Practica 17 Simulacion de Respiracion2

Postcosecha de Frutas y hortalizas Humedad relativa de cámara de refrigeración

PRATICA17

SIMULACION DE

RESPIRACION DE FRUTAS EN

ATMOSFERA MODIFICADA

I. OBJETIVO

Cuantificar la cantidad de O2 y CO2 en el espacio libre del empaque después de haber sido el producto empacado.

II. ENVASADO EN ATMOSFERA MODIFICADA

Los factores que influyen en la difusión del gas a través de la membrana que constituye el envase son los siguientes:

a) Estructura del polímerob) Permeabilidad a los gasesc) Espesord) Superficie total de intercambio gaseosoe) Gradiente de presiones parciales o concentraciones del gas en cuestión a un lado y

otro de la membranaf) Temperaturag) Humedad relativah) Existencia de condensaciones

Alberto L. HUAMANI HUAMANI 136


Figura 1. Estructura del sistema de empacado de un vegetal

II.1 DISEÑO DE EVASES PARA ENVASADO EN ATMOSFERA MODIFICADA

II.1.1 Transferencia de masa a través del empaque

Se puede definir, en términos de la ley de Fick, como: la velocidad de permeación, o cantidad de gas que atraviesa una membrana de sección unidad, en la unidad de tiempo. La permeabilidad propiamente dicha de la membrana, se define como la constante de permeabilidad dividida por el espesor.

Como se mencionó anteriormente la permeabilidad de la película plástica es un factor crítico en el diseño de un EAM. Por esta razón es importante tener un conocimiento profundo al respecto. Un gas o vapor se transmite a través de sólidos porosos obedeciendo a los procesos de solubilidad y mediante mecanismos de difusión. Cuando un gas está en contacto con una película, es absorbido y se solubiliza en ella. La solubilidad (S) describe la disolución de un gas en un polímero. La cantidad de gas absorbido se conoce como coeficiente de absorción y es un valor dependiente de la temperatura y de la presión parcial del gas (Paine y Paine, 1983).

La difusión (D) representa una propiedad del sistema polímero-permeante y describe el movimiento de las partículas permeantes a través del polímero (Miller y Krochta, 1997). La velocidad a la cual un gas atraviesa una película permeable depende de las propiedades específicas de la película, del gas y del grado de interacción entre la película y el gas (Miller y Krochta, 1997).

Las cadenas poliméricas de las películas están arregladas de tal manera que generan poros, de diferentes tamaño. La red polimérica será más o menos rígida dependiendo de la vibración de los átomos de las moléculas que la forman. Por lo tanto, membranas rígidas permitirán la permeabilidad de moléculas pequeñas, y las películas flexibles permitirán el paso de moléculas más grandes debido al movimiento de las moléculas en la red (Paine y Paine 1983).



En una barrera polimérica las cadenas se arreglan en redes quasi-cristalinas. Por encima del punto de transición vítrea, que establece la zona en la cual el arreglo cristalino se pierde para dar origen a una estructura amorfa, los poros estarán en continua formación-desaparición debido al movimiento térmico, la difusión de las moléculas ocurrirá por la existencia de gradientes de concentración. La energía de activación será entonces la energía necesaria para formar un poro que contrarresta las fuerzas que mantienen las cadenas juntas.

Una vez alcanzado el estado estacionario, en el cual la cantidad de gas permeante no cambia con el tiempo, la permeación o intercambio de moléculas internas por externas a través de la película se efectuará a una velocidad constante generándose una diferencia de presión entre los dos lados de la película, tal y como lo representa la figura 15.1. Bajo estas condiciones el fenómeno está descrito por la ley de Fick:

Figura 1.1: Transferencia de un gas a través de una película permeable en régimen estacionario (Lozada, 2001)

(15.1)

Siendo:

Ji = flujo difusivo del componente i a través del empaqueDi = coeficiente de difusión del componente i en el empaqueCi = concentración del gas disuelto en el empaquex = dirección normal al empaque

Para el flujo de cantidad de gas que se difunde a través del área A de la película en el

tiempo t es:



(15.2)

En donde J es la cantidad de gas que se difunde a través del área A de la película en el tiempo t, D es la constante de difusión, dc/dx es el gradiente de concentración que atraviesa la película con un espesor x (Emond et al., 1991; Gavara y Catalá, 2000).Si integramos tenemos:

(15.3)

En donde c1 y c2 son las concentraciones de gas en las dos superficies de la película, L es el espesor de la película (Paine y Paine, 1983; Gavara y Catalá, 2000).

Las concentraciones de gas suelen expresarse en términos de su presión parcial (p) la cual se encuentra en equilibrio con la película. Por ello se suele expresar C como el producto

, en donde S es el coeficiente de solubilidad del gas en la película de acuerdo a la Ley de Henry. Sustituyendo en (7.3) se obtiene (Emond et al., 1991):

(15.4)

La permeabilidad (P) se define como el producto de la difusión (D) y la solubilidad (S) (Paine y Paine, 1983):

(15.5)

Por lo que (15.5) se convierte en:

(15.6)

La ecuación (15.6) se aplica a gases ideales, y para otros cuyas desviaciones de las leyes de los gases son pequeñas (Gavara y Catalá, 2000; Paine y Paine, 1983).



Figura:

Particularizando ecuación (15.6) para el transporte de masa a través del empaque de Área conocida, espesor conocido y permeabilidad conocido para cada empaque se tiene:

(15.7)

Dónde:A = superficie total de intercambio de gases de la membranaPO2 = permeabilidad o constante de permeabilidad de la membrana al O2,

Llamamos permeabilidad a la velocidad de permeación, o cantidad de gas que atraviesa una membrana de sección unidad, en la unidad de tiempo. La permeabilidad propiamente dicha de la membrana, se define como la constante de permeabilidad dividida por el espesor.

De forma análoga a 15.7, el flujo de CO2 a través de la membrana que constituye el envase, cuya superficie total de intercambio de gases es A, será:

(15.8)

Por otro lado, el flujo de O2 consumido por el/los órganos vegetales alojados en el interior de un envase cerrado herméticamente y fabricado con la membrana de referencia es:

(15.9)



Donde M = masa del fruto/s

Análogamente a 15.9, el flujo de CO2 emitido por el/los referidos órganos vegetales es:

(15.10)

Una vez alcanzada la atmósfera de equilibrio en el interior del envase, para lo que es preciso que la tasa respiratoria del órgano vegetal se haya estabilizado, ocurrirá que:

(15.11)

y análogamente

(15.12)

En consecuencia, sustituyendo valores en 15.11 según las igualdades 15.7 y 15.9, se puede escribir

(15.13)

y también, sustituyendo valores en 15.12 según las igualdades 15.8 y 15.10 se puede escribir

(15.14)

Ecuaciones que ponen en relación parámetros fisiológicos o biológicos (rO2, rCO2 y M) del órgano vegetal con parámetros físicos de la membrana de polímero. Estas ecuaciones permiten calcular las características exigibles al polímero conociendo los parámetros biológicos.

II.1.1.1 Permeabilidad de los polímeros

Las permeabilidades que exige la industria a los polímeros para el EAM varían con el producto, la atmosfera a estabilizar y la temperatura de utilización. Puede existir un amplio rango desde 10 mL/m2'dia'atm para productos que exigen muy poco O2 y/o mucho CO2

(patata pelada o manzana cortada), hasta 200,000 mL/m2'dia'atm para productos de muy



elevada intensidad respiratoria (brócoli 0 champiñón) que alcancen los 20°C en su distribución (Varoquaux, 1999).

EI valor de la permeabilidad a los gases de los polímeros a la baja temperatura habitual de aplicación industrial, no suelen ser suministrado por el proveedor, lo que resulta poco común en una actividad comercial. Deberla ser exigido por el usuario para diseñar adecuadamente los envases, así como para saber interpretar los resultados obtenidos al utilizarlos (Artes et al., 1996). La permeabilidad a cada gas de un determinado polímero depende básicamente de la temperatura a la que se encuentre y su evolución difiere para cada gas (Artes et al., 1998).

Pero la determinación de la permeabilidad a los gases de las membranas de polímeros es un problema complejo y, de hecho, no existe una técnica estándar universalmente aceptada. Incluso cuando se conoce la permeabilidad, la aplicación industrial puede modificarla, por ejemplo con barnices, pinturas o presencia de condensaciones. Además, existe la seria dificultad de la habitual variación de permeabilidad dentro de una misma bobina de cualquier polímero por falta de uniformidad en el proceso de fabricación (Martinez y Artes, 2005).

Permeabilidad al O2 y CO2 exigible al polímero como sigue:

(15.15)

(15.16)

II.1.1.2 Permeabilidad para empaques con perforaciones

La permeabilidad de las películas macroscópicas (PmO2 y PmCO2) es cuantificada con las siguientes ecuaciones ya que dichas perforaciones representan una ruta paralela para el intercambio de gases.

(15.17)

(15.18)



Donde: RH : radio de la perforación e : espesor de la película NH:= número de perforaciones PmO2 y PmCO2: películas macroscópicas de los empaques

El intercambio de gases en películas con perforaciones es independiente de la temperatura pero depende de la porosidad y las dimensiones de las perforaciones y lo describen con las siguientes ecuaciones:

(15.19)

(15.20)

Dónde: Np = número de perforaciones D: Diámetro de las perforacionesLp: Longitud de las perforaciones

II.2 MODELO MATEMÁTICO PARA CUANTIFICAR LA RESPIRACIÓN EN PRODUCTOS EMPACADOS

Envasado en atmósfera modificada (MAP) es uno de los métodos más importantes de conservación de alimentos que mantienen la calidad natural y extender la vida de almacenamiento de frutas y verduras (Jayas; Jeyamkondan, 2002). Los cambios en el dióxido de carbono y las concentraciones de oxígeno en los envases podrían ayudar a mantener la frescura y el aspecto visual de los productos, reduciendo la respiración y / o deterioro fisiológico durante el almacenamiento (Kader, 1986).

II.2.1 Modelado de la transferencia de gases en un EAM

La respiración de frutos y vegetales es un proceso que se puede resumir por la ecuación (15.21) y que hace referencia a la oxidación de la glucosa (Mannapperuma y Singh, 1994; Yam y Lee, 1995; Song et al., 2002) y se esquematiza en la figura.

(15.21)



Figura 2. Proceso de respiración de frutas frescas en atmosfera modificada

Hipótesis

Se considera al transporte de O2, CO2, y calor como los fenómenos de transporte relevantes en el EAM.

La HR de atmósfera dentro del envase se considerará constante dentro del envase y superior al 95%.

Producto Se modela como una capa homogénea. La capa es isotrópica La solubilidad del CO2 en el producto es despreciable. No se considerará la variación de la respiración con la madurez y la senescencia

Espacio de cabeza El espacio de cabeza del envase consiste de un film estancado de aire. El espacio de cabeza es isotrópico. Los gases se comportan como gases ideales.

Ambiente exterior La atmósfera del exterior del envase tiene composición constante e igual a la del

aire: 79%N2, 21%O2, 0.04%CO2.

Una AM se obtiene mediante el uso de una película que modifica las concentraciones de O2

y CO2 en el interior del empaque. La mayoría de AM emplea altas concentraciones de CO2

y bajas concentraciones de O2 con relación a las concentraciones ambientales. Los gradientes generados provocan un flujo de O2 hacia el interior del empaque y un flujo de CO2 hacia el exterior (Kader et al., 1989). El empacado en AM es un sistema dinámico en



el cual la concentración interna de los gases cambia continuamente hasta alcanzar el estado estacionario (Solomos, 1994).

El interés por modelar la transferencia de gases en los empaque es porque se desea simular las concentraciones de equilibrio de O2 y de CO2 que se alcanzan en el interior del empaque ya que si no tendría que hacerse por prueba y error. El desarrollo de modelos matemáticos se basa en balances de masa del O2 y del CO2 que describen la evolución del porcentaje de estos dos gases en función del tiempo. Esta evolución depende de la permeabilidad del empaque, de la intensidad de respiración del producto y de las condiciones ambientales.

El balance global de masa establece la siguiente igualdad:

Para el oxígeno:

(15.22)

Para el dióxido de carbono:

(15.23)

En la ecuación 15.18 la ecuación de Fick y respiración

(15.24)


Tasa de permeación de O2 a través del empaque

= Tasa de consumo de O2 debida a la respiración

+Tasa de acumulación de O2 en el empaque

Ley de FickPor respiración

Tasa de Producción de CO2 debida a la respiración

Tasa de permeación CO2 a través del empaque

Tasa de acumulación de CO2 en el empaque

= -

Por respiraciónLey de Fick


De forma análoga para CO2 en la ecuación 15.25

(15.25)

Dónde:rO2 y rCO2: velocidad de consumo de O2 y producción de CO2 respectivamente (mg/kg

h), :Porcentaje de oxígeno y porcentaje de CO2.

PO2 y PCO2: es la permeabilidad del film para O2 y CO2, respectivamente (mL.m/m2.h.atm)

p = presión (atm)V = volumen del espacio libre del empaque (mL)M = peso del producto (kg)L: es el espesor del empaque film en m;A: es el área de transferencia (m2);

A partir de las ecuaciones 15.24 y 15.25 podemos determinar la variación de O2 y CO2 en el espacio libre del empaque de la fruta o hortaliza empacada.

II.3 MODELACIÓN DE LA VELOCIDAD DE RESPIRACIÓN USANDO LA ECUACIÓN DE CINETICA DE MICHAELIS-MENTEN

Modelo de respiración, basado en la cinética enzimática, fue propuesto por Lee, Song y Yam (1996) para predecir la velocidad de respiración de productos frescos como una función de concentraciones de O2 y CO2. Según Yang y Chinnan(1988), los principios de la cinética de enzimas podrían ser apropiados para el modelado de la tasa de respiración de los productos frescos. Estos autores sugirieron que una ecuación de tipo Michaelis Menten se puede utilizar teniendo en cuenta los siguientes fundamentos: respiración en los productos frescos es posiblemente regido por una reacción enzimática catalizada por enzimas y regulada a través de la inhibición. Las altas concentraciones de CO2 pueden reducir la tasa de consumo de O2 de un número de frutas y verduras. Esta reducción puede ser modelado por tres tipos de inhibición en un modelo de cinética de enzima: competitiva, acompetitiva, y de tipo no competitivo. Aunque la descripción de la relación entre las concentraciones de O2 y las tasas de consumo de O2 por la cinética de Michaelis-Menten es una simplificación sobre la base de una sola reacción enzimática en lugar de todas las enzimas que intervienen, los resultados mostraron un buen ajuste a los datos experimentales (Peppelenbos; Leven, 1996).



Debido a que es difícil modelar el proceso respiratorio considerando todos los factores que intervienen en las reacciones enzimáticas, se han desarrollado modelos empíricos para cada producto hortofrutícola como una función de las variables controlables, es común en la modelación de AM se considere la velocidad de respiración constante aunque esto es solamente un modelo simplificado (Fonseca et al., 2002).

II.3.1 Modelos paramétricos para estimar la respiración

Según Fonseca, Oliveira y Brecht (2002), la función de CO2 en la respiración está sujeta a la vía del mecanismo de inhibición de Michaelis-Menten y es descrito por la ecuación 15.26.

Tasa de consumo de oxigeno

(15.26)

Dónde: rO2: tasa de consumo de O2 (μmol /kg s).Km: constante de Michaelis-Menten para el consumo de O2 y uno de los parámetros del

modelo. vmO2: tasa máxima de consumo de O2 (μmol /kg s). O2: concentración de O2 (%).

Tasa de producción de CO2.

(15.27)

Dónde: • rco2: tasa de producción de CO2 (μmol /kg s).• CR: coeficiente respiratorio (rco2 / rO2). • vm CO2: tasa máxima de producción de CO2 (μmol /kg s).• Km O2 f : parámetro que describe la inhibición del metabolismo fermentativo por parte

del O2.

Modelos de inhibición.

Los modelos son representados en las ecuaciones 15.28, 15.29 y 15.30 para tres tipos diferentes de respiración: competitiva, acompetitiva y no competitiva, respectivamente (Peppelenbos; Leven, 1996).



a) Competitivo

(15.28)

Dónde: kmc CO2: Constante de Michaelis-Menten para la inhibición

competitiva de CO2 (%).

b) Acompetitivo

(15.29)

Dónde: Kmu CO2: Constante de Michaelis-Menten (%) para la inhibición acompetitiva de

CO2.

c) No competitivo

(15.30)

Donde:KmnCO2 : es la constante de Michaelis-Menten para la inhibición non-competitiva de

CO2 sobre el consumo de O2.

En las ecuación 15.31 y 15.32 para el modelo competitivo se tiene:

(15.31)



(15.32)

III. MATERIALES Y METODOS

III.1 MaterialesEquipo de Computo con software Matlab

III.2 Procedimiento de ejemplo matemático de solución de sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.

