INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGÍA
Procesamiento Digital de Bio señales
Practica Series de Fourier
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Objetivo: El alumno desarrollara matemáticamente la serie trigonométrica de Fourier para cada señal mostrada, con ayuda de Matlab comprobara que los resultados obtenidos.
Introducción.
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Material y equipo: Computadora
Matlab
Desarrollo
Ejercicio 1.- SEÑAL POLAR DE PULSOS RECTANGULARES
Por su importancia en la transmisión de información en comunicaciones y lo extenso de su
aplicación se estudiará esta señal Fig1 Señal Polar para esta práctica:
Fig1. Señal polar
En el intervalo 0 2 t la señal g(t) está dada por:
g tt
t( )
1 0
1 2
Represente esta señal por medio de series trigonométricas de Fourier.
Se observa que la señal g(t) es una función impar por lo que an=0 y contiene términos seno.
bT
sen n tT
sen n tdtn 2 2
0
0
2
0
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Cálculos:
T = 2
0
21
T Entonces
bnt
n
nt
nn
2
2
2
20
2
cos cos
= 1
11
1n
nn
n
cos cos
b nn
4
0
......................... para n impar
........................... para n par
g(t) = n
nb sen n t
1
0 = 4 4
33
4
55
sen sen sent t t
La expresión g(t) indica que sumando una señal senoidal de frecuencia:
f 0
0
2
1
2
hertz y de
4
volts de amplitud más una señal senoidal de frecuencia
f =3
2Hertz y una amplitud de
4
3volts + ...se obtiene una señal de pulsos rectangulares.
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Fig2.1
Fig2.2
Fig2.3 Componentes armónicos para la señal polar de pulsos rectangulares.
Ahora se graficara el resultado obtenido mediante la serie de Fourier en MATLAB .
% el primer armónico o frecuencia fundamental de la señal cuadrada en azul
t=0:.1:10
y=4*sin(t)/pi;
plot(t,y)
hold on
%el segundo armonico en verde
y=(4/pi)*[sin(3*t)/3];
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hold on
plot(t,y,'g')
%el tercer armonico en ++++
y=(4/pi)*[sin(5*t)/5];
hold on
plot(t,y,'+')
%la resultante en rojo, al sumar las armónicas, de la señal cuadrada.
%siga sumando hasta 10 armónicos y observe que la resultante que se aparece mas
%a la señal cuadrada
y=(4/pi)*[sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5];
plot(t,y,'r')
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Al seguir sumando más armónicos se tenderá a conseguir la señal cuadrada polar
original.
Ejercicio 2.-SEÑAL TRIANGULAR
Encuentre el espectro de frecuencia de la señal diente de sierra, en la figura en el intervalo o< t <T, la señal g (t) está definida por:
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fig 2.5 Señal Diente de Sierra.
FnT
g t e dtT
A
Tt e dtjn t
T
jn t
T
o o
1 1
0 0
( )
Utilizando la fórmula integral:
xe dxe
xx
x
2
1
Tenemos:
FnAe
T njn t
i
A
ne j n
A
n
jn t
o
o
T
o
jn
o
2 2 20
2
2 2
2
2 2
1
2
1
42 1
4
Tenemos también e jn2
= cos n 2 - jsen n2 = 1
FnjA
n
A
n
A
n
jA
n
FnjA
n
2 4 4 2
2
2 2 2 2
Cuando n = 0 el resultado anterior no tiene sentido por lo que calculando Fn de 2.8 cuando n=o.
Fo =1 1
20
02
2
0T
f t dtT
A
Ttdt
A
T
tT
T
T
( )
=A
T
T A2
2
2 2
Fo = ao
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Agrupando ambos resultados:
Fn A
jA
n
2
2
Para n = 0
Para n 0 Utilizando este resultado para expresar g(t) en serie exponencial de Fourier
Tenemos:
g(t) = - jA
6e j ot 3
- jA
4e j t 2
- jA
2e j t
+ A
2 +
jAe
jAej ot j ot
2 4
2
.......
Descomponiendo a Fn en su magnitud y fase: Fn = |Fn| ej n
Fn = A
n2e j tg1
A
2 n
0
C
0
tg 1 090
2( )
FnA
nFn an bn
2
2 2
`
Para n = -1, -2, -3, . . . . .
Para n = 1, 2, 3, . . . .
n
2
2
Fig 2.6 Espectro de amplitud y espectro de fase para la señal diente de sierra.
Mediante la serie trigonométrica de Fourier:
a 1
20
Tf t dt
AT
( )
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anT
A
Tt n ot
T
2
0cos
2
2
0
0
2
0
0 0
A
T
n t
n
tsen n t
n
T
cos
NOTA:
x axax
a
x sen ax
acos
cos
2
2
2
2
2
1
2 1 10
2
2
2
00
2
2
0
2
0
2
A
T
nT
T
nT
T
sennT
T
n n
A
T n n
cos
Expresando g(t) mediante la serie trigonométrica de Fourier.Se deja al lector el cálculo de bn
g(t) = A A
sen tA
sen tA
sen t2 2
23
30 0 0
-A
sen t4
4 0 . . . . . . .
Cn= an bn bn2 2
n
bn
an
A
ntg tg tg ( )1 1 12
0 2
Después de haber evaluado la serie de Fourier para la señal triangular se
grafica en matlab
%SERIE DE FOURIER PARA SEÑAL TRIANGULAR
t=0:0.1:15;
y=1/2-sin(t)/pi;
plot(t,y,'g')
hold on
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y=1/2-sin(2*t)/(2*pi);
plot(t,y,'b')
hold on
y=1/2-sin(3*t)/(3*pi);
plot(t,y,'r')
hold on
y=1/2-sin(4*t)/(4*pi);
plot(t,y,'g')
hold on
y=1/2-sin(t)/pi-sin(2*t)/(2*pi)-sin(3*t)/(3*pi)-sin(4*t)/(4*pi);
plot(t,y,'b')
0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
function fousen(N) N=20; x=-2:0.005:2; sumparcial=0; b=zeros(1,N); for k=1:N b(k)=2/(k*pi); sumparcial=sumparcial+b(k)*sin(k*x*pi/2);
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end f=(x<0).*(-1-x/2)+(x>=0).*(1-x/2); plot(x,f,'b',x,sumparcial,'g'),shg
function fou(N) N=1; x=-1:0.05:1; a=zeros(1,N); sumparcial=1/3; for k=1:N a(k)=quadl(@fun,-1,1,1e-9,[],k); sumparcial=sumparcial+a(k)*cos(k*x*pi); end f=x.^2; plot(x,f,'b',x,sumparcial,'g'),shg function y=fun(t,n) y=(t.^2).*cos(n*pi*t);
CONCLUSIONES: