Polinómica, Racional, Módulo y Partida · 2019. 3. 21. · CJSF 5to. Año Unidad No. 1: Funciones...

Unidad No. 1: Funciones Polinómica, Racional, Módulo y partida

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Armado y diseño de la unidad: Prof . Andrea Gandolf i

Página web: http://acgandolf i .w ix.com/matematica

Unidad No. 1

Funciones

Polinómica,

Racional, Módulo

y Partida

Nombre: ………………………….………………

5to. Año 2019

CJSF


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CJSF 5to. Año


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Unidad 1: Funciones polinómica, racional, Módulo y Partida

Función Polinómica

Podemos ampliar los conceptos que se vieron para la función cuadrática . Dada la función: 1 2

1 2 1 0... :n nn n nP x a x a x a x a x a n a

Si la función tienen n raíces simples, podemos escribirla como:

1 2n nP x a x x x x x x

Si la función tienen j raíces múltiples, podemos escribirla como:

1 2

1 2kjk k

n nP x a x x x x x x

1. Dadas las siguientes funciones definidas en mencionar sus raíces y escribir las fórmulas reducidas.

a. 383)( xxxf

b. 7771)( xxxxxg

c. xxxxxxxh 211)(

2. Dada la siguiente función polinómica 4

( ) 7 2G x x , indicar las raíces y la multiplicidad.

3. Menciona las raíces y la multiplicidad de cada una en la siguiente función polinómica

xxxxxxf 958)(743 definida en

La raíz a de P(x) es raíz de multiplicidad m si podemos escribir a P(x) de la forma

,mP x x a Q x donde Q(x) es un polinomio con 0.Q a

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4. Menciona una raíz que tengan en común las siguientes funciones polinómicas. Extrae una conclusión.

xxxA 42)( 2 5347)( xxxxC 23 84)( xxxD 253 8510)( xxxxxE

5. En el siguiente sistema de coordenadas se da la gráfica de la función polinómica f(x)

a. Mencionen 2 puntos ;x y que pertenezcan al gráfico de f(x).

b. Establezcan el conjunto de valores de x para los

cuales la función f(x) es cero.

c. Establezcan el conjunto de valores de x para los

cuales la función f(x) es positiva

d. Establezcan el conjunto de valores de x para los

cuales la función f(x) es negativa.

6. Indicar si x = -1 es raíz de alguna de estas funciones polinómicas definidas en :

a. 232)( 23 xxxxP

b. xxxQ 2)(

c. 315)( xxT

d. 21)( xxxQ

e. 31)( 2 xxxH

7. ¿Podes encontrar un valor de x que sea raíz la función polinómica definida en cuya fórmula es ( ) 3 4P x x ?

8. ¿Si a es raíz de una función polinómica cuya fórmula es P(x),que resto tendrá la siguiente división, P(x) : (x – a)?

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9. En el siguiente sistema de coordenadas se dan las gráficas de ( )R x y ( )P x , ambas funciones lineales.

a. Calculen el valor de ( )H x en cada caso:

i. (0)H

ii. (2)H

iii. (6)H

iv. ( 3)H

v. ( 2)H

b. Mencionen por lo menos 3 puntos que pertenezcan al gráfico de ( )H x

c. ¿Qué función es h(x)?

d. Escribe la fórmula de h(x) factoreada.

e. Establezcan el conjunto de valores de x para los cuales la función ( )H x es:

A. Es cero. B. Es positiva. C. Es negativa.

f. Tracen un gráfico aproximado ( )H x de.

Definimos: ( )H x R x P x

PR

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10. En el siguiente sistema de coordenadas se dan las gráficas de ( )P x y ( )Q x , ambas funciones lineales.

a. Calculen el valor de ( )R x en cada caso:

i. (0)R

ii. (2)R

iii. (1)R

iv. ( 3)R

b. Mencionen por lo menos 3 puntos que pertenezcan al gráfico de ( )R x

c. Escribe la fórmula de ( )R x de dos formas distintas.

d. Establezcan el conjunto de valores de x para los cuales la función ( )H x es:


e. Tracen un gráfico aproximado ( )R x de.

