Polinomios Ortogonales 'Clásicos'. Operadores y...

Polinomios Ortogonales "Clásicos". Operadores yOrtogonalidad

Francisco Marcellán Español

Departamento de Matemáticas, UC3M

Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Albarracín, 6 Mayo 2016.

Francisco Marcellán (ICMAT-CSIC-UAM-UCM-UC3M) Universidad Carlos III de Madrid Albarracín, 6 Mayo 2016. 1 / 52

Conferencia Luis Vigil

Luis Vigil y Vázquez


Conferencia Luis Vigil

Mis artículos favoritos.L. Vigil, On orthogonal polynomials. Characterization of the typical extensionof a scalar product. (Spanish). Rev. Mat. Hisp. Amer. (4) 29 (1969), 148-169.(Reviewer: S. K. Chatterjea).

L. Vigil, Orthogonal polynomials on real algebraic curves.(Spanish)Proceedings of the Eleventh Annual Conference of Spanish Mathematicians(Murcia, 1970) (Spanish), 58-70. Univ. Complutense de Madrid, Madrid,1973. (Reviewer: H. Tornehave).

M. Alfaro, M. P. Alfaro, J. J. Guadalupe, L. Vigil, Correspondance entre suitesde polynômes orthogonaux et fonctions de la boule unité de H∞0 (D) .(French). In Orthogonal polynomials and applications (Bar-le-Duc, 1984),158-163, Lecture Notes in Math., 1171, Springer, Berlin, 1985. (Reviewer:Peter A. McCoy).

M. P. Alfaro, L. Vigil, Solution of a problem of P. Turán on zeros of orthogonalpolynomials on the unit circle. J. Approx. Theory 53 (1988), no. 2, 195-197.(Reviewer: Walter Van Assche).


Contenido

1 Polinomios Ortogonales en la Recta Real (OPRL)Relaciones de recurrencia. Ceros de OPRL.El Operador Derivada. Polinomios clásicos en el sentido Hahn.Caracterizaciones de Polinomios clásicos. Generalizaciones de polinomiosclásicos.Operadores en diferencias. Polinomios clásicos discretos en el sentido Hahn.Operadores de aniquilación.Polinomios semiclásicos. Polinomios de Laguerre-Hahn.

2 Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad (OPUC)Relaciones de recurrencia de Szego. Ceros de OPUC.Predicción lineal y teorá de filtrado.El operador derivada. Clase de Hahn. OPUC clásicos.Extensiones de OPUC clásicosEl operador en q-diferencias y OPUC. Problemas abiertos.

3 Polinomios ortogonales matriciales en la recta real.El operador derivada. Clase de Hahn.Teorema de Bochner.


Polinomios Ortogonales en la Recta Real (OPRL)

Sea u un funcional lineal en el espacio de los polinomios en una variable concoeficientes reales.

Una sucesión de polinomios mónicos {Pn(x)}n≥0 con grado Pn = n se dice que esortogonal (OPRL) respecto al funcional u si 〈u, Pn(x)Pm(x)〉 = hnδm,n.

El funcional u es definido positivo si hn > 0 con n ≥ 0. En este caso, existe unamedida de Borel positiva µ soportada en un subconjunto infinito E de la recta realtal que

〈u, p(x)〉 =

∫E

p(x)dµ(x)

Considerando la forma bilineal inducida por el funcional u

φ(p(x), q(x)) = 〈u, p(x)q(x)〉

el operador de multiplicación por x es simétrico respecto a φ.



xPn(x) = Pn+1(x) + bnPn(x) + anPn−1(x), n ≥ 0, P−1(x) = 1, P0(x) = 1.

x

P0(x)P1(x)......

Pn(x)

=

b0 1 0 · · · 0

a1 b1 1. . .

...

0. . .

. . .. . . 0

.... . .

. . .. . . 1

0 · · · 0 an bn

︸︷︷︸Matriz de Jacobi

P0(x)P1(x)......

Pn(x)

+ an+1Pn+1(x)

00...01

Ceros de polinomios ortogonales como autovalores de matrices de Jacobi.

Teorema de Favard y medida espectral asociada a la matriz de Jacobi.



OPRL Clásicos (caso continuo).

Jacobi dµ = (1 − x)α(1 + x)βdx, α, β > −1, x ∈ [−1, 1].Laguerre dµ = xαe−xdx, α > −1, x ∈ [0,∞).Hermite dµ = e−x2

dx, x ∈ R.

OPRL Clásicos (caso discreto en red uniforme).

Charlier dµ =

∞∑n=0

ane−a

n!δ(x − n), a > 0.

Krawtchouk dµ =

N∑n=0

(Nn

)pn(1 − p)N−nδ(x − n), 0 < p < 1.

Meixner dµ =

∞∑n=0

bnΓ(a + n)Γ(a)n!

δ(x − n), a > 0, 0 < b < 1.

Hahn dµ =

N∑n=0

Γ(N + a − n)Γ(b + n + 1)(N − n)!n!

δ(x − n), a, b > −1.



S. Bochner (1929).

A(x)y′′n + B(x)y′n = λnyn

Soluciones polinómicas del problema espectralcon grad yn = n

Jacobi.

Laguerre.

Hermite.

Bessel.

Teoría de Sturm - Liouville.

Polinomios ortogonales excepcionales.

Salomon Bochner



Sea

E(x1, . . . , xn) =∑

16i< j6n

ln1

|xi − x j|+ p

n∑i=1

ln1

|1 − xi|+ q

n∑i=1

ln1

|1 + xi|

la energía electrostática de un sistema de n + 2cargas, n son cargas unitarias situadas en(−1, 1), en +1 existe una carga p > 0 y en -1 unacarga q > 0.

El mínimo de E(x1, . . . , xn) se alcanza en losceros del polinomio de Jacobi P(2p−1,2q−1)

n (x).Thomas Joannes Stieltjes



W. Hahn (1935) Ya. L. Geronimus (1940)

Determinar las SPOM {Pn(x)}n≥0 tales que la sucesión de polinomios mónicos{Qn(x)}n≥0 con Qn(x) =

P′n+1(x)n+1 es una SPOM.

xPn(x) = Pn+1(x) + bnPn(x) + anPn−1(x), n ≥ 0, P−1(x) = 1, P0(x) = 1. (1)xQn(x) = Qn+1(x) + cnQn(x) + dnQn−1(x), n ≥ 0, Q−1(x) = 1,Q0(x) = 1. (2)

Wolfgang Hahn Yakov L. Geronimus.Francisco Marcellán (ICMAT-CSIC-UAM-UCM-UC3M) Universidad Carlos III de Madrid Albarracín, 6 Mayo 2016. 10 / 52


Idea clave.

Relaciones no lineales entre los parámetros de las relaciones de recurrencia en(1) y (2) de manera que se obtienen expresiones del tipo

Caso A: Laguerre, Hermite.

bn = b0 − 2cn, an = (n + 1)(a1 + c2n).

Caso B. Jacobi, Bessel.

bn = d +12

c(ρ2 − 1)(ρ + 3)(2n + 1 + ρ)(2n − 1 + ρ)

,

an =(n + 1)(n + ρ)(µn2 + µ(ρ + 1)n + a1(ρ + 1)2(ρ + 2)

(2n + ρ)(2n + ρ + 1)2(2n + ρ + 2).



Caracterizaciones de los polinomios clásicos. Branquinho, Marcellán, Petronilho(1994).

Propiedad de Hahn para derivadas de orden superior.Hahn (1937).

Problema espectral.Routh (1884).

D(Φ(x)u) = Ψ(x)u, deg Φ(x) ≤ 2, deg Ψ(x) = 1. Ecuación de Pearson.Beale (1941).

Φ(x)Qn(x) = cn,n+2Pn+2(x) + cn,n+1Pn+1(x) + cn,nPn(x), cn,n , 0. Relación deEstructura. Operadores de creación y aniquilación.Al- Salam, Chihara (1972).

Pn(x) = Qn(x) + dn,n−1Qn−1(x) + dn,n−2Qn−2(x).Geronimus (1940)

Pn(x)u = snDn[(Φ(x))nu]. Fórmula de Rodrigues.Cryer (1970).



Iserles, Koch, Nørsett, Sanz-Serna (1991).

