.co

open greenroad

Guía MatemáticaPORCENTAJES

tutora: Jacky Moreno

open greenroad

1. Porcentajes

Los porcentajes son expresiones matematicas con las que estamos muy familiarizados en nuestra vidacotidiana, en la informacion que nos entregan los medios de comunicacion hay presentes muchos porcenta-jes, por ejemplo; “el nuevo iPhone 5 es un 18 % mas delgado que sus antecesores y un 20 % mas liviano”,“el cobre cae 0,75 % por negatividad de mercados”, “ministro Manalich destaca aumento del 30 % de laspersonas que donan sus organos” o “solo el 18 % de programas de centros de formacion tecnica e institutosesta acreditado”. A traves de estos ejemplos podemos notar como los porcentajes nos facilitan la lecturae interpretacion de los datos, pero ¿que son los porcentajes?

Un porcentaje o un tanto por ciento es una razon que se usa para comparar dos cantidades cuales-quiera. Formalmente representa el numero de partes que nos interesa, de un total de 100.

Ası, el sımbolo x% corresponde a x100 el cual se interpreta como x de cada 100. Por ejemplo “Cristian

Labbe pierde las elecciones municipales de Providencia con un 44 % de los votos”, tal resultado se inter-preta de forma que de cada 100 votos emitidos 44 fueron a favor del candidato Cristian Labbe.

Las formas en que se puede expresar un porcentaje son 3, a traves de: porcentajes, fracciones o numerosdecimales.

1.0.1. ¿Operar con porcentajes es igual a operar con numeros absolutos?

Muchas veces en las grandes tiendas nos encontramos con anuncios como:

y al momento de llegar a la caja, al pagar con la tarjeta de credito de la multitienda te hacen un descuen-to adicional sobre el monto a pagar de un 10 %. En este caso intuitivamente uno tiende a pensar que eldescuento total realizado es de 20 % + 10 % = 30 %, pero ¿realmente es ası?

La verdad es que no ası necesariamente. Supongamos que te compras una polera que vale $12.000, sile realizamos el primer descuento por ser dıa lunes, un 20 %, significa que debemos restarle un quinto delprecio total, quedando el precio de la polera en:

$12.000 -1

5$12.000 = $12.000 - $2.400 = $9.600

2

open greenroad

Si luego le realizamos el descuento de 10 % por pagar con la tarjeta de la multitienda, significa que ahorale disminuimos un decimo a los $9.600 pagando un total de:

$9.600 -1

10$9.600 = $9.600 - $960 = $8.640

Por lo tanto al realizar ambos descuentos la polera nos sale $8.640 y no $8.400, que corresponde arealizar un descuento total del 30 % como se penso originalmente.

Otra situacion parecida sucede con la sustraccion de porcentajes. Por ejemplo, en el ano 2010 el preciode las viviendas, en la comuna de La Florida, promediaba entre las 36 UF por metro cuadrado, en el ano2011 este valor aumento en un 50 % y luego en el ano 2012 el precio de las viviendas disminuyo en un 50 %.

Intuitivamente tendemos a pensar que el valor que promediaban las viviendas en La Florida permaneceintacto ya que mentalmente calculamos 50 %− 50 % = 0 %. Lamentablemente nuestra intuicion nos falla,puesto que no necesariamente es ası. En nuestro ejemplo tenemos que en el ano 2011 aumento en un 50 %,es decir, debemos sumarle la mitad del valor original; por lo tanto el metro cuadrado estuvo cotizado en54 UF , luego en el ano 2012 disminuyo un 50 %, entonces le restamos la mitad a las 54 UF obteniendoel valor del metro cuadrado a 27 UF y no a 36 UF como se penso originalmente al decir que no varıa ennada el valor inicial.

La operacion de porcentajes no es equivalente a laoperacion de numeros absolutos.

Desafıo 1

Cuando realizas la compra de ciertos productos, ademas del precio del artıculo que

estas comprando, debes pagar el IVA (Impuesto al Valor Agregado) que corresponde

al 19 %. Si un comerciante te ofrece el 19 % de descuento sobre el valor de la compra,

¿significa que los artıculos te saldran al mismo precio que si no pagaras el IVA? Respuesta

1.1. Casos simples del uso del porcentaje

1.1.1. Determinar un porcentaje de una cantidad

Para saber ¿cuanto es el 4 % de 200? se debe transformar el porcentaje a una fraccion con denominador100 y multiplicarlo por la cantidad. De esta manera el 4 % de 200 es equivalente a:

4

100· 200 =

4 · 200

100= 8

Por lo tanto el 4 % de 200 es 8.

