TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES

DEFINICIONES PREVIAS

Ecuación

Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que sólo se

verifica para algunos valores de las letras, llamadas

INCÓGNITAS.

Ejemplo:

3x + 4 = 7 + 2x

Tiene la incógnita “x”, se comprueba que x = 3

Ejemplo:

x2 + x – 6 = 0

Factorizando, obtenemos que:

x2 + x – 6 = 0: es igual a:

(x + 3) (x – 2) = 0

De donde:

I. x + 3 = 0

II. x – 2 = 0 .

2

3

x

x.

Los valores numéricos x = – 3 y x = 2 , que hacen que los

miembros de la ecuación tomen el mismo valor numérico, se llaman

soluciones o raíces de la ecuación.

Identidad

Es una igualdad de dos expresiones algebraicas que se

verifica para todos los valores de las letras

Ejemplos:

.6x5x2x3x*)*

nmn2mnm*)

2

222

.

.Identidades .

Problema

Es toda cuestión en la que se pide calcular una o varias

cantidades llamadas incógnitas, que junto con otras cantidades

conocidas llamadas datos, deben satisfacer a las condiciones que

específica el enunciado. Cuando estas condiciones pueden

expresarse mediante símbolos algebraicos se trata de Problemas

Algebraicos.

MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

El procedimiento para resolver un problema mediante el uso

de una ecuación no siempre es fácil y para lograr cierta aptitud se

requiere una práctica considerable y para esto se sugiere el

siguiente esquema:

a. Leer cuidadosamente el problema y estudiarlo hasta que

queda perfectamente clara la situación que se plantea.

b. Identificar las cantidades comprendidas en el problema, tanto

las conocidas como las desconocidas.

c. Planteo del problema: Se elige la incógnita por una letra “x”

por ejemplo y se efectúan con ello y con los datos, las

operaciones que indique el enunciado.

d. Resolución de la ecuación: Dicha ecuación se resuelve según

las reglas que se enunciaron

IMPORTANTE: PARA EL PLANTEO DE UNA ECUACIÓN ES IMPORTANTE TENER

EN CUENTA “LA COMA”, VEAMOS EJEMPLO:

83

8

x

en aumentado ,rode un NúmeEl Triple

83

8

x

do en ro aumentade un Núme,El Triple

Ejemplos:

1) Una persona tiene S/ 20 000 y otra S/. 7 500 cada una

ahorra anualmente S/. 500 ¿Dentro de cuántos años la

fortuna de la primera será el doble de la segunda?

A) 6 años B) 8 años C) 10 años D) 20 años E) N.A.

Resolución:

Sea “x” el número de años que ahorran cada persona.

- Ahorro total de cada persona 500x.

- Capital con ahorro de la primera persona = 20 000 + 500x.

- Capital con ahorro de la segunda persona = 7 500 + 500x.

Según el enunciado del problema.

El capital con ahorro de la primera es el doble del capital con

ahorro de la segunda.

20 000 + 500x = 2(7 500 + 500x)

20 000 + 500x = 2 . 7 500 + 2 500x

20 000 + 500x = 15 000 + 1 000x

5 000 = 500x

. x = 10 años . Rpta. C

2) Encontrar un número tal que dividiéndolo por 10 y a este

cociente dividiéndolo por 3; la suma de estos cocientes es

600.

A) 450 B) 3 500 C) 40 000 D) 4 500 E) N.A.

Resolución:

Sea el número = x, del enunciado del problema:

- Número dividido por 10.

cocientex

10

- Al cociente 10

x lo dividimos por 3.

303

10 x

x

(Nuevo cociente)

- Suma de los dos cocientes es 600

6003010

xx;

Damos común denominador en el primer miembro.

60030

3 xx

4x = 600 x 30

. x = 4 500 . Rpta. D

3) Juan dice Pedro: Dame S/. 18 000 y así, tendré el doble

de dinero que tú y Pedro le contesta: más justo sería que tú

me des S/. 15 000 y así tendremos los dos igual cantidad

¿Cuánto tenía Pedro?

A) S/. 48 000 B) S/. 114 000 C) S/. 84 000

D) S/. 96 000 E) N.A.

Resolución:

Sea: x = dinero que tenía Juan

y = dinero que tenía Juan

- Cuando Juan dice a Pedro dame S/. 18 000 y así tendré el

doble de dinero que tú.

x + 18 000 = 2(y – 18 000)

De donde:

. x = 2y – 54 000 . .... (I)

- Cuando Pedro le Contesta más justo es que tú me des S/.

15 000 y así tendremos los dos igual cantidad.

y + 15 000 = x – 15 000

De donde:

. x = y + 30 000 . .... (II)

- Igualamos (I) y (II)

2y – 54 000 = y + 30 000

. y = 84 000 . Rpta. C

4) El producto de los números naturales consecutivos es “P”,

unidades más que el siguiente consecutivo. Encontrar el menor.

A) 2P B) 2P C) p2 D) P/3 E) N.A.

Resolución:

Sean los 2 números consecutivos:

a = # menor

(a + 1) = # mayor

Del enunciado del problema:

El producto de los dos números naturales consecutivos es “P”

unidades más que el siguiente consecutivo. Veamos:

a(a + 1) – P = (a + 2)

a2 + a – P = a + 2

a2 = P + 2

. a = 2P . Rpta. B

5) Se ha comprado por S/. 6 000 cierto número de

cuadernos, si se hubiera comprado 30 más, con la misma

cantidad de dinero, cada uno hubiera costado 180 soles más

barato. Calcular el número de cuadernos.

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

Resolución:

Sea x = # de cuadernos que se han comprado por S/. 6 000

Siendo:

rnos# de cuade

lCosto Totacuadernoecio de c/Pr

c/cuaderno

ecio dePr

x

S/. 0006 ...... ( )

Si hubiera comprado 30 cuadernos más con la misma cantidad

de dinero. O Sea por S/. 6 000, el precio del cuaderno sería:

c/cuaderno

ecio dePr

30

0006

x

S/.

rnos# de cuade

lCosto tota

30

0006Pr

x

S/. cuadernoecio de c/ ....... ( )

Si al comprar 30 cuadernos más, el precio de c/cuaderno

costaría 180 soles más barato.

Luego, se plantea la siguiente ecuación

18030

00060006S/.

x

S/.

x

S/.

18030

110006

xx

Damos el común denominador en el corchete:

18030

300006

xx

xx

180

30000630

xx

x(x + 30) = 1 000

x(x +30) = 20(50)

Por comparación de términos obtenemos

. x = 20 cuadernos . Rpta. C

EVALUACIÓN

1. Hallar un número, sabiendo que aumentado en 18 equivale al

triple de su valor.

Rpta 9

2. La suma de tres números enteros consecutivos es 47 unidades

más que el número menor. Hallar el mayor de los tres números.

Rpta 24

3. Hallar dos números sabiendo que uno excede al otro en 8

unidades y que el menor es 35 unidades menos que el doble del

mayor.

Rpta 19 y 27

4. La suma de un tercio de un número más un cuarto del mismo, es “x”. ¿Cuál es el resto del número?

Rpta 5/7x

5. Para ensamblar 50 vehículos entre bicicletas, motocicletas

y automóviles, se utilizaron entre otros elementos 38

motores y 48 llantas. ¿Cuántas motocicletas se

ensamblaron?

Rpta 14