Un par de funcionales lineales (u, v) se dice que es (0,1)-coherente si existe unasucesión no nula {an}n≥1 tal que las correspondientes sucesiones de polinomiosortogonales mónicos {Pn(x)}n≥0 and {Rn(x)}n≥0 satisfacen

Rn(x) =P′n+1(x)n + 1

+ anP′n(x)

n, an , 0, n ≥ 1. (1)

Si la sucesión {an}n≥1 es nula, estamos en el caso Hahn.

Polinomios ortogonales respecto a productos escalares de Sobolev.



Meijer (1997).

En el caso (0,1)- coherente, al menos uno de los funcionales lineales debe serclásico (Laguerre or Jacobi). Además

Si u es clásico, existen polinomios σu(x), τu(x) and %u(x), con deg(σu(x)) ≤ 2y deg(τu(x)) = deg(%u(x)) = 1, tales que

D(σu(x)u) = τu(x)u y σu(x)u = %u(x)v.

Si v es clásico, existen polinomios σv(x), τv(x) and %v(x), con deg(σv(x)) ≤ 2 ydeg(τv(x)) = deg(%v(x)) = 1, tales que

D(σv(x)v) = τv(x)v y σv(x)u = %v(x)v.



Caso Laguerre

1 dµ0(x) = (x − ξ)xα−1e−xdx, dµ1(x) = xαe−xdx, donde si ξ < 0 entonces α > 0.Si ξ = 0 entonces α > −1.

2 dµ0(x) = xαe−xdx, dµ1(x) = xα+1e−x

x−ξ dx + Mδξ, con ξ < 0, α > −1, M ≥ 0.

3 dµ0(x) = e−xdx + Mδ0, dµ1(x) = e−xdx, con M ≥ 0.



Caso Jacobi

1 dµ0(x) = |x − ξ|(1 − x)α−1(1 + x)β−1dx, dµ1(x) = (1 − x)α(1 + x)βdx, con |ξ| > 1,α > 0, β > 0. Si ξ = 1, entonces α > −1 y β > 0. Si ξ = −1, entonces α > 0 yβ > −1.

2 dµ0(x) = (1 − x)α(1 + x)βdx, dµ1(x) = 1|x−ξ| (1 − x)α+1(1 + x)β+1dx + Mδξ, donde

|ξ| > 1, α > −1, β > −1 y M ≥ 0.

3 dµ0(x) = (1 + x)β−1dx + Mδ1, dµ1(x) = (1 + x)βdx, con β > 0, M ≥ 0.

4 dµ0(x) = (1 − x)α−1dx + Mδ−1, dµ1(x) = (1 − x)αdx, con α > 0, M ≥ 0.



Marcellán, Petronilho, Pinzón-Cortés (2013).

Un par de funcionales lineales (u, v) se dice que es (1,0)-coherente si existe unasucesión no nula {bn}n≥1 tal que las correspondientes sucesiones de polinomiosortogonales mónicos {Pn(x)}n≥0 and {Rn(x)}n≥0 satisfacen

Rn(x) + bnRn−1(x) =P′n+1(x)n + 1

, an , 0, n ≥ 1. (2)

Si la sucesión {bn}n≥1 es nula, estamos en el caso Hahn.



Delgado, Marcellán (2005).

Un par de funcionales lineales (u, v) se dice (1,1)-coherente si

P′n+1(x)n + 1

+ anP′n(x)

n= Rn(x) + bnRn−1(x), an , 0, n ≥ 1.

En este caso, uno de los funcionales ha de ser semiclásico de clase, a lo más, 1.

Si u satisface D(σu(x)u) = τu(x)u con deg(σu(x)) ≤ 3 y deg(τu(x)) ≤ 2, existeuna constante αu tal que σu(x)u = (x − αu)v.

Si v satisface D(σv(x)v) = τv(x)v con deg(σv(x)) ≤ 3 y deg(τv(x)) ≤ 2, existeuna constante αv tal que σv(x)u = (x − αv)v.



Otros operadores de aniquilación.

[Dωp](x) =p(x+ω)−p(x)

ω, ω , 0.

Estudio de los polinomios Dω- clásicos a través de la caracterización deHahn.Abdelkarim, Maroni (1997).

