PLAN DIDÁCTICO 2010

MATEMÁTICAS

COLEGIO NACIONAL TÉCNICO “TARQUI”

PLAN DIDÁCTICO

MATEMÁTICAS

PROFESORA:

Lcda. Raquel Cedeño de Cadena

CURSO:

CUARTO COMÚN

AÑO LECTIVO:

2010-2011

MATEMÁTICAS

ÍndiceINTRODUCCIÓN……………………………………………………………………………….……………………………………3PLAN DIDÁCTICO ANUAL……………………………………………………………………..………………………………..4UNIDADES DE TRABAJO…………………………………………………………………………..…………………………….5

UNIDAD 1………………………………………………………………………………………..………………………..6PLAN DE UNIDAD 7ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 8DIAGNÓSTICO 9CRITERIOS O ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 22UNIDAD 2………………………………………………………………………………………………………………….23PLAN DE UNIDAD 24ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 25DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL 26CRITERIOS O ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 61UNIDAD 3………………………………………………………………………………………………………………….62PLAN DE UNIDAD 63UNIDAD DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 64MCM Y MCD DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 65CRITERIOS O ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 83UNIDAD 4………………………………………………………………………………………………………………….84PLAN DE UNIDAD 85UNIDAD DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 86FRACCIONES. SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 87CRITERIOS O ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 111UNIDAD 5………………………………………………………………………………………………………………….112PLAN DE UNIDAD 113UNIDAD DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 114ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA Y DOS INCÓGNITAS 115CRITERIOS O ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 128UNIDAD 6…………………………………………………………………………………………………………………..129PLAN DE UNIDAD 130UNIDAD DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 131TRIGONOMETRÍA: TRIÁNGULO RECTÁNGULO 132CRITERIOS O ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 142UNIDAD 7………………………………………………………………………………………………………………….143PLAN DE UNIDAD 144UNIDAD DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE 145LÓGICA MATEMÁTICA 146CRITERIOS O ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 153

ANEXOS…………………………………………………………………………………………………………………………………154BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………………………………………………..156

MATEMÁTICAS

Introducción

En el centro de la problemática de la enseñanza de la matemática están las cuestiones de ¿qué es la matemática?, o ¿en qué consiste hacer matemática? No se trata de determinar si es mejor entender las matemáticas como una teoría, como una actividad intelectual o creativa, como un conjunto de procedimientos o como un proceso de modelización. O, por lo menos, no debemos plantear la discusión en términos absolutos, porque sólo llegaríamos a la conclusión de que todos tienen una parte de razón: las matemáticas son una teoría y un lenguaje, una actividad de utilización rutinaria de conocimientos previos y, a la vez una actividad creativa que incluye siempre un proceso de modelización

El objetivo del presente plan didáctico es el de desarrollar con rigor y claridad los principios esenciales de las matemáticas. En cada capítulo se ha puesto un interés especial en explicar cada tema desde la base, para permitir que el estudiante se familiarice pronto con la definición de las matemáticas y los problemas que se plantean.

Saber matemática no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y de aplicarlos, es ‘ocuparse de problemas’ en un sentido amplio que incluye encontrar buenas preguntas tanto como encontrar soluciones. Una buena reproducción, por parte del alumno, de la actividad matemática exige que este intervenga en la actividad matemática, lo cual significa que formule enunciados y pruebe proposiciones, que construya modelos, lenguajes, conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la cultura matemática y que tome los que le son útiles para continuar su actividad.

A lo largo de todo el plan didáctico se incluyen numerosos ejemplos y preguntas de autoevaluación que hacen más asequible la comprensión, a la vez que ilustran las aplicaciones de los nuevos conceptos adquiridos. Así, al final de cada capítulo los ejercicios en clase facilitaran el repaso de los conceptos más importantes.

Por lo tanto, será necesario organizar para los alumnos situaciones matemáticas en las que los alumnos puedan desarrollar las tareas antes planteadas, para construir el conocimiento deseado, es decir, enfrentarse a situaciones donde el conocimiento al que se apunta sea la solución óptima.

Si se pretende que los alumnos hagan matemática en forma un tanto similar a la de los matemáticos, será necesario organizar para ellos situaciones problemáticas inherentes al conocimiento.

Parece existir un consenso generalizado sobre la importancia de la resolución de problemas tanto en la matemática como en su enseñanza. Sin embargo, esta actividad está lejos de poseer un único significado, y de que todos los que hablan de resolución de problemas consideren en ella una misma finalidad. Se habla de motivación a un aprendizaje posterior, aplicación de los aprendizajes realizados, contacto con la realidad.

MATEMÁTICAS

PLAN DIDÁCTICO ANUALAÑO LECTIVO 2010-2011

Primer Trimestre 01/04/2010 69 13.8

Segundo Trimestre 20/07/2010 73 14.6

Tercer Trimestre 09/11/2010 58 11.6

TOTAL: 200 días 40 semanas

CÁLCULO DEL TIEMPO REALSemanas (x) Períodos Subtotal (-) 10% TOTAL

40 5 200 10 180

BACHILLERATO TÉCNICO EN: AÑO COMÚN

CURSO: 4to. A y B ESPECIALIDAD: AÑO COMÚN

MÓDULO: UNIDADES ÁREA CIENTÍFICA

ASIGNATURA: M A T E M Á T I C A S

COMPETENCIA GENERAL COMPRENDER EL PROCESO DE DOS PASOS A TRAVÉS DEL CUAL SE DESARROLLA EL QUE HACER MATEMÁTICO: INDUCCIÓN Y DEDUCCIÓN

OBJETIVOVALORAR EL USO CORRECTO DEL IDIOMA ESCRITO Y HABLADO COMO MEDIO PARA RESOLVER UN PROBLEMA O EXPLICAR UN FENÓMENO MEDAINTE UN MODELO MATEMÁTICO

No. UNIDADES DE TRABAJO (DIDÁCTICAS) PERÍODOS

MATEMÁTICAS

1234567

DIAGNÓSTICODESCOMPOSICIÓN FACTORIALMCM Y MCD DE EXPRESIONES ALGEBRAICASFRACCIONES. SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓNECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA Y DOS INCÓGNITASTRIGONOMETRÍA: TRIÁNGULO RECTÁNGULOLÓGICA MATEMÁTICA

TOTAL PERÍODOS ANUALES

20504020201020

180

BIBLIOGRAFÍA

ALGEBRA DE SCHAUM

TRIGONOMETRÍA DE SCHAUM

MATEMÁTICA LÓGICA

PROFESORA (A) FIRMA PROFESOR (A) FIRMA

Lcda. Raquel Cedeño

Director (a) de área: Lcdo. Pedro Pablo Cedeño F)

Coordinador de Curso: Lcda. Raquel Cedeño F)

Fecha de Presentación: Recibido:

DIAGNÓSTICO Revisión de temas.

DESCOMPOSICÍON FACTORIAL Factor Común. Factor Común por Agrupación de Términos. Trinomio Cuadrado Perfecto. Diferencia de Cuadrados Perfectos. Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción. Trinomio de la forma x2+bx+c. Trinomio de la forma ax2+bx+c.

MATEMÁTICAS

Cubo Perfecto de Binomios. Suma o Diferencia de Cubos Perfectos. Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Máximo Común Divisor. Mínimo Común Múltiplo. MCM de Monomios y Polinomios. MCD de Monomios y Polinomios.

FRACCIONES ALGEBRAICAS: SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIONES Simplificación y Operaciones. Suma de Fracciones. Resta de Fracciones. Multiplicación de Fracciones. División de Fracciones.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA Y DOS INCÓGNITAS Ecuaciones de Primer Grado con una y dos incógnitas Métodos.

TRIGONOMETRÍA: TRIÁNGULO RECTÁNGULO Funciones Trigonométricas y resolución de Triángulos Rectángulos. Ley de Seno y Coseno.

LÓGICA MATEMÁTICA Proposiciones Valor de Verdad. Conectivos Lógicos. Propiedades.

MATEMÁTICAS

PLAN DE UNIDADAÑO LECTIVO 2010-2011 PARCIAL Primero X Segundo Tercero

BACHILLERATO TÉCNICO:

CURSO: CUARTO ESPECIALIZACIÓN: AÑO COMÚN

MATEMÁTICAS

MÓDULO: ÁREA CIENTÍFICA


UNIDAD DE TRABAJO No. 1/7 Tiempo Estimado: 20 Número de Actividades Propuestas: 1

NOMBRE DE LA UNIDAD DE TRABAJO

DIAGNÓSTICO

OBJETIVO DE LA UT DIFERENCIAR Y RESOLVER LOS CASOS DE FACTORIZACIÓN Y OPERACIONES ALGEBRAICAS

CONTENIDOS

Procedimientos Hechos / Conceptos Actitudes, Valores, Normas

(Contenidos Organizadores) (Contenidos Soportes) (Contenidos Soportes) REVISIÓN DE TEMAS COMO:

- OPERACIONES ALGEBRAICAS

- DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES EN EXPRESIONES ALGEBRAICAS

- EJERCICIOS EN CLASES- EJERCICIOS EN PIZARRA- TAREAS VARIAS

OPERACIONES ALGEBRAICAS:- SUMA- RESTA- MULTIPLICACIÓN- DIVISIÓN

DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES:- BINOMIOS- TRINOMIOS- FACTOR COMÚN

- DESARROLLARAN COMPROMISOS CON LA ASIGNATURA.

