Pirmides rellenas de . Pirmides. Puzzles espaciales que favorecen la visualizacin

Pablo Flores Martnez Departamento de Didctica de la Matemtica Universidad de Granada

1. Introduccin

En un estudio sobre la geometra y su enseanza y aprendizaje no pueden faltar

los elementos manipulativos que ayudan a formar imgenes y estructuras mentales de

las figuras y relaciones espaciales. Los puzzles espaciales son unos juegos que

podramos clasificar tanto de conocimiento, como estratgicos, segn la clasificacin

establecida por Corbaln (1994), ya que ayudan tanto a desarrollar el currculo de

Matemticas de la enseanza obligatoria como a desarrollar destrezas que preparan para

la vida. Su funcin instructiva cubre dos de los objetivos que establecen los nuevos

estndares del NCTM (2001), ya que capacitan para analizar las caractersticas y

propiedades de figuras geomtricas de dos y tres dimensiones y desarrollar

razonamientos matemticos sobre relaciones geomtricas, pero tambin para Utilizar

la visualizacin, el razonamiento matemtico y la modelizacin geomtrica para

resolver problemas.

En este captulo vamos a centrarnos ms en este segundo grupo de capacidades

(lo que aproximara los puzzles a juegos de estrategia, Corbaln 1994, Corbaln y

Deulefeu, 1996), mostrando cmo los puzzles facilitan la visualizacin por medio de la

utilizacin de modelos matemticos que ayudan a resolver problemas. El hecho de que

los problemas se puedan plantear en trminos ldicos, da ms realce a la definicin de

los puzzles como juegos.

Para desarrollar esta idea vamos a comenzar por situar el problema que da origen

al juego: la teselacin del espacio (equiparticin, en trminos de Ghyca, 1977). Este

problema se afronta de manera ldica mediante un subproblema (que, como veremos

determina una condicin suficiente para resolver el inicial, pero no necesaria); el de la

descomposicin y composicin de una figura por medio de figuras semejantes a ella

(equiparticin autosemejante). Esta exigencia de equiparticin autosemejante es muy

fuerte, por lo que hay muy pocos puzzles que la permitan, o, si lo hacen, generan figuras

pintorescas, pero poco verstiles. La mayora tienen como finalidad formar patrones

determinados, en el mejor de los casos a partir de piezas iguales entre s. Por ltimo

otros proponen la formacin de modelos a partir de figuras diferentes. Nos vamos a

centrar en puzzles que generan pirmides, vamos a hacer un barrido por los que nos han

parecido interesantes por cubrir el mximo de estas condiciones, especialmente la de

rellenar completamente el patrn. En primer lugar situaremos los que verifican la otra

condicin: utilizan figuras iguales. Para cubrir el estudio de otros puzzles

estableceremos un modelo matemtico, el estudio de la teselacin del espacio a partir de

tetraedros y octaedros. Gracias a este modelo podremos relacionar todos los puzzles

descritos y hacer propuestas para utilizar en el aula uno de ellos.

2. La equiparticin o teselacin del espacio

Es ya conocido que los envases de leche se llaman tetrabrick porque los

primeros recipientes en cartn plastificado que la contuvieron tenan forma de tetraedros

(ver desarrollo en Gmez, 2002). Cuando se busc una forma fcil de construir envases

en cartn se recurri al tetraedro ya que se puede formar cerrando por dos aristas

perpendiculares, a cierta distancia, una cartulina enrollada en forma de cilindro (figura

1). Dos estrangulamientos

perpendiculares entre s, y a

su vez ambos

perpendiculares al eje del

cilindro facilitan la

construccin de estos

envases. Sin embargo su

comodidad de construccin

se vio ensombrecida por la

dificultad de almacenamiento, ya que los tetraedros no encajan en otros tetraedros

rellenando el espacio, y esto es importante para el transporte de las mercancas. Para

solventar este problema se utilizaron cajas en forma de prisma pentagonal en las que

encajaban 5 tetrabrick con una arista comn (si los tetraedros son regulares el diedro de

los tetraedros mide ''43'3170 , con lo que 5 de ellos dan un ngulo de 3523838, ver

Guilln, 1991). Pero estas cajas rellenas no tenan una cara superior plana, sino formada

por una pirmide pentagonal, con lo que era imposible poner una caja encima de la otra

sin dejar algn espacio vaco. Adems, como los pentgonos no rellenan el plano, se

quedaban espacios entre cajas prismticas, por lo que el desperdicio de espacio era

Figura 1: Obtencin del tetraedro a partir de cilindro

evidente, mayor an en camiones y contenedores que generalmente tienen forma

rectangular.

Estas circunstancias dieron lugar a que se buscara otra

forma de envase, lo que llev a los que conocemos

ahora, en forma de hexaedro. Su construccin de partida

es an ms fcil que la del tetraedro, ya que basta cerrar

(estrangular) el mismo cilindro de papel por dos aristas

paralelas a cierta distancia. Despus se le da volumen

por medio de dobleces, lo que exige una mquina

adecuada para ello, y adems se pierde papel que

aparece doblado sobre el envase. Sin embargo, la

prdida de papel y la mquina de doblado para su

construccin no han tenido tanta importancia como la ganancia producida en algo que

actualmente interesa mucho en el comercio; el aprovechamiento del espacio para su

almacenamiento. Con los hexaedros actuales se produce un empaquetamiento sin

huecos, formando nuevos hexaedros que a su vez rellenan el camin, pues los hexaedros

rellenan el espacio y adems forman una figura semejante al envase individual.

El rellenado de espacios es una cuestin importante en la industria y el comercio

en la actualidad, pero tambin en la Matemtica (Devlin, 2002). Es de todos conocido

que los hexaedros iguales teselan, lo que es menos conocido es que los tetraedros no

teselan el espacio, y que las teselaciones con pirmides son muy complicadas.

Al estudiar la teselacin se presentan dos problemas: determinar si una figura

tesela, y buscar figuras que lo hagan. La bsqueda de condiciones necesarias y

suficientes para teselar (equipartir) es un problema de la geometra, que ha avanzado

enormemente (Devlin, 2002). Se conoce que una de las condiciones suficientes (y no

necesaria) para que una figura tesele es que ella misma se pueda descomponer en

figuras semejantes del mismo tamao (equiparticin en figuras semejantes), ya que, si

esto ocurre, componiendo la figura problema con otras equivalentes generaremos una

figura semejante, ms grande, sin dejar espacios que no puedan rellenarse1. Estas

nuevas figuras generarn a su vez otras ms grandes, con lo que iremos recubriendo el

espacio, sin dejar huecos y ocupando completamente. En consecuencia, si logrramos

1 En el plano, los cuadrados rellenan el plano, pero adems rellenan cuadrados. Los hexgonos rellenan el plano, pero sin embargo no podemos formar un hexgono a partir de hexgonos iguales.

