Prctica 1: Resolucin del Ejemplo 1 Instituto Tecnolgico de Celaya

Ingeniera Asistida por computadora Celaya, Guanajuato a 10 de Septiembre del 2015

Prctica 1.- Elemento Resorte

Ordaz Gonzalez Joaquin Ingeniera Mecatrnica

Instituto Tecnolgico de Celaya Celaya, Guanajuato

Mxico Email: kinotec1793 @gmail.com

RESUMEN En este artculo se presenta la solucin detallada del

ejemplo 1 realizado en clase a un elemento resorte utilizando

el mtodo del elemento finito.

PALABRAS CLAVES Resorte, elemento finito, matriz, desplazamientos

nodales, fuerzas o reacciones.

INTRODUCCION En este artculo presentaremos concretamente el

desarrollo analtico paso a paso utilizando los pasos generales

para la solucin de problemas por el mtodo del elemento finito

para resolver el ejemplo 1 (ver Imagen 1) sobre un elemento

resorte visto en la materia de Ingeniera Asistida por

Computadora, detallaremos el procedimiento del mismo para

la mayor comprensin y entendimiento del estudiante de la

materia, para ello agregaremos un marco terico, desarrollo y

una breve conclusin de lo realizado en el presente documento.

MARCO TEORICO A continuacin se presentan informacin importante

para el desarrollo del anlisis por el mtodo del elemento finito,

la cual es fundamental para darle solucin a los ejercicios

relacionados con elemento finito y en el caso correspondiente

para resolver problemas con un elemento resorte.

Mtodo del Elemento Finito

Es un mtodo numrico para resolver problemas fsicos de

ingeniera y matemticas. Algunos problemas tpicos que es

posible resolver con este mtodo incluyen anlisis

estructurales, transferencia de calor, flujo de fluidos, transporte

de masa y potencial electromagntico.

La formulacin del elemento finito resulta en un sistema

algebraico de ecuaciones simultaneas, las cuales es preferible

resolver a que las ecuaciones diferenciales.

Elementos finitos

Cuando un cuerpo continuo se divide en un sistema equivalente

de pequeas unidades reciben el nombre de elementos finitos.

Nodos

Los elementos finitos estn interconectados en puntos comunes

donde concurren dos o ms elementos, estos puntos se llaman

nodos.

Discretizacion

Es el proceso de dividir el cuerpo en elementos finitos y nodos.

Mtodos Matriciales

Los mtodos matriciales son herramientas necesarias y usadas

en el mtodo del elemento finito con el propsito de simplificar

la formulacin de las ecuaciones de rigidez del elemento.

{} = []{}

Donde:

F: Fuerzas

K: Matriz Global de Rigidez

d: Desplazamientos

Una matriz es un arreglo rectangular de cantidades

estructuradas en renglones y columnas que son frecuentemente

usadas como apoyo para la solucin de sistemas algebraicos de

ecuaciones.

{} =

[ 111222

]

; {} =

[ 111222

]

Los subndices de las fuerzas y desplazamientos nodales,

identifican el nodo y la direccin de la fuerza o desplazamiento.

Pasos generales para la solucin de problemas por el

mtodo del elemento finito.

1. Discretizar y seleccionar el tipo de elemento: Se refiere a dividir el cuerpo en un sistema equivalente

de elementos finitos o nodos asociados y seleccionar

el tipo de elemento ms apropiado para modelar lo

ms real posible el comportamiento fsico del cuerpo.

2. Seleccionar una funcin de desplazamiento: Se refiere a seleccionar una funcin tal que esta considere

los valores nodales de desplazamiento del elemento.

3. Definir la relacin deformacin-desplazamiento y la relacin esfuerzo-deformacin: Son necesarias

para obtener las ecuaciones de cada elemento finito.

4. Determinar la matriz de rigidez del elemento: Para obtener la matriz de rigidez existen distintos mtodos

como el mtodo de equilibrio directo, el mtodo del

trabajo y energa y el mtodo de residuos pesados, los

cuales se aplicaran de acuerdo al elemento finito.

5. Ensamblar las ecuaciones para obtener las ecuaciones globales: El ensamble de las ecuaciones

implica el manejo matricial de la rigidez de cada

elemento finito.

6. Resolver para los grados de libertad convenientes: Se refiere a obtener las incgnitas de inters de

nuestro sistema para lo cual ser necesario aplicar las

condiciones de frontera adecuadas.

7. Resolver para los esfuerzos y deformaciones del elemento: Se refiere a obtener los esfuerzos y

deformaciones, momentos o fuerzas cortantes.

8. Interpretacin de resultados: Es uno de los objetivos finales para el proceso de diseo, esta

interpretacin permitir tomar decisiones en el diseo

y permitir analizar los puntos dbiles, as como

proponer la optimizacin del sistema.

Bsicamente esa es la teora fundamental para la resolucin de

los problemas utilizando el mtodo del elemento finito, en este

caso aplicando el uso de un elemento resorte como ejemplo

base.