- REAFIRMARAN CONOCIMIENTOS.- LLENARAN VACIOS EXISTENTES.- COMPRENDERAN LA GRAN

IMPORTANCIA DE LAS MATEMATICAS A TRAVÉS DEL TIEMPO.

CRITERIOS DE EVALUCIÓN

SE TOMARÁN DIFERENTES EVALUACIONES PARA MEDIR EL GRADO DE CONOCIMIENTOS

ANTERIORES



MATEMÁTICAS




MATEMÁTICAS

ACTIVIDAD DE ENSEÑANZA – APRENDIZAJE

AÑO LECTIVO 2010-2011 PARCIAL Primero X Segundo Tercero

BACHILLERATO TÉCNICO: CUARTO AÑO COMÚN

MÓDULO: ÁREA CIENTÍFICAASIGNATURA: M A T E M Á T I C A S

UNIDAD DE TRABAJO No. 1 Total Períodos de Unidad de Trabajo 20 Actividades Propuestas: 4

Ubicación: Barrio El Porvenir Tiempo Estimado: 20 Realización: Individual Actividad No.

Grupal

OBJETIVO DE LA ACTIVIDAD

DETERMINAR CON QUE GRADO DE CONOCIMIENTOS INICIAMOS Y REFORZAR TOTALMENTE LO APRENDIDO EN EL AÑO ANTERIOR

MEDIOS DIDÁCTICOS Y DOCUMENTOS DE APOYO

SE REFORZARÁ LA MATERIA CON TEXTOS, FOLLETOS ENTRE OTROS MATERIALES DIDÁCTICOS

SECUENCIA Y DESARROLLO DE LA ACTIVIDADPROFESOR (A): ALUMNOS (AS):

CUMPLIR CON EL DESARROLLO DE LAS COMPETENCIAS INTELECTUALES, OPERACIONES SIMPLES Y COMPLEJAS. LA ADQUISICIÓN COMPRESIVFA DE LOS CONOCIMIENTOS.

MODIFICAR LOS ACTUALES MÉTODOS DE IMPARTICIÓN DE CLASES PARA UN MEJOR RESULTADO DE APRENDIZAJE.

APRENDER A SER ORDENADO Y METODICO.

ANALIZAR EN GRUPO E INDIVIDUAL PARA ADOPTAR PUNTOS DE VISTA DIVERSOS SOBRE LOS TEMAS QUE NOS TOCARÁ ESTUDIAR

SEGUIMIENTO DE LA ACTIVIDAD POR PARTE

DEL PROFESOR

REVISAR MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS E IR DE LO SENCILLO A LO COMPLEJODESPERTANDO ASÍ EL INTERES DEL ESTUDIANTE

EVALUACIÓNSE TOMARÁN PRUEBAS ESCRITAS Y ORALES




MATEMÁTICAS

DIAGNÓSTICO

OBJETIVO DE LA UNIDAD

Diferenciar y resolver los casos de factorización y operaciones algebraicas.

CONTENIDOS

Procedimientos (Contenidos Organizadores)

Hechos / Conceptos (Contenidos Soportes)

Revisión de Temas

Operaciones Algebraicas

Descomposición de Factores

Actividades en Clases

Tareas Varias

MATEMÁTICAS

Operaciones algebraicas: Suma, Resta, Multiplicación y División.

Descomposición de factores: Binomios, Trinomios, Factor Común.

Actitudes, Valores, Normas (Contenidos Soportes)

Desarrollar compromisos con la asignatura.

Reafirmar conocimientos.

Llenar vacios existentes.

Comprender importancia de las matemáticas a través del tiempo.

Operaciones Con Fracciones AlgebraicasSuma y resta de fracciones algebraicas

MATEMÁTICAS

Con el mismo denominador

Con distinto denominador

En primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.

MATEMÁTICAS

Multiplicación de fracciones algebraicas

División de fracciones algebraicas

MATEMÁTICAS

Descomposición de Factores

Factor Común Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:

Factor Común por agrupación de términos Aquí utilizaremos el caso anterior, adicionando que uniremos los factores que se parescan, es decir, los que tengan un factor común. Ejemplo:

Trinomio cuadrado perfecto: Este nombre es otorgado a los trinomios que cumplen con las siguientes características:

MATEMÁTICAS

El primer y tercer término se tiene raíz cuadrada exacta y son positivos. El segundo término es igual a dos veces el producto de las raíces cuadradas y

puede ser positivo o negativo. y se factoriza como una suma o diferencia, dependiendo del segundo término, elevado al cuadrado, se factoriza así:

Diferencia de cuadrados: para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza así:

Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo:

resolviéndolo nos queda:

Aplicamos diferencia de cuadrados:

MATEMÁTICAS

Trinomio cuadrado de la forma Este trinomio debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).

El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta. La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del

término número uno. Existen dos números que :

es decir:

MATEMÁTICAS

Trinomio cuadrado de la forma Debe cumplir con las siguientes características:

Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).

El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.

La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.

Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma

de la siguiente forma:

luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:

y se opera, dando como resultado:

MATEMÁTICAS

Cubo perfecto de Binomios Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

y

es decir que debe cumplir con las siguientes caracterìsticas:

Debe tener cuatro términos. Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica

del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último .

Raíz cúbica de un monomio:esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Factorar un expresión que es el cubo de un binomio:

Suma o diferencia de potencias iguales: Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;

si n es par

si n es impar

MATEMÁTICAS

Suma o Diferencia de Cubos perfectos Para esto debemos recordar que:

y

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

Suma o Diferencia de dos potencias iguales Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulacion de:

es divisible por siendo n un número par o impar

es divisible por siendo n impar

es divisible por siendo n par

nunca es divisible por

Ejemplo:

se divide por

MATEMÁTICAS

y tenemos:

y obtenemos como respuesta:

ACTIVIDADES EN CLASES

1. 9x4 − 4x2 =

x2 · (9x2 − 4) =

x2 · (3x + 2) · (3x − 2)

2. x5 + 20x3 + 100x =

x · (x4 + 20x2 + 100) =

x · (x2 + 10)2

3. 3x5 − 18x3 + 27x =

3x · (x4 − 6x2 + 9) =

= 3x · (x2 − 3)2

4. 2x3 − 50x =

MATEMÁTICAS

=2x · (x2 − 25) =

2x · (x + 5) · (x - 5)

5. 2x5 − 32x =

= 2x · (x4 − 16 ) =

2x · (x2 + 4) · (x2 − 4) =

= 2x · (x2 + 4) ·(x +2) · (x − 2)

6. 2x2 + x − 28

2x2 + x − 28 = 0

2x2 + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)

MATEMÁTICAS

TAREAS

1.

2. xy − 2x − 3y + 6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3) · (y − 2)

3. 25x2 − 1=

= (5x +1) ·(5x − 1)

4. 36x6 − 49 =

= (6x3 + 7) · (6x3 − 7)

5. x2 − 2x + 1 =

= (x − 1)2

6. x2 − 6x + 9 =

= (x − 3)2

MATEMÁTICAS

7. x2 − 20x + 100 =

= (x − 10)2

8. x2 + 10x + 25 =

= (x + 5)2

9. x2 + 14x + 49 =

= (x + 7)2

10. x3 − 4x2 + 4x =

= x · (x2 − 4x +4) =

= x · (x − 2)2

MATEMÁTICAS

CRITERIOS O ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓNAÑO LECTIVO 2010-2011






CRITERIOS DE EVALUACIÓNAún No Competente Regular Bueno Muy Bueno

0 Puntos 1 a 2 Puntos 2,1 a 4 Puntos 4,1 a 5 PuntosSe han identificado problemas matemáticos y describir soluciones y ejemplos básicos.

No identifica problemas matemáticos

Identifica deficientemente los problemas matemáticos

Identifica los problemas matemáticos, plantea soluciones pero con errores

Identifica los problemas matemáticos, plantea soluciones correctas y aporta nuevos ejemplosSe ha relacionado y

realizado cálculosNOMINA DE ESTUDIANTES

Anchundia Raúl 0

Delgado José 1,4

Pérez Pedro 3

Santana Juan 4,5

TÉCNICAS Y SISTEMAS DE CALIFICACIÓN Actuaciones de ClasesTrabajos Individuales y GrupalesAportes y Lecciones Escritas

Participación del estudiante en el aula de clases. Calificación de 1 a 20.Pueden realizarse en clases o enviados en proyectos. Calificación de 1 a 20.Comprobar conocimientos de clases impartidas. Calificación de 1 a 20.

