Prestamos PDF

CAPÍTULO 4. Préstamos• 1. Concepto de préstamo• 2. Reembolso único sin pago periódico de intereses préstamo simple• 3. Reembolso único con pago periódico de intereses préstamo americano• 4. Amortización con términos amortizativos constantes método francés• 5. Método de cuota de amortización constante método lineal• 6. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresión• 7. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresión• 8. Préstamos diferidos• 9. Préstamos con intereses fraccionados• 10. Sistema de amortización Sinking-Fund• 11. Préstamos con intereses prepagables• 12. Valor finaciero del préstamo usufructo y nuda propiedad• 13. Tantos efectivos• 14. Préstamos con interés revisable• 15. Tantos efectivos de los préstamos según el Banco de España

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http://www.matematicas-financieras.com/Tantos-Efectivos-de-los-Prestamos-segun-el-Banco-de-Espana-I-P40.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Prestamos-con-Interes-Revisable-I-P39.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Tantos-Efectivos-P38.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Valor-Financiero-del-Prestamo--Usufructo-y-Nuda-Propiedad-I-P37.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Prestamos-con-Intereses-Prepagables-I-P36.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Sistema-de-Amortizacion-SINKING-FUND-P35.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Prestamos-con-Intereses-Fraccionados-P32.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Prestamos-Diferidos-P31.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Metodo-de-Amortizacion-con-Terminos-Amortizativos-variables-en-Progresion-Aritmetica-I-P30.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Metodo-de-Amortizacion-con-Terminos-Amortizativos-Variables-en-Progresion-Geometrica-I-P29.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Metodo-de-Cuota-de-Amortizacion-Constante---Metodo-Lineal-P28.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Amortizacion-con-Terminos-Amortizativos-Constantes--Metodo-Frances-I-P27.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Reembolso-unico-con-pago-Periodico-de-Intereses--Prestamo-Americano-P26.htm

http://www.matematicas-financieras.com/Reembolso-unico-sin-pago-Periodico-de-Intereses--Prestamo-Simple-P25.htm

1. Concepto de préstamoEl préstamo es una operación financiera de prestación única y contraprestación múltiple. En ella, una parte (llamada prestamista) entrega una cantidad de dinero (C0) a otra (llamada prestatario) que lo

recibe y se compromete a devolver el capital prestado en el (los) vencimiento(s) pactado(s) y a pagar unos intereses (precio por el uso del capital prestado) en los vencimientos señalados en el contrato.

La operación de amortización consiste en distribuir con periodicidad la devolución del principal (C0),

junto con los intereses que se vayan devengando a lo largo de la vida del préstamo. Los pagos periódicos que realiza el prestatario tienen, pues, la finalidad de reembolsar, extinguir o amortizar el capital inicial. Esto justifica el nombre de operación de amortización y el de términos amortizativos quesuele asignarse a estos pagos.

1.1. PRINCIPALES SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOSSegún la finalidad a la que se destinen los términos amortizativos es posible admitir diversas interpretaciones de amortización, es decir, diferentes formas de llevar a cabo la amortización (devolución) del capital inicial: es lo que se denomina «sistema amortizativo» o «sistema de amortización» del préstamo.

a) Préstamos amortizables mediante reembolso único del principal al final de la operación.

• Sin pago periódico de intereses: préstamo simple. • Con pago periódico de intereses: sistema americano.

b) Préstamos reembolsables mediante una serie de pagos periódicos que constituyan renta, esto es, fraccionamiento del principal en varios pagos parciales (cuotas de amortización) con vencimientos periódicos, que se pagan conjuntamente con los intereses, formando los términos amortizativos.

Según la cuantía de los términos amortizativos, podemos distinguir los siguientes casos:

• Términos amortizativos constantes. • Términos amortizativos variables:

– Cuota de amortización constante.– Términos amortizativos variables en progresión geométrica.– Términos amortizativos variables en progresión aritmética.

Todo ello con independencia de que los intereses se paguen con una frecuencia u otra, sean fijos o variables, pagaderos por anticipado o al final de cada período.

Estudiando la evolución de la deuda pendiente se observa que ésta crece en el interior de cada uno de los períodos en los que se divide la operación, para disminuir al final de los mismos como consecuenciade la entrega del término amortizativo.

Se producen, por tanto, dos movimientos de signo contrario en cada uno de los períodos: uno de crecimiento por efecto de los intereses generados y otro de disminución por el pago del término amortizativo.La suma de estos dos movimientos nos da la variación total de la deuda pendiente al final del período. Esta variación supondrá una disminución de la deuda caso de ser el término amortizativo mayor que los intereses generados en el período y supondrá un incremento de la deuda en el supuesto contrario, es decir, la cuota de interés mayor que el término amortizativo. En el caso concreto de que la cuantía del término amortizativo coincida con la cuota de interés no habrá variación de la deuda.

El gráfico de evolución de la deuda pendiente de un préstamo y los pagos realizados durante tres períodos será el siguiente:

1.2. NOMENCLATURA PARA PRÉSTAMOS DE AMORTIZACIÓN FRACCIONADALa terminología utilizada será la siguiente:

C0: Importe del préstamo, cantidad financiada.

n: Número de pagos a realizar durante el tiempo que se mantiene contraída la deuda.i: Tipo de interés efectivo convenido (coste de la financiación).ak: Término amortizativo al final del período k, pago total realizado por el prestatario en cada

vencimiento (mensual, trimestral, semestral, ...).

ak = Ik + Ak

Ik: Cuota de interés del período k, cantidad destinada a remunerar al prestamista por el período

correspondiente.Ak: Cuota de amortización del período k, cantidad destinada a devolver deuda en cada vencimiento.

Ck: Capital pendiente de amortización en el momento k. También se llama capital vivo, saldo de la

operación o reserva matemática.mk: Capital total amortizado al final del período k.

1.3. GENERALIDADES1. Los intereses de cada período se calculan sobre el capital vivo a principio del período.

Ik = Ck-1 x i

2. El parámetro que amortiza directamente el capital es la cuota de amortización (A), e indirectamente el término amortizativo.

3. El capital a amortizar siempre es la suma aritmética de todas las cuotas de amortización.

C0 = A1 + A2 + … + An

4. El capital vivo (pendiente) es la suma aritmética de las cuotas de amortización que queden por amortizar.

Ck = Ak+1 + Ak+2 + … + An

Aunque también se obtiene por la diferencia entre el importe del préstamo y el total amortizado hasta ese momento.

Ck = C0 – (A1 + A1 + … + Ak) = C0 – mk

Sin embargo, y a pesar de la sencillez de los sistemas anteriormente comentados, lo más frecuente consiste en fraccionar la devolución de la deuda destinando los términos amortizativos simultáneamente a pagar los intereses devengados en el período y cancelar parte de la deuda pendiente.

En estos casos resulta útil recoger en un cuadro el proceso de amortización del capital, reflejando de forma clara y concisa el valor que toman las principales variables en los diversos vencimientos de la operación.

La denominación será la de cuadro de amortización, y en él vamos a reflejar las cuantías de los términos amortizativos (ak), las cuotas de intereses (Ik) y las cuotas de amortización (Ak)

correspondientes a cada uno de los períodos, así como las cuantías del capital vivo (Ck) y del capital

amortizado (mk) referidos a cada período de la operación.

El cuadro resultante es:

Períodos Término

amortizativo interés Cuota

de Cuota de

amortización Total

amortizado Capital vivo

0 1 2 …n

– a1

a2

–I1 = C0 x i1

I2 = C1 x i2

– A1 = a1 – I1

A2 = a2 – I2

– m1 = A1

m2 = A1 + A2

C0C1 = C0 – A1

C2 = C0 – A1 –

A2

EJEMPLO 1

Construir el cuadro de amortización del siguiente préstamo:

• Importe: 30.000 euros. • Devolución del principal en tres pagos anuales vencidos de igual cuantía. • Tipo de interés anual del 10%.

Gráficamente, el esquema de pagos de la operación es:

Cuadro de amortización:

(5) (4) (1) (2) (3)

Años Término

amortizativo Cuota deinterés

Cuota deamortización

Totalamortizado

Capital vivo

0 1 2 3

13.000,00 12.000,00 11.000,00

3.000,002.000,001.000,00

10.000,0010.000,0010.000,00

10.000,0020.000,0030.000,00

30.000,0020.000,0010.000,00

Total 36.000,00 6.000,00 30.000,00

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro:

(1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento en pagos iguales del importe del préstamo.(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta lafecha.(3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo (C0) se le resta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3).(5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4).

2. Reembolso único sin pago periódico de intereses préstamo simpleSe trata de diferir la devolución del capital y de los intereses devengados hasta el final de la operación, pagando todo conjuntamente de una sola vez.

Gráficamente:

Para el prestatario esta operación solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada (cobro) en el origen, por el importe del préstamo, y otro al final, de salida (pago), por el importe del préstamo más los intereses devengados y acumulados.

La acumulación de intereses se puede realizar tanto en régimen de capitalización simple como en compuesta.

EJEMPLO 2

Se solicita el siguiente préstamo simple:

• Capital prestado: 100.000 euros. • Duración: 3 años. • Interés del 12% anual.

Se pide:

Determinar el capital a devolver.

3. Reembolso único con pago periódico de intereses préstamo americanoSe trata de diferir la devolución del capital y de los intereses devengados hasta el final de la operación, pagando todo conjuntamente de una sola vez.

Gráficamente:

Para el prestatario esta operación solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada (cobro) en el origen, por el importe del préstamo, y otro al final, de salida (pago), por el importe del préstamo más los intereses devengados y acumulados.

La acumulación de intereses se puede realizar tanto en régimen de capitalización simple como en compuesta.

EJEMPLO 2

Se solicita el siguiente préstamo simple:

• Capital prestado: 100.000 euros. • Duración: 3 años. • Interés del 12% anual.

Se pide:

Determinar el capital a devolver.

4. Amortización con términos amortizativos constantes método francésEste sistema de amortización se caracteriza porque:

• Los términos amortizativos permanecen constantes, y • El tanto de valoración permanece constante.

ambos durante toda la vida del préstamo.

De esta forma al principio la mayor parte de la cuota son intereses, siendo la cantidad destinada a amortización muy pequeña. Esta proporción va cambiando a medida que el tiempo va transcurriendo.

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos que origina para el prestatario el préstamo es el siguiente:

Donde C0 representa el importe del préstamo, n el número de pagos en los que se amortiza el préstamo,

a el término amortizativo e i el tipo de interés de la operación.

4.1. PASOS A SEGUIR

Se trata de ver los cálculos a realizar con el fin de construir el cuadro de amortización del préstamo, esto es, saber la cantidad a pagar en cada momento (término amortizativo) y su descomposición en cuota de amortización (Ak) y cuota de interés (Ik), así como otros datos como capitales vivos en cada

momento (Ck) sobre los que calcular los intereses y el total amortizado (mk).

4.1.1. Cálculo del término amortizativo (a)

Los pagos constantes que se realizan durante la vida del préstamo incorporan, en parte el coste del aplazamiento (cuota de interés), en parte la devolución de una porción de la deuda (cuota de amortización). Para eliminar los intereses bastaría con actualizar los términos amortizativos a la tasa de interés del préstamo, con lo cual sólo quedarían las cuotas de principal, que sumadas coinciden con el importe del préstamo.

Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta formada por los términos amortizativos:

de donde se despeja el término:

4.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización: ley de recurrencia

4.1.2.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo

Una vez calculado el término amortizativo, se cumple lo siguiente:

Período 1: a = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo demás se conoce).

Período 2: a = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 – A1) x i + A2, y despejamos A2.

Período 3: a = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 – A2) x i + A3, y despejamos A3.

y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización.

4.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización

Al ser constante el término amortizativo las cuotas de amortización necesariamente tendrán que ir creciendo, mientras que las cuotas de intereses decrecerán (porque se van calculando sobre capitales vivos cada vez menores). Y además, lo hacen siguiendo una ley matemática (ley de recurrencia).

La ley de recurrencia es la relación en la que se encuentran dos términos consecutivos, en este caso, las cuotas de amortización y para buscarla se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

Período k: a = Ik + Ak = Ck-1 x i + AkPeríodo k+1: a = Ik+1 + Ak+1 = Ck x i + Ak+1

------------------------------------------

a – a = (Ck-1 – Ck) x i + Ak – Ak+1

siendo Ck-1 – Ck = Ak, queda:

0 = Ak x i + Ak – Ak+1

de donde se obtiene:

Ak+1 = Ak x (1 + i)

Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varían siguiendo una

progresión geométrica de razón 1 + i , por tanto, cualquier cuota se puede calcular a partir de la anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con carácter genérico, se pondrán en función de la primera –que es la más fácil de obtener–:

Ak+1 = A1 x (1 + i)k

Es por esto, el aumento de las cuotas de amortización con el transcurso del tiempo, por lo que a este sistema se le conoce como método progresivo.

4.1.3. Cálculo de la primera cuota de amortización (A1)

Una vez calculada la primera cuota, todas las demás se podrán obtener aplicando la ley de recurrencia anterior. El cálculo de la primera cuota de amortización se puede realizar de dos formas posibles:

4.1.3.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del primer término amortizativo

Período 1: a = I1 + A1 = C0 x i + A1 ---> A1 = a – C0 x i

4.1.3.2. 2.ª posibilidad: por la definición de capital prestado

En todo préstamo se cumple que la suma aritmética de todas las cuotas de amortización es el importe del préstamo:

A1 + A2 + A3 + … + An = C0

Además en este sistema amortizativo todas las cuotas de amortización se pueden poner en función de laprimera de ellas, como se ha visto anteriormente:

A1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 + … + A1 (1 + i)n-1 = C0

Simplificando la expresión, sacando factor común en el primer miembro A1:

A1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)n-1] = C0

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de n términos (el número de cuotas de amortización) al tanto del préstamo, por tanto:

de donde:

4.1.4. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk)

Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas posibles:

• Por diferencia, entre el importe del préstamo y lo que aún se debe:

mk = C0 – Ck

• Por sumas de cuotas de amortización practicadas hasta la fecha:

mk = A1 + A2 + … + Ak

Además todas las cuotas de amortización se pueden poner en función de la primera de ellas:

mk = A1 + A1 (1 + i) + A1 (1 + i)2 + … + A1 (1 + i)k-1

Simplificando la expresión:

mk = A1 x [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)k-1]

donde el corchete es el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata, de k términos al tanto del préstamo, por tanto:

4.1.5. Cálculo del capital vivo a principio del período k+1 (Ck)

4.1.5.1. 1.ª posibilidad: a través de las cuotas de amortización

Bien considerando las cuotas de amortización ya satisfechas (método retrospectivo):

Bien considerando las cuotas de amortización pendientes (método prospectivo):

4.1.5.2. 2.ª posibilidad: a través de términos amortizativos

Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer en términos financieros (no bastará con sumar y restar aritméticamente, como en el caso anterior) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.

4.1.5.3. 1.ª posibilidad: método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados

En k se debe cumplir:

lo que se debe en k = [lo recibido – lo pagado]k

Por tanto en k:

4.1.5.4. 2.ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros

En k se debe cumplir:

lo que supondría la cancelación total en k = [cantidades pendientes de pagar]k

Por tanto en k:

4.1.6. Cálculo de la cuota de interés del período k+1 (Ik+1)

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo.

Ik+1 = Ck x i

EJEMPLO 4


• Importe: 100.000 euros. • Duración: 3 años. • Tipo de interés: 10% anual. • Términos amortizativos anuales constantes.

(1) (2) (3) (4) (5)

Años Término



Totalamortizado

Capital vivo

01 2 3

40.211,48 40.211,48 40.211,48

10.000,00 6.978,85 3.655,59

30.211,48 33.232,63 36.555,89

30.211,48 63.444,11

100.000,00

100.000,0069.788,5236.555,89

Total 120.634,44 20.634,44 100.000,00


(1) Se calcula el importe del pago total a realizar (término amortizativo) a través de la fórmula anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios del período correspondiente (5)y se pagan al final del período anterior.(3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en el período (1) y lo que se dedica a intereses (2).(4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta lafecha.(5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital vivo a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (4) ya acumulado.

5. Método de cuota de amortización constante método linealEn este tipo de préstamos, el prestatario se compromete a devolver todos los períodos la misma cantidad de capital, esto es, la cuota de amortización (Ak) se mantiene constante durante todo el

préstamo.

