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7/21/2019 PP2BAIN0532SEM2014PAUTA

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UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA

CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIERIA.

PAUTA PRUEBA PARCIAL N

2 BAIN 053

METODOS NUMERICOS PARA INGENIERIA

06 de octubre de 2014

I. Seleccion Multiple

1. Dado el siguiente sistema de ecuaciones

4x 2z = 2

2x+ 6y+ 2z = 4

2y+ 4z = 2

La matriz (MGS) y el vector (cGS) de iteracion del metodo de Gauss-Seidel es:

(a) MGS=

0 0 120 0 16

0 0 112

, cGS=

12

56

112

(b) MGS=

0 0 120 0 160 0 112

, cGS=

12

56 1

12

(c) MGS=

0 0 120 0 16

0 0 112

, cGS=

1256

112

(d) MGS=

0 0 120 0 160 0 112

, cGS=

1256112

Solucion.

La matriz de Gauss-Seidel (MGS) del sistema es,

MGS= (D L)1

U= 4 0 0

2 6 00 2 4

1

0 0 20 0 20 0 0

= 0 0 1/2

0 0 1/60 0 1/12

.

Y el vector (cGS) corresponde a,

cGS= (D L)1b=

4 0 02 6 0

0 2 4

1 24

2

=

1/25/6

1/12

.

Por lo tanto, la alternativa correcta es (c) .

2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

4 1 0 11 4 1 0

0 1 4 11 0 1 4

x1x2x3x4

=

103

0.5

.

Considere las siguientes iteraciones:

(i) Resolver

4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4

xk+11

xk+12

xk+13

xk+14

=

0 1 0 11 0 1 00 1 0 11 0 1 0

xk1

xk2

xk3

xk4

+

103

0.5

.

(ii) Resolver

0 0 0 01 0 0 0

0 1 0 01 0 1 0

xk+11

xk+12

xk+13

xk+14

=

4 1 0 10 4 1 00 0 4 10 0 0 4

xk1

xk2

xk3

xk4

+

103

0.5

.

(iii) Resolver

4 0 0 0

1 4 0 0

0 1 4 0

1 0 1 4

xk+11

xk+12

xk+13

xk+14

=

0 1 0 10 0 1 00 0 0 10 0 0 0

xk1

xk2

xk3

xk4

+

103

0.5

.

Son convergentes:

(a) Solo (i) y (ii).

(b) Solo (i) y (iii).


2/9

(c) Solo (ii) y (iii).

(d) Ninguna de las anteriores.

Solucion.

(i) es el metodo de Jacobi y (iii) es el metodo de Gauss-Seidel, como la matriz del sistema lineal es estric-tamente diagonal dominante por filas, tenemos la certeza de que estos metodos son convergentes. Por lotanto, la alternativa correcta es (b) .

3. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales 10 0 14 12 4

4 4 10

x1x2

x3

=

18

4

El mnimo numero de iteraciones necesarias, usando norma infinito, para cometer un error de a lo m as108 en el metodo de Jacobi, con x(0) = (0, 0, 0)t es:

(a) 87 iteraciones.

(b) 88 iteraciones.

(c) 89 iteraciones.

(d) 90 iteraciones.

Solucion.

Primero debemos calcular la matriz de Jacobi (MJ) y el vector (cJ), asociada al sistema son

MJ = D1 (L+U) =

10 0 00 12 0

0 0 10

1 0 0 14 0 4

4 4 0

=

0 0 1/101/3 0 1/3

2/5 2/5 0

cJ = D1b=

10 0 00 12 0

0 0 10

1

18

4

=

1/102/3

2/5

Para calcular el numero de iteraciones, en norma infinito, con un error de a los mas 108, se debe tener

MJk

1 MJ

x(1) x(0)

ln108 1/5

2/3 ln(4/5)

k > 87.9463172146

Por lo tanto, se necesitan 88 iteraciones para tener un error de a lo m as 108.Luego la alternativa correctaes (b).

4. Considere la tabla

xi -2 -1 0 1 2 3yi -1 -1 -1 3 1 1

Llamemos por L0, L1, L2, L3, L4 y L5 a sus correspondientes polinomios de Lagrange. El grafico de2L1 L3 es:


3/9

(a)

(b)

(c)

(d)

Solucion.

Recordemos que los polinomios de Lagrange satisfacen

Li(x) =

1 si x= xi0 si x =xi

Para todo i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Por lo tanto.

2L1(x0) L3(x0) = 2 0 0 = 0

2L1(x1) L3(x1) = 2 1 0 = 2

2L1(x2) L3(x2) = 2 0 0 = 0

2L1(x3) L3(x3) = 2 0 1 = 1

2L1(x4) L3(x4) = 2 0 0 = 0

2L1(x5) L3(x5) = 2 0 0 = 0

Luego, la alternativa correcta es (c), ya que es el gr afico que muestra la informacion obtenida.

