MÉTODOS NUMÉRICOSPractica N°1: Errores

1. Si la expresión 4 x

(3−2 x2)2 es evaluada en x=1.22 ¿Cuál es el error relativo porcentual si se

trabaja usando aritmética de 3 dígitos con corte en cada operación?SOLUCIÓN:

Evaluamos la expresión cuando X =1.22 ENTONCES⇒ 4 (1.22)

[3−2 (1.22 )2]2= 9066.587396

Este resultado es el valor real del cálculo de la expresión (p)

Ahora aplicando aritmética de tres dígitos con corte en cada operación:

4(1.22)[3−2 (1.22 )2]2

= 4.88[3−2(1.48)]2

= 4.88[3−2.96 ]2

= 4.88[0.44]2

= 4.881.6×10−3

= 3050

Este resultado es el valor de la aproximación (p*)

Hallando el error relativo porcentual: ERP = ERx100Siendo:

ER=¿P¿−P∨ ¿P

=¿9066.5874−3050∨ ¿9066.5874

=0.6636 ¿¿

Respuesta: Siendo entonces el error relativo porcentual de 66%.

2. Si en el ejercicio anterior se trabaja con los tres dígitos de corte con redondeo. ¿el error relativo % aumenta o disminuye?SOLUCIÓN:

Si trabajamos con tres cifras de corte con redondeo:

ENTONCES⇒

Variaría laaproximación y el nuevo p∗seria :

4(1.22)[3−2 (1.22 )2]2

= 4.88[3−2(1.49)]2

= 4.88[3−2 .98]2

= 4.88[0.02]2

= 4.884×10−4

= 12200

Habiendo aumentado el valor de p*, ahora veamos cómo afecta esto al error relativo:

ER=¿P¿−P∨ ¿P

=¿9066.5874−12200∨ ¿9066.5874

=0.3456 ¿¿

Rpta≫≫Al usar redondeo obtenemos un valor de aproximación de 12200 más cercano al valor real por ende el error relativo disminuye.

3. Evalué el polinomio y=x3−5 x2+6 x+0.55 en x=2.73a. Use aritmética de tres dígitos de corte. Evalué el error relativo.b. Repita el paso a pero exprese y como y= [(x-5) x+6] x+0.55 Evalué el error relativo y

compare con el inciso; ¿Aumentó o disminuyó?SOLUCIÓN:

a. Evaluando la función en : x=2.73 ; y=x3−5 x2+6 x+0.55

y=(2.73)3−5 (2.73 )2+6 (2.73 )+0.55=0.011917

Ahora aplicando aritmética de tres dígitos con corte en cada operación:

y¿=(2.73)3−5 (2.73 )2+6 (2.73)+0.55

y¿=20.3−37.2+16.3+0.55=−0.05

Hallando el error relativo:

ER=|y− y¿|

y=

|0.011917−(−0.05)|0.011917

=5.195686834

b. Evaluamos la función como: y= [ (x−5 ) x+6 ] x+0.55 ;en x=2.73

y= [ (2.73−5 )2.73+6 ]2.73+0.55=0.011917

Ahora aplicando aritmética de tres dígitos con corte en cada operación en esta forma: y¿=[ ( x−5 ) x+6 ] x+0.55 ; x=2.73

y¿=[ (2.73−5 )2.73+6 ]2.73+0.55

y¿=[ (−2.27 )2.73+6 ]2.73+0.55

y¿=[−6.19+6 ]2.73+0.55

y¿=[−0.19 ]2.73+0.55

y¿=−0.518+0.55

y¿=0.032

Hallando el error relativo:

ER=|0.011917−0.032|

0.011917=1.685239

Rpta≫≫Ocurriendo que al recortar una operación distinta la aproximación obviada también es distinta, disminuyendo en este caso el error relativo.

Practica N°2: Método de bisección y falsa posición

1. Si la longitud del intervalo inicial es 3 ¿Cuántas iteraciones se necesitan en el método de bisección para satisfacer una tol de 0.005? ¿Y si el intervalo fuera (2,3)? ¿Cuál sería el número de iteraciones?SOLUCIÓN:

a. Siendo el intervalo un valor de 3ENTONCES⇒

b−a=3 y tol=0.005

Por fórmula b−a2n ≤ tol :

32n ≤0.005

600≤2n

ln 600ln 2

≤n

9.23≤n

ENTONCES⇒

n=10

Rpta≫≫El número de iteraciones son 10.

b. Ahora si el intervalo es (2,3):ENTONCES⇒

b−a=1 y tol=0.005

12n ≤0.005

200≤2n

ln 200ln 2

≤n

7.64≤n

ENTONCES⇒

n=8

Rpta≫≫El número de iteraciones son 8.

2. Aplique el método de bisección para encontrar la raíz de x−2−x=0 en el intervalo (0,1) trabaje tres iteraciones.a. ¿Cuál es la solución luego de las tres iteraciones?b. ¿Cuántas iteraciones más se deben realizar si la tolerancia es 0.001?