Considerando que el importe del préstamo es C0, con un tipo de interés constante i, y amortizable en n

períodos, en este caso debe cumplirse que:

A1 = A2 = A3 = … = An = A

5.1. PASOS A SEGUIREn este caso, se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización, fáciles de calcular, a continuación los intereses y, finalmente, los términos amortizativos.

5.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A)

Sabiendo que la suma de todas las cuotas de principal es el importe del préstamo y que, además, éstas se mantienen constantes se debe cumplir:

C0 = A1 + A2 + A3 + … + An = A x n


C0A = -------- n


Si se conoce lo que se amortiza en cada momento, el total amortizado hasta una fecha será la suma

aritmética de las cuotas ya practicadas.

mk = A1 + A2 + … + Ak = A x k

5.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck)

Se realizará a través de las cuotas de amortización (pasadas o futuras).

5.1.3.1. 1.ª posibilidad: por el método retrospectivo, el capital pendiente será el importe del préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización ya practicadas

Ck = C0 – mk = C0 – [A + A + … + A] = C0 – A x k

5.1.3.2. 2.ª posibilidad: por el método prospectivo, el capital pendiente será la suma aritmética de las cuotas de amortización aún pendientes de realizar

Ck = Ak+1 + Ak+2 + … + An = (n – k) x A

5.1.4. Cálculo de cuota de interés del período k+1 (Ik+1)


Ik+1 = Ck x i

5.1.5. Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (ak)

Puesto que los términos amortizativos son la suma de la cuota de interés (decrecientes porque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortización (en este caso constantes), los términos variarán como lo hacen las cuotas de interés y seguirán una ley matemática.

5.1.5.1. 1.ª posibilidad: calcular el importe del término amortizativo a través de su propia estructura, calculando la cuota de interés y añadiendo la cuota de amortización constante ya conocida

Período 1: a1 = I1 + A = C0 x i + A

Período 2: a2 = I2 + A = C1 x i + A = (C0 – A) x i + A

...

5.1.5.2. 2.ª posibilidad: consistirá en calcular el primer término y obtener todos a través de la ley de recurrencia que éstos siguen y que se obtiene al relacionar, por diferencias, dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera

Período k: ak = Ik + A = Ck-1 x i + A

Período k+1: ak+1 = Ik+1 + A = Ck x i + A

------------------------------------------------------- ak – ak+1 = (Ck-1 – Ck) x i

siendo: Ck-1 – Ck = A, queda:

ak – ak+1 = A x i


ak+1 = ak – A x i

lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior menos una cuantía constante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (A x i), por lo que todos los términos se pueden calcular a partir del primero de ellos:

ak+1 = a1 – k x A x i

EJEMPLO 5

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 300.000 euros, al 10% de interés anual, amortizable en 3 años, con cuotas de amortización anuales constantes.

(5) (4) (1) (2) (3)

Años Término

amortizativoCuota de interés


Totalamortizado

Capitalvivo

0 1 2 3

130.000,00 120.000,00 110.000,00

30.000,00 20.000,00 10.000,00

100.000,00 100.000,00 100.000,00

100.000,00 200.000,00 300.000,00

300.000,00200.000,00100.000,00

Total 360.000,00 60.000,00 300.000,00


(1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento del importe del préstamo en pagos iguales.

300.000A = ----------- = 100.000 3

(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta lafecha.(3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital pendiente a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3) y se pagan al final del mismo.(5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4).

6. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresiónEste método se caracteriza porque:

• Los términos amortizativos varían en progresión geométrica, y • El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes, durante toda la

operación.

De esta razón va a depender la variación que se irá produciendo en las cuotas. Así, a mayor razón menor es la cuota inicial y mayor será la final.

Además se pone de manifiesto que cuanto mayor es la razón de la progresión mayor es el importe de los intereses pagados a lo largo de toda la operación.

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos de la operación para un préstamo de C0, a amortizar en n períodos, con pagos que varían en progresión geométrica de razón conocida q, al tipo de interés i, es el siguiente:

6.1. PASOS A SEGUIR

6.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak)

Los pagos que se realizan durante la vida del préstamo incorporan la cuota de interés y la cuota de amortización. Para eliminar los intereses bastaría con actualizar los términos amortizativos a la tasa de interés del préstamo, con lo cual sólo quedarían las cuotas de principal, que sumadas coinciden con el importe del préstamo.

Es decir, planteamos una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta en progresión geométrica formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y la razón de la progresión.

Al desarrollar esta equivalencia pueden darse dos casos según la relación entre la razón de la progresión que siguen los términos y el tipo de interés del préstamo:

En ambos casos la variable desconocida y que se despeja es el primer término amortizativo (a1), que

será la incógnita a calcular.

Una vez calculado el primer término amortizativo, al seguir los demás una progresión geométrica, el resto de ellos se calculará a través de dicha ley, así:

a2 = a1 x q

a3 = a2 x q = a1 x q2

...ak+1 = ak x q = a1 x qk

…an = an-1 x q = a1 x qn-1

6.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización (Ak)


Una vez calculados los términos amortizativos, se cumple lo siguiente:

Período 1: a1 = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo demás se conoce)

Período 2: a2 = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 – A1) x i + A2, y despejamos A2,

Período 3: a3 = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 – A2) x i + A3, y despejamos A3,



Al ser variable el término amortizativo, las cuotas de amortización normalmente también variarán, si bien el sentido de esta variación (creciente o decreciente) estará en función de la razón de la progresión y el tipo de interés del préstamo. No obstante, se puede comprobar si lo hacen siguiendo alguna ley matemática (ley de recurrencia).

Se trata de encontrar la relación matemática que siguen dos cuotas de amortización consecutivas. Para

ello se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera:

Período k: ak = Ik + Ak = Ck-1 x i + AkPeríodo k+1: ak+1 = Ik+1 + Ak+1 = Ck x i + Ak+1

------------------------------------------------------------------ ak - ak+1 = (Ck-1 - Ck) x i + Ak - Ak+1

siendo: Ck-1 - Ck = Ak, queda:

ak - ak+1 = Ak x i + Ak - Ak+1

de donde:

Ak+1 = Ak x (1 + i) + ak+1 - ak

y como: ak+1 = ak x q, la expresión puede quedar:

Ak+1 = Ak x (1 + i) - ak x (1 - q)

expresión que permite calcular una cuota de amortización a partir de la cuota de amortización anterior.Ley que puede resultar poco práctica, ya que además de conocer la cuota de amortización anterior se debe considerar el término amortizativo de aquel período, por lo que quizá sea más práctico hacer uso del primer sistema de cálculo anteriormente comentado.


Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas posibles:• Por diferencias, entre el importe del préstamo y lo que aún se debe:

mk = C0 - Ck


mk = A1 + A2 + .... + Ak


En este tipo de préstamos el cálculo del capital vivo a través de las cuotas de amortización resulta poco práctico, salvo que nos encontremos muy cerca del principio o del final de la operación. Pretendemos buscar un sistema que permita calcular el capital pendiente a partir de los términos amortizativos del préstamo.

Al trabajar con los términos amortizativos se deberán hacer de forma financiera (no bastará con sumar y restar aritméticamente) puesto que los términos incorporan intereses y principal; habrá que mover financieramente las cantidades correspondientes.


en k se debe cumplir:


por tanto en k:

6.1.4.2. 2ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros



por tanto en k:



Ik+1 = Ck x i

EJEMPLO 6

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 10.000 euros, al 10% de interés anual, amortizable en 3 años, con anualidades que van aumentando un 5% cada año de forma acumulativa.

(1) (2) (3) (4) (5)

AñosTérmino

amortizativoCuota deinterés


Totalamortizado

Capital vivo

0123

3.838,504.030,434.231,94

1.000,00716,15384,72

2.838,503.314,283.847,22

2.838,506.152,78

10.000,00

10.000,007.161,503.847,22

Total 12.100,87 2.100,87 10.000,00


(1) Se calcula el importe del pago total a realizar en el primer período (término amortizativo) a través de la fórmula anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios de cada período (5).(3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en el período (1) y lo que se dedica a intereses (2).(4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta lafecha.(5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo (C0) se le resta el total amortizado

(4) ya acumulado hasta ese momento.

7. Método de amortización con términos amortizativos variables en progresiónEste método amortizativo se caracteriza porque:

• Los términos amortizativos varían en progresión aritmética, y, • El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes, durante toda la

operación.