Definimos: ( )R x P x Q x

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11. En el siguiente sistema de coordenadas se dan las gráficas de ( )P x y ( )Q x , ambas funciones lineales.

a. Calculen el valor de ( )M x en cada caso:

i. (0)M

ii. (2)M

iii. ( 3)R

b. Mencionen por lo menos 3 puntos que pertenezcan al gráfico de ( )M x

c. Escribe la fórmula de ( )M x de dos formas distintas.

d. Establezcan el conjunto de valores de x para los cuales la función ( )M x es:


e. Tracen un gráfico aproximado ( )M x de.

Definimos: ( )M x R x S x

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1 2n nP x a x x x x x x

12. Considerando los ejercicios anteriores responde en cada caso para las funciones mencionadas el grado y la cantidad de ceros o raíces posibles para cada una. Luego, extrae conclusiones. “La función que se obtiene como producto de…: “ a. dos lineales es: b. una cuadrática y una lineal.

c. dos cuadráticas

Teorema fundamental del álgebra

Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.

Las raíces no reales de un polinomio siempre vienen de a pares.

Un polinomio de grado impar tiene como mínimo una raíz real.

13. Indica verdadero o falso. Justificar.

a. Un polinomio de grado cinco puede tener tres raíces reales.

b. Un polinomio de grado cinco puede no tener raíces reales.

c. Un polinomio de grado seis puede tener como máximo seis raíces reales.

d. Un polinomio de grado par puede no tener raíces reales.

e. Un polinomio de grado cuatro puede tener tres raíces reales.

Por el teorema del resto, si 1x es una raíz del polinomio )(xP , entonces )(xP es divisible por 1xx , pues el resto de dividir )(xP entre 1xx es cero. A cada una de las raíces se las suele designar

,...321 ,, xxx

Sabemos por el Teorema fundamental del Algebra que un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales. Si encontramos sus n raíces reales.

1 21 2 1 0... :n n

n n nP x a x a x a x a x a n a se factorea de la siguiente forma:

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Por ejemplo, si el polinomio 3 2P x 2x 4x 10x 12 tiene como raíces:

x 1, x 2 y x 3 , como sabemos por el Teorema fundamental del Algebra que puede tener como máximo tres raíces, se puede escribir factoreado de la siguiente forma: P x 2 x 1 x 2 x 3 . Verifica realizando la propiedad distributiva que las expresiones de

P(x) son equivalentes.

14. Escribir la fórmula de una función polinómica de grado tres e intersecte al eje x únicamente en 1,0 21 xx y 23 x .¿Es única?

15. Escribir la fórmula de una función polinómica de grado seis que sea Mónica (coeficiente principal es 1) , tal que -6 sea una raíz de multiplicidad tres, 0 sea raíz doble y 1 raíz única. ¿Puede tener más raíces?

16. Escribir la fórmula de una función polinómica que sea de grado 4; corte al eje de ordenadas en 10 y corte al eje x en 1,5 21 xx , 23 x y 44 x .

Multiplicidad de raíces

17. Utilizando el , realiza las gráficas de las siguientes funciones polinómicas y responde:

a. ¿Cuáles son las raíces de cada función? ¿Qué multiplicidad tiene cada una de ellas?

1f 2f 3f 4f 5f

Raíces 0C

Multiplicidad (par o impar)

b. Gráficamente, ¿qué ocurre con la curva que representa cada función cuando pasa por cada raíz?

Gráfico 1: Gráfico 2: Gráfico 3:

21

5 32

2 43

2 1 2

2 1 2

2 1 2

f x x x

f x x x

f x x x

21

24

2 1 2

2 1 2

f x x x

f x x x

5 32

5 35

2 1 2

2 1 2

f x x x

f x x x

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c. ¿Qué relación puedes hallar entre la multiplicidad de cada raíz y lo qué ocurre con la curva cuando ésta pasa por dicha raíz?

d. ¿Qué ocurre con la gráfica de la función si el signo del coeficiente principal cambia?

