, paramejorarlaeficienciadeestalecturayquizsfuturosescritos,queexpondremosa continuacintantolaestructuraquerigeestarevisinbibliogrfica,comolas herramientas utilizadas en su redaccin. Tenemos como principios bsicos en la redaccin de esta revisin bibliogrfica, lacontinuidad,laprecisin,laconcrecinylasreferencias.Entendemosqueparaque existaunalecturaproductivadecualquierobra,peroconmuchomsmotivounade carcter tcnico, la continuidad de un captulo a otro, e incluso entre secciones, debe ser obligatoria,esporelloqueprecisamosconstantementedereferenciasinternas.Es necesario exponer la relacin entre un captulo y otro y razonar porque hemos incluido estosconceptosynootrosycomosuconocimientonosvanaayudaralolargodel proyecto.Entendemostambin,comoyahemosexpuesto,quelosconceptosa desarrollar deben de ser estrictamente los necesarios para la comprensin de la prctica, es decir, que entendamos el fundamento de todo lo que hacemos y nos sucede a lo largo delproyecto,perononosextendamos,nidivaguemosinnecesariamenteconfundiendo allector,ydudandodelautilidaddeloexpuesto.Porltimoentendemosquelas referenciasamanualesdereconocidoprestigionoslodanvalidezaloexpuestopor nosotros,sinoqueeslanicaformadedarrigoralescrito,ofreciendoallectorla oportunidaddeprofundizarenconocimientos,siporejemplo,esteproyectoesusado como base para futuros trabajos. Como principal herramienta para cumplir lo aqu expresado nos valdremos de la introduccindecadacaptulo.Esteserellugardondemostraremoslautilidaddela comprensin de lo explicado, donde revelaremos la estructuraque vamos a seguir para queestacomprensinsealomseficazposibleydondecomentaremoslabibliografa utilizada.Labibliografasenombrarporelapellidodelautorysucorrespondiente Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 11 - nmeroenlabibliografageneral,nombrandoelttulodellibro,slosihubiera confusin. La revisin bibliogrfica se divide en 5 grandes bloques: En el primero responderemos a la pregunta qu vamos a estudiar? porque sin el claroconocimientodeloqueexactamenteestamosestudiando,noesposiblela comprensindeningnresultadoprctico.EstebloquesecorrespondeconII.2 Introduccinfsico-matemticaalasvibracionesmecnicasyconII.3Frecuencia natural en vigas en voladizo Elsegundoapartadoserreferenteacmoestudiaremoselsistema.Qu mecanismostericosdisponemosparaobtenerdeformaprcticalasconclusiones expuestas en el primer bloque, este bloque se corresponde con II.4 Modelado ResolveremosacontinuacinelproblemaCmoobtengolainformacindel sistemanecesariaparaaplicarlosmecanismostericosanteriormentehallados?Este bloque se corresponde con II.5 Variables muestreadas y II.6 Sistemas de Adquisicin de datos y comunicacin con instrumentos. Trassuresolucin,hablaremosdecmolaaplicacindelasSeriesyla TransformadadeFouriernosayudarneneltratamientodelainformacinobtenida. EstebloquesecorrespondeconII.7RepresentacindesealesenseriesdeFouriery Filtros Finalmentehablaremosdelcontextoenelquetrabajaremos,lanormativaque seguimosentodomomento,ydelentornocomputacionalquerealizartodoslos clculosexpuestosdeformaterica,esdecir,hablaremosdeMATLABydelanorma CEI 60068-2-6. Este bloque se corresponde con II.8 MATLAB y con II.9 Normativa II.2Introduccin fsico-matemtica a las vibraciones mecnicas. II.2.1Introduccin Uno de los objetivos bsicos del proyecto es proponer una forma fcil y eficiente de encontrar los modos normales de vibracin de pequeos objetos mecnicos (objetos demenosde200g)talescomorodamientos,pequeosmecanismos,etc.Resulta imprescindible entonces responder con precisin a la pregunta Qu es un modo normal Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 12 - devibracin?Ymsalldeestapregunta,elfindeestaexposicintericaesaclarar conceptosqueaunqueasentadosenelsabergeneraldelasvibraciones,noestn demostradosconlasuficienteexactitud,onoconlanecesariaparacomprenderde formaextensavariospuntosdeesteproyecto.Talesconceptosaaclararpodranser: Quesexactamentelaresonanciaycomoserelacionaconlosmodosnormalesde vibracin? Por qu siempre se estudia el movimiento armnico simple en el estudio de la vibracin? Cmo afecta la amortiguacin a la vibracin de un sistema en general y a la resonancia en particular?... Pararesolverestosconceptos,necesariostodosparapodercontinuarconla comprensindelproyectocomenzaremosexponiendodeformasimplelosaspectos bsicosdelMovimientoArmnicoSimpleycomolasoscilacionesqueserealizan prximas al equilibrio se pueden modelizar de esta forma. Continuaremos introduciendo elconceptodeamortiguacinylosparmetrosquelodefinenparafinalmenteacabar conlaideadeoscilacionesforzadasyresonanciamecnica,metadeestabreve exposicin,aadiendoademsunabrevsimademostracinmatemticadelaobligada existenciadeunafrecuenciaderesonanciaycmolaextensindelestudiodelpunto material al medio continuo nos crea la necesidad de hablar de modos de vibracin y no de frecuencia de resonancia. Finalizamosestabreveintroduccindelcaptuloconunabrevebibliografa comentada,porsiellectorconsideraadecuadounmayorestudiotericodelas oscilaciones. Labibliografarecomendadaparaestareadelamecnicaesextensay profunda,nosotrossiemprehemostenidocomoprincipiomximodeestarevisin bibliogrficadarunenfoquepuramentedidcticoyconlosmximosejemplosque facilitenlacomprensindelosdistintostemastratados,dejandolaresolucindelas ecuaciones diferenciales y la mayora de lasdemostraciones matemticasal lector.Para una primera visin sobre oscilaciones se recomienda al lector los textos de fsicageneralescritosporTipler[17]oSears[14]ensuscorrespondientescaptulos sobreoscilaciones,aunquesepuedanpensardemasiadosimples,suexplicacinde conceptos puede resultar ms til que otros manuales ms complejos. Por otro lado para unamayorprofundidadenlasdemostracionesyconceptos,aunquenuncaolvidndose del cariz didctico se aconseja al lector revisar la obra sobre mecnica de Shames [15]. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 13 - Comoautoresespaolesderelevanciaenesteapartadorecomendamosmuy encarecidamente al texto de Bastero [3] pero sobre todo el de Arts [1], En este ltimo, se da una visin de las vibraciones a partir de la mecnica analtica ms que interesante. Sindudasonestosdosltimoslibroslosquemayorrigormatemticodemuestrany aunque su lectura puede hacerse algo densa en algunos apartados, no por ello es menos edificante.Pormuybrevequeseaunabibliografacomentadasobreoscilaciones mecnicas, no hay que dejar de nombrar la obra de French [4], obra bsica que ofrece, ademsdeuntextoaccesibleymuypedaggico,unabibliografamuchoms interesante y completa que la que el autor de este proyecto pueda ofrecer.LasobrasdeGraham[5]yRao[18],muyfamosasenelmundoanglosajn, quizs sean demasiado extensas para el propsito general de este proyecto. II.2.2Movimiento armnico simple Comenzaremosintroducindonosenelmundodelasoscilacionesmecnicas,a travsdelestudiobsicodelmovimientoarmnicosimple,familiarizndonoscon conceptos como frecuencia, frecuencia angular o amplitud. Un tipo corriente y muy importante de movimiento oscilatorio es el movimiento armnicosimple,comoeldeuncuerpounidoaunmuelle,comopuedeverseenla Figura 2. Figura2 En el equilibrio, el muelle no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo. Cuando este sevedesplazadoenunacantidadxdesuposicindeequilibrio,elmuelleejerceuna fuerza kx , que viene dada por la ley de Hooke: xF kx = (1) Endondek eslaconstantedelmuelle,caractersticadesurigidez.Elsigno menosindicaquesetratadeunafuerzarestauradora;esdecir,seoponealsentidodel Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 14 - desplazamientorespectoalpuntodeequilibrio.Combinandolaecuacin(1)conla segunda ley de Newton se obtiene xkx ma =Es decir 22 xk d x ka x o xm dt m| | = = |\ (2) La aceleracin es proporcional al desplazamiento y tiene sentido contrario. Esta eslacaractersticaquedefineelmovimientoarmnicosimpleypuedeutilizarsepara identificar sistemas que representan esta clase de movimiento. Como la aceleracin es proporcional a la fuerza neta, siempre que la fuerza neta sobre un objeto sea proporcional a su desplazamiento y con sentido opuesto, el objeto se moverconmovimientoarmnicosimple,comosevermstarde,nuestroensayo responde a este hecho. Eltiempoqueempleaelobjetodesplazadopararealizarunaoscilacin completa alrededor de su posicin de equilibrio se denomina periodo T. El recproco es la frecuencia f, que es el nmero de oscilaciones por segundo. 