Figura 2: Elaboracin del hexaedro

descomponer una pirmide en otras pirmides semejantes, podramos asegurar que estas

pirmides rellenan el espacio. Pues bien, esta situacin no es posible con tetraedros

regulares (Guilln, 1991). Sin embargo, se han creado muchos juegos de piezas para

construir pirmides, y de estos juegos es de lo que trata este captulo.

Nos han llamado la atencin estos juegos por plantear retos que al formularse

fcilmente invitan a afrontarlos a mucha gente. El reto es formar una figura a partir de

varias piezas. Pero el que sea fcil formular no implica que tenga solucin trivial, ya

que obligan a trabajar con figuras poco familiares, con caras de distinta forma, y con

ngulos diedros poco conocidos. Por ello se convierten en juegos interesantes,

especialmente cuando estn bien articulados y obtenidos con una buena dosis de

ingenio. En este escrito queremos justificar cmo la prctica con estos juegos puede

mejorar la visin espacial de los jugadores, a la vez que les ayuda a desarrollar destrezas

de manejo y aprovechamiento del espacio.

Los puzzles son materiales manipulativos, lo que facilita que al jugar con ellos

manoseemos las piezas, las volteemos y vayamos apercibindonos de las distintas

vistas que aparecen al desplazarlas y girarlas. Si identificamos todas las pecepciones de

una figura tridimensional y las interiorizamos como componentes de esta figura,

estaremos generando una imagen mental ms completa de la misma. Todas estas

operaciones nos permitirn identificar estas figuras a partir de imgenes parciales de

ellas, o bien imaginar nuevas figuras cuando las identifiquemos en el medio. Todo esto

colabora a que al jugar con los puzzles espaciales desarrollemos visualizacin espacial,

ya que la visualizacin es un proceso que permite analizar, producir y transformar

informacin visual relativa a objetos reales, modelos y conceptos geomtricos, tal como

indica Angel Gutirrez (1998). Si bien nos limitaremos a trabajar las formas de las

piezas de los puzzles y de los poliedros que sugieren, el trabajo instructivo con el puzzle

permite ir ms all, proponiendo que los jugadores dibujen los desarrollos planos de las

piezas, o bien las vistas de las mismas (planta, alzado y perfil), que las construyan e

inventen nuevas piezas.

En este captulo vamos a realizar un anlisis de una serie de puzzles que asumen

como reto la construccin de pirmides. El juego libre que normalmente se emprende

con estos puzzles se ve muchas veces bloqueado por la dificultad de la tarea. Si

completamos este juego con un estudio geomtrico de las piezas, por medio de la

abstraccin y la modelizacin del problema, podremos afrontarlo con mayores

posibilidades de xito. Pero adems nos estaremos beneficiando de un aprendizaje

visual sobre las formas en el espacio, afrontando especialmente el problema de decidir

qu formas rellenan el espacio, cules encajan entre s, y cmo hay que colocarlas para

ello. La visualizacin de formas se ve acompaada de la creacin de nuevas rutinas de

teselacin del espacio que vayan ms all de la realizada por hexaedros de caras

ortogonales. Con todo ello estaremos generando una visin ms completa del espacio, a

la vez que nos estamos dotando de estrategias tiles en situaciones cotidianas (como

cuando tenemos que rellenar el portaequipajes del coche o el armario de los trastos).

En el captulo llevaremos a cabo un estudio geomtrico de las pirmides y los

puzzles siguiendo el esquema que aparece en la figura 3, es decir, comenzamos por

presentar los puzzles, posteriormente el modelo matemtico, y luego sugerimos una

secuencia de actividades para trabajar en el aula con uno de estos puzzles. Aunque el

estudio que emprendemos es eminentemente matemtico, no debemos olvidar que el

proceso de relacin con los materiales manipulativos tiene que ir desde la relacin

ldica al estudio matemtico. Siempre debe comenzar por el juego libre, para

posteriormente plantear tareas escalonadas con vistas a un reto global, que en estos

juegos consiste en formar la pirmide ms grande con todas las piezas. Los jugadores

interesados pueden intentar reproducir los puzzles, mediante la construccin de sus

piezas, lo que aade al trabajo posterior la familiarizacin con las piezas que surge de su

elaboracin a partir de sus desarrollos planos.

3. Juegos de Piezas iguales para rellenar o descomponer una pirmide

Son numerosos los juegos que existen para componer una pirmide a partir de

piezas. Vamos a comenzar por los ms clsicos, y luego nos centraremos en uno de

ellos que estuvo comercializado bajo el nombre de Pirmides de Keops.

El puzzle ms conocido para construir un tetraedro es el que resulta de buscar la

seccin cuadrada en un tetraedro, para lo cual hay que cortar por un plano intermedio a

las dos aristas que se cruzan y que tienen vectores de direccin perpendiculares. De esta

forma resultan dos piezas al cortar el tetraedro regular por el plano mediatriz del

segmento en el que se encuentra la mnima distancia entre las dos aristas que se cruzan.

(Figura 4). Una de las visiones de estas piezas es la de la figura 5. Tenemos as un

puzzle de dos piezas iguales que se patent en 1940, por Edgar T. Jonson,

comercializado internacionalmente por The Puzzle & Craft Factory. Para referirnos a

ellas vamos a llamar a estas piezas PICOS, pues su forma recuerda la cabeza de un pico.

A partir de este puzzle aparecen otros, por simple divisin de estas piezas en

partes iguales. Dado que los picos son simtricos respecto a un plano, basta con

cortarlos por l y obtener el puzzle de 4 piezas B de la figura 6. Pero tambin se

obtienen piezas iguales si se corta el pico por medio de un plano que pase por el punto

medio de la arista ms larga y corte a la cara cuadrada siguiendo una diagonal. As

aparece el puzzle de cuatro piezas C de la figura 7.

MODELO

Juego libre

1

2

2

Piezas

Relleno tetraedro .

RESOLUCIN

Relacionar con otros puzzles

Cond. solucin

. Rellena la pirmide/ espacio

Replicacin

Invencin

V I S U L I Z A C I N E S P A C I A L

1. Problema Equiparticin espacio

a. Rellena espacio? b. Qu puzzles rellenan?

Autoequiparticin semejante

- Se descompone

en

?

2. Puzzles para formar pirmides - Piezas iguales - Otros Particin tetraedro

- Puzzle A

- Particiones de A

- Otros puzzles

3. MODELO MATEMTICO

Descomposicin

tetraedros

y octoedros

4. Puzzle: PIRMIDE DE KEOPS

Piezas

Descomposicin segn modelo Descomposicin D Otros puzzles: Rellenan pirmides Facilitan visualizacin

5. Propuesta didctica con Pirmide de Keop

Figura 3: Esquema del captulo

Para resolver estos tres puzzles hay que formar con las caras de sus piezas los

tringulos de las caras del tetraedro. Para ello tenemos que eliminar las caras con las que

no podemos obtener tringulos equilteros, lo que conseguimos ponindolas en contacto

entre s, por lo que quedarn en el interior de los slidos.