Conclusión:

Analizando los gráficos anteriores vemos que:

Si una raíz es de multiplicidad ……………….. , la gráfica de la función llega allí, roza y sigue para el

mismo lado.

Si una raíz es de multiplicidad ……………….., la gráfica cruza allí al eje de abscisas.

Ejemplo: Encuentra la fórmula de una función polinómica de grado mínimo cuya gráfica sea:

18. Encuentra la fórmula de una función polinómica de grado mínimo cuya gráfica sea: a.

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21

22

2 23

24

24

3 1 2

3 1 2

3 1 2

1 3 1 2

1 3 1 2

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

f x x x x

b.

19. Dado el gráfico de la función f : , decidir cuál de las siguientes fórmulas responde al mismo. Justificar.

a. Completar:

20. Una función polinómica tiene todas sus raíces con multiplicidad par. ¿Es cierto que su C es

vacío? ¿Por qué?

21. a. Hallar, si existe, una función polinómica f de grado mínimo sabiendo que

2;13; C y que su gráfico pasa por 2;4

ImDom

0CCC

II

ejeod

¿Se puede calcular el valor exacto del punto máximo y mínimo?

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b. Hallar, si existe, una función polinómica f de grado mínimo donde 4;22;12; C

y que 4)5( f

c. Hallar, si existe, una función polinómica f de grado mínimo sabiendo que 4;22; C si la imagen de 0 es 6 .

22. Dadas las siguientes funciones definidas , se pide:

a. 633)( 2 xxxa

0CFF

ejeod

CC

b. 4 2J(x) 2x 16x

0CFF

ejeod

CC

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3 ‐15 24 ‐12

Hallar la expresión factorizada de 3 2p x 3x 15x 24x 12

Para llegar a la expresión factorizada, utilizaremos la teorema de Gauss, la regla de Ruffini y la fórmula de Bhaskara para factorizar el polinomio.

Regla de Gauss: Sea P(x) un polinomio de grado n con todos sus coeficientes enteros.

Si el número racional p

q, escrito de manera irreducible, es raíz de P(x); siendo “p”

divisores del término independiente y q divisores del coeficiente principal.

p 12, 6, 4, 3, 2, 1

q 3, 1

Las posibles raíces racionales son: 4 2 1p 4, 12, 2, 6, , 4, 1, 3, ,3 3 3

Buscamos( utilizando el Teorema del Resto), las raíces del polinomio.

3 2p 3 15 24 12 3 15 241 1 1 12 54 x 1 no es una ra1 íz

3 2p 3 15 24 12 3 15 24 12 01 1 1 1 x 1 es una raíz

Aplicamos la regla de Ruffini:

Aplicamos la fórmula resolvente o fórmula de Baskhara, para encontrar las otras raíces.

Por lo tanto las raíces son: x y x= (raíz doble)

La expresión factorizada es:

P x 3. x x

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23. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas indicando intersecciones con los ejes coordenados, conjuntos de positividad y negatividad de cada una de ellas y forma factorizada.

a. 462)( 3 xxxS

b. xxxxxT 44)( 234

c. 2 4 3 T x x x

ImDom

0CCC

ImDom

0CCC

ImDom

0CCC

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E l hecho de haber encontrado una re lac ión entre la base y la a l tura permite infer i r que hay inf in i t os rectángu los de área 1 m2 , pues para cada va lor que se le as igne a una de las med idas se obt iene e l va lor de la o t ra .

ImDom

Función Homográfica

E l área de un rec tángu lo es de 1 m2 ¿Cuá les pueden ser las med idas de sus lados?

S i se cons idera un rectángu lo de base b y a l tura h , su área es A b h

A par t i r de la ú l t ima fórmula se puede ha l l ar una re lac ión en tre la base y la a l tura de un rectángu lo de área 1 m2 . Es pos ib le , desde ahora , omi t i r l as un idades ac larando que l os lados están med idos en metros y e l área , por l o tanto , en metros cuadrados :

11A b h b h hb

La re lac ión puede leerse de maneras d i ferentes . S i se mira la segunda igua ldad , puede dec irse que e l producto entre la base y la a l tura debe ser igua l a 1 . La ú l t ima igua ldad ind ica que s i se conoce e l va lor de la base , la a l tura puede ca lcu larse como e l coc iente entre 1 y la base . Lo mismo puede

hacerse s i se conoce la a l tura y se qu iere ca lcu lar la base . En ese caso e l cá lcu lo es 1b hh

La s igu iente tab la muestra a lgunos va lores pos ib les para las med idas de la base y la a l tura :

A l tura (h) Base (B) Área

1/4

1/3

1/2

1

2

3

4

La re lac ión entre la base y la a l tura es una relación de ……………………………… .………… ………………… . .

En este caso , la constante de proporc iona l idad es………… .

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Llamaremos función de proporcionalidad inversa a la función cuya fórmula es kf xx

, conk es constante y 0k .

Analicemos este tipo de funciones: 1h x

x

Dominio: Conjunto Imagen:

0C

C

C

¿Qué pasa con la gráfica alrededor del 0 ¿ ¿Cómo es posible que cambie de signo sin que corte al eje de abscisas?

¿Cómo será el gráfico de la función, cuya fórmula

sea 1g xx

?:

Una función racional f que puede obtenerse mediante un desplazamiento 1h x

x se denomina

Función Homográfica.

El gráfico de este tipo se llama:………………………………………….

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Asíntotas

Una recta horizontal y k es Asíntota horizontal de una función f x si a medida

que aumenta x , f x se acerca a k.

Una recta vertical x k es Asíntota Vertical de una función f x si fk Dom y a

medida que x toma valores cada vez más cercanos a k , f x toma valores cada vez mayores.

Desplazamientos de la función cuya fórmula es 1h xx

24. Utilizando el o con el , realiza el gráfico de las siguientes funciones

homográficas de la forma: 1f x

x a, completar la tabla y sacar conclusiones.

25. Utilizando el o con el , realiza el gráfico de las siguientes funciones

homográficas de la forma: 1f x b

x a, completar la tabla y sacar conclusiones.

Dominio

.AV Imagen

.AH ¿Crece o decrece?

1

2f x

x

1

3g x

x

12 1

i xx

15

i xx

Dominio

.AV Imagen

.AH

Escribir en un solo término de

la forma :

ax bf xcx d

1 3

2f x

x

1 4

2g x

x

1 1

2 2h x

x

1 3

2 4h x

x

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¿Cómo podemos relacionar la AH con la forma

ax bf xcx d

?

Dada la siguiente función homográfica la función cuya fórmula es

6 12 1

xf xx

Calcular el dominio:

Calcular:

100000f 100000f

¿Qué pasa con las imágenes cuando x y cuando x ?

¿Cuál es su AH?

Analicemos este tipo de funciones:

1: / 1

3f A f x

x

Notación en un solo término 0C

C

C

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26. Indicar las asíntotas de las siguientes fórmulas de funciones Homográficas:

a.

1

4f x

x b.

3 4f xx

. :AV

. :AH

. :AV

. :AH

c. 4 3

2f x

x d.

2 3

2f t

t

. :AV

. :AH

. :AV

. :AH

e.

5

2 1uf u

u f.

3

3pf p

p

. :AV . :AH . :AH

27. Realicen los gráficos de las siguientes funciones. Encuentren dominio, imagen y los conjuntos de positividad y negatividad.

a. 4 3

2f x

x

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

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Pág. 18

b.

4 52 1

xf xx

c. 3 4

2xf xx

d. 41xf x

x

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

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Pág. 19

e.

2 3

4xf x

x

f.