5. Dada la siguiente tabla de datos

x 2 0 1 2f(x) 1/4 2/5 1/3 2/3

Cual de los siguientes polinomios no interpola los datos?

(a) 1

4+

3

40(x+ 2)

97

360(x+ 2)x+

409

1440(x 1)(x+ 2)x

(b) 2

3+ (x 2) +

13

15(x 2)(x 1) +

409

1440(x 1)(x 2)x

(c) 14

736

(x+ 2) 97360

(x+ 2)(x 1) + 4091440

(x 1)(x+ 2)x

(d) 2

3+

4

30(x 2) +

26

30(x 1)(x 2) +

409

1440(x 1)(x 2)x

Solucion.

Tenemos que el polinomio interpolador debe contener a todos los puntos de la tabla:


4/9

Si p(x) =1

4+

3

40(x+ 2)

97

360(x+ 2)x+

409

1440(x 1)(x+ 2)xtenemos que

p(2) = 1

4+

3

40(2 + 2)

97

360(2 + 2)(2) +

409

1440(2 1)(2 + 2)(2) =

1

4

p(0) = 1

4+

3

40(0 + 2)

97

360(0 + 2)0 +

409

1440(0 1)(0 + 2)0 =

2

5

p(1) = 1

4+

3

40(1 + 2)

97

360(1 + 2)1 +

409

1440(1 1)(1 + 2)1 =

1

3

p(2) =

1

4+

3

40 (2 + 2)

97

360 (2 + 2)2 +

409

1440(2 1)(2 + 2)2 =

2

3

Si p(x) =2

3+ (x 2) +

13

15(x 2)(x 1) +

409

1440(x 1)(x 2)x tenemos que

p(2) = 2

3+ (2 2) +

13

15(2 2)(2 1) +

409

1440(2 1)(2 2)(2) =

1

4

p(0) = 2

3+ (0 2) +

13

15(0 2)(0 1) +

409

1440(0 1)(0 2)0 =

2

5

p(1) = 2

3+ (1 2) +

13

15(1 2)(1 1) +

409

1440(1 1)(1 2)1 =

1

3

p(2) = 2

3+ (2 2) +

13

15(2 2)(2 1) +

409

1440(2 1)(2 2)2 =

2

3

Si p(x) =1

4

7

36(x+ 2)

97

360(x+ 2)(x 1) +

409

1440(x 1)(x+ 2)x tenemos que

p(2) = 1

4

7

36(2 + 2)

97

360(2 + 2)(2 1) +

409

1440(2 1)(2 + 2)(2) =

1

4

p(0) = 1

4

7

36(0 + 2)

97

360(0 + 2)(0 1) +

409

1440(0 1)(0 + 2)0 =

2

5

p(1) = 1

4

7

36(1 + 2)

97

360(1 + 2)(1 1) +

409

1440(1 1)(1 + 2)1 =

1

3

p(2) = 1

4

7

36(2 + 2)

97

360(2 + 2)(2 1) +

409

1440(2 1)(2 + 2)2 =

2

3

Si p(x) =2

3+

4

30(x 2) +

26

30(x 1)(x 2) +

409

1440(x 1)(x 2)x tenemos que

p(2) = 2

3+

4

30(2 2) +

26

30(2 1)(2 2) +

409

1440(2 1)(2 2)(2) =

223

60 =

1

4

p(0) = 2

3+

4

30(0 2) +

26

30(0 1)(0 2) +

409

1440(0 1)(0 2)0 =

32

15=

2

5

p(1) = 2

3+

4

30(1 2) +

26

30(1 1)(1 2) +

409

1440(1 1)(1 2)1 =

8

15=

1

3

p(2) = 2

3+

4

30(2 2) +

26

30(2 1)(2 2) +

409

1440(2 1)(2 2)2 =

2

3

Entonces el polinomiop(x) = 23

+ 430

(x2)+ 2630

(x1)(x2)+ 4091440

(x1)(x2)x, no interpola a los datos.

Por lo tanto, la alternativa correcta es (d).