1fT= (3) La unidad de frecuencia es el ciclo por segundo, hercios (Hz). Resolviendolaecuacindiferencial(2)obtenemoslacurvacorrespondientea un movimiento armnico simple. cos( ) x A t = + (4) Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 15 - Figura3. Parmetros caractersticos del Movimiento Armnico Simple EndondeA, ysoncontantes.Eldesplazamientomximorespectoala posicindeequilibriosedenominaamplitudA.Elargumentodelafuncincoseno t + ,sedenominafasedelmovimientoylaconstantesedenominaconstantede fase. Esta constante corresponde a la fase cuando t 0 = . Podemosdemostrar,comoantessedijo,queefectivamentelaecuacin(4)es una solucin de la ecuacin (2) derivando x dos veces respecto al tiempo. La primera derivada es la velocidad. ( )dxv A sen tdv = = + (5) Derivando la velocidad respectoal tiempo se obtiene la aceleracin: 222cos( )dv d xa A tdt dt = = = + (6) Sabiendo quecos( ) x A t = + , vase (4) se obtiene 2a x = (7) Comparandolaecuacin(2)conlaecuacin(7),vemosquecos( ) x A t = +es una solucin de la ecuacin (2) si km = (8) Laconstante sedenominafrecuenciaangular.Launidadeselradianpor segundoysusdimensionessonlainversadeltiempo.Sustituyendo2/Tpor enla ecuacin (4) se obtiene Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 16 - cos 2tx AT | |= + |\ Trabajando en esta relacin se ve que cada vez que t aumenta en T, la fase crece 2 y, por lo tanto, esto indica que se ha completado un ciclo completo del movimiento. La frecuencia es la recproca del periodo: 12fT= =Observando la ecuacin (8) obtenemos que 1 12kfT m = = (9) La frecuencia crece cuando aumentak(rigidez del muelle) y disminuye cuando aumenta la masa. Como consecuencia vemos que en el movimiento armnico simple, la frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud. Elhechodequelafrecuenciadelmovimientoarmnicosimplesea independiente de la amplitud tiene importantes consecuencias en muchos campos, entre otros al que corresponde a nuestro proyecto.II.2.3Movimiento general prximo al equilibrio Por qu estamos estudiando el movimiento armnico simple? en general se da MovimientoArmnicoSimplecuandounapartculasedesplazaligeramentedesu posicin de equilibrio esttico.LaFigura4esungrficodelaenergapotencialUenfuncindexparauna fuerza que tiene una posicin de equilibrio estable y otra de equilibrio inestable.Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 17 - Figura4. Grafico U en funcin de xEl mximo en x2 de la Figura 4 corresponde al equilibrio inestable, mientras que elmnimoenx1correspondealequilibrioestable.Cualquiercurvacontinuaque presenteunmnimocomoeldelaFigura4puedeaproximarsecercadelmnimopor unaparbola.LacurvadetrazosdelaFigura5esunaparbolaqueaproximadamente corresponde a la curva de energa potencial cerca del punto de equilibrio estable. Figura5 La ecuacin general de una parbola que tiene un mnimo en el punto x1 puede expresarse de la forma 21( ) U A B x x = + (10) En donde Ay B son constantes. La constante A es el valor de U en la posicin de equilibrio x=x1. La fuerza est relacionada con la curva de la energa potencial porMontaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 18 - xdUFdx=Por lo tanto, 12 ( )xdUF B x xdx= = Si hacemos2B k = esta ecuacin se reduce a 1( )xdUF k x xdx= = (11) Deacuerdoconlaecuacin(11),lafuerzaesproporcionalaldesplazamientoy est dirigida en sentido opuesto, de modo que el movimiento es armnico simple.EsestalarazndelaqueseestudiaelMovimientoArmnicoSimpleenel estudio de la vibracin en la gran mayora de textos y entre ellos en nuestro proyecto, al serlaoscilacinnormalmentemuyprximaalequilibrio,unmodelobasadoeneste movimiento resulta ms que correcto. II.2.4Oscilaciones amortiguadas Si un muelle o un pndulo oscilan libremente, siempre acaban parndose porque lasfuerzasderozamientodisipansuenergamecnica.Unmovimientoconestas caractersticas se denomina amortiguado. Figura6. Ejemplo de oscilador amortiguado. Sielamortiguamientoesmuygrande,comoporejemploenelcasodeun pndulo que oscila en miel, el oscilador no ejecuta ni una oscilacin completa, sino que Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 19 - semoverhacialaposicindeequilibrioconunavelocidadqueseaproximaacero cuandoelobjetoseacercaadichaposicindeequilibrio.Estetipodemovimientose denominasobreamortiguado.Si,encambio,elamortiguamientodelmovimientoes dbil,demodoquesuamplituddecrecelentamenteconeltiempo,elmovimiento resultante se denomina subamortiguado. Figura7. Curva de oscilacin subamortiguada. Cuandosetieneelamortiguamientomnimoparaqueseproduzcaun movimientonooscilatoriosedicequeelsistemaestamortiguadocrticamente, cualquier amortiguamiento inferior produce un movimiento subamortiguado. Figura8. Curva de oscilacin sobreamortiguado y crticamente amortiguada. Lafuerzadeamortiguamientoejercidaporunosciladorpuederepresentarse mediante la expresin emprica dF bv =

En donde b es una contante. Un sistema que cumple la ecuacin anterior se dice queestamortiguadolinealmente.Elanlisissiguientecorrespondeaestetipode Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 20 - movimiento. La fuerza de amortiguamiento se opone a la direccin del movimiento, por tanto, realiza un trabajo negativo y hace que la energa mecnica del sistema disminuya.El movimiento de un sistema amortiguado puede deducirse de la segunda ley de Newton.Igualandolafuerzanetaconelproductodelamasaporlaaceleracin,se obtiene 22dx d xkx b mdt dt = (12) Resolviendo la ecuacin diferencial anterior (vase el texto de Arts [1] para un completo desarrollo y explicacin de los pormenores de esta ecuacin diferencial) ( / 2 )0cos( ' )b m tx A e t = + (13) En donde A0 es la amplitud mxima. La frecuencia' vienen dada por 200' 12bm | |= |\ (14) En donde 0 es la frecuencia cuando no hay amortiguamiento (0km=para una masa ligada a un muelle).II.2.5Oscilaciones forzadas y resonancia Paramantenerenmarchaunsistemaamortiguadodebemosirsuministrando energa al sistema. Cuando se lleva a cabo esto, se dice que el oscilador es forzado. Unamaneradesuministrarenergaaunsistemaformadoporunobjetoque cuelgadeunmuelleverticalesmoverelpuntodesoportehaciaarribayhaciaabajo, con un movimiento armnico simple de frecuencia(Figura 9). Figura9. Simplificacin de una mesa de vibraciones Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 21 - Fjeseenlaanalogaentreesteejemplo,ylarealizacinprcticadenuestro proyecto. De una forma ms compleja nuestro proyecto realiza bsicamente eso, mover hacia arriba y hacia abajo, con un movimiento armnico simple el punto de apoyo de un objeto. Alprincipioelmovimientoescomplicado,perofinalmentealcanzaunestado estacionarioenelqueelsistemaoscilaconlamismafrecuenciaquelafuerzaexterna impulsora y con amplitud constante y, por lo tanto, con energa constante. La amplitud y, por tanto, la energa de un sistema en estado estacionario, no solo dependen de la amplitud del sistema impulsor sino tambin de su frecuencia.Sedefinelafrecuencianaturaldeunoscilador, 0 comolaquetendrasino estuviesenpresentenielamortiguamientonielsistemaimpulsor.Porejemplola frecuenciaangularnaturaldeunmuellees 0km= .Silafrecuenciaimpulsoraes aproximadamenteigualalafrecuencianaturaldelsistema,steoscilarconuna amplitud relativamente grande.Porejemplo,sielsoportedelaFigura9oscilaconlafrecuencianaturaldel sistema masa-muelle, la masa oscilar con una amplitud mucho mayor que si el soporte oscila con frecuencias mayores o menores. Este fenmeno se denomina resonancia.Entornoaestamxima,quedemostraremosmatemticamenteenbreve,girar todonuestroproyecto.Laexistenciadeunafrecuenciadeexcitacinquetienecomo respuesta, unos desplazamientos desproporcionados, normalmente indeseables, propicia la necesidad de encontrar esa frecuencia para evitarla. Cuando la frecuencia dela fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural del oscilador, la energa absorbida por ste en cada ciclo es mxima. Por ello la frecuencia natural del sistema se denomina frecuencia de resonancia del mismo. Matemticamente es ms conveniente utilizar la frecuencia angularque la frecuenciaf . Comoyfson proporcionales, la mayora de las afirmaciones concernientes a la frecuencia angular tambin son vlidas para la frecuencia. En descripciones verbales normalmente se omite la palabra angular siempre que esta omisin no provoque confusin. En la Figura 10 se muestraundiagramadelapotenciamediatransmitidaaunosciladorenfuncindela frecuencia de la fuerza impulsora para dos valores diferentes de amortiguamiento. Estas curvas reciben el nombre de curvas de resonancia.Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 22 - Figura 10. Resonancia en un oscilador Cuandoelamortiguamientoespequeo,laanchuradelpicodelacurvade resonanciaescorrespondientementeestrechaysedicequelaresonanciaesaguda. Cuando el amortiguamiento es grande, la curva de resonancia es ancha. La anchura decadacurvaderesonancia,indicadaenlaFigura10,eslaanchuraalamitaddela altura mxima.Existen muchos ejemplos familiares de resonancia. Cuando nos sentamos en un columpio aprendemos intuitivamente a mover el cuerpo con la misma frecuencia que la natural del columpio. Muchas mquinas vibran porque tienen piezas en rotacin que no estnperfectamenteequilibradas.Porejemplounamquinadelavarenperiodode centrifugacin.Sisesujetaunadeestasmquinasaunaestructuraquepuedavibrar, dichaestructuraseconvierteenunsistemaoscilatorioforzadoquepuedeiniciarsu movimiento por la accin de la mquina.II.2.6Tratamiento matemtico de la resonancia Debido a la importancia que tiene el concepto de resonancia en todo el proyecto, se considera necesaria una breve demostracin matemtica de su existencia. Vamosaestudiarmatemticamenteelosciladorforzadosuponiendoque, adems de estar sometido a una fuerza restauradora y a una fuerza de amortiguamiento, estsujetoaunafuerzaexterna(fuerzaimpulsora)quevaraarmnicamenteconel tiempo: 0cosextF F t = (15) Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 23 - En donde F0 yson el modulo y la frecuencia angular de la fuerza impulsora. LasegundaleydeNewtonaplicadaaunobjetodemasamatadoaunmuellede constante de fuerzaky sujeto a una fuerza amortiguadorabvxy a una fuerza externa nos da 20 2cosxxFx mad xkx bv F t mdt= + = Sustituyendo 20mpork , ecuacin (8), y ordenando los trminos se obtiene 220 0 2cosd x dxm b m x F tdt dt + + = (16) Abordaremoslasolucingeneraldelaecuacin(16)cualitativamente.La solucindelaecuacinconstadedospartes,lasolucintransitoriaylasolucin estacionaria.Lasconstantesdeestasolucindependendelascondicionesiniciales. Transcurridociertotiempo,lapartetransitoriadelasolucinsehacedespreciableya que la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. De este modo slo queda la solucinestacionaria, que puede escribirse en la forma ( ) cos x A t = (17) En donde la frecuencia angulares la misma que la de la fuerza impulsora. La amplitud A viene dada por ( )022 2 2 2 20FAm b = +(18) Comoseobservaenlaecuacin(18)si 0 = ysib=0,laamplitudsera infinita.Amedidaque sealejede 0 ybaumente,laamplituddelmovimiento descender. II.2.7Modos normales de vibracin Sitrasladamoslateoraaplicadaaunsolopuntodemasam,descrita anteriormente, a un medio continuo (con infinitos puntos) nos encontramos que no slo existe una frecuencia de resonancia, sino que existen infinitas frecuencias de resonancia. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 24 - La frecuencia de resonancia ms baja se denomina frecuencia fundamental 1fy produce losmayoresdesplazamientos,recibeentonceselnombredemodofundamentalde vibracin,primerarmnico,omodonormaldevibracin,siendosusmltiplos,sus armnicos. La frecuencia de resonancia ms baja del sistema se denomina frecuencia fundamental,y junto con todos sus armnicos (sus mltiplos) constituye el modo fundamental de vibracin. La frecuencia de resonancia siguiente a la fundamental recibe el nombre deprimersobretonoyjuntoconsusmltiplosconstituyenelsegundo modo de vibracin, y as sucesivamente. Esta denominacin tiene su origen en la terminologa usada en la teora musical, donde los armnicos son los mltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Figura11. Modos normales de una guitarra Terminaasestebrevedesarrolloalateorabsicadevibraciones,alcanzando nuestro objetivo fundamental, explicar de forma precisa qu son los modos de vibracin que tan insistentemente buscamos a lo largo de todo el proyecto. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 25 - II.3Frecuencia natural en vigas en voladizo. II.3.1Introduccin Unavezquelosconceptosfundamentalesenelanlisisenfrecuenciade sistemasmecnicosnossonfamiliares,nosdispondremosaaplicarlosenunestudio concreto, las vigas en voladizo. Las vigas en voladizo constituyen uno de los sistemas mecnicos ms sensibles a las vibraciones que conocemos. Para ejemplificar este hecho, slo hace falta observar su reaccinantelosterremotos.EneltrgicoterremotoocurridoenLorca(Murcia)en mayodel2011,lasconsecuenciasmsdevastadorasfueronprovocadasporelementos envoladizoquecolapsaron,esporelloentreotrosmuchosejemplosmscotidianos, como pudiera ser el retrovisor de un coche, que estos elementos merecen un estudio en profundidaddelarelacinentreamplituddedesplazamientosyfrecuenciade excitacin. Veremosaqu,unmtodoespecficoparaestaclasedeelementos,basndonos en consideraciones energticas. Para este estudio el texto ms completo, y en el cual nos vamos a basar es el de Paz[11].TambinpuedenconsultarselaobradeBalachandran[2]queexponeeste mismo problema de forma ms extensa.LosartculosdeAmbrosini[19]ydeGuerrero[20]sondeespecialintersen estecampo.PorultimosisequiereprofundizarenelMtododeRayleigh,unamuy buenaintroduccin,apartedeenellibrodePaz[11],seencuentraenunclsicode ingeniera mecnica, Shigley [16]. II.3.2Mtodos energticos Enlasseccionesprecedentesdeestecaptulohemosobtenidolaecuacin diferencialparaunsistemadevibracin.Sinembargo,laecuacindiferencialdel movimiento, para un sistema sin amortiguamiento en vibracin libre, puede tambin ser obtenida aplicando el principio de Conservacin de la Energa. Este principio puede ser enunciado en la siguiente forma:Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 26 - Si no hay fuerzas externas actuando sobre el sistema, y no existe disipacin de energa(amortiguacin),laenergatotaldelsistemapermanececonstanteduranteel movimiento y por tanto, su derivada con respecto al tiempo es igual a cero. El mtodo de Rayleigh se puede enunciar como: Lasolucindelproblemadeelasticidadconsisteenencontrarlafuncin desplazamientoqueverifiquelascondicionesdecontorno.ElmtododeRayleigh proponeunasolucinaproximadapararesolverproblemasdeelasticidadensu formulacin energtica. Estemtodopuedeserutilizadoparadeterminarlafrecuencianaturaldeun sistema continuo.II.3.3Frecuencia natural de vibracin de una viga en voladizoSeconsideraquelamasadelavigaestuniformementedistribuida.Lamasa total de la viga es mby su longitudL.Larigidez de flexin de la viga esEIy la masa concentrada en su extremo es m, como se muestra en la Figura 12. Figura12. Viga en voladizo de masa uniforme En la solucin de este problema por el mtodo de Rayleigh supondremos que la deformacindelavigaeslaqueproduciraunafuerzaconcentradaFaplicadaasu extremo libre, como se muestra en la Figura 12.Para esta carga esttica, la flecha a la distancia x desde el apoyo es 2 3332 6y Lx xuL| |= |\ (19) Dondeyeslaflechaenelextremolibredelaviga.Envibracinlibre,esta flecha puede expresarse por la funcin armnica( ) y Csen t = +Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 27 - Que aplicada a la ecuacin (19) da 2 333( )2x L xu Csen tL = + (20) LaenergapotencialsecalculacomoeltrabajoefectuadoporlafuerzaF,que aumentagradualmentedeceroasuvalorfinalF.Estetrabajoesiguala 12Fy ,ysu valor mximo, igual a la energa potencial mxima, es entonces 2max 31 32 2EIU FC CL= = (21) PuestoquelafuerzaFestrelacionadaconladeformacinmxima,porla frmula elemental de resistencia de materiales, 3max3FLy CEI= = (22) Laenergacinticadebidaalamasauniformementedistribuidadelavigaest dada por 2012LbmT u dxL| |= |\ (23) Y su valor mximo, que se obtiene aplicando la ecuacin (20), por 22 32 2max 3032 2 2Lmb x L x mT C dx cL L | | = + |\ (24) Despusdeintegrarlaecuacin(24)eigualarlaexpresinresultanteparala mximaenergacinticaconlamximaenergapotencialdadaporlaecuacin(21) resulta 2 2 23 1 332 3 2 140bEIC C m mL| |= + |\ (25) Despejandoy por tantof , obtenemos 31 333 2 2140bEIfL m m = =| |+ |\ (26) Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 28 - La ecuacin (26) da una buena aproximacin, aun enel caso en que m=0. Para este ltimo caso, el error dado por estas frmulas es ms o menos 1.5% Obtenemosdeestaformaunaexpresinanaltica,lacualusaremosms adelante, para hallar la frecuencia de resonancia de una viga en voladizo. II.4Modelado II.4.1Introduccin Comoenuncibamosyaenlaestructuradelarevisinbibliogrfica,apartirde aquintentaremosllevarlosconceptosdesdelateoraexpuestahastalaresolucin prctica.El primer problema a resolver ser, Cmo puedo obtener de forma prctica esa frecuenciafundamentalenunciadadeformatericaenelapartadoII.2.7Modos normales de vibracinLa respuesta como se ver ms adelante ser trazar el diagrama de Bode correspondiente al sistema mecnico. RecordandolodichoenelapartadoII.2.5Oscilacionesforzadasyresonancia, necesitamoscomprendercomotrabajarunsistemaelcualrecibeunasealdeentrada excitadorayrespondeconunasealdesalidarespuesta.Paraellocomenzaremoscon unasdefinicionesbsicasquenosintroducirnenestareadeconocimiento,despus hablaremosdelafuncindetransferencia,comoinstrumentobsicoparaconocerde formaprecisaesarespuestaantelaexcitacinydesurepresentacingrficams clsica, el diagrama de Bode, objetivo de este captulo. Comobibliografabsica,usaremoseltextodeOgata[8],enlsedisponede toda la informacin necesaria para la total comprensin de este apartado. Otros textos de referencia usados son el de Moreno, Garrido y Berenguel [7],II.4.2Definiciones. Antesdeanalizarcualquieraspectodeesteapartado,debendefinirseciertos trminos bsicos que utilizaremos a lo largo del proyecto. Sistemas.Combinacindecomponentesqueactanjuntosyrealizanun objetivo determinado. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 29 - Sistemaslineales.Unsistemasedenominalinealsiseaplicaelprincipiode superposicin.Esteprincipioestablecequelarespuestaproducidaporlaaplicacin simultnea de dos o ms funciones de entrada diferente es la suma de las dos respuestas individuales.Portantoparaelsistemalineal,larespuestaavariasentradassecalcula tratandounaentradacadavezysumandolosresultados.Esteprincipiopermite desarrollarsolucionescomplicadasparalaecuacindiferenciallinealpartirde soluciones simples. ( ) ( 1) ( ) ( 1)0 1 1 0 1 1... ... ( )n n m mn n m ma y a y a y a y b x b x b x b x n m + + + + = + + + + Si en una investigacin experimental de un sistema dinmico son proporcionales la causa y el efecto, el sistema se considera lineal. II.4.3Tcnicas clsicas de modelado de sistemas Unproblemabsicoeningeniera,yenparticularenesteproyecto,consisteen sercapacesdepredecirquefectotendrunaciertaaccinsobreunsistemafsico. Resultaportantonecesarioalgntipodemodeloquenospermitaelpoderhaceresta prediccin. En nuestro caso, predecir la frecuencia fundamental del sistema. Dentrodelosmodelosmatemticosquesepuedenutilizarparaanalizarlos efectosquediferentesaccionesvanatenersobreelsistemapodemosdestacarlos modelos de entrada/salida Enestaclasedemodelossebuscaunadescripcinmatemticaqueexpresela relacin que existe entre la entrada del sistema y la salida del mismo. Estos modelos no describenelfuncionamientointernodelsistema,sinomeramentelarelacinentrela entrada y la salida. Podemos encontrarnos con sistemas diferentes pero que presenten la misma relacin entrada/salida por lo que dan lugar al mismo modelo matemtico. Estos tipos de modelos son los que podramos denominar modelos clsicos.Dentro de estos modelos clsicos, los denominados frecuenciales se basan en la caracterizacin de la relacin entrada/salida de un sistema en rgimen permanente ante entradas de tipo sinusoidal. Dentro de stos, la funcin de transferencia, juega un papel destacado. Teniendo en cuenta la naturaleza de nuestro proyecto, sin duda ser la obtencin deunarepresentacindelafuncindetransferenciadelsistemalamejoropcinpara Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 30 - obtener ese modelo que nos permita hallar la frecuencia fundamental deseada. Una vez quehemosaclaradoqutipodemecanismotericonecesitamosparaobtenernuestro objetivo, profundicemos en l, ya que ser la base de nuestra realizacin prctica. II.4.4Funcin de transferencia A menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones deentrada-salidadecomponentesosistemasquesedescribenmedianteecuaciones diferencialeslinealesinvarianteseneltiempo.Secomenzarpordefinirlafuncinde transferenciaLafuncindetransferenciadeunsistemadescritomedianteunaecuacin diferenciallinealeinvarianteeneltiemposedefinecomoelcocienteentrela transformadadeLaplacedelasalida(funcinderespuesta)ylatransformadade Laplacedelaentrada(funcindeexcitacin)bajolasuposicindequetodaslas condiciones iniciales son cero. Considreseelsistemalinealeinvarianteeneltiempodescritomediantela siguiente ecuacin diferencial: ( ) ( 1) ( ) ( 1)0 1 1 0 1 1... ... ( )n n m mn n m ma y a y a y a y b x b x b x b x n m + + + + = + + + + Donde y es la salida del sistema y x es la entrada. La funcin de transferencia de este sistema es el cociente de la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada cuando todas las condiciones iniciales son cero. condiciones iniciales cero[ ]La funcion de transferencia ( )[ ]( )La funcion de transferencia ( )( )L outputG sL inputY sG sX s= == = Apartirdelconceptodefuncindetransferencia,esposiblerepresentarla dinmica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia ms alta de s en el denominador de la funcin de transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema de orden n-simo. II.4.4.1 Comentarios acerca de la funcin de transferencia Laaplicacindelconceptodefuncindetransferenciaestlimitadaalos sistemasdescritosmedianteecuacionesdiferencialeslinealesinvarianteseneltiempo. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 31 - Acontinuacinsepresentanalgunoscomentariosimportantesrelacionadosconla funcin de transferencia. Lafuncindetransferenciadeunsistemaesunmodelomatemtico porqueesunmtodooperacionalparaexpresarlaecuacindiferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. Lafuncindetransferenciaesunapropiedaddeunsistema, independientedelamagnitudynaturalezadelaentradaofuncinde excitacin. Lafuncindetransferenciaincluyelasunidadesnecesariaspara relacionarlaentradaconlasalida;sinembargo,noproporciona informacinacercadelaestructurafsicadelsistema.Lasfuncionesde transferenciademuchossistemasfsicamentediferentespuedenser idnticas. Siseconocelafuncindetransferenciadeunsistema,seestudiala salidaorespuestaparavariasformasdeentrada,conlaintencinde comprender la naturaleza del sistema Sisedesconocelafuncindetrasferenciadeunsistema,puede establecerseexperimentalmenteintroduciendoentradasconocidasy estudiandolasalidadelsistema.Unavezestablecidaunafuncinde transferencia,estaproporcionaunadescripcincompletadelas caractersticasdinmicasdelsistema,adiferenciadesudescripcin fsica. II.4.4.2 Salida en estado estacionario para una entrada sinusoidal. AunqueyaenelapartadoII.2.5Oscilacionesforzadasyresonanciase ensuciaronestasconclusiones,alsertanimportantesparalarealizacindelproyecto, conviene recordarlas y sintetizarlas. Larespuestaenestadoestacionariodeunsistemaestable,lineale invarianteeneltiempoaunaentradasinusoidalnodependedelas condiciones iniciales Un sistema estable, lineal e invariante en el tiempo, sujeto a una entrada sinusoidal,tendr,enestadoestacionario,unasalidasinusoidaldela Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 32 - mismafrecuenciaquelaentrada.Pero,engeneral,laamplitudylafase de la salida sern diferentes de las de entrada. Para una demostracin general de estas conclusiones vase Ogata [8] Figura13. Seales sinusoidales de entrada y salida II.4.5Diagramas de Bode Silacomprensindelaresonanciaylosmodosnormalesdeunsistema mecnico,fueronelobjetivodelapartadoII.2introduccinfsicomatemticaalas vibracionesmecnicasenestecasolametadelapartadoII.4Modeladosonlos diagramas de Bode. LarealizacinprcticadeldiagramadeBode,comoseveracontinuacin constituyeensmismounamodelizacindelsistema,encuantoasurelacinconla funcin de transferencia antes expuesta,y por tanto nos permite realizar un estudio del sistemacomoyasecomentenlosmtodosclsicosdemodelado.Esdecirsi realizamosdeformaprcticaeldiagramadeBode,quenoesotracosaqueuna representacingrficadelafuncindetransferenciadelsistema,estaremosen condicionesdehallarlafrecuenciafundamentaldescritaenII.2.7Modosnormalesde vibracin.Resolviendoasalapreguntadescritaenlaintroduccindeestecaptulo, Cmo puedo obtener de forma prctica esa frecuencia fundamental?Diagramas de Bode o diagramas logartmicos. UndiagramadeBodeestformadopordosgrficas:unaeslagrficadel logaritmodelamagnitudenfuncindetransferenciasinusoidal,ylaotraeslagrfica del ngulo de fase; ambas se dibujan contra la frecuencia en escala logartmica. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 33 - Figura14. Diagrama de Bode tpico de un sistema mecnico Larepresentacincomndelamagnitudlogartmicade( ) G j esde 20log ( ) G j ,dondelabasedellogaritmoes10.Launidadutilizadaenesta representacinparalamagnitudeseldecibelio,porlogeneralabreviadodB.Enla representacinlogartmica,sedibujanlascurvassobrepapelsemilogartmico,conla escalalogartmicaparalafrecuenciaylaescalalinealparacualquiermagnitud(en decibelios) o el ngulo de fase (en grados). El rango de frecuencias de inters determina el nmero de ciclos logartmicos que se requieren en la abscisa. La principal ventaja de utilizar el diagrama de Bode es que la multiplicacin de magnitudesseconvierteensuma.Adems,cuentaconunmtodosimpleparadibujar unacurvaaproximadademagnitudlogartmicabasadaenaproximacionesasintticas. Estaaproximacin,medianteasntotas,essuficientesislosenecesitainformacin general sobre la caracterstica de la respuesta en frecuencia. Si se desea obtener curvas exactas,esfcilcorregirlascurvasasintticas.Esmuytilampliarelrangodebajas frecuenciasmedianteelusodeunaescalalogartmica,debidoaquelascaractersticas de las bajas frecuencias son las ms importantes en los sistemas prcticos. Aunque no es posible dibujar las curvas hasta una frecuencia cero, debido a la frecuencia logartmica ( log0 = ), esto no es un problema serio. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 34 - Obsrvese que la determinacin experimental de una funcin de transferencia se hacesimplementesilosdatosdelarespuestaenfrecuenciasepresentancomoun diagrama de Bode. Fjese en la Figura 14, se observa claramente que en torno a 10Hz la amplitudesmayorqueafrecuenciasmayoresomenores,simplementeechandoun vistazo a la grfica hemos hallado la frecuencia fundamental, se demuestra as, cmo la realizacin prctica del diagrama de Bode, es el mejor mecanismo para nuestro objetivo. II.5Variables muestreadas. II.5.1Introduccin. Enlacemoslaintroduccindeestanuevaseccin,conelltimoprrafodel diagrama de Bode:Ladeterminacinexperimentaldeunafuncindetransferenciasehace simplemente si los datos de la respuesta en frecuencia se presentan como un diagrama de Bode Yaqudenuevosenosplantea,unodelosproblemasmsinteresantesdel proyecto, despus de conocer en profundidad la frecuencia fundamental de vibracin, y hallarlaformadeobtenerlamediantealdiagramadeBodesenosplanteaelproblema de cmo obtener la informacin necesaria, los datos, para realizar el diagrama de Bode. Esteproblema,lointentaremossolucionarendosapartados,enesteprimero hablaremosdelasparticularidadesdelconceptodemuestreo,sustiposysus caractersticas,yenelsiguienteapartado,hablaremosdecmopodemosrecibiry trabajar de forma precisa con esas muestras, y de cmo podemos comunicarnos con los diferentes instrumentos para este fin, tanto para enviar informacin como para recibirla. Comobibliografaserecomienda,laobradePrez[13],sindudaunmanual muytilqueexplicadeformaasequibleyclaratodolorelacionadoconlateorade muestreo.Paraunconocimientomsprofundodelamateriasecitareltextode Oppenhein [9] y [10]. II.5.2La necesidad del muestreo La utilizacin de procesadores digitales en los sistemas de medicin actuales ha hechoposibleobtenersistemasdegranfiabilidad,precisinyexactitudgraciasaun conjunto de circuitos integrados digitales de muy bajo coste y consumo de energa y de Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 35 - una gran capacidad de almacenamiento de informacin. Pero esta ltima todava no es ilimitada por lo que resulta imposible manejar todo el conjunto de valores posibles de las variables analgicas de entrada. Los datos que utiliza un procesador digital son valores discretos codificados que representan valores instantneos de las seales continuas provenientes de los sensores y sus sistemas de acondicionamiento por lo que resultan necesarias interfaces que realicen lafuncindeatraparelvalordelasealenuninstantedadoyconvertirloenun cdigo interpretable por el procesador. Tambinesnecesarioconocerconqucantidadmnimadeestosdatoso muestrasdelasealcontinuasepuedeestablecerunarelacindeidentidadentrela seal muestreada y la continua para la exactitud requerida de la medida. II.5.3Tipos de variables Analgica.Cuandolosdatosconstituyenmatemticamenteunconjuntodenso, esdecir,quepuedetenercualquiervalordentrodeunintervaloloqueimplicaqueel nmero total de posibles valores es infinito. Discreta.Cuandolosdatosconstituyenunconjuntofinitodevalores;uncaso particulardeestetiposonlasvariablesdiscretasdigitalesenelsistemabinario,que permite solo dos valores diferentes denotados normalmente por los smbolos 0 y 1. Cuando se realiza el procesamiento de variables analgicaspara convertirlas en unformatodigital,noresultaposibleparalossistemasreales(ademsdequepudiera resultar innecesario) tener una representacin digital de todos los infinitos valores de la variable analgica. Unavariablemuestreadaestformadaporunconjuntodevaloresdeuna variableanalgicaespaciadosregularmenteeneltiempo.Siademsestosvalores pertenecen a un conjunto finito, la variable esta digitalizada. II.5.4Teorema del muestreo Paraobtenerunavariablemuestreadaapartirdeunavariableanalgicase necesita producir una representacin discreta temporal de la variable analgica, es decir, tomar muestras o muestrear la variable analgica. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 36 - Elmuestreoesunprocedimientoatravsdelcual,apartirdeunavariable analgicacontinuaeneltiempo ( ) f t ,seobtieneunavariablemuestreada ( ) ( ) g t f kT = en tiempo discreto, donde k es un entero y T es el periodo de la seal de muestreo. ( ) ( ) ( ), 0,1, 2,...t k Tg t f t f kT donde k== = = (27) Elsistemaquerealizaesteprocedimientorecibeelnombredemuestreadory suelerepresentarsecomounsimpleinterruptoridealquecadaTsegundoshaceque ( ) ( ) g t f t = y el resto del tiempo( ) 0 g t = , con lo que se consigue que ( ) ( ) g t f kT = . Figura15. Procedimiento de muestreo De lo anterior se deduce que muestrear no es equivalente a mantener el valor de la muestra durante algn tiempo ms all del instante de muestreo kT. Si se utiliza una serie de impulsos de Dirac h(t) como funcin de muestreo y se realiza el producto de esta funcin por la variable analgica continua en el tiempo f(t) se obtendr la variable muestreada g(t) que no es ms que un tren de impulsos modulados enamplitudporlasealanalgicadeentradavaseFigura16encomparacinconla Figura 17. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 37 - Figura16. Seal analgica a muestrear Figura17. Seal analgica muestreada Puedeobservarsequehemosobtenidounconjuntofinitodevaloresdela variableanalgica,espaciadosregularmenteporelperiododelasealdemuestreo ideal, a cuyo inverso, en adelante, llamaremos frecuencia de muestreo ( fs ) EnelcasorepresentadoenlaFigura17sehaescogidounafrecuenciade muestreofs mayorqueeldobledelamximafrecuenciadelespectrodelaseal Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 38 - ( 2 fs fm > ).Pero,Quobtendramossiseleccionramos 2 fs fm < ?Larespuestaes obvia; se perder informacin al producirse interferencias por solapamiento de parte del espectro de la seal y las componentes espectrales resultado de la modulacin, lo que se conoce normalmente con el trmino de Aliasing. Observe la Figura 18, la seal que queremos muestrear es la roja, pero debido a que se produce el fenmeno de Aliasing2 fs fm < , confundimos la seal por la azul. Figura18. Aliasing El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon afirma que si() f t es una seal de anchodebandafinito,stapuedeserreconstruidaencualquierpuntoapartirdesus valores muestreados( ) f kT si el muestreo se haefectuado a una frecuenciafsque, al menos, sea el doble de la mxima frecuencia del espectro de la seal. 2 fs fm > (28) Esteimportanteyeleganteteoremademuestreoapareciexplcitamenteenla literaturadelateoradecomunicacinen1949enlasnotasclsicasdeShannon tituladasComunicationinthePresenceofNoise.SinembargofueNyquistyaen 1928,basndoseenlasseriesdeFourier,elqueenuncique2TWnmerosson suficientes para representar una funcin de duracin T y cuya frecuencia ms alta es W, en su obra Certain Topics in Telegraph Transmission Theory, de ah el doble nombre de teorema de muestreo de Nyquist-Shannon. II.6Sistemas de adquisicin dedatos y comunicacin con instrumentos II.6.1IntroduccinUna vez que conocemos los aspectos fundamentales de la teora del muestreo, es necesario adentrarnos en los distintos aspectos que hacen de ese muestreo una realidad, Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 39 - ynoslounconceptoterico,esdecir,comorealmenteobtenemoslasmuestrasque formarn nuestro diagrama de Bode. HablaremosdeAdquisicindeDatos,cuandolainformacinvayadesdeel sensorhastaelPC,esdecir,cuandoconectemoselacelermetroalamesade vibraciones y leamos los datos