3er. Premio

HACER MATEMÁTICA EN LA ESCUELA SECUNDARIA

ANDREA VICTORIA CAMPILLO

YALILE SORAYA SROUR

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Andrea Victoria Campillo es Docente. Profesora deMatemática en la Escuela Superior de Comercio CarlosPellegrini. Profesora Adjunta Ordinaria de la asignaturaAnálisis Matemático II en la Universidad TecnológicaNacional – Facultad Regional Buenos Aires. ProfesoraAdjunta en la asignatura Matemática en el InstitutoUniversitario de la Policía Federal Argentina.

Yalile Soraya Srour es Docente. Profesora de Matemáticaen la Escuela Superior de Comercio Carlos Pellegrini.Profesora Adjunta Ordinaria de la asignatura AnálisisMatemático I en la Universidad Tecnológica Nacional –Facultad Regional Buenos Aires. Y Profesora en las asig-naturas Análisis Matemático I y II en la Universidad deBelgrano, Facultad de Ciencias Económicas.

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“Parece que uno de los elementos fundamentales de la naturalezaes que las leyes fundamentales de la física están descriptas en tér-minos de una teoría matemática de gran poder y belleza, por lo quese necesita un nivel de matemática bastante elevado para entender-las. Usted podría preguntarse: ¿por qué la naturaleza está cons-truida siguiendo estos lineamientos? Uno podría solamente respon-der que nuestro conocimiento actual parece mostrar que la natura-leza está construida de esta manera. Simplemente tenemos queaceptarlo. Uno quizá podría describir la situación diciendo queDios es un matemático de gran nivel y usó matemática muy avanza-da en la construcción del Universo.”

Paul Dirac

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ÍNDICE

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1. Resumen................................................................................................. 4

2. Introducción ........................................................................................... 5

3. La propuesta didáctica ......................................................................... 12

4. Desarrollo del proyecto ....................................................................... 14

5. Conclusiones........................................................................................ 24

6. Desiderátum......................................................................................... 25

7. Anexo I................................................................................................. 27

8. Anexo II ............................................................................................... 30

9. Anexo III .............................................................................................. 31

10. Anexo IV............................................................................................ 34

11. Anexo V ............................................................................................. 40

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1. RESUMEN

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Es evidente para quienes enseñamos matemática –en particular en la escuelasecundaria– que los altos índices de reprobación vienen asociados con actitudesde pasividad y desinterés de los alumnos hacia la asignatura. Las dificultades enla enseñanza y los resultados poco satisfactorios que observamos en nuestra tareadocente nos llevan a reflexionar y a cuestionar nuestro desempeño en el aula.

Con el objetivo de acortar la distancia entre los adolescentes y la matemáti-ca, tanto en la adquisición de saberes como en la forma en la cual estos saberesson generados en el ámbito científico, hemos diseñado una propuesta didácticaque utiliza las gráficas de funciones polinómicas, realizadas en Excel por losmismos alumnos, con el fin de que sean ellos quienes “descubran” la incidenciade la multiplicidad de las raíces en el gráfico de dichas funciones.

Este proyecto comenzó a gestarse en el año 2006, y en sucesivas etapas sefueron incorporando modificaciones y mejoras. La idea es seguir optimizándoloy transferirlo a otros contenidos. Esperamos sumar nuestro granito de arena a lamejora de la enseñanza de la matemática y a la incorporación de las nuevas tec-nologías en el ámbito educativo.

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2. INTRODUCCIÓN

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El aprendizaje de la matemática –y por lo tanto su enseñanza– debe ocuparun lugar preponderante en el desarrollo curricular de la enseñanza a cualquiernivel. La enseñanza de las ciencias en general constituye hoy en día uno de lospilares imprescindibles para la formación de los futuros ciudadanos: no puedehacerse una separación tajante entre formación científica y formación ciudada-na. La ciencia ha avanzado a pasos agigantados en las últimas décadas del sigloXX, y en el siglo XXI este ritmo no parece detenerse, sino acelerarse. Los avan-ces tecnológicos actuales hacen necesaria una educación que los acompañe for-mando ciudadanos que puedan adaptarse a esos cambios, pero también una edu-cación que permita que el conjunto de la sociedad pueda definir la orientaciónde dichos avances, y la aplicación de los recursos que ellos ofrecen en funciónde la integración social y la paz.

El año 2008 fue designado como el año de la enseñanza de las ciencias en laRepública Argentina: si queremos que el mejoramiento de la enseñanza de lamatemática sea una realidad, habrá que invertir tiempo y esfuerzo en la revisiónde las metodologías, la implementación de una capacitación docente que difun-da dicha revisión, la instalación de nuevos laboratorios informáticos o la amplia-ción y el mejoramiento de los ya existentes, el incremento en la producción y ladifusión de bibliografía tanto pedagógica como específicamente matemática,etc. Todos los docentes que nos dedicamos a la enseñanza de las ciencias (en par-ticular los profesores de matemática) vemos que las dificultades en la enseñan-za de estas asignaturas no han disminuido: esta situación se ve refrendada conlos resultados obtenidos en relevamientos nacionales e internacionales. Los por-centajes de reprobación son mayores para matemática que para cualquier otraasignatura (incluidas física o química), y si se tiene en cuenta el área de ciencias,los índices de reprobación son mayores que en el área de estudios sociales.

Que este año haya sido designado como año de la enseñanza de las cienciasindica la preocupación del Estado argentino por esta situación, lo que suponedefinir políticas tendientes a que la enseñanza de la ciencia y que la denomina-da alfabetización científica tengan un apoyo prioritario, que implique una mejo-ra en la enseñanza de este área del conocimiento. La mencionada alfabetización

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científica deberá extenderse hacia todo el conjunto de la población, entendiendocomo tal la capacidad de cualquier ciudadano no solo de incorporar los avancestecnológicos sino de manejar una forma de pensamiento que le permita cuestio-nar, indagar, proponer soluciones, extraer conclusiones, validar las proposicio-nes y entender e interpretar los hechos empíricos. A su vez, la ciencia deberáenseñarse y difundirse de manera tal que el conjunto de la ciudadanía puedainvolucrarse y expresarse en debates acerca de la orientación y las finalidades delos avances científicos y de los recursos asignados a la investigación y el desa-rrollo, y tomar decisiones que no afecten el medio ambiente y la calidad de vidacon la información necesaria.

Este replanteo acerca de la enseñanza de la ciencia y de la matemática no seestá produciendo solo a nivel nacional, sino que ha sido evidenciado en numero-sos organismos e instituciones del quehacer educativo internacional. Replantearseuna reforma profunda de la enseñanza tradicional implica un acercamiento a latarea científica de producción del conocimiento. Actualmente, el mundo científi-co está muy alejado de la enseñanza de la ciencia, por lo que resulta imprescin-dible acercar ambos mundos para que la comprensión de los conceptos científi-cos se funde en la comprensión –más profunda– del modo como estos conceptosse han generado y validado dentro de la comunidad científica.