SOLUCIÓN:

Siendo el f ( x )=x−2−x=0 en el intervalo (0,1)

a. Aplicamos el método de bisección :

n a c b F(a) F(c) F(b) MEP1 0 0.5 1 -1 -0.207107 0.5 0.5

2 0.5 0.75 1 -0.207107 0.155396 0.5 0.25

3 0.5 0.625 0.75 -0.207107 -0.023420 0.155396 0.125

Rpta≫≫Siendo la solución 0.625

La programación y corrida del programa:

x f(x)0 -11 0.5

b. Usando un tol=0.001 :

Por fórmula b−a2n ≤ tol

12n ≤0.001

1000≤2n

ln 1000ln 2

≤ n

9.97≤n

ENTONCES⇒

n=10

Rpta≫≫Se deben realizar 7 iteraciones más.

La programación y corrida del programa:

3. El polinomio de cuarto grado:

f ( x )=230 x4+18 x3+9 x2−221 x−9Tienen dos ceros reales uno en (-0.08,0) y otro en (0.08,1) Trabaje dos iteraciones del método de falsa posición en el intervalo positivo e indique el numero de cifras significativas de dicho resultado, luego de las dos iteraciones.SOLUCIÓN:

Aplicando el método de falsa posición en el intervalo (0.8, 1):

n a c b F(a) F(c) F(b)1 0.8 0.947884 1 -76.616 -9.393214 272 0.947884 0.961335 1 -9.393214 -0.707161 27

Para hallar “c”: c=b−(b−a ) f (b)f (b )−f (a)

Sabiendo que: ¿

( 0.961335−0.9478840.961335 )<5 x10−t

0.013992≤5 x10−t

2.798 x10−3≤10−t

log (2.798 x10−3 )≤−t

2.55≥ t

ENTONCES⇒

t = 2

Aplicando el método de falsa posición en el intervalo (-0.08, 0):

n a c b F(a) F(c) F(b)1 -0.08 -0.04059 0 8.7378 --0.015361 -92 -0.08 -0.03928 -0.04059 8.7378 -0.305777 --0.015361

(−0.03928+0.04059−0.03928 )<5x 10−t

0.03335≤5 x10−t

6.670 x10−3≤10−t

log (6.670 x10−3 )≤−t

3.82≥t

ENTONCES⇒

t = 3

La programación y la corrida del programa:

Practica N°3:

1. Resolver:a. Si en la siguiente función f ( x )=x ex−2 x3+4 x−15=0se despeja el primer x del

primer término. Si se aplica el método del punto fijo. Indique si habrá convergencia o divergencia y de qué tipo.

b. Aplica el método de Newton Raphson (4 iteraciones) e indique si hay o no convergencia.

SOLUCIÓN:

a. Siendo la función f ( x )=x ex−2 x3+4 x−15=0 y aplicando método de punto fijo:

x F(x)2 -8.2213 3.257

x=2x3−4 x+15ex =G ( x )

n G(x) EA0 2.5 -----1 2.9756 0.47562 2.8463 0.12933 2.8874 0.0411 4 2.8749 0.0125

Rpta≫≫ Siendo una convergencia monotómica.

b. Aplicamos el método de Newton Raphson:

f ( x )=x ex−2 x3+4 x−15=0

f ’(x) = ex +xex−¿ 6x2 + 4 x1= X0

−f ( x)f ¿¿

x2= X1−f ( x1)

f ¿¿

x3= X2−f ( x2)

f ¿¿ x4= X3−f ¿¿

n Xn EA0 2.5 -----1 3.1334 0.63342 2.9354 0.19803 2.8814 0.0544 2.8779 0.0035

Rpta≫≫ Si es convergente

La programación y la corrida del programa:

2. Determine las raíces del sistema de ecuaciones:

y=−x2+x+0.5 tol=0.01

y+5 xy=x2 Usar el método de punto fijo.SOLUCIÓN:

y = x2

5x+1 ... (2)

Hacemos (2) en (1) : x2

5x+1 = −x2+ x+0.5

x2+(x2−x−0.5)(5 x+1)5 x+1

=0

F(x) =5x3 -3x2 -3.5x-0.5 = 0

Hallando el g(x):

5x3 = 3x2 + 3.5x + 0.5

Despejamos “x”:

X¿( 3 x2+3.5x+0.55

)1 /3

= ¿)1/3 = g(x)

X F(x)0 -0.51 -22 20.5

Siendo X0 =1.5:

n G(x) EA ER0 1.5 ---- ----1 1.3572 0.1428 0.10522 1.2917 0.0655 0.05073 1.2610 0.0307 0.02434 1.2465 0.0145 0.01165 1.2396 0.0069 0.0056

Rpta≫≫ Es convergente

La programación y la corrida del programa: