Matemáticas Avanzadas llMétodos Numéricos

Por: Yesica Lizbet Altamirano MoralesDiana Laura Ochoa Gallegos

Profesor: Gerardo Edgar Mata Ortiz

Torreón Coahuila 23/Marzo/2015

Datos Históricos• La historia del análisis numérico data de los tiempos antiguos. Los

babilonios, 2000 años a. C. compusieron tablas matemáticas. El famoso astrónomo Alejandrino Claudio Ptolomeo (aprox 150 d. C.) poseía unas efemérides babilónicas de eclipses que databan del año 747 a. C. Arquímedes, en el año 220 a. C., usó los polígonos regulares como aproximaciones del círculo y dedujo las desigualdades 7 1 71 10 3 < π < 3 . El trabajo de cálculo numérico desde entonces hasta el siglo XVII fue centrado principalmente en la preparación de tablas astronómicas. El advenimiento del álgebra en el siglo XVI produjo una renovada actividad en todas las ramas de la Matemática, incluyendo el análisis numérico.

• En 1614, Neper publicó la primera tabla de logaritmos, y en 1620, los logaritmos de las funciones seno y tangente fueron tabuladas son siete cifras decimales. Hacia 1628 habían sido calculadas tablas de logaritmos con catorce decimales de los números 1 al 100,000. El cálculo en series empezó a florecer hacia fines del siglo XVII, con el desarrollo del cálculo. A principios del siglo XVIII Jacob Stirling y Brook Taylor sentaron los fundamentos del cálculo de diferencias finitas, que ahora desempeña un papel central en el análisis numérico. Con la predicción de la existencia y la localización del planeta Neptuno por Adam y Leverrier en 1845, la importancia científica del análisis numérico quedó establecida de una vez y para siempre. A fines del siglo XIX, el empleo de las máquinas de cálculo automático estimuló más aún el desarrollo del análisis numérico. Tal desarrollo ha sido explosivo desde la terminación de la Segunda Guerra Mundial a causa del progreso en las máquinas de cálculo electrónicas de alta velocidad. Las nuevas máquinas han hacho posibles gran número de importantes logros científicos que antes parecían inaccesibles. El arte de calcular, que es distinto a la ciencia del cálculo, se basa en cálculos numéricos precisos y detallados por lo que también toma en cuenta precisión y exactitud así como los errores y la comprobación de los resultados.

1.1 Definición de métodos numéricos, su importancia y el porqué.

“Son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse

usando operaciones aritméticas” Los métodos numéricos se utilizan para:

• Solución de sistemas de ecuaciones lineales • Solución de ecuaciones no lineales y trascendentales • Encontrar un valor por medio de tablas: interpolación • Encontrar un comportamiento (un modelo) a partir de datos ajustando una curva: ajuste de curvas.• Integración numérica de una función • Solución numérica de ecuaciones diferenciales

Tipos de Métodos Numéricos Existen diversos tipos de métodos numéricos algunos de ellos son:

1.Método de Bisección.2.Método de Regula False (falsa posición).3.Método de Newton.4.Método de Newton Raphson.5.Método de la secante.

En la siguiente presentación explicaremos algunos de ellos.

Método de la secanteUn problema potencial en la implementación del método de New ton Raphson es la evaluación de la derivada. En casos complejos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrás

Ejemplo:

x F(X)

-2 -3

-1 -1

0 -5

1 -3

2 17

X1 X2 Xs f(X1) f(X2) m f(Xs)

1 2 1.15 -3 17 20 -1.44075

1.15 2 1.21640931 -1.44075 17 21.695 -0.610549103

1.21640931 2 1.24357602 -0.6105491 17 22.4741684 -0.24495

1.24357602 2 1.25432038 -0.24495 17 22.7979947 -0.09610855

1.25432038 2 1.25851234 -0.09610855 17 22.9268819 -0.037379206

1.25851234 2 1.26013913 -0.03737921 17 22.977293 -0.014488067

1.26013913 2 1.26076913 -0.01448807 17 22.9968752 -0.005608074

1.26076913 2 1.26101291 -0.00560807 17 23.0044615 -0.002169669

1.26101291 2 1.26110722 -0.00216967 17 23.0073975 -0.000839241

1.26110722 2 1.26114369 -0.00083924 17 23.0085333 -0.000324599

1.26114369 2 1.2611578 -0.0003246 17 23.0089727 -0.000125543

1.2611578 2 1.26116326 -0.00012554 17 23.0091426 -4.85552E-05

1.26116326 2 1.26116537 -4.8555E-05 17 23.0092083 -1.87791E-05

Este valor es nuestra nueva Y1

Como podemos darnos cuenta hablar de métodos numéricos conlleva a elaborar una gran cantidad de tablas como la que se muestra anteriormente en donde encontrar el resultado conlleva muchas operaciones que ahora se pueden hacer mediante programas de computo.

Método de bisección• Es una función continua sobre el

intervalo (a,b) y si f(b)<0 entonces f debe tener un cero de signo en el intervalo (a,b) y por lo tanto tiene por lo menos un cero de intervalo.

• El método de bisección consiste en dividir el intervalo en dos subintervalos de igual magnitud, reteniendo el subintervalo en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz o cero y repetir el proceso varias veces.

• Paso 1Graficamos los valores para obtener la grafica y con esta ver donde se

encuentra la posible solución esto es donde se presente un cambio de signo.

x y

-2 -3

-1 -1

0 -5

1 -3

2 +17

Hay un cambio de signo, se tomarán estos valores para el siguiente paso

• Paso 2Elaborar la tabla de bisección tomando en cuenta los valores de X1 y

X2 como se había mencionado

x y

1 -3

2 +17

X1

x2

X1 X2 Xm F(X1) F(Xm)

1 2

TABLA DE BISECCIÒNTABLA DE BISECCIÒN

• Paso 3Para obtener el valor de Xm se promedian los valores de X1 y

X2

• Paso 4El valor de f(X1) utilizaremos la función inicial (2x3+3x2-3x-5),

en la cual se sustituirá en X el valor de X1 (2(1)3+3(1)2-3(1)-5)

X1 X2 Xm F(X1) F(Xm)

1 2 1.5

X1 X2 Xm F(X1) F(Xm)

1 2 1.5 -3

• Paso 5 Para obtener este valor se hace el mismo procedimiento que para

f(X1) pero en este caso el valor que se sustituirá en (x) será el de Xm

(2(1.5)3+3(1.5)2-3(1.5)-5)

• Paso 6Para la segunda fila se tomara en cuenta el signo que se presente en

f(xm).• Si el signo es diferente a f(x1), se tomarán los valores de

x1 y xm,• Si el signo es igual se tomarán los valores de xm para x1

y x2

Se hace el mismo procedimiento para las demás filas. El resultado aproximado es el que más se acerque a “CERO”

X1

X2

Xm

F(X1

)F(Xm)

1 2 1.5 -3 +4

Método de Newton Raphson

1. Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Para resolver este método tendremos la siguiente función.x y

-3 7

-2 2

-1 -1

0 -2

1 -1

2 2

3 7

Hacemos tabulación dando valores en X para obtener valores de Y

x0 y0 m x1

2 2 4 1.5

1.5 0.25 3 1.416666667

1.4166666666667 0.006944444 2.83333333 1.4142156862745100

1.4142156862745 6.0073E-06 2.82843137 1.4142135623746900

1.4142135623747 4.51061410445E-12 2.82842712 1.4142135623730900

1.4142135623731 0.0000000000000 2.82842712 1.4142135623730900