6. Se desea ajustar, mediante mnimos cuadrados, la funcion

I(t) =5

t

a la tabla

t 2 6 10 18 24I 24 12.5 8.5 7.6 6.3

El sistema de ecuaciones normales que permite encontrar los valores de y es:

(a)

5i=1

1 5

i=1

ln ti

5

i=1

ln ti

5i=1

(ln ti)2

ln

=

5i=1

ln

Ii5

5i=1

ln ti ln

Ii5

(b)

5i=1

1 5

i=1

ln ti

5

i=1

ln ti

5

i=1

(ln ti)2

ln

=

5i=1

ln

Ii5

5

i=1

ln ti

lnIi5


5/9

(c)

5i=1

1 5

i=1

ln ti

5

i=1

ln ti

5i=1

(ln ti)2

ln

=

5

i=1

ln

Ii5

5i=1

ln ti ln

Ii5

(d)

5

i=1

1 5

i=1

ln ti

5i=1

ln ti 5

i=1

(ln ti)2

ln

=

5

i=1

lnIi

5

5i=1

ln ti ln

Ii5

Solucion.

La funcion a ajustar por mnimos cuadrados es

I=5

t

I

5=

t

Aplicamos logaritmo natural,

ln

I

5

= ln ln t

Por lo que debemos minimizar la funcion

E(A, B) =

5i=1

(Yi (B+AXi))

2

donde

Y = ln

I

5

,

X = ln t,

A = ,

B = ln .

Luego,

E

A(A, B) = 2

5i=1

[(Yi (B+AXi))] (Xi)

= 0

E

B(A, B) = 2

5i=1

[(Yi (B+AXi))] (1)

= 0

Este sistema es equivalente a

5i=1

1

5i=1

Xi

5i=1

Xi

5i=1

(Xi)2

B

A

=

5i=1

Yi

5i=1

YiXi

Reemplazando los valores de Xi, Yi, A , B, el sistema resulta

5i=1

1

5i=1

ln ti

5i=1

ln ti5

i=1

(ln ti)2

ln

=

5i=1

ln

Ii5

5i=1

ln

Ii5

ln ti

Y este sistema es equivalente al sistema

5i=1

1 5

i=1

ln ti

5i=1

ln ti 5

i=1

(ln ti)2

ln

=

5i=1

ln

Ii5

5i=1

ln

Ii5

ln ti

Luego la alternativa correcta es (d) .


6/9

II. Problema: Resuelva el problema utilizando 4 decimales con redondeo.

1. La figura muestra el croquis del lecho de un ro. A partir de una lnea recta, proxima a uno de los margenes,se midieron las distancias (en metros) entre esta recta y los m argenes del ro, de 15 en 15 metros, a partirde un punto tomado como origen. Tales puntos se registran en la tabla:

x 0 15 30 45y(M1) 112.50 154.50 195.00 171.00y(M2) 50.00 86.00 146.00 73.50

Se desea construir un puente donde el ancho del ro sea mnimo.

(a) (20 Puntos.) Mediante interpolacion polinomial, utlizando todos los puntos, determine la posiciondel puente en el ro y el largo de este.

Ayuda: Sea f(x) una funcion que tiene primera y segunda derivadas en cada punto delintervalo ]a, b[ que contiene a x0. Suponga que f(x0) = 0:

(a) Si f(x0)< 0, entonces f(x0) es un maximo local de f.

(b) Si f(x0)> 0, entonces f(x0) es un mnimo local de f.

Solucion.

Forma 1:

Construiremos un polinomio interpolante por cada ribera del ro M1(x) yM2(x).

Las diferencias divididas asociadas a la ribera M1 son

0 112.50

2.8

15 154.5 0.0033

2.7 0.0031

30 195 0.1433

1.6

45 171

Donde el polinomio M1(x) es

M1(x) = 112.5 + 2.8x 0.0033x(x 15) 0.0031x(x 15)(x 30)

= 112.5 + 1.4545x+ 0.1362x2 0.0031x3

y las diferencias divididas asociadas a la ribera M2 son

0 50

2.4 15 86 0.0533

4 0.0077

30 146 0.2944

4.8333

45 73.5

Obteniendo que el polinomioM2(x) es

M2(x) = 50 + 2.4x+ 0.0533x(x 15) 0.0077x(x 15)(x 30)

= 50 1.8645x+ 0.3998x2 0.0077x3


7/9

Restando los polinomiosM1(x) yM2(x), se obtiene un polinomio M(x) dado por,

M(x) = 62.5 + 3.319x 0.2636x2 + 0.0046x3

el cual optimizaremos. Calculamos la primera derivada de M(x) para obtener los puntos crticos

M(x) = 0.0138x2 0.5272x+ 3.319

Este polinomio tiene como puntos crticos m1 = 30.2536 y m2 = 7.9493. Ahora, para determinar cual esel mnimo, calculamos la segunda derivada de M(x),

M(x) = 0.0276x 0.5272

Evaluando en los puntos crticos,

M(30.2536) = 0.3078> 0

M(7.9493) = 0.3078< 0

Por lo tanto, el ro es mas angosto en x = 30.2536.

