Castañeda Rizo Luis HugoFonseca Losada José Miguel

TÉORIA DE LAS PARTICIONES NÚMERICAS

EN MATEMÁTICAS DISCRETAS, UNA PARTICIÓN DE UN ENTERO POSITIVO N ES UNA FORMA DE DESCOMPONER N COMO SUMA DE ENTEROS POSITIVOS. DOS SUMAS SE CONSIDERARÁN IGUALES SI SOLO DIFIEREN EN EL ORDEN DE LOS SUMANDOS. DE MODO MÁS RIGUROSO, UNA PARTICIÓN DE UN NÚMERO ENTERO POSITIVO N ES UNA SECUENCIA DE ENTEROS POSITIVOS (Λ1,Λ2,...,ΛM) TAL QUE

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Las posibles particiones de un entero n pueden visualizarse con los diagramas conocidos como diagramas de Ferrers o diagramas de Young.

Ejemplos

Las cinco particiones de 4 serían:

4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1

Y las once particiones de 6 son:

6 = 5 + 1 = 4 +2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 == 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1

Euler, en 1740, demostró el siguiente Teorema: para todo número n, hay tantas particiones de n en partes distintas como particiones de n en partes impares.

Ejemplo: para n=9:

Distintas:98+17+26+36+2+15+45+3+1

Impares:97+1+15+3+15+1+1+1+13+3+33+1+1+1+1+1+11+1+1+1+1+1+1+1+1

Demostración: Para cada n, sea pn el número de particiones de n. Llamamos función generatriz de la sucesión (pn) a la función:

P(x) = po + p1 x + p2 x2 + p3 x3 + + p4 x4 + ….

Se tiene que:P(x) = (1 + x + x2 + x3 + + x4 +….)(1 + x2 + x4 + x6 + + x8 +….)(1 + x3 + x6 + x9 + + x12 +….)(1 + x4 + x8 + x12 + + x16 +….)(1 + x5 + x10 + x15 + + x20 +….)………Del mismo modo, la función generatriz de las particiones en partes impares es:I(x) = (1 + x + x2 + x3 + x4 + ….)(1 + x3 + x6 + x9 + x12 + ….)(1 + x5 + x10 + x15 + x20 + ….)(1 + x7 + x14 + x21 + x28 + ….)………Y la de las particiones en partes distintas es:D(x) = (1 + x )(1 + x2)(1 + x3)(1 + x4 )(1 + x5 )……