Potenciación Radi y logaritmo

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SECRETARIA DE EDUCACIÓN MUNICIPAL DE CUCUTAINSTITUCION EDUCATIVA COLEGIO ORIENTAL No 26

AREA DE MATEMÁTICAS

Profesor: MG: César Augusto Canal Mora Grado:6º(Sexto) Fecha: 9 de Abril/07

POTENCIACIÓN, RADICACIÓN, LOGARITMACIÓN

Potenciación:Si a y n son números Naturales, entonces an = a. a. a...a donde a es tomado como factor n veces

En la Potenciación se distinguen los siguientes términos:

Base: Es el número que se repite como factor.

Exponente: Indica el número de veces que se toma como factor la base.Potencia: Es el resultado de multiplicar la base el número de veces que indica el exponente.

Por ejemplo: La expresión 34 = 81 Se lee “tres elevado al la cuatro igual a ochenta y uno”. Además 3 es la base, 4 el exponente y 81 es la potencia que resulta de multiplicar 3x3x3x3

Potencia en base Cero en NLa potencia de base cero es igual a cero para cualquier exponente número natural.

Ejemplo: 03 = 0. 0. 0 = 0 es decir que 05 = 0 ó que 025 = 0

El conjunto de los números naturales, junto con la potenciación, satisface las siguientes propiedades:

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los

exponentes de los factores.Ejemplo: 23 x 22 = (2x2x2)x(2x2) = 2x2x2x2x2 = 25

Así 23 x 22 = 23+2 = 25

Potencia de un productoLa potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores.

Ejemplo: (2x3)4 = (2x3) x (2x3) x (2x3) x (2x3) =

= ( 2 x 2 x 2 x 2) x ( 3 x 3 x 3 x 3 ) == 24 x 34 = 16 x 81 = 1.296

(2 x 3 )4 = 24 x 34 = 1.296

Potencia de una PotenciaLa potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes involucrados.

Ejemplo: (23)4 = 23 + 23 + 23 + 23 = 23+3+3+3 = 23x4 = 212

Potencia de un cocienteLa potencia de un cociente en N es igual al cociente de las potencias del Numerador y el Numerador.

Es importante añadir que por el momento deben ser exactos para poder realizar la potencia.

Ejemplo: 27

832.5

333

181818

3

18

3

18

3

18

3

183

===

x x

x x

x x

3

33

3

18

3

18=

División de Potencias de igual base

El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre

el exponente del dividendo y el exponente del divisor.

En la expresión =n

m

a

a

se distinguen tres posibilidades nm⟩ , nm = , nm⟨



Primer caso: nm⟩

Por ejemplo: 235

3

5

777

7==

−

Segundo caso : nm =

( ) 177117

7

7

7 0555

5

5

5

=====

= − aplicando la propiedad anterior

Por lo tanto la potencia con exponente Cero (0) con base cualquier número es igual a (1) uno.

Si tomamos cualquier número Natural como base y como exponente (0), significa que la potencia es igual auno como resultado de que es un caso especial del cociente de potencias explicado anteriormente.

Ejemplo: 50 = 1 Cualquier base elevada al exponente cero su potencia es (1) uno.

Potenciación en base 10La potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como lo indique el exponente.

Ejemplo: 103 = 10 x 10x 10 = 1.000 lo anterior ilustra la propiedad.

Todo múltiplo de 10 se puede expresar como un producto de potencias de 10.

Ejemplo: 15.000 = 15 x 1.000 = 15 x 103 es la expresión como producto con potencia s de 10.

Taller de Ejercicios de potenciación y sus propiedades:1. En cada uno de los siguientes ejercicios, aplica las propiedades estudiadas para simplificar, sin efectuar las potencias:

a) 42 x 42 = e) 34 x 32 = b) 81 x 85 = f) 23 x 52 x 34 x 5 4 x

27 x 35 x 25 =c) 52 x 53 x 54 = g) (2 x 7 )4 x ( (7 x 3 )5

x ( 3 x 5 )6 =

d) 6

0

x 6

1

x 6

2

2. Escribe como producto con potencias de 10 cada uno de los siguientes números:

a) 100 = e) 3.200 = i) 7.200 = b) 10.000 = f) 25.000 = j) 9.000 =

c) 1’000.000 = g) 3.800 = k) 83.000 =

d) 5.000 = h) 52.000 = l) 6’300.000 =

RADICACIÓN

La radicación es la operación que representa la operación inversa de la potenciación.Un número b que pertenece al conjunto de los números naturales se llama raíz n-sima de a si y sólo sí

bn = a, se nota ban = el signo de la operación es : se llama radical

En la radicación se distinguen los siguientes términos:

Radicando = es la cantidad que figura dentro del símbolo radical.Índice = es el número que indica el orden de raíz que se extrae. Cuando el índice es 2, no es necesario

escribirlo.

Raíz = es el resultado de efectuar la operación.

