Ing . Gabriel Castro R .

Paralelo AA !

Invierno 2010 Cero A

La cinemtica estudia la descripcin matemtica de la trayectoria de un objeto. Se preocupa del movimiento, pero sin atenerse a las causas que lo producen.Como en un principio es muy difcil trabajar directamente con cuerpos, nos restringimos al estudio de partculas

Contenido Desplazamiento Velocidad promedio Velocidad instantnea Aceleracin promedio Aceleracin instantnea Aceleracin constante Movimiento de proyectiles

POSICIONLa posicin x del mvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una funcin x=f(t).

La posicin de la partcula en cada instante est determinada por un vector que la seala. A medida que la partcula cambia de posicin en el tiempo, el vector se desplaza con ella. La dependencia de r en el tiempo, se indica r = f (t).

D e sp l za m i n to a ey

P, ti

Trayectoria de la r partcula ri rf Q, tf

El desplazamiento de la partcula cuando se mueve de P a Q en

t = tf -ties igual al vector:x

O

r = rf - ri .

Un muchacho se desliza con su patineta sobre la pista circular, desde O hasta B, como se indica en la figura 2.29. Si le toma 1,41 s recorrer la mitad de su trayectoria, determine la velocidad media hasta este punto y la longitud de la trayectoria recorrida durante este tiempo.OB r = 3 i - 3 j. mO R=3m

B

r 3 3 v= = i j t 1.41 1.41 r 3 S= = m 2 2

O 3m

B

MOVIMIENTO RECTILINEO Se denomina movimiento rectilneo, aqul movimiento cuya trayectoria es una lnea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estar un observador que medir la posicin del mvil x en el instante t. Las posiciones sern positivas si el mvil est a la derecha del origen y negativas si est a la izquierda del origen.

DESPLAZAMIENTO

La posicin del objeto est definida por su desplazamiento medido desde un punto O, u origen.

El desplazamiento xpuede relacionarse con el tiempo mediante una relacin funcional x=f(t)

Velocidad MediaLa velocidad media de una partcula durante el intervalo de tiempo t es la razn entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo.

r v t

La velocidad media V es un vector paralelo al vector r.

r

v

Velocidad instantneaLa velocidad instantnea, v, se define como el lmite de la velocidad promedio, r/ t, conforme t tiende a cero.y

La velocidad instantnea tiene la direccin de la tangente a la trayectoria en el punto P. r dr V lim = dt t 0 t

Direccin de v en P

Q r3 r2 r1

Q Q

P x

O

Un automvil se mueve con una velocidad media de 10 km/h durante los primeros 30 min de su trayectoria recta; luego aumenta su velocidad de tal manera que, en los siguientes 30 s, su velocidad media es 12 km/h; pero encuentra un obstculo, por lo que retrocede 100 m en 30 s y se detiene. Encontrar su velocidad media desde el inicio de su movimiento hasta que se detiene.t1 = 30 min = 30 min 1h 1 = h 60 min 2

x = 100m = 100mt 2 = 30 s = 30 s t = 30 s = 30 s

1 km 1 = km 3 10 m 10

v=

x desplazamiento total = t tiempo total

1h 1 = h 3600 s 120

1h 1 = h 3600 s 120

v1 t1 + v2 t2 x v= t1 + t2 + t

(10 km h ) (1 / 2 h) + (12 km h ) (1/120 h ) (1 / 10 km ) v=1 1 1 h+ h+ h 2 120 120

= 9.7 km/ h

Aceleracin Mediay Pvi v vf -vi

Qvf ri rf

La aceleracin promedio es la razn de cambio del vector velocidad instantnea, v, en el tiempo transcurrido t.

O

x

v a t

Aceleracin instantneaLa aceleracin instantnea, a, se define como el lmite de la razn, v/ t, cuando t tiende a cero:

a limt 0

v dv = t dt

La aceleracin de una partcula puede ocurrir de varias maneras. La magnitud del vector velocidad (la rapidez) puede cambiar con el tiempo como en el movimiento en lnea recta. Slo la direccin del vector velocidad puede cambiar con el tiempo cuando la magnitud permanece constante, como en una trayectoria curva. Tanto la magnitud como la direccin del vector velocidad pueden cambiar con el tiempo como en un pndulo.

ACELERACION

La velocidad de un cuerpo es una funcin del tiempo. Se denomina aceleracin media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-vy el intervalo de tiempo t=t'-t.

La aceleracin en el instante t es el lmite de la aceleracin media cuando el intervalo t tiende a cero, que no es otra cosa que la definicin de la derivada de v.

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

La posicin x del mvil en el instante t lo podemos ver en la representacin de v en funcin de t.

La funcin desplazamiento es el rea bajo la curva de la funcin velocidad

Por tanto el desplazamiento ser x ( t ) = x0 + v . t Donde x0 ser la posicin inicial del mvil.

El grfico adjunto representa el movimiento de una partcula en lnea recta. Si al tiempo t=0, la partcula se encuentra en la posicin x= -100 m, cul es la posicin de la partcula a los 15 s?

Los grficos mostrados representan el movimiento de una partcula en lnea recta. Cul es la posicin de la partcula a t=0?

PROBLEMA Un auto A realiza un viaje de 200km a una rapidez media de 40 km/h. Otro auto B sale una hora mas tarde y llega al mismo lugar y al mismo tiempo que el auto A, Calcule la rapidez media del segundo Auto. SOLUCION t = DISTANCIA / VEL. tA =200/40= 5h tB = 5h - 1h= 4h VB = 200 / 4= 50 km/h.

Un ciclista cruza un semforo con una velocidad constante de 15 km/h. Despus de 15 minutos un segundo ciclista pasa por el mismo semforo pero a una velocidad de 40 km/h, en direccin a la meta situada a 10 km en lnea recta a partir del semforo. Despus de qu tiempo los dos ciclistas se encontrarn?. Despus de qu tiempo a partir de la llegada del primero que arribe a la meta llegar el siguiente?

1 / 4 h 40 km h 2 t = t = = = h km ( 40 - 15) h 5 v 2 v1

t p v2

x m 10 km 2 t1 = = = h km v1 15 h 3

t2 =

xm + v2 t p v2

10 km + 40 km h 1 / 4 h 1 = = h 40 km h 2

t = t1 - t2 = 0,67 h - 0,50 h = 0,17 h = 10 min

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO

MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE ACELERADOUn movimiento uniformemente acelerado es aqul cuya aceleracin es constante.

Dada la aceleracin podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t

El desplazamiento x-x0 del mvil entre los instantes t0 y t, grficamente (rea de un rectngulo + rea de un tringulo)

Utilice est grfica, del movimiento rectilneo de una partcula, para responder a las siguientes preguntasX(m) 30 15 2 5 7 t(s)

Su rapidez para los 5 primeros segundos es 10 m/s a) Verdadero b) falso

A los 6 segundos la partcula est retornando al punto de partida a) Verdadero b) falso

Utilice est grfica, del movimiento rectilneo de una partcula, para responder a las siguiente preguntaX(m) 30 15 2 5 7 t(s)

El desplazamiento efectuado durante los ltimos 5 s es 15m a) Verdadero b) falso

Su velocidad para t = 7s es -5m/s a) Verdadero b) falso

Utilice est grfica, del movimiento rectilneo de una partcula, para responder a las siguiente preguntaX(m) 30 15 2 5 7 t(s)

La distancia total recorrida es 60 m a) Verdadero b) falso

Aceleracin constanteLas ecuaciones de cinemtica para la aceleracin constante en forma vectorial son: v = v0 + a ty

r = r0 + 1/2(v + v0)t r = r0 + v0t + 1/2 a t2y at

ayt vy vy0 v0

v

1/2ayt2 y

r 1/2at2 v0t vx0 t

vx0

axt vx

x

vy0 t

x

1/2axt2

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las frmulas del movimiento rectilneo uniformemente acelerado ms simplificadas.

En cuerpos que se desplacen en el espacio tendremos v ( t ) = v0 + a t v x( t ) = v0x + ax t v y( t ) = v0y + ay t v z( t ) = v0z + az t s (t ) = y0 + v0.t g t x (t ) = x0 + v0x.t + ax t y (t ) = y0 + v0y.t + ay t z (t ) = z0 + v0z.t + az t

En el momento en que se enciende la luz verde de un semforo, un automvil arranca con aceleracin constante de 1.83 m/s2. En ese mismo momento un camin que lleva una velocidad constante de 9.14 m/s sobrepasa al automvil. (a) A qu distancia del punto de partida el automvil alcanzar al camin? (b) Qu velocidad llevar el automvil en ese momento?

Si t1 es el instante en que el auto alcanza al camin, entonces:

s

L a v e lo cid a d d e l ca m i n (V c ) y la a c e le ra c i n d e l a u to m v il (a ) s p a ra le lo s . E l m o v im ie n to d e l ca m i n e s u n ifo rm e (c o n v e lo c id a d m ie n tra s q u e e l m o v im ie n to d e l a u to m v il e s u n ifo rm e m e n te a c e in s ta n te1 ta m b o s v e h cu lo s o cu p a n la m is m a p o s ic i n e n X .