III.2.1 Sea las EDOs dx1/dt y dx2/dt

Condiciones iniciales

x1(0) = 1 (1)

x2(0) = 1 (2)

x1: variable 1 a evaluarx2: variable 2 a evaluar

M = coeficiente del sistema de ecuaciones 1 y 2

Donde

a) Desarrollo del programa1) Creamos el archivo matema.m

% Limpiamos la memoria y borramos las figuras habidasclear allclc% uses ode45 to solve% dx_dt(1)=-1*x(1) -1*x(2)% dx_dt(2)=1*x(1) -2*x(2)



% set an erroroptions=odeset('RelTol',1e-6);% Inicial conditionsX0= [1;1];% timespantspan=[0,5];% call the solver[t,X]=ode45(@TestFunction,tspan,X0,options);% Determine la longitud de las series de tiempo y var. depend.npts = length(t);% Definir la forma de salidafprintf('\n\n\n Tiempo X1 X2\n')fprintf(' (seg) (m/s) (m/s)\n\n')for n = 1:7:npts fprintf(' %5.1f %6.2e % 4.1f\n',t(n),X(n,1),X(n,2))end% plot the resultsfigurehold onplot(t,X(:,1)); plot(t,X(:,2),'r:')legend('x1', 'x2');ylabel('x');xlabel('t')

2) Creamos el archivo de la función TestFunction.m

function [dx_dt]=TestFunction(t,x)% A function which returns a rate of change vectorM= [-1 -1; 1 -2];dx_dt=M*x;return

b) Compilación del programa

Tiempo X1 X2 (seg) (m/s) (m/s)

0.0 1.00e+000 1.0 0.1 7.92e-001 0.9 0.3 4.97e-001 0.7 0.5 2.82e-001 0.5 0.8 1.33e-001 0.4 1.0 3.75e-002 0.2 1.3 -1.51e-002 0.1 1.6 -3.60e-002 0.1 2.0 -3.66e-002 0.0



2.4 -2.83e-002 0.0 2.7 -1.82e-002 -0.0 3.2 -9.64e-003 -0.0 3.7 -3.84e-003 -0.0 4.3 -9.27e-004 -0.0 4.9 1.70e-005 -0.0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

x

x1x2

III.2.2 Sea las EDOs dx1/dt y dx2/dt por otro método

Condiciones iniciales

x1(0) = 1 (1)

x2(0) = 1 (2)

Programa en Matlab aplicando ode45

a) Primero crearemos el archivo denominado mate.m

% ALBERTO HUAMANI% CURSO DE POSCOSECHA DE FRUTAS Y HORTALIZASfunction dX=mate(t,X);



% Vector columna del arreglo de las derivadas de las variables dependientesdX=zeros(2,1);dX(1) = -X(1)-X(2); % La primera ecuación dX(2) =X(1)-2*X(2); % La segunda ecuación

b) Creamos el archivo calcu.m que llama a la rutina ode45

% Archivo de ejecución para la función mate.m: calcu.m% ALBERTO HUAMANI HUAMANI% CURSO DE POSCOSECHA DE FRUTAS Y HORTALIZAS% [t,X] son variable independiente y variables dependientes% [0 5] lapso de tiempo en que se quiere evaluar% [1 1] condiciones iniciales de ambas ecuacionesclear allclc[t,X]=ode45('mate',[0 5],[1 1]);% Determine la longitud de las series de tiempo y var. depend.npts = length(t);% Definir la forma de salidafprintf('\n\n\n t X1 X2\n')for n = 1:5:npts fprintf(' %5.1f %6.2f %4.2f\n',t(n),X(n,1),X(n,2))endplot(t,X(:,1),'-',t,X(:,2),'r:');xlabel ('t (s)'); ylabel('X1 y X2')legend('x1', 'x2');

Compilacion

t X1 X2 0.0 1.00 1.00 0.2 0.63 0.79 0.8 0.13 0.35 1.4 -0.02 0.12 1.9 -0.04 0.03 2.4 -0.03 -0.00 2.9 -0.01 -0.01 3.4 -0.01 -0.01 4.0 -0.00 -0.00 4.5 -0.00 -0.00 4.9 0.00 -0.00



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t (s)

X1

y X

2

x1x2

III.3 Procedimiento Aplicado a respiración en postcosecha de frutas y hortalizas en atmosfera modificada

Desarrolle un programa de simulación en Matlab para las EDOs para los siguientes datos: Características del empaque:

Espesor delempaque: 7,5 10-5 m, Area: 4,2 10-2 m2, PO2: 83,3 mL kg-1 h-1 atm-1, PCO2: 227,8 mL kg-1 h-1 atm-1, Vm: 755 mL.

Fruto: deberá elegir una fruta y saber sus constantes cinéticos de respiraciónRespiración vm (mL/kg h) Km (%) Ki (%)

Fruto O2 53,1 27,9 -14,7CO2 36,1 1,5 16,0

Solución


Practica 17 Simulacion de Respiracion2

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