En el puzzle A de dos piezas

tendremos que eliminar el cuadrado

hacindolo coincidir con el otro

cuadrado, con lo que obtenemos la

seccin cuadrada dentro del tetraedro,

tal como muestra la figura 4. Las cuatro piezas del puzzles B tienen por caras un

tringulo equiltero, un tringulo issceles, dos trapecios rectngulos y un rectngulo.

Tanto los trapecios como el tringulo equiltero pueden estar en las caras del tetraedro

total, pero las dems caras habr que eliminarlas ponindolas en contacto con las

mismas de las otras piezas. Sabiendo la forma de generar las piezas, su solucin resulta

obvia. Igualmente el puzzle C tiene piezas en forma de pirmide oblicua, de base un

rombo y caras dos tringulo equilteros y dos de tringulo rectngulo e issceles. Las

figuras que tengan ngulos de 60 (tringulo equiltero y rombo) formarn las caras del

Figura 5: Puzzle A de dos piezas

A

B

C

D

E

M

Figura 4: Descomposicin de un tetraedro plano

Tetraedro regular ABCD M Pto medio AD E Pto medio BC

La recta AD se cruza con BC y tienen vectores perpendiculares

tetraedro total, las dems caras habr que ponerlas en contacto con las mismas de otras

piezas para eliminarlas.

Esta estrategia de

poner juntas las caras que no

pueden formar las del

tetraedro total, nos permiten

encontrar la solucin del

puzzle de 4 piezas D, de la

figura 8, que resulta ms

complicado que los

anteriores, ya que no se ve

fcilmente la divisin que se

ha hecho del tetraedro para obtener estas piezas, pues la cantidad de cortes que hay que

dar para ello es mayor que en los

otros puzzles. Las piezas son

poliedros de 6 caras, cinco trapecios

issceles, (tres iguales en dimensin,

otro con la misma altura y base ms

grande y el ltimo obtenido por

unin del grande y uno pequeo) y

un cuadrado. Los trapecios pueden

ser parte de las caras del tetraedro, no

as el cuadrado que habr que

eliminar de la cara externa,

Figura 7: Puzzle de cuatro piezas C Figura 6: Puzzle de cuatro piezas B

Figura 8: Puzzle de 4 piezas D

Figura 9: Tetraedro descompuesto en 4 tetraedros y un octaedro

hacindolo coincidir con el de otras piezas.

3. Modelo matemtico: Descomposicin de tetraedros y de pirmides cuadradas

Jugar con los puzzles y tratar de relacionarlos entre s nos lleva a analizar sus

piezas. Para generalizar el estudio tenemos que buscar las condiciones que tienen que

tener las piezas para rellenar el tetraedro. Posteriormente podemos buscar figuras que

rellenen el espacio.

Para emprender este estudio comencemos por estudiar la descomposicin del

tetraedro, por truncamiento. El primer truncamiento se obtiene cortando las aristas por

su punto medio, lo que nos dara lugar a separar cuatro tetraedros (uno en cada vrtice),

y .. un octaedro regular (figura 9). Por tanto la descomposicin del tetraedro se asocia al

octaedro. Pero a su vez, si hacemos el truncamiento del octaedro por los puntos medios

de las aristas obtenemos 6 octaedros (uno en cada vrtice) y 8 tetraedros (uno en el

centro de cada cara).

La descomposicin de tetraedro y octaedros necesitan de estos dos poliedros,

tetraedros y octaedros regulares se complementan para formar tetraedros y octaedros.

En la figura 10 aparece una red de descomposicin del tetraedro en tetraedros y

octaedros. Esta red nos da un modelo de descomposicin del que podemos valernos

para relacionar los cuatro puzzles

anteriores.

En efecto, este modelo nos permite

identificar las piezas de los puzzles. Tal

como hemos visto en la figura 4, al

dividir el tetraedro para obtener las

piezas del puzzle A, hemos separado el

octaedro central por su mitad, generando

dos pirmides cuadradas a las que

aparecen adosados dos tetraedros. El pico

por tanto se compone de una pirmide

cuadrada y dos tetraedros. Las piezas de los puzzles de cuatro piezas B y C son medio

pico, y por la forma en que se han generado, vemos que se componen de un tetraedro y

media pirmide cuadrada; en B es una pirmide rectngular oblicua, y en el C una

pirmide triangular tambin oblicua. Las piezas del puzzle D no se aprecian tan

Figura 10: Red de tetraedros y octaedros

fcilmente por medio de la red modelo, por lo que requerimos nuevos juegos para llegar

a ello.

Introduzcamos un nuevo puzzle, el E (figura 11), de 4 piezas, iguales dos a dos,

con las que se construye una pirmide cuadrangular de caras laterales tringulos

equilteros. Este puzzle presenta nuevas piezas, que luego aparecern en el puzzle de La

Pirmide de Keops, que es el que

vamos a estudiar en profundidad.

Destaquemos en el puzzle E la nica

pieza formada por tetraedros y

pirmides completas, el TEJADO. Se

trata de un poliedro compuesto por una

base rectangular (doble cuadrado), con

caras laterales en forma de trapecio

issceles y tringulos equilteros. Las

otras dos piezas, ms extraas, estn formadas por dos rombos (uno de ellos un doble

tringulo equiltero), dos tringulos rectngulos (medio tringulo equiltero) y un

trapecio rectngulo. Si valindonos de la red de la figura 8, miramos la descomposicin

de una pirmide cuadrada en tetraedros y octaedros, veremos que el tejado se forma con

dos pirmides cuadradas unidas por un tetraedro, y que las otras dos piezas son medio

octaedro con un tetraedro.

4. La Pirmide de Keops

Una vez introducidos los puzzles ms conocidos, nos vamos a detener el que

rene piezas de los anteriores, y da un sentido ms completo al juego de rellenar

pirmides. Se trata de un puzzle compuesto por piezas de 4 tipos, por tanto distintas.

Algunas de estas piezas ya las hemos presentado, tales como el pico (4) y el tejado (4).

Otras tienen forma de pirmide cuadrada (3). Las ltimas son los que Ghyca (1977)

llama zueco irregular (4), que se forma por la unin de una pirmide cuadrada y un

tetraedro. En la figura 12 aparecen las piezas, junto con una justificacin de su nombre,

y el nmero de ellas que componen el puzzle Pirmide de Keops.

Figura 11: Puzzle E pirmide cuadrada

No conocemos la comercializacin del original, aunque actualmente se

comercializa por Bemal S.L. (luis_bc@telefonica.net), con el nombre Pirmide rellena

de Pirmides. Con estas 15 piezas hay que construir una pirmide cuadrada.

El primer problema que se presenta es saber si esta pirmide estar

completamente rellena o quedarn huecos en su interior, ya que otros puzzles

comercializados lo hacen. Esta duda la podemos resolver descomponiendo las piezas en

tetraedros y pirmides y comparando su nmero con el que surge de la descomposicin

de la pirmide cuadrada, es decir, empleando el modelo matemtico. Para ello vamos a

operar en el modelo en sentido inverso, construyendo tetraedros y pirmides empleando

tetraedros y pirmides unitarios, desde la ms elemental a la ms compleja. De esta

forma llegaremos a establecer las regularidades de su evolucin.

PIRMIDE CUADRADA

PICO

TEJADO

ZUECO

Figura 12: Piezas del Puzzle Pirmide de Keops

X 4

X 4

X 4

X 3

La construccin de nuevas

pirmides y tetraedros ms

grandes se hace por capas

que son troncos de

pirmide, triangular en el

tetraedro y cuadrangular en

la pirmide (figura 13). La

cantidad de pirmides (P) y tetraedros (T) en su interior crece con nmeros figurados

(triangulares y cuadrados), pero presenta variaciones, ya que para rellanar las capas hay

que incluir figuras invertidas (en realidad, se trata de la pirmide invertida que

completara el octaedro, para la construccin de pirmides cuadradas), lo que obliga a

establecer sumas de progresiones.

En la tabla 1 aparecen el nmero de tetraedros y pirmides que se necesitan para

rellenar tetraedros y pirmides cuadradas, segn el tamao de la figura, es decir, segn

el nmero de tetraedros que caben en cada una de sus aristas.

Tabla 1: nmero de tetraedros y pirmides necesarios para construir tetraedros y pirmides ms grandes

Lado Tetraedro Pirmide Tetraedros Pirmides Tetraedros Pirmides 1 1 0 0 1 2 4 2 4 6 3 11 8 16 18 4 24 12 40 43 5 45 40 80 84 n an-1+2n(n-1) i2 + (i-1)2

Al sumar los tetraedros y

pirmides que tenemos en

las 15 piezas del juego,

obtenemos 16 T y 18 P, por

lo que la tabla nos dice que

podemos rellenar una

pirmide de 3 de lado. Este

resultado nos da una

condicin necesaria para

Figura 14: Descomposicin de pieza D

Figura 13: Descomposicin de pirmides y tetraedros

rellenar la pirmide de lado 3, pero no es suficiente, pues podra ser que esta disposicin

de tetraedros y pirmides no lo permitiera. Queda por tanto el reto de saber cmo

colocar las piezas para ello.

Al utilizar este puzzle hemos

encontrado que con sus piezas

podemos construir tetraedros y

pirmides de otras dimensiones.

Por tanto se presta a nuevos retos

que son los que destacamos en las

sugerencias para el trabajo con

este puzzle en clase.

El que podamos construir tanto

pirmides de distinta dimensin,

como tetraedros, har que los

jugadores tengan que pasar de la

base cuadrada a la base

triangular, lo que no resulta tan fcil, como se comprueba al intentar aplicar el modelo a

la descomposicin de las piezas del puzzle D. Pues, bien, las piezas de la Pirmide de

Keops nos permiten construir estas piezas, y con ello determinar su descomposicin en

tetraedros y pirmides. Tal como se observa en la figura 13, las piezas de D se forman

utilizando dos picos [2x(2T+1P)], un tejado [1T+2P] y un zueco [1T+1P]. Por tanto, la

pieza del puzzle D est compuesta por 6 tetraedros y 5 pirmides cuadradas. Mirando

la solucin del puzzle D se observa que el tetraedro resultante tiene de lado 4T. La red

de la figura 8 nos permite aventurar la forma en que se ha dividido el tetraedro para

obtener estas piezas. (figura 15).

Como hemos visto en el puzzle de Keops aparece una nueva figura, el zueco

irregular. Este poliedro resulta de la unin de una pirmide cuadrada y un tetraedro, y es

uno de los poliedros arquimedianos que rellenan el espacio. En el estudio que Ghyca

(1977) realiza sobre el relleno (equiparticin) del espacio destaca la importancia de la

red de octaedros y cuboctaedros, del que el zueco es la clula unidad. El zueco, segn

Ghyca (1977) muestra la relacin entre la equiparticin irregular del plano en figuras

formadas por la unin de un cuadrado y un tringulo equiltero y una red espacial que

produce equiparticin del espacio.

Figura 15: Descomposicin del tetraedro en figura D y tetraedros

Guilln (1991) hace un recorrido por los poliedros regulares para estudiar el

recubrimiento del espacio, este

estudio le lleva a destacar slo

dos recubrimientos con

combinaciones de estos

poliedros, la de cubos y la de

tetraedros y octaedros

formando una red de

romboedros. El zueco, que no est formado por poliedros regulares, es medio

romboedro. Alsina y otros (1989) nos recuerdan que para recubrir el espacio hay que

colocar octaedros y tetraedros en proporcin de 1 a 2. En el romboedro aparece 1

Octaedro (2P) y 2 tetraedros (2T), por lo que se manifiesta esta proporcin.

En otros puzzles hemos encontrado una nueva pieza, el HACHA (figura 16), formada

por un pico adosado a una pirmide cuadrada, es decir, un octaedro y dos tetraedros. El

puzzle en cuestin (figura 17) se compone de 20 hachas. Es posible formar un

tetraedro con estas piezas?

De nuevo la tabla 1 nos ayuda a comprender que

esas figuras son insuficientes (40 tetraedros y 40

pirmides) para formar alguna de las figuras. Si

llegamos a formarlo ser por que en su interior

se han dejado desocupados 5 tetraedros. De hecho hemos encontrado otro puzzle,

comercializado por Constantin, llamado puzzle en madera de 5 piezas, y cada una est

formadas por dos hachas adosadas de distinta forma. Disponemos en total de 10 hachas,

es decir, 20 tetraedros y 20 pirmides, para construir un tetraedro de lado 4 (ya que

Figura 17: Puzzle de Hachas 1

Figura 18: Puzzle de Hachas 2

Figura 16: Hacha

viene con una base con este tamao. La tabla 1 nos dice que en su interior deben quedar

4 huecos en forma de tetraedro. Aunque sea un puzzle con trampa (no rellena), su

solucin no es trivial, pues sus piezas son distintas, y difciles de identificar e

interiorizar. Pero tambin es interesante su presentacin, ya que viene en una caja casi

cbica, en la que el tetraedro se sita como lo hara un tetraedro en un cubo, es decir,

tomando como aristas 6 diagonales de caras (figura 18).

Ghyca (1977) realza la importancia de la red cbica para completar el espacio, y nos

muestra que en ella se puede obtener una red de tetraedros, trazando diagonales en las

caras del cubo, lo que deja libres trozos del cubo que forman octaedros. El juego, en

este caso su presentacin, nos facilita

establecer relaciones entre las redes

de recubrimiento del espacio, con lo

que podemos ampliar el modelo

geomtrico de referencia.

Si jugamos con el hacha veremos que

tambin rellena el espacio, ya que

permite formar placas (prismas de base rmbica) que se extienden en la direccin plana,

sin dejar huecos, con lo que al poner placas superpuestas rellenaremos el espacio

completando una teselacin peridica (Alsina y otros, 1989), con lo que su estructura

nos recuerda las redes peridicas elaboradas con paraleppedos, lo que de nuevo nos

lleva a la red cbica. Como vemos, en el hacha se mantiene la proporcin establecida

por Alsina y otros (1989), 1 octaedro y 2 tetraedros. Y es que al colocar dos hachas

unidas por uno de los rombos obtenemos un prisma rmbico que resulta de la unin de

dos romboedros, como puede verse en la figura 19.

Al jugar con estos puzzles y observar cmo lo hacen nuestros alumnos de la

Licenciatura de Matemticas, nos hemos dado cuenta de que resulta mucho ms difcil

formar tetraedros (puzzles A, B, C y D) que formar pirmides cuadradas (puzzles E y

de Keops). Nos atrevemos a decir que la razn de esta diferencia de dificultad estriba en

que la base de la pirmide es cuadrada, lo que hace colocar rpidamente los cuadrados y

rectngulos apoyados en la mesa para formar las placas que sustentan la estructura de

manera regular, que adems tienen un eje de giro del familiar 90. No es el caso del

tetraedro, en el que si trazamos la altura perdemos de vista que cae en el punto en que se

Figura 19: Hacha + Hacha = 2 Romboedros

encuentran las tres medianas (segmentos ms parecidos a las diagonales del cuadrado),

sino que prevalece la visin asimtrica, que deja a un lado un vrtice y al otro una cara,

con ngulos distintos. Adems los ngulos que aparecen en la divisin del tetraedro por

el plano de simetra no son conocidos. Las experiencias previas estn muy asentadas

para la pirmide y las bases rectangulares, pero mucho menos para las triangulares, y

esto dificulta la anticipacin de la solucin.

Para familiarizarse con estas situaciones habra que jugar con puzzles de este

tipo, especialmente si permiten la composicin de pirmides y tetraedros de dimensin

variable, como ocurre con la Pirmide de Keops o puzzles de tetraedros y pirmides

cuadradas, que lamentablemente no estn comercializados. Hemos encontrado sin

embargo otros puzzles, como el comercializado con el nombre de Kubi que aparece en

la figura 20, de origen canadiense, o una nueva versin llamada Diamat maple,

construida por Naef, y comercializada a travs de la pgina

www.arabesk.n/english.html. Estos puzzles combinan octaedros con unos toros

cuadrados, obtenidos por unin de

tetraedros y octaedros. En total constan

de 15 piezas obtenidas al descomponer

octaedros como si fueran muecas

rusas. Para facilitar el juego, la versin

canadiense (Kubi) acompaa de una

base que recuerda un cargador de

camiones, es decir, una pirmide

cuadrangular invertida soportada por

cuatro patas. De esta forma los octaedros pueden colocarse con una base horizontal,

manteniendo el eje de simetra perpendicular al suelo. La versatilidad del puzzle es

media, pero da mucho ms juego de lo que podra esperarse ya que las piezas se pueden

colocar de ms formas de las que cabra esperar. El Kubi est bien terminado, con

piezas en plstico duro, lo que facilita el empleo por nios desde 3 aos. El de

www.arabesk est hecho en madera y su precio es alto.

En la misma pgina www.arabesk.n/english.html hemos encontrado otros

puzzles de madera, formados por piezas conocidas, inventados por David Hirsch. El

llamado obleron, est formado por 7 zuecos, 2 tejados y 1 tetraedro, formando una

especie de tejado largo, en una base rectangular. El toblero est formado por 3 zuecos y

Figura 20: Kubi

1 tejado, tambin formando un tejado largo, en una base rectangular. Las instrucciones

son vagas, pero la tabla 1 nos permite examinar que con los 10 tetraedros y 11

pirmides del obleron, slo puede abordarse el relleno de tetraedros de lado 2, y

pirmides de lado 2, que son las mismas que se pueden rellanar con los 4 tetraedros y

las 5 pirmides del toblero. Slo el juego con estos puzzles (que puede hacerse con 2

juegos de la Pirmide de Keops, para juntar piezas suficientes, y un tetraedro) nos

permitir estudiar su versatilidad y las figuras que permite, con los huecos

correspondientes.

5. Propuestas para realizar en clase

Hemos practicado y estudiado puzzles para construir pirmides, comenzando por

jugar con ellos y llegando hasta mostrar cmo el modelo matemtico de la divisin de

tetraedros y octaedros en tetraedros y pirmides cuadradas permite encontrar

regularidades, facilita la resolucin del puzzle y ayuda a familiarizarse con las piezas, y

con el modelo. Pues bien, este proceso nos permite hacer una propuesta para emplear

estos puzzles en educacin matemtica, de manera que colaboremos al aprendizaje

geomtrico de los alumnos. Hemos de advertir que no se trata de lograr que los alumnos

interioricen el modelo, salvo cuando ste sea un contenido de referencia del currculo.

Nuestra pretensin es que adquieran hbitos de visualizacin espacial, a partir de las

relaciones que establezcan con las figuras, buscando regularidades de las mismas,

trabajando con poliedros con ngulos diedros complejos, etc. En esencia, que amplen el

repertorio de figuras geomtricas que disponen en sus imgenes mentales, hacindose

capaces de representrselas y de razonar sobre ellas por medio de estas imgenes. Con

ello estarn ejercitndose en la visualizacin de figuras poco corrientes.

La utilizacin didctica de los puzzles puede partir de un reto matemtico. En el

caso del puzzle de LA PIRMIDE DE KEOPS, sugerimos que el reto matemtico que

se aborde sea estudiar cmo se puede rellenar el espacio con pirmides. La intencin

formativa es fomentar la visualizacin, por medio de la manipulacin y estudio de

formas con ngulos slidos diferentes de los del cubo. Para su desarrollo planteamos las

etapas que aparecen en el esquema de la figura 21, y que pasamos a detallar, indicando

las tareas a realizar y la justificacin de su inters educativo.

0) Presentacin de la tarea: Se indica el reto matemtico y su repercusin

prctica2. Se puede comenzar con una pregunta nada trivial: Rellenan el espacio los

tetraedros? O bien, como plantea Bolt (1987) Se puede construir un tetraedro ms

grande con tetraedros idnticos? (afrontando equiparticin semejante).