Es importante el estudio de la razón aplicada. De esta razón va a depender la va-riación que se irá produciendo en las cuotas. Así, a mayor razón menor es la cuota inicial y mayor será la final.

Además el importe de la razón es proporcional al total de los intereses paga-dos. Así, tenemos que a mayor razón, mayor es el importe de los intereses pagados y a la inversa. Esto se debe a que una mayorrazón hace que al principio amorticemos un menor capital, o que incluso el importe de la cuota no llegue a cubrir el importe de los intereses, con lo que éstos se acumularán al capital y volverán a generar intereses.

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos de la operación para un préstamo de C0, a amortizar en n períodos, con pagos que varían en progresión aritmética de razón conocida d, al tipo de interés i, es el siguiente:

7.1. PASOS A SEGUIR


Planteando una equivalencia financiera en el origen entre el importe del présta-mo y la renta en progresión aritmética formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y la razón de la progresión.Al desarrollar esta equivalencia resulta la siguiente ecuación donde la variable a despejar será el primertérmino amortizativo (a1).

Una vez calculado el primer término amortizativo, al seguir los demás una pro-gresión aritmética, el resto de ellos se calculará a través de dicha ley, así:

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

...ak+1 = ak + d = a1 + k x d

...an = an-1 + d = a1 + (n - 1) x d

7.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización (Ak)


Una vez calculados los términos amortizativos, se cumple lo siguiente:

Período 1: a1 = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo demás se conoce)

Período 2: a2 = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 - A1) x i + A2, y despejamos A2,

Período 3: a3 = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 - A2) x i + A3, y despejamos A3,



Al ser variable el término amortizativo las cuotas de amortización variarán, de-pendiendo de la razón de la progresión y el tipo de interés del préstamo. No obstante, se puede comprobar si lo hacen siguiendo alguna ley matemática (ley de recurrencia).

Se trata de encontrar la relación matemática que siguen dos cuotas de amortiza-ción consecutivas. Para ello se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera:

Período k: ak = Ik + Ak = Ck-1 x i + AkPeríodo k+1: ak+1 = Ik+1 + Ak+1 = Ck x i + Ak+1

--------------------------------------------- ak - ak+1 = (Ck-1 - Ck) x i + Ak - Ak+1

siendo: Ck-1 - Ck = Ak, queda:

ak - ak+1 = Ak x i + Ak - Ak+1

además, se cumple:

ak+1 = ak + d


Ak+1 = Ak x (1 + i) + d

expresión según la cual cada cuota de amortización se puede obtener a partir de la anterior de manera fácil. No obstante, si lo que se quiere es calcular cualquier cuota a partir de la del primer período, la expresión a aplicar será:


Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas posibles:

• Por diferencias, entre el importe del préstamo y lo que aún se debe:

mk = C0 – Ck


mk = A1 + A2 + … + Ak


Como en el caso de los préstamos con términos amortizativos en progresión geométrica, la forma más fácil de calcular capitales pendientes será a partir de los términos amortizativos, realizados o pendientes, valorados financieramente en el momento en que se quiera calcular la deuda viva (momento k).




por tanto en k:

7.1.4.2. 2.ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros



por tanto en k:



Ik+1 = Ck x i

EJEMPLO 7

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 10.000 euros, al 10% de in-terés anual, amortizable en 3 años, con anualidades que van aumentando 100 euros cada año.

(1) (2) (3) (4) (5)

Años Término



Totalamortizado

Capitalvivo

0123

3.927,494.027,494.127,49

1.000,00707,25375,22

2.927,493.320,243.752,27

2.927,496.247,73

10.000,00

10.000,007.072,513.752,27

Total 12.082,47 2.082,47 10.000,00


(1) Se calcula el importe del pago total a realizar en el primer período (término amortizativo) a través de la fórmula anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios de cada período (5).(3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en el período (1) y lo que se dedica a intereses (2).(4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta lafecha.(5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (4) ya acumulado.

8. Préstamos diferidosTambién denominados préstamos con carencia, son aquellos en los que, desde su concesión y durante una parte de su vida, no se realiza devolución de capital. Por tanto, los préstamos diferidos son aquellosen los que se retrasa el pago de la primera cuota de amortización.Puede ocurrir que durante este primer tiempo en el cual no se amortiza deuda, se vayan pagando periódicamente los intereses a medida que éstos se van devengando y con la periodicidad acordada: estamos refiriéndonos a préstamos con carencia parcial. Cuando durante este primer período no se realiza pago alguno, estamos ante una carencia total. En este último caso, los intereses devengados y nosatisfechos se acumularán al capital de partida (capitalización de intereses).

Una vez pasado el período de carencia, estaremos ante un préstamo normal cualquiera que sea el sistema de amortización que presente (francés, lineal, con términos en progresión, ...).

Pueden darse dos situaciones:

8.1. CARENCIA CON PAGO DE INTERESES: CARENCIA PARCIAL

8.2. CARENCIA SIN PAGO DE INTERESES: CARENCIA TOTAL

Importante. En ambos casos se plantea la amortización efectiva del préstamo desde d hasta n y el período de amortización es n – d.

El tipo más extendido es el de carencia de capital (parcial), esto es, durante el período de carencia sólo pagamos intereses. Esto se debe a que en la gran mayoría de las operaciones las garantías solicitadas son las necesarias para el principal solicitado. En este sentido, en el caso de carencia total (sin pago de intereses) la deuda es mayor que aquella para la que se solicitaron las garantías.

Si bien es cierto que la carencia en los préstamos supone un alivio financiero durante un cierto período de tiempo al pagar sólo los intereses (o nada, en el caso de carencia total), el préstamo al final se encarece considerablemente, ya que una vez finalizado este período de diferimiento tendrá que hacer frente a unos pagos posteriores superiores.

EJEMPLO 8

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 100.000 euros, al 10% de interés anual y 4 añosde duración. Se amortizará por el sistema lineal con cuotas de amortización anuales, sabiendo que el primer pago de principal se realiza transcurridos 3 años.

1.er caso: con pago de intereses durante el diferimiento.

100.000A = -------------- = 50.000 2

(5) (4) (1) (2) (3)

Años Término



Total amortizadoCapital

vivo

0 1 2 3 4

10.000,0010.000,0060.000,0055.000,00

10.000,0010.000,0010.000,005.000,00

50.000,0050.000,00

50.000,00100.000,00

100.000,00100.000,00100.000,0050.000,00

Total 135.000,00 35.000,00 100.000,00

2.º caso:

100.000 x (1,1)2 121.000A = ---------------------- = ------------ = 60.500 2 2

(5) (4) (1) (2) (3)

Años Término



Total amortizadoCapital

vivo

01234

72.600,0066.550,00

12.100,006.050,00

60.500,0060.500,00

60.500,00121.000,00

100.000,00110.000,00121.000,0060.500,00

Total 139.150,00 18.150,00 121.000,00

9. Préstamos con intereses fraccionadosSon aquellos préstamos en los que los intereses se hacen efectivos con mayor frecuencia que la empleada para amortizar el principal, cualquiera que sea la unidad de tiempo elegida. Es decir, las cuotas de interés se pagan fraccionadamente dentro del período de tiempo elegido para la amortización del capital, mientras que las cuotas de amortización no se fraccionan y se abonan al final de dicho período.

Por lo tanto, lo que caracteriza al préstamo con intereses fraccionados es:

1. Las cuotas de amortización no se fraccionan, siguen venciendo al final de cada período (sea cuálsea el elegido).

2. Se fracciona el pago de intereses, es decir, en lugar de hacer un sólo pago junto con la cuota de amortización al tanto efectivo expresado en la unidad de tiempo de amortización (i), se hacen k pagos al tanto efectivo ik por cada pago de principal, resultando dividido el período en k subperíodos a efectos de pago de intereses.

Gráficamente, para un préstamo de tres años con amortización anual y pago semestral de intereses, la operación supondría los siguientes pagos:

El fraccionamiento se puede presentar en cualquiera de los sistemas de amortización conocidos (francés, lineal, con términos en progresión, …) e, incluso, puede presentarse con diferimiento. A continuación se estudia para los sistemas amortizativos más frecuentes: lineal y francés.

9.1. Préstamo fraccionado con cuota de amortización constanteEn este préstamo los intereses se harán efectivos fraccionadamente dentro del período de amortización, mientras que las cuotas de amortización constantes no se fraccionan y se abonan al final del período.

Considerando que el importe del préstamo es C0, amortizable en n pagos, con un tipo de interés constante i, expresado en la unidad en la que se amortiza el principal.

Por tanto, debe cumplirse que:

A1 = A2 = A3 = ... = An = A

En primer lugar se calculará todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización, ya calculadas, a continuación los intereses y, finalmente, por suma, los términos amortizativos.

9.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A)


C0 = A1 + A2 + A3 + ... + An = A x n


C0A = ------ n

9.1.2. Cálculo del total amortizado después de t períodos (mt)

Conociendo lo que se amortiza en cada momento (A), el total amortizado hasta una fecha será la suma aritmética de las cuotas ya efectuadas.

mt = A1 + A2 + ... + At = A x t

9.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período t+1 (Ct)

Se realizará a través de las cuotas de amortización (pasadas o futuras).

1.ª posibilidad: por el método retrospectivo, el capital pendiente será el importe del préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización ya practicadas

Ct = C0 - [A1 + A2 + ... + At] = C0 - mt = C0 - A x t

2.ª posibilidad: por el método prospectivo, el capital pendiente será la suma aritmética de las cuotas de amortización aún pendientes de realizar

Ct = At+1 + At+2 + ... + An = (n - t) x A

9.1.4. Cálculo de las cuotas de intereses del período t+1

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período (Ct), al tanto efectivo fraccionado (ik)vigente durante el mismo. Por tanto, dentro del período

de amortización, habrá k pagos de intereses, cuyo importe se calcula así: It+1 = Ct x ik


Los términos amortizativos se obtendrán finalmente como la suma de la cuota de interés y la cuota de amortización, cuando ésta tenga lugar (al final de cada período).

Así resulta para el período t:

• Los primeros k–1 subperíodos sólo incluye intereses:

at, j = It+1

• El último subperíodo, además de interés incluye la cuota de amortización del período:

at, k = It+1 + At

EJEMPLO 9


• Importe: 300.000 euros.

• Duración: 3 años. • Cuotas de amortización anuales constantes. • Intereses semestrales al 6% efectivo semestral.

(3) (4) (1) (2) (5)

PeríodosCapital

vivoCuota deinterés


Totalamortizado

Términosamortizativos

1.1.1.2.

300.000,00300.000,00

18.000,0018.000,00

– 100.000,00

– 100.000,00

18.000,00118.000,00

2.1.2.2.

200.000,00200.000,00

12.000,0012.000,00

– 100.000,00

100.000,00200.000,00

12.000,00112.000,00

3.1.3.2.

100.000,00100.000,00

6.000,006.000,00

– 100.000,00

200.000,00300.000,00

6.000,00106.000,00

Total 72.000,00 300.000,00 372.000,00


(1) Se calcula la cuota de amortización a través del fraccionamiento del importe del préstamo en tres pagos iguales.

300.000A = ------------- = 100.000 3

(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta lafecha.(3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3) al tanto efectivo semestral.(5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4).

9.2. Préstamo francés fraccionadoAl ser un préstamo fraccionado los intereses se harán efectivos fraccionadamente dentro del período de amortización, mientras que las cuotas de amortización no se fraccionan y se abonan al final del período.

Considerando que el importe del préstamo es C0, y el tipo de interés constante es ik, expresado en la

unidad de tiempo en la que se pagan los intereses, durante n períodos, caben dos posibilidades de llevara cabo el fraccionamiento en este tipo de préstamos:

• Resultando constante el término amortizativo único equivalente que se situaría en el momento de las amortizaciones.

• Siendo constante la cuantía total satisfecha en el momento de amortizar (tanto por amortización como por intereses).

9.2.1. Resultando constante el término amortizativo único equivalente que se situaría en el momento de las amortizaciones

En este caso, al tratarse de un sistema francés y dado que el fraccionamiento sólo afecta a los intereses, se trata de calcular en primer lugar las cuotas de amortización (que se obtienen con las reglas vistas anteriormente para el caso del préstamo francés, sin fraccionamiento), a continuación los capitales pendientes y, finalmente, los intereses y términos amortizativos.

Pasos a seguir:

1.º A partir del tipo de interés de partida calcular el tanto efectivo equivalente expresado en la unidad detiempo en la que se amortiza el capital.

i = (1 + ik)k – 1

2.º Cálculo de la primera cuota de amortización, siguiendo las fórmulas empleadas en el préstamo francés cuando no existe fraccionamiento de intereses, puesto que dicho fraccionamiento sólo afecta a los intereses pero no a las cuotas de amortización que se siguen calculando de la misma forma.

siendo n el número de cuotas de principal con las que amortizamos el préstamo.

3.º Cálculo del resto de cuotas de amortización, que variarán en progresión geométrica creciente de razón (1 + i).

At+1 = At x (1 + i) = A1 x (1 + i)t

4.º Cálculo del total amortizado, mt, por sumas parciales de las cuotas de amortización, que se pueden calcular una a una y sumándose posteriormente, o bien, se pueden sumar directamente a través de la leyque siguen:

5.º Cálculo del capital vivo, Ct, restando al capital pendiente del período anterior la cuota de

amortización del período en curso o bien restando al importe del préstamo el total amortizado hasta el momento:

Ct = Ct-1 - At = C0 - mt

6.º Cálculo de las cuotas de interés, It+1, que se pagarán con la frecuencia acordada y siempre a partir

del capital pendiente a principios del período a que se refiera empleando el tanto efectivo expresado en la unidad en la que se estén pagando los intereses (ik).

It+1 = Ct x ik

7.º Cálculo de los términos amortizativos, por suma de lo que en cada subperíodo se esté pagando: siempre intereses y en el último de cada período, además, cuota de amortización.

• Los primeros k–1 subperíodos (sólo intereses):

at, j = It+1

• El último subperíodo (interés y amortización):

at, k = It+1 + At

Otro camino alternativo, válido para este tipo de préstamos, consiste en calcular el término amortizativo anual equivalente para, a partir del mismo, calcular los capitales vivos, las cuotas de interés y finalmente las cuotas de amortización y los términos amortizativos en cada momento.

Pasos a seguir:

1.º A partir del tipo de interés de partida calcular el tanto efectivo equivalente expresado en la unidad detiempo en la que se amortiza el capital.

i = (1 + ik)k - 1

2.º Cálculo del término amortizativo equivalente, siguiendo las fórmulas empleadas en el préstamo francés.

3.º Cálculo del capital pendiente a principios del período t + 1.

Método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados.

Método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros.

4.º Cálculo de las cuotas de interés pagadas dentro del período t + 1.

Los intereses de cualquier subperíodo se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo fraccionado vigente durante el mismo.

It+1 = Ct x ik

5.º Cálculo de la cuota de amortización del período t + 1

Se debe mantener la equivalencia financiera entre el término amortizativo equivalente calculado inicialmente y los pagos que realmente tienen lugar dentro del período, las k cuotas de interés k-esimal

y la cuota de amortización satisfecha a final del período. Por tanto, el término amortizativo equivalente,al final del período, debe coincidir con las cuotas de interés (conocidas) del período llevadas al final de dicho período más la cuota de amortización (que se desconoce). De esa equivalencia se obtendrá la cuota de amortización del período.

De donde se despejaría At+1.

El resto de cuotas de amortización se puede obtener de la misma forma, para cada período o bien, siguiendo la ley de recurrencia que mantienen (en progresión geométrica de razón 1 + i).

6.º Cálculo de los términos amortizativos, por suma de lo que en cada subperíodo se esté pagando: siempre intereses y en el último de cada período, además, cuota de amortización.


at, j = It+1

• El último subperíodo (intereses y amortización):

at, k = It+1 + At

EJEMPLO 10


• Importe: 1.000.000 de euros. • Duración: 3 años. • Sistema francés:

– Cuotas de amortización anuales.– Intereses semestrales al 5% efectivo semestral.

I1,1 = I1,2 = C0 x 0,05

I2,1 = I2,2 = C1 x 0,05

I3,1 = I3,2 = C2 x 0,05

i = 1,052 - 1 = 10,25%

(3) (4) (1) (2) (5)

PeríodosCapital



Totalamortizado


1.1.1.2.

1.000.000,001.000.000,00

50.000,0050.000,00

– 301.385,81

– 301.385,81

50.000,00351.385,81

2.1.2.2.