Los científicos pueden valorar e interpretar un saber sobre ciencia porquecomprenden los procesos intrínsecos mediante los cuales éste ha sido concebi-do: si una idea surge dentro de un determinado marco teórico, o si la idea resul-ta de la generalización de situaciones empíricas; si la idea ha recibido el apoyode la comunidad científica a través de publicaciones o instituciones que difun-den los nuevos conocimientos y las nuevas propuestas científicas; si la sociedaden la que ha sido concebida esta idea presenta un marco histórico y político favo-rable a su desarrollo o contrariamente se ha acotado la investigación científica.De manera inversa, los docentes ignoran estos procesos, ya que lo que se ense-ña es una serie de conocimientos que constituyen el producto final del desarro-llo mencionado. Los alumnos están alejados del proceso de generación de ideasy de validación científica del conocimiento, lo que profundiza el concepto deque los conocimientos científicos están alejados de sus posibilidades. Esto pro-duce un acercamiento superficial y muchas veces erróneo a dichos saberes.

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Una forma de mejorar la enseñanza de la ciencia es acercar a los estudiantesal proceso de generación del conocimiento científico. Por supuesto, existengrandes diferencias entre el tipo de ciencia que construye la comunidad científi-ca y el que circula en la comunidad educativa: en tanto los científicos trabajanen las fronteras del conocimiento, en el aula deberán trabajarse conocimientosya validados.

La idea de acercar la enseñanza de las ciencias al proceso de construcción delconocimiento no debe entenderse exclusivamente como la imposición de clasesde laboratorio: el desarrollo de tareas concretas de experimentación deberíaincrementarse, sin que éstas reemplacen las clases tradicionales, sino comple-mentándolas. Tengamos en cuenta que el proceso de construcción del conoci-miento científico no consiste exclusivamente en el aspecto experimental: la acti-vidad científica involucra una serie de procesos que tienen que ver con la acti-vidad cognitiva, además de la actividad relacionada con el laboratorio. La per-sona que hace ciencia debe poder recolectar datos experimentales pero tambiénrealizar procesos mentales como detección de patrones, generalización, abstrac-ción, validación de teorías y resultados, inferencia de posibles experimentos queavalen los supuestos teóricos, etc. En definitiva, debe poder indagar, investigar,crear respuestas, defender y comunicar sus ideas, aceptar críticas; cuestionar yser cuestionado. La propuesta deberá ser llevar al aula tanto la parte experimen-tal del quehacer científico como la parte intelectual: es imprescindible que estosprocesos formen parte indisoluble de la formación científica en la escuela.

En este contexto, la enseñanza de las ciencias desarrolla valores imprescin-dibles para la formación de ciudadanos comprometidos con la sociedad: pro-mueve el trabajo en equipo, la defensa de ideas propias con argumentos válidos,el respeto y el aprecio por las ideas ajenas, la aceptación del diálogo que inclu-ya críticas constructivas y replanteo de situaciones, etc. Asimismo, fomenta lacapacidad de abstracción para ordenar y organizar la enorme cantidad de infor-mación disponible, y los subsiguientes procesos de descubrimiento de regulari-dades, planteo de hipótesis de explicación y validación de estas hipótesis. Endefinitiva, se trata de crear modelos a partir de los procesos científicos o tecno-lógicos, que los estudiantes deberían comenzar a manejar (en la medida de susposibilidades y de sus saberes previos) en todas las etapas de la educación: ini-cial, primaria, secundaria, terciaria y/o universitaria.

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Para que estos procesos sean posibles, los docentes jugamos un rol funda-mental: no solo debemos fomentar este tipo de procesos en nuestras clases sinoque debemos inducir a que los alumnos vayan incorporando esta forma de ver elmundo para que puedan desarrollarlos en forma autónoma e independiente. Losalumnos (aun los más pequeños) pueden comprender que el mundo natural pre-senta cierta estructura y ciertas regularidades que pueden ser modelizadas. Amedida que avanza la edad de los alumnos, estas regularidades pueden expre-sarse en forma más abstracta y aparece la necesidad de generalizar y de demos-trar la veracidad de esa generalización (validación). Estos modelos pueden utili-zarse para realizar predicciones y tomar decisiones sobre el proceso modelizado.Este tipo de actividad natural en el ámbito científico debería ser incorporado gra-dualmente en la enseñanza escolar, en principio con un fuerte apoyo del docen-te. El apoyo facilitado por el docente (el “andamiaje”, en términos de Bruner)deberá ir disminuyendo progresivamente para que los alumnos asuman el con-trol de sus actividades y competencias. Las actividades que los alumnos realicenen forma autónoma deberán ser planeadas de modo que los encaminen hacia unaprendizaje por descubrimiento. Los estudiantes deberán poder plantear sus pro-pias hipótesis sobre los modelos analizados, interactuar con otros alumnos y conlos docentes para argumentar, discutir y analizar, y finalmente validar o desecharestas hipótesis.

A través de los procesos descriptos, los alumnos podrían comprender elmundo natural y sus estructuras subyacentes mediante los modelos propuestospara describirlas. A su vez, estos modelos presentan la ventaja de poder aplicarseen situaciones similares y verificar que funcionan para poder explicar estas nue-vas situaciones, y además para predecir nuevas posibilidades hasta el momentono exploradas. En este planteo no solo son importantes los experimentos y lasexperiencias directas, sino también los procesos cognitivos realizados en las cla-ses tradicionales: generalización, discusión y confrontación de resultados, con-sultas bibliográficas, defensa de argumentos con bases sólidas, etc.

Lo ideal es que los alumnos aprendan a observar el mundo y los fenómenosque en él se desarrollan con una mirada científica, que desate los procesos cog-nitivos propios del método científico (claro que en las etapas adecuadas a la edady los conocimientos previos de cada chico). Sin embargo, los docentes que ense-ñamos asignaturas de ciencias naturales o de ciencias exactas (particularmenteen matemática) notamos que los estudiantes fracasan en una gran proporción en

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la adquisición de los saberes y habilidades propias de la asignatura, en especialen lo referido a la “mirada científica” antes mencionada, con todos los procesosinvolucrados. Es innegable que los docentes no han sido formados como cientí-ficos, por lo que no han recibido el entrenamiento propio de los procesos de“hacer ciencia”. A su vez, los científicos –que conocen este proceso porqueforma parte de sus tareas habituales– no han sido formados en la docencia, y engeneral no pueden transmitir las ideas científicas de forma adecuada y pedagó-gica para quien no es un especialista en el área de investigación correspondien-te. En este caso, ¿qué solución puede permitir que el docente entregue a losalumnos una visión más cercana al quehacer científico, que permita entender lasteorías con sus alcances y sus limitaciones?

Cuando analizamos el fracaso en la enseñanza de la ciencia podemos encon-trar innumerables razones que convergen en esta situación: falta de capacitacióny actualización docente adecuada, programas desactualizados, inadecuados ymuy extensos, problemas económicos en la implementación y adecuación delaboratorios de ciencias, etc. Sin embargo, lo que puede mejorarse sin lugar adudas es la práctica pedagógica: los docentes debemos estar convencidos quepese a todas las dificultades que se presentan, siempre pueden producirse mejo-ras en los métodos de enseñanza. En cualquier ámbito docente deberá fomentar-se la reflexión sobre las metodologías y prácticas pedagógicas; inclusive en losámbitos de formación docente. Entre los estudiantes de carreras vinculadas a ladocencia debería prevalecer la idea de que siempre pueden mejorarse la meto-dología y las herramientas de enseñanza.

Específicamente en relacion a la enseñanza de la matemática, todo profesorde la asignatura puede darse cuenta desde sus primeros contactos con la docen-cia del fracaso general de los alumnos en todos los niveles de la enseñanza.Inclusive desde antes de recibirse, la mayoría de los alumnos de profesorados sededica a dar clases particulares de matemática: esta práctica contribuye a dismi-nuir los fracasos. Sin embargo, aunque ayuda a que más alumnos aprueben losexámenes de la asignatura, fomenta una práctica totalmente opuesta a la que sevino desarrollando en los párrafos anteriores: la producción de las famosas“recetas” para resolver los ejercicios y sacar buenas notas en las pruebas, sinentender en profundidad los conceptos y las metodologías involucradas. Estasclases particulares mejoran el rendimiento en lo inmediato, pero sin embargo nosolucionan el problema de fondo: la adquisición de saberes. El uso de “recetas”

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para aprobar no resulta beneficioso a largo plazo, ya que los alumnos solo abor-dan la práctica operatoria y olvidan estas “recetas” rápidamente, sin haber adqui-rido los conceptos que respaldan esta práctica operatoria.

Para solucionar el tema de los fracasos en la enseñanza de la matemáticapuede tomarse el camino más fácil: se podría disminuir la exigencia en la com-prensión y adquisición de conocimiento para incrementar la práctica operatoriaque se ampara en las mencionadas “recetas”. Sin embargo, la mayoría de losdocentes no está de acuerdo con esta postura. El problema consiste en seguirenseñando matemática en el nivel actual de exigencia y disminuir el fracaso delos alumnos: ningún docente estará de acuerdo en que bajar el nivel de exigen-cia o reducir al mínimo los contenidos sea beneficioso a largo plazo.

En esta situación, habrá que lograr un equilibrio entre la enseñanza de los dis-tintos aspectos involucrados en el saber matemático: la comprensión de los con-ceptos, la formalización y las técnicas de resolución. No deberá confundirse, porejemplo, la exigencia del lenguaje matemático con la exigencia de un formalismoinútil que termina abrumando y aburriendo a los alumnos. Asimismo, el aprendi-zaje de las técnicas de resolución no debería ser la única meta en el aprendizajede la matemática: estas técnicas vacías de contenido no permiten la incorporaciónde los saberes ni la formalización de los conceptos. A su vez, si el docente insis-te verdaderamente en la comprensión –antes que en las técnicas de resolución–puede resultar malinterpretado por los alumnos y los padres, acostumbrados a laaplicación de “recetas” y a la enseñanza clásica y expositiva.

Para conseguir sus objetivos, el docente deberá cuestionarse cuáles son lasreales capacidades de sus alumnos, cuáles son las bases sobre las cuales se debe-rán “anclar” los nuevos conocimientos, qué motivaciones resultan más adecua-das para que los estudiantes consideren atractiva, útil y emocionante a la mate-mática. En la escuela secundaria, los adolescentes deberán profundizar en la abs-tracción matemática, ya que el desarrollo intelectual los habilita para ello. Sinembargo, esa práctica sobre la abstracción y el lenguaje formal no deberá abru-marlos hasta el punto de hacerles perder interés en una materia que termina sien-do aburrida y árida.

La adquisición de saberes se realiza en el marco de las interacciones socialesque se dan en el ámbito del aprendizaje, tanto entre los alumnos del curso entre

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sí como en la relación de los alumnos con el docente. Si se produjo un fracasoen el aprendizaje, significa que hubo un fracaso en estas relaciones, particular-mente en la que se establece entre los alumnos y el docente. La relación con elprofesor es básica en la construcción del saber. En el estudio de estas relacionesintervienen diversos factores sociológicos, psicológicos, de comunicación, etc.Es tarea de la ciencia de la didáctica analizar estos procesos de relación e iden-tificar las fallas para poder resolverlas y modificar las actitudes que entorpecenla relación, fomentando aquellas que la favorecen. Esta tarea no es sencilla: ladidáctica no debe conformarse con explicaciones superficiales, sino comprenderverdaderamente estos procesos en profundidad para poder analizarlos y modifi-car los aspectos negativos para mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje.

Los cambios didácticos implican una serie de procedimientos que habitual-mente no se desarrollan en plazos breves: deberán realizarse observaciones endistintos ámbitos y con distintos grupos, y plasmar esas observaciones en infor-mes que se analizarán detalladamente a fin de explicar los fenómenos detecta-dos. Estas explicaciones generarán cambios propuestos a las situaciones didác-ticas, que será necesario llevar a la práctica y volver a observar a fin de identifi-car si los fenómenos que se deseaban corregir continúan repitiéndose o el cam-bio didáctico resultó fructífero. Los docentes deben sentirse seguros al realizarestos cambios, que se implementan de manera progresiva. Inclusive, las innova-ciones más osadas deberían contar con el apoyo de la comunidad educativa delos establecimientos donde se proponen, a fin de no coartar el espíritu innovadory los deseos de mejora de los docentes.

Todo cambio didáctico implica un trabajo extra para el docente que lo reali-za, con la consiguiente angustia que genera trabajar con un sistema innovadorque está siendo evaluado mientras se implementa. En principio, cualquier inno-vación puede hacer sentir inseguro al docente, que puede temer que la imple-mentación no tenga la forma esperada, que los alumnos no perciban la mejora oque, debido a los cambios, la clase se salga de los cauces habituales. Para ganarseguridad, se debería trabajar con la nueva metodología durante varios años,para afianzar la confianza del docente en las modificaciones realizadas a su prác-tica pedagógica y lograr el equilibrio y las mejoras necesarias que garanticen laseguridad de que los cambios tienen resultados positivos.

Los profesores deben tener la libertad de innovar, plantear sugerencias, rea-

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lizar observaciones sobre las modalidades y los métodos de enseñanza, conec-tarse con otros docentes a través de jornadas o publicaciones que les permitanintercambiar ideas y propuestas. Es necesario plantear un debate profundo y rea-lista sobre la enseñanza en general y sobre la enseñanza de las ciencias en parti-cular, a fin de lograr el objetivo de una transformación de la enseñanza que per-mita el acceso de todos a la alfabetización científica y a la comprensión de unaciencia que nos incluya en una sociedad cada vez más tecnológica y técnica.

3. LA PROPUESTA DIDÁCTICA

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La sociedad moderna –una sociedad intensamente tecnificada– reclama cadavez más una cultura científica, en la cual la matemática es uno de los pilares fun-damentales. Si se desea disminuir los fracasos en las asignaturas de ciencias exac-tas, se podría tomar la solución fácil, que consiste en disminuir el nivel de exi-gencia en la comprensión, amparándose en las “recetas” para la resolución deejercicios. De esta manera, se elude el problema de la adquisición de los saberes.Asimismo, se plantea el problema referido a la formalización matemática: nodebe confundirse la exigencia en la comprensión de los conceptos con la exigen-cia por la estrechez de un formalismo excesivo. Sin embargo, no debe caerse enla situación contraria, exigiendo solo comprensión y reduciendo al mínimo eltiempo dedicado a la enseñanza del lenguaje formal y las técnicas de resolución.

Otro pilar que no debe faltar en las clases es el de “hacer matemática”.Debemos incorporar en nuestros alumnos las prácticas relacionadas con la inves-tigación de problemas, la comparación de situaciones y el análisis de ciertonúmero de casos que permita intuir una cierta propiedad o regla, debida a laobservación de regularidades y la posterior generalización matemática de lasmismas. Sin embargo, no debemos quedarnos solamente con el enunciado dedichas regularidades en forma de propiedades o teoremas sino que, en la medi-da que lo permita el conocimiento adquirido por los alumnos, plantear la posi-bilidad de la demostración general a fin de verificar si la propiedad enunciada sesatisface para cualquier elemento considerado del conjunto al cual está referida.En los casos en los cuales la demostración aludida resulte inadecuada por el

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nivel de conocimientos del curso o por falta de saberes en los cuales apoyarse,igualmente se debería plantear a los alumnos la situación de que una demostra-ción resulta imprescindible para la confirmación final y definitiva de la propie-dad analizada.

Creemos que la búsqueda de patrones o regularidades debe formar parte deldesarrollo de las clases, siendo ésta una de las actividades fundamentales de lainvestigación matemática en todos los niveles. Como señala Adrián Paenza, “lamatemática es la ciencia de los patterns (o de los patrones). En líneas muy gene-rales, lo que hace un matemático es examinar patterns abstractos. Es decir, bus-car peculiaridades, cosas que se repitan, patrones numéricos, de forma, de movi-miento, de comportamiento, etc. Estos patterns pueden ser tanto reales comoimaginarios, visuales o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantita-tivos, puramente utilitarios o no. Pueden emerger del mundo que nos rodea, delas profundidades del espacio y del tiempo o de los debates internos de lamente.”1 En general, la percepción de los alumnos es que un científico trabajaalejado de la realidad cotidiana, encerrado en una oficina o laboratorio, vincula-do con actividades inaccesibles e incomprensibles para un adolescente. Sinembargo, la metodología de trabajo que aquí proponemos aspira a que los alum-nos puedan acceder a una forma de manejo matemático de un problema deter-minado que los acerque a la forma de trabajo de cualquier científico: explorar,comparar, analizar, buscar patrones, extraer conclusiones, verificar sus conclu-siones para otros casos particulares y –en la medida de lo posible– efectuar lademostración que garantice la validez universal de la propiedad inferida. Por lotanto, tendrá que aprender las habilidades correspondientes a identificar el pro-blema matemático, analizarlo y explicar sus conclusiones.

Para el desarrollo de este tipo de actividades se deberá tener en cuenta quelos alumnos no se comportan como una página en blanco: cada persona poseeciertos conocimientos, y los nuevos deberán construirse a partir de los anterio-res. No se trata simplemente de una acumulación, si no de que los nuevos sabe-res deberán producir una reestructuración de los anteriores para poder ser inte-grados. En el cerebro humano existen siempre algunos modelos implícitos. Estosmodelos o representaciones pueden convertirse en obstáculos o ayudar a la cons-trucción de futuros conocimientos. “Hacer matemática” puede favorecer la rees-tructuración de estos modelos al incorporar los nuevos conocimientos, ya que los1. Adrián Paenza, “Matemática….¿Estás ahí?”, Buenos Aires, Siglo XXI, 2005

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saberes anteriores son confrontados por el propio alumno con los resultadosobtenidos en las sucesivas pruebas, y sus conclusiones deberán encajar en elmarco teórico que manejaba previamente.

Este tipo de actividades fomenta el desarrollo del pensamiento científico paraconseguir un aprendizaje constructivo y significativo. A su vez, es imprescindi-ble introducir el uso de distintos software que la tecnología pone hoy a nuestroalcance: ya en el siglo XXI, con la computación difundida en todos los ámbitoslaborales y profesionales, los docentes debemos diseñar estrategias tendientes aincorporar gradualmente el uso de nuevas tecnologías en nuestra área para con-solidar una comunidad docente comprometida con la aplicación de la informáti-ca. En este trabajo, proponemos la utilización del programa Excel del paqueteMicrosoft. Una misma actividad puede realizarse en dos o tres programas dis-tintos para luego comparar los resultados y elegir el más adecuado en cada caso.

Dentro de los objetivos que nos planteamos para nuestros cursos, pretende-mos que los estudiantes tengan un manejo integral de la matemática, que se apo-yen en la tecnología y que desarrollen la capacidad de transferir conocimientosen diferentes registros: gráfico, algebraico, numérico, etc. Este propósito nopuede ser objetivo de una sola asignatura, sino el resultado de la interacción detodas las materias que un estudiante curse a lo largo de su carrera. De este modo,se propicia una mayor significatividad psicológica, se induce el acercamiento aniveles de abstracción más poderosos, generales y que facilitan la comunicacióninterdisciplinaria y el aprendizaje significativo. Nos interesa que el alumnoexplore, sea creativo y habilidoso en la resolución de problemas.

4. DESARROLLO DEL PROYECTO

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El presente proyecto trata de una actividad en el aula, diseñada para los alum-nos de tercer año de la Escuela Superior de Comercio “Carlos Pellegrini”. Dichaescuela no tiene los mismos programas de estudio que las demás escuelas secun-darias de la Capital Federal, pero el tema elegido en nuestra propuesta corres-ponde al programa de tercer año de Capital Federal, y al primer año Polimodal

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en la Provincia de Buenos Aires. En tercer año, el programa de matemática (quese detalla en el Anexo I) incluye algunos temas algebraicos que resultan arduos,áridos, abstractos y trabajosos para los adolescentes, como por ejemplo la defi-nición analítica de polinomios, el factoreo, las expresiones algebraicas, las ecua-ciones algebraicas, las ecuaciones irracionales, etc.

La actividad que desarrollaremos surge con la idea de incorporar la computa-ción a la investigación de regularidades en las gráficas de funciones (en este casoespecífico para las funciones polinómicas), ya que se pueden realizar gráficosmediante el programa Excel, sin necesidad de un software específico de matemá-tica. Para este planteo tuvimos en cuenta que el nivel socioeconómico de los alum-nos en nuestra escuela es predominantemente de clase media. La mayoría de elloscuenta con computadoras en sus casas (con el paquete de Microsoft Office quecontiene el aplicativo Excel), o bien pueden tener acceso a ella en un “cíber” delos tantos que hay hoy en día en la ciudad de Buenos Aires. Además, la escuelacuenta con un Departamento de Informática, donde pueden realizar sus trabajos.

La idea de incorporar la computación como parte de las nuevas tecnologías aldesarrollo de ciertos temas nos parece imprescindible en el siglo XXI. Además deresultar en actividades más atractivas para los alumnos (simplemente por la formanovedosa de realizar la tarea matemática), nos parece que la computación está yainserta de forma indiscutible en casi cualquier actividad profesional o laboral que sedesarrolle. Por ello, no podemos mantener la escuela fuera de la realidad: la incor-poración de nuevas tecnologías como herramienta y recurso didáctico debería seruna tendencia creciente en las escuelas que cuenten con la posibilidad de hacerlo.

Este trabajo fue llevado a cabo en distintas etapas, y en todas ellas hemos conse-guido el aporte de colegas, alumnos y autoridades escolares, que nos han servido pararetroalimentar el proyecto, a fin de ir ampliándolo y mejorándolo. Estas mejoras toda-vía están en proceso, de modo que en años sucesivos se irán implementando noveda-des y agregados como resultado de las repercusiones que se obtengan por parte de losalumnos y de otros docentes en cada una de las implementaciones sucesivas.

En una primera etapa, la idea surge como posibilidad de aplicación de la com-putadora en su función de realizar cálculos y gráficas complejas para los alumnos,que pueden resolverse de manera sencilla utilizando un programa básico delMicrosoft Office. En nuestras primeras charlas sobre el tema, a mediados del año

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2006, y luego de un intercambio de ideas y reflexiones sobre el asunto, nos pare-ció oportuno el uso de gráficos (generados por tablas de datos) mediante el apli-cativo Excel. Para el caso particular de las funciones polinómicas (que son las pri-meras funciones que se estudian en tercer año), nos pareció interesante plantear alos alumnos el análisis de una serie de gráficos, para que evalúen la incidencia dela multiplicidad de las raíces de una función polinómica en el gráfico de la misma.Nuestra expectativa consistía en que los alumnos dedujeran que una multiplicidadimpar se representa gráficamente con una curva que corta el eje de las abscisas,mientras que una multiplicidad par genera un “rebote” de la gráfica. Plantear untrabajo práctico con estas características nos llevó en principio a evaluar distintoscasos de funciones polinómicas que pudieran graficarse en un intervalo pequeño,que tuvieran distintas raíces con distintas multiplicidades y que la gráfica resulta-ra lo suficientemente clara como para que los alumnos vieran la forma que tomala curva alrededor de las raíces sin “empastarse” con el eje de abscisas. Resultó untrabajo de ensayo y error, de pruebas con gráficas que nos parecía que podían fun-cionar para nuestro objetivo y otras que no servían y debían ser descartadas.

Por el momento del año en que decidimos abocarnos a formalizar este proyecto enel aula, no pudimos implementarlo en el mismo ciclo lectivo en el que fue concebido,ya que los temas tratados en él ya habían sido desarrollados en las clases transcurridas.Afortunadamente, en febrero del año 2007 la Escuela Superior de Comercio “CarlosPellegrini” realizó unas Jornadas de Socialización e Intercambio de Experiencias. Enesas jornadas, los docentes de las distintas asignaturas podían difundir sus experienciasinnovadoras y discutirlas con otros docentes de la misma materia o de áreas afines.Resultó para nosotras una excelente oportunidad para exponer nuestro trabajo.

En dichas jornadas presentamos un póster (que adjuntamos en el Anexo II)con el proyecto que nos habíamos propuesto implementar a partir del año 2007para los alumnos de los cursos de tercer año. En la exposición se planteó lasiguiente idea: en un trabajo práctico que los alumnos realizarían en forma indi-vidual, se les pediría factorear una serie de polinomios (elegidos expresamentepor cumplir con las características de claridad y sencillez antes descriptas) y gra-ficarlos mediante la aplicación del programa Excel. A continuación, medianteuna serie de actividades guiadas, pretendíamos que identificaran la incidencia dela multiplicidad de las raíces en el gráfico de la función polinómica. Las con-clusiones obtenidas serían discutidas en clase y se realizaría una puesta encomún para formalizar los resultados. Consideramos que esta modalidad de tra-

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bajo resultaría motivadora por la incorporación de la computadora como herra-mienta, el trabajo en grupo, la discusión posterior de ideas y el debate.

Luego de exponer nuestro proyecto, que pensábamos implementar en el iniciodel año lectivo 2007, se produjo un intercambio de comentarios con los demásdocentes que estaban presentes –en general docentes de matemática y asignaturasafines: física, química, computación–. Las docentes de química nos realizaron unadevolución muy interesante, nos comentaron que veían en los alumnos de tercero,cuarto y quinto año cierta dificultad en el análisis de gráficas de funciones rela-cionadas con procesos o modelizaciones químicas, y particularmente nos comen-taron que en muchos casos no interpretaban correctamente el significado de las raí-ces de la función descriptiva de un determinado proceso. Por eso, veían a nuestroproyecto como una alternativa interesante para subsanar esta problemática.

En el caso de los profesores de computación, su aporte fue muy significati-vo: nos comentaron que en la asignatura Informática, que se dicta en segundoaño, los alumnos aprenden a manejar los programas Word y Excel del paquetede Microsoft Office. De este modo, una aplicación concreta para un trabajoescolar en tercer año resultaría una excelente aplicación de lo aprendido el añoanterior. Además de esto, nos facilitaba la diagramación del instructivo para eltrabajo práctico, ya que no deberíamos preocuparnos por dejar explicitadasdemasiadas instrucciones para el manejo de tablas de datos y gráficas asociadasen el Excel. Además, nos invitaron a realizar cualquier actividad que necesitá-ramos en el gabinete de computación de la asignatura y nos ofrecieron su cola-boración para el desarrollo de cualquier tema referido a la parte computacionalque quisiéramos consultar.

Los demás docentes de matemática que escucharon nuestra propuesta nosapoyaron ampliamente: todos coincidieron en que este tipo de trabajo tiende amostrar la matemática de una manera más cercana al alumno, haciéndolo formarparte del proceso. Encontrar regularidades y patrones forma parte del trabajo decualquier matemático. En este caso, los alumnos deben encontrar regularidadesmediante un trabajo guiado por el docente, pero efectuando un proceso que rea-liza cualquier investigador relacionado con la matemática. Además, todos coin-cidieron en que el empleo de la computación debería ser mucho más amplio queel que existe en este momento, por lo que cualquier incorporación de la compu-tadora en los trabajos de los alumnos sería bienvenida.

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Con el aliciente y el apoyo recibidos en estas Jornadas, decidimos que en elaño 2007 diseñaríamos un plan de trabajo y una guía de estudios para que losalumnos desarrollaran esta actividad, como prueba piloto. Obviamente, en fun-ción de los resultados obtenidos y las dificultades y aciertos encontrados, redi-señaríamos la actividad y ampliaríamos la metodología para otras funcionesestudiadas en tercer año, a fin de optimizar el trabajo.

Sin embargo, el año 2007 fue muy problemático para la Escuela Superior deComercio “Carlos Pellegrini”: hubo numerosas amenazas de bombas, parosdocentes por reclamos salariales y gremiales, el colegio estuvo tomado durantemeses por los alumnos debido al cambio de rector y el cuestionamiento a lasnuevas autoridades. Se perdieron muchas clases, y los tiempos no nos permitie-ron implementar el trabajo como esperábamos. En esta segunda etapa de con-creción de la idea, y debido a las dificultades en cuanto a los tiempos y los díasde clase, no hubo posibilidad de que los alumnos armaran por sí mismos las grá-ficas a fin de trabajar en pequeños grupos para elaborar conclusiones y estable-cer luego en la clase una puesta en común. A fin de implementar nuestro pro-yecto de manera parcial, se decidió presentar en dos de los cursos de tercer añode la escuela las gráficas de funciones polinómicas realizadas en Excel en un afi-che. La mera introducción de esta herramienta generó curiosidad y buena pre-disposición de los alumnos, quienes participaron en forma entusiasta y compro-metida. Se les pidió que observaran los gráficos planteados y que analizaran elcomportamiento de las funciones alrededor de las raíces. Lo primero que expre-saron fue que no todas las funciones se comportaban igual. Para guiarlos a larelación buscada se les pidió que definieran los conjuntos de ceros, positividady negatividad. A través de este análisis, los alumnos pudieron advertir que enalgunos casos la curva se mantenía en el mismo semiplano respecto del eje x, yque en otros casos cortaba al eje de abscisas. Se analizaron primero todos loscasos en los que la curva “cortaba” al eje x y se anotaron las multiplicidades delas raíces que presentaban dicho comportamiento; luego se hizo lo mismo paralos casos en los que la curva “rebotaba” en el eje. De manera espontánea, losalumnos establecieron la relación entre la multiplicidad de las raíces y el com-portamiento de la gráfica de la función polinómica.

Con la experiencia del año anterior –y ya con menos conflictos en la escuela–, enel año 2008 se planteó la propuesta didáctica conforme a la idea original. Se entregóa los alumnos la siguiente guía de trabajo práctico (y su correspondiente anexo):

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Guía para los alumnos

Dado los siguientes polinomios:

Se pide:

1) Factorear cada polinomio en función de sus raíces.2) Graficar cada una de las funciones polinómicas asociadas a ellos utili-

zando el programa Excel, en el intervalo [–3 ; 3]. En caso de duda verayuda Anexo.

3) Analizar los conjuntos: C º, C – y C +. 4) En función de los conjuntos definidos en el punto 2), analizar cómo se

comportan las funciones alrededor de sus raíces.5) De acuerdo con lo observado, ¿qué incidencia tiene la multiplicidad de

las raíces en los gráficos? 6) Redacte sus conclusiones.

Anexo

Ayuda para la gráfica en Excel

Para graficar los polinomios en Excel, utilizaremos gráficos de línea. Por lo

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tanto, en una columna se colocarán los valores de la variable x. Éstos deben tenerun valor de entre -3 y 3, y se recomienda que sean con saltos de 0,1, por ejemplo

y luego se realizarán las operaciones correspondientes a fin de que las imá-genes se vuelquen en otra columna.

Una vez que tenemos los valores de las imágenes, “pintar” dichos valores yrealizar lo siguiente:

• Insertar gráfico• Elegir tipo Lineal, y elegir el primero de los subtipos.• Presionar el botón “Siguiente”• En el Rango de datos, ubicar la solapa “Serie”. En el “Rótulo del eje

de categorías (x)”, indicar la columna correspondiente a los valores dela variable x.

• Presionar el botón “Siguiente”• En la solapa Leyenda, desmarcar el ítem “Mostrar leyenda”• Presionar el botón “Siguiente” hasta llegar al botón “Finalizar”

Una vez obtenido el gráfico, pueden adecuarse los colores, fondos, grosor delas líneas, títulos, tamaño, etc. según los procedimientos habituales para gráficos.

Los alumnos de los dos cursos de tercer año en los cuales se propuso este tra-bajo se dividieron en grupos que armaron ellos según su afinidad, y contaron contreinta días para trabajar sobre la guía de estudio y presentar sus conclusiones.

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En dicho período podían realizar cualquier tipo de consulta con el docente sobrelas dificultades que se fueran presentando. Se acordó con los alumnos que se rea-lizaría una defensa del trabajo por parte de cada grupo a fin de calificar el tra-bajo realizado, independientemente de que las conclusiones a las que arribaranfueran o no correctas. La idea de incluir una nota para el trabajo tenía que vercon el mayor compromiso que esto generaría en los alumnos. La charla indivi-dual del docente con cada grupo permitiría además identificar si todos los inte-grantes del grupo habían participado en el trabajo y con qué grado de compro-miso y responsabilidad habían asumido la tarea. Otro objetivo de la charla conel docente sería ayudarlos a concretar, ampliar, justificar, generalizar o desecharlas conclusiones obtenidas.

Finalmente, entre los dos cursos se formaron doce grupos. En el tiempo quetuvieron para cargar los datos, las expresiones de los polinomios y realizar susgráficas en Excel, hubo solo una consulta técnica, que fue la de utilizar gráficode dispersión en lugar del gráfico de línea propuesto. Durante este tiempo, enclase se trabajó el factoreo de polinomios en función de sus raíces, aplicando laregla de Gauss. Afianzado este concepto, los alumnos estaban en condiciones defactorear los polinomios propuestos en el trabajo práctico y realizar todo el aná-lisis pedido. En esta etapa, las consultas estuvieron relacionadas fundamental-mente con la expresión verbal de sus conclusiones: no sabían “cómo escribir loque veían”. Asimismo, muchos alumnos preguntaron si podían contestar las últi-mas tres preguntas en un solo ítem (preguntas referidas al análisis del compor-tamiento de las gráficas de las funciones en el entorno de las raíces, observaciónde la incidencia de la multiplicidad de las raíces, y redacción de las conclusio-nes). Se les dio la libertad de que las contestaran como les fuera más cómodo,ya que el objetivo era que se animaran a enunciar sus conclusiones. Finalmente,ocho de los doce grupos expresaron explícitamente cómo afectaba la multiplici-dad de una raíz la representación gráfica de la función polinómica.

El coloquio consistió, en primer lugar, en que contaran su experiencia parapreparar el trabajo, sus dificultades y su organización. En general, el denomina-dor común fue que se repartieron los polinomios que debían factorear y en nin-gún caso tuvieron la precaución de controlar lo que el compañero resolvió. Estogeneró que algunos polinomios del mismo trabajo sufrieran el “olvido” del coe-ficiente principal y otros no. Expresaron que su gran dificultad consistió enpoder plasmar en el papel en forma concreta y clara lo que observaban, debido

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a que estaban acostumbrados a recibir, ya elaborados, los teoremas, axiomas,propiedades, etc. Al solicitársele que fueran ellos mismos quienes debían enun-ciar una proposición que representara lo que estaban descubriendo, esto les plan-teaba una dificultad extra. Nunca se habían chocado con la experiencia de pro-poner ellos “verdades matemáticas”; les sorprendía lo difícil que podía serencontrar los términos apropiados para poder generalizar sus conclusiones.

A continuación, se trabajó en forma individual definiendo los conjuntos deceros y la positividad y negatividad de distintos polinomios graficados en el tra-bajo, y de esta manera se analizó el comportamiento en los entornos de las raí-ces. Para complementar el análisis se les presentó un grupo de gráficas de fun-ciones polinómicas (ver Anexo III), donde todas las funciones tenían las mismasraíces pero con distintas multiplicidades. La idea era que los alumnos, en fun-ción de las observaciones realizadas y las conclusiones obtenidas, pudieran indi-car la expresión polinómica que caracterizaba a cada una de las funciones pre-sentadas. La observación de estos gráficos ayudó fundamentalmente a los cua-tro grupos que no habían arribado a la relación entre la multiplicidad de las raí-ces y su incidencia en el gráfico, y a los grupos que habían arribado a la relaciónles permitió visualizarlo con más ejemplos.

Finalizadas las entrevistas con todos los grupos, se expusieron en el aula losresultados obtenidos, y de este modo se generalizó y enunció la propiedad “des-cubierta”. Como validación de la propiedad obtenida no se realizó una demos-tración rigurosa y formal, ya que en la misma se utiliza una notación que exce-de el nivel en el que estamos trabajando. Sin embargo, esto se “demostró” ver-balmente, utilizando los polinomios ya factoreados en función de sus raíces. Seanalizó el signo del producto en función de los signos de sus factores, y clara-mente pudieron generalizar que en los casos de multiplicidad par dicho factor noafecta el signo del producto.

Se continuó el estudio de las funciones polinómicas con distintos tipos deejercicios: en un caso, partiendo de la expresión del polinomio se realizaron lasgráficas, y en otro caso, partiendo de las gráficas se definieron las funcionespolinómicas que se ajustaban a ellas. Los alumnos trabajaron con gran soltura ydesenvolvimiento en estas nuevas propuestas.

Vale destacar que, al leer las conclusiones (algunas de ellas se pueden ver en

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el Anexo IV), surgieron otros temas para trabajar. Por ejemplo: en uno de los tra-bajos sus autores expresaron: “Si el coeficiente principal es negativo, las ramasse inclinarán hacia abajo”. Esta afirmación la conocían de segundo año para lafunción cuadrática. En este caso quisieron generalizarla para cualquier polino-mio. Esto nos permitió debatir si era verdaderamente una propiedad de todo poli-nomio. Luego de proponer distintos ejemplos vieron que esto no se cumplíasiempre (por ejemplo f (x) = –x3). A partir de esto, trabajamos el concepto de quesolo algunos ejemplos no nos alcanzan para asegurar verdades matemáticas, ymuchas veces no tomar en cuenta esto nos lleva a considerar como propiedadgeneral alguna característica de cierta cantidad de casos. Con este análisis, losalumnos pudieron reafirmar el concepto de que los teoremas y propiedades sedeben demostrar para ser consideradas verdades, mientras que para refutar unaproposición alcanza con proponer un contraejemplo.

Por otro lado, los dos últimos polinomios P8 y P9 presentaban la dificultad deque sus gráficos realizados con Excel no permitían ver claramente el comporta-miento de las funciones: en esos casos, resulta fundamental la importancia de laparte analítica. En el momento del coloquio, se les mostró a los alumnos las grá-ficas de estos polinomios realizadas con otro software: el Mathematica. (verAnexo V). La intención con estos gráficos fue la de mostrarles que no siempreel Excel alcanza para graficar las distintas funciones matemáticas, y que hayotros programas específicos como el Matlab o el Mathematica que ayudan a rea-lizar gráficas u otras operatorias matemáticas con mayor eficiencia.

Con la experiencia recabada en esta primera bajada al aula de la guía de trabajopropuesta, hemos decidido plantear ciertas mejoras para el año que viene. En prin-cipio, se incorporarán a la guía los gráficos utilizados en el coloquio para brindarlea los alumnos otro enfoque de la misma propiedad que esperamos encuentren.

Por otro lado, se vio una gran dificultad en las preguntas referidas al análisisde los gráficos para la obtención de ciertas reglas y la redacción de estas con-clusiones (específicamente las preguntas Nº 4, Nº 5 y Nº 6 de la guía de trabajoconfeccionada para los alumnos). Para los alumnos, redactar una sola respuestapara las tres consignas resultó más accesible. Para el próximo año se unificaránlas tres preguntas a fin de facilitar el trabajo de la observación y redacción de lasconclusiones, que es la parte más innovadora para los alumnos. No queremosque una cuestión de forma limite la creatividad y libertad en las respuestas.

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5. CONCLUSIONES

• • •

En virtud de la experiencia adquirida en nuestros años de trabajo en el aula,llegamos a la conclusión de que cada profesor debe reflexionar sobre el queha-cer educativo y la propia práctica docente, y llevar a cabo una evaluación al res-pecto. Aunque muchos problemas sean externos y no tengamos posibilidad desolucionarlos (situación socioeconómica del país, que afecta a docentes y alum-nos; falta de infraestructura en los laboratorios informáticos; problemas políticosen la Universidad de Buenos Aires que afectan a nuestra escuela, etc.), no debe-mos cruzarnos de brazos, y tenemos que plantearnos qué podemos cambiar en elaula para mejorar la calidad de la enseñanza, para promover el pensamientoautónomo y la capacidad creadora. Uno de los aspectos que con seguridad pode-mos mejorar son nuestras metodologías y la aplicación de recursos didácticosque generen un cambio favorable en la calidad de la enseñanza. Con este obje-tivo, los docentes debemos hacer una autocrítica permanente, que nos guíe haciael mejoramiento de nuestras clases y, con ello, de la enseñanza en todos los nive-les. Debemos tener en cuenta que los profesores no deben concebirse como pro-fesionales de la repetición monótona y rutinaria de conocimientos ya sabidos,sino como corresponsables del crecimiento personal de sus alumnos. El feed-back entre docentes y alumnos favorece tanto la evolución personal del alumnoque aprende como la del profesor que enseña.

En definitiva, los docentes debemos revisar constantemente nuestras meto-dologías y reflexionar sobre nuestra tarea, intercambiar experiencias con otroseducadores, realizar cursos de capacitación docente y efectuar todas las activi-dades posibles tendientes a mejorar la calidad de la enseñanza, nuestras herra-mientas didácticas y nuestra relación con los alumnos. En este sentido, la meto-dología de enseñanza de una asignatura no debe ser tan rígida como para noadaptarse a los cambios o mejoras que haya que realizar para elevar la calidadde la enseñanza.

Con el objetivo de tratar de mejorar nuestras clases, hemos planteado unapropuesta didáctica que nos permita acercar a los alumnos a ciertos temas queresultan áridos y aburridos. A través del uso de la computadora y mediante laobservación de las gráficas realizadas por los propios alumnos, hemos querido

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que comiencen a “hacer matemática”: a entender un poco la tarea científica, aobservar, a interpretar, a identificar patrones, a proponer explicaciones, a poderexpresar esas explicaciones mediante conclusiones que deben ser defendidasante sus compañeros y la docente mediante argumentos válidos y convincentes.Por las charlas que hemos tenido con los alumnos luego de la propuesta plante-ada en este trabajo, creemos que estamos acercándonos al objetivo propuesto.

…. nosotros, quienes tendríamos que tener la obligación de comu-nicar adecuadamente la matemática, estamos en una situación dedeudores permanentes, porque no logramos el objetivo: mostrar labelleza que tiene. Créanme: no son los alumnos ni los padres.Somos nosotros, los docentes.

Adrián Paenza

6. DESIDERÁTUM

• • •

La incorporación de las nuevas tecnologías dentro de la escuela debe ser uncompromiso de todos los docentes, en tanto los factores socioeconómicos lo per-mitan: sabemos que en la República Argentina no todos los establecimientosescolares cuentan con la misma infraestructura computacional, y en muchoscasos la población escolar necesita cubrir necesidades básicas (alimentación,atención sanitaria, vestimenta, gas, electricidad, agua corriente, etc.) que releganla computación a un segundo (o último) plano.

Teniendo en cuenta estas limitaciones, en los casos en que sea posible, con-sideramos que la computación es una excelente herramienta para la enseñanzade la matemática. En general, los adolescentes utilizan la computadora paranavegar en Internet, chatear o jugar. El uso como herramienta útil en la escuelasuele limitarse a la función de “máquina de escribir” y a la búsqueda de infor-mación en Internet sobre los temas escolares. Queremos con nuestra propuestabrindarles a los alumnos otra manera de aprovechar este recurso tecnológico.

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Con este criterio, esperamos ampliar esta modalidad de trabajo en otros temasdel programa de tercer año de la Escuela Superior de Comercio “Carlos Pellegrini”(Anexo I). Estas son algunas de las nuevas propuestas:

• Para el caso del estudio de funciones trigonométricas: evaluar cómoafecta la variación de los parámetros sobre el período y la amplitud dela curva gráfica. Por ejemplo: comparar las gráficas de las funciones:

f (x) = sen x con g (x) = sen (2x) y con h (x) = sen o bien:

f (x) = sen x con g (x) = 3sen x y con h (x) = –3sen x.

• La aproximación de funciones trigonométricas ( f (x) = sen x o f (x) = cos x)mediante funciones polinómicas de distintos grados (según el desarrollo enserie de Taylor) en un entrono de un punto (eventualmente 0). Esta activi-dad permitiría a los alumnos entender el modo en que las calculadorascientíficas obtienen los valores de las funciones trigonométricas, logarít-micas, etc., y con ello la importancia de las funciones polinómicas nosolo en la matemática sino también en otras áreas de la ciencia.

Este tipo de aplicaciones podría también utilizarse en otros años:

• En segundo año, cuando comienzan con el estudio de funciones, apoyarseen las gráficas realizadas en Excel permitiría a los alumnos visualizar cómoafecta a la gráfica de una función lineal la modificación de la pendiente ode la ordenada al origen; o bien la variación del coeficiente principal en elgráfico de una función cuadrática; o los desplazamientos sobre los ejes dela gráfica de la función básica cuando se suman constantes a las variables.En los sistemas de ecuaciones lineales, las gráficas ayudarán a identificarclaramente los casos de rectas paralelas no coincidentes (sistema compati-ble indeterminado) o rectas coincidentes (sistema incompatible).

• En cuarto año se estudian las funciones logarítmicas y exponenciales:se podría utilizar el análisis de la gráfica de una función exponencialcuando la variable independiente está multiplicada por un númeropositivo o un número negativo, la diferencia en las gráficas de las fun-ciones logarítmicas de base mayor o menor que uno, los desplaza-mientos de la función básica en el eje x o en el eje y.

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• En quinto año ya se inicia el estudio básico del análisis matemático: aquílas gráficas ayudarían a corroborar el análisis realizado para límites,derivadas y estudio de funciones.

En todos los casos, pueden diseñarse actividades que involucren la computa-ción y las gráficas en Excel. Mediante este software se realizan las gráficas enforma rápida, pueden variarse distintos parámetros para efectuar comparaciones,pueden realizarse superposiciones de gráficos, etc. Todas estas prácticas seríanmuy arduas y complicadas de realizar a mano, lo que no permitiría un manejo deuna cantidad suficiente de casos a fin de que los alumnos puedan comparar,encontrar patrones y extraer conclusiones. La idea sería ampliar el uso de estametodología a nuevas situaciones didácticas.

7. ANEXO I

• • •

PROGRAMA DE MATEMÁTICAAÑO 3º - CICLO ESCOLAR 2007

UNIDAD 1. Polinomios

Función polinómica. Definición. Grado. Polinomios.

Polinomio completo, ordenado, nulo. Igualdad entre polinomios.

Operaciones entre polinomios: adición, sustracción, multiplicación (casosparticulares), división.

Caso particular de la división: divisor de la forma x + a. Regla de Ruffini.Propiedad del resto.

Raíces de un polinomio. Factorización de un polinomio. Teorema de Gauss.

Divisor común de mayor grado y múltiplo común de menor grado de dos omás polinomios.

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UNIDAD 2. Expresiones algebraicas racionales

Expresiones algebraicas racionales. Simplificación de expresiones algebrai-cas racionales. Condición de posibilidad.

Operaciones entre expresiones algebraicas racionales: adición, sustracción,multiplicación, división.

UNIDAD 3. Ecuaciones polinómicas - Sistemas

Ecuación general de segundo grado con una incógnita. Deducción de la fór-mula de resolución general. Naturaleza de las raíces. Propiedades de las raíces dela ecuación reducida. Reconstrucción de ecuaciones de segundo grado. Ecuacionesracionales e irracionales. Dominio de definición. Ecuaciones bicuadradas.

Resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas del tipo:

a ) b)

Representación gráfica de los sistemas.Problemas de aplicación.

UNIDAD 4. Trigonometría

Razones trigonométricas: relaciones entre los lados de un triángulo rectángu-lo referidas a un ángulo agudo. Razones directas y recíprocas. Uso de calcula-dora. Resolución de triángulos rectángulos (casos clásicos).

Teorema del seno (enunciado y demostración). Teorema del coseno (enunciado).

Problemas de aplicación.

Medición de ángulos. Sistemas sexagesimal y circular.

Generalización de las razones trigonométricas al plano cartesiano.

Circunferencia trigonométrica.

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Valores del seno, coseno y tangente de ángulos de 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 270º, 360º.

Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Estudio y gráfico.

Reducción al primer cuadrante. Relaciones entre las funciones trigonométri-cas de ángulos complementarios, suplementarios, que difieren en π, que difierenen π/2 y opuestos.

Identidades y ecuaciones. Dominio de definición.

Funciones inversas.

Aplicación: sen (α + β); cos (α + β).

Bibliografía del programa

Carione y otros, Matemática 3, Buenos Aires, Santillana.

Carnelli y Lamella, Matemática M2, Buenos Aires, Editorial Tinta Fresca.

De Simone y Turner, Matemática 4, Buenos Aires, Editorial AZ.

De Simone y Turner, Matemática 5, Buenos Aires, Editorial AZ.

Etchegoyen y otros, Matemática 1, Buenos Aires, Editorial Kapelusz.

Kaczor y otros, Matemática I, Buenos Aires, Editorial Santillana.

Seveso y otros, Matemática 9, Buenos Aires, Editorial Kapelusz.

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8. ANEXO II

• • •

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9. ANEXO III

• • •

Gráficas de funciones polinómicas con iguales raíces (x = –3, x = –1, x = 2)y distinta multiplicidad. Estas gráficas se presentaron a los alumnos en el colo-quio efectuado con la docente, posterior a la entrega del trabajo.

Propuesta en el Aula • Análisis de la posibilidad y negatividad de la función en el entorno de cada raíz.• Debate de la incidencia de la multiplicidad con relación al ítem anterior.• Puesta en común y conclusiones.

Otras Propuestas • Análisis de funciones trigonométricas: período, frecuencia, amplitud (por ej. comparando las funciones Sen(x), Sen(2x), Sen(1/2x), 2 Sen(x), -2 Sen(x), etc.• Resolución de sistema de ecuaciones mediante el método gráfico: ecuaciones lineales y cuadráticas, o polinómicas de grado mayor que 2.• Aproximación de funciones trigonométricas mediante funciones polinómicas (desarrollo en serie de Taylor).

Raíz con multiplicidad

Par

“rebota” en el eje x corta al eje x

Impar

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10. ANEXO IV

• • •

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11. ANEXO V

• • •

Gráfica con Excel

Gráfica con Mathematica

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Gráfica con Excel

Gráfica con Mathematica