1) Juego libre con piezas. A partir del problema presentamos el medio que

vamos a emplear para realizar la investigacin, el puzzle de la PIRMIDE DE KEOPS,

relatamos la cuestin que subyace (el recubrimiento del espacio) y su inters prctico, y

formulamos el objetivo del puzzle: formar una pirmide cuadrada con todas las piezas

del puzzle. La continuacin tiene que ser la prctica del juego por los alumnos, de

manera que vayan desechando posiciones de piezas, se vayan haciendo una idea del

tamao de la pirmide que pueden construir, las caras que tienen que ocultar, etc.

2 Para ello se puede emplear la cuestin sobre los tetrabrick que aparece en la introduccin de este escrito. Con ello se relaciona este problema con cuestiones cotidianas, a la vez que se hace ver la importancia del empaquetado y se muestra que la Matemtica se ocupa de problemas prcticos.

Figura 21: Esquema de la propuesta para el aula

MODELO MATEMATICO

Juego libre

Relleno tetraedro . Tetraedros . Octaedros

RESOLUCIN PUZZLE

Relacionar con otros puzzles

Establecer condiciones solucin

. Rellena la pirmide

. Rellena el espacio

Replicacin . Desarrollo de poliedros

Creacin e Invencin de nuevos puzzles

V I S U L I Z A C I N E S P A C I A L

Estudio piezas Formar patrones

. Poliedros regulares . Pirmide

Analizar, Identificar Dibujar Obtener semejantes

2) Anlisis de las piezas del puzzle. Esta fase trata de que los jugadores se

familiaricen con las formas. Tras intentar (e incluso lograr algunos) resolver el reto

planteado (formar la pirmide), se va a abordar el estudio de las caractersticas de las

figuras. Se pretende que identifiquen las formas en varios contextos, para lo que se

trabajar la identificacin de diversas representaciones, espaciales o planas. Las tareas

consistirn en identificar y elaborar estas representaciones, bien en perspectiva o en sus

proyecciones. Las actividades 1 y 2 de las figuras 22 y 23 son ejemplos de las tareas que

pueden plantearse.

2.1: Identificar y construir representaciones de piezas: Partimos de la

identificacin de piezas en su conjunto (actividad 1), para posteriormente mirar sus

proyecciones (actividad 2), tratando de que no se establezcan posiciones nicas de

apoyar las piezas en la mesa, sino que se presten a utilizar posiciones que no respetan la

tendencia natural de apoyar sobre los cuadrados y rectngulos. Slo de esta forma

podrn llegar a formar tetraedros con las piezas. El dominio de estas tareas permitir la

creacin de esquemas corporeizados ms ricos, (empleando el lenguaje de Johnson,

1987), en el que se supera la dependencia de la base y la horizontalidad, para generar

imgenes dinmicas de las figuras en el espacio.

2.2: Analizar piezas en sus partes: Otra de las formas de estudiar las figuras es

analizar los polgonos que forman a cada una. Para ello se puede comenzar por

distinguir las caras (rectangulares y triangulares), percibir cmo se pueden formar unas

y otras a partir de tringulos y de cuadrados, determinar sus dimensiones, contar el

nmero de tringulos equilteros y de cuadrados que forman cada una de ellas.

Posteriormente se pueden estudiar las relaciones que existen entre los planos de sus

caras o entre las aristas (si existen y qu planos son paralelos, qu aristas son paralelas,

cuales se cortan, cuales se cruzan, etc.).

2.3: Construccin de figuras semejantes a las piezas. La comparacin de las

piezas permite intuir el modelo matemtico subyacente. En primer lugar se puede

obtener que TEJADO = ZUECO + PIRMIDE, pero tambin se puede intuir qu pieza

le falta al zueco para formar el pico, o cul le falta a la pirmide para formar el zueco, o

a dos pirmides para formar el tejado. A continuacin se puede pasar a construir piezas

semejantes a las piezas. Esta tarea exige formular el concepto de semejanza en el

espacio, partiendo de la semejanza de polgonos y la proporcionalidad de segmentos. La

primera tendencia ser a realzar la identidad de ngulos diedros y la percepcin de

formas del mismo nombre. Hay que evitar el estancamiento de que se considere

semejante un zueco a la unin de dos zuecos, o un pico a la unin de pico y zueco

(figura 24).

Para comprobar la proporcionalidad de todas las dimensiones hay que establecer

una unidad de medida. Las piezas de este puzzle tienen la particularidad de tener todas

Figura 22: Actividad de identificacin de piezas a partir de dibujo en perspectiva

Pieza A Pieza B Pieza C Pieza D

1) Identifica qu pieza es cada una de las siguientes sin tocar las piezas del puzzle

2) Coloca las piezas del puzzle de manera que se vean como estn las del dibujo

Se han colocado las cuatro piezas del puzzle en una posicin y se han dibujado en perspectiva. Cada dibujo representa a una pieza distinta.

ACTIVIDAD 1: IDENTIFICACIN DE PIEZAS.

las aristas mltiplos enteros de la de la pirmide unidad, por lo que su trabajo es

simple3.

La bsqueda de la proporcionalidad lleva al estudio de la razn entre longitudes de

aristas, pero tambin entre reas de caras, para lo que habr que establecer unas

unidades de superficie. Las piezas tienen caras de forma triangular y cuadrada de igual

3 La medida mueve a coordinar la comparacin directa de distancias con la abstraccin sobre la forma, es decir, de la comprobacin emprica a la abstracta con las figuras que representan.

Figura 23: Actividad de identificacin de piezas por sus proyecciones

Pieza D Pieza C

Pieza B Pieza A

PLANTA

ALZADO

PERFIL

ACTIVIDAD 2: IDENTIFICACIN DE PIEZAS POR SUS PROYECCIONES

Los siguientes dibujos representan las proyecciones (PLANTA, ALZADO Y PERFIL) de las cuatro piezas del puzzle colocadas de cierta manera 1) Identificar cada pieza sin tocar las piezas del puzzle

2) Coloca las piezas del puzzle de manera que su planta, alzado y perfil sean los que aparecen en estas figuras 3) Coloca las piezas de otra forma y dibuja la planta, alzado y perfil de cada una de ellas

lado. Las reas de las dos figuras son incomensurables, lo que impide su clculo por

comparacin directa. Cabe obtener la de uno y otro de manera indirecta a partir del lado,

o bien trabajar con las dos superficie de manera independiente, como hemos propuesto

en otros puzzles, lo que facilita la introduccin de la irracionalidad (Flores, en prensa),

ya que las figuras semejantes presentarn caras tambin con estas dos formas, y en

todos los casos, han de conservarse las mismas proporciones.

Igualmente, la proporcin entre volmenes puede hacerse descomponiendo en

tetraedros y pirmides, empleando el modelo matemtico. Ello permitir ver que el

nmero de tetraedros y pirmides es el cubo de la razn de semejanza entre longitudes.