698.614,19698.614,19

34.930,7134.930,71

– 332.277,86

301.385,81633.663,67

34.930,71367.208,57

3.1.3.2.

366.336,33366.336,33

18.316,8218.316,82

– 366.336,33

633.663,671.000.000,00

18.316,82384.653,15

Total 206.495,06 1.000.000,00 1.206.495,06


(1) Se calcula el importe de la primera cuota de amortización, a través de la fórmula prevista para calcular A1 en el préstamo francés, y, a partir de ella, todas las demás, multiplicando la cuota anterior por 1,1025.

(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta lafecha.(3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de

amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3) al tanto efectivo semestral.(5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4).

9.2.2. Siendo constante la cuantía satisfecha en el momento de amortizar (tanto por amortización como por intereses)

Pasos a seguir:

1.º Cálculo de la ley de recurrencia entre cuotas de amortización consecutivas, de forma que resulte constante la cuantía total pagada al final de cada período. Para ello obligamos a que el pago total a efectuar al final de dos períodos consecutivos cualesquiera coincida:

• Pago total al final del período t:

At + Ct-1 x ik

• Pago total al final del período t + 1:

At+1 + Ct x ik

Obligando a que sean iguales ambas cuantías, resulta:

At + Ct-1 x ik = At+1 + Ct x ik

Operando en la igualdad, pasando Ct x ik al primer miembro:

At + Ct-1 x ik - Ct x ik = At+1

Sacando factor común ik en el primer miembro:

At + (Ct-1 - Ct) x ik = At+1

Siendo:

Ct-1 - Ct = At

Resulta finalmente:

At + At x ik = At+1

De donde se obtiene:

At+1 = At x (1 + ik)

Siendo ik el tanto al que se va a calcular los intereses a pagar en cada subperíodo.

Al aplicar esta ley para cualesquiera dos períodos consecutivos, se observa que varían siguiendo una progresión geométrica de razón 1 + ik, por tanto, cualquier cuota se puede calcular a partir de la

anterior, de la primera o de cualquiera conocida. Con carácter genérico, se pondrán en función de la primera –que es la más fácil de obtener–:

At+1 = A1 x (1 + ik)t

2.º Cálculo de la primera cuota de amortización a través de la siguiente expresión:

En todo préstamo se cumple que la suma aritmética de todas las cuotas de amortización es el importe del préstamo:

A1 + A2 + A3 + ... + An = C0

Además, según la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización, se pueden poner todas en función de la primera de ellas:

A1 + A1 (1 + ik) + A1 (1 + ik)2 + ... + A1 (1 + ik)n-1 = C0

Simplificando la expresión:

A1 x [1 + (1 + ik) + (1 + ik)2 + ... + (1 + ik)n-1] = C0

Siendo el corchete el valor final de una renta unitaria, pospagable e inmediata de n términos (el númerode cuotas de amortización), al tanto ik al que se calculan las cuotas de interés, por tanto:

De donde:

3.º Cálculo del resto de cuotas de amortización, que siguen como ley de recurrencia una progresión geométrica de razón (1 + ik).

A2 = A1 x (1 + ik)

A3 = A2 x (1 + ik) = A1 x (1 + ik)2

...At+1 = At x (1 + ik) = A1 x (1 + ik)t

4.º Cálculo del total amortizado, mt, por sumas parciales de las cuotas de amortización, ya practicadas.

mt = A1 + A2 + ... + At

5.º Cálculo del capital vivo, Ct , restando al capital pendiente del período anterior la cuota de

amortización del período en curso o bien restando al importe del préstamo el total amortizado hasta el momento:

Ct = Ct-1 - At = C0 - mt

6.° Cálculo de la cuota de interés, It+1, que se pagará con la frecuencia acordada y siempre a partir del

capital pendiente a principios del período a que se refiera empleando el tanto efectivo expresado en la unidad en la que se estén pagando los intereses (ik).

It+1 = Ct x ik

7.º Cálculo de los términos amortizativos, por suma de lo que en cada subperíodo se esté pagando:

siempre intereses y en el último de cada período, además, cuota de amortización.


at, j = It+1

• El último subperíodo (interés y principal):

at, k = It+1 + At+1

EJEMPLO 11


• Importe: 1.000.000 de euros. • Duración: 3 años. • Sistema francés:

– Cuotas de amortización anuales.– Intereses semestrales al 5% efectivo semestral.

Se ha de cumplir:

A1 + C0 x 0,05 = A2 + C1 x 0,05 = A3 + C2 x 0,05

(3) (4) (1) (2) (5)

PeríodosCapital



Totalamortizado


1.1.1.2.

1.000.000,001.000.000,00

50.000,0050.000,00

– 317.208,56

–317.208,56

50.000,00367.208,56

2.1.2.2.

682.791,44682.791,44

34.139,5734.139,57

– 333.069,00

317.208,56650.277,56

34.139,56367.208,56

3.1.3.2.

349.722,44349.722,44

17.486,1217.486,12

– 349.722,44

650.277,561.000.000,00

17.486,12367.208,56

Total 203.251,38 1.000.000,00 1.203.251,38


(1) Se calcula el importe de la primera cuota de amortización, a través de la fórmula correspondiente, y,a partir de ella, todas las demás, multiplicando la cuota anterior por 1,05.

(2) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta lafecha.(3) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (2) ya acumulado.(4) Las cuotas de interés se calculan sobre el capital pendiente a principios de cada período (3) al tanto efectivo semestral.(5) El término amortizativo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4).

10. Sistema de amortización Sinking-Fund

También se le conoce con el nombre de sistema de amortización con fondo de amortización.

Este sistema de amortización consiste en el pago periódico de los intereses al prestamista (préstamo americano), y al mismo tiempo una aportación a un fondo para construir un capital, con el que cancelar el principal del préstamo americano a su vencimiento.

Desde un punto de vista operativo, al mismo tiempo que se contrata el préstamo americano se abre un fondo asociado al préstamo. De esta forma, el prestatario de la operación de amortización al mismo tiempo se le considera deudor en el préstamo americano y acreedor en fondo que está constituyendo para devolver el préstamo.

Por tanto, los pagos a satisfacer por el prestatario pueden calcularse como suma de dos conceptos:

1. Los intereses de un préstamo de cuantía C0 al tanto de interés i (constante o variable) estipulado

en el contrato de préstamo, que serán siempre del mismo importe, C0 x i (si el tipo no varía).

2. La aportación periódica a un fondo de una cuantía F, tal que invertida al tanto del fondo i', generalmente menor que i, reproduzca al final de la vida del préstamo el capital C0 que tiene

que entregar al prestamista.

Datos necesarios para el desarrollo de la operación

• Del préstamo:

Importe: C0.

Duración: n.Tipo de interés: i.Sistema de amortización: americano.

• Del fondo:

Tipo de interés: i'.Frecuencia y cuantía (constante o variable) de las aportaciones.Duración: por defecto, la del préstamo.

Por lo que se refiere al préstamo, los términos amortizativos coincidirán con la cuota de interés de cada período (C0 x i), salvo en el último pago en el que se incrementa en el importe del principal (C0 x i +

C0).

En cuanto al fondo que se va constituyendo para hacer frente a la devolución del préstamo americano, éste va creciendo por dos motivos: las aportaciones periódicas efectuadas y por los intereses que generael saldo que permanece acumulado en el mismo.

Para el cálculo de las aportaciones al fondo se tendrá en cuenta la equivalencia financiera entre las aportaciones efectuadas al fondo y el capital que se quiere constituir finalmente (el importe del préstamo), empleando como tanto el aplicado al propio fondo (nunca el del préstamo). Al final de la operación se tiene que verificar lo siguiente:

Gráficamente:

De la equivalencia se obtiene una ecuación donde el primer miembro es el valor final de la renta

(constante o variable, según se establezca) formada por las aportaciones al fondo y donde la única incógnita es el importe de las aportaciones a efectuar al fondo:

De donde se obtiene la cuantía a aportar (F) –en el caso de que ésta sea constante– o la primera de ellas –en el caso de que las aportaciones constituyan renta en progresión geométrica o aritmética– (Fi).

En cualquier caso, estas aportaciones al fondo de constitución no tienen la condición de cuota de amortización, porque el importe del préstamo no decrece en el tiempo, sino que permanece constante durante toda la vida del mismo (no hay amortización de capital).