1 5

1xf x

x

28. Marquen la o las opciones correctas:

“Dada la función de fórmula

1

2 1axf xx

, donde a es un número real,…”

a. Para cualquier valor de a, f tiene una sola raíz.

b. Para cualquier valor de a, la asíntota vertical es 12

x

c. Si a = 0, la asíntota horizontal es y = 0.

d. La función siempre tiene asíntota horizontal y su ecuación depende del valor que tenga a.

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

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Pág. 20

29. Hallen la fórmula que cumple con las siguientes condiciones: a. Una función homográfica decreciente con asíntota vertical en 1x y la

asíntota horizontal en 2y .

b. Una función homográfica creciente cuya raíz es 4 y cuya ordenada al origen es -2.

Se llama función racional a la formada por la división de dos polinomios:

a x

p : A / p x con b x 0b x

Las funciones homográficas son funciones racionales, pero hay muchas otras,

30. Indicar cuáles de las siguientes fórmulas corresponden a funciones homográficas y/o racionales:

a. f x x

b.

21

x

f xx

c. 1xf x

x

d.

3xf xx

e.

2

3( )2 3

xf xx x

f.

31

xf xx

g. 1

xf xe

h.

21( ) 2 32

f x x x

i.

12

f x

¿Es posible encontrar la fórmula de una función racional que tenga más de una asíntota vertical?

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Pág. 21

¿Cuántas asíntotas verticales tiene la función racional cuya fórmula es 2

23 10

6x xg xx x

?

¿Cuántas asíntotas verticales tiene la función racional cuya fórmula es 2 6

3x xj x

x

?

31. Grafiquen las siguientes funciones y realicen su análisis.

a. 2 2 3: / ( )

1x xf A f x

x

Im

Dom

0CCC

II

ejeod

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Pág. 22

b. 2

3: / ( )2 3

xf A f xx x

c. 3 24 6: / ( )

2x x xf A f x

x

ImDom

0CCC

II

ejeod

ImDom

0CCC

II

ejeod

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Pág. 23

Repaso para la evaluación 1:

1. Dada la siguiente función poli nómica 4 2( ) 3 9 6f x x x x

se pide: raíces y multiplicidad, ordenada al origen, conjunto de positividad y negatividad, expresión factorizada y su gráfico

2. Encuentra la fórmula de una función polinómica de grado mínimo cuya gráfica sea:

3. Graficar y hallar la fórmula de una función polinómica de grado 9 cuya ordenada al origen sea -25, sus únicas raíces sean, -3, -2, 4 y 8 y cuyo conjunto de positividad sea

3; 2 8;C

4. Decidan s i las s iguientes af i rmaciones son verdaderas o falsas. Just i f iquen su elección.

a. Una función racional t iene s iempre una única asíntota vert ical .

ImDom

0CCC

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Pág. 24

b. Una función racional t iene s iempre por lo menos una asíntota vert ical .

c. Una función racional t iene s iempre una asíntota hor izontal .

d. Si f (x) es una función racional y a es un valor que no pertenece al dominio de f (x) entonces x = a es asíntota vert ical de la función.

e. Si f (x) es una función racional y a es un valor que no pertenece al dominio de f (x) y además es raíz del numerador de la función, entonces a es la abscisa de un punto de discont inuidad evitable de la función.

5. Grafiquen las siguientes funciones y realicen su análisis.

a.

3 12

f xx

b.

1 25 1

xf xx

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

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Pág. 25

c.

2

24

xf xx

d.

2

12 1

xf xx x

6. a. Hallen una fórmula de una función homográfica que tenga asíntota vertical

en 4x y que tenga 0 2C . Justificar.

b. Hallen una fórmula de una función módulo que tenga como conjunto imagen 2; y esté desplazada dos unidades negativas sobre el eje de abscisas.