Forma 2:

Construiremos un polinomio interpolante M(x) entre la diferencia de los nodos

x 0 15 30 45y(M1) 112.50 154.50 195.00 171.00y(M2) 50.00 86.00 146.00 73.50y(M) 62.5 68.5 49 97.5

Las diferencias divididas asociadas a la diferencia de los nodos M son

0 62.5

0.4

15 68.5 0.0567

1.3 0.0046

30 49 0.1511

3.2333

45 97.5

Obteniendo el polinomio

M(x) = 62.5 + 0.4x 0.0567x(x 15) + 0.0046x(x 15)(x 30)

= 62.5 + 3.3205x 0.2637x2 + 0.0046x3

Ahora optimizando este polinomio tenemos

M(x) = 0.0138x2 0.5274x+ 3.3205

el cual tiene como races a los puntos m1 = 30.2681 y m2 = 7.9493 (puntos crticos). Ahora, paradeterminar cual es el mnimo tenemos

M(x) = 0.0276x 0.5274

Evaluando la segunda derivada en los puntos crticos

M(30.2681) = 0.3080> 0

M(7.9493) = 0.3080< 0

Por lo tanto, el ro es mas angosto en x = 30.2681.


8/9

2. En ocasiones las condiciones iniciales necesarias para determinar completamente la solucion de ecuacionesdiferenciales ordinarias no aparecen especificadas todas en el mismo punto, como sucede en los problemasde valor inicial. En este caso, estamos ante un problema de contorno de la forma

y = f(x,y,y)

y(a) =

y(b) = .

Para resolver de manera discreta este tipo de problemas se sugiere usar el metodo de diferencias finitasque se enuncia a continuacion:

Consideremos un intervalo acotado [a, b] con a = x0, realicemos ahora una particion de(a, b) enn-subintervalos

a= x0 < x1 < x2 < xn1 < xn= b.

Para calculary(xi) se sustituyen las derivadas de y que aparecen en la ecuacion ordinariapor aproximaciones de diferencias finitas

y(xi) = y(xi+h) y(xi h)

2h

y(xi) = y(xi+h) 2y(xi) +y(xi h)

h2 .

Lo anterior permite transformar la ecuacion ordinaria en un sistema de ecuaciones alge-braicos.

y + 3y 3y = x+ 3

y(0) = 1

y(4) = 3.

(a) (20 Puntos.) Plantee el sistema de ecuaciones asociados a las diferencias finitas, usando h = 1.

(b) (20 Puntos.) Determine si el sistema anterior converge por el metodo de Jacobi. En caso afirmativo,

determine el numero de iteraciones necesarias para asegurar un error de a lo mas 5 107.

Solucion.

(a) Comoh = 1, los nodos vienen dados porxk = x0+k= k, k = 0, 1, 2, 3, 4. Reemplazando las derivadasdey por las aproximaciones,

yi+1 2yi+yi1h2

+ 3yi+1 yi1

2h 3yi = 3 +xi, i= 1, 2, 3.

Dondey (xi) yi. Reordenando y reemplazando el valor de h = 1,1h2

32h

yi1+

2

h2 3

yi+

1h2

+ 32h

yi+1 = 3 +xi, i= 1, 2, 3.

Evaluando en los distintos valores de i, tenemos

i= 1, 1

h2

3

2h

y0+

2

h2 3

5y1+

1

h2+

3

2h

y2 = 3 +x1

i= 2, 1

h2

3

2h

y1+

2

h2 3

y2+

1

h2+

3

2h

y3 = 3 +x2

i= 3,

1h2

3

2h y2+ 2

h2

3 y3+ 1h2

+ 3

2h y4 = 3 +x3

Las incognitas de estas tres ecuaciones son y1, y2, y3, luego la matriz asociada al sistema es

2

h2 3

1

h2+

3

2h 0

1

h2

3

2h

2

h2 3

1

h2+

3

2h

0 1

h2

3

2h

2

h2 3

y1y2

y3

=

3 +x1

1

h2

3

2h

y0

3 +x2

3 +x3

1

h2+

3

2h

y4

Reemplazando los valores de h y dex1, x2, x3, tenemos

5 5/2 01/2 5 5/20 1/2 5

y1y2y3

= 9/253/2


9/9

(b) La matriz de iteracion de Jacobi es

MJ=

0 1/2 01/10 0 1/2

0 1/10 0

La norma infinito de esta matriz es MJ = 3

5 < 1, por lo tanto, converge para cualquier vector

inicial x(0). Para determinar las iteraciones necesarias, debemos calculark de modo que

(MJ)k

1 MJx(0) x(1)

ln

2

5 5 107

ln(3/5)

k > 30.1961134148

Por lo tanto, son necesarias 31 iteraciones para obtener un error de a lo m as 5 107.

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