Gráficamente esta operación conjunta préstamo-fondo se muestra en la siguiente figura (para tres períodos):

Estructura del cuadro del préstamo

PeríodosTérmino



Totalamortizado

Capitalvivo

0123

-I1I2

I3 + C0

-I1I2I3

---

C0

---

C0

C0C0C0C0

Estructura del cuadro del fondo

Períodos Aportación al

fondoIntereses

fondoVariación anual

del fondoCapital

constituidoCapital pendiente

0123

-F1

F2F3

--

I'2I'3

-F1

F2 + I'2F3 + I'3

-F1

F1 + F2 + I'2F1 + F2 + I'2 + F3

+ I'3

C0C0 – F1

C0 – F1 – F2 – I'2C0 – F1 – F2 – I'2 –

F3 – I'3

EJEMPLO 12

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 1.000 euros contratado al 15% de interés anual, amortizándose el principal de una sola vez a los 4 años y pagándose anualmente los intereses.

Sabiendo que el prestatario se compromete a realizar aportaciones anuales constantes y pospagables en un fondo que devenga intereses del 10% anual, construir el cuadro de constitución del capital, que permita hacer frente a la devolución del préstamo anterior.

Cuadro de amortización del préstamo

Años Término

amortizativoCuota deinterés


Totalamortizado

Capital vivo

01234

150,00150,00150,00

1.150,00

150,00150,00150,00150,00 1.000,00 1.000,00

1.000,001.000,001.000,001.000,00

Total 1.600,00 600,00 1.000,00

Cuadro de constitución del capital

Cálculo de la aportación constante a realizar:

(1) (2) (3) (4) (5)

AñosAportación al

fondoIntereses

Variación anual delfondo

Capitalconstituido

Capitalpendiente

01234

215,47215,47215,47215,47

21,5545,2571,32

215,47237,02260,72286,79

215,47452,49713,21

1.000,00

1.000,00784,53547,51286,79

Total 861,88 138,12 1.000,00


(1) Cálculo de las aportaciones al fondo (F).(2) Los intereses se calculan sobre el capital constituido al principio del período.(3) Suma de la aportación al fondo (1) y los intereses generales durante el período (2).(4) En el primer período coincide con la aportación al fondo primero efectuado. Los siguientes se obtienen añadiendo al capital constituido en el período anterior la variación anual del fondo del períododonde estamos (3).(5) El capital pendiente se obtiene de restar al capital inicial el capital constituido en cada momento.

11. Préstamos con intereses prepagablesEste tipo de operaciones se caracteriza porque los intereses se pagan anticipadamente, al principio del período correspondiente, a tipos de interés prepagables (i*), mientras que las cuotas de amortización siguen siendo pospagables.

El esquema de flujos de caja en un préstamo de cuantía C0, a amortizar en n pagos, a un tanto de interés

i* es el siguiente:

La estructura genérica del término amortizativo pagado en un momento k cual-quiera será, por tanto, la siguiente:

ak = Ik+1 + Ak

Es decir, cada pago realizado incluye los intereses del período que empieza y la cuota de amortización correspondiente al período que acaba.

Para un préstamo amortizable en tres períodos el gráfico que recoge la evolución de la deuda pendiente y la composición del término amortizativo será el siguiente:

EJEMPLO 13


• Importe: 80.000 euros. • Devolución del principal en tres pagos anuales vencidos de 10.000, 30.000 y 40.000 euros,

respectivamente. • Tipo de interés anual del 10% pagadero al principio de cada pe-ríodo.

Gráficamente, el esquema de pagos de la operación es:

Cuadro de amortización:

Años Términoamortizativo

Cuota deinterés


Totalamortizado

Capitalvivo

0123

8.000,0017.000,0034.000,0040.000,00

8.000,007.000,004.000,00

10.000,0030.000,0040.000,00

10.000,0040.000,0080.000,00

80.000,0070.000,0040.000,00

Total 99.000,00 19.000,00 80.000,00

11.1. Caso particular método alemánEn este caso los términos amortizativos permanecen constantes, a1 = a2 = … = an = = a, manteniéndose

también constante el tipo de interés i* para todos los períodos. Además habrá que tener en cuenta un primer término en el origen que recoja los intereses prepagables del primer período. El esquema de la operación para un préstamo de cuantía C0, amortizable en n períodos, es:

11.1.1. Pasos a seguir

11.1.1.1. Cálculo del término amortizativo (a)

A) 1.ª posibilidad: a través de la equivalencia financiera en el origenEn el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el prestatario debe ser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo – i*, de los pagos que realizará durante toda la operación. Al ser un interés anticipado el descuento será del tipo comercial.

C0 = C0 x i* + a x (1 - i*) + a x (1 - i*)2 + ... + a x (1 - i*)n

Simplificando:

C0 - C0 x i* = a x (1 - i*) [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-1]

C0 x (1 - i*) = a x (1 - i*) [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-1]

En el segundo miembro el corchete no es más que una suma de términos en progresión geométrica decreciente, por tanto, y simplificando, queda la siguiente expresión:

1 - (1 - i*)n

C0 = a x ----------------

i*

De donde se obtendrá el importe del término amortizativo del préstamo (a).

B) 2.ª posibilidad: a través de equiparación del préstamo a otro equivalente con intereses vencidos (francés)

A partir del tipo de interés anticipado (i*) calculamos el equivalente pospagable en compuesta:

i*i = ------------ 1 – i*

El cambio de tipo afecta al importe del préstamo, que será el de partida minorado en los intereses del primer período que se pagan en el origen:

C'0 = C0 - C0 x i* = C0 x (1 - i*)

El resultado es un préstamo de cuantía C'0, interés vencido i, n períodos y términos amortizativos

constantes (a). Planteando una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta formada por los términos amortizativos:

De donde se despeja el término:

11.1.1.2. Cálculo del capital vivo a principio del período k+1 (Ck)

En un determinado momento de la vida del préstamo la deuda pendiente coincide con el valor actualizado de los pagos pendientes (incluida la cuota de interés situada en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):

Planteando la equivalencia en el momento k:

Ck = Ck x i* + a x (1 - i*) + a x (1 - i*)2 + ... + a x (1 - i*)n-k

Simplificando:

Ck - Ck x i* = a x (1 - i*) x [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-k-1]

Ck x (1 - i*) = a x (1 - i*) [1 + (1 - i*) + (1 - i*)2 + ... + (1 - i*)n-k-1]

De donde se obtiene la deuda pendiente:

1 – (1 – i*)n-k

Ck = a x ---------------------

i*

Expresión similar a la obtenida para el cálculo del término amortizativo (paso 1.º), con la diferencia de la fecha donde están planteadas una y otra.

Además, en el origen se conoce la deuda pendiente (el importe del préstamo) y se desconoce el términoamortizativo, mientras que en k ocurre al contrario, se desconoce la deuda pendiente y se conoce el importe del término amortizativo.

11.1.1.3. Cálculo de cuotas de amortización: ley de recurrencia (Ak)

A) 1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo

Una vez calculado el término amortizativo, se cumple lo siguiente:

Período n: a = AnPeríodo n-1: a = Cn-1 x i* + An-1 = An x i* + An-1 -->

--> An = An x i* + An-1 --> An-1 = An x (1 - i*)

Período n-2: a = Cn-2 x i* + An-2 = (An + An-1) x i* + An-2 -->

--> An = (An + An-1) x i* + An-2 An-2 = An - Ani* - An-1i* = An x (1 - i*) - An-1i*

Y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización, hasta llegar a la primera.

B) 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización

La ley de recurrencia se obtiene al relacionar por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera, así:

En k: a = Ik+1 + Ak = Ck x i* + AkEn k+1: a = Ik+2 + Ak+1 = Ck+1 x i* + Ak+1

------------------------------------------- a - a = i* x (Ck - Ck+1) + Ak - Ak+1

siendo: Ck - Ck+1 = Ak+1, queda:

0 = i* x Ak+1 + Ak - Ak+1


Ak = Ak+1 x (1 - i*)

En definitiva, las cuotas de amortización en este tipo de préstamos siguen una progresión geométrica decreciente de razón (1 – i*), empezando siempre por la última cuota de principal, que coincide con el término amortizativo de ese último período de amortización del préstamo, pondremos todas a partir de la última:

Ak = An x (1 - i*)n-k

11.1.1.4. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk)

Como en cualquier sistema amortizativo, el total amortizado se puede obtener de dos maneras posibles:

• Por diferencias entre capitales pendientes consecutivos:

mk = C0 – Ck

• Por suma de las cuotas de amortización practicadas:

mk = A1 + A2 + … + Ak

EJEMPLO 14


• Importe: 300.000 euros.• Duración: 3 años.• Tipo de interés: 10% anual prepagable.• Términos amortizativos anuales constantes.