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MATEMÁTICAS

PLAN DE UNIDAD


BACHILLERATO TÉCNICO:

CURSO: CUARTO ESPECIALIZACIÓN: AÑO COMÚN





DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL

MATEMÁTICAS

OBJETIVO DE LA UTCONOCER LOS TEMAS ESTUDIADOS Y CON EL LOS CONOCIMIENTOS QUE POSEEN LOS ESTUDIANTES. ASÍ MISMO OBSERVAR LA HABILIDAD PARA DESARROLLAR EJERCICIOS Y LA PREDISPOSICIÓN AL TRABAJO.

CONTENIDOS

Procedimientos Hechos / Conceptos Actitudes, Valores, Normas

(Contenidos Organizadores) (Contenidos Soportes) (Contenidos Soportes)- FACTOR COMÚN- FACTOR COMÚN POR

AGRUPACIÓN- TRINOMIO CUADRADO

PERFECTO- DIFERENCIA DE CUADRADOS

PERFECTOS- TRINOMIO x2+bx+c- TRINOMIO ax2+bx+c- CUBO PERFECTO DE BINOMIOS- SUMA O DIF. DE CUBOS

PERFECTOS- SUMA O DIF. DE POTENCIAS

IMPARES E IGUALES

- INDAGACIÓN EN BASE A PREGUNTAS Y EJERCICIOS

- RECEPCIÓN DE LECCIONES CON EJERCICIOS ALGEBRAICOS YA EXPLICADOS CONOCIDOS EN BASE AL DIAGNÓSTICO

- ENTREGA DE EVALUACIONES

- REFUERZO SOBRE TEMAS YA EVALUADOS

- HONESTIDAD- ATENCIÓN- CONCENTRACIÓN- CUMPLIMIENTO- RESPETO.


PREGUNTAS INTERACTIVAS DE TEMAS ALGEBRAICOS

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS MATEMÁTICOS ALGEBRAICOS EN EL PIZARRÓN Y ESCRITOS.

LECCIONES, APORTES, EVALUCIONES ESCRITAS Y ORALES





MATEMÁTICAS


MATEMÁTICAS






Ubicación: Aula Tiempo Estimado: 50 Realización: Individual X Actividad No. 1

Grupal X


DESARROLLAR EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO PARA RESOLVER BINOMIOS, TRINOMIOS Y POLINOMIOS

MEDIOS DIDÁCTICOS Y DOCUMENTOS DE APOYO TEXTO, CALCULADORA, HOJAS, MARCADORES


- ESCRIBE EL TEMA EN EL PIZARRÓN- RESUELVE Y EXPLICA EL TEMA O EL EJERCICIO A

TRATAR- PREGUNTAS SOBRE INQUIETUDES A LOS

ESTUDIANTES- EXPONE EJEMPLOS VARIOS- VERIFICA LOS RESULTADOS OBTENIDOS- REVISA EJERCICIOS INTRACLASE

- ESCUCHAN ATENTAMENTE LA INFORMACIÓN- PREGUNTAN SOBRE LOS CONCEPTOS IMPARTIDOS- PRESENTAN POSIBLES SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

PLANTEADOS.- CONSTATAN LAS RESEPUESTAS Y ENTIENDEN EL PORQUE

DE LAS MISMAS.- ENTREGAN LOS EJERCICIOS EN EL MOMENTO ADECUADO

SEGUIMIENTO DE LA ACTIVIDAD POR PARTE DEL

PROFESOR

REVISAR MÉTODOS Y PROCEDIMIENTOS E IR DE LO SENCILLO A LO COMPLEJODESPERTANDO ASÍ EL INTERES DEL ESTUDIANTE

EVALUACIÓNSE TOMARÁN PRUEBAS ESCRITAS Y ORALES




MATEMÁTICAS



Conocer los temas estudiados y con él los conocimientos que poseen los estudiantes.

Observar la habilidad para desarrollar ejercicios y la predisposición al trabajo.

CONTENIDOS


Descomposición FactorialFactor ComúnFactor Común por Agrupación de TérminosTrinomio Cuadrado PerfectoDiferencia de Cuadrados PerfectosTrinomio x2+bx+cTrinomio ax2+bx+cCubo Perfecto de BinomiosSuma o Diferencia de Cubos PerfectosSuma o Diferencia de Potencias Impares e Iguales

MATEMÁTICAS


Indagación en base a preguntas y ejercicios.

Recepción de lecciones con ejercicios algebraicos ya explicados, conocidos en base al diagnostico.

Entrega de evaluaciones.

Refuerzo sobre los temas ya evaluados.


Honestidad.

Atención.

Concentración.

Cumplimiento.

Respeto.


MATEMÁTICAS

Factores.- Se les denomina factores o divisores de una expresión a las expresiones que se multiplican entre sí dando como producto la expresión numero uno. Ejemplo:

Factorar un Monomio Factorar un PolinomioSe pueden hallar por simple inspección.Así, los factores de 12ab son 6, 2 a y b.

12ab = 2.6ab

Para poder descomponer un polinomio en varios factores necesitamos utilizar diferentes formas de hacerlo, para dicho objetivo a continuación explicaremos cada uno de los casos con sus respectivos ejemplos para que nos vallamos familiarizando con esto.

FACTOR COMÚNEste es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

P r o c e d i m i e n t o1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo signo).

Factor Común Monomio Factor Común Polinomio1. Factorar 3a + a2 .

3a y a2 contienen el factor común a. Escribimos el factor común a como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir. Donde,

3a / a= 3. y,a2 / a = a.

Entonces,3a + a2 = a(3+a)

2. Descomponer 8xy+2x2.De los coeficientes 8 y 2 escogemos como factor común el 2. De las letras, el único factor común es x pues está en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor expresión x. Por lo tanto, el factor común es 2x, siendo el coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir. Así,

8xy / 2x= 4y. y,2x2 / 2x = x.

Por lo tanto,8xy +2 x2 = 2x(4y+x)

1. Descomponer m(x+y) + n(x+y) .Estos términos contienen el factor común (x+y). Escribimos el factor común (x+y) como coeficiente de un paréntesis y dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir. Donde,

m(x+y) / (x+y)= m. y,n(x+y) / (x+y) = n.

Y tendremos,m(x+y) + n(x+y)= (x+y)(m+n)

2. Descomponer (x-a)(y+2) + b(y+2).Factor común es (y+2). Dividiendo los dos términos de la expresión dada entre (y+2) tenemos:

(x-a)(y+2) / (y+2) = (x-a),b(y+2) / (y+2) = b.

Luego,

(x-a)(y+2) + b(y+2) = (y+2) (x-a+b)


MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

TAREAS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

MATEMÁTICAS

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOSP r o c e d i m i e n t o

1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis 2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis).

¿Cómo reconocerlo? ¿Cómo resolverlo? Ejemplos.Para que una expresión pertenezca a este caso es necesario:

La expresión debe tener cuatro o seis términos.

Si tiene cuatros términos, estos se agruparan de dos en dos.

Si tiene seis términos, estos se agruparan de tres en tres, o dos, dos y dos.

Entre los términos que se agrupan deberá existir un factor común.

1. Descomponer am – bm + an – bn.El primer y tercer término tienen el factor común a, y el segundo y cuarto término el factor común b. Agrupamos el primer y tercer término en un paréntesis, y el segundo y cuarto en otro precedido del signo – pues el segundo termino posee ese signo, y tendremos:

(am-an) – (bm-bn)

La agrupación puede hacerse de más de una forma pero siempre considerando que deba existir un factor común entre los términos agrupados, y una vez sacado el factor común de cada grupo, el resultado dentro de los

MATEMÁTICAS

paréntesis deben ser iguales. Entonces procedemos a sacar factor común de cada grupo:

(am-an) – (bm-bn)a(m-n) – b(m-n)

Y tendremos,(m-n)(a-b)

2. Factorar 3abx2 – 2y2 + 2x2 +3aby2.

Agrupamos y sacamos factor común de cada grupo:

(3abx2 +3aby2) - (2y2 + 2x2)3ab(x2 + y2) – 2(y2 + x2)

El orden de los factores es indiferente, dando como resultado:

(x2 + y2) (3ab2 – 2)


MATEMÁTICAS

TAREAS

1.

2.

3.

4.

5. 6ax+3a+1+2x

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO¿Cómo reconocerlo? ¿Cómo realizarlo? Ejemplos

MATEMÁTICAS

Para que una expresión pertenezca a este caso es necesario:

La expresión debe tener tres términos.

El primer y tercer término a más de ser positivos deben ser cuadrado perfecto.

El segundo término debe ser el doble de la raíz del primer término multiplicado por la raíz del tercer término.

Entre los términos que se agrupan deberá existir un factor común.