[Hq p](x) =p(qx)−p(x)

(q−1)x , |q| , 1.

Estudio de los polinomios Hq- clásicos y sus caracterizaciones.Hahn (1949), Medem (1996), Khériji, Maroni (2002).

[Lq p](x) =p(qx)−p(q−1 x)

(q−q−1)x , |q| , 1.

Estudio de los polinomios Lq- clásicos.Atakishiyev, Rahman, Suslov (1995)



Ben Cheikh (2007)

Operador de Dunkl: [Mµp](x) = p′(x) + µ p(x)−p(−x)x , µ ≥ − 1

2 .

u es un funcional Mµ- clásico en el sentido Hahn si y sólo si existen dospolinomios Φ(x), mónico, y C(x) con gradC(x) = 1 + gradΦ(x) ≤ 3 satisfaciendouna ecuación de Pearson D(A(x)u = B(x)u junto con xΦ(x)u = h−1(C(x)u) dondeA, B dependen de Φ(x),C(x) y h1 denota el operador de translación parafuncionales lineales.

Los únicos funcionales simétricos Mµ- clásicos son los asociados a lospolinomios generalizados de Hermite y Gegenbauer.

Problema abierto.

Describir los funcionales Mµ- clásicos, en particular, su representación integral.



Extensiones de polinomios clásicos respecto a un operador de aniquilación L.

Polinomios L-semiclásicos.

Polinomios L-Laguerre-Hahn.

Ecuación en L-diferencias satisfecha por la función de Stieltjes S (z) =∑∞

n=0un

zn+1

asociada al funcional de momentos u.

Ecuación L- Pearson que verifica el funcional u.

Ecuación en diferencias para los momentos del funcional u.


Polinomios ortogonales en la circunferencia unidad(OPUC)

Sea U un funcional lineal en el espacio vectorial Λ de los polinomios de Laurent ysean cn = 〈U, zn〉 = 〈U, z−n〉 = c−n, n ∈ Z, los momentos asociados a U.

U define un producto escalar en el espacio de los polinomios con coeficientescomplejos 〈p(z), q(z)〉 =

⟨U, p(z)q( 1

z )⟩.

La correspondiente matriz de Gram es Toeplitz

T =

c0 c1 · · · cn · · ·

c−1 c0 · · · cn−1 · · ·

......

. . ....

c−n c−n+1 · · · c0 · · ·

......

.... . .

(3)

Observar que el operador de multiplicación por z es unitario respecto al anteriorproducto escalar.



U es un funcional cuasi-definido si det(Tn) , 0, n > 1→ {Φn(z)}n>0 (OPUC)

U es un funcional definido positivo si det(Tn) > 0, n > 1→ {φn(z)}n>0 (ONPS) asícomo

〈U, p(z)〉 =

∫T

p(z)dσ(z), p ∈ P, (4)

donde σ es una medida de Borel positiva con soporte infinito en la circunferenciaunidad.

G. SzegoFrancisco Marcellán (ICMAT-CSIC-UAM-UCM-UC3M) Universidad Carlos III de Madrid Albarracín, 6 Mayo 2016. 23 / 52


Fórmulas de recurrencia de Szego progresiva y regresiva

Φn+1(z) = zΦn(z) + Φn+1(0)Φ∗n(z), (5)

Φn+1(z) =(1 − |Φn+1(0)|2

)zΦn(z) + Φn+1(0)Φ∗n+1(z), (6)

Φ∗n(z) = znΦn(z−1) (polinomio recíproco),

{Φn(0)}n>1 (parámetros de Verblunsky, Schur, reflexión).

|Φn(0)| < 1, n > 1.

Además, si kn = ‖Φn‖2 = κ−2

n , entonces

kn = (1 − |Φn(0)|2)kn−1



La función de autocorrelación r de una señal s ∈ `2 es la sucesión r = (rn) tal que

rn =∑

k

sn+k sk, n ∈ Z.

Dominio de la frecuenciaz- transformada

s = (sn) −→ S (z) =∑n∈Z

snzn.

Función de transferencia de un filtro digital T : z-transformada de la respuesta deimpulso.

Espectro de potencia: z-transformada de la función de autocorrelación

Rs(z) =∑n∈Z

rnzn = S (z)S (1/z).

Medida espectral: dµ = Rs(eiω)dω = |S (eiω)|2dω.



Predicción lineal: Predecir sn (linealmente) a partir de {sn−p, . . . , sn−1}.

Construir el mejor predictor

sn = −a1sn−1 − a2sn−2 − · · · − apsn−p,

tal que el error

εn = sn − sn =

p∑k=0

ak sn−k, a0 = 1,

sea mínimo.

Polinomio predictor A(z) =

p∑k=0

akzk, a0 = 1.

Criterio: Minimizar la energía del error. (Método de autocorrelación)p∑

k=1

ri−kak = −ri i = 1, 2, . . . , p.



Filtro de predicción Entrada: señal s. Salida: señal de error ε.Función de transferencia: A(z).

Ep = mın ||e||22 = ||ε||22r0 r−1 · · · r−p

r1 r0. . .

......

. . .. . . r−1

rp · · · r1 r0

1a1...

ap

=

Ep

0...0

Ep = r0 +

∞∑k=1

r−kak, (r−k = rk).

En el dominio de la frecuencia

Ep = mın ||A(z)s|| = mına1···ap

∥∥∥∥∥∥∥1 +

p∑k=1

akzk

∥∥∥∥∥∥∥2

.



donde la norma se considera en el espacio L2(µ) siendo dµ = R(eiω)dω.

Problema

ınfa0=1

∥∥∥∥∥∥∥p∑

k=0

ap−kzk

∥∥∥∥∥∥∥2

µ

=

ınfa0=1

∥∥∥∥∥∥∥p∑

k=0

ap−kzk

∥∥∥∥∥∥∥2

µ

= ||Φp||2µ

Solución

Φp(z) = zp(Ap)∗(z),⟨Φp, z j

⟩µ

= 0, 0 6 j 6 n − 1,⟨Φp, zp

⟩µ

= Ep.



Φk(z) = zΦk−1(z) + ρkΦ∗k−1(z) k = 1, . . . , p.

En p pasos se determina Φk. Elemento clave: Determinación de ρk = Φk(0).Algoritmo de Levinson

Sea

[Tp]i, j = ri− j, i, j = 0, 1, . . . , p, r−i = ri,

Ap = (1, a1, . . . , ap)T

tal que

TpAp = [Ep, 0, . . . , 0]T = Epe0

E0 = r0Para p = 1, 2, . . .ηp−1 = [rp, . . . , r1]Ap−1ρp = ηp−1/Ep−1

Norman Levinson



Ap = [ATp−1 0]T − ρp[0 A∗Tp−1]T

Ep = (1 − |ρp|2)Ep−1.

El algoritmo de Levinson supone que las submatrices principales de Tp son nosingulares.

Además,en = sn + a1sn−1 + · · · + apsn−p (pasado)fn = sn−p + a1sn−p+1 + · · · + apsn (futuro)

esto es, Ap(z), donde A∗p(z) = Φp(z), es el predictor de orden p de futuro y fn elerror de predicción.



(A∗k(z)Ak(z)

)=

(1 −ρk−ρk 1

) (z 00 1

) (A∗k−1(z)Ak−1(z)

)(Realización de la sección i-ésima del filtro de predicción)

Z

ρρρ

ρρρ

≡



Marcellán, Maroni (1991).

Propiedad de Hahn para la derivada: Determinar la OPUC {Φn(z)}n>0 tal que lasucesión {Υn(z)}n>0, con Υn(z) =

Φ′n+1(z)n+1 , sea OPUC.

Φn(z) = zn OPUC respecto al funcional definido por la medida Lebesgue es laúnica que satisface la condición de Hahn respecto al operador derivada.

Idea básica:

Utilizar las relaciones de Szego junto con z ddz Φ∗n(z) = n(Φ∗n(z) − Υ∗n−1(z)).

Observar que también aparece en el trabajo de Bochner pero no se menciona elhecho de ser ortogonal respecto a la circunferencia unidad.



Branquinho, Foulquié, Marcellán, Rebocho (2008).

Si las sucesiones de OPUC {Φn(z)}n≥0 and {Ψn(z)}n≥0 respecto a los funcionalesHermitianos cuasi-definidos U and V, respectivamente, satisfacen

Ψn(z) =Φ′n+1(z)n + 1

+ anΦ′n(z)

n, an , 0, n ≥ 1,

(U,V) es un par (0,1)-coherente en la circunferencia unidad.

U es un funcional semiclásico,

V es una transformación racional de U

{Ψn(z)}n≥0 es una sucesión cuasi-ortogonal de orden a lo más 6 respecto alfuncional [zA(z) + (1/z)A(1/z)]U, donde A(z) es un polinomio complejo.



Si U es el funcional asociado a la medida de Lebesgue, entonces V es elfuncional asociado a la medida de Bernstein-Szego

dµ1 =1

|z − c|2dθ2π, |c| < 1, z = eiθ.

Si V es el funcional asociado a la medida de Lebesgue, entonces U es elfuncional asociado a la medida absolutamente continua

dµ0 = |z − κ|2dθ2π, z = eiθ.

Problema abierto. Descripción de todos los pares de funcionales (0, 1)-

coherentes mediante su representación integral.



Marcellán, Sri Ranga (2016).

Si las sucesiones de OPUC {Φn(z)}n≥0 and {Ψn(z)}n≥0 respecto a los funcionalesHermitianos cuasi-definidos U and V, respectivamente, satisfacen

Φn(z) + anΦn−1(z)

n=

Ψ′n+1(z)n + 1

, an , 0, n ≥ 1,

(U,V) es un par (1,0)-coherente en la circunferencia unidad.

Problema

Describir los pares (1, 0)- coherentes en la circunferencia unidad.



Pasos en la demostración.

Asumir µ0(eiθ) ∈ C2(0, 2π), µ1(eiθ) ∈ C1(0, 2π).

De la condición de (1, 0)- coherencia se deduce quedµ1(eiθ) = ω1(θ)dθ = τ1|ζ − α|

2dµ0(eiθ).

Finalmente,|ζ − α|2ω′0(θ) =

[R(ζ) + R(ζ)

]ω0(θ), (7)

con R(ζ) = R(eiθ) = ueiθ + v, u, v ∈ C.



De las condiciones anteriores se sigue que

idω0(θ)/dζω0(θ)

=uζ2 + (v + v)ζ + uζ(ζ − α)(1 − αζ)

. (8)

Si α = 0, entonces


= u + (v + v)1ζ

+ u1ζ2 . (9)

Si α , 0 pero |α| , 1, entonces


= −1α

uζ2 + (v + v)ζ + uζ(ζ − α)(ζ − 1/α)

. (10)

Si |α| = 1, entonces

idω(θ)/dζω0(θ)

= −1α

uζ2 + (v + v)ζ + uζ(ζ − α)2 . (11)



Caso α = 0.

Considérese la función de peso

ω0(θ) = τ0(u) e2|u| sin(θ+arg u) con∫ 2π

0 ω0(θ)dθ = 1.

El par de funcionales (U,U) asociado a la medida dµ(eiθ) = ω0(θ)dθ es(1, 0)-coherente.



Caso |α| , 0, 1.

Sea u ∈ C.

Considérense las funciones de peso

ω0(θ) = τ0(u, α) e2<(u/α) arg(1−αe−iθ)|eiθ − α|−2=(u/α),

ω1(θ) = τ1(u, α)|eiθ − α|2ω0(θ)

donde τ0(u, α) and τ1(u, α) son constantes de normalización de las medidas.

El par de funcionales lineales (U,V) asociado a las medidasdµ0(eiθ) = ω0(θ)dθ y dµ1(eiθ) = ω1(θ)dθ es (1, 0)-coherente.



Caso |α| = 1.

Sea b ∈ C,<(b) > −1/2.

Considérese la función de peso ω0(θ) = τ0(b, t) (eπ−θ)=(b)( sin2(θ/2))<(b) donde

τ0(b, t) satisface∫ 2π

0 ω0(θ)dθ = 1 − t, con 0 ≤ t < 1.

Si dµ0(eiθ) = ω0(θ)dθ + tδ(θ), y dµ1(eiθ) = ω1(θ)dθ = τ1(b)|eiθ − 1|2ω0(θ)dθ, con∫ 2π0 dµ1(eiθ) = 1, entonces el par de funcionales lineales (U,V) asociados a

las medidas (dµ0, dµ1) es un par (1, 0)-coherente.

Problema abierto

Determinar los parámetros de Verblunsky correspondientes a las anterioresmedidas.



Problema abierto

Determinar los OPUC tales que se preserva la ortogonalidad respecto aloperador [Hq p](z) =

p(qz)−p(z)(q−1)z , |q| , 1.

Clase Appell. Marcellán, Tasis (1993).

q = 0. Existe k ≥ 1 y |α| , 1 tal que Φn(z) = zn−k(zk + α), n ≥ k, Φn(z) = zn,

0 ≤ n ≤ k − 1.

q ∈ R+. Φn(0) = αn con α = q12 exp(iβ).

En otro caso, Φn(0) = 0, n ≥ 1.


Polinomios ortogonales matriciales en la recta real

Sea P(m) = {∑n

k=0 dk xk : dk ∈ C(m,m), n ∈ N} un módulo a izquierda sobre el anillo

de las matrices cuadradas de tamaño m × m.

Si u es un funcional lineal en P(m), denotaremos u(P) = 〈P, u〉.

〈P, uQ〉 =∑n

k=0〈xkP, u〉qk con Q(x) =

∑nk=0 qk xk.

〈P,Qu〉 = 〈PQ, u〉.

〈P,Q〉u = 〈P, uQ∗〉.

Matrix Hankel por bloques asociada a u.

Momentos µn = 〈xnIm, u〉.

Hn = (µi+ j)ni, j=0, ∆n = detHn.



Asumiendo que todos las submatrices principales por bloque son no singulares(funcional cuasi-definido), se puede definir una sucesión de polinomiosortogonales matriciales mónicos {Pn(x)}n≥0

xPn(x) = Pn+1(x) + BnPn(x) + AnPn−1(x), n ≥ 0, con P−1(x) = 0m×m, P0(x) = Im

y An no singular.

Caso definido positivo.

〈P, u〉 =∫

P(x)dM(x), donde dM es una matriz de medidas definida positiva en larecta real (una matriz de medidas con M(S ) semidefinida positiva para todosubconjunto de Borel en la recta real), con momentos finitos y tal que∫

P(x)dM(x)P∗(x) es no singular si det P(x) , 0.



Un funcional lineal u se denomina P-funcional si existen polinomiosΦ,Ψ ∈ P(m), con det Φ , 0 tales que D(uΦ) = uΨ. (Ecuación de tipoPearson).

Si deg Φ ≤ p y deg Ψ ≤ q, u se denomina Pp,q- funcional.

Mp,q(u) = {Φ ∈ P(m)p : D(uΦ) = uΨ,Ψ ∈ P(m)

q }.

Mp,q(u) no es un ideal en P(m) sino un submódulo a la derecha. Pese a serfinitamente generado , en general no es cíclico, y el problema de búsqueda de unrepresentante canónico es clave.

Si ∆k son non singulares para k = 0, 1, 2, entoncesM2,1(u) es cíclico y, portanto, tiene un único generador.

u es un P- funcional si y sólo si existe un polinomio con coeficientescomplejos α(x) y un polinomio matricial Ψ tal que D(uαIm) = uΨ.



Generalización del concepto de funcional clásico en el caso matricial a través dela ecuación de Pearson. Cantero, Moral, Velázquez (2007).

Clase cerou es cuasi-definido y existen α(x) polinomio escalar de grado a lo más 2 y unpolinomio matricial Ψ(x) de grado, a lo más, 1 tal que D(uαIm) = uΨ.

Clase P2,1u es cuasi-definido si existen polinomios Φ,Ψ, deg Φ ≤ 2 y deg Ψ ≤ 1, con detΦ , 0 tales que D(uΦ) = uΨ.



Sea u un funcional cuasi-definido y {Pn(x)}n≥0 la correspondiente sucesión depolinomios ortogonales matriciales mónicos. Son equivalentes

u es un funcional de clase P2,1.

{Qn(x)}n≥0 es una sucesión de polinomios ortogonales matriciales mónicosrespecto a un funcional lineal v.

