Practica 2

Teoremas de Millman y MaximaTransferencia de Potencia

2.1 Objetivo

Comprobar experimentalmente la validez de los teoremas anteriores.

2.2 Parte 1: Teorema de Millman

Es consecuencia directa de la aplicacion de las leyes de Kirchhoff a una configuracioncomo la de la Figura 2.1. Se utiliza principalmente en el analisis de circuitos trifasicos y encircuitos equivalentes electronicos.

1

Z1(s)

a

2

Z2(s)

n

Zn(s)

b

+

−

V1(s)

+

−

V2(s)

+

−

Vn(s)

+

−

Vab(s)

Figura 2.1: Teorema de Millman.

El teorema de Millman para la configuracion de la Figura 2.1 establece que,

1

2PRACTICA 2. TEOREMAS DE MILLMAN Y MAXIMA TRANSFERENCIA DE

POTENCIA

Vab(s) =∑

nk=1Vk(s) ·Yk(s)

∑nk=1Yk(s)

, (2.1)

donde Yk(s) = [Zk(s)]−1 es la admitancia del k-esimo dipolo.

2.3 Preinforme: Teorema de Millman

a. Demostrar para la configuracion de la Figura 2.1 el teorema de Millman.

b. Determinar, empleando Millman, el fasor Vab para las dos configuraciones mostradasen la Figura 2.2. Notese que todas las excitaciones son sinusoidales de la misma fre-cuencia angular. Sugerencia:Transforme la fuente de corriente en paralelo con L2 enuna fuente de tension en serie con la impedancia correspondiente a L2, y determinela impedancia equivalente de las inductancias acopladas.

L1

R a

i(t)

C

L2

b

+

−

v(t)

−

+

v1(t)

R

a

C L1 L2

b

+

−

v(t)

M

Figura 2.2: Circuitos del ordinal b de la primera parte del preinforme.

2.4. PARTE 2: TEOREMA DE MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA 3

c. Utilizando la configuracion de la Figura 2.3, disenar un circuito para montar en ellaboratorio. Para el diseno, tenga en cuenta los elementos disponibles en el almacen.Para v(t) utilizar una fuente sinusoidal con frecuencia en el rango 400≤ f ≤ 600 Hz yvalor pico entre 2 y 5 V. Los parametros RL y L corresponden a una bobina de nucleode aire. Tenga en cuenta que, la respuesta del voltaje vab es de la forma,

vab = vab +Vab, (2.2)

donde vab es la componente AC o sinusoidal debida a la fuente de alimentacion v(t)y Vab es la componente DC o constante debida a la fuente Vcc. El diseno debe decumplir que Vab sea mayor a 1 V. Una vez fijados todos los parametros del circuito,determine el voltaje vab en regimen permanente. Utilice un programa de simulacionde circuitos electricos para validar la respuesta del voltaje vab.

C

a

L

RL

+−Vcc

R

b

+

−

v(t)

+

−

vab

Figura 2.3: Circuito del ordinal c de la primera parte del preinforme.

d. Realice un listado de los materiales que requiere para la practica.

2.4 Parte 2: Teorema de maxima transferencia de potencia

Aplicable cuando se tiene una fuente sinusoidal alimentando una carga variable o ajustable.Tiene aplicacion en sistemas de comunicacion. Se presentan los siguientes casos:

• La carga es una resistencia variable: Esto se indica en la Figura 2.4 (a). Hay maximatransferencia de potencia cuando el valor de la resistencia de carga es igual al modulode la impedancia de la fuente.

R = |Zg|. (2.3)

4PRACTICA 2. TEOREMAS DE MILLMAN Y MAXIMA TRANSFERENCIA DE

POTENCIA

Zg

R

+

−

Eg

(a)

Zg

R

X

+

−

Eg

(b)

Figura 2.4: Casos para maxima transferencia de potencia.

• La carga es una impedancia ajustable: Vease la Figura 2.4 (b). Hay maxima trans-ferencia de potencia cuando la impedancia de la carga es igual al conjugado de laimpedancia de la fuente.

Z = R+ jX = Z∗g. (2.4)

2.5 Preinforme: Maxima transferencia de potencia

a. Demostrar el teorema de maxima transferencia de potencia para las dos configura-ciones de la Figura 2.4.

b. Si la carga es una resistencia fija con reactancia variable, determinar para que valorde la reactancia se tendra maxima potencia en la carga.

c. Si la carga es una resistencia variable con una reactancia fija, determinar el valor dela resistencia para maxima potencia.

d. Para el circuito de la Figura 2.5, determinar el valor de R que brinde la mas rapidadisipacion de calor.

e. Disenar el circuito de la Figura 2.6 para montar en el laboratorio. Para el diseno,tenga en cuenta los elementos disponibles en el almacen. La magnitud de Eg corres-ponde al voltaje fase neutro disponible en la mesa. Para Zg utilice una combinacionRC (condensadores de potencia y reostatos). El diseno debe ser tal que el valor de Rpara maxima potencia este entre 80 y 100 Ω. Utilice tres reostatos en serie de 100 Ω

para la resistencia de carga R.

2.6. LABORATORIO 5

j4 Ω 3 Ω

2 Ω

R

j4 Ω 2 Ω

− j5 Ω

+

−

50∠0 V

+

−

30∠60 V

Figura 2.5: Circuito del ordinal d de la segunda parte del preinforme.

Una vez fijados los parametros del ciruito, dibuje con la ayuda del comando plot deMatlab la curva PR vs R, con 0 ≤ R ≤ 300 Ω. ¿Cual es la maxima potencia absorbidapor la resistencia?, ¿Cual es el valor de resistencia para maxima potencia?. Sugeren-cia: Defina R como un vector con paso de 10 Ω. Tenga en cuenta que para la practica,PR corresponde a la lectura del vatımetro W.

Zg

R

+

−

Eg

±

±

W

Figura 2.6: Circuito a montar en el laboratorio.

d. Realice un listado de los materiales que requiere para la practica.

2.6 Laboratorio

a. Montar el circuito de la Figura 2.3.

b. Con el canal 1 del osciloscopio medir el voltaje v(t).

6PRACTICA 2. TEOREMAS DE MILLMAN Y MAXIMA TRANSFERENCIA DE

POTENCIA

c. Con el canal 2 del osciloscopio medir el voltaje vab. Recuerde que, el voltaje vab tienedos componentes (ecuacion 2.2). Mida la fase de la componente sinusoidal (vab)tomando como referencia a v(t). Compare las mediciones con los obtenidos en elpreinforme.

d. Montar el circuito de la Figura 2.6.

e. Ajuste R para su valor de maxima potencia. Luego, con un vatımetro medir su po-tencia (PR). Compare el resultado con el calculado en el preinforme.

f. Tomar lecturas de potencia para 15 valores antes de R para maxima potencia y 15despues auxiliandose de la grafica PR vs R realizada en el preinforme. Reporte lasmediciones realizadas en una tabla. Compare los resultados con los obtenidos en elpreinforme.

2.7 Informe

a. Cuantificar las diferencias en el voltaje vab de regimen permanente calculado en elpreinforme con el obtenido en el laboratorio.

b. Construir la curva potencia (PR) contra resistencia (R) usando el comando plot deMatlab, a partir de las lecturas efectuadas en el laboratorio. Dibuje sobre la mismagrafica la curva usando los valores correspondientes teoricos.

c. Compare el valor de potencia (PR) y resistencia (R) de maxima potencia calculado enel preinforme con el obtenido en el laboratorio.

d. Analizar causas de error.

e. Conclusiones.