1. Descomponer am – bm + an – bn.El primer y tercer término tienen el factor común a, y el segundo y cuarto término el factor común b. Agrupamos el primer y tercer término en un paréntesis, y el segundo y cuarto en otro precedido del signo – pues el segundo termino posee ese signo, y tendremos:

(am-an) – (bm-bn)

La agrupación puede hacerse de más de una forma pero siempre considerando que deba existir un factor común entre los términos agrupados, y una vez sacado el factor común de cada grupo, el resultado dentro de los paréntesis deben ser iguales. Entonces procedemos a sacar factor común de cada grupo:

(am-an) – (bm-bn)a(m-n) – b(m-n)

Y tendremos,(m-n)(a-b)

2. Factorar 3abx2 – 2y2 + 2x2 +3aby2.

Agrupamos y sacamos factor común de cada grupo:

(3abx2 +3aby2) - (2y2 + 2x2)3ab(x2 + y2) – 2(y2 + x2)

El orden de los factores es indiferente, dando como resultado:

(x2 + y2) (3ab2 – 2)

Procedimiento

1. Se ordenan los términos.2. Se abre paréntesis.3. Se saca la raíz del primer término.4. Se coloca el signo del segundo

término.5. Se extrae la raíz del tercer término.6. Se cierra el paréntesis.7. Se lo eleva al cuadrado.


MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

TAREAS

1.

2.

3.

4.

5.

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOSP r o c e d i m i e n t o

1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo.2. Se abren dos paréntesis.3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las raíces halladas en el paso 1.

¿Cómo reconocerlo? ¿Cómo resolverlo? Ejemplos.Para que una expresión pertenezca a este caso es necesario:

La expresión debe tener dos términos. Deben estar separados por el signo

MATEMÁTICAS

menos. Ambos debe ser cuadrados perfectos.


MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

TAREAS

1. x2−16

2. 9−b2

3. 1−4 m2

4. 64−n2

5. m2−25

6. x2−49

7. m2−n2

MATEMÁTICAS

8. n2−1

9. x2−9

10. 81−4m2

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACIÓNP r o c e d i m i e n t o

1. Se ordena el trinomio2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo término del trinomio 5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo término del trinomio cuadrado perfecto6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso anterior, para que el valor de la expresión no se altere.

¿Cómo reconocerlo?Para que una expresión pertenezca a este caso es necesario:

Debe tener tres términos. El coeficiente del primer término es 1. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. El segundo término tiene las misma letra que el primero con exponente 1 y su

MATEMÁTICAS

coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo

términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

¿Cómo resolverlo? Ejemplos.


MATEMÁTICAS

TRINOMIO x2+bx=cP r o c e d i m i e n t o

MATEMÁTICAS

1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, es decir, la raíz cuadrada del primer término del trinomio.2. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio y el signo del tercer término del trinomio.3. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el primer término del primer binomio, y el menor, es el segundo término del segundo binomio.


Debe tener tres términos. El coeficiente del primer término es 1. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. El segundo término tiene las misma letra que el primero con exponente 1 y su





MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

TAREAS

1. n2+6 n−16

2. a2+7 a−60

3. a2+a−380

4. c2−4 c−320

5. m2−30 m−675

MATEMÁTICAS

TRINOMIO ax2+bx=c

MATEMÁTICAS

P r o c e d i m i e n t o

Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma

y se factoriza como en el ejercicio anterior:

1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a2. Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c)3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 811. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común12. Se simplifica

Nota1: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término.Nota2: siempre es posible eliminar el denominador.


Debe tener tres términos. El coeficiente del primer término es distinto de la unidad. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. El segundo término tiene las misma letra que el primero con exponente 1 y su




MATEMÁTICAS


MATEMÁTICAS

TAREAS

1. 12 m2−13 m−35

2. 15 a2−8a−12

3. 14 m2−31 m−10

4. 4 n2+n−33

5. 30 x2+13 x−10

MATEMÁTICAS

CUBO PERFECTO DE BINOMIOSP r o c e d i m i e n t o

El desarrollo del cubo de un binomio es:

En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho de las identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones anteriores); para lo cual debemos proceder de la siguiente manera:1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra.2. Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio.3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativo-positivo-negativo.4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado.5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado.6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis.7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como taL.


Posee cuatro términos El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas). El segundo término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado

por la raíz cúbica del último término. El tercer término sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado

por la raíz cúbica del primer término. Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo

el segundo y el cuarto. ¿Cómo resolverlo? Ejemplos.

MATEMÁTICAS


MATEMÁTICAS

TAREAS

1. X3−3 X2+3 X+1

2. 125 a3+150 a2b+60 ab2+8b3

3. 216−756 a2+882 a4−343 a6

4. 3 a12+1+3a6+a18

5. m3−3am2 n+3 a2 mn2−a3 n3

MATEMÁTICAS

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOSP r o c e d i m i e n t o

Cómo Factorizar:

Cuando es una suma (x3+ y3): Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del primero más (+) raíz cúbica del segundo, en el segundo paréntesis: el primero al cuadrado menos (-) el primero por el segundo más (+) el segundo al cuadrado.

Cuando es una resta (x3- y3): Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del primero menos (-) raíz cúbica del segundo, en el segundo paréntesis: el primero al cuadrado más (+) el primero por el segundo más (+) el segundo al cuadrado.


Siempre son dos términos sumados o retados que tienen raíz cúbica. ¿Cómo resolverlo? Ejemplos.

MATEMÁTICAS


MATEMÁTICAS

TAREAS

1. X3 y3−1

2.

3. m 3−1

4.

5.

6.

MATEMÁTICAS

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES E IGUALESP r o c e d i m i e n t o

Cómo Factorizar:

Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el segundo paréntesis poner un polinomio donde el primer término vaya decreciendo y el segundo término vaya creciendo. Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y si es una resta, el polinomio es de signos positivos.


Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar.

¿Cómo resolverlo? Ejemplos.Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulación de:

es divisible por siendo n un número par o impar

es divisible por siendo n impar

es divisible por siendo n par

nunca es divisible por

Ejemplo:

se divide por

y tenemos:

MATEMÁTICAS

y obtenemos como respuesta:


TAREAS

1. X5−1

2. 243+32 b5

3. x7− y7

4. 32−m5

5. x7−128

6. 1+x7

CRITERIOS O ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

MATEMÁTICAS

AÑO LECTIVO 2010-2011













Anchundia Raúl 0

Delgado José 1,4

Pérez Pedro 3

Santana Juan 4,5




MATEMÁTICAS



MATEMÁTICAS

PLAN DE UNIDADAÑO LECTIVO 2010-2011 PARCIAL Primero X Segundo Tercero

BACHILLERATO TÉCNICO:CURSO: CUARTO ESPECIALIZACIÓN: AÑO COMÚN




MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

OBJETIVO DE LA UT RECONOCER Y DESCOMPONER EXPRESIONES ALGEBRAICAS PARA ENCONTRAR EL MCD Y MCM

CONTENIDOSProcedimientos Hechos / Conceptos Actitudes, Valores, Normas

(Contenidos Organizadores) (Contenidos Soportes) (Contenidos Soportes)

- MÁXIMO COMÚN DIVISOR- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO- CONCEPTOS, REGLAS Y EJERCICIOS- MCM DE MONOMIOS Y

POLINOMIOS- MCD DE MONOMIOS Y

POLINOMIOS

- ANALÍSIS DE CONCEPTOS Y REGLAS

- RESOLUCIÓN Y EXPLICACIÓN DE EJERCICIOS

- EVALUACIÓN EN PIZARRA COMO ACTUACIÓN EN CLASE

- EJERCICIOS EN CUADERNOS- EVALUACIONES ESCRITAS

- APRENDERÁN A DESCOMPONER EN MONOMIOS Y POLINOMIOS

- DIFERENCIARAN, ESCOGERAN Y RESOLVERAN EJERCICIOS DE MCM Y MCD CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

CRITERIOS DE SE OBSERVÓ UN LIGERO MEJORAMIENTO EN LAS ACTITUDES PROCEDIMENTALES Y OPERACIONALES DE

MATEMÁTICAS

EVALUCIÓNLOS ESTUDIANTES RESPECTO A LOS CONTENIDOS MATEMÁTICOS LECCIONES, APORTES, EVALUCIONES ESCRITAS Y ORALES

PROFESORA (A) FIRMA PROFESOR (A) FIRMALcda. Raquel Cedeño





AÑO LECTIVO 2010-2011 PARCIAL Primero Segundo X Tercero





Grupal X


DESARROLLAR EL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO PARA SOLUCIONAR Y RESOLVER EJERCICIOS

MEDIOS DIDÁCTICOS Y DOCUMENTOS DE APOYO LIBROS, HOJAS, MARCADORES




ESTUDIANTES- EXPONE EJEMPLOS VARIOS



DE LAS MISMAS.

MATEMÁTICAS

- VERIFICA LOS RESULTADOS OBTENIDOS- REVISA EJERCICIOS INTRACLASE

- ENTREGAN LOS EJERCICIOS EN EL MOMENTO ADECUADO


PROFESOR

ASESORA LA REALIZACIÓN DE LOS EJERCICIOS INTRACLASE

EVALUACIÓNVERIFICA LA ENTREGA Y REALIZACIÓN DE LOS MISMOSY CON ELLOS REVISA LAS RESPUESTAS




MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO


Reconocer y descomponer expresiones algebraicas para encontrar el MCD y el MCM.

CONTENIDOS


MATEMÁTICAS


Análisis de conceptos y reglas

Resolución y explicación de ejercicios.

Evaluación en pizarra como actuación en clase.