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

0

Im. :. :

Dom

AVAHCCCII

ejeod

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Unidad No. 1: Funciones Polinómica, Racional, Módulo y partida Pág. 26

Función Módulo

El valor absoluto o módulo de un número real x, se simboliza por x , y se define de la siguiente manera:

0:

0x si x

x x x si x

c. Utilizando el o con el , realiza el gráfico de las siguientes funciones con módulo, completar la tabla y sacar conclusiones.

x h(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

Vértice de la función

Imagen

¿En qué punto del dominio cambia el

crecimiento? Escribir la ecuación de la rectas

2f x x

3g x x

4h x x

2 4i x x

2 3j x x

3 2 1k x x

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f x a x b c

Escribir las funciones del ejercicio anterior como funciones partidas:

f x

g x

h x

i x

j x

k x

32. Las siguientes funciones son desplazamientos de : /f f x x , se pide:

i. Grafíquenlas,

ii. Escribir como funciones partidas.

iii. Análisis: conjunto imagen, 0C (analíticamente), ,C C y ,I I

a. : / 2f f x x

0CCCII

f x

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b. : / 2 1f f x x

c. : / 3. 2 1f f x x

0CCCII

f x

0CCCII

f x

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d. : / 2f f x x

e. : / 2 3 1f f x x

0CCCII

f x

0CCCII

f x

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Funciones Partidas o por tramos

Una función partida o por tramos es una función tal que para definirla se necesitan distintas fórmulas para distintos subconjuntos del dominio

Ejemplo: 2

3 2: / 4 2 1

1 2 12

x si xf A f x si x

x x si x

33. Dada la siguiente función

2

2 2 1

: / 4 1 4

6 4

x si x

h h x x x si x

si x

.

a. Calculen 5h b. Calculen 3 h c. Calculen 2 h

d. Calculen 1 h e. Calculen 6 h f. Calculen 4 h

¿Cuál es el dominio de la función?

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34. Calculen el dominio de las siguientes funciones partidas

a.

b.

c.

d.

e.

f.

CJSF 5to. Año


35. Graficar las siguientes funciones. Hallar dominio, conjunto imagen, ceros, ordenada al origen, conjunto de positividad y de negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento.

a.

3 5: / ( )

7 5

x xf A f x

x x

b. 1 0

: / ( )2 0

xf A f x

x x

c.

2 1

: / ( ) 2 11

x xf A f x x x

x

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

CJSF 5to. Año


d.

2

2 1: / ( )

2 1

x xf A f x

x x

e.

2 2: / ( ) 2 2 0

1 0

x xf A f x x

x xx

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

CJSF 5to. Año


f. 2 3 1

: / 1 2 1 21 22

x si xf A f x x si x

x si xx

g. 2

3 0: / 4 3 0 3

33

si xf A f x x x si x

x si xx

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

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Repaso para la evaluación 2

1. Graficar las siguientes funciones y calcular: Dominio, imagen, conjunto de ceros (analíticamente),C+, C-, I+, i-, intersección con el eje de ordenadas, ecuaciones de las asíntotas.

a. : / 2. 1 3B B x x (Escribir como función partida)

b. : / 3 2 1g g x x

c.

3 1: /2

xC C xx

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

CJSF 5to. Año


d.

3 22 6 2 6: / ( )1

x x xf A f xx

2. Dado el gráfico de la siguiente función por tramos, se pide: a.

Escribir su fórmula

: / ( )f A f x

b.

0

ImDom

CCCII

ejeod

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

0

ImDom

CCCII

ejeod

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Escribir su fórmula

: / ( )f A f x

3. Graficar las siguientes funciones y calcular: Dominio, imagen, conjunto de ceros

(analíticamente),C+, C-, I+, i-, intersección con el eje de ordenadas, ecuaciones de las asíntotas.

e.

2

1 0: / 5 0 4

3 4

x si xA A x si x

x x si x

f.

2 22

: / 3 2 13 1

x si xx

f A f x x si xsi x

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

Im

::

Dom

AVAH

0CCC

II

ejeod

Polinómica, Racional, Módulo y Partida · 2019. 3. 21. · CJSF 5to. Año Unidad No. 1: Funciones...

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