AñosTérmino



Totalamortizado

Capitalvivo

0123

30.000,00110.701,11110.701,11

110.701,10

30.000,0021.033,2111.070,11–

89.667,9099.631,00

110.701,10

89.667,90189.289,90300.000,00

300.000,00210.332,10110.701,10

Total 362.103,33 62.103,32 300.000,00


(1) Se calcula el importe del pago total a realizar (término amortizativo) a través de la fórmula anterior.

1 – (1 – 0,1)3

300.000 = a x ------------------- 0,1

a = 110.701,11

(2) Conocido el término amortizativo del último período, también se conoce la cuota de amortización de ese período (ya que coinciden al no tener intereses ese término).(3) A su vez, la cuota de amortización del último período coincide con el capital vivo a principios del último período, y al aplicarle el tipo de interés se conocerá la cuota de interés del año 3, que se safisface en el año 2.(4) Del pago hecho en el año 2, ya se sabe cuánto es interés (la cuota de interés del año 3) y el resto, por diferencia, se destina a amortizar (cuota de amortización del año 2).(5) La deuda pendiente del penúltimo período será la suma del capital pendiente en el período siguientemás la cuota de amortización del año 2.(6) El resto del cuadro se realiza de la misma manera, hasta llegar al momento inicial donde solamente se pagan los intereses del primer período.

11.2. Préstamo con intereses prepagables y cuotas de amortización constanteConsiderando que el importe del préstamo es C0, con un tipo de interés anticipado i*, y amortizable en

n períodos, en este caso debe cumplirse que: A1 = A2 = A3 = = ... = An = A


En este caso, al igual que ocurría cuando se vio el préstamo lineal con intereses vencidos, se calcula en primer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortización, fáciles de obtener, a continuación los intereses y, finalmente, los términos amortizativos.

11.2.1.1. Cálculo de la cuota de amortización (A)


C0 = A1 + A2 + A3 + ... + An = A x n


C0A = -------- n


mk = A1 + A2 + ... + Ak = A x k

11.2.1.3. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck)

El carácter prepagable de los intereses no afecta a las cuotas de amortización que sigue siendo pospagable.

A) 1.ª posibilidad: por el método retrospectivo

El capital pendiente será el importe del préstamo disminuido en la totalidad de las cuotas de amortización ya practicadas.

Ck = C0 - mk = C0 - [A + A + ... + A] = C0 - A x k

B) 2.ª posibilidad: por el método prospectivo

El capital pendiente será la suma aritmética de las cuotas de amortización aún pendientes de realizar.

Ck = Ak+1 + Ak+2 + ... + An = (n - k) x A

11.2.1.4. Cálculo de cuota de interés de período k + 1 (Ik+1)

Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo, pero se pagan al principio de dicho período, así en el momento k (principios de k + 1) se pagan los intereses del período k + 1.

En k:

Ik+1 = Ck x i*

11.2.1.5. Cálculo de los términos amortizativos: ley de recurrencia (ak)

Puesto que los términos amortizativos son la suma de la cuota de interés (decrecientes porque se calculan sobre capitales cada vez menores) y la cuota de amortización (en este caso constantes), los términos variarán como lo hacen las cuotas de interés y seguirán una ley matemática.

1.ª posibilidad: calcular el importe del término amortizativo a través de su propia estructura, calculandola cuota de interés y añadiendo la cuota de amortización constante ya conocida:

En 0: a0 = I1 = C0 x i*

En 1: a1 = I2 + A = C1 x i* + A

En 2: a2 = I3 + A = C2 x i* + A = (C1 - A) x i* + A

...

2.ª posibilidad: consistirá en calcular el primer término y obtener todos a través de la ley de recurrenciaque éstos siguen y que se obtiene al relacionar, por diferencias, dos términos amortizativos consecutivos cualesquiera:´

En k: ak = Ik+1 + A = Ck x i* + A

En k+1: ak+1 = Ik+2 + A = Ck+1 x i* + A

------------------------------------------- ak - ak+1 = (Ck - Ck+1) x i* + A - A

siendo: Ck - Ck+1 = A

resulta:

ak - ak+1 = A x i*

De donde se obtiene: ak+1 = ak – A x i*, lo que indica que cualquier término amortizativo es el anterior

menos una cuantía constante, es decir, los términos varían en progresión aritmética de razón – (A x i*).

11.3. Préstamo con intereses prepagables con términos amortizativos variables en progresión geométricaEl esquema de la operación para un préstamo de cuantía C0, amortizable en n períodos, con interés

prepagable i*, con términos amortizativos variables en progresión geométrica de razón q, conocida, es:

Siendo: a1; a2 = a1 x q; a3 = a1 x q2; ...; an = a1 x qn-1


11.3.1.1. Cálculo del primer término amortizativo (a1)

En el momento cero, inicio de la operación, la cantidad que recibe el prestatario debe ser igual al valor actualizado, al tanto del préstamo (i*), de los pagos que realizará durante toda la operación:

C0 = C0 x i* + a1 x (1 - i*) + a2 x (1 - i*)2 + ... + an x (1 - i*)n

puesto que los términos varían en progresión geométrica de razón q:

C0 = C0 x i* + a1 x (1 - i*) + a1 x q x (1 - i*)2 + ... + a1 x qn-1 x (1 - i*)n

donde todo es conocido salvo a1.

11.3.1.2. Cálculo del capital vivo a principio del período k + 1 (Ck)

En un determinado momento de la vida del préstamo la deuda pendiente coincide con el valor actualizado de los pagos pendientes (incluida la cuota de interés situada en el momento de estudio que corresponde al primer período pendiente):

Planteando la equivalencia en el momento k:

Ck = Ck x i* + ak+1 x (1 - i*) + ak+2 x (1 - i*)2 + ... + an x (1 - i*)n-k

Simplificando:

Ck = Ck x i* + ak+1 x (1 - i*) + ak+1 x q x (1 - i*)2 + ... + a k+1 x qn-k-1 x (1 - i*)n-k

Ck (1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) + ak+1 x q x (1 - i*)2 + ... + ak+1 x qn-k-1 x (1 - i*)n-k

Ck (1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) x [1 + q x (1 - i*) + q2 x (1 - i*)2 + ... + qn-k-1 x (1 - i*)n-k-1]

Ck x (1 - i*) = ak+1 x (1 - i*) x [1 + q x (1 - i*) + q2 x (1 - i*)2 + ... + qn-k-1 x (1 - i*)n-k-1]

De donde se obtiene la deuda pendiente (Ck).

Ck = ak+1 x [1 + q (1 - 1*) + q2 (1 - i*)2 + ... + qn-k-1 x (1 - i*)n-k-1]

Siendo el corchete una suma de n–k términos (los que quedan pendientes desde la fecha de estudio hasta el final), que varía en progresión geométrica de razón q x (1 – i*).

11.3.1.3. Cálculo de cuotas de amortización (Ak)

Una vez calculado el término amortizativo, se cumple lo siguiente

Período n: an = AnPeríodo n-1: an-1 = Cn-1 x i* + An-1 = An x i* + An-1 --> An-1Período n-2: an-2 = Cn-2 x i* + An-2 = (An-1 + An) x i* + An-2 --> An-1

Y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización, hasta llegar a la primera.


Como en cualquier sistema amortizativo, el total amortizado se puede obtener de dos maneras posibles:

• Por diferencia entre capitales pendientes consecutivos:

mk = C0 – Ck

• Por suma de las cuotas de amortización practicadas:

mk = A1 + A2 + ... + Ak

11.4. Préstamo con intereses prepagables con términos amortizativos variablesEl esquema de la operación para un préstamo de cuantía C0, amortizable en n períodos, con interés

prepagable i*, con términos amortizativos variables en progresión aritmética de razón d, conocida, es:

Siendo: a1; a2 = a1 + d; a3 = a1 + 2d; ...; an = a1 + (n-1)d

Los pasos a seguir serán los mismos que en el caso anterior, cuando los términos eran variables en progresión geométrica.

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