Ejercicios en cuadernos.

Evaluaciones escritas.


Aprenderán a descomponer en factores monomios y polinomios.

Diferenciaran, escogerán y resolverán ejercicios de MCM Y MCM con expresiones algebraicas.

Máximo Común Divisor

Mínimo Común

Múltiplo

MCM de Monomios y Polinomios

MCD de Monomios y Polinomios

MATEMÁTICAS

Máximo Común Divisor (M.C.D.)El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.

Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)

Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20: 1, 2, 4, 5, 10 y 2010: 1, 2, 5 y 10

Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.

Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).

Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:

MATEMÁTICAS

1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.

40

2 60

220 2 30 210 2 15 35 5 5 51 1

2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.

M.C.D. 40 = 2x2x2x5 MCD = 2x2x5= 20

M.C.D. 60 = 2x2x3x5

Cálculo del MCDLos dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

1. La Descomposición en factores primos y se tomarán los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el m.c.d.

2. Si el número es muy grande este método no es operativo porque no conocemos los posibles factores. En ese caso tenemos que utilizar el más rápido algoritmo de Euclides.

El m.c.d. de tres números se puede calcular como sigue: mcd(a,b,c) = mcd(a, mcd(b,c)).

mcd(48, 60). Podemos comprobar que los divisores de 48 y 60 son:

48 = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48};

60 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

por lo que el máximo común divisor de ambos es 12. Véamoslo utilizando los dos métodos descritos anteriormente:

De las factorizaciones de 48 y 60, primero el 48:

MATEMÁTICAS

despues el 60:

El mcd son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

Si en cambio utilizamos el algoritmo de Euclides:

Calculamos el resto de dividir 60 por 48, 12 (En este caso es igual a restar 48 a 60).

Calculamos el resto de dividir 48 por 12: 0. Por tanto, el mcd de 48 y 60 es 12.

Como puede verse utilizando el algoritmo de Euclides hemos necesitado:

Una resta

Una división


Si queremos hallar el M.C.D. de 36, 60 y 72, descomponemos los tres en factores primos:

MATEMÁTICAS

36 = 22·32

60 = 22·3·572 = 23·32

Vemos que los únicos factores que se repiten en las tres descomposiciones son el 2 y el 3. Los cogemos con los menores exponentes al que están afectados, por lo que el M.C.D. será 22·3 = 12.

M.C.D.(36, 60, 72) = 12

Para hallar el M.C.D. de 18 y 25: 18 = 2·32

25 = 52

No hay ningún factor repetido, luego:M.C.D.(18, 25) = 1

Los números 18 y 25 son primos entre sí.

Otro ejemplo:

(6936,1200) = 23 · 3 = 24.

Un último ejemplo, mcd(7000000, 7000002).

Tras un sencillo cálculo obtenemos los factores de ambos números: 7000000 = 26 . 56 . 7 7000002 = 21 . 32 . 157 . 2477

TAREAS

1. a x2 , a2 x

2. a b2c , a2 bc

3. 8 am3 n , 20 x2 m2

4. 15 a2 b3 c ,24 ab2 x

5. 12 x2 y z3 , 18 x y2 z ,24 x3 y z2

MATEMÁTICAS

6. 28 a2 b3 c4 , 35 a3 b4 c5 ,42 a4 b5 c6

Mínimo Común Múltiplo (M.C.M)El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.

Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20: 20, 40, 60, 80...10: 10, 20, 30...

20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.

Múltiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5.....

MATEMÁTICAS

Ejemplo: múltiplos del 7: 7x0=0; 7x1=7; 7x2=14; 7x3=21; 7x4=28; 7x5=35 ....

O sea son múltiplos del 7:, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168...

Ejemplo: Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6.

Se hace la descomposición de factores (que ya la explicamos en el máximo común divisor). Lo hacemos de la siguiente forma:

4= 2x25= 56= 2x3

Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El mcm de 4,5 y 6 es 60.

Cálculo del MCMPartiendo de dos o más números y por Descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mcm será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:

para el 50:

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

MATEMÁTICAS

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

Además podemos utilizar otro método en caso que hubiéramos calculado el máximo común divisor, en el cual se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El m.c.m. de 4, 5 y 6 es 60.


Encuentra el mínimo común múltiplo de 3 y 5:

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 15, ..., y los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, ..., así:

Como puedes ver en esta línea de números, el primer múltiplo que coincide es el 15. Respuesta: 15

Y puedes calcular el mínimo común múltiplo de 3 (o más) números.

MATEMÁTICAS

Calcula el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8

Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, ....

Entonces 24 es el mínimo común múltiplo de (¡no podemos encontrar uno más pequeño!)

El M.C.M de 36, 60 y 72.

Los factores que se repiten son el 2 y el 3, y los que no se repiten, el 5. Los cogemos con los mayores exponentes, es decir, 23, 32 y 5. El M.C.M. es, por lo tanto:

M.C.M.(36, 60, 72) = 23·32·5 = 360

El M.C.M. de 18 y 25.Como no se repetía ningún factor, tenemos que cogerlos todos, afectados con el exponente que llevan, es decir, estamos cogiendo todos los factores, por lo que el M.C.M. es el producto de 18·25:

M.C.M.(18, 25) = 2·32·52 = 450

Pista: puedes hacer listas más pequeñas de los números más grandes.

TAREAS

1. a x2 , a2 x

2. a b2c , a2 bc

3. 8 am3 n , 20 x2 m2

MATEMÁTICAS

4. 15 a2 b3 c ,24 ab2 x

5. 12 x2 y z3 , 18 x y2 z ,24 x3 y z2

6. 28 a2 b3 c4 , 35 a3 b4 c5 ,42 a4 b5 c6

MÁXIMO COMÚN DIVISORM.C.D. de Monomios M.C.D. de Polinomios


1. Se halla el m.c.d. (mínimo común divisor) de los coeficientes:a. Se descomponen los números en sus factores primosb. Se multiplican los factores primos comunes y con el menor exponentec. Para representar el m.c.d., k, de los números a y b, se utiliza la simbología (a, b) = k2. A continuación del m.c.d. de los coeficientes se escriben las letras comunes y, con el menor exponente

Procedimiento

1. Se ordenan los polinomios con relación a una misma letra2. Si es posible, se factorizan los polinomios; los factores comunes a ambos polinomios harán parte del m.c.d.3. Se divide el polinomio de mayor grado entre el de menor grado4. Si la división es exacta, el divisor es el m.c.d.5. Si la división no es exacta, se divide el divisor por el primer residuo, éste por el segundo residuo y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta6. El último divisor es el m.c.d. buscadoNota1: todas las divisiones deben continuarse hasta que el primer término

MATEMÁTICAS

del residuo sea de grado inferior al primer término del divisorNota2: durante el proceso, se puede dividir o multiplicar el dividendo, o el divisor o el residuo por un factor cualquiera.

Nota3: la simbología para denotar el m.c.d., k, de los números a, b, ... es la siguiente:(a, b, ...) = k.


M.C.D. de Monomios

MATEMÁTICAS

M.C.D. de Polinomios

MATEMÁTICAS

TAREAS

1.

2.

3.

MATEMÁTICAS

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLOM.C.M. de Monomios M.C.M. de Polinomios

Procedimiento

1. Se halla el M.C.M de los coeficientes numéricos. Para lo cual, si es necesario, se descomponen en sus factores primos; y el M.C. M. será el producto de los factores comunes y no comunes y con el mayor exponente

Procedimiento

1. Se factorizan los polinomios2. Se halla el M.C.M de los coeficientes numéricos. Para lo cual, si es necesario, se descomponen en sus factores primos; y el M.C. M. será el producto de los factores comunes y no comunes y con el mayor

MATEMÁTICAS

2. Se Halla el M.C.M. de la parte literal; el cual es el producto indicado de las letras comunes y no comunes y con el mayor exponente3. El M.C.M. de las expresiones será entonces el producto indicado del mínimo común múltiplo de la parte numérica y el de la parte literalNota: la notación utilizada para expresar el M.C.M., z, de las expresiones a, b, ... es

exponente2. Se Halla el M.C.M. de los otros factores; el cual es el producto indicado de los factores comunes y no comunes y con el mayor exponente3. El M.C.M. de las expresiones será entonces el producto indicado del mínimo común múltiplo de la parte numérica y el de los otros factoresNota: la notación utilizada para expresar el M.C.M., z, de las expresiones a, b, ... es


MATEMÁTICAS

M.C.M. de Monomios

MATEMÁTICAS

M.C.M. de Polinomios

TAREAS

MATEMÁTICAS

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.


MATEMÁTICAS














Anchundia Raúl 0

Delgado José 1,4

Pérez Pedro 3

Santana Juan 4,5

TÉCNICAS Y SISTEMAS DE CALIFICACIÓN Actuaciones de ClasesTrabajos Individuales y GrupalesAportes y Lecciones EscritasExamen Escrito

Participación del estudiante en el aula de clases. Calificación de 1 a 20.Pueden realizarse en clases o enviados en proyectos. Calificación de 1 a 20.Comprobar conocimientos de clases impartidas. Calificación de 1 a 20.Tomados al final de cada trimestre de conocimientos parciales. Calificación de 1 a 20.