De manera general, para saber cuanto es el x% de a, se desarrolla la expresion:

x · a100

3

open greenroad

1.1.2. Determinar que cantidad representa un porcentaje de otra

Para saber ¿que porcentaje es 12 de 5?, debemos considerar utilizar la siguiente relacion:

x

100· 5 = 12

La cantidad 5 corresponde al 100 % y la cantidad 12 corresponde al x%, que es lo que se deseadeterminar. Luego se resuelve como cualquier proporcion:

x =100 · 12

5x = 240 %

De manera general, para saber que porcentaje es b de a, debemos desarrollar la expresion:

x

100· b = a

1.1.3. Determinar una cantidad conociendo el porcentaje que equivale a esa cantidad

Para saber de que cantidad 17 es el 25 %, tenemos que notar que lo que nos piden calcular es el numeroal cual le corresponde el 100 %, por lo tanto usamos la siguiente proporcion:

25

100· x = 17

Luego resolvemos como cualquier proporcion:

x =17 · 100

25x = 68

De manera general, para saber de que cantidad a es el b%, debemos desarrollar la relacion:

b

100· x = a

1.1.4. Determinar el porcentaje de un porcentaje

Para saber cuanto es el 5 % del 10 % de 80? tenemos que notar que hay que realizar dos pasos: Primerodeterminar el 10 % de 80 como lo hicimos en el punto 1.1.1 y luego determinar el 5 % de tal resultado.Este desarrollo se efectua de la siguiente manera:

x =10

100· 80

x = 8

Luego calculamos el 5 % faltante:

4

open greenroad

x =5

100· 8

x =40

100

x =2

5= 0, 4

De manera general para saber cuanto es el a% del b% de c, debemos desarrollar la expresion:

a

100·(

b

100· c)

= x

. Ejemplo

Un sondeo realizado por el diario La Tercera entre los 120 miembros de la Camara de Diputados arrojolos siguientes datos:

86 Buscaran su reeleccion con seguridad o alta probabilidad.11 % Decidieron no seguir en la Camara y competir para lograr

un escano senatorial.10 Tienen dudas sobre seguir en la Camara o dar un salto al

Senado.7 % Decidieron no ir a la reeleccion ni postular al Senado.3 Tiene dudas o no responden sobre si seguiran en el Congreso.

a) ¿Cuantos diputados compiten para llegar al Senado?

b) ¿Que porcentaje representa a los diputados que apuestan a seguir en el Congreso?

c) Transformar los datos que faltan de la tabla a sus respectivos porcentajes o a la cantidad de dipu-tados.

Solucion: Resolveremos cada ejercicio por separado.

a) ¿Cuantos diputados compiten para llegar al Senado?

Observando la tabla vemos que un 11 % de los diputados van a competir para llegar al Senado. Siqueremos saber a que numero corresponde ese 11 % debemos hacer uso de la siguiente proporcion:

11

100· 120 = x =⇒ x = 13, 2

Como el numero de personas debe ser un entero positivo tenemos que aproximar nuestro valor, porlo tanto solo 13 diputados compiten para llegar al Senado.Cabe destacar que la pregunta del enunciado es completamente analoga a preguntarse: ¿Cual es el11 % de 120?

5

open greenroad

b) ¿Que porcentaje representa a los diputados que apuestan a seguir en el Congreso?

El Congreso esta compuesto por la Camara de Diputados y por el Senado. Como nos piden calcularel porcentaje que representan los diputados que apuestan a seguir en el Congreso tenemos que tomaren cuenta a las 86 personas que buscan una reeleccion como diputados, las 13 personas que compitenpara llegar al Senado y a las 10 personas que aun no deciden su destino pero que seguiran en elCongreso, en total suman 86+13+10 = 109. En base a lo anterior queremos saber, ¿que porcentajees 109 de 120?, para esto usamos la siguiente proporcion:

x

100· 120 = 109

x =109 · 100

120x = 90, 8

Por lo tanto alrededor de un 91 % de los diputados apuestan a seguir en el Congreso tras elecciones.

c) Transformar los datos que faltan de la tabla a sus respectivos porcentajes o a la cantidad de dipu-tados.

Primero transformamos el unico porcentaje que nos queda por cambiar. Lo que queremos determinares ¿cuanto es el 7 % de 120?, para lo cual utilizamos la siguiente proporcion:

7

100· 120 = x =⇒ x = 8, 4

Por lo tanto hay 8 diputados que no seguiran como legisladores.

Ahora, transformamos las cantidades de diputados a los porcentajes utilizando proporciones:

¿Que porcentaje es 86 de 120?

x

100· 120 = 86

x =100 · 86

120x = 71, 6

Por lo tanto alrededor de un 72 % de los diputados buscan la reeleccion.

¿Que porcentaje es 10 de 120?

x

100· 120 = 10

x =100 · 10

120x = 8, 3

6

open greenroad

Por lo tanto alrededor de un 8 % de los diputados tienen dudas sobre si seguir en la Camara o pasaral Senado.

¿Que porcentaje es 3 de 120?

x

100· 120 = 3

x =100 · 3

120x = 2, 5

Por lo tanto alrededor de un 2 % no sabe o no responde sobre si seguiran en el Congreso.