Isabel decide poner a prueba su automvil compitiendo en una carrera de aceleracin con Francisco. Ambos parten del reposo, pero Francisco sale 1 s antes que Isabel. Si Francisco se mueve con una aceleracin constante de 12 pies/s2 e Isabel mantiene una aceleracin de 16 pies/s2, calcular: a) El tiempo que tarda Isabel en alcanzar a Francisco. b) La distancia que recorre antes de alcanzarlo. c) Las velocidades de los dos corredores en el instante en que . . Isabel alcanza a Francisco.

x Isabel =

16

pies

s2

( 6.5 s ) 2

2

= 3.3 10 pies22

x Francisco =v Isabel = a 1

12

pies

s2

( 7.5 s ) 2pies s2

= 3.3 10 pies22 pies s

t = (16

) 6.5 s = 1.0 10

v Francisco = a 2 t = (12 pies s 2 ) 7.5 s = 90 pies s

Qu grfica representa correctamente el movimiento de una partcula que tiene velocidad positiva y aceleracin negativa?

Un vehculo viaja por una pista circular a rapidez constante. a) Su aceleracin es cero. b) Su aceleracin es constante. c) Su aceleracin aumenta Un atleta corre 1.5 vueltas alrededor de una pista redonda en un tiempo de 50 s. El dimetro de la pista es 40 m y su circunferencia es 126 m. La velocidad media del atleta es: a) 3.8 m/s b) 2.5 m/s c) 0.8 m/s d) 75 m/s e) 28 m/s

2.

Cul de las siguientes proposiciones es verdadera?

a) En un grfico posicin tiempo, la recta que describe el movimiento cruza el eje del tiempo; entonces la partcula cambia de direccin. b) Si el vector aceleracin est en sentido opuesto al del movimiento, entonces la rapidez est aumentando. c) Si la velocidad media es cero en algn intervalo t y si la curva que describe el movimiento en el plano V vs t es continua, entonces en algn instante de este intervalo la velocidad debe ser cero. d) Si la velocidad media tiene un valor positivo, entonces el desplazamiento puede ser negativo. e) La velocidad media y la velocidad instantnea son iguales en un MRUV durante un intervalo de tiempo t.

3. Con relacin a la definicin de aceleracin, cul de las siguientes opciones es falsa? a) Si un cuerpo movindose en lnea recta con velocidad constante, cambia la direccin de su movimiento, el cuerpo experimentar aceleracin. b) Un cuerpo con velocidad negativa puede tener aceleracin positiva. c) El vector aceleracin siempre se encuentra en la direccin del movimiento de un cuerpo. d) Un cuerpo con aceleracin positiva puede tener desplazamiento nulo. e) Un cuerpo con aceleracin negativa puede tener desplazamiento nulo.

4. Una partcula se mueve en lnea recta y experimenta un desplazamiento positivo con aceleracin negativa, entonces, a) La partcula tiene velocidad inicial negativa. b) La partcula en algn instante puede tener velocidad negativa. c) d) e) La partcula en algn instante puede detenerse. a) y b) son correctas. b) y c) son correctas.

5. Una partcula se mueve en lnea recta y experimenta un desplazamiento negativo con aceleracin positiva. Cules de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. II. III. IV. V. a) b) c) d) e) Su rapidez se est incrementando. Se detendr en algn instante. Su rapidez est disminuyendo. Tuvo velocidad inicial negativa. Su velocidad en algn instante puede ser positiva II, IV y V I, II, y III II y IV II, III y IV I, III y IV

El grfico siguiente representa el movimiento de una partcula en lnea recta. De las afirmaciones dadas a continuacin, determine cules son correctas. I.Durante los primeros 5 s el objeto incrementa su rapidez. II.Entre t=0 y t=20 s el objeto experimenta desplazamiento nulo. III.Entre t=5 s y t=10 s el objeto experimenta aceleracin negativa. IV.Entre t=10 s y t=15 s el objeto experimenta aceleracin positiva V.Entre t=0 y t=10 s el objeto experimenta aceleracin positiva. VI.Entre t=10 s y t=20 s el objeto experimenta aceleracin negativa. a) I v ( m /s ) b) III y IV c) II 10 d) V e) V y VI 5-5 5 -5 10 15 20 t( s )

El grfico V vs t adjunto corresponde a una partcula que parte de un determinado punto de referencia, en lnea recta, avanza hasta otro punto y se mueve luego en direccin contraria. En qu instante la partcula se encuentra ms alejada del punto de referencia? a) b) c) d) e) 2 s. 4 s. 6 s. 8 s. 0 s.0 2 4 6 8 t( s ) v ( m /s )

Un auto viaja en lnea recta una distancia de 20 km a una rapidez constante de 30 km/h. Durante los siguientes 20 km su rapidez es de 40 km/h y los ltimos 20 km los realiza a una rapidez constante de 50 km/h. Cul es la magnitud de la velocidad media en km/h del auto durante todo el viaje? a) b) c) d) e) 1.2 37.0 38.3 40.0 45.2