Todo calculado en un promedio general donde 20 será el puntaje mayor

MATEMÁTICAS




MATEMÁTICAS

PLAN DE UNIDAD






FRACCIONES ALGEBRAICAS: SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIONES SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN.

OBJETIVO DE LA UT REFORZAR Y DESARROLLAR EJERCICIOS PRÁCTICOS DE APLICACIÓN CON LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS


(Contenidos Organizadores) (Contenidos Soportes) (Contenidos Soportes)- SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIONES

CON FRACCCIONES ALGEBRAICAS- SUMA DE FRACCIONES- RESTA DE FRACCIONES- MULTIPLICACIÓNDE FRACCIONES- DIVSIÓN DE FRACCIONES- FRACCIONES COMPLEJAS

- CONCEPTOS Y REGLAS- EXPLICACIÓN Y

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS- EVALUACIÓN EN EL

PIZARRÓN COMO ACTUACIÓN DE CLASES

- EJERCICIOS EN EL CUADERNO

- EVALUACIONES ESCRITAS

- REFORZARAN LA DESCOMPOSICIÓN DE FACTORES

- APLICARAN LA DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL EN LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS


SE OBSERVARA EL DESARROLLO ACTITUDINAL Y LA APRENSIOÓN DE CONOCIMIENTOS FRENTE A LASOPERACIONES ALGEBRAICAS





MATEMÁTICAS





UNIDAD DE TRABAJO No. 4 Total Períodos de Unidad de Trabajo 20 Actividades Propuestas:

Ubicación: Aula Tiempo Estimado: 20 Realización: Individual X Actividad No.

Grupal X


DESARROLLAR EJERCICIOS PRÁCTICOS CON LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS





ESTUDIANTES- EXPONE EJEMPLOS VARIOS- VERIFICA LOS RESULTADOS OBTENIDOS- REVISA EJERCICIOS INTRACLASE- ORGANIZA GRUPOS PARA REFUERZO DEL

TEMA



DE LAS MISMAS.- ENTREGAN LOS EJERCICIOS EN EL MOMENTO ADECUADO- PARTICIPAR EN LOS GRUPOS


PROFESOR

ACLARAR DUDAS DEL TEMA TRATADOASESORAR Y REFORZAR A LOS ALUMNOS EN GRUOI O INDIVIDUAL

EVALUACIÓNRESOLUCIÓN DE EJERCICIOS EN CLASE Y EN CASA RENDICIÓN DE LECCIONES ESCRITAS




MATEMÁTICAS

FRACCIONES ALGEBRAICAS: SIMPLIFICACIÓN Y OPERACIONES


Reforzar y desarrollar ejercicios prácticos de aplicación con los conocimientos adquiridos.

CONTENIDOS


Simplificación y Operaciones

MATEMÁTICAS


Conceptos y reglas.

Explicación y resolución de ejercicios.

Evaluación en el pizarrón como actuación de clases.

Ejercicios en el cuaderno.



Reforzaran la descomposición de factores.

Aplicaran la descomposición factorial en las expresiones algebraicas.

Simplificación de Fracciones

MATEMÁTICAS

En la simplificación de fracciones, hay que tener en cuenta las reglas de divisibilidad.

Reglas de Divisibilidad.

a. Regla del 2 - si un número termina en 0,2,4,6,8 el número es divisible por 2. Ej. 42,58,12

b. Regla del 3 - si la suma de los dígitos es un múltiplo de 3.

Ej. 21 = 2 + 1 = 3 -----> 3 x 7 = 21 27 = 2 + 7 = 9 -----> 3 x 9 = 27 102 = 1 + 0 + 2 = 3 ------> 3 x 34 = 102 48 = 4 + 8 = 12 ------> 3 x 16 = 48

Son múltiplos de 3, así que el número es divisible por 3.

c. Regla del 5 - si un número termina en 0 ó 5 es divisible por 5. Ej. 45,100

En resumen algunas reglas de divisibilidad más usadas son

Un número puede ser dividido por otro o es divisible por otro sin residuo si

Número Reglas de Divisibilidad

2 si el último dígito es 0, 2, 4, 6, 8

3 si la suma de los dígitos es divisible por 3.

4 si los últimos dos dígitos forman un número divisible por 4.

5 si los último dígitos son 0 o 5.

6 si el número es par y la suma de los dígitos son divisibles por 3.

9 si la suma de los dígitos es divisible por 9.

10 si el último dígito es 0.

Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo número.

MATEMÁTICAS

Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente.

Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.

Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros comunes finales del numerador y denominador.

Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador del numerador y denominador llegamos a una fracción irreducible.

m.c.d.(8, 36) = 4

Ejemplo

Simplificar las fracciones:

http://www.vitutor.net/2/3/2.html#iredu

MATEMÁTICAS

ACTIVIDADES DE CLASES

MATEMÁTICAS

SUMA DE FRACCIONESP r o c e d i m i e n t o

Para sumar fracciones se procede de la siguiente manera:

1. Se simplifican las fracciones2. Se halla el mínimo común denominador (m.c.d.)3. Se divide el m.c.d. por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo4. Se expresa la suma de los productos obtenidos en el paso anterior en un sólo numerador5. El denominador de la fracción resultante es el m.c.d.6. Se reducen los términos semejantes en el numerador.7. Se simplifica.

Hay dos casos:

Fracciones que tienen el mismo denominador; Fracciones que tienen el distinto denominador

Primer caso: la suma de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:

4 2 6

---- + ---- = ---

5 5 5

Segundo caso: la suma de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso:

1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores

2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo

3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mimos denominador)

http://www.estudiantes.info/matematicas/minimo_comun_multiplo.htm

MATEMÁTICAS

Ejemplo:

3 4

---- ----

4 2

1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el m.c.m. (4, 2) = 4.

2º Calculamos los numeradores.

Numerador de la primera fracción: 3 x 4 : 4 = 3Numerador de la segunda fracción: 4 x 4 : 2 = 8

3º Tenemos pues una fracción que es:

3 8

---- ----

4 4

como los denominadores son idénticos podemos sumarla como en el caso 1.

4º Suma:

3 8 11

---- + ---- = ---

4 4 4



MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

RESTA DE FRACCIONES

MATEMÁTICAS


Para restar fracciones se procede de la siguiente manera:

1. Se simplifican las fracciones2. Se halla el mínimo común denominador (m.c.d.)3. Se divide el m.c.d. por cada denominador, y el cociente obtenido se multiplica por el numerador respectivo4. Se cambia de signo a los productos obtenidos en el paso anterior para la segunda y tercera fracciones y se suman al producto obtenido para la primera fracción 5. El m.c.d. es el denominador de la fracción resultante.6. Se reducen los términos semejantes en el numerador7. Se simplifica

Hay dos casos:

fracciones que tienen el mismo denominador; fracciones que tienen el distinto denominador

Primer caso: la resta de dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que restar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:

7 2 5

---- - ---- = ---

9 9 9

Segundo caso: la resta de dos o más fracciones con distinto denominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso:

1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores

2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo

3º Se procede como en el primer caso (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

Ejemplo:


MATEMÁTICAS

6 1

---- ----

4 2

1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el m.c.m. (4, 2) = 4.

2º Calculamos los numeradores.

Numerador de la primera fracción: 6 x 4 : 4 = 6Numerador de la segunda fracción: 1 x 4 : 2 = 2

3º Tenemos pues una fracción que es:

6 2

---- ----

4 4

como los denominadores son idénticos podemos restarla como en el caso 1.

4º Resta:

6 2 4

---- - ---- = ---

4 4 4



MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES P r o c e d i m i e n t o

1. Se factorizan las expresiones en los numeradores y denominadores2. Se simplifica, cancelando los factores comunes en numeradores y denominadores3. Se multiplican entre sí las expresiones ubicadas en los numeradores, el resultado será el numerador de la fracción producto; asimismo, se multiplican entre sí las expresiones escritas en los denominadores, este producto será el denominador de la fracción resultado. Consejo: Para realizar los ejercicios siguientes es indispensable dominar por completo la factorización, por lo cual recomiendo que se estudie primero, concienzudamente, los 10 casos de factorización.

Es muy sencillo. Para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican "en línea". Esto es, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.

Ejemplo:

3 7 3x7 21

---- x ---- = ------- = ---

2 4 2x4 8

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MATEMÁTICAS

DIVISIÓN DE FRACCIONESPara efectuar la división de fracciones se procede de la siguiente forma:

1. Se invierte el divisor (el numerador se coloca en el denominador y, viceversa, el denominador se ubica en el numerador) y, se procede a multiplicar el dividendo por este divisor invertido2. Las fracciones se multiplican siguiendo los pasos siguientes: a) Se factorizan las expresiones b) Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores y denominadores c) Se multiplican entre sí las expresiones que quedan en los numeradores; lo propio se hace con las expresiones que quedan en los denominadores; luego, para el resultado, se ubica en el numerador el producto de los numeradores y en el denominador el producto de los denominadores

Consejo: Para realizar los ejercicios siguientes es indispensable dominar por completo la factorización, por lo cual recomiendo que se estudie primero concienzudamente los 10 casos de factorización.

Es muy sencillo. Para dividir dos o más fracciones, se multiplican "en cruz". Esto es, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción (ya tenemos el numerador) y el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción (este es el denominador).

Ejemplo:

4 3 4x9 36

---- : ---- = ------- = ---

5 9 5x3 15

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MATEMÁTICAS

TAREAS

1. Simplificar las fracciones algebraicas

1

2

MATEMÁTICAS

3

4

5

MATEMÁTICAS

2. Suma las fracciones algebraicas

3. Resta las fracciones algebraicas

MATEMÁTICAS

4. Multiplica las fracciones algebraicas

1

2

MATEMÁTICAS

Opera

5. Efectúa las operaciones.

MATEMÁTICAS

6. Realiza las operaciones.

ACTIVIDADES DE CLASESOperaciones con fracciones algebraicas (RESUMEN GENERAL)

MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

Anchundia Raúl 0

Delgado José 1,4

Pérez Pedro 3

Santana Juan 4,5






MATEMÁTICAS

PLAN DE UNIDAD






ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA Y DOS INCÓGNITAS

OBJETIVO DE LA UT DESARROLLAR EJERCICIOS PRÁCTICOS DE APLICACIÓN CON LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS.


(Contenidos Organizadores) (Contenidos Soportes) (Contenidos Soportes)- Ecuaciones de Primer Grado con una

Incógnita- Ecuaciones de Primer Grado con dos

Incógnitas- Métodos

Conceptos y reglas.





Reforzaran el uso de ecuaciones.

Aplicaran los métodos de resolución en las ecuaciones.


SE OBSERVARA EL DESARROLLO DE CONOCIMIENTOS FRENTE A LAS ECUACIONES CON INCÓGNITASY SU FACILIDAD PARA FORMULARLAS





MATEMÁTICAS







Grupal X


DESARROLLAR EJERCICIOS PRÁCTICOS CON LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS






TEMA





PROFESOR

ACLARAR DUDAS DEL TEMA TRATADOASESORAR Y REFORZAR A LOS ALUMNOS EN GRUPO O INDIVIDUAL





MATEMÁTICAS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA Y DOS INCÓGNITAS


Desarrollar ejercicios prácticos de aplicación con los conocimientos adquiridos.

CONTENIDOS



Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Ecuaciones de Primer Grado con dos Incógnitas

Métodos

MATEMÁTICAS

Conceptos y reglas.






Reforzaran el uso de ecuaciones.

Aplicaran los métodos de resolución en las ecuaciones.

Ecuaciones

MATEMÁTICAS

Igualdad

Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.

2x + 3 = 5x − 2

Una igualdad puede ser:

Falsa:

2x + 1 = 2 · (x + 1) 2x + 1 = 2x + 2 1≠2.

Cierta

2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

Identidad

Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.

2x + 2 = 2 · (x + 1) 2x + 2 = 2x + 2 2 = 2

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una dada igualdad. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.

En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones

MATEMÁTICAS

matemáticas, se denominará inecuación. Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente números sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.

Ecuación de primer grado

Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.

Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:

con a diferente de cero.

Su solución es la más sencilla:

Resolución de ecuaciones de primer grado

Dada la ecuación:

Métodos para resolver ecuaciones

1- Transposición:

Primero, se agrupan los monomios que poseen la variable x en uno de los miembros de la ecuación; normalmente, en el izquierdo. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos (o restamos) un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, se suele decir: si el número está sumando (Ej: +9), pasa al otro lado restando (-9); y si el número está restando (Ej: -6), pasa al otro lado sumando (+6)

La ecuación quedará así:

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y todos los números enteros han quedado en el segundo miembro (a la derecha).

MATEMÁTICAS

2- Simplificación:

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro:

Y simplificamos el segundo miembro:

La ecuación simplificada será:

3- Despejar:

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la variable quede en un término de la igualdad.

Si multiplicamos por un mismo monomio (o número) en los dos términos, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: si el número está multiplicando (Ej: ·2), pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) (el número pasará sin cambiar el signo).

Si dividimos entre un mismo monomio en los dos términos, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: si el número está dividiendo (expresado en forma fraccionaria) (Ej: n/5), pasa al otro lado multiplicando (·5) (el número pasará sin cambiar el signo).

Coloquialmente: en la ecuación, debemos pasar el número 95 al otro lado y, como está multiplicando, pasa dividiendo (sin cambiar de signo):

Se comprueba que el ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.

Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.

En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)

Por tanto, simplificando, la solución es:

Resolución de ecuaciones de primer grado: problema

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Pongamos el siguiente problema: número de canicas que tengo más tres es igual al doble de las canicas que tengo menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una expresión algebraica:

Se podría leer así: X número de canicas + 3 canicas es igual a 2 por el número x de canicas menos 2 canicas.

El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento:

Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia también de signo. Así obtenemos:

Que, simplificado, resulta:

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

El problema está resuelto.

Propiedades fundamentales de las ecuaciones

MATEMÁTICAS

Las siguientes propiedades conocidas como regla de la suma y del producto, respectivamente, se utilizan para resolver ecuaciones.

Si a los dos miembros de una ecuación de primer grado se les suma o resta el mismo número, o una expresión semejante a las que aparecen en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

Si en los dos miembros de una ecuación de primer grado se multiplica o divide por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

Ecuación de primer grado con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es aquella que se puede expresar de la forma:

http://ec.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?tipo=imagen&titulo=Regla%20de%20la%20suma%20y%20del%20producto&url=/kalipediamedia/matematicas/media/200709/26/algebra/20070926klpmatalg_49_Ges_LCO.png

MATEMÁTICAS

donde e son variables (incógnitas) y y constantes (números reales).

MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS

TAREAS

Resolver las ecuaciones de primer grado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

MATEMÁTICAS

14

15

TAREAS

Resolver las siguientes ecuaciones:

a) -5x = 12 - x

b) 2(x - 7) - 3(x + 2) + 4(x + 1) - 2 = 0 (¡Ojo con los signos delante de los paréntesis !)

c) 3x - 5 = x/2 (Observa que para eliminar el 2 basta multiplicar toda la ecuación por 2)

d) 3x + 4 - x = 7 + 2x

e) 2x - 1 = 3(x + 2) - x

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Anchundia Raúl 0

Delgado José 1,4

Pérez Pedro 3

Santana Juan 4,5



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PLAN DE UNIDADAÑO LECTIVO 2010-2011 PARCIAL Primero Segundo Tercero x





TRIGONOMETRÍA: TRIANGULO RECTÁNGULO

OBJETIVO DE LA UT RESOLVER LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y PRACTICARLOS PARA USOS POSTERIORES.


(Contenidos Organizadores) (Contenidos Soportes) (Contenidos Soportes)- Trigonometría- Triángulo rectángulo- Funciones Trigonométricas- Ley Seno y Coseno

Análisis de las funciones trigonométricas.

Conversión de leyes de seno y coseno.

Reforzaran las iniciativas técnicas.

Aplicaran la trigonometría en las actividades diarias.


SE TOMARÁN DIFERENTES EVALUACIONES PARA MEDIR EL GRADO DE CONOCIMIENTOS ANTERIORES.





MATEMÁTICAS


AÑO LECTIVO 2010-2011 PARCIAL Primero Segundo Tercero x




Ubicación: Aula Tiempo Estimado:10 Realización: Individual

X Actividad No.

1

Grupal X


RESOLVER LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y PRACTICARLOS PARA USOS POSTERIORES.



- ESCRIBE EL TEMA EN EL PIZARRÓN- RESUELVE Y EXPLICA EL TEMA O EL EJERCICIO

A TRATAR- PREGUNTAS SOBRE INQUIETUDES A LOS


TEMA




SEGUIMIENTO DE LA ACTIVIDAD POR PARTE

DEL PROFESOR




MATEMÁTICAS



TRIGONOMETRÍA: TRIANGULO RECTÁNGULO


Resolver las funciones trigonométricas y practicarlos para usos posteriores.

CONTENIDOS


TrigonometríaTriángulo rectángulo

Funciones Trigonométricas

Ley Seno y Coseno

MATEMÁTICAS


Análisis de las funciones trigonométricas.

Conversión de leyes de seno y coseno.


Reforzaran las iniciativas técnicas.

Aplicaran la trigonometría en las actividades diarias.

MATEMÁTICAS

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Una de las aplicaciones más inmediatas de la trigonometría es la resolución de triángulos. En este curso se abordan únicamente los triángulos rectángulos.

También veremos como resolver triángulos no rectángulos por descomposición en triángulos rectángulos.

Resolver un triángulo es conocer el valor de sus tres lados y sus tres ángulos.

El uso de las razones trigonométricas junto con el teorema de Pitágoras, nos permiten resolver cualquier triángulo rectángulo conociendo dos datos, uno de ellos ha de ser un lado.

1.- CONOCIDOS DOS LADOS.

