UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA

GRAN MARISCAL DE AYACUCHO

DECANATO DE POSTGRADO

NÚCLEO EL TIGRE

ESTADO ANZOÁTEGUI

MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE MANTENIMIENTO MENCIÓN: GERENCIA DE SEGURIDAD Y

CONFIABILIDAD INDUSTRIAL

Asignación practica

ENT-5

Facilitadora: Lcda. Esp. M.Sc. Carlena Astudillo

Integrantes:

Ing. Alexander Quijada C.I.: 19.142.119 Ing. Estefanía Zabala C.I: 18.205.313

Ing. Irayleth Brito C.I.: 15.127.426 Ing. María Guevara C.I.: 17.590.715

Ing. Mauricio Flores C.I: 19.510.541

El Tigre, 23 de Mayo 2016

Ejercicios E.N.T 5

Los niveles de percepción del personal con respecto en cuanto si es aceptable,

(Ver tabla), permite medir el grado de satisfacción con respecto al ambiente de

trabajo, realice el tratamiento de datos con su respectiva interpretación.

20 27 34 25 36

10 46 68 13 29

17 27 72 21 47

29 41 61 36 26

47 68 73 58 44

68 92 61 84 70

Número de datos en estudio:

𝑛 = 30

Dato Menor y Mayor:

𝑑 = 10

𝐷 = 92

Amplitud Total:

𝐴𝑇 = 𝐷 − 𝑑

𝐴𝑇 = 92 − 10

𝐴𝑇 = 82

N° de Clases o Intervalos:

𝑁𝑖 = 1 + 3,3 log (𝑛)

𝑁𝑖 = 1 + 3,3 log (30)

𝑁𝑖 = 1 + 3,3 log (30)

𝑁𝑖 = 5,87, aproximando tenemos:

𝑁𝑖 = 6

Clases:

𝑖 =𝐴𝑇

𝑁𝑖

𝑖 =82

6

𝑖 = 13,6 ; aproximando, entonces:

𝑖 = 14

Una vez obtenidos los datos anteriores se procede a completar el siguiente cuadro:

𝑋𝑖 = 𝑋𝑖 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑋𝑠 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜; en el caso de ser el primer Xi, se considera el

valor menor (d), que en este caso es 10.

𝑋𝑠 = 𝑋𝑖 + 𝑖

𝐿𝑖 = 𝑋𝑖 − 0,5

𝐿𝑠 = 𝑋𝑠 + 0,5

Resolviendo las ecuaciones, tenemos:

Ni Li Xi Xs Ls

1 9,5 10 23 23,5

2 23,5 24 37 37,5

3 37,5 38 51 51,5

4 51,5 52 65 65,5

5 65,5 66 79 79,5

6 79,5 80 92 92,5

Se procede a calcular el valor de X (Marca de Clase o punto medio) para cada N°

de clase, según lo siguiente:

𝑋 =𝑋𝑖 + 𝑋𝑠

2

Lo que arrojó los siguientes resultados:

Ni Li Xi Xs Ls X

1 9,5 10 23 23,5 16,5

2 23,5 24 37 37,5 30,5

3 37,5 38 51 51,5 44,5

4 51,5 52 65 65,5 58,5

5 65,5 66 79 79,5 72,5

6 79,5 80 92 92,5 86

Es necesario conocer la frecuencia absoluta (f) y la frecuencia absoluta acumulada

(F), de la siguiente forma:

f : Representa la cantidad de valores de la muestra en estudio, que se encuentran

entre los valores de Xi y Xs.

𝐹 = Ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑓 + 𝐹; en el caso del primer cálculo de F, sólo se coloca el valor

de la primera f.

MATRIZ

20 27 34 25 36

10 46 68 13 29

17 27 72 21 47

29 41 61 36 26

47 68 73 58 44

68 92 61 84 70

Ni Li Xi Xs Ls X f F

1 9,5 10 23 23,5 16,5 5 5

2 23,5 24 37 37,5 30,5 9 14

3 37,5 38 51 51,5 44,5 5 19

4 51,5 52 65 65,5 58,5 3 22

5 65,5 66 79 79,5 72,5 6 28

6 79,5 80 92 92,5 86 2 30

∑ 30

Se procede a calcular la frecuencia relativa (h) y la frecuencia relativa acumulada

(H), de la siguiente manera:

ℎ =𝑓

𝑁

𝐻 =𝐹

𝑁

Sustituyendo los valores en las formulas antes mencionadas, se obtiene lo

siguiente:

Ni Li Xi Xs Ls X f F h H

1 9,5 10 23 23,5 16,5 5 5 0,17 0,17

2 23,5 24 37 37,5 30,5 9 14 0,30 0,47

3 37,5 38 51 51,5 44,5 5 19 0,17 0,63

4 51,5 52 65 65,5 58,5 3 22 0,10 0,73

5 65,5 66 79 79,5 72,5 6 28 0,20 0,93

6 79,5 80 92 92,5 86 2 30 0,07 1,00

∑ 30

El siguiente paso es calcular el Porcentaje (P) de la frecuencia relativa acumulada,

de la siguiente forma:

𝑃 = 𝐻 ∗ 100%

Sustituyendo los valores obtenemos lo siguiente:

Ni Li Xi Xs Ls X f F h H P

1 9,5 10 23 23,5 16,5 5 5 0,17 0,17 17%

2 23,5 24 37 37,5 30,5 9 14 0,30 0,47 47%

3 37,5 38 51 51,5 44,5 5 19 0,17 0,63 63%

4 51,5 52 65 65,5 58,5 3 22 0,10 0,73 73%

5 65,5 66 79 79,5 72,5 6 28 0,20 0,93 93%

6 79,5 80 92 92,5 86 2 30 0,07 1,00 100%

∑ 30

El siguiente paso es los resultados de f.X y (X- )2; para esto se hace necesario

identificar el valor de la media aritmética (

Sustituyendo los valores, se obtienen los siguientes resultados:

�̅� =(𝑓1 ∗ 𝑋1) + (𝑓2 ∗ 𝑋2) … + (𝑓𝑁 ∗ 𝑋𝑁)

𝑁

�̅� =1362

30

�̅� = 45,4; aproximando el valor, tenemos:

�̅� = 45

Esto nos permite determinar a través del método de media aritmética (�̅�), que el

promedio del grado de satisfacción del personal es de 45%.

Para corroborar esta estimación, se hace necesario implementar dos (2) técnicas

para promediar, como lo son: la media geométrica y la armónica; las cuales se

calculan de la siguiente forma:

Media Geométrica:

𝐺 = √(𝑋1)𝑓1 ∗ (𝑋2)𝑓2𝑁

… ∗ (𝑋𝑛)𝑓𝑛

𝐺 = √(16,5)5 ∗ (30,5)9 ∗ (44,5)5 ∗ (58,5)3 ∗ (72,5)6 ∗ (86)230

𝐺 = 39,7; aproximando, entonces:

𝐺 = 40

El grado de satisfacción de los empleados en cuanto a su ambiente de trabajo es

de 40%, según el método de media geométrica.

Ni Li Xi Xs Ls X f F h H P f.X (X-

1 9,5 10 23 23,5 16,5 5 5 0,17 0,17 17% 82,5 835,21

2 23,5 24 37 37,5 30,5 9 14 0,30 0,47 47% 274,5 222,01

3 37,5 38 51 51,5 44,5 5 19 0,17 0,63 63% 222,5 0,81

4 51,5 52 65 65,5 58,5 3 22 0,10 0,73 73% 175,5 171,61

5 65,5 66 79 79,5 72,5 6 28 0,20 0,93 93% 435 734,41

6 79,5 80 92 92,5 86 2 30 0,07 1,00 100% 172 1648,36

∑ 30 1362 3612,41

Media Armónica:

𝐻𝑎 =𝑁

𝑓1

𝑋1+

𝑓2

𝑋2… +

𝑓𝑛

𝑋𝑛

𝐻𝑎 =30

516,5

+9

30,5+

544,5

+3

58,5+

672,5

+2

86

𝐻𝑎 = 34,57

El grado de satisfacción de los empleados en cuanto a su ambiente de trabajo es

de 35%, según el método de media armónica.

Una vez realizadas los promedios mediante las tres (3) técnicas antes mencionadas,

procedemos a identificar la mediana y la moda:

Mediana:

Para seleccionar la Mediana se debe seleccionar la clase que contenga el 50% de

distribución en este caso es la clase 3 con un 63% de distribución y aplicarle la

siguiente formula;

𝑀𝑑 = 𝐿𝑖 +

𝑁2

− 𝑓 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

𝑓∗ 𝑖

𝑀𝑑 = 37,5 +

302 − 14

5∗ 14

𝑀𝑑 = 40.30

Es decir la mediana se encuentra en 40

Moda:

Para determinar la Moda se debe seleccionar la clase con mayor frecuencia

absoluta (f) es decir nos vamos a la clase 2 con una frecuencia absoluta de 9 y

aplicar la siguiente formula:

𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +Δ1

Δ1 + Δ2∗ 𝑖

𝑀𝑜 = 23.5 +(9 − 5)

(9 − 5) + (9 − 5)∗ 14

𝑀𝑜 = 30,50

Es decir la moda se encuentra entre 30 y 31

Se procede a calcular la Varianza:

𝑆2 =∑(𝑋 − 𝑋)̅̅ ̅

N

𝑆2 =3642

30

𝑆2 = 121,4

Se procede a calcular la desviación:

𝑆 = √∑(𝑋 − 𝑋)̅̅ ̅2

𝑁

𝑆 = √3642

30

𝑆 = 11,2; aproximando, tenemos:

𝑆 = 11

Obteniendo estos datos podemos graficar de la siguiente manera:

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

PER

CEP

CIO

N

PERSONAL

Niveles de percepción del personal

En la primera grafica solo se muestra la valoración o percepción de cada trabajador

considerando que los 30 valores dados es un trabajador individual con una

percepción dada.

Una vez determinado todo el grafico podemos observar que entre las frecuencias

de datos y el porcentaje se presenta un intercepción en la clase 3 la cual, con base

a los resultados, concuerda con los niveles promedios obtenidos en la media

aritmética, geométrica y armónica.

Conclusión General:

El nivel promedio de satisfacción de los empleados es de 45, con una tendencia a

variar por debajo o por encima de dicha satisfacción en 11 puntos; lo que coloca el

nivel de satisfacción general entre 34 y 56; denotando así, que el personal no está

cómodo con sus condiciones de trabajo.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6

PO

RC

ENTA

JE

FREC

UEN

CIA

S

CLASES

Frecuencias y porcentajes

Ejercicio N°2

Estimar la resistencia (Y) de resistores sobrecargados cuando el tiempo promedio para fallas (X) es de 1,10 horas, aplicando un modelo cuadrático para ajuste de curva con el método de mínimos cuadrados con base a doce datos muéstrales tal como se muestra en la tabla:

N X Y XY x² X³ X4 X²Y

1 32 43

2 20 29

3 45 44

4 35 33

5 22 33

6 46 47

7 28 34

8 26 31

9 37 48

10 33 34

11 47 46

12 30 37

TOTAL

Resolviendo las ecuaciones establecidas en el cuadro anterior, se obtienen los

siguientes resultados:

N X Y XY x² X³ X4 X²Y

1 32 43 1376 1024 32768 1048576 44032

2 20 29 580 400 8000 160000 11600

3 45 44 1980 2025 91125 4100625 89100

4 35 33 1155 1225 42875 1500625 40425

5 22 33 726 484 10648 234256 15972

6 46 47 2162 2116 97336 4477456 99452

7 28 34 952 784 21952 614656 26656

8 26 31 806 676 17576 456976 20956

9 37 48 1776 1369 50653 1874161 65712

10 33 34 1122 1089 35937 1185921 37026

11 47 46 2162 2209 103823 4879681 101614

12 30 37 1110 900 27000 810000 33300

TOTAL 401 459 15907 14301 539693 21342933 585845

La parábola de mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos (X1,Y1) ,

