- Irregular- Regular

Paralelepípedo- Recto- Oblicuo

AB C

D

A´F´ E´

D´

B´

EF

P

aL

C´

B

B

OBJETIVOS:Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:

Deducir las características principales del prisma.

Establecer las relaciones para el cálculo del área y el volumen del prisma.

CONCEPTO:

Es aquel sólido formado por dos polígonos iguales y paralelos llamados BASES y por paralelogramos LATERALES. Es el sólido o poliedro limitado por la superficie prismática cerrada y por dos planos paralelos y secantes a dicha superficie los cuales son polígonos congruentes.

CLASES: Existen los siguientes tipos:

PRISMA OBLICUO: Es el que tiene sus aristas laterales oblicuas con respecto a la base.

PRISMA RECTO: Es el que tiene sus aristas laterales perpendiculares a las bases.

PRISMA REGULAR:Es el que tiene como base a un polígono regular.

Ejemplo: El prisma cuadrangular regular

PRISMA CÓNCAVO : Cuando la base es un polígono cóncavo.

DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS DE LA BASE:

Prisma Triangular si la base es un triángulo. Prisma Cuadrangular si la base es un cuadrilátero. Prisma Pentagonal si la base es un pentágono. Prisma Hexagonal si la base es un hexágono. Prisma Heptagonal si la base es un heptágono. Prisma Octogonal si la base es un octógono y así

sucesivamente

PARALELEPIPEDOEs el prisma cuyas caras son paralelogramos

CLASES:

RECTOEDRO:Es el paralelepípedo formado por seis

rectángulos, sus dimensiones se denominan largo, ancho y alto:

EXAEDRO REGULAR O CUBO:Es el paralelepípedo formado por seis cuadrados iguales.Arista: a

Diagonal de una cara: a√2

Diagonal de cubo: a√3

ROMBOEDRO: Es el paralelepípedo cuyas bases son rombos

ÁREAS Y VOLUMEN DE UN PRISMAPRISMA RECTO

Es aquel prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases

ÁREA LATERAL ( A L ):

Es igual al perímetro de la base por la arista

ÁREA TOTAL ( A T ):

Sólidos limitados por una superficie prismática o piramidal y 2 planos paralelos secantes ó 1 plano

secante respectivamente

Prisma

A L = P b x a

A T = A L + 2Sb

Diagonal de la base

Es igual al área lateral más dos veces el área de la base

VOLUMEN ( V ): El volumen es el producto del área de la base (S b ) por a altura.

PRISMA OBLICUO

Es aquel cuyas arista laterales son oblicuas a las bases

ÁREA LATERAL ( A L ) :

Es igual al perímetro de la sección recta por la arista

ÁREA TOTAL ( A T ):

Es igual al área lateral más dos veces el área de la base

VOLUMEN ( V ) :

El volumen es el producto del área de la base (S b ) por a altura.

VOLUMEN ( V ) :

El volumen también es el producto del área de su sección recta (A S.R.) por la arista lateral (a).

RECTOEDRO

Es el prisma cuyas bases son rectángulas

DIAGONAL ( D ) :

Es el cuadrado de su diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus 3 dimensiones.

ÁREA LATERAL ( A L ) :

El área lateral es el doble de la suma del producto de la altura por el largo y por el ancho.

ÁREA TOTAL ( A T ):

El área total es el duplo de la suma de las combinaciones binarias de sus 3 dimensiones.

VOLUMEN ( V ) :

El volumen es el producto de sus 3 dimensiones: largo (a), ancho (b) y alto (c).

EXAEDRO REGULAR

Es el sólido formado por seis cuadrados iguales, tiene dos clases de diagonales:

ÁREA LATERAL ( AL ) :

El área lateral es igual a cuatro veces su arista al cuadrado

ÁREA TOTAL ( A T ):

El área total es igual a seis veces su arista al cuadrado.

VOLUMEN ( V ) :

El volumen es igual a su arista al cubo

TRONCO DE PRISMA

CONCEPTO:

Es el sólido que se obtiene al cortar a un prisma con un plano que no es paralelo a sus bases.Por ejemplo el tronco ABCDEFGH.

TRONCO DE PRISMA RECTO

Es la porción de un prisma recto limitado por una de sus bases y un plano no paralelo a dicha base

ÁREA LATERAL ( A L ): El área lateral es la suma de las áreas de los trapecios laterales.

ÁREA TOTAL ( A T ):

El área total es la suma del área lateral (AL) y de las áreas de las 2 bases (S1 y S2)

VOLUMEN ( V ) :

Solo si el tronco es triangular, el volumen es igual al área de la base por la media aritmética de las 3 aristas laterales, perpendiculares a dicha base.

V = S b x h

A L = PS.R. x a

A T = A L + 2Sb

V = S b x h

V = A S.R. x a

D2 = a2 + b2 + c2

A L = 2 (ac + b c)

A T = 2 (ab + ac + bc)

V = a.b.c

A T = AL + S1 + S2

V = S1 ( a+b+c3 )

A L = 4a 2

A T = 6a 2

V = a 3

SR

TRONCO DE PRISMA OBLICUO

ÁREA LATERAL ( A L ) : El área lateral es la suma de las áreas de los trapecios laterales.

ÁREA TOTAL ( A T ):

El área total es la suma del área lateral (SL) y de las áreas de las 2 bases (S1 y S2)

VOLUMEN ( V ) :

EL volumen del tronco oblicuo triangular es igual al producto del área de la sección recta por la media aritmética de las 3 aristas laterales, "a", "b" y "c".

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si a, b y c son las dimensiones de un paralelepípedo

rectangular, calcular el área total si:

I. a + b + c = 12 m

II. a2 + b2 + c2 = 50 m2

a) 94 m2 b) 102 m2 c) 64 m2

d) 44 m2 e) 78 m2

2. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es

falso.

