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Guía para Exámenes Final y Extemporáneo del Curso de Matemáticas III

GEOMETRIA EUCLIDIANA Y TRIGONOMETRIA

Esta guía tiene como propósito proporcionarte información relacionada con el examen final

(así como con el examen extemporáneo) de matemáticas III, Geometría Euclidiana y

Trigonometría, y te orientará sobre los temas, tipos de problemas y ejercicios que comprenderá

dicho examen.

Se te sugiere realizar todos los problemas y ejercicios propuestos y además algunos otros

que podrás encontrar en la bibliografía que se te ha proporcionado.

Se te recuerda que ésta es solo una guía, no el examen, y que si encuentras dificultades al

resolverla contarás con el apoyo de tus maestros para que afines tu preparación y que tengas éxito

en tu examen.

Lee cuidadosamente cada uno de los ejercicios que se proponen a continuación antes de responder, y asegúrate de haber comprendido lo solicitado. En caso de alguna duda consulta con tu profesor.

Unidad I. Geometría Euclidiana

Escriba las siguientes definiciones.

a) Punto.

b) Recta.

c) Segmento.

d) Rayo.

e) Angulo.

f) Triángulo.

g) Bisectriz.

h) Mediatriz.

i) Mediana.

j) Altura.

Elaborado por: Ing. Gerardo Tapia Martínez 2

Efectúe con regla y compás los trazos indicados

1.-Perpendicular a la recta AB en el punto P.

2.- División del segmento EF es siete partes iguales.

3.- En el triángulo GHI, verifique el teorema: “Las medianas de un triángulo son concurrentes”.

¿Qué punto se genera?

Complete las siguientes frases.

a) Es el ángulo cuya medida es igual a 90º_________________________________.

b) Son dos ángulos cuyas medidas suman 180º_____________________________.

c) Porción de plano, limitada por dos semirrectas, llamadas lados, que parten del mismo punto

llamado vértice.__________________________________________

d) Es el ángulo cuya medida es menor a 90º._________________________________

e) Es el ángulo cuya medida es igual a 360º._________________________________

E F

A B P

H I

G

Elaborado por: Ing. Gerardo Tapia Martínez 3

Conteste las siguientes preguntas

1.- ¿En qué consiste la congruencia de triángulos?

2.- ¿En qué consiste la semejanza de triángulos?

3.- ¿Qué es una razón?

4.- ¿Qué es una proporción?

5.- ¿Qué es la cuarta proporcional?

6.- ¿Qué es la tercera proporcional?

7.- ¿Qué es la media proporcional?

Enuncie los tres postulados de Congruencia de triángulos.

Enuncie los tres postulados de semejanza de triángulos.

Resuelva la siguiente demostración y problema.

1) Determine si los triángulos AEB y CED de la figura siguiente, son iguales, considerando

que ABCD y que AB = CD. En caso de ser congruentes, enuncie el postulado que lo justifique.

2) Compruebe si los triángulos LMN y OPQ son semejantes y en caso de serlo, enuncie el postulado que lo justifique.

3) Determine la cuarta proporcional de los números a, b, c. a) a = 5 b = 10. c = 4 b) a = 9, b =36, c = 20

4) Determine la tercera proporcional de los números a, b. a) a= 4 b = 16 b) a = 5 b = 20

5) Determine la media proporcional de los números a, b. a) a = 9 b = 36 b) a = 12 b = 27

E

D

C

B

A

Q

P O N

L

m = 30 cm

p = 45 cm

n = 25 cm

q = 37.5 cm

70°

70° M

Elaborado por: Ing. Gerardo Tapia Martínez 4

6) Un globo se encuentra a 50 metros de altura, sobre el piso, y a una distancia de 13 metros de la base de un edificio. Si el edificio mide 38 metros de altura, encontrar la distancia que hay del globo a la azotea del edificio y a un observador que se encuentra en una ventana del mismo edificio, ubicada a 15 metros sobre el suelo.