(X2,Y2), (X3,Y3),…..(XN,YN) tiene ecuación dada por a2X2 a1X a0 Y , donde las

constantes a0 , a1 y a2 se determinan al resolver simultáneamente el sistema de

ecuaciones que se forma al multiplicar la ecuación a2X2 a1X a0 Y por 1, X, Y

sucesivamente, y sumando después:

∑ 𝑌 = 𝑎0𝑁 + 𝑎1 ∑ 𝑋 + 𝑎2 ∑ 𝑋2

∑ 𝑋𝑌 = 𝑎0 ∑ 𝑋 + 𝑎1 ∑ 𝑋2 + 𝑎2 ∑ 𝑋3

∑ 𝑋2𝑌 = 𝑎0 ∑ 𝑋2 + 𝑎1 ∑ 𝑋3 + 𝑎2 ∑ 𝑋4

Se reemplaza valores en el sistema y se obtiene:

459 = 𝑎012 + 𝑎1401 + 𝑎214301

15907 = 𝑎0401 + 𝑎114301 + 𝑎2539693

585845 = 𝑎014301 + 𝑎1539693 + 𝑎221342933

Resolviendo el sistema empleando determinantes (regla de Cramer) se obtiene:

𝑎0 =Δ𝑎0

Δ

𝑎0 =

459 401 1430115907 14301 539693

585845 539693 2134293312 401 14301

401 14301 53969314301 539693 21342933

𝑎0

=140098405738347 + 122772605575851 + 126786754679585 − 119816199802845 − 133692257220291 − 136140316127631

3662703417996 + 3094977986793 + 3094977986793 − 2924820512901 − 3495222410988 − 3431964969333

𝑎0 =8992843016

651498360

𝑎0 = 13,8

𝑎1 =Δ𝑎1

Δ

𝑎1 =

12 459 14301401 15907 539693

14301 585845 21342933651498360

𝑎1 =4074024422772 + 3359645907345 + 3542630663187 − 3253277386107 − 3794117347020 − 3928358905047

651498000

𝑎1 =547355130

651498360

𝑎1 = 0,84

𝑎2 =Δ𝑎2

Δ

𝑎2 =

12 401 459401 14301 15907

14301 539693 585845651498360

𝑎2 =100538546976 + 99335353887 + 91221888807 − 93874037859 − 103018758612 − 94204944248

651498360

𝑎2 =−1951049

651498360

𝑎2 = −0,003

Reemplazando los valores encontrados se obtiene la ecuación de la parábola de mínimos

cuadrados:

𝑌 = 𝑎0+𝑎1𝑋 + 𝑎2𝑋2

𝑌 = 13,8 + 0,84𝑋 − 0,003𝑋2

Una vez obtenida la ecuación de la parábola para el caso en estudio, se procede a

calcular la estimación de la resistencia:

𝑌 = 13,8 + 0,84𝑋 − 0,003𝑋2

Estableciendo que el tiempo promedio para fallar (X), es 1,10 horas, entonces:

𝑌 = 13,8 + 0,84(1,10) − 0,003(1,10)2

𝑌 = 13,8 + 8,4 − 0,003(1,21)

𝑌 = 13,8 + 8,4 − 0,00363

𝑌 = 22,19

Sustituyendo estos valores en la tabla obtenemos que

N X Y Y=13,8+0,84X-0,003X^2 1 32 43 37,61

2 20 29 29,40

3 45 44 45,53

4 35 33 39,53

5 22 33 30,83

6 46 47 46,09

7 28 34 34,97

8 26 31 33,61

9 37 48 40,77

10 33 34 38,25

11 47 46 46,65

12 30 37 36,30

Por lo que gráficamente obtenemos la siguiente tendencia

y = -0,003x2 + 0,84x + 13,8R² = 1

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40 50

Re

sist

en

cia

Tiempo Promedio para Fallar

Y

Y=13,8+0,84X-0,003X^2

Lineal (Y)

Lineal (Y=13,8+0,84X-0,003X^2)

Polinómica (Y=13,8+0,84X-0,003X^2)

Conclusión General

Esto nos indica que cuando el tiempo promedio para fallar sea de 1,10 horas, la

resistencia de los resistores sobrecargados, será de 22,19.