El tercer lado se calcula aplicando el teorema de Pitágoras.

Uno de los ángulos agudos aplicando la razón trigonométrica que relacione los dos lados conocidos.

Para calcular el otro ángulo agudo basta considerar que la suma de los ángulos agudos es 90º.

El applet muestra el proceso conocidos los dos catetos.

¿Como se resuelve el triángulo si los lados conocidos son un cateto y la hipotenusa?

2.- CONOCIDOS UN LADO Y UN ÁNGULO

El proceso es similar al caso anterior.

Se calcula otro lado mediante la razón trigonométrica adecuada del ángulo conocido.

El tercer lado mediante el teorema de Pitágoras; o bien, mediante otra razón trigonométrica.

El otro ángulo es 90 - ángulo conocido.

MATEMÁTICAS

En la figura adjunta, el lado conocido es uno de los catetos. Mediante la tangente de uno de los ángulos se calcula el otro cateto.

En el paso 2, se utiliza el problema de Pitágoras. ¿Es posible resolver el problema sin utilizar este teorema? ¿cómo?

Si el dato del problema fuese la hipotenusa. ¿Que razón trigonométrica sería mas adecuada para determinar uno de los catetos?

3.- TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS.

Como ya se ha dicho, pueden resolverse triángulos no rectángulos aplicando correctamente las razones trigonométricas.

Los problemas más frecuentes son los que se presentan a continuación. Realmente son el mismo problema, basta con considerar x negativo o positivo. Habitualmente el problema es calcular la altura h.

La resolución numérica es similar, la solución de la situación de la derecha es :

Ejercicio.

Desde un punto del suelo se observa el pico de una montaña con ángulo de 30º. Si avanzamos 400 m en la dirección de la montaña, el pico se ve bajo ángulo de 60º.

¿Cual es la altura de la montaña?

Piensa cual de las dos situaciones responde a este enunciado. Puedes comprobar en uno de los applet la solución. Cuidado con las unidades.

MATEMÁTICAS

TAREAS

1. En un Triángulo Rectángulo un cateto mide 12 cm y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto mide 30o. ¿Cual es la longitud de su Hipotenusa? Redondea tu respuesta a un decimal.A) 6 cmB) 12 cmC) 10.4 cmD) No esta la respuesta

2. La base de un triángulo isósceles mide 80 cm y los lados iguales 100 cm. Calcula la medida de sus ángulos iguales. Redondea a un decimal tu respuesta.A) 53.1o

B) 23.6o

C) 66.4o

D) 36.9o

3. Si sabemos que en un triángulo rectángulo sus catetos miden 15 cm y 12 cm. Hallar la medida de los ángulos agudos. Redondea a un decimal tu respuesta.A) 53.1o y 36.9o

B) 51.3o y 38.7o

C) 58o y 32o

D) No esta la respuesta

4. Calcular el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 8 cm. Redondea a un decimal tu respuesta.A) 4.7 cmB) 9.4 cmC) 8 cmD) 12.9 cm

5. Calcula la altura de una torre, si situándonos a 5 m de su pie vemos la parte más alta bajo un ángulo de 75º. Redondea a un decimal tu respuesta.A) 18.7 m

MATEMÁTICAS

B) 1.3 mC) 5.2 mD) 19.3 m

Teorema o ley del seno, coseno y tangente

Teorema o ley del seno

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Ejercicios

De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.

MATEMÁTICAS

Hallar el radio del círculo circunscrito en un triángulo, donde A = 45°, B = 72° y a=20m.

Teorema o ley del coseno

MATEMÁTICAS

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplos

Las diagonales de un paralelogramo miden 10 cm y 12 cm, y el ángulo que forman es de 48° 15'. Calcular los lados.

El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m.

MATEMÁTICAS

ACTIVIDADES EN CLASE

Para resolver el triangulo primera vez tenemos que aplicar la ley del coseno y luego ya que sabemos un ángulo podemos aplicar la ley del seno.

❶

Aplicamos ley de coseno para el angulo Aº

a² = b² + c² - 2bc cos(Aº)

8² = 10² + 12² - 2*10*12 cos(Aº)

64 = 100 + 144 - 240 cos(Aº)

cos(Aº) = (100 + 144 - 64) / 240

cos(Aº) = 180 / 240

cos(Aº) = 3/4 = 0.75

MATEMÁTICAS

Aº = arccos(0.75)___________Aº = 41.42º |___________|

❷

Ahora sabiendo un angulo podemos aplicar la ley del deno para hallar el Bº y el Cº

Ley Seno : a/sen(A) = b / sen(B) = c /sen(C)

a / sen(Aº) = b / sen (Bº)

sen(Bº) = (b/a) sen(Aº)

sen(Bº) = (10/8) sen(41.4º)

sen(Bº) = 1.25 * 0.66

sen(Bº) = 0.826

Bº = arcsen(0.826)___________Bº = 55.83º |___________|

❸

a / sen(Aº) = c /sen(Cº)

sen(Cº) = (c/a) sen(Aº)

sen(Cº) =(12/8) sen(41.4º)

sen(Cº) =1.5 * 0.6613

sen(Cº)= 0.9919

Cº = arcsen(0.9919)___________

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Cº = 82.75º |___________|

________________________ ___________________ ______________COMPROBACION :

La suma de los 3 angulos internos en un triangulo es de 180º

Aº + Bº + Cº = ?????

=41.42º + 55.83º + 82.75º

= 180º ......-----> Comprobado














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PLAN DE UNIDADAÑO LECTIVO 2010-2011 PARCIAL Primero Segundo Tercero x





LÓGICA MATEMÁTICA

OBJETIVO DE LA UT

CONOCER LOS TEMAS ESTUDIADOS Y CON ÉL EL CONOCIMIENTO LÓGICO DESARROLLAR CAPACIDADES.

OBSERVAR LA FORMA DE LOS EJERCICIOS.


(Contenidos Organizadores) (Contenidos Soportes) (Contenidos Soportes)- Conceptos.- Proposiciones - Valor de Verdad. - Conectivos Lógicos. - Propiedades.

Resolver Proposiciones

Realizar las tablas con su Valor de Verdad.

Hacer Conectivos Lógicos.

Poner en práctica las propiedades de la lógica matemática.

Inteligencia.

Desarrollo del Pensamiento.

Concentración.

Cumplimiento.

Lógica.


SE TOMARÁN DIFERENTES EVALUACIONES PARA MEDIR EL GRADO DE CONOCIMIENTOSY SU DESARROLLO INTELECTUAL





MATEMÁTICAS


AÑO LECTIVO 2010-2011 PARCIAL Primero Segundo Tercero x





Grupal X


CONOCER LOS TEMAS ESTUDIADOS Y CON ÉL EL CONOCIMIENTO LÓGICO DESARROLLAR CAPACIDADES.






TEMA





PROFESOR






MATEMÁTICAS

LÓGICA MATEMÁTICA


Conocer los temas estudiados y con él el conocimiento lógico desarrollar capacidades.

Observar la forma de los ejercicios.

CONTENIDOS


Conceptos.Proposiciones

Valor de Verdad.Conectivos Lógicos.

Propiedades.

MATEMÁTICAS


Resolver Proposiciones

Realizar las tablas con su Valor de Verdad.

Hacer Conectivos Lógicos.

Poner en práctica las propiedades de la lógica matemática.


Inteligencia.

Desarrollo del Pensamiento.

Concentración.

Cumplimiento.

Lógica.

Lógica Matemática

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Introducción.

Aprender matemáticas, física y química “es muy difícil”; así se expresan la mayoría de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teoría es la siguiente: “Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, formulas) con los problemas que se le presentan en la vida real”. Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la “lógica matemática”, él sea capaz de encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción y contingente, y proporcionamos una lista de las tautologías más importantes, así mismo

MATEMÁTICAS

explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos los métodos de demostración: directo y por contradicción, en donde incluye reglas de inferencia.

En este trabajo se trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean familiares. Nuestro objetivo es que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el método directo y el método por contradicción. Ya que la mayoría de los libros comerciales únicamente se quedan en explicación y demostración de reglas de inferencia. Consideramos que sí el alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias exacta y será capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona establece para resolver n problema determinado.

Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite que el estudiante tenga confianza en la aplicación de reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner en practica esto, el sea capaz de inventar su propia solución, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado.

Desarrollo.

La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Proposiciones y operaciones lógicas.

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Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.

p: La tierra es plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x > y-9

s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t: Hola ¿como estas?

w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.

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Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

Operador and (y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

Sean:

p: El coche enciende.

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

p = q Ù r

Su tabla de verdad es como sigue:

q r p = q Ù r

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1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Donde.

1 = verdadero

0 = falso


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Anchundia Raúl 0

Delgado José 1,4

Pérez Pedro 3

Santana Juan 4,5




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Alumno que en los tres trimestres complete 40 puntos es promovido en la materia al siguiente año lectivo.




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Bibliografía

- Algebra de Schaum.- Trigonometría de Schaum.- Matemática Lógica.- Algebra de Baldor.

PLAN DIDÁCTICO 2010

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