que nos devuelve, estaremos adquiriendo datos. Hablaremos de Comunicacin con Instrumentos cuando seamos nosotros los queaportemosinformacinalinstrumento,queactuarsegnnuestrasespecificaciones. CuandodesdeelPCseleordenealgeneradordefuncionesqueenvealamesade vibraciones una seal sinusoidal de frecuencia 50 Hz y amplitud 1 Vpp, lo que estaremos realizando ser comunicacin con el instrumento. Enesteapartadovamosaverdeformabrevelasdistintasdisposicionesque hacen este tipo de comunicaciones posibles.Para ello nos referiremos al texto de Prez [13] II.6.2Introduccin a los sistemas de adquisicin de datos Encualquieractividadrelacionadaconlacienciaylatecnologasurgela necesidad de medir variables fsicas, como en nuestro caso la aceleracin de un objeto. Un sistema de adquisicin de datos es el instrumento del que nos servimos para obtener informacindeundeterminadoproceso.EnlaFigura19semuestraeldiagramade bloques de un sistema de adquisicin de datos. Figura19. Diagrama de bloques de un sistema de adquisicin de datos Engeneral,lossistemasdeadquisicindedatosconstandecincoelementos bsicos: Lossensoresqueconviertenunfenmenofsicoenunamagnitud elctrica. Unbloqueacondicionadorparaaislar,filtrar,convertiry/oampliarla seal. Unsistemadeadquisicinqueconviertelasealdeldominioanalgico al digital. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 40 - Unsistemadetratamientoquerealizaoperacionesconlosdatos (informacin digital) con objeto de transformarlos en informacin til. Un sistema de representacin cuyo objeto es comunicar los resultados al usuario Configuracin de un sistema de adquisicinde datos Sistemas basados en uncomputador con una o varias tarjetas de adquisicin de datosconectadasalbusinternodelcomputadoryquerealizanbsicamentela conversin de la seal entre el dominio analgico y el digital. Figura20. Sistema basado en tarjeta de adquisicin de datos Sistemas basados en comunicacin de instrumentos Instrumentosautnomoseindependientesdelbusdeuncomputadorperocon capacidaddeconectarseatravsdebusesdeinstrumentacin(GPIB)oatravsde comunicacin serie o paralelo, y ms recientemente a travs de USB y LAN. Figura21. Sistema basado en instrumentos de adquisicin Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 41 - II.6.3Tarjetas de adquisicin de datos (TAD) DadoquelasdatosconlosqueformaremoseldiagramadeBodeprovienende lasmuestrasobtenidasporlatarjetadeadquisicindedatos,convieneprofundizaren algunosaspectosbsicosdeestedispositivo,talescomounabreveintroduccinasu configuracin interna y sus caractersticas ms relevantes. Lastarjetasdeadquisicindedatossondispositivosenformatodetarjetade circuito impreso que se conectan directamente al computador a travs de las ranuras de expansin o de otra clase de bus como USB, como es nuestro caso. Figura22. TAD Latarjetadeadquisicindedatosmssencillaconsisteenunhardwarede adquisicin que solo convierte la seal analgica de entrada en una seal digital que es enviada al computador sin realizar ningn tipo deprocesamiento. Figura23. Estructura general de una tarjeta de adquisicin de datos Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 42 - Elncleocentraldeunatarjetadeadquisicindedatosestcompuestoporlos circuitos analgicos de entrada y el conversor A/D. Los circuitos analgicos de entrada incluyen un multiplexor, al que llegan las distintas variables de entrada, un amplificador de ganancia programable y un circuito de muestreo y retencin. II.6.3.1 Caractersticas y criterios de seleccin de las TAD Nmerodeentradasanalgicas:hacereferenciaalnmerodecanalesde entrada disponibles en la tarjeta. Configuracindelasentradasanalgicas.Lasentradasdelastarjetasde adquisicin suelen soportar dos configuraciones bsicas: Entradas referidas a masa (single-ended inputs): un terminal de entrada en todos los canales est referido a la masa del sistema de adquisiciny elotro,estdisponibleparasuconexinaentradasexteriores.Esta configuracinesaceptablecuandoladiferenciadetensinentrela entradaconectadaalamasadelsistemadeadquisicindedatosyel comnanalgiconoseasignificativa.Generalmenteseutilizaenla adquisicindesealesdenivelaltodondeelerrorintroducidoporla seal en modo comn es despreciable. Vase Figura 24. Figura24. Configuracin de TAD referido a masa Entradas en modo diferencial (diferencial inputs): en este caso no existe ningnterminalreferidoamasa.Losdosterminalesdeentradase corresponden con los terminales de entrada de la tarjeta de adquisicin de datos.Estaconfiguracinestilenlaadquisicindesealesdebajo nivel o sealesinmersas en entornos ruidosos. Vase Figura 25 Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 43 - Figura25. . Configuracin de TAD diferencial En nuestro caso se opt por Entradas referidas a masa (single-ended inputs)ya queladiferenciadetensinentrelaentradaconectadaalamasadelsistemade adquisicin de datos y el comn analgico no es significativa. Mecanismo de inicio de captura (triggering o disparo): Unaspectointeresantedelastarjetasdeadquisicindedatosserefiereala posibilidadderealizarlaadquisicinsincronizadaconalgneventoexterno.Algunas tarjetaspermitenmecanismosdedisparomssofisticadoscomoeldisparoanalgico basadoenlapresenciadedeterminadosnivelesanalgicosintroducidosporlaentrada dedisparo.Porejemplo,puederealizarselacapturacuandounasealsobrepasaun valor. Figura26. . Disparo basado en niveles analgicos Otras caractersticas son la velocidad de adquisicin, la resolucin o exactitud. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 44 - II.6.4Buses de instrumentos. Lossistemasdecomunicacindeinstrumentospuedenfuncionardeforma autnoma o bien conectarse a un computadory a otros instrumentos a travs de un bus de comunicacin. Engeneral,elbusmsdifundidoparalaconexindeinstrumentoseselbus GPIB. En nuestro caso el sistema digital de transferencia de datos entre computadorae instrumento(generadordefunciones)sebasenelcableLAN,portantoms importante que la arquitectura del sistema son los protocolos de comunicacin entre PC e instrumento. II.6.4.1 Comandos SCPI Todaslasrdenesdirectasqueselemandanalgeneradordefunciones,se envangraciasaestoscomandos,sinellosnopodramosordenarlealgeneradorde funciones que vaya cambiando cada cierto tiempo de frecuencia, para ver las diferentes respuestasdelsistema.Esporesoqueresultabsico,sinosutotalcomprensin,sial menos una breve referencia. LanormaSCPI(StandardCommandsforProgrammableInstruments)aparece en 1991 para conseguir una estandarizacin de los comandos de control y el formato de losdatosdelosinstrumentos.Elobjetivoesque,independientementedelfabricante, equiposquetienenlamismafuncionalidadrespondandeigualformaaunconjunto estndar de comandos. LanormaSCPIseasientasobrelaIEEE-488.2ysta,asuvez,sebasaenla IEEE-488.1.Lanormaestablecelasintaxisylosformatosdelosmensajesparaque instrumentosconlamismafuncionalidadoinstrumentosdelmismotipoutilicenlos mismoscomandos.Porejemplo,loscomandosparamedirunafrecuenciautilizando frecuencmetrosdedistintosfabricantessernlosmismos.Adems,lamedidadela frecuencia con otro instrumento que lo permita, por ejemplo un osciloscopio digital o un multmetro, tambin utilizarn los mismos comandos LoscomandosSCPIseescribencomotextoASCII,ytienenunaestructura jerrquica por niveles, separados por dos puntos, como se aprecia en la Figura 27. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 45 - Figura27. Estructura jerrquica de las normas SCPI II.6.4.2 VISA e IVI Yahemosvistoqueparaenviarrdenesprecisasalinstrumento,loscomandos SCPI eran ms que suficientes, pero a la hora de que el PC reconozca el instrumento la secuenciadecomandosSCPInecesarios,ademsdecomplejospodranresultarpoco eficientescomoseveracontinuacin.Esporesemotivoqueusamostantoeldriver IVIcomoelestndarVISA,graciasaellosmuchasfuncionescomplejas,sevuelven invisibles a nivel del usuario. Veamos a continuacin un breve desarrollo del porqu de su nacimiento y sus principales funciones. Pararealizarunacomunicacinconuninstrumentopodemosutilizardiferentes buses de comunicacin siempre y cuando el instrumento disponga de ellos. Para acceder albusdesdeunPC,esnecesariaunatarjetacontroladordelbus,yaseaGPIB,VXIo como la de red para LAN. Para acceder a cada una de estas tarjetas podemos utilizar las funciones propias del bus, como por ejemplo los comandos SCPI para el bus LAN. Pero lautilizacindestasfuerzaquelasaplicacionesquedesarrollamosparaun determinadoinstrumentosirvannicamenteparaesebusyeseinstrumento.Por ejemplo,siutilizamoscomandosSCPIparacontrolarunmultmetrovabusGPIB,no podremosutilizardichoprogramaparacontrolarelmismoinstrumentoutilizandoun busdiferente.Parasolucionarsteyotrosproblemassemejantes,en1993National InstrumentsjuntoconGenRad,RacalInstruments,TektronixyWavetekformaronun consorciollamadoVXIplug&playSystemsAliance.Unodelosestndaresms desarrollados por este grupo fue VISA (VirtualInstrument Software Architecture), que esunconjuntodefuncionesdealtonivelqueseencargadehacertransparentelos recursos software que estemos utilizando. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 46 - UtilizandoVISApodemoscontrolarbusestalescomoGPIB,LAN,VXI,PXI, serie y otros buses basados en computador. VISA se encargar de utilizar las funciones de bajo nivel para cada uno de los buses de manera transparente para el programador.Deestamanera,elmismocdigodeprogramaparaelcontroldecualquier instrumentoutilizandoVISApodrserusadovaGPIB,serie,etc.,comomuestrala Figura 28: Figura28. Arquitectura de VISA Posteriormente,en1998,surgielconsorcioIVI(InterchangeableVirtual Instruments)entreunatreintenadecompaas,incluyendolascomentadas anteriormente,conelobjetivodealcanzarunaestandarizacindelosdriversdelos instrumentos. En concreto, IVI aport las siguientes novedades: Adopcin del conjunto de funciones VISA Posibilidaddeintercambiodeinstrumentos,inclusodedistintos fabricantes Posibilidad de trabajarcon instrumentos simulados durante el desarrollo de aplicaciones, cuando la disponibilidad de los equipos est restringida Por ejemplo, para el bus GPIB controlado a travs de funciones de libreras IVI, el programador puede emplear rutinas de alto nivel sin necesidad de conocer el conjunto decomandosSCPIqueelinstrumentoentiende.Comoconsecuencia,eldesarrollode aplicacionesdeestaformasehaagilizadoconsiderablementerespectoalusode comandos SCPI. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 47 - II.7Representacin de seales en series de Fourier y Filtros II.7.1Introduccin Siguiendo con la mxima de describir de forma clara y precisa, pero no por ello menos rigurosa, todas las herramientas que hemos usado a lo largo del proyecto, resulta del todo imprescindible detenernos en las Series y Trasformadas de Fourier. Unavezquecomprendemoselprocesodeobtencindedatosconlosque formaremos nuestro diagrama de Bode con el cual hallaremos la frecuencia fundamental delobjetodeestudio,nossurgelapregunta,siesosdatospodemosusarlos directamente.Larespuestaesno,yesall,dondelatransformadadeFouriertienesu imprescindible papel.Unavezqueobtenemoslosdatos,latransformadadeFouriernospermite comprobar que son correctos, y en el caso que no sean correctos, es decir que un ruido exterior este distorsionando los datos, poder corregirlos aplicando filtros. Figura29. Aplicacin de la transformada de Fourier ObservelaFigura29,enlapartesuperiorseobservalosdatosobtenidosensu dominiotemporal,ydebajoobservamossuespectrodefrecuencias.Graciasala Transformada deFourier, vimos que los datos obtenidos no solo no erancorrectos, los Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 48 - crculosrojosindicanelruidoquedistorsionalaseal,sinoquefuimoscapacesde arreglar la seal gracias al empleo de filtros. Queda con esto demostrado la necesidad de entender pormenorizadamente como laaplicacindeFouriernosayudaatratarlasealcontanbuenosbeneficios.Resta decirque,vistoloestudiadoanteriormenteenlaseccinII.5variablesmuestreadas todaslasreferenciasaFouriersernensuaplicacinasealesdiscreta,esdeciralas distintas muestras obtenidas. Teniendoenmentequeelobjetivoentodomomentoesentenderla Transformada Rpida de Fourier (FFT)y la aplicacin de filtros, comenzaremos por el desarrollo de las series de Fourier y su relacin con los sistemas invariantes en el tiempo y como su extensin a funciones no peridicas obliga a la existencia de la Transformada deFourier.Teniendoyalosconceptosnecesarios,abordaremosmuybrevementela revolucin que supuso la FFT y cmo trabajan los filtros. Paratodoesto,denuevolabibliografaesextensayvariada,recomendamosa Oppenheim,y su libro Seales y Sistemas [9], la obra ms clsica eneste aspecto, que abordadeformaextensaelcontenidodeestecaptulo.Dejamoslaobratambinde Oppenheim,Tratamientodesealesentiempodiscreto[10]paraellectorquequiera unamayorprofundidadterica,suscaptulossobrediseodefiltrosdiscretosy algoritmos de FFT son base para cualquier estudio ms avanzado en este tema.II.7.2Objetivo de Fourier Elpuntodepartidaparanuestroanlisiseseldesarrollodeunarepresentacin desealescomocombinacinlinealdeunconjuntodesealesbsicas.Parallevara caboestarepresentacinalternativausaremoslasexponencialescomplejas.Las representaciones resultantes se conocen como la Serie y la Transformada de Fourier, ya sea en tiempo continuo o discreto. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 49 - Figura30. Objetivo de Fourier Se recuerda que por exponencial compleja entendemos( ) cos ( )j te t jsen t = +II.7.3RepresentacinenseriesdeFourierdesealesperidicas discretas. II.7.3.1 Combinacioneslinealesdeexponencialescomplejas relacionadas armnicamente Una seal discreta[ ] x n es peridica con periodo N si [ ] [ ] x n x n N = + (29) ElperiodofundamentaleselenteropositivoNmspequeoparaelcualla ecuacin(29)secumple,y 02 / N = eslafrecuenciafundamental.Adems,el conjuntototaldelassealesexponencialescomplejasdiscretasquesonperidicascon periodo N est dado por 0(2 / )[ ] , 0, 1, 2,...jk n jk N nk n e e k = = = (30) Es decir, cuando k se cambia por cualquier mltiplo entero de N,generamos la secuencia idntica.Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 50 - Ahoradeseamosconsiderarlarepresentacindesecuenciasperidicasms generales en trminos de combinaciones lineales de las secuencias[ ]kn en la ecuacin (30). Tal combinacin lineal tiene la forma (2 / )[ ] [ ]jk N nk k kk kx n a n a e = = (31) Envistadequelassecuencias[ ]kn sondistintasslosobreunrangodeN valores sucesivos de k, la sumatoria en la ecuacin (31) necesita incluir solo trminos en esterango.Entonces,lasumatoriaessobrek,amedidaquekvarasobreunrangoN enteros sucesivos, empezando con cualquier valor de k. Indicamos esto expresando los lmites de la sumatoria como k=. Es decir (2 / )[ ] [ ]jk N nk k kk N k Nx n a n a e= == = (32) Porejemplo,kpodraasumirlosvaloresk=0,1,,N-1ok=3,4,,N+2.En cualquiercaso,elmismoconjuntodesecuenciasexponencialescomplejasaparecenen la sumatoria del miembro derecho de la ecuacin (32). Esta ecuacin se conoce como la SeriediscretadeFourieryloscoeficientes ka ,comoloscoeficientesdelaseriede Fourier. II.7.3.2 Determinacin de la representacin en serie de Fourier de una seal peridica. Supongaahoraquesenosdaunasecuencia[ ] x n lacualesperidicacon periodo fundamental N. Nos gustara determinar si existe una representacin de[ ] x n en la forma dada en la ecuacin (32) y, de ser as, cules son los valores de los coeficientes delaseriedeFourier.Estapreguntapuedeexpresarseenotrostrminos,esdecir, encontrarunasolucinparaunconjuntodeecuacioneslineales.Enconcreto,si evaluamoslaecuacin(32)paraNvaloressucesivosdenquecorrespondenaun periodo[ ] x n , obtendremos Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 51 - 2 /2 ( 1)/[0] ,[1][ 1]kk Nj k Nkk Nj k N Nkk Nx ax a ex N a e===== =(33) As, la ecuacin (33) representa un conjunto de N ecuaciones lineales para los n coeficientesdesconocidos ka conformekvarasobreunconjuntodeKenteros sucesivos. Tambin se puede demostrar que este conjunto de ecuaciones es linealmente independientey,enconsecuenciasepuederesolverparaobtenerloscoeficientes ka en trminos de los valores dados de[ ] x n . Ahora consideraremos la representacin en serie de Fourier de la ecuacin (32). Al multiplicar ambos miembros por (2 / ) jk N ne y sumando los N trminos obtenemos (2 / ) ( )(2 / )[ ]jr N n j k r N nkn N n N n Nx n e a e = = == (34) Esto proporciona una expresin cerrada para obtener los coeficientes de la serie de Fourier, y tenemos el par de la serie discreta de Fourier: (2 / )[ ]jk N nkk Nx n a e== (35) (2 / )1[ ]jk N nkn Na x n eN ==(36) Laecuacin(35)representalaecuacindesntesis,mientrasquelaecuacin (36)representalaecuacindeanlisis.LoscoeficientesdelaseriediscretadeFourier ka sonamenudollamadosloscoeficientesespectralesde[ ] x n .Estoscoeficientes especificanunadescomposicinde[ ] x n enunasumadeNexponencialescomplejas relacionadasarmnicamente.Sonlamodificacindeestosvaloresloquedanpodera los filtros, y lo que se representa en los espectros de frecuencias. II.7.3.3 