Escriba las siguientes definiciones.

1.- Polígono.

2.- Poligonal

3.- Perímetro.

4.- Area

5.- Apotema.

6.- Superficie.

7.- Polígono inscrito

8.- Polígono circunscrito.

9.- Diagonal

10.- Radio de un polígono

Considerando un polígono regular de 26 lados, calcule:

1.- La medida de un ángulo interior.

2.- La suma de los ángulos interiores.

3.- La medida de un ángulo exterior.

4.- El número de diagonales que pueden trazarse en el desde un vértice.

5.- El número total de diagonales que pueden trazarse en él.

Considerando un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 9 centímetros de radio, determine:

1.- La medida de cada lado.

2.- La medida de su apotema.

3.- La medida de su perímetro.

4.- La medida de su área.

Escriba la definición de cuadrilátero, y su clasificación. Calcule el área sombreada en la figura, sabiendo que ABCD es un cuadrado y que OA es igual a 8 cm.

D C

B A

O

Elaborado por: Ing. Gerardo Tapia Martínez 5

Escriba las siguientes definiciones. a) Circunferencia y su diferencia con círculo. b) Puntos interiores. c) Radio. d) Arco. e) Angulo semi-inscrito y su medida. f) Puntos exteriores. g) Diámetro. h) Secante. i) Angulo ex-inscrito y su medida. j) Tangente k) Cuerda

PROBLEMA: ¿Cuánto miden dos cuerdas que equidistan 28 cm del centro de una circunferencia

cuyo radio mide 45 cm? PROBLEMA: Si en la siguiente figura, el ángulo DFE mide 80° y el ángulo A mide 30°, ¿cuánto

miden los arcos X y Y? ¿Qué clase de ángulos son A y DFE? 6. Trace la División Aurea del segmento AB y verifique analíticamente su valor.

_______________________________________________

Unidad II. Trigonometría

Escriba las siguientes definiciones.

a) Trigonometría

b) Razón trigonométrica

c) Función trigonométrica

d) Escriba las leyes de los senos y de los cosenos.

e) Angulo en posición normal.

f) Identidad trigonométrica.

g) Ecuación trigonométrica

D

X

B

E

C

A F

B A

Elaborado por: Ing. Gerardo Tapia Martínez 6

Resuelva los siguientes problemas.

1.- Dada la función trigonométrica csc = -4.5, y considerando que el lado terminal de está en el

III cuadrante, determine las demás funciones trigonométricas de . 2.- Resuelva el triángulo rectángulo GHI, considerando que i = 28.5 cm. y G = 43°20’. 3.- Una persona se encuentra a 55 metros de la base de una torre, cuya altura es de 40 metros.

Calcule la medida del ángulo de elevación formado por la visual del observador al extremo superior de la torre, considerando que su visual a la base de la torre coincide con la horizontal.

4.- Un poste está sujeto en su parte más alta por dos cables que se anclan en el piso. Si los cables

forman con el piso ángulos de 20°15’ y 50°10’, y la distancia entre lo anclajes es de 40.50 metros, calcular la longitud de cada cable.

5.- Dos observadores, situados en un plano horizontal, y separados entre sí 1,525 metros, observan al mismo tiempo un objeto que se encuentra a 840 metros de uno de ellos y a 1,080 metros del otro. Calcular los ángulos interiores del triángulo formado entre los observadores y el objeto observado.

6.- Encuentre el valor exacto de las funciones trigonométricas de un ángulo de 165º. 7.- Haciendo uso de su círculo trigonométrico, determine las seis funciones trigonométricas de un

ángulo de 56º y de un ángulo de 175º, con una aproximación de 3 cifras decimales.

8.- Trace la gráfica de la función xy2

1cos2 , para º360º0 x .

9.- Verifique la siguiente identidad trigonométrica: 2222 seccscseccsc

10.- Resuelva la ecuación trigonométrica 322 tgtg para el intervalo º360º0

g

i

h

H G

I

F

E D

I

H G