- Ejercicios

En los siguientes ejercicios se utilizan datos reales entregados por distintos medios de comunicacion,resuelvelos utilizando todo lo aprendido sobre porcentajes.

1. El grafico que se presenta a continuacion, muestra la categorıa ocupacional que presentaron lasmujeres segun datos entregados por la INE en base al censo realizado en el ano 2012.

a) Si 456.361 mujeres trabajan por cuenta propia, ¿cuantas mujeres trabajan como personal deservicio domestico?

7

open greenroad

b) ¿Que porcentaje de las mujeres que trabajan por cuenta propia son las mujeres que trabajancomo personal de servicio domestico?

c) Si 48.038 mujeres desempenan un rol de empleador o patron, ¿cuantas mujeres son asalariadasdel sector privado? ¿Cuantas mujeres fueron registradas dentro de estas 6 categorıas ocupacio-nales?

d) ¿Que porcentaje del total representan las 336.266 mujeres que reciben sueldos del sector publi-co?

2. A partir del 10 de enero del 2013 la autopista Costanera Norte comenzara a aplicar las nuevas tarifascorrespondientes al 2013, toda la informacion se presenta en la siguiente tabla:

De acuerdo a los datos entregados por la tabla:

a) ¿En que porcentaje aumento la tarifa por kilometro recorrido en la autopista en horario Punta?

b) ¿Ambos horarios fueron aumentados en el mismo porcentaje? ¿Si no es ası, por cuanto porcen-taje se diferencian?

c) Si un automovilista decide recorrer el tramo entre El Puente La Dehesa y la Ruta 68 queconsta de 35,4 kilometros, ¿cuanto le costara en cada uno de los horarios? ¿Cuanto pesos mastendra que pagar en el 2013?

3. En el 2011 se volvio aplicar en Chile la prueba TIMSS, la que corresponde a un estudio internacionalque se realiza para evaluar los logros educativos, especıficamente, los aprendizajes aprendidos en elarea de Matematica y Ciencias en alumnos de 4° basico y 8° basico. En Chile participaron 5.585estudiantes de cuarto basico y 5.835 de octavo basico.

a) Si los alumnos de 8° basico en el 2003 obtuvieron 413 puntos en Ciencias, ¿cuantos puntosaproximadamente obtuvieron en el 2011 si aumentaron alrededor de un 11, 7 %?

b) Si los alumnos de 8° basico en el 2003 obtuvieron 387 puntos en Matematica y en el 2011obtuvieron 416 puntos, ¿en cuanto porciento aumentaron los resultados de Matematica?

c) Los estudiantes de 8° basico de los colegios particulares pagados obtuvieron en el 2011, 520puntos en la prueba de Matematica. Si en el 2003 obtuvieron un 96 % de esa puntuacion,¿cuantos puntos obtuvieron en la prueba de Matematica del 2003? ¿Cuantos puntos hubo dediferencia entre el 2003 y el 2011?

d) Los estudiantes de 8° basico de los colegios municipales obtuvieron 357 puntos en la prueba deMatematica realizada en el 2003 y 387 puntos en la efectuada en el ano 2011. ¿Cuantos puntosaumento? ¿Que porcentaje representa ese numero?

e) ¿Cual es la diferencia que existe entre los colegios municipales y los particulares pagados enlos puntajes obtenidos en la prueba de Matematica en el ano 2003? ¿Y en el 2011? ¿Podrıasexpresar esta diferencia a traves de porcentajes?

8

open greenroad

Desafıos resueltos

3 Desafıo I: Supongamos que el valor de compra de un artıculo es de $119.000 (este valor ya inclu-ye el 19 % del IVA). Si a ese valor le descontamos el 19 % de descuento que ofrece el comerciantetendrıamos el precio final a pagar. Calculamos primero el 19 % de la siguiente forma:

x =19

100· 119.000

x = 22.610

Por lo tanto los 22.610 pesos equivalen al descuento que realiza el comerciante. Le restamos eldescuento al precio original para obtener el total a pagar:

x = 119.000− 22.610

x = 96.390

Finalmente el precio total a pagar corresponden a $96.390.

Analicemos la otra opcion, es decir, pagar el artıculo sin IVA. En este caso si el precio a pagares de $119.000 este precio corresponde al 119 % ya que se incluyo el IVA. A traves del siguienteprocedimiento obtendremos el valor original del artıculo que equivale al 100 %:

119

100· x = 119.000

x =119.000 · 100

119x = 100.000

Por lo tanto, el precio final a pagar si le descontamos el IVA corresponde a $100.000.Finalmente los artıculos no salen al mismo precio.Volver

Bibliografıa

[1 ] Apuntes para la preparacion de la PSU Matematica, Segunda Edicion, 2009,Pamela Paredes Nunez, Manuel Ramırez.

[2 ] Libro para el maestro, Segunda Edicion, 2001,Jesus Alarcon Bortolussi, Elisa Bonilla Rius, Rocıo Nava Alvarez, Teresa Rojano Cevallos, RicardoQuintero.

9