Series de Fourier y sistemas LTI Si[ ]nx n z =es la entrada a un sistema LTI discreto, entonces la salida est dada por[ ] ( )ny n H z z = , dondeMontaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 52 - ( ) [ ]kkH z h k z== (37) Parasealesysistemasdiscretos,nosenfocaremosenvaloresdezparalos cuales1 z= , de manera que jz e= y nzsea de la forma j ne. Entonces la funcin del sistema( ) H z parazrestringidaalaforma jz e= seconocecomolarespuestaen frecuencia del sistema y est dada por ( )[ ]j j nnH e h n e == (38) Sea[ ] x n unasealperidicacuyarepresentacinenseriedeFourierestdada por (2 / )[ ]jk N nkk Nx n a e== (39) SiaplicamosestasealcomolaentradaaunsistemaLTIconrespuestaal impulso[ ] h n , entonces, con (2 / ) j k Nkz e= , la salida es 2 / (2 / )[ ] ( )j k N jk N nkk Ny n a H e e == (40) Entonces[ ] y ntambin esperidica con el mismo periodo de[ ] x n , y el k-simo coeficientedeFourierde[ ] y n eselproductodelk-esimocoeficientedeFourierdela entradayelvalordelarespuestaenfrecuenciadelsistemaLTI, 2 /( )j k NH e,ala frecuencia correspondiente. II.7.4Sealesaperidicas:LatransformadadeFourierentiempo discreto Qu ocurre cuando en nuestro caso la seal no es peridica? Considereunasecuenciageneral[ ] x n quetieneduracinfinita.Estoes,para algunos enteros N1, N2,[ ] 0 x n=fuera del intervalo 1 2N n N en la Figura 31 (a) se muestra una seal de este tipo. A partir de esta seal aperidica podemos construir una secuencia peridica[ ] x n para la cual[ ] x nsea un periodo, como se muestra en la Figura 31 (b). Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 53 - Figura31. Seal no peridica Cuando hacemos que el periodo sea ms grande[ ] x n es idntica a[ ] x n sobre un intervalo ms grande, y conforme, [ ] [ ] N x n x n = para cualquier valor finito de n. ExaminemosahoralarepresentacinenseriedeFourierde[ ] x n .Enconcreto rescribiendo las ecuaciones (35) y (36), tenemos (2 / )[ ]jk N nkk Nx n a e== (41) (2 / )1[ ]jk N nkn Na x n eN == (42) Puesto que[ ] [ ] x n x n = sobre un periodo que incluye en intervalo 1 2N n N , es conveniente seleccionar un intervalo de la sumatoria en la ecuacin (42) que incluya esteintervalo,demaneraque[ ] x n puedareemplazarsepor[ ] x n enlasumatoria.Por tanto, 21(2 / ) (2 / )1 1[ ] [ ]Njk N n jk N nkn N na x n e x n eN N + = == = (43) Donde en la segunda igualdad nos hemos valido del hecho de que[ ] x nes cero fuera del intervalo 1 2N n N . Definiendo la funcin ( )[ ]j j nnX e x n e == (44) Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 54 - Vemos que los coeficientes kason proporcionales a las muestras de ( )jX e, es decir ( )01jkka X eN= (45) Donde0 2 / N = eselespaciamientodelasmuestraseneldominiodela frecuencia. Combinando las ecuaciones (41) y (45) obtenemos que ( )0 01[ ]jk jk nk Nx n X e eN == (46) Ya que 02 / N =o de manera equivalente 01/ / 2 N = , la ecuacin(46) se puede reescribir como ( )0 001[ ]2jk jk nk Nx n X e e == (47) ConformeNaumenta, 0 disminuye,yconformeN laecuacin(47)se vuelveunaintegral.Paraverestomsclaramente,considereque representamos( )j j nX e e como el trazo de la Figura 32. Figura32. Interpretacin grfica de la ecuacin (62) Apartirdelaecuacin(44)puedeverseque ( )jX eesperidicaen con periodo2 ytambinloes j ne.Entonces,elproductodeambostambinser peridico. Como hemos representadoen la Figura 32, cada trmino en la sumatoria de laecuacin(47)representaelreadeunrectngulodealtura ( )0 0jk jk nX e e yancho Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 55 - 0 . A medida que 00 , la sumatoria se vuelve una integral. Ms an, puesto que la sumatoriasellevaacabosobrenintervalosconsecutivosdeancho 02 / N = ,el intervalo total de integracin siempre tendr un acho de2 . Por lo tanto, a medida que N , [ ] [ ] x n x n = , y la ecuacin (47) se convierte en ( )21[ ]2j j nx n X e e d =(48) Donde,debidoaque ( )j j nX e e esperidicaconperiodo2 ,elintervalode integracin se puede tomar como cualquier intervalo de longitud2 . En consecuencia, tenemos el siguiente par de ecuaciones: ( )21[ ]2j j nx n X e e d =(49) ( )[ ]j j nnX e x n e == (50) Lafuncin ( )jX eseconocecomolatransformadadeFourierdetiempo discretoyelpardeecuacionesseconocecomoelpardetransformadadeFourier.La ecuacin(49)eslaecuacindesntesisyla(50)eslaecuacindeanlisis.Nuestra deduccindeestasecuacionesindicacomounasecuenciaaperidicaspuede considerarsecomounacombinacinlinealdeexponencialescomplejas.Enparticular, la ecuacin de sntesis es en efecto una representacin de[ ] x ncomo una combinacin linealdeexponencialescomplejasinfinitesimalescercanasenfrecuenciaycon amplitudes ( )( ) / 2jX e d .Porestarazn,amenudosehacereferenciaala transformadadeFouriercomoespectrode[ ] x n dadoquenosproporcionala informacinacercadecmo[ ] x n estcompuestadeexponencialescomplejaa frecuencias diferentes. II.7.4.1 Transformada rpida de Fourier (FFT) Deseamos aqu calcular la suma 1Simplificando la notacion (2 / )01 1[ ] [ ] [ ] 0,1,..., 1Njk N n mnk Nn N ma x n e F n f m w para n NN N = == = = (51) Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 56 - Deformarpida.Sevaaprescindirdelfactor1/Ncentrandoelanlisisenel sumatorio 102 ( 1)[ ] [ ][0] [1] [2] ... [ 1] 0,1,..., 1NmnN Nmn n N nN N NA n f m wfr f w f w f N w para n N= = =+ + + + = (52) El subndice N enNA indica el nmero de puntos distintos a calcular, que forman elperiododesucesin.Deunasimpleinspeccindeducimosqueparacalcularcada punto de[ ]NA nmediante la suma anterior se necesita N-1 multiplicaciones complejas y N-1sumascomplejas.ElclculodelasNpuntosprecisarpuesde 2( 1) N N N operacionescomplejaspara1 N ,constandounaoperacincomplejadeunasumay un producto complejos. Lospuntos[ ]NA n sonlosvaloresdeunpolinomiodevariablecompleja, correspondientes a los puntos mnNA equidistantes en la circunferencia unidad. Gracias a laspropiedadesparticularesdestosvaaserposibleelclculode[ ]NA n conmuchas menos operaciones y de una forma recurrente. Los procedimientos de clculo, se basan en la siguiente igualdad, vlida para las racesN-simasdelaunidadcuandoNendivisibleporunenterorqueexpresala coincidencia de las races de orden/ N r con lasrk 0,1..., / 1 k N r = de ordenN Paraelcasoparticularde2 r = ,lafigura33ilustralaequivalenciaentrelas races pares de orden N=8y las races de orden N/2=4. En el resto de este captulo nos limitaremos a dicho caso particular en donde N es divisible por 2. Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 57 - Figura33 Laanteriorequivalenciasugiereentoncesdividirlasuma[ ]NA n enNtrminos endossumasdeN/2trminosque,comosever,graciasaestapropiedad, representarn dos series de Fourier de orden mitad: 0 1/ 2 / 2[ ] [ ]N NA n y A nSedarndosformasdellevaracaboladescomposicin,conocidascomo decimacineneltiempo(DT)ydecimacinenlafrecuencia(DF),ambasrealizanla descomposicinenndicespareseimpares,laprimeraconeldetiempos,m,yla segunda con el de frecuencias, n.EnlaFigura34sepuedeobservarcomoeltiempodeclculonecesariopara hallar los coeficientes de Fourier se reduce drsticamente usando la FFT. Figura34. FFT vs STANDARD Montaje y programacin bajo MATLAB de una mesa de ensayos de vibraciones Juan Jos Arvalo Martn - 58 - II.7.5Filtrado En una amplia variedad de aplicaciones, resulta de inters cambiar la amplitudes relativas de las componentes de frecuencia de una seal, o quizs eliminar por completo algunascomponentesdefrecuencia,procesoconocidocomofiltrado.Lossistemas linealesinvarianteseneltiempoquecambianlaformadelespectroseconocencomo filtrosconformadoresdefrecuencia,seraelcasodelecualizadordeunaradio,en cambiolossistemasdiseadosparadejarpasaralgunasfrecuenciasesencialmenteno distorsionadasyatenuardemanerasignificativaoeliminarporcompletootrasse conocencomofiltrosselectivosdefrecuencia(nuestrocaso).Loscoeficientesdela serie de Fourier de la salida de un sistema LTI son aquellos de la entrada multiplicados por la respuesta en frecuencia del sistema. En consecuencia, el filtrado se puede realizar en forma conveniente mediante el uso de sistemas LTI con una respuesta en frecuencia seleccionadaadecuadamente,ylosmtodoseneldominiodelafrecuencia proporcionanlasherramientasidealesparaexaminarestaclasetanimportantede aplicaciones. II.7.5.1 Filtros selectivos en frecuencia. Losfiltrosselectivosenfrecuenciasonunaclasedefiltrosespecficamente destinadosparaseleccionarconexactitudomuyaproximadamentealgunasbandasde frecuenciayrechazarotras.Elusodefiltrosselectivosenfrecuenciasurgeenuna amplia variedad