Pract2.2 Serie de Fourier Con Matlab r

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGÍA

Procesamiento Digital de Bio señales

Practica Series de Fourier

Ing. Mondragón Hernández Mario A. Página 1

Objetivo: El alumno desarrollara matemáticamente la serie trigonométrica de Fourier para cada señal mostrada, con ayuda de Matlab comprobara que los resultados obtenidos.

Introducción.





Material y equipo: Computadora

Matlab

Desarrollo

Ejercicio 1.- SEÑAL POLAR DE PULSOS RECTANGULARES

Por su importancia en la transmisión de información en comunicaciones y lo extenso de su

aplicación se estudiará esta señal Fig1 Señal Polar para esta práctica:

Fig1. Señal polar

En el intervalo 0 2 t la señal g(t) está dada por:

g tt

t( )

1 0

1 2

Represente esta señal por medio de series trigonométricas de Fourier.

Se observa que la señal g(t) es una función impar por lo que an=0 y contiene términos seno.

bT

sen n tT

sen n tdtn 2 2

0

0

2

0





Cálculos:

T = 2

0

21

T Entonces

bnt

n

nt

nn

2

2

2

20

2

cos cos

= 1

11

1n

nn

n

cos cos

b nn

4

0

......................... para n impar

........................... para n par

g(t) = n

nb sen n t

1

0 = 4 4

33

4

55

sen sen sent t t

La expresión g(t) indica que sumando una señal senoidal de frecuencia:

f 0

0

2

1

2

hertz y de

4

volts de amplitud más una señal senoidal de frecuencia

f =3

2Hertz y una amplitud de

4

3volts + ...se obtiene una señal de pulsos rectangulares.





Fig2.1

Fig2.2

Fig2.3 Componentes armónicos para la señal polar de pulsos rectangulares.

Ahora se graficara el resultado obtenido mediante la serie de Fourier en MATLAB .

% el primer armónico o frecuencia fundamental de la señal cuadrada en azul

t=0:.1:10

y=4*sin(t)/pi;

plot(t,y)

hold on

%el segundo armonico en verde

y=(4/pi)*[sin(3*t)/3];





hold on

plot(t,y,'g')

%el tercer armonico en ++++

y=(4/pi)*[sin(5*t)/5];

hold on

plot(t,y,'+')

%la resultante en rojo, al sumar las armónicas, de la señal cuadrada.

%siga sumando hasta 10 armónicos y observe que la resultante que se aparece mas

%a la señal cuadrada

y=(4/pi)*[sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5];

plot(t,y,'r')

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Al seguir sumando más armónicos se tenderá a conseguir la señal cuadrada polar

original.

Ejercicio 2.-SEÑAL TRIANGULAR

Encuentre el espectro de frecuencia de la señal diente de sierra, en la figura en el intervalo o< t <T, la señal g (t) está definida por:





fig 2.5 Señal Diente de Sierra.

FnT

g t e dtT

A

Tt e dtjn t

T

jn t

T

o o

1 1

0 0

( )

Utilizando la fórmula integral:

xe dxe

xx

x

2

1

Tenemos:

FnAe

T njn t

i

A

ne j n

A

n

jn t

o

o

T

o

jn

o

2 2 20

2

2 2

2

2 2

1

2

1

42 1

4

Tenemos también e jn2

= cos n 2 - jsen n2 = 1

FnjA

n

A

n

A

n

jA

n

FnjA

n

2 4 4 2

2

2 2 2 2

Cuando n = 0 el resultado anterior no tiene sentido por lo que calculando Fn de 2.8 cuando n=o.

Fo =1 1

20

02

2

0T

f t dtT

A

Ttdt

A

T

tT

T

T

( )

=A

T

T A2

2

2 2

Fo = ao





Agrupando ambos resultados:

Fn A

jA

n

2

2

Para n = 0

Para n 0 Utilizando este resultado para expresar g(t) en serie exponencial de Fourier

Tenemos:

g(t) = - jA

6e j ot 3

- jA

4e j t 2

- jA

2e j t

+ A

2 +

jAe

jAej ot j ot

2 4

2

.......

Descomponiendo a Fn en su magnitud y fase: Fn = |Fn| ej n

Fn = A

n2e j tg1

A

2 n

0

C

0

tg 1 090

2( )

FnA

nFn an bn

2

2 2

`

Para n = -1, -2, -3, . . . . .

Para n = 1, 2, 3, . . . .

n

2

2

Fig 2.6 Espectro de amplitud y espectro de fase para la señal diente de sierra.

Mediante la serie trigonométrica de Fourier:

a 1

20

Tf t dt

AT

( )





anT

A

Tt n ot

T

2

0cos

2

2

0

0

2

0

0 0

A

T

n t

n

tsen n t

n

T

cos

NOTA:

x axax

a

x sen ax

acos

cos

2

2

2

2

2

1

2 1 10

2

2

2

00

2

2

0

2

0

2

A

T

nT

T

nT

T

sennT

T

n n

A

T n n

cos

Expresando g(t) mediante la serie trigonométrica de Fourier.Se deja al lector el cálculo de bn

g(t) = A A

sen tA

sen tA

sen t2 2

23

30 0 0

-A

sen t4

4 0 . . . . . . .

Cn= an bn bn2 2

n

bn

an

A

ntg tg tg ( )1 1 12

0 2

Después de haber evaluado la serie de Fourier para la señal triangular se

grafica en matlab

%SERIE DE FOURIER PARA SEÑAL TRIANGULAR

t=0:0.1:15;

y=1/2-sin(t)/pi;

plot(t,y,'g')

hold on





y=1/2-sin(2*t)/(2*pi);

plot(t,y,'b')

hold on

y=1/2-sin(3*t)/(3*pi);

plot(t,y,'r')

hold on

y=1/2-sin(4*t)/(4*pi);

plot(t,y,'g')

hold on

y=1/2-sin(t)/pi-sin(2*t)/(2*pi)-sin(3*t)/(3*pi)-sin(4*t)/(4*pi);

plot(t,y,'b')

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

function fousen(N) N=20; x=-2:0.005:2; sumparcial=0; b=zeros(1,N); for k=1:N b(k)=2/(k*pi); sumparcial=sumparcial+b(k)*sin(k*x*pi/2);





end f=(x<0).*(-1-x/2)+(x>=0).*(1-x/2); plot(x,f,'b',x,sumparcial,'g'),shg

function fou(N) N=1; x=-1:0.05:1; a=zeros(1,N); sumparcial=1/3; for k=1:N a(k)=quadl(@fun,-1,1,1e-9,[],k); sumparcial=sumparcial+a(k)*cos(k*x*pi); end f=x.^2; plot(x,f,'b',x,sumparcial,'g'),shg function y=fun(t,n) y=(t.^2).*cos(n*pi*t);

CONCLUSIONES:

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