La expresión ban = Se lee “raíz n-sima de a igual a b”

Por ejemplo:

2 es la raíz cúbica de 8 por que 23 = 8 y se nota: 283 =5 es la raíz cuadrada de 25 por que 52 = 25 y se nota: 5252 =

En otras palabras en la potenciación nos dan la base y el exponente y hay que encontrar la potencia, mientras

que en la radicación nos dan la potencia y el exponente y se debe hallar la base. Es decir que cuando nos preguntan ¿Cuál es la raíz quinta de 32? Debemos averiguar ¿Cuál es la base que elevada a la quinta nos da

32?

Taller de ejercicios de Radicación.

1. Resuelve la potencia y exprésela como raíz:

a) 112 = d) 17 = g) 54 = j) 25 =

b) 53 = e) 34 = h) 27 = k) 73 =

c) 104 = f) 33 = i) 45 = l) 106 =



2.Encuentra la raíz indicada para cada uno de los siguientes ejercicios:

a) =2 9 e) =2 100 i) =2 64 m) =4 000.10

b) =3125 f) =3 27 j) =2 64 n) =2 625

c) =2 81 g) =3 343 k) =3

000.1 o) =5 32

d) =2 36 h) =3 512 l) =2 729 p) =3 8

3. Complete el siguiente cuadro:

POTENCIACIÓN 24335 = 000.000'110

6 = 12553 =

EXPRESIÓNRADICAL

2164 = 73433 =

LOGARITMACION

El proceso de hallar el exponente desconocido sabiendo la base y la potencia, es llamado logaritmación.

El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar otro número, llamado base, paraobtener el número dado.

El signo de la operación es log.En la logaritmación se distinguen los siguientes términos:

Base: puede ser cualquier número positivo

Número: es el valor dado, que representa la potencia de elevar la base a cierto exponente.Logaritmo: representa el exponente al que elevó la base para obtener el número.

Ejemplo: Log5 25 = 2 Se lee “log en base 5 de 25 es 2”, significa que 2 es el exponente al que hay que

elevar a 5 para obtener 25, es decir que 2552 =

Se utilizan mucho los logaritmos de base 10, llamados logaritmos vulgares o de Briggs. Cuando nos

referimos a estos logaritmos no se escribe la base.

Ejemplo: log10 100, también se escribe log 100

Propiedades elementalesDe la definición de logaritmo se desprenden las siguientes propiedades:

• El logaritmo de la base es siempre la unidad. En efecto, como se tiene que: aa =1 entonces

aaaa =⇔= 11log

Ejemplo: 5515log 1

5 =⇔= , 7717log 1

7 =⇔= , log 10 = 1

• El logaritmo de la unidad es siempre cero. En efecto, como se tiene que 10 =a entonces

101log 0=⇔= a

a

Ejemplo: 1501log 0

5 =⇔= , 1701log 0

7 =⇔= , 11001log 0 =⇔= ilustran la propiedad

Ejercicios: Completar las potencias de 47 y 53 escribirlas como logaritmo:

=47 7 x 7 x 7 x 7 = 2.401 4401.2log7 =⇔=53 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 5243log3 =⇔

Calcular: 128log2 = ? 12827 =⇔

Propiedades globales de los logaritmosCuando se aplican los logaritmos a un producto, a un cociente o a una potencia, se obtienen las siguientes

propiedades:

• Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.Ejemplo: 128222734)128(log8log16log)816(log 734

2222 ==+⇔=+==+= x

Luego log10 (16x8) = 7 = 4+3 = log2 16 + log2 8



• Logaritmo de un cocienteEl logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo deldivisor.

Ejemplo: log4 ( 64 ÷16 ) = log4 64 – log4 16

En efecto, sabemos que: 64 ÷ 16 = 4 y que Log4 4 = 1 ⇔ 41 = 4

Además, Log4 64 = 3 ya que 4

3

= 64 y que Log4 16 = 2 ⇔ 4

2

= 16Luego log4 ( 64 ÷16 ) = 1 = log4 64 – log4 16 = 3 - 2 = 1

• Logaritmo de una potencia.El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por logaritmo de la base.

Ejemplo: Log4 162 = 2 Log4 16 = 2 x 2 = 4 ⇔ 44 = 256 ya que Log4 256 = 4

Taller de ejercicios de Potenciación:

1. Completa las siguientes potencias y escríbelas en notación logarítmica:

a) 103 = b) 45 = c) 55 = d) 110 =

2. Calcula los siguientes logaritmos:

a) log 5 625 = b) log 9 6.561 = c) log 100.000 = d) log 7 343 =

3. Completa:

Potenciación 106 = 1’000.000 93 = 729

Radicación 3814 =

Logaritmación Log 6 216 = 3

4. Aplica las propiedades para hallar los siguientes logaritmos:

a) log 5 ( 25 x 125 ) = d) log 5 ( 625 ÷ 25 ) = g) log 4 165 =

b) log 6 ( 126 x 6 ) = e) log 6 ( 1.296 ÷ 36 ) = h) log 7 493 =c) log 3 (27 x 81 ) = f) log 3 ( 243 ÷27 = i) log 11 1215 =

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