Coordenadas Polares

Sergio A. Véliz Retamalessergiovelizr@gmail.com

7 de noviembre de 2010

1. Coordenadas Polares

En el sistema Cartesiano, la posición de un punto en el plano se �jaen función de sus distancias a dos rectas perpendiculares. Sin embargo, existenotras formas de �jar la posición de un punto. Una de ellas consiste en hacerlo enfunción de su distancia a un punto �jo llamado polo y de la dirección con respec-to a una recta �ja que pase por este punto, llamada eje polar. Las coordenadasde un punto con estas referencias se llaman coordenadas polares.

En este sistema, las coordenadas de un punto se representan por (r; �),siendo r la distancia del polo al punto, � el ángulo que forma el segmento de rec-ta, que une el polo con el punto en cuestión, con la recta �ja. Esto corresponde,según la �gura (??) al ]AOP

La distancia r; medida desde el polo al punto P se considera positiva. Si esmedida desde el punto P al polo se considera negativa.

Una ecuación en coordenadas polares se escribe en la forma r = f (�),de manera que dando valores al ángulo �, es posible determinar los valores der, y a partir de estos, construir la curva en coordenadas polares.

1

Figura 1: Cartesianas- Polares

2. Coordenadas rectangulares versus coordenadaspolares

Sea P (r; �) punto en coordenadas polares. Suponemos que el eje polar 0x yel polo 0, coinciden respectivamente,con el eje x y con el origen 0 del sistema decoordenadas cartesianas. Sean (x; y) las coordenadas rectangulares del mismopunto P ,�gura (1)entonces:

x = r cos (�) (1)

y = r sin (�)

Luego:px2 + y2 =

q(r cos (�))

2+ (r sin (�))

2=qr2�cos2 (�) + sin2 (�)

�= r

Así obtenemos:r =

px2 + y2 (2)

Además podemos observar:

tan (�) =y

x(3)

3. Ejemplos

Ejemplo 1 Hallar la distancia entre los puntos P (r1; �1) y Q (r2; �2)

Solución 2 Observamos que:

2

del Teorema del coseno:

PQ =qr21 + r

22 � 2r1r2 cos (�1 � �2)

Ejemplo 3 Hallar la ecuación de la circunferencia de radio a y contro (r1; �1)

Solución 4 Del problema anterior Sea (r; �) punto cualquiera de la circunfer-encia, entonces:

a2 = b2 + r2 � 2ar cos (�)=) r = 2a cos (�)

Ejemplo 5 Hallar la ecuación polar de la elipse 9x2 + 4y2 = 36

Solución 6 la ecuación en forma polar se transforma en:

9r2 cos2 (�) + 4r2 sin2 (�) = 36

Así, la ecuación en forma polar de la elipse es:

r2 =36

4 + 5 cos2 (�)

Ejemplo 7 Escribir la ecuación r2 � 2r (cos (�)� sin (�)) = 7 en coordenadascartesianas

Solución 8 Al reemplazar se obtiene:

x2 + y2 � 2px2 + y2

x� ypx2 + y2

= 7

=) (x� 1)2 + (y + 1)2 = 9

3

4. Grá�ca en polares

Como las ecuaciones en coordenadas polares vienen expresadas en la forma

r = f (�)

entonces al dar valores al ángulo �; es posible determinar los valores de r ya partir de estos datos construir la curva en coordenadas polares. Esto signi�caque un primer paso es trazar algunas rectas polares, que se eligen de acuerdo alargunemento de las funciones involucradas, ello permite medir la longitud delradio sobre ellas.

4.1. Simetrías

El reconocer simetrías puede ser de gran ayuda en la construcción de unagrá�ca. Los siguientes criterios son válidos en coordenadas polares. Estas corre-sponden a:1) Si al reemplazar � por ��, f (�) = f (��), la ecuación no varía, entonces

existe simetría respecto del eje polar:

2) Si al reemplazar � por � � �; f (�) = f (� � �), la ecuación no varía,entonces existe simetría respecto de la recta perpendicular al eje polar y quepasa por el polo.

3) Si al reemplazar � por � + �, f (�) = f (� + �) ; la ecuación no varía,entonces existe simertría respoecto del polo. El mismo efecto si se reemplaza rpor �r:

4

Ejemplo 9 Gra�car la ecuación polar:

r = sin (3�)

Solución 10 Observemos lo siguiente:

El valor máximo que alcanza r, es en

sin (3�) = 1

Esto ocurre en:�16� +

23�l j l 2 Z

, así

�1 =�

6, �2 =

5�

6; �3 =

3

2�

El valor mínimo se obtiene cuando:

sin (3�) = 0

esto es:�13�l j l 2 Z

; luego:

�1 = 2�; �2 =�

3

�3 =2�

3; �4 = �

�5 =4�

3; �6 =

5�

3

, estos puntos corresponden al ángulo en el cuál nuestra curva vuelve al origen,ahora podemos anañizar según los ángulo, es decir:

Ángulo Radio0 � � � �

6 0! r ! 1�6 � � �

�3 1! r ! 0

�3 � � �

2�3 0! r ! 0

2�3 � � �

5�6 0! r ! 1

5�6 � � � � 1! r ! 0� � � � 4�

3 0! r ! 04�3 � � �

3�2 0! r ! 1

3�2 � � �

5�3 0! r ! 1

5�3 � � � 2� 1! r ! 0

5

Así la grá�ca corresponde a:

Ejemplo 11 Las ecuaciones r = a cos (n�) ; r = a sin (n�), para n > 2; sonrosas de n pétalos si n es impar y de 2n pétalos si n par.

Ejemplo 12 Las ecuaciones r2 = a2 cos (2�) ; r2 = a2 sin (2�) representan lallamada Lemniscata:

Ejercicio 13 Gra�car r (�) = sin (2�)

6

Solución 14

Ejercicio 15 Gra�car la cardiode: r = 1� cos (�)

Solución 16

Ejercicio 17 Gra�car r = 2 (1 + sin (�))

Solución 18

5. Secciones cónicas en forma Polar

Diremos que:r =

p

1 + � cos (!)

es una cónica, y además, si:8<: � = 1 Parábola� < 1 Elipse� > 1 Hipérbola

7

Ejemplo 19 Pruebe que

r =8

1� 12 cos (�)

representa la ecuación de una Elipse

Solución 20 Considere � = � � !, luego cos (�) = � cos (!) ; así:

r =8

1 + cos (� � !)

por lo tanto es una elipse.

Ejemplo 21 Escribir en coordenadas rectangulares de ecuación:

r =4

2 + cos (�)

Solución 22

r =4

2 + cos (�)=) r =

4

2 + xpx2+y2

=)px2 + y2 =

4

2px2+y2+xpx2+y2

=)px2 + y2

2px2 + y2 + xpx2 + y2

= 4

=) 2px2 + y2 + x = 4 =) 4

�x2 + y2

�= (4� x)2 =) 3x2 + 4y2 + 8x = 16

Luego obtenemos la elipse:

(x+ 43 )

2�p323

�2 + y2�p83

�2 = 1

8