PRÁCTICA N°4: MODELOS DE TRÁFICO

Por: Eduardo Campoverde Encalada.

Paralelo: “A” Fecha: 2014-06-30

Objetivo:Simulación del tráfico en red de telecomunicaciones.

SIMULACIÓN DE TRÁFICO TELEFÓNICO (VOZ)

1. FUNDAMENTO TEÓRICO

Un modelo de tráfico permite realizar una estimación precisa del comportamiento de una red, esencial para modelar una red de telecomunicaciones. Los modelos de tráfico contienen características estocásticas del comportamiento que tendría el tráfico.

Para el modelado de tráfico telefónico, se asume que:

1. Sólo una llamada puede ocurrir en cualquier intervalo lo suficientemente pequeño (dt).2. La probabilidad de una llamada en dt es directamente proporcional a la longitud del intervalo

(i.e. probabilidad de una llegada = dt).3. La probabilidad de una llamada en cualquier intervalo particular es independiente de lo que

ha ocurrido en otros intervalos.

La probabilidad de que sucedan n llamadas en un intervalo de tiempo t está definida por la siguiente ecuación, que resulta ser el modelo de tráfico de Poisson:

Pn ( λt )=( 1n ! )( λt )n e−λt [1]

El número de llamadas en un intervalo de longitud t sigue la distribución Poisson, con media t. Si se denota como Tn el tiempo entre la llamada (n-1) y la n-ésima llamada, la secuencia {T 1, T2, T3, ... ,Tn} se conoce como la secuencia de tiempo entre llamadas. Tn, n = 1,2,... son variables aleatorias independientes que siguen una distribución exponencial, es decir:

FT ( t )=1−e−λt para t ≥0 [2]

Donde FT(t) representa la probabilidad que hay entre una llamada en un intervalo menor o igual a t. La media entre los tiempos entre llamada es 1/λ. La figura siguiente muestra la relación existente entre las distribuciones de Poisson y exponencial. La distribución de Poisson corresponde a una variable aleatoria discreta: el número de llamadas en un intervalo; mientras que la distribución exponencial corresponde a una variable aleatoria continua: el tiempo entre las llamadas.

Distribución Exponencial

Distribución de Poisson

Fig. Relación entre las distribuciones de Poisson y Exponencial.

Como objetivo de esta práctica se debe simular los primeros n eventos de un Proceso de Poisson con razón de llamadas , para esto se genera un proceso de tiempos entre llamadas {T1, T2...,Tn}. Visto de otra forma, los n eventos se generaran en un intervalo T, donde T = T1 + T2 ... + Tn.

Esto se puede lograr generando números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1 {U 1, U2,..., Un}, hasta llegar a un tiempo T. Usando la ecuación (2), se puede despejar t para obtener los valores de T1, T2, ..., Tn. La media y la varianza (2) de los tiempos entre llegadas debe ser igual a 1/.. El número promedio de llegadas en el intervalo T deberá estar dado por T. La varianza del número de llegadas también está dada por T.

Para el desarrollo de un código que semeje las características estocásticas del tráfico es necesario correr muchas simulaciones y por un intervalo largo de tiempo, por lo que se requiere utilizar una T grande (1000 o 10000), y que se repita la simulación un gran número de veces.

Se requiere comprobar que los tiempos entre llegadas poseen una media (promedio) igual a 1/, una varianza de 1/2 , y también que verificar que el número de llegadas promedio y varianza del número de llegadas es T. Por último, se realiza un histograma de las llegadas, para comprobar que las llegadas siguen una distribución de Poisson.

2. SIMULACIÓN

En Matlab se desarrolló el código de simulación de tráfico telefónico usando el modelo de Poisson descrito anteriormente, para lo cual se creó un vector de números aleatorios con valores en un rango entre 0 a 1, y después se creó otro vector a partir de esos números aleatorios, obtienios mediante la siguiente ecuación:

t=−log (1−u )λ [3]

Donde:

t: es el tiempo en que se genera una llamada.

u: es número aleatorio entre 0 a 1.