Existen matrices Dn,Gn ∈ C(m,m) tales que

Pn(x) = Qn(x) + DnQn−1(x) + GnQn−2(x), n ≥ 1, donde Gn − An es no singularpara n ≥ 1.

Además v = uΦ, donde Φ es un polinomio matricial de grado a lo más 2, detΦ , 0, y D(uΦ) = uΨ, donde Ψ es un polinomio matricial de grado a lo más 1.



Sean α(x) = α0 + α1x + α2x2, Ψ(x) = ψ0 + ψ1x.

La ecuación de Pearson D(uαIm) = uΨ. tiene una solución cuasi-definida si ysolo si Mn y α(−NnM−1

2n ) son no singulares para n ≥ 0 donde Nn = ψ0 + nα1Im,Mn = ψ1 + nα2Im. En estas condiciones, la solución de la ecuación dePearson es única salvo factores matriciales a izquierda y las solucionescuasi-definidas corresponden a elecciones no singulares del primermomento del funcional u.

α(x) = 1. Hermite type.

α(x) = x. Laguerre type.

α(x) = x2. Bessel type.

α(x) = 1 − x2. Jacobi type.



Sean Mn = ψ1 + nα2 , Nn = ψ0 + nα1, Vn = MnMn+1 · ·M2n+1,

E−1n En+1 = −(n + 1)Vn−1M−1

2n−1α(−NnM−12n )M2nV−1

n .

Sea u un funcional de clase cero con ecuación de Pearson D(uαIm) = uΨ.

La ecuación diferencial αy′′ + Ψy′ − nMn−1y = 0 tiene una única soluciónpolinómica matricial de grado n que es el polinomio ortogonal matricial degrado n respecto al funcional u con coeficiente conductor (EnVn−1)−1.



Si µn = µ∗n para n ≤ 5, entonces α(x) es un polinomio real bajo las siguientescondiciones

[µ2, µ1] = 0, ∆0 > 0 y ∆k, k = 1, 2, · · · , 5 son no singulares.

∆2 > 0.

Como consecuencia, para todo funcional definido positivo de clase cero, α(x) esun polinomio real salvo factores no triviales.

Sea u un funcional de clase cero con µn = µ∗n para n ≤ 3, y ∆0 > 0. Si α(x) esun polinomio real salvo factores no triviales, entonce u es diagonalizable porcongruencia. Si, además, ∆0 = Im, entonces u es diagonalizableunitariamente.

Si se satisfacen las condiciones anteriores y µn = µ∗n para n = 4, 5, entoncesα(x) es real salvo factores no triviales si y solo si u es diagonalizable porcongruencia.



Durán, Grünbaum (2004).

Bochner matricial

Sea L2 = D2A2 + DA1 + A2 un operador diferencial lineal de segundo orden cuyoscoeficientes son matrices polinómicas, dM = Wdx una matriz de medidasdefinida positiva y {pn(x)}n≥0 la correspondiente sucesión de polinomiosmatriciales ortonormales.

El operador L2 es simétrico respecto al producto escalar asociado a W.

Pn(x) es una autofunción de L2 con autovalor a izquierda Hermitiano Γn.

La matriz W satisface condiciones de frontera junto con

A2W = WA∗2,

2(A2W)′ = WA∗1 + A1W,

(A2W)′′ − (A1W)′ + A0W = WA∗0.



Formula de Rodrigues.

Durán, Grünbaum (2005).

Si el funcional u asociado a dM es de clase cero, y se satisfacen las condicionesde frontera, con a2(x) = A2(x) un polinomio escalar de grado 2 y ceros simples,junto con el hecho de que el espectro del coeficiente conductor de A1 es disjuntocon los enteros no negativos, entonces

pn(x) = (a2(x)nW(x))(n)W−1(x).



Caracterización de Hahn para el operador ∆.

Durán, Sánchez Canales (2014).

Ecuación tipo Pearson.

Fórmula de Rodrigues.

Ecuaciones en diferencias de segundo orden y coeficientes polinómicos(extensión al caso matricial de la caracterización de los clásicos discretos.Lancaster (1941)


Polinomios Ortogonales 'Clásicos'. Operadores y...

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