Aplicación del Método de Euler de orden superior en la Deflexión de Vigas Homogéneas

Diana Morales, César Hernández, Jhon Gutiérrez

Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia

dipamoos@gmail.comsarlex5@hotmail.com

j.jgutierrez@hotmail.com

Abstract---En el presente documento se vio y analizo como las fuerzas ejercidas sobre elementos estructurales como las vigas generan deformación de ellas, se observo como matemáticamente se puede obtener dicha deformación, y como mediante el método numérico de Euler para resolución de ecuaciones de orden superior se pudo aproximar este comportamiento.

I INTRODUCCIÓN

En el campo de la ingeniería civil encontramos dos teorías para el diseño de estructuras de concreto reforzado: “La teoría elástica” llamada también “Diseño por esfuerzos de trabajo” y “La teoría plástica” ó “Diseño a la ruptura o Diseño a la resistencia”.

La teoría elástica es excelente para calcular los esfuerzos y deformaciones que se presentan en una estructura de concreto bajo las cargas de servicio. Sin embargo esta teoría es incapaz de predecir la resistencia última de la estructura con el fin de determinar la intensidad de las cargas que provocan la ruptura y así poder asignar coeficientes de seguridad, ya que la hipótesis de proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones es completamente errónea en la vecindad de la falla de la estructura. [8]

La teoría plástica es un método para calcular y diseñar secciones de concreto reforzado fundado en las experiencias y teorías correspondientes al estado de ruptura de las teorías consideradas. [8]

La característica particular más importante de cualquier elemento estructural es su resistencia real, la cual debe ser lo suficientemente elevada para resistir, con algún margen de reserva, todas las cargas previsibles que puedan actuar sobre aquel durante la vida de la estructura, sin que se presente falla o cualquier otro inconveniente. Es lógico, por tanto, dimensionar los elementos, es decir, seleccionar las dimensiones del concreto y del refuerzo de manera que sus resistencias sean adecuadas para soportar las fuerzas resultantes de ciertos estados hipotéticos de sobrecarga, utilizando cargas considerablemente mayores que las cargas que se espera que actúen en la realidad durante el servicio; esta metodología de diseño se conoce como diseño a la

ruptura o diseño a la resistencia, y es el diseño más utilizado en la actualidad frente al diseño por esfuerzos de trabajo debido a que este último es incapaz de predecir la resistencia última de la estructura a fin, como se mencionó anteriormente, de determinar la intensidad de las cargas que provocan la ruptura y así poder asignar coeficientes de seguridad. [9]

II FLEXIÓN EN VIGAS HOMOGÉNEAS

Las vigas son utilizadas como elementos estructurales que trabajan con flexión hay diferentes tipos de vigas como la viga de hormigón armado " las vigas ejecutadas con otros materiales (madera o hierro). Y la conceptualización de las desemejanzas debe resultar clara y precisa. En construcciones de madera o hierro, se distingue fácilmente elementos componentes estructurales. [3]

Las vigas se presentan más balanceadas si cuentan con una cantidad de acero y hormigón equilibrada. [3]

Las vigas de concreto reforzado no son homogéneas debido a que están hechas de dos materiales diferentes. Por consiguiente, los métodos usados en el análisis de vigas de concreto reforzado son distintos de aquellos utilizados en el diseño o investigación de vigas elaboradas completamente de acero, madera o cualquier otro material estructural. Sin embargo, los principios fundamentales que los comprenden son esencialmente los mismos. Estos principios son: [9]

En cualquier sección transversal existen fuerzas internas que pueden descomponerse en fuerzas normales y tangenciales a la sección. Las componentes normales a la sección son los esfuerzos de flexión (tensión en un lado del eje neutro y compresión en el otro); su función es la de resistir el momento flector que actúa en la sección. Las componentes tangenciales se conocen como esfuerzos cortantes que resisten las fuerzas transversales o cortantes. [9]

A. Deflexiones.

La curvatura de una viga depende del punto flexionante que es la relación entre la distancia y la posición en el eje transversal en ese punto y de las propiedades de la viga

de la forma de la sección transversal y del tipo de material. [4]

Las deflexiones son aquellas deformaciones que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas.

Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y los de energía. [10]

Métodos geométricos: aplicación directa de ecuacio-nes de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y le-yes constitutivas del material (elástico-lineal).

Métodos de energía: en estos métodos las ecuaciones de equilibrio o de compatibilidad se reemplazan por un principio de energía y se combinan con las leyes constitutivas del material. [10]

B. Trazado Tentativo de la Curva Elástica.

Se denomina por curva elástica, la curva que representa la deformada del elemento en su línea centroidal. [10]

En vigas y marcos se puede hacer un trazado tentativo de la curva elástica considerando las curvaturas que se producen por flexión y las restricciones de los apoyos. Antes de trazar un diagrama de momentos se debe definir una convención de momentos positivos o negativos según la concavidad que estos produzcan en el elemento. En elementos horizontales se puede asumir la siguiente convención, que coincide con dibujar los momentos para el lado que producen tracción. [10]

Fig. 1 Momentos de inercia en una viga. [10]

Considere una viga horizontal AB según la figura. Se supone que la viga es uniforme en su sección transversal y de material homogéneo. El eje de simetría se encuentra en el plano medio indica por la zona sombreada. [11]

Fig. 2 Viga sin flectar en su eje de simetría. [11]

Cuando está sometida a fuerzas, las cuales suponemos que están en un plano que contiene el eje de simetría, la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su forma como se muestra en la figura 3. [11]

Fig. 3 Viga flectada en su eje de simetría. [11]

Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas externamente, o a una combinación de ambas. El eje de simetría distorsionado resultante, situado en el plano medio distorsionado de la segunda figura, se llama la curva elástica. La determinación de esta curva es de importancia en la teoría de elasticidad. [11]

Hay muchas maneras de apoyar vigas:

Vigas en voladizo: una viga en la cual el extre-mo A está rígidamente fijo, mientras que el ex-tremo B está libre, para moverse.

Viga simplemente apoyada: la viga está apoya-da en los dos extremos A y B. [11]

Hay más formas y más condiciones para la deflexión que serán aplicadas a cada tipo de problema. [11]

Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes maneras de aplicar fuerzas de carga externa. [11]

Carga uniformemente distribuida sobre toda la viga.

Carga variable sobre toda la viga o sólo en una parte de ella.

Carga puntual o concentrada.

Considere la viga horizontal OB de la figura siguiente. Colocando el eje de simetría (línea punteada) en el eje X tomado como positivo a la derecha y con origen en 0. Escoja el eje Y como positivo hacia abajo.

Fig. 5 Viga empotrada flectada por sometimiento a cargas. [11]

Debido a la acción de las fuerzas externas F1 y F2 (y si es apreciable el peso de la viga) el eje de simetría se distorsiona en la curva elástica que se muestra punteada en la figura de abajo donde hemos tomado la viga como fija en 0. El desplazamiento y de la curva elástica desde el eje X se llama la deflexión o flecha de la viga en la posición x. Así, si determinamos la ecuación de la curva elástica, se conocerá la deflexión de la viga. [11]

Para poder formular la ecuación debemos saber:

Sea M(x) el momento flector en una sección transversal vertical de la viga en x. Este momento flector se define como la suma algebraica de los momentos de esas fuerzas que actúan sobre un lado de x, los momentos se toman sobre una línea horizontal en la sección transversal en x. Al calcular los momentos adoptaremos la convención de que fuerzas hacia arriba producen momentos negativos y fuerzas hacia abajo producen momentos positivos, asumiendo por supuesto que el eje y se toma hacia abajo como se mencionó antes. No importa cuál lado de x se tome puesto que los momentos flectores calculados desde cualquier lado son iguales. El momento flector en x está simplemente relacionado con el radio de curvatura de la curva elástica en x, siendo la relación:

(1)

Donde E es el módulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el diseño de la viga, e I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en x con respecto a una línea horizontal que pasa por el centro de gravedad de esta sección transversal. El producto EI se llama la rigidez y se considerará como una constante. [11]

Si asumimos que la viga se dobla sólo levemente, lo cual es válido para muchos propósitos prácticos, la pendiente y’ de la curva elástica es tan pequeña que su cuadrado es despreciable comparado con 1, y la ecuación se puede remplazar por la buena aproximación:

(2)

1) Formulación Matemática: En la figura 6 se muestra la curva elástica de la viga (línea punteada) relativa a un conjunto de ejes coordenados con origen en 0 y direcciones positivas indicadas; puesto que la viga está simplemente soportada en 0 y en B, cada uno de estos soportes lleva la mitad del peso de la viga, o sea wL/2. [11]

Fig. 4 Curva elástica de la viga (línea punteada) relativa a un conjunto de ejes coordenados. [11]

El momento flector M(x) es la suma algebraica de los momentos de estas fuerzas actuando a un lado del punto P. [11]

Escogiendo el lado derecho de P, actuarían dos fuerzas: [11]

La fuerza hacia abajo w (L - x), a una distancia (L -x)/2 de P, produciendo un momento positi-vo.

La fuerza hacia arriba wL/2, a una distancia L-x de P, produciendo un momento negativo. En este caso el momento flector es:

(3)

Con el valor de M(x), la ecuación fundamental es:

(4)

Dos condiciones son necesarias para determinar y. Estas son, y = 0 en x = 0, y en x = L, puesto que la viga no tiene deformación en los extremos o apoyos.

Como la ecuación requerida de la curva elástica. Es de interés práctico usar la solución final

(5)

Para hallar la máxima deflexión. De la simetría o por el cálculo, el máximo ocurre en x = L/2, de donde la flecha máxima será:

(6)

Fig. 5 Curva de deflexiones para el ejemplo. [12]

III METODOS NUMERICOS

Los métodos numéricos son procedimientos (que de forma aritmética y lógica) nos ayudan a hacer una aproximación más exacta a un resultado o a un mensaje, estos métodos consisten en tablas de datos con valores finitos con operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), dependiendo de la dificultad de la situación, las limitaciones de los instrumentos de cálculo, y la facilidad de la aplicación del algoritmo podría variar la eficiencia del problema, para la realización de estos métodos nos podemos apoyar en instrumentos de cálculo como software especializados. [6]

Para poder realizar un buen cálculo de método numérico es necesario comprender que siempre estará sujeto a errores de cálculo, esto se debe a la magnitud del problema y a su dificultad, los dos principales errores que existen en el cálculo del es el error de truncamiento y el error de redondeo. El error de truncamiento se debe a las aproximaciones que hacemos en el modelo matemático, la serie de Taylor es una herramienta que nos ayuda a analizar estos errores de truncamiento, los errores de redondeo están asociados al número de dígitos que utilizamos en nuestros cálculos, como los almacenamos, restamos y sumamos. [5]

Los métodos de Euler son adecuados para una programación rápida debido a su facilidad de aplicación, cuando un sistema de ecuaciones es cada vez más complicado se utiliza con más frecuencia, en vez de los métodos de Runge-Kutta o predictor-corrector. [5]

El método de Euler es un método numérico de un paso pues utilizan la información de un solo punto para predecir un valor de la variable dependiente Y i + 1 en un punto posterior X i + 1. [1]

IV APLICACIÓN DE LOS METODOS

La ecuación a trabajar es la numero (4)

Que es una ecuacion diferencial de segundo orden para ello reemplazamos:

(7)

Despues realizamos el correspondiente cambio en la variable

Y1 (w)= X(w)

Y2 (w) = x (w) �

Y2 (w) = x (w)̈

Y obtenemos Y1 (w)= Y2 (w)

Y2(W) = w/2 Y2(w) – wL/2 Y1

Con las condiciones iníciales

Al realizar la solución por el método de Euler tenemos, y tomando un valor constante de L=4 despues de la realiza-ción de un estudio de las vigas mas utizadas en las contrucciones de las casas en la actualidad y con un paso de 0.1 se realizaron 7 interacciones los resultados opteni-dos se encuentran en la tabla 1

w

0 Y10 1 Y2

0 1

0,1 Y11 = 1,1 Y2

1 = 1

0,2 Y12 = 1,2 Y2

2 = 0,978

0,3 Y13 = 1,2978 Y2

3 = 0,93

0,4 Y14 = 1,3908 Y2

4 = 0,852132

0,5 Y15= 1,4760132 Y2

5= 0,740868

0,6 Y16= 1,5501 Y2

6= 0,59326668

0,7 Y17 = 1,609426668 Y2

7 = 0,40725468

Que segundos valores se tiene que para:

Resumen

W Y1= Y2=

0 1 1

0,1 1,1 1

0,2 1,2 0,978

0,3 1,2978 0,93

0,4 1,3908 0,852132

0,5 1,4760132 0,740868

0,6 1,5501 0,59326668

0,7 1,609426668 0,40725468

Y10=1

Y20 = 1

w = 0

(8)

(9)

(10)

(11)

REFERENCIAS

[1] Quintana Pedro, Villalobos Eloísa, Cornejo María del Carmen, Métodos numéricos con aplicaciones en Excel, Editorial Reverte S.A, Barcelona España, 2005, Pág. 226 y 227

[2] Rojo Jesús, Métodos Matemáticos I, E. de Ingenierías Industriales, 2012, Pág. 4 a 7, [Online]. Available: http://wmatem.eis.uva.es/~jesroj/matem1/Curso/Cap02_Esquema.pdf

[3] Jorge R. Bernal, Vigas, Editorial Nobuko, Buenos Aires, 2005

[4] James M. Gere y BarryJ.Goodno, Mecánica de Materiales, Séptima Edición, México D.F, 2009

[5] Nakamura, Schoichiro, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Edit. Prentice Hall, México, 1992.

[6] Ricardo Seminario Vásquez, métodos numéricos para ingeniería, Universidad Nacional de Colombia, [Online]. Available:http://disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf

[7] Lucelly Reyes H, Notas de clase de Instrumentación,

Método numérico de Runge Kutta [Online]. Available: http://fisica.udea.edu.co/~lab-gicm/Curso%20de%20Instrumentacion/2011_RungeKutta.pdf

[8] Ramon Ruiz, Elementos de concreto Reforzado Conforme AL ACI 318-04, Ed. USA 2006

[9] Arthur H. Nilson, Diseño de Estructuras en Concreto, 12 ed., Ed. Bogotá, Colombia 2001

[10] Escuela de Ingeniería de Antioquia, Análisis de estructuras I, Conceptos básicos y método de doble integración [Online]. Available:

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/teoria%20deflexion/deflexiones.htm

[11] Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaiones en la Ingeniería, [Online]. Available: http://campus.usal.es/~modelosmatematicos/ModelosMatematicos/index_files/Trabajo%20Ec%20Diferenciales%20en%20Ingenieria.pdf

[12] Dennis Zill, Ecuaciones Diferenciales, 7 ed.