Introducción a las Ecuaciones Diferenciales ordinarias I

Alberto Gutiérrez Borda Facultad de Ciencias – UNSLG - Ica Página 1

PRÁCTICA 02

ORÍGENES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Alberto Gutiérrez Borda

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1. Encuentre la ecuación diferencial ED de la familia de rectas que pasan por el origen.

2. Determine la ED de la familia de circunferencias que pasa por el origen y cuyos centros

están en el eje X.

3. Encuentre la ED de la familia de parábolas con vértice en el origen y cuyos focos están

en el eje X.

4. Obtenga la ED de la familia de parábolas cuyo vértice y focos están en el eje X.

5. Encontrar la ED que representan todas las tangentes a la parábola y2 – 2x = 0.

6. Encontrar la ED de la familia de círculos de radio fijo r, con centro en el eje x. Diga el

orden, grado, linealidad de ésta ecuación.

7. Hallar la ecuación diferencial que representa a la familia de rectas que pasa por el punto

(-2, 3).

8. Hallar la curva para la cual la perpendicular trazada a la tangente desde el pie de la

ordenada del punto de contacto es una constante a.

9. La ordenada en el origen de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera

siempre es igual a la pendiente de la curva en dicho punto. Si la curva pasa por

el punto (2, 1), halle su ecuación.

R: x + 1 = 3y

10. Encontrar la ED de todas las circunferencias que pasan por los puntos (0,0) y (2,0).

Señale el orden, grado y linealidad.

R: y´( y2 – x

2 + 2x) + 2y(x-1) = 0, primer orden, primer grado, no lineal

11. Determine la ED de la familia de circunferencias de radio fijo “a”, con centro en el eje

X. Indique el orden, grado y linealidad.

R: y2(y´ )

2 + y

2 = a

2, la ecuación es no lineal, orden 1, grado dos

12. Encuentre las curvas que satisfagan las condiciones geométricas siguiente:

La proyección sobre el eje X de una parte de la normal entre (x, y) y el eje X, tiene una

longitud 1.

13. Halle la ED de todas las circunferencias que pasan por los puntos (0,0), (4, 0) y tiene su

centro en (2, k), k IR.

14. Halle la ED que representa a la familia de circunferencia que pasa por el origen y cuyos

centros están sobre la recta y = x.

15. Determinar la ED de todas las circunferencias que tienen su centro sobre el eje Y; y sea

tangentes al eje X.

R: (y-x2 )y´ + 2xy = 0

16. Hallar la ED que representan todas las tangentes a la parábola 2x – y2 = 0. Señale el

orden, grado y linealidad.

17. Determinar la ED de la familia de tangentes a la circunferencia x2 + y

2 = 4.

R: √ ( ) .

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18. Encuentre la ED de la circunferencia con centro sobre la recta y + x = 0, y que pasa por

origen.

R:

19. Encuentre la ED de la familia de circunferencias que tiene sus centros sobre el eje Y.

R: xy - (y )3 - y = 0

20. a) Demuestre que la ecuación diferencial de la familia de circunferencias ( )

es ( )

.

b) Encuentre las soluciones singular de la ecuación diferencial de la parte (a).

21. Halle la ED que representa a la familia de rectas que

pasa por el punto (2, 1).

22. Un circuito en series contiene resistor y un inductor,

tal como se muestra en la figura 1. Determinar la

ecuación diferencial de la corriente i(t), si la

resistencia es R, la inductancia L y la fusión aplicada

es E(t).

23. ¿Cuál es la ecuación diferencial de la velocidad v de un cuerpo de masa “m” que cae

verticalmente a través de un medio que opone resistencia proporcional al cuadrado de la

velocidad instantánea?

24. Un hombre M, que parte del origen, se mueve en

dirección positiva del eje X, arrastrando un peso a lo

largo de la curva C (llamada tractriz) indicada en la

figura 2. El peso ubicado inicialmente sobre el eje Y

en (o, s), es arrastrado por medio de una cuerda de

longitud constante s, que se mantiene tensa en el

transcurso del movimiento. Obtenga la ecuación

diferencial de la trayectoria (sugerencia: la cuerda

se mantiene, en todo momento tangente a C;

considere el ángulo tal como se encuentra en la figura).

25. Un medicamento se inyecta en el flujo sanguíneo de un paciente con una intensidad

constante de r grados/segundos. Simultáneamente, la sustancia se elimina con una

rapidez proporcional a la cantidad de sustancia x(t)

presente en cada instante. Halle la ecuación

diferencial que rige a la cantidad x(t).

26. Rayos de luz inciden sobre una curva plana C de

manera tal que todos los rayos L paralelos al eje y se

reflejan hacia un mismo punto 0. Determinar la

ecuación diferencial de la función y = f(x) que

describe la forma de una curva. (El ángulo de

incidencia sea igual al ángulo de reflexión es un

Figura 1

Figura 2

Figura3

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principio de la óptica). Sugerencia: una observación cuidadosa de la figura 3, nuestra

que la inclinación tangente en P(x,y) con respecto a la horizontal es

y que es

posible escribir .

27. Un cohete se lanza de la superficie de la tierra verticalmente hacia arriba. Después de

todo su combustible se ha consumido, la masa del cohete es una constante m. Use la

segunda ley del movimiento de Newton y el hecho de que la fuerza de gravedad varía

inversamente al cuadrado de la distancia, para encontrar

la ecuación diferencial de la distancia y del centro de la

tierra al cohete en un instante cualquiera después que el

combustible se ha agotado. Para t = 0, indique las

condiciones apropiadas asociadas con esta ecuación

diferencial.

28. El recipiente cónico representado en la figura 4, pierde

agua por un orificio en su fondo. Si el área de la sección

recta del orificio es

, encuentre la ecuación

diferencial que representa a la altura h del agua en un

instante cualquiera.

Dr. Alberto Gutiérrez Borda

Docente Principal

Universidad Nacional San Luis Gonzaga Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

Ica – Perú

alguborda@yahoo.es

http://www.alguborda.blogdiario.com

Figura 4