Si adems se obtiene la relacin entre el volumen del tetraedro y la pirmide se podr

comprobar la proporcin total. Si bien no es posible obtenerlo por descomposicin

directa (Gonzlez-Lpez y Flores, 2001), y tenemos que recurrir al clculo indirecto,

por medio de la medida de longitudes, con lo que llegamos a ver que el volumen del

tetraedro es la mitad del de la pirmide (figura 25).

PICO + ZUECO No es semejante a PICO

TEJADO + ZUECO No es semejante a TEJADO

Figura 24: Falsas semejanzas

Tambin se puede emprender la comparacin por superposicin, lo que permite

ir percibiendo qu ngulos diedros pueden complementarse para rellenar semiespacios,

lo que es una actividad necesaria para estudiar el relleno del espacio, que se abordar

ms adelante.

3) Formar poliedros regulares con las piezas. Esta tarea requiere recordar la

idea de poliedro regular, as como de cules existen, qu caractersticas tienen (formas

de caras, cantidad de ellas, etc.). La decisin sobre cules se pueden formar pasa por la

fase de juego libre y de razonamiento sobre las figuras obtenidas. Igualmente acude a la

generacin de polgonos por medio de las caras de las piezas. La decisin sobre la

imposibilidad de construir cubos comienza por la dificultad fsica de hacer que los

cuadrados que aparecen en la cara de las piezas generen diedros rectngulos. Esta tarea

obliga a fijarse en la amplitud del rectilneo de los diedros de las piezas. La

imposibilidad de obtener dodecaedros igualmente parte de la imposibilidad de construir

pentgonos con cuadrados y tringulos equilteros y se contina con la bsqueda de

justificaciones tericas al nivel que corresponda a los alumnos a los que se destine.

El octaedro debe surgir rpidamente de la unin de dos pirmides cuadradas

unitarias, lo que abre sobre la posibilidad de obtener otros de mayor dimensin. Para

contrastar la posibilidad con la habilidad para ello, se requiere hacer uso del modelo

matemtico, con lo que habra que estudiar la cantidad de tetraedros y octaedros

necesarios para rellenar un octaedro, y el estudio de los que aparecen en las piezas del

puzzle.

Pirmide cuadrada:

623lV =

Tetraedro:

1223lV =

Volumen Pirmide cuadrada = 2 x Volumen Tetraedro

Figura 25: Relacin entre volmenes Tetraedro y Pirmide

La obtencin de tetraedros parte con

la dificultad de formar una figura que es

menos familiar (jugar con el puzzle A). Una

vez resuelto por las tareas anteriores, o por

ensayo y error, se aborda el problema de

estudiar la posibilidad de obtener otros de

diferente tamao, con el mismo

planteamiento que el octaedro.

4) Buscar nuevas formas de

completar la pirmide. La resolucin de las tareas anteriores ha debido llevar a obtener

diversas soluciones del puzzle, es decir, a haber construido la pirmide cuadrada con

todas las piezas. La identificacin de todas las soluciones pasa por marcar algunos

criterios de igualdad, como las piezas y su nmero que se emplean en cada capa, la

posibilidad de suplir combinaciones de unas piezas por otras, etc. El trmino de esta

fase podra llegar a establecer las condiciones que han de darse para encontrar la

solucin (qu piezas hay que colocar en cada capa, cules hay que dejar para el vrtice

superior, cuntas pirmides cuadradas deben quedar para la intermedia, etc.).

5) Introduccin y/o obtencin del modelo matemtico: descomposicin de los

tetraedros y octaedros en tetraedros y octaedros. Con objeto de sistematizar las

observaciones y resultados obtenidos anteriormente, en esta fase se plantea buscar un

modelo geomtrico que nos ayude a interpretar estas observaciones. Como primera tarea

se les pide que busquen la forma de sustituir las piezas por otras que las generen a todas

y que les sean ms sencillas para afrontar la construccin de la pirmide y el tetraedro.

Estudiando las leyes de equivalencia de piezas, tanto por adicin (presencia), como por

diferencia (ausencia) se pueden buscar los elementos bsicos que las generan a todas: la

pirmide cuadrada y el tetraedro. Es el momento de introducir, si se dispone, tetraedros

de igual lado, para observar la descomposicin del tetraedro de lado 2 en 4 tetraedros y

dos pirmides, y con estas piezas obtener todas las dems. Imgenes de cometas en

forma de tetraedro, como las de la figura 26, extrada de la pgina web de Alexander

Graham Bell (President of the National Geographic Society http://www.fang-den-

wind.de/bell_eng.htm), pueden ayudar a interpretar el modelo de descomposicin del

tetraedro.

Figura 26: Cometa en forma de tetraedro

Tambin se puede afrontar un anlisis cuantitativo del modelo, llegando a

construir la tabla 1 para las dos figuras, tetraedros y pirmides, determinando la

cantidad de pirmides cuadradas y tetraedros que necesitan las descomposiciones de

tetraedros y pirmides cuadradas de lados 1, 2, 3, , n veces el lado del tringulo

equiltero.

El proceso puede culminarse con la bsqueda de nuevas descomposiciones de

tetraedros y pirmides cuadradas, lo que puede llevar a jugar con los puzzles B, C, D y

E tratados anteriormente, analizar cmo se forman estas piezas, y qu posicin

adquieren en la retcula de tetraedros y pirmides. En el curso de esta fase se pueden

presentar nuevos puzzles, como los abordados en el artculo (de 20 piezas, figura 17, de

5 piezas, figura 18, el obleron y el toblero, etc.), para analizar qu pirmides y tetraedros

se pueden formar, qu cantidad de huecos dejaran en su interior las que tuvieran una

dimensin mayor, etc., todo acompaado de un juego sistemtico de construccin,

adems de estudio de posibilidades. Por ltimo, con ayuda de materiales para formar

poliedros, como el Polydrom, o la plastilina, se puede pedir que inventen nuevas piezas

para formar tetraedros y pirmides.

6) Buscar piezas que rellenan el espacio y justificar esta cualidad

Tras la presentacin de la red de tetraedros y octaedros podemos afrontar

algunas cuestiones sobre las condiciones de relleno del espacio. Rellenan el espacio los

tetraedros? Y los octaedros? Qu poliedros de los estudiados rellenan el espacio por si

solos?

Para dejar sentado el concepto de relleno del espacio

podemos comenzar por demandar piezas que recubren

completamente el espacio. De ah debe surgir el cubo, que

puede general la red cbica, como modelo de referencia

(formada por capas de caras paralelas). Con la idea de capas

para completar, se les puede pedir que construyan una placa

de altura la de la pirmide unidad (estructura 1), y que est

rellena. Construir despus la que tiene de altura la del

octaedro respecto a una base triangular, y que tambin est rellena (estructura 2, placas

de la construccin del tetraedro). Percibir la rigidez de estas estructuras y su empleo en

Figura 27: Estructura de tetraedros y pirmides en un edificio

construcciones. Es la ocasin de hablar de las placas de tetraedros y pirmides

cuadradas que existen en las construcciones, tal como se muestra en la figura 27,

obtenida en el techo de la Facultad de Educacin de la Universidad de Granada.

El anlisis de la teselacin a partir de pirmides y tetraedros y las relaciones

cuantitativas obtenidas anteriormente permite establecer cuntas pirmides debe existir

por cada tetraedro. Esta relacin cuantitativa, junto con la construccin manipulativa de

placas a partir de zuecos debe llevar a ver que el zueco rellena el espacio. Hacer lo

mismo con la estructura 2 y percibir que el romboedro o slido de Klein, rellena el

espacio, con lo que el zueco, al ser su mitad, tambin rellenar.

Estos resultados pueden animar a buscar otras piezas que rellenan el espacio,

basndose en la regularidad de los tetraedros y pirmides, hasta llegar al menos al hacha

(pico + pirmide), tres zuecos (o, lo que es lo mismo, pico + tejado), etc.

6. Conclusiones

La revista Aritmetic Teacher dedic el nmero 6 del volumen 37, en 1990, al

Sentido Espacial. El trmino haba sido difundido por el NCTM en los estndares de

1989. Con l se quera destacar la importancia de las habilidades espaciales, a la vez que

mostrar su complejidad, no reducindolas a las clsicas destrezas relacionadas con el

estudio de la geometra. Los estndares del 2000 (NCTM, 2003) han relegado el

trmino, apelando a la visualizacin espacial, caracterizada como la capacidad para

construir y manipular mentalmente representaciones de objetos de dos y tres

dimensiones y percibir un objeto desde perspectivas diferentes. John Del Grande

(1990), en un artculo de fondo del nmero Arithmetic Teacher, reconoce la diversidad

de trminos que se utilizan para designar esta habilidad, y ya introduce el de

visualizacin. Pero la aportacin ms importante que realiza Del Grande es la

presentacin sistemtica de componentes de la visualizacin, indicando su sentido y

presentando actividades para desarrollarla en clase. Recogemos esta clasificacin para

revisar la influencia que la propuesta didctica que presentamos tiene en el desarrollo de

habilidades de visualizacin.

La primera habilidad que seala Del Grandes (1990) para caracterizar la

visualizacin es la coordinacin visual motora, definida como la habilidad para

coordinar la visin con los movimientos del cuerpo (op. Cit., p. 14). El manejo de

puzzles desarrolla esta coordinacin, tanto por que obliga a la realizacin prctica de

movimientos como por la funcionalidad que le da para resolver retos, y por el refuerzo

que suministra si se logra resolver. La segunda habilidad de visualizacin es la

percepcin de la figura en contexto, que, en nuestra propuesta didctica se desarrolla

cuando se maneja el modelo matemtico de descomposicin, pues requiere la

identificacin de las piezas bsicas (tetraedros, octaedros y pirmides), por su presencia

en la red, o por la forma del hueco que deja la retcula. El tercer componente de la

visualizacin es la constancia visual, que hemos tratado de favorecer mediante las

actividades que promueven la identificacin de piezas dadas sus distintas

representaciones. Al proponer tareas de construccin de tetraedros y pirmides de

manera paralela, estaremos favoreciendo la percepcin de la posicin en el espacio,

tratando de evitar un anclaje de las piezas en una sola posicin en el espacio, lo que

supone la cuarta componente de visualizacin. La quinta componente es la

discriminacin visual, y la sexta la memoria visual. Las actividades encaminadas a

estudiar las piezas y descomponerlas segn el modelo matemtico van a favorecer la

discriminacin, al obligar a identificar diferencias y similitudes entre los objetos (op.

cit. P. 18). La identificacin de los slidos opacos que son las piezas exige conservar la

percepcin, discriminando visualmente sus aspectos.

En resumen, el trabajo conjunto de los problemas ligados al puzzle y al modelo

geomtrico de rellenado resulta acorde con las recomendaciones que se derivan de los

artculos de la revista citada (Arithmetic Teacher 1990), en los que se aboga por el

tratamiento conjunto de la geometra con el sentido espacial.

Como se puede apreciar, la riqueza de actuaciones que se pueden emprender con

este puzzle justifica su inters para tenerlo en casa y en el aula, y dedicarle algn tiempo

a su trabajo. Utilizando las tareas que hemos propuesto podemos generar hbitos de

visualizacin como los realzados por el NCTM (2003), ya que tambin hemos

completado la percepcin directa con la representacin plana, por medio de sus

proyecciones, tanto en perspectiva como mediante proyecciones paralelas. Si bien no se

trata en la propuesta de desarrollar la proyeccin, la ventaja de trabajar con slidos

permite a los alumnos cambiar su posicin, disponerlos de manera que se vean tal como

se aprecia en el dibujo, o bien los proyecten prcticamente utilizando luces o un mira,

con lo que se contrasta el dibujo y el slido.

En la primera parte de este trabajo hemos tratado de mostrar cmo se puede

pasar del juego libre a la bsqueda de relaciones geomtricas que dan lugar a un

modelo. Con ello se presenta la Geometra con su sentido ms funcional, ya que se da

sentido a la matematizacin, tal como la entienden Hershkowitz & Parzysz (1996). La

propuesta didctica ha servido para dar sistematicidad al tratamiento escolar de los

puzzles, apoyando la idea de que el juego en el aula tiene que obedecer a unas

intenciones educativas, que en nuestro caso se dirigen al desarrollo de la visualizacin.

Hemos promovido un trayecto que lleve a los alumnos a la matemtizacin

desde el entorno visual con el que interacta. La propuesta que hacemos parte de

problemas interesantes para el entorno, promueve la actuacin con objetos y recurre a la

Matemtica para buscar un modelo potente con el que dominar el universo que se

presenta. Creemos que en el mbito de la escuela se puede cerrar con mayores

posibilidades de xito la creacin de hbitos de percepcin y estudio de figuras en el

espacio, si se coordina la actuacin ldica que aborda la resolucin de retos, con el

planteamiento de cuestiones que tienen inters para las Matemticas, a la vez que

plantean retos que afectan a otros mbitos. Y en este campo es muy recomendable

completar el juego libre a que se prestan los puzzles, con un estudio de relaciones con

otros puzzles y formas de representacin, estableciendo toda una red de relaciones que

es la que da sentido a los modelos matemticos.

Bibliografa

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Pginas web de puzzles y elementos relacionados con las pirmides

http://www.puzzle-factory.com/index.html

http://www.fang-den-wind.de/bell_eng.html