: es la razón de llegada (llamada/segundos).

Código:

veces=0;f=0;c=0; % indica cuando se va a crear el primer vectorwhile veces<100, % repetición de 100 vectores u=0; lam=2.5; % lambda (razón de llegada) u=rand(1,10000);% matriz con un número de elementos aleatorios fijo "1000" t=-(log(u))/lam; % tiempos de llegada de las llamadas stop=0;% variable que asegura que si en el vector se llegó a los mil elementos ya no sume más elementos del vector N=0;% inicialización de la sumatoria de todo el vector antes de que se pase de los "1000seg" a=1;% indicador de elemento del vector b=a+1;% indicador de elemento del vector

while N<=10000,% Mientras sumatoria del tiempo de las N llamadas esta dentro del rango de 1000seg stop=stop+4;% contador de los mil elementos N=t(a)+t(b)+N; a=a+2;% estas dos lineas solo modifican a y b b=b+2;%b-2 es el úlitmo elemento del vector if stop==10000 N=10000 end end if c==0 % entra cuando se crea al primer vector y se le asigna a c su tamaño de vector "b-2" c=b-2; end if b<c % entra cuando el número de elementos de un vector a sido menor que los que se encuentran %ya creados. c=b-2; end if f==0 % entra cuando no se a creado ningún vector completo para guardarlo en tx tx=t; f=f+1; end if f>1 tx=tx+t; end f=f+1;% se le suma uno para que despues de la primera vez pueda entrar al if f>1 % que se encuentra en las tres lineas arriba y que se sumen a los 100 vectores realizados veces=veces+1 % se crea el arrreglo de 100 vectores endtx=tx(:,1:b);%A la sumatoria del arreglo de los 100 vectores se la ajusta para que todos % los vectores queden con el menor número de elementos que se crearon tx=tx/100; % promediohist(tx); % gráfica del hostogramatitle ('Histograma con lambda = 2.5','color','b')xlabel('Tiempos de llegada') for k=1:b final(k)=sum(tx(1:k));endfigure();plot3(final,0,0,'o'); % gráfica en 3D de tiempos de llegada de llamadasgrid onaxis squareaxis([0 1000 -1 1 -1 1 ]);title ('Tiempos de llegada con lambda = 2.5','color','b')xlabel('Tiempo (seg)')media=mean(tx); % mediavar=cov(tx)*100; % varianza

Resultado:

Los resultados que a continuación se muestran, se los obtuvo para distintos valores de lambda (razón de llegada).

a. Para λ=0.1

b. Para λ=1.2

c. Para λ=2.5

Tabla comparativa de la media y la varianza para distintos valores de λ

Media

(100 corridas)

Media calculada

Varianza

(100 corridas)

Varianza calculada

0.1 10.0447 10 97.4957 100

1.2 0.8340 0.833 0.6829 0.694

2.5 0.4011 0.400 0.1608 0.160

De acuerdo a lo observado en las gráficas anteriores, se tiene que mientras mayor sea la razón de llegada de las llamadas (λ), la mayoría de las llamadas ocurren en periodos de tiempo más pequeños. Lo que ocasiona que sea mucho más difícil para una central telefónica suministrar el número de troncales suficientes para todos los abonados de la red telefónica. Por otra parte, al realizarse la comparativa entre los valores teóricos de la media y la varianza con los obtenidos en la simulación se obtuvo valores muy próximos a los teóricos, debido a que el tiempo entre llamadas T así como el número de repeticiones de la simulación (100 veces) fueron considerables.

REFERENCIA:

LOPEZ Roberto, HERNÁNDEZ Fernando, INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE OCCIDENTE, “PRÁCTICA 2, Simulador de tráfico de central telefónica” [en línea], < http://www.desi.iteso.mx/telecom/siscom/informacion/p2trafico%20de%20llamadas.doc>, [Consulta de 29 de junio de 2014].