I. Todo prisma recto es regular.

II. Solo el prisma recto puede ser regular.

III. En un prisma regular, la base es un polígono

regular.

a) FVV b) FFV c) FVFd) VFV e) FFF

3. Si las aristas de un cubo se aumenta respectivamente

en 2,4 y 6 el volumen del sólido obtenido excede en

568 m3, al volumen del cubo dado. Hallar la longitud

de la diagonal de este cubo.

a) 5 b) 2 c) 5

d) 3 e) 2

4. La altura de un prisma triangular es igual al diámetro

de la circunferencia circunscrita a su base. Determinar

el volumen del prisma si el producto de los 3 lados de

la base es 36.

a) 14 b) 22 c) 20d) 18 e) 10

5. Las longitudes de las aristas de un paralelepípedo

rectangular son entre sí como 3,4 y 12

respectivamente. Su diagonal mide 6,5 m. Hallar su

área total.

a) 24 b) 32 c) 40d) 48 e) 50

6. La diagonal de un rectoedro mide 10m. y su área total

es 261 m2. Calcular la suma de las longitudes de

todas sus aristas.

a) 70 b) 74 c) 76d) 80 e) 82

7. En una piscina de 40m. de largo 12. de ancho y 3,5 m.

de alto se introducen 720000 lts. de agua. ¿A qué

distancia del borde llega el agua?

a) 1m b) 2m c) 0,5md) 3 m e) 4m

8. Si las aristas de un cubo se aumentan

respectivamente en 1; 3 y 5 m, el volumen del

paralelepípedo obtenido excede en 477 m3 al volumen

del cubo dado. Hallar la longitud de la diagonal de este

cubo.

a) 7√3m b) 8√3m c) 6√3m

d) 5√3m e) 9√3m

9. Calcular el volumen de un prisma triangular regular

cuya altura mide 6√3 , y el desarrollo de su

superficie lateral tiene por diagonal 12 .

a) 183 b) 163 c) 303

d) 323 e) 403

10. La base de un prisma es un cuadrado de lado 4; y su

altura es igual al perímetro de la base. Hallar su

volumen.

a) 32 b) 156 c) 256d) 64 e) 128

11. En un recipiente cubico que contiene 42 cm3de agua

se introduce un cubo macizo de tal manera que el

A T = AL + S1 + S2

V = S SR (a+b+c

3 )

agua se eleva hasta enrazar el nivel del recipiente. Si

la arista del cubo macizo es igual a la mitad de la

arista del recipiente, hallar el volumen del recipiente.

a) 48 m3 b)30 m3 c) 44 m3

d) 28 m3 e) 32 m3

12. Un paralelepípedo rectangular tiene un volumen de 60

m3, la suma de las longitudes de todas sus aristas es

de 48 m2 y su área lateral es 70 m2. Hallar las

longitudes de sus dimensiones.

a) 5,4,3 b) 6,3,2 c) 7,2,1d) 5,4,4 e) 6,3,3

13. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular,

el área de la superficie total es 180 m2. La diagonal de

la base mide 10m., la suma de las longitudes de las 3

dimensiones es 17m.

a) 120 m3 b) 130 m3 c) 144 m3

d) 128 m3 e) 132 m3

14. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular,

sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones

se hallan en prog. aritmética y que ellos suman 18m.

Su área total es 208m2

a) 190 m3 b)192 m3 c)194 m3

d)196 m3 e)198 m3

15. las diagonales de tres caras diferentes de un

paralelepípedo rectangular miden √61,

√74y√85

.calcular su volumen.

a) 214 b) 220 c) 210 d) 218 e) 120

16. ¿Cuál es el volumen de un prisma oblicuo si la sección

recta es un triángulo circunscrito a un círculo de 3m.

de radio y el área lateral del sólido es 28 m2.

a) 38 b) 42 c) 60d) 52 e) 64

17. La base de un prisma oblicuo es un hexágono regular

de 5 m de lados, en la que las aristas laterales miden

10 m y forman 60o con la base. Determinar el volumen

del prisma.

a)560m3 b) 561,5m3 c)562,5m3 d)564,5m3 e)567,5 m3

18. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular,

el área de la superficie totales 180 m2 la diagonal de la

base mide 10 m y la suma de las longitudes de las tres

dimensiones es 17 m.

a)148 m3 b)150 m3 c) 144 m3 d)124 m3 e) 180 m3

19. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular

sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones

se hallan en progresión aritmética y que ellas suman

18m. su área total es 208m2

a) 192 m3 b) 190 m3 c) 184 m3

d) 194 m3 e) 180 m3

20. En un paralelepípedo rectángulo el área de la base es

60m2, la suma de las longitudes de todas las aristas es

96m y la suma de los cuadrados de las longitudes de

sus tres dimensiones es 200m2. Hallar la longitud de la

altura del sólido.

a) 8 m b) 6 m c) 7 md) 4 m e) 10 m

21. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular si

su diagonal mide 10u y forma un ángulo que mide 45º

con la base y un ángulo que mide 30º con una de la

cara lateral.

a)125√2u3 b)148√2u3 c)136√2u3

d) 125√3u3 e) 148√3u3

22. El producto de las longitudes de todas las aristas

básicas de un prisma triangular es de 9m y la altura

del solido es el doble del diámetro de la circunferencia

circunscrita a la base. Calcular el volumen del sólido.

a) 4 m3 b) 1 m3 c) 3 m3

d) 14 m3 e) 5 m3

23. Se tiene un prisma triangular ABC – DEF, si √2(AB) =

BE, calcule m∠entre AE y BF.

a) 30º b) 80º c) 60º d) 150º e) 100º