DESARROLLO En la clase de Ingeniera Asistida por Computadora se

nos plante el ejemplo 1 (ver Imagen 1), es decir, un problema

con un elemento resorte, en las siguientes lneas explicaremos

paso a paso su resolucin para reforzar nuestro aprendizaje y

reforzar lo explicado por el profesor en clase.

Imagen 1. Problema Elemento Resorte (Ejemplo1)

Para la resolucin de este problema, tambin se nos fueron

proporcionados los siguientes datos:

1 = 1000

2 = 2000

3 = 3000

Una vez conocida la figura a analizar y los datos

proporcionados, basados en los pasos generales para la

solucin de problemas por el mtodo del elemento finito

iniciamos el anlisis analtico para encontrar los

desplazamientos nodales y las respectivas fuerzas del sistema

ilustrado en la imagen 1.

Como paso nmero uno identificamos el nmero de elementos

presentes en nuestro sistema de resortes, los cuales numeramos

a conveniencia y marcamos con color rojo, como se muestra

enseguida (ver Imagen 2)

Imagen 2. Identificacin del nmero de elementos

Dentro de este paso tambin identificamos la cantidad de nodos

presentes en el sistema y los numeramos de igual manera a

nuestra conveniencia para hacer su respectivo anlisis, en este

caso los identificamos con color azul, como se puede observar

en la imagen 3.

Imagen 3. Identificacin de los nodos

Despus de haber identificado nuestros elementos y nodos del

sistema, armamos nuestras matrices de rigidez de cada

elemento k1, k2 y k3 considerando la relacin que tienen entre

los elementos y nodos, es decir, los puntos que comparten entre

s, y las cuales quedaron de la siguiente manera:

Para el primer elemento tenemos:

La matriz del segundo elemento fue:

Para el tercer elemento definimos la siguiente matriz:

Una vez obtenidas las matrices independientes de rigidez de

cada elemento presente en nuestro sistema; procedemos al

armado de la matriz global de rigidez del sistema, para ello,

creamos una matriz de cuatro por cuatro pues existen 4

desplazamientos nodales, basados en esto analizamos cada

matriz de rigidez por elemento considerando la relacin de los

desplazamientos y vamos llenando nuestra matriz global, la

cual nos queda como se muestra a continuacin:

Ya que tenemos nuestra matriz de rigidez global utilizamos la

siguiente formula:

=

Basados en esta frmula nuestra matriz global de rigidez, y

obtenemos:

Una vez realizado el reacomodo analizamos en nuestro sistema

cuales son los desplazamientos nodales y fuerzas conocidas, las

marcamos o cancelamos y tenemos:

Basndonos en lo que conocemos hacemos unos trazos dentro

de nuestra matriz global de rigidez, es decir, como conocemos

el desplazamiento d1x y d4x, adems de f2x y f3x el trazo

obtenido es el siguiente:

Del trazado realizado eliminamos las filas y columnas uno y

cuatro respectivamente, y de este extraemos la matriz que

podemos ver enseguida:

Reescribimos la matriz de 2x2 encontrada, sustituimos los

valores de las fuerzas y tenemos:

[1 + 2 2

2 2 + 3] [

23

] = [0

5000]

De la matriz de 2x2 encontrada, establecemos el siguiente

sistema de ecuaciones para encontrar el valor de los

desplazamientos nodales:

(1 + 2)2 23 = 0 22 + (2 + 3)3 = 5000

Sustituimos los valores conocidos de K1=1000 lb/in, K2=2000

lb/in y K3=3000 lb/in en nuestro sistema de ecuaciones y

dividimos entre mil para facilitar an ms las operaciones, por

lo tanto tenemos:

32 23 = 0 22 + 53 = 5000

Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos los valores

de los desplazamientos nodales, cuyo valor es:

= . = .

Ya conocidos los desplazamientos nodales regresamos a

nuestra matriz global de rigidez donde hicimos unos trazos y

extraemos lo siguiente:

Ahora generamos las siguientes matrices para obtener las

fuerzas f1x y f2x:

1 = (1 0) (23

)

2 = (0 3) (23

)

Establecemos el correspondiente sistema de ecuaciones,

sustituimos los valores de K1=1000 lb/in, K3=3000 lb/in,

d2x=0.90in y d3x=1.36in, realizamos las operaciones y nos

queda como resultado de las fuerzas lo que a continuacin se

muestra:

1 = 12 = (1000

) (0.90) =

2 = 33 = (3000

) (1.36) = .

Y es as como llegamos a la solucin del ejemplo 1 para un

elemento resorte, basados en el anlisis por el mtodo del

elemento finito.

CONCLUSION En este primer ejemplo logramos poner en prctica la

resolucin de un problema donde se considera el anlisis por el

mtodo del elemento finito para un elemento resorte, al ser

nuestro primer ejemplo claro al principio costo trabajo

entenderle, pero logre entender que todo es una metodologa y

no es tan complejo como lo parece, la base esta en hacer el uso

adecuado de matrices e identificar correctamente los elemento

y nodos presentes en nuestro sistema, fue un ejercicio sencillo

pero que abre las puertas para el mejor entendimiento para el

desarrollo analtico de problemas con elementos de resorte, los

cuales son considerables de los ms fciles a la hora de realizar

un anlisis de elemento finitos.